Game Theory. Martin Hrubý. September 22, Brno University of Technology Brno Czech Republic

Pˇrednáˇsky z Teorie her (THE) Game Theory Martin Hrubý Brno University of Technology Brno Czech Republic

September 22, 2014

Martin Hrub´ y

THE: u ´vod, teorie volby

´ Uvod - Matematická teorie her ◮

Vˇedn´ı discipl´ına zkoumaj´ıc´ı racion´ aln´ı lidské chován´ı pˇri rozhodován´ı (jsou i dalˇs´ı sloˇzky/projevy inteligence).

◮

Multi-oborová discipl´ına - matematika, ekonomie, sociologie, politologie, biologie, informatika, ...

◮

Z mnoha d˚ uvod˚ u je snaha chov´ an´ı lid´ı studovat, analyzovat a modelovat c´ılem je chován´ı pochopit a predikovat (dle moˇznost´ı – nebudeme vˇeˇstit)

◮

◮

v druhé ˇcásti semestru budeme zkoumat mechanismy (a jejich návrh), které zp˚ usob´ı, ˇze se racionáln´ı jedinec bude chovat tak, jak chceme my

Poznámka: Teorie her nen´ı nauka o programov´ an´ı poˇc´ıtaˇcových her. Martin Hrub´ y


Z historie model˚ u rozhodován´ı Talmud(0-500AD) – n´ avody a pˇrik´ az´ an´ı v obchodu, právu a bˇeˇzném ˇzivotˇe. Proslavil se zejména problém ”marriage contract problem” – muˇz mˇel tˇri ˇzeny, v urˇcitém okamˇziku zemˇrel a zanechal odkaz E . Manˇzelky mˇely kontrahov´ ana pro tento pˇr´ıpad r˚ uzná dˇedictv´ı (100, 200, 300). Talmud doporuˇcuje spravedlivé dˇelen´ı v pˇr´ıpadˇe, ˇze E je menˇs´ı neˇz suma kontrakt˚ u. V pˇr´ıpadˇe E = 100 je to (33.3, 33.3, 33.3), E = 200 pak (50,75,75), E = 300 pak (50, 100, 150). Aˇz v roce 1985 se ukázalo, ˇze ˇreˇsen´ı Talmudu odpov´ıdá poznatk˚ um o kooperativn´ıch hrách (nucleolus). Brams, S. J.: The Win-Win Solution: Guaranteeing Fair Shares to Everybody, v knihovnˇe Martin Hrub´ y


Z historie (poznatky, výsledky) 1713 James Waldegrave uk´ azal prvn´ı zn´ amé ˇreˇsen´ı ve sm´ıˇsených strategi´ıch pro 2-hr´ aˇcové hry (hra Le Her). 1785 Condorcet˚ uv paradox 1838 Augustin Cournot publikoval model oligopolu, který znaˇcnˇe pˇredstihl dobu. Odpov´ıd´ a dneˇsn´ımu Nashovu ekvilibriu. 1871 V knize ”The Descent of Man, and Selection in Relation to Sex” Charles Darwin publikoval prvn´ı (zat´ım intuitivn´ı) hernˇe-teoretickou argumentaci pro evoluˇcn´ı biologii. 1913 Zermelo’s Theorem 1921-27 Emile Borel – publikoval ˇctveˇrici ˇcl´ ank˚ uo strategických hr´ ach. Poloˇzil prvn´ı formáln´ı definici sm´ıˇsených strategi´ı v minimax ˇreˇsen´ı her. 1928 John von Neumann dok´ azal minimax theorem v ˇclánku Zur Theorie der Gesellschaftsspiele. Martin Hrub´ y


Z historie (poznatky, výsledky) 1930 F. Zeuthen: Problems of Monopoly and Economic Warfare. V kapitole IV naznaˇcil ˇreˇsen´ı ”bargaining problemu”, které pozdˇeji Harsanyi ukázal ekvivalentn´ı k Nash’s bargaining solution. 1944 John von Neumann and Oskar Morgenstern: Theory of Games and Economic Behavior. Povaˇzována za jednu z nejvýznamnˇejˇs´ıch matematických knih 20. stolet´ı. 1950 Melvin Dresher and Merrill Flood (Rand Corporation): the Prisoner’s Dilemma. 1950-53 John F. Nash publikoval své ˇreˇsen´ı v nekooperativn´ıch hrách a v teorii vyjedn´ av´ an´ı (bargaining). 1952-53 L. S. Shapley (Rand Corporation): j´ adro v kooperativn´ıch hr´ ach. Pak se to znaˇcnˇe rozjelo... Martin Hrub´ y


Souˇcasný stav udˇelených Nobelových cen za teorii her 1972 1994 1996 2005 2007 2012

J.R. Hicks, K.J. Arrow J.C. Hersanyi, J.F. Nash, R. Selten J.A. Mirrlees, W. Vickrey R.J. Aumann, T.C. Schelling L. Hurwicz, E. S. Maskin, R.B. Myerson A. E. Roth, L. S. Shapley

Martin Hrub´ y


Teorie her pro informatiky na FITu

◮

Teorie her je discipl´ına zapadaj´ıc´ı do inteligentn´ıch systém˚ u (UI).

◮

Umoˇzn´ı nám formalizovat a modelovat specifickou ˇcást inteligence.

◮

V mnoha ohledech n´ am ulehˇc´ı pochopen´ı lidského chován´ı – ovˇsem vˇzdy na u ´rovni model˚ u.

◮

PSYCHOvˇedy: psychologie, psychiatrie, sociologie, politologie, ekonomie jsou z pohledu informatiky soft-vˇedy. ◮

◮

Výjimky: experimentáln´ı ekonomie/teorie her.

Nás zaj´ımá matematika, modelov´ an´ı a simulace, algoritmizace, datové struktury, extrémnˇe n´ aroˇcné výpoˇcty, ...

Martin Hrub´ y


Teorie her pro hráˇce poˇc´ıtaˇcových her Nebudeme dˇelat poˇc´ıtaˇcové hry. ◮

Poˇc´ıtaˇcové hry jsou bezesporu velký byznys v IT.

◮

Známe nˇekolik typ˚ u poˇc´ıtaˇcových her (nebudeme nyn´ı zavádˇet typologii).

◮

Hry známé jako ”strategie” - tahové, real-time, ...

◮

V rámci tˇechto poˇc´ıtaˇcových her rozliˇsujeme dalˇs´ı pod-´ ulohy: grafika, simulaˇcn´ı j´ adro, model prostoru (GIS), inteligence poˇc´ıtaˇcového protivn´ıka, ... ˇ asteˇcnˇe do toho zasahuj´ı Multi-agentn´ı systémy. C´

◮

V jistém ohledu je studium THE jistou pr˚ upravou pro tento obor informatiky.

