Fyzikální systém a jeho modelování na příkladech z mechaniky Petr Heřman, Ústav biofyziky, UK 2.LF říjen 2005
1.Proč systém? 2.Proč modelování? 3.Proč mechanika?
1. Proč systém? a) Co je systém? systém = soustava Slovo soustava implikuje, že soustava sestává, že je sestavena z více částí. Příklady.....
Př. 1 – Neznámý objekt (UFO) pozorování (observace, neinvazivní přístup) zákonitosti chování odhady vstupů a výstupů > funkcionální model (blackbox) Demonstrace: Model rovnoměrně zrychleného, rovnoměrného a rovnoměrně zpomaleného pohybu.
Př. 2 – Budík experimentální přístup způsoby dělení (analýza. dekomposice) struktura systému hierarchie systému … > základní princip: harmonický oscilátor
Př. 3 – Živý organismus (člověk) experimentální přístup systém a jeho subsystémy: soustava oběhová soustava trávící soustava nervová soustava lymfatická … atd.
Cíl přednášky: Na několika známých příkladech (pohyb hmot.bodu, harmonický oscilátor, model krevního oběhu) ●
Látku velmi stručně zopakovat:
Fyzika:
Matematika:
●
Funkce jedné a více proměnných Základy infinitezimálního počtu
Nahlédnout v nových souvislostech:
●
Mechanika Kinematika Dynamika pohybu hmotného bodu Harmonický oscilátor Práce, energie, výkon Pole, potenciál, gradient Hydrodynamika
Diferenciální rovnice ve fyzice
Precizovat běžně užívané pojmy
Fyzikální systém Model
1. Kinematika (pohyb)
trajektorie
t8
Trajektorie s vyznačením časových okamžiků.
t7 t6
(model UFO)
t1
t0
t5
t2
t4 t3
50
s
40
s = s(t)
[ m]
ordináta (pořadnice)
30
20
10
0 0
1
2
3
4
abscisa
5
6
7
t [ s]
Funkční závislost dvou veličin
8
50
s
40
[m] 30
s(t) = v . t v = konst
20
10
0 0
1
2
3
4
5
6
7
t [s]
8
Jedna možnost: Linearizace průběhu > model rovnoměrného pohybu s jedním parametrem (průměrná rychlost v)
50
III.
40
s [m]
II.
30
20
I. 10
0 0
1
Druhá možnost:
2
3
4
5
6
7
t [s]
8
Analýza nerovnoměrného pohybu: tři fáze: I. zrychlený, II. rovnoměrný a III. zpomalený pohyb
P o h y b : II. rovnoměrný 20
20
15
15 10
III. rovnoměrně zpomalený 5 4 ---> s
25
---> s
---> s
I. rovnoměrně zrychlený
10 5
5 0 0
1
2
---> t
3
4
5
0 0
3 2 1
0.5
1 ---> t
1.5
2
00
0.2
Rozložení (analýza) složitého pohybu na elementární druhy pohybu.
0.4
---> t
0.6
0.8
1
P o h y b : I. rovnoměrně zrychlený
II. rovnoměrný
15
10
10
4
s=s t =v 0 ⋅t
5
5 0 0
dráha s ---> s
1 dráha s=s t = a 0 ⋅t 2 2
---> s
---> s
15
s1 5
20
25 20
III. rovnoměrně zpomalený
1
2
---> t
3
4
5
0 0
3 2 1
0.5
1 ---> t
1.5
2
dráha s
00
s=s t =s1 0.2
0.4
---> t
0.6
1 a 0 ⋅t 1−t 2 2 0.8
1
t1
Identifikace jednotlivých druhů elementárních pohybů: Doplnění známých vztahů určujících pohyb.
P o h y b : I. rovnoměrně zrychlený
II. rovnoměrný 20
25 20
s
15
dráha s=s t =
1 a 0 ⋅t 2 2
15
s
10
5
dráha s
4
10
s
s=s t =v 0 ⋅t
1
2
t
a 0 =
3
4
2 s
5
00
1
t
1.5
s v 0 = t
2
t
3
1 0.5
dráha s
2
5
5 0 0
III. rovnoměrně zpomalený
2
00
s=s t =s1 0.2
0.4
t
a 0 =−
1 2 a 0 ⋅t 1−t 2
0.6
0.8
2 s 2
t
Po dosazení naměřených hodnot: t=5[ s] , s=25[ m] −2
a 0 =2 [ m⋅s ]
t=2[ s] , s=20[ m] v 0 =10 [ m⋅s−1 ]
t=1[s] , s=5[ m] −2
a 0 =−10 [ m⋅s ]
Parametrická identifikace dílčích modelů.
