Galton- deszka Számítógéppel segített matematikai modellezés Prezentációs projektmunka Kertész Balázs
2
galton2.nb
Történeti áttekint: Sir Francis Galton (1822 - 1911)
– Polihisztor – Társadalomfilozófia, eugenetika, pszichológia – Geográfia, meteorológia, matematikai statisztika ¬ statisztikus számítások 1860–tól
Legels: kísérleti feljegyzéseit eugenetikus vizsgálódása során készítette. Ezen munkái során figyelt fel a leszármazott – :s kapcsolatra (~ Charles Darwin – fél-unokatestvé re)
Þ Eredményein felbuzdulva természettudományi eseményeket figyelt meg.
Megjegyezném, hogy Galton nem matematikus volt. Élete nagy részét mindig is természeti jelenségek tanulmányozásába vetette, ám f: irányvonala a társadalomtudományokon belül az örökl:dés kutatására irányult.
galton2.nb
Galton-deszka leírása Az eredeti deszka
Felépítése egyszer> Párhuzamos sorokban szabályos háromszög alakzatban felvert szögek
Egy kísérlet leírása: – A kísérletek során a legfels: – középs: szögre egy golyó ejtése – Így az két irányba térhet ki: jobbra és balra – Rápattan a következ: sor valamely szögére, és ott is hasonlóan tesz, mint az el:z:n – Legvégül eléri az alsó sor alá elhelyezett tartálysort ÞA kísérlet eredménye, hogy melyik edénybe esett bele a golyó
A deszka elvi tökéletlensége: (Law of Error) – Lendület, így a továbbpattanási esély megváltozása – Esetleges nem jó szögre pattanás Þ Kivédésükre csatornákat helyezett el a szögsorok között
3
4
galton2.nb
Az eszköz rajza
galton2.nb
Az eszköz rajza
5
6
galton2.nb
A deszka m>ködési elve Egy mindenre kiterjed: pontos modellezéssel szemléltetem, hogy milyen esetekt:l tekintünk el a Galton-deszka vizsgálata során.
nailPositionsGalton@n_D := Flatten@Table@82 k - j, - Sqrt@3D j< 2, 8j, 0, n<, 8k, 0, j
Λ, 80, 0<, Σ Pi H2 Λ distL HX - pNearestL * Sin@Pi H2 ΛL distD Cos@Pi H2 ΛL distD ^ Hn - 1LDDD; softEdgeDisk@mp_, Ρ_, 8cmp_, cRim_<, pp_: 36D := GraphicsComplex@Append@Table@mp + Ρ 8Cos@jD, Sin@jD<, 8j, 0., 2. Pi, 2 Pi pp
galton2.nb
Szögek száma
Nehézségi gyorsulás Törési együttható
Szögekre vonatkozó paraméterek: A szög vastagsága Szög er:ssége Felület keménysége
Beesési körülmények: Helyzet Az eldobás er:ssége Az eldobás szöge
4
7
8
galton2.nb
A deszka m>ködési elve Ezekután feltesszük, hogy ideális esetben vizsgáljuk a kísérleteket, eltekintünk a súrlódástól, egyenetlenségt:l, lendülett:l és egyéb küls: befolyásoló tényez:t:l. Tehát rendelkezésünkre áll egy olyan tábla, amelynek n sora van (n Î N+ L, és minden i-edik sorban i szög van beleverve (1 £ i £ n). Minden egyes szögön a rá ejtett golyó két irányba pattanhat tovább pontosan 0.5 - 0.5 eséllyel. Továbbá tekintjük azt is, hogy az egyes sorokon bekövetkezett részesemények (merre ugrik tovább a golyó) függetlenek egymástól.
Kétsoros Galton-deszka
galton2.nb
9
A deszka m>ködési elve Ezekután tekintsük a Galton-deszka n-edik sorát, amely alatt n + 1 gy>jt:edény van. A tartályokat számozzuk 0-tó l n-ig haladva. Arra vagyunk kíváncsiak, hogy egy kísérlet során milyen kimenetelt kapunk, tehát meg szeretnénk állapítani mekkora eséllyel esik az k-adik tartályba a golyó. Jelöljük ezt Pn HkL-vel. Mivel egyes i-edik tartályba kerülés többféleképpen el:állhat, így a golyó azokat az utakat járhatja be, amelyeken pontosan k-szor pattant n
jobbra, és n - k-szor pattant balra. k-szor eltérés pedig
n k féleképpen választható ki az n-sor közül. Így Pn HkL= n . 2 k
Manipulate@With@8d = di<, Graphics@8 [email protected], 1<, 8.5, 0< 8Automatic, 8- d - 3 2, 5 2<<, ImageSize -> 8300, 260ség"<, 0, 1, Appearance -> "Labeled"<, 88di, 4, "szintek"<, 1, 10, 1, Appearance -> "Labeled"<, AppearanceElements ® "ResetButton"D
valószín>ség szintek
0.5 4
Megjegyzés: Ezen a példán a változó valószín>ségeket, hogy milyen eséllyel pattan tovább a golyó jobbra, illetve balra, azzal reprezentálom, hogy minden egyes i-edik sorhoz képest az i - 1-edik sorban lev: szögek hogyan helyezkednek el.