Martin Hrub´ y


C´ıl pˇredmˇetu Teorie her (THE) ◮

Rozˇs´ıˇrit matematické vzdˇel´ an´ı a pˇremýˇslen´ı.

◮

Nauˇcit se analyzovat rozhodovac´ı situace, hledat v nich moˇzná ˇreˇsen´ı.

◮

Pˇredmˇet je u ´vodem do problematiky a m´ a m´ıt co moˇzná nejˇsirˇs´ı zábˇer.

◮

Teorie her má taky své pod-obory, zkus´ıme proj´ıt vˇsechny (vˇetˇsinu).

◮

Student by mˇel být schopen analyzovat zadanou situaci a vytvoˇrit jej´ı matematický/poˇc´ıtaˇcový model. Na základˇe modelu by mˇel být schopen poznat chov´ an´ı modelovaného systému, pˇr´ıpadnˇe predikovat pravdˇepodobné chován´ı hráˇc˚ u.

◮

Výsledek studia her...

Martin Hrub´ y


´ Uvod – Struktura a organizace pˇredmˇetu ◮ ◮

Pˇrednáˇsky – 12 pˇredn´ aˇsek, 13. opakov´ an´ı. Projekt (nutný pro z´ apoˇcet) ◮

◮

◮

◮

◮

◮ ◮

Studijn´ı – nastudován´ı vybrané kapitoly nad rámec pˇrednáˇsek, zpráva (origináln´ı, vlastn´ı výklad problematiky). Implementaˇcn´ı – implementace zvolené metody nebo algoritmu, zpráva. Aplikaˇcn´ı – implementace konkrétn´ıho modelu, simulaˇcn´ı studie. Infiltraˇcn´ı – návˇstˇeva existuj´ıc´ı instituce tematicky pˇr´ıbuzné pˇredmˇetu, zpráva. Term´ın – viz organizace pˇredmˇetu.

Zkouˇska – obsah, term´ın (lze dohodnout). Konzultace, zpˇetn´ a vazba (reflexe a vyjedn´ av´ an´ı).

Studijn´ı literatura: ˇ FR0110/2010/F1). ◮ Knihy ve fakultn´ ı knihovnˇe (grant FRVS ◮ Studin´ ı texty Teorie her (pracovn´ı str´ anka kurzu). Martin Hrub´ y


Pˇrednáˇsky 1/3 Jedna pˇrednáˇska vˇzdy znamen´ a jedno téma (tzn. nˇekteré jsou informaˇcnˇe hustˇejˇs´ı, jiné volnˇejˇs´ı). ´ 1. Uvod – organizace pˇredmˇetu, u ´vod do nezbytných matematických pojm˚ u, z´ aklady teorie rozhodován´ı. 2. Hry v normáln´ı formˇe (s nenulovým souˇctem) – základn´ı pojmy, modelován´ı rozhodovac´ıch situac´ı, z´ aklady analýzy strategických her, z´ akladn´ı modely oligopolu (Cournot˚ uv a Bertrand˚ uv model – analytické a simulaˇcn´ı ˇreˇsen´ı). 3. Hry v normáln´ı formˇe (s nulovým souˇctem) – vˇeta o Mini-maxu, sedlový bod, ˇreˇsen´ı. Line´ arn´ı optimalizace. 4. Algoritmy pro ˇreˇsen´ı strategických her – algoritmy výpoˇctu ˇreˇsen´ı hry, vˇeta o existenci ˇreˇsen´ı (ekvilibria) a jej´ı d˚ ukaz. C´ıl: modelovat strategické situace. Poznat hernˇe-teoretickou matematiku. Martin Hrub´ y


Pˇrednáˇsky 2/3

7. Sekvenˇcn´ı (tahové) hry – z´ akladn´ı pojmy, modely, ˇreˇsen´ı, Stackelberg˚ uv model oligopolu. D˚ uvˇeryhodn´ a hrozba. SPNE. 8. Kooperativn´ı hry a vyjedn´ av´ an´ı (bargaining) – pojmy, modely, ˇreˇsen´ı. Jádro hry, Shapley value, Voting power, Nash bargaining solution. 9. Opakované hry (repeated games) – vliv opakován´ı hry na strategické rozhodov´ an´ı hr´ aˇc˚ u. Opakov´ an´ı a kooperace. Korelované ekvilibrium – motivace, definice, aplikace a výpoˇcet. C´ıl: jaký vliv má spolupr´ ace na efektivnost naˇseho ˇzivota?

Martin Hrub´ y


Pˇrednáˇsky 3/3 10. Mechanism design – z´ akladn´ı pojmy, n´ avrh pravidel, strategická manipulace. Teorie veˇrejné volby (Public Choice) – volebn´ı mechanismy, Condorcet˚ uv paradox, Arrow˚ uv paradox (a dalˇs´ı). 11. Teorie aukc´ı – mechanismy aukc´ı, n´ avrh mechanismu aukce, modely. 12. Evoluˇcn´ı biologie – hern´ı podstata naˇs´ı evoluce, samoorganizace v populac´ıch jedinc˚ u. Stejné principy jsou ovˇsem platné napˇr. v modelov´ an´ı zat´ıˇzen´ı kom. s´ıt´ı. 13. Aplikace, pˇr´ıpadové studie – aplikace v modelován´ı energetických trh˚ u. C´ıl: poznat, modelovat a navrhovat pravidla ve strategických situac´ıch. Pˇr´ıpadová studie. Martin Hrub´ y


´ Uvod do matematických pojm˚ u

V THE budeme formálnˇe definovat pojmy, algoritmy a postupy. ◮

Diskrétn´ı matematika.

◮

Algebra.

◮

Matematická analýza.

◮

Pravdˇepodobnost. Statistika.

◮

Operaˇcn´ı výzkum.

Opakujeme a aplikujeme jiˇz z´ıskané matematické znalosti. THE je matematika naˇseho ˇzivota.

Martin Hrub´ y


´ Uvod do matematických pojm˚ u ◮

Pojem mnoˇzina – matematický objekt A, pro který plat´ı, ˇze jsme schopni pro kaˇzdý (∀) objekt o jednoznaˇcnˇe urˇcit, zda-li objekt o je nebo nen´ı prvkem A ◮ ◮

o ∈ A, o ∈ /A Mnoˇziny obvykle zapisujeme velkým p´ısmenem.

◮

Mnoˇzina nen´ı seznam. Kaˇzdý prvek je tam pouze jednou (na rozd´ıl od multi-mnoˇziny).

◮

A = {a1 , a2 , ..., ax }. Pr´ azdn´ a mnoˇzina ∅.