1
P o h y b : I. rovnoměrně zrychlený
II. rovnoměrný 20
25 20
s
15
dráha s=s t =
1 a 0 ⋅t 2 2
15
s
10
5
dráha s
4
10
s
s=s t =v 0 ⋅t
1
2
t
3
4
5
00
časové okamžiky : t 0 =0 [s] parametry :
−2
3
1 0.5
1
t
1.5
t 2 =0 [ s]
a 0 =2 [ m⋅s ]
dráha s
2
5
5 0 0
III. rovnoměrně zpomalený
2
00
s=s t =s1 0.2
0.4
t 0 =0 [ s] −1
t
1 2 a 0 ⋅t 1−t 2
0.6
0.8
t 0 =0 [ s] −2
v 0 =10 [ m⋅s ] a 0 =−10 [ m⋅s ]
Parametrická identifikace dílčích modelů.
STOP
1
I. rovnoměrně zrychlený 1 2 dráha s=s t = a 0 ⋅t 2
15 10
2
---> t
3
4
---> v
rychlost v=vt =a 0 ⋅t
6
4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -12 0
3
4
1
2
---> t
3
4
00
2
8
6
rychlost v=v t =v 0=konst=v 0
0 0
5
4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -12 0
a=a t =a 0=konst=a 0 0
1.5
8
5
zrychlení
1 ---> t
10
2 ---> t
0.5
10
2 2
s=s t =s1
12
4
1
2
12
4
00
3
1
0 0
5
---> a
---> v
s=s t =v 0 ⋅t
---> s
1
12
---> a
10
dráha s
4
0.2
0.4
---> t
0.6
1 a 0 ⋅t 1−t 2 2 0.8
1
rychlost v=v t =v 0 a 0 ⋅t
6 4 2
0.5
1 ---> t
1.5
zrychlení a=a t =a 0=konst=a 0 =0 0.5
00
2
---> s
0 0
8
dráha s
5
5
10
5
15 ---> s
20 ---> s
20
---> s
25
III. rovnoměrně zpomalený
II. rovnoměrný
1 ---> t
1.5
2
4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -12
0
0.2
0.4
---> t
0.6
0.8
1
zrychlení a=a t =a 0=konst=a 0 0
0.2
0.4
Z vypočtených parametrů snadno určíme průběhy rychlostí a zrychlení.
---> t
0.6
0.8
1
50
s
[ m]
III
40
t2
II
30
t3
20
t1
I
10
0 0
1
2
3
4
5
6
t0
7
t [s]
8
Opětným spojením dostaneme model, charakterizovaný třemi časovými intervaly a odpovídajícími třemi parametry (indexy na sebe navazují):
časové okamžiky : parametry :
t 0 =0 [ s]
t 1 =5 [ s] −2
a 0 =2 [ m⋅s ]
t 2 =7 [ s] −1
v1 =10 [ m⋅s ] a 3 =−10 [ m⋅s−2 ]
t 3 =8 [ s] STOP
50
s=st
40 30 20 10 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
10 8 6
v=v t
4 2 0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
5
6
7
8
2 0 -2
a=at
-4 -6 -8 -10
0
1
2
3
4
Po syntéze jednotlivých částí parametrického modelu můžeme složit dohromady i namodelované průběhy rychlosti a zrychlení. Místa zlomu průběhu rychlosti a nespojitosti průběhu zrychlení jsou určena místy, která jsme původně se značnou mírou nejistoty odhadli z průběhu závislosti s = s(t) jako místa, kde křivka mění svůj charakter. Kdybychom měřili přímo rychlost nebo zrychlení, mohli bychom je určit přesněji. Otázka: ?? Jak ale spočítat v(t) a a(t) z s(t) ještě před spočítáním parametrů?
Odpověď: Ano, se znalostí základního principu infinitesimálního počtu a jeho fyzikální interpretace. Isaac Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz (baroko, 2. pol. XVII. stol.): Diferenciální a integrální počet se stává základním matematickým nástrojem celého nastupujícího období klasické fyziky.
