Fungsi Analitik (Bagian Pertama)

Fungsi Variabel Kompleks

Pemetaan/Transformasi/Mappings

Fungsi Analitik (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:[email protected], [email protected]

(Pertemuan Minggu IV)

Limit Fungsi



Outline

1


2


3

Limit Fungsi

Limit Fungsi



Limit Fungsi

Fungsi Variabel Kompleks Di dalam kuliah kalkulus telah disampaikan pengertian fungsi. Misalkan A, dan B himpunan tak kosong. Relasi f dari A ke B disebut fungsi jika untuk setiap x ∈ A terdapat dengan tunggal y ∈ B sehingga y = f (x). Diberikan himpunan A ⊂ C. Fungsi f yang didefinisikan pada A adalah suatu aturan yang memasangkan setiap z ∈ A dengan w ∈ C. Dalam hal ini, bilangan kompleks w disebut nilai fungsi f di titik z, dan ditulis f (z). Jadi, w = f (z) Fungsi f dari A ⊂ C ke C dinotasikan f :A→C



Limit Fungsi

Fungsi Variabel Kompleks Diberikan fungsi kompleks f : A ⊂ C → C Himpunan A disebut domain definisi (daerah definisi). Di dalam fungsi variabel kompleks, perlu dibedakan antara pengertian domain dan domain definisi. Domain definisi suatu fungsi belum tentu merupakan domain. Apabila domain definisi suatu fungsi f tidak disebutkan secara eksplisit, maka disepakati bahwa sebagai domain definisi adalah himpunan terbesar di dalam C sehingga fungsi f terdefinisikan pada himpunan tersebut. Sebagai contoh, apabila f (z) = f adalah {z ∈ C : z 6= 1}.

1 z−1 ,

maka domain definisi

Selanjutnya, domain definisi fungsi f dinotasikan dengan Df .



Limit Fungsi

Fungsi Variabel Kompleks Diberikan fungsi f dan z ∈ Df dengan z = x + iy . Misalkan nilai f di z adalah w, yaitu f (z) = w Apabila w = u + iv , maka dapat dituliskan f (x + iy ) = u + iv Dari persamaan di atas dapat dipahami bahwa u dan v masing-masing ditentukan oleh pasangan variabel real (x, y ). Atau dengan kata lain u = u(x, y )

dan

v = v (x, y )

Jadi, f (z) = u(x, y ) + iv (x, y )

(1)



Limit Fungsi

Fungsi Variabel Kompleks Dari persamaan (1) dapat dilihat adanya keterkaitan antara fungsi variabel kompleks dan fungsi 2 variabel real (x, y ). Secara sama, tentunya f (z) dapat pula dikaitkan dengan fungsi 2 perubah real (r , θ), yaitu f (z) = f (r (cos θ + i sin θ)) = u(r , θ) + iv (r , θ) Example Jika f (z) = z + z + i|z|, maka p f (z) = 2x + i u(x, y ) = 2x dan v (x, y ) = x 2 + y 2

p x 2 + y 2 . Jadi,

Example Tentukan u(r , θ) dan v (r , θ) jika diketahui f (z) =

z 2 −1 z .

(2)



Limit Fungsi


Berbeda halnya dengan fungsi variabel real yang bernilai tunggal, maka fungsi variabel kompleks dapat bernilai tidak tunggal. Tentunya hal ini mudah dipahami, mengingat 1 f (z) = z 4 bernilai empat untuk setiap 0 6= z ∈ C. Jika n ∈ N dan c0 , c1 , c2 , . . . , cn masing-masing konstanta kompleks dengan c0 6= 0, maka Pn (z) = c0 z n + c1 z n−1 + . . . + cn−1 z + cn disebut fungsi suku banyak (polinomial) berderajat n. Hasil bagi dua fungsi suku banyak disebut fungsi pecah rasional.



Limit Fungsi

Pemetaan/Transformasi/Mappings Seringkali fungsi variabel real dan bernilai real disajikan dengan suatu grafik pada suatu bidang datar. Hal ini tidak dapat dilakukan untuk fungsi variabel kompleks dengan rumus w = f (z), mengingat w dan z keduanya berada di dalam bidang datar (bukan garis). Pada dasarnya, fungsi f dengan rumus w = f (z) dapat digambarkan dengan cara memasangkan setiap z = (x, y ) di dalam domain definisinya dengan suatu titik f (z) = (u, v ). Untuk lebih mempermudah penyajian, pada umumnya diperlukan 2 bidang kompleks, yang pertama disebut bidang-z dan yang kedua dinamakan bidang-w, meskipun untuk fungsi-fungsi yang cukup sederhana dapat digunakan satu bidang kompleks saja.