◮

◮ ◮ ◮

|A| znaˇc´ı poˇcet prvk˚ u mnoˇziny (kardinalita mnoˇziny). + |A| = x, x ∈ N ∪ {0}.

Definice konkrétn´ı mnoˇziny: B = {a ∈ A|condition(a)} Podmnoˇzina: ⊂, ⊆

Potenˇcn´ı mnoˇzina: 2A . Kolik m´ a prvk˚ u? Kolik je |2∅ |? Martin Hrub´ y


Mnoˇzinové operace ◮ ◮

C = A ∪ B ⇔ ∀c ∈ C : c ∈ A ∨ c ∈ B C = A ∩ B ⇔ ∀c ∈ C : c ∈ A ∧ c ∈ B

C = A \ B ⇔ ∀c ∈ C : c ∈ A ∧ c ∈ /B C = {c ∈ A|c ∈ / B} P Operátory ∪, ∩, budeme pouˇz´ıvat s iteraˇcn´ı promˇennou: ◮

C=

[

fun(i )

N X

fun(i )

N X

fun(i )

i ∈N

I =

i =1

I =

i

Martin Hrub´ y


Kartézský souˇcin (angl. product), relace ◮

Q Kartézský souˇcin (znaˇc´ıme × nebo ) mnoˇzin A a B je mnoˇzina uspoˇrádaných dvojic C = A × B = {(a, b)|a ∈ A ∧ b ∈ B}.

◮

Relace – toto lidské slovo m´ a opravdu hodnˇe význam˚ u...

◮

Pro matematiku je bin´ arn´ı relace podmnoˇzinou kartézského souˇcinu mnoˇzin A a B (tzn. je to mnoˇzina uspoˇrádaných dvojic). Definujeme i n-´ arn´ı relace R ⊆ A × B × C × ....

◮ ◮ ◮

R ⊆ A × B, R ⊆ A × A, R ⊆ A2 .

Notace: x = (a, b), x ∈ R, aRb ⇔ x ∈ R. R˚ uzné vlastnosti relac´ı.

Pˇr´ıklad: A = {1, 2, 3}; B = {x, y } A × B = {(1, x), (1, y ), (2, x), (2, y ), (3, x), (3, y )} R ⊆ A × B napˇr. R = {(1, x), (1, y )} Martin Hrub´ y


Dalˇs´ı matematické znalosti

Bylo by dobré umˇet/ch´ apat: ◮ ◮

Pˇreˇc´ıst/pochopit matematický z´ apis. ´ Upravy algebraických výraz˚ u (odvozov´ an´ı, zjednoduˇsován´ı).

◮

Vyˇreˇsen´ı lineárn´ı, kvadratické a jednoduché diferenciáln´ı rovnice. Základn´ı ˇreˇsen´ı soustav line´ arn´ıch rovnic.

◮

Derivovat. Hledán´ı extrém˚ u funkc´ı.

Nová znalost (moˇzná) bude: line´ arn´ı programov´ an´ı.

Martin Hrub´ y


Základn´ı pojmy THE: model situace ◮

Hra – hra je strategick´ a interakce dvou a v´ıce hráˇc˚ u.

◮

Hráˇc – hráˇc je u ´ˇcastn´ık hry.

◮

Strategie (akce) – varianty moˇzného chov´ an´ı hráˇce.

◮

Zisk/Uˇzitek – hráˇc˚ uv výnos ze hry (uˇzitek je m´ıra uspokojen´ı ze zisku).

◮

Preference – rozliˇsen´ı strategi´ı nebo uˇzitk˚ u.

◮

Racionalita hráˇce – z´ akladn´ı pˇredpoklad pro ˇreˇsitelnost situace.

◮

Hran´ı hry – jakým zp˚ usobem hr´ aˇci realizuj´ı své tahy. ˇ Reˇsen´ı hry – pravdˇepodobný zp˚ usob a výsledek chován´ı hráˇc˚ u.

◮

Hráˇc provád´ı rozhodovan´ı nad strategiemi s c´ılem dosáhnout individuáln´ıho optimáln´ıho výsledku (uˇzitku) ve hˇre. Selfish (sobecký) agent/hr´ aˇc. Martin Hrub´ y


Hra a hráˇc Hra v pojet´ı TH je model situace – tzn. je to zjednoduˇsen´ı reality. Realitu abstrahujeme na hr´ aˇce, pravidla hry, strategie, preference, uˇzitek a hern´ı koncept. ◮

Hra má pravidla – v´ıme, jak se hra hraje.

◮

Hráˇci mohou m´ıt o hˇre r˚ uznou m´ıru informace.

◮

Nezkoumáme, jestli je hr´ aˇc ve hˇre dobrovolnˇe, jestli chce hrát, jaké má pocity.

◮

Vˇsechno, co hráˇc v´ı, co zkoum´ a, co preferuje, vˇsechno je obsaˇzeno v modelu té situace (protivn´ıci, strategie, preference, uˇzitek, ˇreˇsen´ı hry).

◮

Hry proti pˇr´ırodˇe – pˇr´ıroda je hr´ aˇc bez strategického chován´ı (o jeho chován´ı nelze ˇr´ıct nic v´ıc, neˇz ˇze svou strategii vol´ı náhodnˇe).

Martin Hrub´ y


Pojmy model a simulace, opakován´ı ◮

Model systému A je jiný systém B, který je mu jaksi podobný.

◮

Model je vˇzdy zjednoduˇsen´ı re´ alné situace/systému.

◮

Modelován´ı je proces zd˚ uvodnˇeného zjednoduˇsován´ı sys. A.

◮

Simulace je proces experimentov´ an´ı s modelem (A B) jehoˇz c´ılem je z´ıskat nové znalosti o A prostˇrednictv´ım B.

Závˇer: budeme zkoumat inteligentn´ı rozhodov´ an´ı lid´ı prostˇrednictv´ım model˚ u. Mus´ıme se vyrovnat s faktem, ˇze naˇse modely budou pouze zjednoduˇsovat realitu s tou nadˇej´ı, ˇze zd˚ urazn´ı alespoˇ n ty aktu´ alnˇe relevantn´ı aspekty. Význam pojmu simulace v naˇsem pojet´ı: analýza hry a predikce výsledku hry. U poˇc´ıtaˇcových model˚ u hern´ıch situac´ı je to opˇet proveden´ı experimentu s konkrétn´ımi vstupy a konkrétn´ım c´ılem. Martin Hrub´ y


Strategie hráˇce ◮ ◮

Hráˇc provád´ı rozhodov´ an´ı. Mus´ı poznat své moˇznosti – identifikace jeho moˇznost´ı je souˇcást hráˇcových analytických schopnost´ı a taky jeho inteligence. ◮

◮

◮

◮

(v realitˇe): Poznán´ı tˇechto moˇznost´ı je de facto hráˇcovo know-how. V poˇc´ıtaˇcovém modelován´ı rozhodovac´ı situace obvykle mus´ı modeláˇr sám strategie urˇcit.