život = změna změna = derivace => život = derivace fyzika = změna => fyzika = derivace biofyzika = druhá derivace
Derivace Velká část fyzikálních veličin je odvozena z jiných veličin jejich derivováním. (lat. derivatio = odvádění vody, odvodňování; přeneseně: odvozování – např. v gramatice).
např: dráha > rychlost > zrychlení energie > výkon el. náboj > el. proud el. indukční tok > indukované napětí
25
Př.:
1 2 dráha s=s t = a 0 ⋅t 2
20
---> s
15
Veličina: dráha
10
5
0
0
1
2
3
4
5
---> t
Její první derivace podle času = rychlost
12 10
rychlost v=v t =a 0 ⋅t
---> v
8 6 4 2 0
0
1
2
3 ---> t
4
5
?? Jak jsem na to přišel ??
25
Přijdu na to, když buď:
1 2 dráha s=s t = a 0 ⋅t 2
20
---> s
15
10
1) znám vzorečky pohybu
5
0
0
1
2
3
4
5
---> t
anebo
12 10
rychlost v=v t =a 0 ⋅t
---> v
8
2) umím derivovat
6 4 2 0
0
1
2
3 ---> t
4
5
25
2a) Umím derivovat:
1 2 dráha s=s t = a 0 ⋅t 2
20
---> s
15
ds t = s˙ =a 0 ⋅t dt
10
5
0
0
1
2
3
4
5
---> t
2b) Neumím, neznám analytický tvar funkce atd.
12 10
rychlost v=v t =a 0 ⋅t
---> v
8 6 4
?? Co teď ??
2 0
0
1
2
3 ---> t
4
5
25
Každopádně:
1 2 dráha s=s t = a 0 ⋅t 2
20
---> s
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
4
5
---> t
12 10
rychlost v=v t =a 0 ⋅t
8 ---> v
Pochopit: 1) geometrický 2) fyzikální význam derivace.
6 4 2 0
0
1
2
3 ---> t
...
25
Idea (první přiblížení):
dráha s=s t =v⋅t
20
---> s
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
---> t
12 10
rychlost v=v t =? ?
---> v
8
Nahradím dráhu nerovnoměrného pohybu drahou pohybu rovnoměrného. (Př.: dvě auta)
6 4 2 0
0
1
2
3 ---> t
4
5
?? Co se stane s průběhem rychlosti??
25
dráha s=s t =v⋅t
20
---> s
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
---> t
12 10
rychlost v=v t =? ?
---> v
8 6 4 2 0
0
1
2
3 ---> t
4
5
Co se stane s průběhem rychlosti? Zprůměruje se: Bude konstantní a rovná průměrné rychlosti.
25
20
---> s
15
10
1 2 dráha s=s t = a 0 ⋅t 2
Další aproximace:
t ∈{t 0, t 1, t 2, t 3, t 4, t 5 }
Nahradím dráhu nerovnoměrného pohybu lomenou čarou.
t
t
5
0
0
1
2
3
t 4
---> t
t 0 ≤t≤t 1
s t =v1 ⋅t
t 1 ≤t≤t 2
st =s1 v 2 ⋅t−t 1
t 2 ≤t≤t 3
st =s 2 v 3 ⋅t−t 2
t 3 ≤t≤t 4
st =s3 v 4 ⋅t−t 3
t 4 ≤t≤t 5
st =s 4 v 5 ⋅t−t 4
5
t=1 s ?? Jak bude vypadat průběh rychlosti ??
25
20
15 ---> s
t ∈{t 0, t 1, t 2, t 3, t 4, t 5 }
10
5
0
Spočteme: s5
1 2 dráha s=s t = a 0 ⋅t 2
0
1
s1
s2 2
s4
s3 3
4
5
---> t
si vi= t
12 10
rychlost v=v t =? ?
---> v
8
t=1 s
6 4 2 0
0
1
2
3 ---> t
s1 =1 m s 2 =3 m s 3 =5 m s 4 =7 m s 5 =9 m
4
5
−1
v 1 =1 ms v 2 =3 ms−1 −1 v 3 =5 ms −1 v 4 =7 ms −1 v 5 =9 ms
25
1 2 dráha s=s t = a 0 ⋅t 2
20
15
s5
---> s
t ∈{t 0, t 1, t 2, t 3, t 4, t 5 }
10
s4
s3
5
0
0
1
s1
s2 2
3
4
5
---> t
rychlost v=v t =? ?