10
galton2.nb
Néhány számítás Számítsuk ki, hogy egy kísérlet során mekkora valószín>séggel esik az egyes tartályokba egy golyó rögzített szögsorszám mellett. (Azaz Pn HkL értékét.L
Manipulate@PDF@BinomialDistribution@n, pD, k D, 88n, 4, "szögsor"<, 1, 10, 1, Appearance ® "Labeled"<, 88k, 0, "tartály"<, 0, n, 1, Appearance ® "Labeled"<, 88p, 0.5, "-> %"<, 0, 1, Appearance ® "Labeled", ControlPlacement ® Bottom<, Alignment ® Center, AppearanceElements ® "ResetButton"D
szögsor
4
tartály
0
0.0625
-> %
0.5
galton2.nb
Néhány számítás Manipulate@ BarCharts`BarChart@Table@PDF@BinomialDistribution@n, .5D, kD, 8k, 0, 8
Szögsor
4
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
11
12
galton2.nb
A deszka modellezése Lássunk egy kísérletet: In[1]:=
vonal@m_D := Plot@x = - m - 1.2, 8x, - m 2 - .5, m 2 + .5<, ColorFunction ® Function@8x, y<, If@- m 2 <= x £ m 2 + 1, BlackDDD balpont@t_, m_, z_D := Graphics@[email protected], RGBColor@1, .21, 0D, Point@8H- Hm 2 - z - .5L - H- Floor@t, .5D + tLL, H- 4 * H- Hm 2 - z - .5L - H- Floor@t, .5D + tL + m 2 - z - .5L ^ 2 - m + .2L
In[4]:=
bal@t_, m_, z_D := Plot@- 4 * Hx + m 2 - z - .5L ^ 2 - m + .2, 8x, - Hm 2 - z - .5L, - Hm 2 - z - .5L - H- Floor@t, .5D + tL<, AspectRatio ® Automatic, Axes ® False, PlotStyle ® 8Red, Dashed<, Frame ® 8False<, RegionFunction ® Function@8x, y<, - Hm 2 - z - .5L - .5 <= x <= - Hm 2 - z - .5LD, PlotPoints ® 25D jobb@t_, m_, z_D := Plot@- 4 * Hx + m 2 - z - .5L ^ 2 - m + .2, 8x, - Hm 2 - z - .5L, - Hm 2 - z - .5L + H- Floor@t, .5D + tL<, AspectRatio ® Automatic, Axes ® False, PlotStyle ® 8Blue, Dashed<, Frame ® 8False<, RegionFunction ® Function@8x, y<, - Hm 2 - z - .5L + .5 >= x >= - Hm 2 - z - .5LD, PlotPoints ® 25D balramozgas@t_, m_, z_D := 8bal@t, m, zD, balpont@t, m, zD< jobbramozgas@t_, m_, z_D := 8jobb@t, m, zD, jobbpont@t, m, zD< esetbj@t_, m_, z_, x_, p_D := Piecewise@88balramozgas@t, m, zD, x < p<, 8jobbramozgas@t, m, zD, x ³ p<
galton2.nb
In[9]:=
Out[9]=
lista = RandomReal@1, 6D lista2 = RandomReal@1, 6D; sumlista@k_D := Sum@lista2@@iDD, 8i, 1, k 8- 0.4, - m - 1.27<, Frame -> True, ImageSize ® 8300, 300 "Labeled"<, 88m, 4, "Szint"<, 1, Length@listaD, 1, Appearance -> "Labeled"<, 88p, .5, "Valószín>ség"<, 0, 1, Appearance ® "Labeled"<, ControlPlacement ® 8Top, Top, Bottom<, AppearanceElements ® 8"ResetButton"
Id:
0.39201
Szint
1
-0.5
-1.0
-1.5
-2.0 Out[13]=
-2.5
-3.0
-3.5
-4.0 -2
Valószín>ség
In[14]:=
sumlista@4D
Out[14]=
1
-1
0
1
2
0.5
13
14
galton2.nb
Forrásanyag és jogi nyilatkozat A prezentáció anyagának széleskör: tanumányozásához az internetet hívtam segítségül. Többek között vizsgáltam a következ: oldalakat: - wikipedia több témábavágó oldala - Wolfram Research, Inc -hasznos forrásanyagot pedig a hik.hu címe nyújtott. Galton-deszká ját bemutató forráskódok érdekében úgyszintén a Wolfram Research oldalait böngésztem. Ezeket kissé megváltoztatva a célnak megfelel:en implementáltam a prezentáció anyagába. Mivel újrahasznált kódokat alkalmaztam (még ha tartalmilag változtak is), azokat publikációkban felhasználni nem szabad; továbbadni, értékesíteni, vagyoni haszonnal élni bel:le bármilyen úton is tilos. Továbbá ezen forráskódok a Wolfram Research tulajdona, melyet copyright véd.
galton2.nb
Köszönetnyilvánítás
Köszönöm megtisztel: figyelmeteket!
15