Vˇsechny strategie hr´ aˇce i ∈ Q ve hˇre tvoˇr´ı jeho mnoˇzinu strategi´ı – Si . Mnoˇziny strategi´ı hr´ aˇc˚ u jsou obecnˇe jiné (aˇz disjunktn´ı, tzn. A ∩ B = ∅).

Budeme zkoumat tzv. mnoˇzinu strategických profil˚ u Y S= Si i ∈Q

Martin Hrub´ y


Uˇzitek a preference Uˇzitek: ◮

Uˇzitek (angl. utility) je vztaˇzen ke kaˇzdé hr´ aˇcovˇe strategii. Na základˇe uˇzitku m˚ uˇze hr´ aˇc prov´ adˇet rozhodov´ an´ı.

◮

Výsledek (ˇreˇsen´ı, výstup, outcome) hry je spoleˇcný uˇzitek vˇsech hráˇc˚ u.

◮

Zisk a uˇzitek (pozdˇeji vˇse slouˇc´ıme do jednoho pojmu).

Preference: ◮

Preference je fenomén veˇskerého modelov´ an´ı rozhodovac´ıch situac´ı.

◮

Preference nen´ı pˇredmˇetem rozhodov´ an´ı. Je to vstup do modelu. Kaˇzdý m´ a jiné preference (co to znamená?).

Preference hr´ aˇ ce nemus´ıme ch´ apat, ale mus´ıme je poznat a spr´ avnˇ e modelovat. Incentive (stimul, pohnutka, popud, ...). Martin Hrub´ y


Vyjádˇren´ı uˇzitku ◮

◮

◮

Obvykle velmi dobˇre ch´ apeme uˇzitek finanˇcn´ı – proˇc??? Chápeme jasnˇe hodnotu penˇez a jsme schopni srovnávat dva r˚ uzné uˇzitky (1 CZK versus 1000 CZK). Uˇzitek je (subjektivn´ı) m´ıra uspokojen´ı plynouc´ı ze spotˇreby statk˚ u. Ve hrách o uˇzitku hr´ aˇce rozhoduj´ı i jeho protihráˇci.

Pˇr´ıstupy: ◮ Kardinalistick´ a teorie – jsme schopni vn´ımat velikost rozd´ılu mezi uˇzitky. ◮ Ordinalistick´ a teorie – nejsme schopni porovnávat uˇzitky metrikou, ale alespoˇ n pozn´ ame lepˇs´ı uˇzitek. ◮ Zkoum´ ame preference na mnoˇzinˇe strategi´ı nebo na mnoˇzinˇe moˇzných uˇzitk˚ u. Mnohdy je to zamˇenitelné. ◮ V´ yrazné problémy s preferenc´ı zaˇcnou aˇz u multi-kriteriáln´ıho rozhodován´ı. Martin Hrub´ y


Racionalita hráˇce Racionalita je pojem, který poˇr´ adnˇe nech´ apou ani zkuˇsen´ı hern´ı teoretici. ◮

Racionalita hráˇce je z´ akladn´ı pˇredpoklad pro modelovatelnost situace (racionalita je deterministick´ a).

◮

Pojem s rozsáhlým významem a mnoˇzstv´ım definic a pohled˚ u.

◮

Racionáln´ı jedinec je schopen identifikovat své c´ıle a podniká kroky k jejich dosaˇzen´ı.

◮

... je schopen promyslet situaci v celé jej´ı komplexnosti (nedˇelá ukvapená rozhodnut´ı).

◮

... neˇr´ıd´ı se ”citem (intuic´ı)”, ale jeho postoje jsou matematicky zd˚ uvodnitelné (logick´ a reakce na vstupy a stav situace).

◮

Racionalitu budeme form´ alnˇe definovat v Teorii volby/uˇzitku: hráˇc je schopen posoudit dvˇe strategie. Martin Hrub´ y


Racionalita hráˇce

◮

Racionáln´ı jedinec maximalizuje sv˚ uj uˇzitek.

◮

Racionalita mezi hr´ aˇci mus´ı být common knowledge (vˇsichni si o sobˇe navzájem uvˇedomuj´ı, ˇze jsou racion´ aln´ı a souˇcasnˇe v´ı, ˇze v´ı...).

◮

Racionalita je jistota, je to logické chov´ an´ı.

Firma/jedinec neˇrekne, ˇze uˇz m´ a dost a d´ ale neprodukuje. Pokud to pˇresto ˇrekne, pak je souˇc´ ast´ı jej´ıho uˇzitku i jiný faktor (napˇr. sledován´ı kvality ˇzivota ˇséfa a zamˇestnanc˚ u). Pak je uˇzitek v´ıcesloˇzkový – (trˇzba, pohoda). ◮

... pak ovˇsem mus´ıme definovat oper´ ator preference

Martin Hrub´ y


Trzby = R[CZK ], Pohoda = R[???] Rozhodovani ⊆ Trzby × Pohoda a moˇznost je lepˇs´ı? Klademe si otázku ∀r1 , r2 ∈ Rozhodovani : kter´ Je lepˇs´ı (1000, 20) neˇz (5000, 4)??? A co srovn´ an´ı s (20000, −10)? Pokud ˇrekneme, ˇze náˇs uˇzitek je d´ an funkc´ı u : Rozhodovani → R tak, ˇze 1pohoda = 100CZK , pak maximalizujeme funkci: u(trzba, pohoda) = trzba + 100 · pohoda Moˇzná podoba rozhodovac´ı mnoˇziny Rozhodovani (zˇrejmˇe je ohraniˇcená).

Martin Hrub´ y


Preference, volba, uˇzitek a racionalita

◮

Potˇrebujeme formalizovat vztah mezi volbou a uˇzitkem. Formalizace=model.

◮

Ekonomické teorie.

◮

Zkoumán´ı kˇrivek uˇzitku.

◮

M´ırná skepse nad t´ım, zda-li to v˚ ubec funguje.

Prozˇren´ı prognostika: výsledek modelu je vˇzdy expertn´ı názor na to, jak to m˚ uˇze fungovat. Pokud m´ a nˇekdo lepˇs´ı názor, pak sem s n´ım...!