---> v
8
t=1 s
6 4 2 0
0
1
2
3 ---> t
s1 =1 m s 2 =3 m s3 =5 m s 4 =7 m s 5 =9 m si vi= t
12 10
Spočteme:
4
5
−1
v 1 =1 ms v 2 =3 ms−1 −1 v 3 =5 ms −1 v 4 =7 ms −1 v 5 =9 ms
Rychlost v daném intervalu je vlastně sklonem úsečky, její směrnicí:
25
20
dráha s=s t
15 ---> s
s
10
t
5
0
0
1
2
3
4
5
---> t
12 10
rychlost v=v t
---> v
8 6 4 2 0
0
1
2
3 ---> t
4
5
s v= t
[ m] [ ms ]= [ s] −1
Na rozdíl od analytické geometrie tato směrnice má fyzikální rozměr, daný poměrem fyzikálních rozměrů obou veličin.
25
20
dráha s=s t
15 ---> s
s
10
t
5
0
0
1
2
3
4
5
3
4
5
---> t
12 10
rychlost v=v t
---> v
8 6 4 2 0
0
1
2 ---> t
Promítnemeli do grafu namísto lomené čáry původní křivku, vidíme, že ona směrnice v daném intervalu je její tětivou (sečnou) mezi body, ohraničujícími interval.
25
20
dráha s=s t
15 ---> s
s
10
t
5
0
0
1
2
3
4
5
3
4
5
---> t
12 10
rychlost v=v t
---> v
8 6 4 2 0
0
1
2 ---> t
?? Lze si představit stále jemnější aproximaci, kdy budeme zmenšovat t na nekonečně malou míru, až skoro k nule??
25
20
dráha s=s t
15 ---> s
s
10
t
5
0
0
1
2
3
4
5
---> t
12 10
rychlost v=v t
---> v
8 6 4 2 0
0
1
2
3 ---> t
4
5
Zároveň s t s se zmenší i , ale jejich poměr s v= t se už mnoho měnit nebude. Sečna přejde v téměř rovnoběžnou tečnu, jejíž směrnice určí okamžitou rychlost v tečném bodě.
Okamžitou rychlost teď můžeme spočítat pro libovolný časový okamžik t.
25
20
dráha s=s t
---> s
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
3
4
5
---> t
12 10
rychlost v=v t
---> v
8 6 4 2 0
0
1
2 ---> t
Tak jako tečna může plynule klouzat po hladké křivce, i schodovitá křivka průběhu rychlosti se vyhladí. Namísto průměrných rychlostí dostáváme okamžité.
s ds v= Namísto poměru nyní píšeme v= dt t ds , dt Nekonečně malé veličiny ... diferenciály. Derivace je poměrem dvou diferenciálů. Derivaci v matematice ds s ' t = označujeme čárkou: dt
Precizněji definujeme derivaci jako limitu:
s ds s ' t = lim = dt t 0 t
Ve fyzice pro vyjádření derivace podle času můžeme psát tečku:
ds s˙ = dt
Derivace vyšších řádů Proces derivování můžeme několikrát opakovat. Tak jako je rychlost derivací dráhy v= s˙ =ds / dt tak je zrychlení derivací rychlosti: a= v˙ =dv / dt Zrychlení je tedy derivací derivace: a=d ds t / dt / dt
neboli druhou derivací dráhy: 2
d s t a= a= ¨ dt 2
Derivace vektorových veličin Dosud jsme uvažovali jednorozměrný pohyb. UFO ale létá v prostoru. Proto:
dr
/ dt v t =r˙ t = dr / dt a t =v˙ t = dv
r t 0 dt
r t 0
2 2 ¨ a t =s t = d r / dt
r
je polohový vektor.
Shrnutí (na našem modelu UFO):
50
s=s t
40 30
Měříme dráhu s=st
20 10 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
10 8 6
vt = s˙ t
4 2 0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
6
7
8
2 0 -2
at = s¨ t
-4 -6 -8 -10
0
Počítáme rychlost jako její první derivaci a zrychlení jako druhou derivaci. Určíme parametry: −2 0 t5 : a1 =2 ms −2 5 t7 : a 2 =0 ms −1 v 2 =10 ms −2
1
2
3
4
5
7 t8: a1 =−10 ms
Integrál Integrování je opačným postupem k derivování.
v= s˙
Jeli rychlost derivací dráhy, pak dráha je integrálem rychlosti:
a= v˙
s=∫ v dt
Jeli zrychlení derivací rychlosti, pak rychlost je integrálem zrychlení. v=
∫ a dt
A jako je zrychlení druhou derivací dráhy, tak i dráha je dvojným integrálem zrychlení:
a= s¨
s=∬ a dt
2
Problém nalezení primitivní funkce: Známli průběh , v=v t jak najdu s=s t aby platilo ?? v t =ds t / dt 1) počítat analyticky 2) počítat numericky 3) graficky
s t =∫ v t dt
25
Vratíme se k jednomu z předchozích obrázků.
dráha s=s t =v⋅t
20
---> s
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
---> t
12 10
rychlost v=v t =konst.
---> v
8
Dosud jsme odvozovali (derivovali) rychlost z dráhy.
6 4 2 0
0
1
2
3 ---> t
4
5
?? Jde to i naopak? Z dráhy rychlost ??
12 10
rychlost v=v t =konst.
8 ---> v
Nejdříve si prohodíme grafy ...
6 4 2 0
0
1
2
3
4
5
---> t
a z druhého hned vidíme: st =v⋅t
25
?? Co ten součin znamená graficky??
dráha s=s t =v⋅t
20
---> s
15
10
5
0
0
1
2
3 ---> t
4
5
?? Lze jej vyčíst i z horního grafu ??
A hned vidíme, že součin v⋅t znamená plochu obdélníka o hranách v a t, tj.:
12 10
rychlost v=v t =konst.
---> v
8 6 4
v⋅t
2 0
0
1
2
3
4
5
---> t
−1
5 s⋅5 ms =25 m m („Plocha“ nikoli !! ale součin jednotek.) 2
25
dráha s=s t =v⋅t
20
---> s
15
10
5
0
0
1
2
3 ---> t
4
5
Což přesně odpovídá konečnému bodu dráhy na grafu dráhy.
12 10
rychlost v=v t =konst.
8 ---> v
A platí to nejenom pro koncový bod, ale i pro kterýkoli jiný.
6 4
v⋅t
2 0
0
1
2
3
4
5
---> t
Např pro t=3 s dostáváme:
25
dráha s=s t =v⋅t
20
---> s
15
−1
5 ms ⋅3 s=15 m
10
5
0
0
1
2
3 ---> t
4
5
⋅t
12 10
rychlost v=v t =konst.
8 ---> v
Důležité:
6 4
v⋅t
2 0
0
1
2
3
4
5
4
5
---> t
25
dráha s=s t =v⋅t
20
---> s
15
10
5
0
0
1
2
3 ---> t
Pokaždé se jedná o plochu pod křivkou, tj. mezi křivkou a abscisou (zde osou t), ohraničenou zleva i zprava hranicí daného intervalu.
12 10
rychlost v=v t =a⋅t
---> v
8 6
1 v⋅t 2
4 2 0
0
1
2
3
4
5
---> t
25
1 2 dráha s=s t = a⋅t 2
20
---> s
15
Což odpovídá zrychlenému pohybu
10
5
0
0
1
2
3 ---> t
To platí pro libovolný průběh: Zde má plocha tvar trojúhelníku s plochou 1 −1 ⋅10 ms ⋅5 s=25 m 2
4
5
1 −2 2 ⋅2 ms ⋅5 s =25 m 2
12 10
rychlost v=v t =a⋅t
---> v
8
Pro máme: t=3 s
6
2 0
1 −1 ⋅6 ms ⋅3 s=9 m 2
1 v⋅t 2
4
0
1
2
3
4
5
---> t
25
Což opět odpovídá bodu na grafu dráhy:
1 2 dráha s=s t = a⋅t 2
20
---> s
15
10
5
0
0
1
2
3 ---> t
4
5
1 −2 2 ⋅2 ms ⋅3 s =9 m 2
Čili:
12 10
rychlost v=v t =a⋅t
---> v
8 6
1 v⋅t 2
4 2 0
0
1
2
3
4
5
---> t
25
Neboli:
1 2 dráha s=s t = a⋅t 2
20
---> s
15
dráha je s t časovým integrálem rychlosti v t
10
5
0
0
1
2
3 ---> t
Graf dráhy s t ukazuje velikost plochy pod křivkou rychlosti v t
4
5
Zapisujeme jako určitý integrál:
12 10
rychlost v=v t =a⋅t
---> v
8
=t
6
1 8 ⋅4 v⋅t= =16 m 2 2
4 2 0
0
1
2
3
4
5
---> t
st = ∫ v d =0
=t
st = ∫ a⋅ d =0
25