Martin Hrub´ y


´ Teorie volby - Uvod ˇ ano z: Cerp´ 1. McCarthy, N., Mierowitz, A.: Political Game Theory: An Introduction, Cambridge University Press, 2007 2. Magdaléna Hykˇsov´ a: Pˇredn´ aˇsky z teorie her, Fakulta dopravn´ı ˇ CVUT ◮

◮

◮

◮

◮

Studium racionality je z´ akladem studia racionáln´ıho rozhodován´ı. Naˇs´ım základn´ım pˇredpokladem je fakt, ˇze studujeme racionáln´ıho jedince (opakem jsou hry proti pˇr´ırodˇe). Racionalitu nen´ı moˇzno zamˇen ˇovat s nˇejakou formou mor´ alky – racionáln´ı jedinec nekon´ a dobro, pouze sleduje svoje preference. Jedinec identifikuje svoje moˇznosti a hled´ a mezi nimi optimum (maximum). Mus´ı definovat význam optima. Otázka: je schopen odhalit optimum? Martin Hrub´ y


Teorie uˇzitku, pˇr´ıklady ◮ ◮

Pro zaˇcátek intuitivnˇe... Organizujeme svatbu. Moˇznosti jsou: ◮ ◮ ◮

◮ ◮ ◮

v chatˇe (krásná chata, +1000 bod˚ u); nebo v sále (+800 bod˚ u). Pˇri nepˇr´ıznivnivé poˇcas´ı v chatˇe ⇒ 0 bod˚ u, v sále nevad´ı. Pravdˇepodobnost nepˇr´ıznivého poˇcas´ı je 25 procent.

Oˇcekáváný uˇzitek z chaty je 0.75 · 1000 + 0.25 · 0 = 750. Oˇcekávaný uˇzitek ze s´ alu je 800, tzn. vˇetˇs´ı. Vol´ım sál.

D˚ uleˇzité !!! Pokud po tomto zjiˇstˇen´ı st´ ale v´ ah´ am, pak to znamená, ˇze bud’ (nˇeco je v modelu chybnˇe): ◮ ◮ ◮

◮ ◮

Jsem chybnˇe modeloval pravdˇepodobnost nepˇr´ıznivého poˇcas´ı. Jsem chybnˇe modeloval uˇzitek pˇri realizaci v chatˇe nebo s´ ale. V modelu chyb´ı nˇejaký dalˇs´ı aspekt uˇzitku (napˇr. ˇstˇest´ı nevˇesty, rodiˇc˚ u, host˚ u, ...). Nejsem racionálnˇe uvaˇzuj´ıc´ı jedinec. Riziko – specifický aspekt. Zmˇena uˇzitkové funkce. Martin Hrub´ y


Definice racionality ◮

Je-li racionáln´ı jedinec konfrontov´ an se dvˇema moˇznostmi x a y , pak je schopen jednoznaˇcnˇe rozhodnout, jestli nepreferuje x pˇred y nebo nepreferuje y pˇred x nebo nepreferuje ani jednu moˇznost. ◮

◮

◮

V kladném vyjadˇrov´ an´ı: pokud ˇreknu, ˇze nepreferuju x pˇred y , pak t´ım m´ın´ım, ˇze y je stejnˇe dobr´ a nebo lepˇs´ı moˇznost. Je-li konfrontován se tˇremi moˇznostmi x, y , z a nepreferuje-li y pˇred x a souˇcasnˇe nepreferuje z pˇred y (tzn. x je asi lepˇs´ı neˇz y a y je asi lepˇs´ı neˇz z), pak nem˚ uˇze preferovat z pˇred x. ◮

◮

Jestli moˇznosti splˇ nuj´ı tuto podm´ınku, pak mluv´ıme o úplnosti.

Jestli moˇznosti splˇ nuj´ı toto, pak mluv´ıme o tranzitivitˇe.

´ Uplnost a tranzitivita n´ as budou zaj´ımat. Bez nich nen´ı racionáln´ıho rozhodov´ an´ı.

Mám A mnoˇzinu alternativ. Pro vˇsechny a1 , a2 ∈ A jsem schopen posoudit preferenci a dokonce i na u ´rovni tranzitivity. Co z toho plyne pro rozhodován´ı? Martin Hrub´ y


Koneˇcné mnoˇziny akc´ı (strategi´ı, moˇznost´ı) a výstup˚ u ◮

Jedinec vol´ı z mnoˇziny akc´ı A = {a1 , a2 , ..., ak }.

◮

Pˇredpokládáme, ˇze jedinec m´ a kompletn´ı informaci (complete information) o situaci a tud´ıˇz je schopen jednoznaˇcnˇe predikovat následky svých akc´ı (jistota, certainty) – tzn. rozhodován´ı prob´ıh´ a za jistoty.

◮

Pak definujeme mnoˇzinu výstup˚ u/d˚ usledk˚ u X = {x1 , x2 , ..., xn }.

◮

Z pˇredpokladu jistoty plyne, ˇze pro kaˇzdou akci a ∈ A je jednoznaˇcnˇe pˇriˇrazen pr´ avˇe jeden výstup x ∈ X (zobrazen´ı je jednoznaˇcné).

◮

Formálnˇe, existuje funkce u:A→X

◮

Zkoumán´ı uˇzitkových funkc´ı pro n´ as bude významné. Martin Hrub´ y


Koneˇcné mnoˇziny akc´ı (strategi´ı, moˇznost´ı) a výstup˚ u

Formálnˇe, existuje funkce u : A → X . ◮

◮ ◮

Dále pˇredpokládáme, ˇze vˇsechny prvky mnoˇziny výstup˚ u jsou dosaˇzitelné (feasible) – tzn., kaˇzdý x ∈ X je d˚ usledek nˇejaké akce a ∈ A (u je zobrazen´ı na mnoˇzinu). Formálnˇe: xi je dosaˇzitelný, pokud ∃a ∈ A : u(a) = xi .

Z pˇredpokladu dosaˇzitelnosti a jednoznaˇcnosti plyne, ˇze je jedno, zkoumáme-li jedincovy preference nad akcemi nebo nad výstupy (zobrazen´ı je vz´ ajemnˇe jednoznaˇcné, bijektivn´ı).

Co by znamenalo, kdyby pro dvˇe r˚ uzné akce a1 , a2 ∈ A platilo u(a1 ) = u(a2 )?

Martin Hrub´ y


Demo A u

a1 x1

a2 x2

a3 x3

ˇ ıkáme tedy, ˇze pokud je zobrazen´ı u vz´ R´ ajemnˇe jednoznaˇcné, pak je jedno, jestli zkoumáme preference na akc´ıch nebo na uˇzitc´ıch.

Martin Hrub´ y


Rozhodován´ı

Rozhodován´ı je akt výbˇeru akce a ∈ A. ◮

Poˇcet zkoumaných charakteristik: mono-kriteriáln´ı rozhodován´ı, v´ıce-kriteri´ aln´ı rozhodov´ an´ı

◮

Poˇcet rozhodovatel˚ u: jeden versus v´ıce ⇒ rozhodován´ı, jehoˇz výsledek je ovlivnˇen alespoˇ n dvˇema racion´ aln´ımi u ´ˇcastn´ıky (HRA)

Martin Hrub´ y


Preference formálnˇe Pˇredpokládejme, ˇze existuje relace R ⊆ X × X (nebo R ⊆ A × A) obsahuj´ıc´ı ”názory” jedince na posouzen´ı jeho moˇznost´ı. Zkoumáme, zda-li je jedinec schopen na z´ akladˇe R provést rozhodnut´ı (racionálnˇe). ◮

Slabá preference (neostr´ a, weak preference) je definována binárn´ı relac´ı R, kde xi Rxj znaˇc´ı, ˇze xj nen´ı preferováno pˇred ˇ ıkáme t´ım: xi . R´ ◮ ◮

◮

◮

xi je lepˇs´ı nebo stejná moˇznost xj nen´ı preferováno nad xi , v nejlepˇs´ım pˇr´ıpadˇe m˚ uˇze být stejná, sp´ıˇse horˇs´ı moˇznost pˇripouˇst´ıme, ˇze xi a xj mohou být stejnˇe dobré.

Analogie relace R je bin´ arn´ı relace ≥ napˇr´ıklad nad ˇc´ısly (pak ovˇsem p´ıˇseme dle zvyklost´ı xi Rxj ⇔ xi ≥ xj ).

Martin Hrub´ y


Striktn´ı preference a indiference Máme mnoˇzinu alternativ A (nebo uˇzitk˚ u X ). Pomoc´ı R m˚ uˇzeme definovat dvˇe významné relace striktn´ı preference (strict preference) a indiference (indifference, nerozliˇsitelnost).

Definition Pro kaˇzdé x, y ∈ A, xPy (x je striktnˇe preferov´ ano pˇred y ) právˇe tehdy, pokud xRy ∧ ¬yRx. Podobnˇe, xIy (x je indiferentn´ı s y ) právˇe tehdy, pokud xRy ∧ yRx. Poznámka: relace P je zamˇeniteln´ a s >. Podobnˇe je I a =.

ˇ ıkáme: hráˇc striknˇe preferuje x nad (pˇred) y , hr´ R´ aˇc je indiferentn´ı mezi x a y .

Martin Hrub´ y


Volba jedince Notace: hvˇezdiˇckou býv´ a v TH oznaˇcov´ ana koneˇcná volba hráˇce/hráˇc˚ u.

Jedinec bude zˇrejmˇ e volit takovou volbu x ∗ ∈ A, ∗ pro kterou x Ry pro vˇsechna y ∈ A.

Zkoumáme, zda-li je jedinec schopen volby na z´ akladˇ e relace R. Respektive, definujeme takové vlastnosti R, aby taková volba byla moˇzná.

Martin Hrub´ y


Volba jedince, maximáln´ı mnoˇzina

Definition Pro relaci slabé preference R a mnoˇzinu voleb A definujeme maximáln´ı mnoˇzinu M(R, A) ⊆ A tak, ˇze M(R, A) = {x ∈ A|xRy ; ∀y ∈ A} Jedinec bude zˇrejmˇe volit z maxim´ aln´ı mnoˇziny. Ta by ovˇsem mˇela obsahovat alespoˇ n jeden prvek. Otázka: existuje takov´ a mnoˇzina M(R, A)? Co to m˚ uˇze ovlivnit?

Martin Hrub´ y


Volba jedince, maximáln´ı mnoˇzina

Pˇredpoklad: pokud je |M(R, A)| > 1, pak jedinec vol´ı jednu z M(R, A) náhodnˇe, protoˇze je indiferentn´ı mezi shodnými alternativami, tzn. ∀x1 , x2 ∈ M(R, A) : x1 Ix2 ˇ Pokud jedinec nesouhlas´ı s výˇse uvedeným postojem, pak je bud chybná jeho preference nebo jedinec nen´ı racion´ aln´ı. Zjiˇstˇen´ı maximáln´ı mnoˇziny zˇrejmˇe nebude moˇzné, pokud pro nˇejaká dvˇe x, y ∈ A neplat´ı ani xRy ani yRx (naruˇsen´ı u ´plnosti).

Martin Hrub´ y


Nezávislost na irelevantn´ıch alternativách

Pozdˇeji budeme nav´ıc vyˇzadovat, aby jedincova preference byla nezávislá na irelevantn´ıch alternativ´ ach (napˇr. v Teorii veˇrejné volby).

Definition Mˇejme mnoˇzinu alternativ A = {a, b} a preferenci R na A. Pˇredpokládejme, ˇze aRb. Pokud chceme zachovat nezávislost na irelevantn´ıch alternativ´ ach, tak pˇrid´ an´ı alternativy c do A nesm´ı zmˇenit preferenci mezi a a b (tzn. aRb).

Martin Hrub´ y


Demo

Mˇejme mnoˇzinu uˇzitk˚ u A = {a, b, c, d}. Relaci slabé preference R zobraz´ıme graficky:

b a

c d

Je relace u ´plná? M(R, A) = {a}, protoˇze pouze pro a plat´ı aRy ; ∀y ∈ A. Pozn.: pˇredpokládáme, ˇze xRx; ∀x ∈ A plat´ı automaticky.

Martin Hrub´ y


Pomocné definice Definition Binárn´ı relace R na X (tzn. R ⊆ X 2 ) je:

1. u ´plná, pokud ∀x, y ∈ X , x 6= y : xRy ∨ yRx. 2. reflexivn´ı, pokud ∀x ∈ X : xRx.

3. tranzitivn´ı, pokud xRy ∧ yRz ⇒ xRz ∀x, y , z ∈ X .

4. kvazi-tranzitivn´ı (definov´ ano nad relac´ı P), pokud xPy ∧ yPz ⇒ xPz ∀x, y , z ∈ X (pomoc´ı R je ekvivalentn´ı se zápisem xRy ∧ ¬(yRx) ∧ yRz ∧ ¬(zRy ) ⇒ xRz ∧ ¬(zRx)).