[
1 2 dráha s=s t = a⋅t 2
20
---> s
15
1 2 st = a⋅ 2
10
5
0
0
1
2
3 ---> t
4
5
[
]
4
]
t
0
1 2 s4= a⋅ =16 m 2 0
50
s t =∫ v t dt
40 30 20 10 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
7
8
10 8 6
v=v t
4 2 0
0
1
2
3
4
5
6
2 0 -2
at = v˙ t
-4 -6 -8 -10
0
Shrnutí: na našem UFO modelu nyní: Měříme rychlost v=v t Počítáme dráhu st jako její integrál a zrychlení at jako její derivaci. Parametry stejně: −2 0 t5: a1 =2 ms −2 5 t7 : a2 =0 ms −1 v 2 =10 ms −2
1
2
3
4
5
6
7
8
7 t8 : a1 =−10 ms
Dynamika „2. Newtonův zákon“ [1687] = „zákon síly“:
t =m⋅a t =m⋅r¨ t =m⋅v˙ t F Hybnost:
p t =m⋅v t
t = p˙ t F
, tudíž: −1
[ N ]=[kg⋅ms / s]
Ke kinematickým veličinám, rychlosti a zrychlení, jsme přibrali hmotnost, a dostali jsme dvě nové, dynamické veličiny: hybnost a sílu, svázané opět derivací.
Připomeneme si kinematiku našeho UFO.
50
s=st
40 30 20 10 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
10 8 6
... miniaturizují se, celý talíř má jen 1kg.
v=v t
4 2 0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2 0 -2
a=at
-4 -6 -8 -10
0
1
2
3
4
5
6
?? Jaká bude jeho dynamika ??
7
8
??Jak bude vypadat průběh hybnosti a tažné síly UFOních motorů??
50
...
s=st
40 30 20 10 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
10 8 6
p= pt
4 2 0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
pt =m⋅vt −1 −1 [ kg⋅ms ]=[ kg]⋅[ ms ] −1 1 kg⋅ms =1 Ns=1 L 1 L=1 Leibniz G.W.Leibniz [1646 1716]
2 0 -2
F t =m⋅at
F=F t
-4 -6
−2
-8 -10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
[ N ]=[ kg]⋅[ ms ]
Fázový prostor stavový prostor klasické (ale i kvantové) fyziky Souřadnice: ● polohový vektor ● vektor hybnosti
UFO – pohyb v čase: 50
s=st
40 30 20 10
10
0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
p [ kg⋅ms−1 ] 8
4s
10 6
8 6
p= pt
4
3s
4
2s
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
p= ps
1s
2
2 0
6s 7s
5s
0
0s
10
20
30
s [ m]
40
8s 50
Věta impulsová (účinková): t =konst F I = F ⋅t pak je impuls síly: Jinak ale: I =∫ F t ⋅dt Když je síla
dt , tudíž: = p˙ = dp/ F dp p I =∫ ⋅dt=∫ dp= dt
Už víme, že:
(Impuls síly působí změnu hybnosti. Je to integrální tvar 2. Newtonova zákona.)
Práce a kinetická energie Když je síla
s=konst , pak koná práci: F
⋅s W =F
(skalární součin)
Jinak ale:
⋅ds W =∫ F
dv =m⋅a =m⋅ Víme, že urychlující síla: F dt dv ds Pak: W =∫ m⋅ ⋅ds=m ∫ ⋅dv=m ∫ v⋅dv dt dt s
2
2
m⋅v p W= = =W k ≥0 2 2m
Kinetická energie
Kinetická energie v prostoru Vektor rychlosti má v kartézském prostoru složky:
v =v x , v y , v z Jeho druhá mocnina je jeho skalárním součinem s ním samým. Podle Pythagorovy věty:
v =v⋅v =v =v x , v y , v z =v v v 2
2
2
2 x
2 y
2 z
Proto celkovou kinetickou energii můžeme chápat jako součet kinetických energií souřadných složek:
W k =W kx W ky W kz
UFO:
50
[ m]
s=st
40 30
dráha
20 10 0 0
1
2
3
4
5
6
7
[ s]
8
10
[8 ms−1 ] 6
rychlost
v=v t
4 2 0
0
1
2
3
4
5
6
7
[ s]
8
50
[J ]
kinetická energie
40
30
2
mv t W k t = 2
W k t
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
[ s]
8
Síla, rychlost a výkon Čím je urychlované těleso rychlejší, tím delší dráha, po které musí urychlující síla působit za jednotku času, a tím také roste potřebný výkon:
t ⋅v t P t = F
−1
[W ]=[ N ]⋅[ ms ]
t , v t vzájemně kolmé ?? F ?? Co když jsou vektory (Nápověda: skalární součin ...)