5. anti-symetrická, pokud xRy a yRx znaˇc´ı x = y (jsou totoˇzné) 6. asymetrická, pokud xRy pak neplat´ı yRx Poznámka: u ´plnost vyjadˇruje schopnost jedince m´ıt názor na preferenci nad kaˇzdými dvˇema akcemi (se zachov´ an´ım tranzitivity). Mus´ıme s t´ımto poˇc´ıtat i pˇresto, ˇze mnoho ekonom˚ u a psycholog˚ u o této schopnosti ˇclovˇeka v nˇekterých situac´ıch pochybuje. Martin Hrub´ y


Demo; paradox

Pˇr´ıklad: mˇejme mnoˇzinu X = {b1 , ..., b1000 } tis´ıce r˚ uzných lahv´ı piva definovanou takto: b1 je lahev, kde jedna kapka piva byla nahrazena kapkou vody, b2 dvˇe kapky aˇz b1000 tis´ıc kapek. Jistˇe by kaˇzdý prohlásil, ˇze b1 Ib2 , b2 Ib3 , ..., b999 Ib1000 (je mi jedno, jestli zvol´ım lahev ˇredˇenou 999 kapkami vody nebo 1000 kapkami). Protoˇze xIy implikuje xRy (z definice), pak mus´ı platit i b1000 Rb999 ,...,b2 Rb1 . Pokud akceptujeme tranzitivitu, pak b1000 Rb1 . Vedle toho ovˇsem b1 Pb1000 . Kde se stala chyba?

Martin Hrub´ y


´ e neostré uspoˇrádán´ı Upln´ Definition

´ e neostré uspoˇr´ Mˇejme mnoˇzinu voleb A. Upln´ ad´ an´ı na mnoˇzinˇe A je binárn´ı relace R ⊆ A × A, kter´ a je u ´pln´ a, reflexivn´ı a tranzitivn´ı. Poznámka: Anti-symetrii zde nezav´ ad´ıme (by n´ am naruˇsovala indiferenci). Proˇc reflexivita?

Theorem Je-li A koneˇcná mnoˇzina a R u ´plné neostré uspoˇra´dán´ı, pak M(R, A) 6= ∅. Máme garanci, ˇze pokud je preference definov´ ana správnˇe (poˇrádnˇe) a mnoˇzina alternativ je koneˇcn´ a, pak existuje zvolitelné optimum.

Martin Hrub´ y


D˚ ukaz vˇety o existenci maxima na mnoˇzinˇe alternativ 1/3 Nechˇt A je koneˇcná mnoˇzina a R je u ´pln´ a, reflexivn´ı a tranzitivn´ı relace. D˚ ukaz bude proveden matematickou indukc´ı. Pˇripomeˇ nme: M(R, A) = {x ∈ A|xRy ; ∀y ∈ A} Krok 1: Je-li A jednoprvkov´ a mnoˇzina, tedy A = {a}, pak z reflexivity plyne aRa a proto M(R, A) = {a}. Krok 2: Ukáˇzeme, ˇze je-li tvrzen´ı pravdivé pro A′ s n prvky a relaci R ′ na A′ , pak mus´ı být pravdivé i pro libovolnou A s n + 1 prvky a uspoˇrádán´ı R. tzn. pˇridán´ım alternativy se podm´ınky preference nenaruˇs´ı Martin Hrub´ y


D˚ ukaz vˇety o existenci maxima na mnoˇzinˇe alternativ 2/3 D˚ ukaz kroku 2: Budeme pracovat s mnoˇzinami A a A′ , kde A = A′ ∪ {a} Na mnoˇzinách A a A′ jsou definov´ ana uspoˇr´ ad´ an´ı R a R ′ tak, ˇze ′ ′ R je R omezená na A , tedy R ′ = R ∩ (A′ × A′ ) Dle naˇsich pˇredpoklad˚ u (a dle postupu matematické indukce) je M(R ′ , A′ ) 6= ∅ Pak z pˇredpoklad˚ uu ´plnosti preferenˇcn´ı relace plyne, ˇze pro ′ ˇ yRa nebo aRy nebo plat´ı oboje. libovolné y ∈ M(R , A′ ) plat´ı bud Budeme proto zkoumat dvˇe varianty preferenc´ı y a novˇe pˇridané alternativy a. Martin Hrub´ y


D˚ ukaz vˇety o existenci maxima na mnoˇzinˇe alternativ 3/3 A = A′ ∪ {a}

ˇ yRa nebo aRy nebo plat´ı oboje. ∀y ∈ M(R ′ , A′ ) plat´ı bud

1. Plat´ı yRa neboli prvky maxima na A′ jsou preferovány nad novým prvkem a. Pak tedy yRz pro vˇsecny z ∈ A′ ∪ {a} (z definice maximáln´ı mnoˇziny) a proto y ∈ M(R, A). A t´ım dokazujeme krok 2. 2. Plat´ı aRy . Pokud tedy y ∈ M(R ′ , A′ ), pak yRz pro libovolné z ∈ A′ . Vycház´ıme z aRy a v´ıme, ˇze yRz pro vˇsechny z ∈ A′ . Z tranzitivity R plyne aRz pro vˇsechny z ∈ A′ . Obecnˇe to implikuje aRw pro vˇsechny w ∈ A′ a proto a ∈ M(R, A) a to opˇet dokazuje krok 2.

Principem matematické indukce jsme dok´ azali tuto vˇetu pomoc´ı krok˚ u 1 a 2. Q.E.D. Martin Hrub´ y


Rozhodován´ı s nekoneˇcnou mnoˇzinou alternativ

Mˇejme vybrat optimum z mnoˇziny X = (0, 1) s relac´ı preference R takovou, ˇze xRy ⇔ x ≥ y . Mnoˇzina M(≥, X ) je pak prázdná. Tzn, nikdy nebude existovat x ∗ ∈ X takové, ˇze x ∗ Ry ∀y ∈ X . ◮

Definujeme nezbytné vlastnosti mnoˇziny alternativ.

◮

...pak vlastnosti relace preference.

◮

Poloˇz´ıme novou definici M(R, X ) pro spojité mnoˇziny alternativ.

Martin Hrub´ y


Teorie uˇzitku Zkoumán´ı volby provád´ıme na uˇzitkové funkci s ˇc´ıselným výstupem u : A → R. ◮

M˚ uˇzeme plnˇe vyuˇz´ıt zvyklost´ı s oper´ atorem ≥ (naˇse preference).

◮

u(x) ≥ u(y ) ⇔ xRy

◮ ◮

u(x) > u(y ) ⇔ xPy u(x) = u(y ) ⇔ xIy

Stále m˚ uˇzeme rozliˇsovat kardinalistický (ch´ apeme velikost rozd´ılu mezi u(x) − u(y ), xPy ) a ordinalistický pˇr´ıstup k uˇzitku (pouze chápeme preferenci). V mnoha algoritmech TH ani nepotˇrebujeme zn´ at m´ıru preference x nad y (uvid´ıme napˇr. v definici best-response, dominance).

Martin Hrub´ y


Definice funkce uˇzitku

Definition

ˇ Mˇejme A a R ⊆ A2 . Rekneme, ˇze uˇzitkov´ a funkce u : A → R1 reprezentuje R, jestliˇze pro vˇsechna x, y ∈ A, u(x) ≥ u(y ) ⇔ xRy . Snadno jsme schopni definovat > a =. Rozhodovatel-maximalista pak vol´ı z mnoˇziny M(R, A) = arg max[u(x)] x∈A

Poznámka: ve hrách tomu zaˇcneme ˇr´ıkat Best-response.