[N]
UFO:
2 0
-2
F=F t
-4 -6
dráha
-8 -10
0
1
2
3
4
5
6
7
[s]
8
10
[8 ms−1 ] 6
rychlost
v=v t
4 2 0
0
1
2
3
4
5
6
7
[ s]
8
20
[W ]
výkon
0
-20
t ⋅v t P t = F
P=P t
-40 -60 -80 -100 0
1
2
3
4
5
6
7
[ s] 8
Práce a výkon Urychlující síla vykonává práci v průběhu času. Čím více práce vykoná a v čím kratším čase, tím je vyšší výkon. Výkon je tedy derivací energie podle času:
dW ˙ P t = =W dt
[J ] [W ]= [s]
Tento vztah mezi energií a výkonem se neomezuje jen na mechaniku, ale má obecnou platnost.
UFO 1kg: 50
[J] 40
kinetická energie
30
W k t
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
[ s]
8
20
[W ]
výkon:
0
-20
dW ˙ P t = =W dt
P=P t
-40 -60 -80 -100 0
1
2
3
4
5
6
7
[ s] 8
Výkon a práce A zřejmě naopak platí, že výkon, byť kolísavý, vykonávaný po nějakou dobu, odvádí práci. Práce je tedy časovým integrálem výkonu:
W =∫ P t dt
[ J ]=[W ]⋅[ s]
1 joule = 1 wattsekunda
20
[W ]
UFO 1 kg:
W
0
W
-20
P=P t
-40
výkon P=P t
-60 -80 -100 0
1
2
3
4
5
6
7
[ s]
8
∫ P t dt=W
50
[J] 40
... energie
30
W t
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
[ s]
8
Potenciální energie, potenciál g [ N ] V tíhovém poli Země je tíha G=m⋅ Pak práce zdvihající břemeno W = pot. energie U: ds=−m W =−∫ G⋅ ∫ g⋅ds=m⋅g ∫ dh=m⋅g⋅ h=U [ J ] m⋅g Intenzita (gravitačního) pole = G −1 E= = =g [ N⋅kg ] síla na jednotkovou hmotnost: m m Potenciál (grav.) pole = pot. energie / jednot. hmotnost: U −1 (skalár!) V = =−∫ g⋅ds=g⋅ h[ J⋅kg ] m Často klademe: U ∞ =0, V ∞ =0 Pak: U≤0, V ≤0
Gradient Viděli jsme, že potenciál je integrální veličina:
⋅ds V =−∫ E s
?? Lze naopak spočítat intenzitu pole z potenciálu? Jak?? Asi nějakou derivací, protože víme, že derivování je opačnou operací k integrování. Ale jak spočítat vektorovou veličinu ze skaláru ??
Na rozdíl od časových derivací a integrálů tady jde o integrování a derivování v prostoru.
∂ V ∂ V ∂ V = E x , E y , E z =− E ,− ,− ∂x ∂y ∂z ∂V ∂V ∂V ... parciální derivace , , ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ ∂ , , diferenciální operátor grad=∇ = ∂x ∂y ∂z
=−grad V E
Gradient „graduje“, míří „nahoru“, směrem k vyššímu potenciálu. Intenzita táhne, kam to „padá“, směr k nižšímu potenciálu, tj. proti gradientu, po jeho spádu.