Martin Hrub´ y


Rozhodován´ı bez jistoty

◮

◮

◮

Rozhodován´ı za rizika: výsledkov´ a funkce pˇriˇrazuje kaˇzdému rozhodnut´ı pravdˇepodobnostn´ı rozloˇzen´ı na mnoˇzinˇe výsledk˚ u. Rozhodován´ı za neurˇcitosti: u : A → 2X (Pravdˇepodobnostn´ı rozloˇzen´ı ovˇsem nen´ı zn´ amé nebo je nezjistitelné). Postoj k riziku: risk-neutral, risk-averse, risk-seeking.

Oˇcekávaný uˇzitek.

Martin Hrub´ y


Rozhodován´ı za nejistoty: Pˇr´ıklad s investorem Investor pˇremýˇsl´ı, kam um´ıstit sv˚ uj kapit´ al. Tˇri alternativy: 1. Zakoupit cenné pap´ıry, které s absolutn´ı jistotou nesou 5.5% zisk. 2. Zakoupit akcie, které ponesou: ◮ ◮ ◮

3% s pravdˇepodobnost´ı 13 . 6% s pravdˇepodobnost´ı 13 . 9% s pravdˇepodobnost´ı 13 .

3. Zakoupit akcie, které ponesou: ◮ ◮

4% s pravdˇepodobnost´ı 12 . 8% s pravdˇepodobnost´ı 12 .

Z hlediska rozhodován´ı mus´ı poˇc´ıtat s urˇcitou nejistotou, kterou zde pojmenováváme loterie. Jeho tˇri alternativy jsou tˇri loterie. Loterie je volba jako ji zn´ ame z teorie volby. Definujeme relaci preference a dalˇs´ı pojmy. V´ıce v ”Axiomatické teorii uˇzitku”. Martin Hrub´ y


Oˇcekávaný uˇzitek (Expected Utility/Payoff): St. Petersbourg paradox St. Petersbourg paradox (D. Bernoulli, 1738): mˇejme hru, kde u ´ˇcastn´ık zaplat´ı vstupn´ı poplatek c a pak h´ aˇze minc´ı tak dlouho, dokud nepadne hlava. Protistrana souhlas´ı, ˇze mu zaplat´ı 1 dukát, pokud padne v prvn´ım hodu, 2 duk´ aty v druhém hodu, 4 v tˇret´ım hodu, atd. Oˇcekávaný zisk hráˇce tedy mus´ı být: ∞

X1 1 1 1 1 1 1 1 1 =∞ E = (−c)+ 1+ 2+ 4+ 8+...+ = + + + +... = 2 4 8 16 2 2 2 2 2 k=1

Problém je, ˇze s t´ımto vˇetˇsina re´ alných lid´ı nesouhlas´ı a za svou u ´ˇcast by nezaplatili v´ıce neˇz 20 duk´ at˚ u, resp. radostnˇe by prodali svou u ´ˇcast ve hˇre za 20 duk´ at˚ u. Martin Hrub´ y


Uˇzitek St. Petersbourg paradox vyvolal diskuzi, jaký je vlastnˇe uˇzitek z pˇrijet´ı nˇejakého (napˇr. finanˇcn´ıho) vstupu. Gabriel Cramer (v komunikaci s D. Bernoullim): lidé hodnot´ı ˇcástky podle uˇzitku, který jim pˇrinesou. Pˇredpoklad: jakákoliv ˇc´ astka pˇresahuj´ıc´ı 224 duk´ at˚ u ˇclovˇeku 24 pˇripadá stejná jako 2 duk´ at˚ u. Pak je oˇcekávaný uˇzitek hry: 1 1 1 1 1 1 1 + 2 + 4 + ... + 24 223 + 25 224 + 26 224 + ...+ = 2 4 8 2 2 2 1 1 1 1 1 + + ... + + + + ... = 12 + 1 = 13 2 2 2 4 8 Potom je realisticky oˇcek´ avaný uˇzitek ze hry 13 dukát˚ u. =

Martin Hrub´ y


Log utility Poˇcet jednotek uˇzitku u(x) z vlastnictv´ı ˇc´ astky x. Pˇri navýˇsen´ı majetku z x na x + dx je pˇr´ırustek uˇzitku du(x) pˇr´ımo u ´mˇerný pˇr´ırustku dx a nepˇr´ımo u ´mˇerný dosavadn´ımu majetku x (α je poˇcáteˇcn´ı majetek, b ∈ R+ je nˇejaký koeficient vn´ımán´ı pˇr´ırustku). du(x) =

b dx x

u(x) = b ln x + c; c ∈ R u(x) = b ln x − b ln α = b ln

x α

obecnˇe: uˇzitek je ln(po akci) − ln(pˇred akc´ı).

Martin Hrub´ y


Log utility ve St. Petersbourg paradoxu E =

∞ X 1 α + 2n−1 b ln = 2n α n=1 1

1

1

= b ln [(α + 1) 2 (α + 2) 4 (α + 4) 8 ...] − b ln α

ˇ astka D, jej´ıˇz pˇridán´ı k poˇc´ C´ ateˇcn´ımu majetku pˇrinese stejný uˇzitek: h i 1 1 1 α+D = b ln (α + 1) 2 (α + 2) 4 (α + 4) 8 ... − b ln α α z toho plyne, ˇze takové D je: i h 1 1 1 D = (α + 1) 2 (α + 2) 4 (α + 4) 8 ... − α √ √ √ Pro nulové α = 0 poˇcáteˇcn´ı jmˇen´ı je D = 2 1 · 4 2 · 8 4 · · · = 2. M´ıt nulový poˇcáteˇcn´ı majetek, tak nezaplat´ım za uˇcast ve hˇre v´ıc neˇz dva dukáty. b ln

Martin Hrub´ y


Pˇr´ıˇstˇe

◮

Definice strategických her, resp. her ve strategickém tvaru.

◮

Interakce dvou a v´ıce jedinc˚ u pˇri rozhodov´ an´ı.

◮

Zkoumán´ı jejich uˇzitku budeme prov´ adˇet kardinalisticky na základˇe uˇzitkových funkc´ı.

◮

Preference se pak budou budovat nad strategiemi v kontextu moˇzných tah˚ u protihr´ aˇc˚ u (budeme mluvit o dominantnosti strategi´ı).

◮

Zavedeme koncept ekvilibria ve hˇre.

Martin Hrub´ y


Funguje Teorie her?

Martin Hrub´ y


Game Theory. Martin Hrubý. September 22, Brno University of Technology Brno Czech Republic

Recommend Documents