Harmonický oscilátor jako příklad fyzikálního systému a jeho modelu
pružina
závaží
Identifikace částí
pružina
závaží
Dekomposice (analýza)
pružina materiál, tvar, rozměry, technologie výroby, stáří, ...
závaží dtto
Vlastnosti částí systému
pružina závislost síly na prodloužení pružiny:
F k =F x
závaží závislost síly na zrychlení závaží:
F m=F a
Charakterisace částí (výběr charakteristických vlastností)
Fk
pružina
F k =F x
x x a
Fk Fm
Fm
závaží
F m =F a
a
Charakteristiky ve trvaru grafů
Fk
pružina
F k =F x
x x a
Fk Fm
Fm
závaží
F m =F a
a
Linearisace
Fk
pružina směrnice přímky:
Fk k= x
x x a
Fk Fm
Fm
závaží směrnice přímky:
Fm m= a
a
Parametrisace – identifikace parametrů
Fk
pružina
F k =F x=k⋅x
x x a
Fk Fm
Fm
závaží
F m =F a=m⋅a
a
Parametrické vyjádření závislostí
I když každý fyzikální objekt můžeme charakterisovat řadou parametrů jako je hmotnost, pružnost, objem atd., u modelu se soustředěnými parametry jsou tyto vlastnosti soustředěny do jednotlivých diskrétních součástek.
k
m
(V našem příkladu u pružiny uvažujeme jen pružnost a zanedbáváme hmotnost, u závaží zase uvažujeme jen hmotnost a zanedbáváme pružnost.)
Model se soustředěnými parametry
Dvě rovnice popisují dvě součásti. Třetí jejich vzájemné spojení:
Fm Fk
F k =k⋅x F m =m⋅a
}
F k F m=0
m⋅ak⋅x=0 Jejich sloučením dostáváme rovnici popisující chování systému.
Syntéza modelu
V rovnici
m⋅ak⋅x=0
to vypadá, že máme dva konstantní parametry m a k a dvě proměnné a a x. Ve skutečnosti je zrychlení a druhou derivací polohy x podle času t: 2
d x a= 2 = x¨ dt Použitím tohoto vztahu dostáváme:
m⋅x¨ k⋅x=0 a po úpravě konečně hledanou rovnici harmonického oscilátoru:
k x¨ ⋅x=0 m Obyčejná diferenciální rovnice 2. řádu
k x¨ ⋅x=0 m
k
Označíme si poměr
m
x
která má obecné řešení:
k 2 = m
a dostáváme rovnici:
k = m
čiliže
x¨ ⋅x=0 2
x t = Asin t
představující harmonické kmity o amplitudě A s úhlovou frekvencí a fázovým posunem .
Řešení diferenciální rovnice
Kinematika harmonického oscilátoru 2
výchylka:
1
x t =x max⋅sin t
0 -1 -2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2
rychlost:
1
v t =v max⋅cos t
0 -1 -2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2
zrychlení:
1
at =−a max⋅sin t
0 -1 -2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Dynamika harmonického oscilátoru 2
síla pružiny:
1
F k t ~x t
0 -1 -2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2
hybnost závaží:
1
pt ~v t
0 -1 -2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2
setrvačná síla závaží:
1
F m t ~at
0 -1 -2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Fázový prostor harmonického oscilátoru 2
0s 1s
7s
1
pt
2s
6s
0
3s
5s
-1
4s -2 -2
-1
0
1
x t
2
Energie harmonického oscilátoru 2
potenciální energie:
1
U t ~x t 2
0 -1 -2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2
kinetická energie:
1
W k t ~v t 2
0 -1 -2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2
celková energie:
1
U W k t =konst
0 -1 -2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Mechanika pevných těles
140
Kost (kompaktní oblast femuru)
120
[MPa]
2029 let
100
5059 let
80
60
40
20
0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
[%]
1.6
1400
Sval (svalové vlákno levé srdeční komory)
1200
[MPa] 1000
napětí v tahu 800
600
400
200
0 0
10
20
30
40
50
60
[%]
70
1.8
Aorta
1.6
obvodová vlákna 1.4
[MPa] 1.2
1
0.8
0.6
radiální vlákna 0.4
0.2
0 0
5
10
15
20
[%]
25
1.2
Nervové vlákno (nervus femoralis)
1
[MPa] 0.8
0.6
0.4
0.2
0 0
2
4
6
8
10
12
14
16
[%]
18
1400
Všechny tkáně
1200
[MPa] 1000
800
600
400
200
0 0
10
20
30
40
50
60
[%]
70
140
Všechny tkáně (kromě srdeční)
120
[MPa] 100
80
60
40
20
0 0
5
10
15
20
[%]
25