Beberapa Contoh

Example Diketahui f (z) = z + z¯ + iz z¯ . Gambarkan f (L) jika (a) L = {z : |z| = 1}. (b) L = {z : |z| = 2}. Example Gambarkan bayangan bidang kompleks Z oleh pemataan f (z) = |z|2 + i(z + z).

Limit Fungsi



Limit Fungsi

Diberikan fungsi f dengan domain definisi Df dan z0 titik limit Df . Fungsi f dikatakan mempunyai limit L untuk z mendekati z0 , ditulis lim f (z) = L

z→z0

jika untuk setiap z yang cukup dekat dengan z0 tetapi z 6= z0 berakibat f (z) cukup dekat dengan L. Dalam bahasa matematika, limz→z0 f (z) = L jika untuk setiap bilangan real > 0 terdapat bilangan δ > 0 sehingga untuk setiap z ∈ Df dengan 0 < |z − z0 | < δ berakibat |f (z) − L| <

Limit Fungsi



Limit Fungsi

Limit Fungsi Apabila z0 = x0 + iy0 , maka dengan mengingat pengertian nilai mutlak, definisi di atas dapat pula dinyatakan sebagai berikut: limz→z0 f (z) = L jika untuk setiap bilangan real > 0 terdapat bilangan δ > 0psehingga untuk setiap z = x + iy ∈ Df dengan 0 < (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ berakibat |f (z) − L| < Sifat-sifat limit diberikan dalam beberapa teorema berikut. Theorem Jika limz→z0 f (z) ada, maka nilainya tunggal. Sebagai akibat langsung Teorema di atas, jika nilai limz→z0 f (z) tidak tunggal, maka limz→z0 f (z) tidak ada.



Limit Fungsi

Limit Fungsi Seperti telah diterangkan dalam kuliah Kalkulus, dalam hitung limit fungsi real hanya ada satu limit kiri dan satu limit kanan. Hal ini mudah dimengerti, karena persekitaran titik x0 hanyalah berupa suatu penggal garis (selang). Akibatnya, apabila limx→x0 f (x) tidak ada (dan bukan limit semu), maka untuk menunjukkannya cukup mudah dan sederhana, yaitu dengan cara menunjukkan limit kiri tidak sama dengan limit kanan, yang artinya nilai limx→x0 f (x) tidak tunggal. Sementara, di dalam bidang kompleks persekitaran suatu titik z0 tidak lagi berupa penggal garis, tetapi berupa suatu lingkaran. Akibatnya, konsep limit kiri dan limit kanan menjadi tidak sesederhana konsep tersebut di dalam kalkulus fungsi real.



Limit Fungsi

Limit Fungsi Berangkat dari konsep limit satu arah, kontraposisi Teorema ketunggalan limit dapat diklarifikasi dengan menggunakan pengertian limit fungsi sepanjang suatu kurva. Diberikan fungsi f dengan domain definisi Df , z0 titik limit Df , dan kurva K yang melalui z0 . Limit f (z) untuk z mendekati z0 di sepanjang kurva K dikatakan sama dengan L, ditulis lim

z→z0 , z∈K

f (z) = L

jika untuk setiap bilangan real > 0 terdapat bilangan δ > 0 sehingga untuk setiap z ∈ K dengan 0 < |z − z0 | < δ berakibat |f (z) − L| <



Limit Fungsi

Limit Fungsi

Selanjutnya, dengan memperhatikan definisi tersebut dan Teorema sebelumnya diperoleh pernyataan sebagai berikut. Theorem Jika limz→z0 f (z) ada, maka untuk setiap pasang kurva K1 , K2 ⊂ Df yang melalui z0 , limz→z0 , z∈K1 f (z) dan limz→z0 , z∈K2 f (z) keduanya ada dan lim

z→z0 , z∈K1

f (z) =

lim

z→z0 , z∈K2

f (z)



Limit Fungsi

Sebagai akibat langsung, diperoleh: Corollary Jika ada kurva K1 , K2 ⊂ Df yang melalui z0 sehingga lim

z→z0 , z∈K1

f (z) 6=

maka limz→z0 f (z) tidak ada.

lim

z→z0 , z∈K2

f (z)

Limit Fungsi



Contoh

Example 2

−1)(x+1) + i (y Jika f (z) = x 22xy , maka tunjukkan bahwa +2y 2 (x 2 −2)(y +2 limz→0 f (z) tidak ada.

Bukti: Jika K1 dan K2 masing-masing adalah kurva dengan persamaan y = 0 dan y = x, maka berturut-turut diperoleh: i. limz→0, z∈K1 f (z) = limx→0

−(x+1) 2(x−2) 2

= 41 . 2

−1)(x+1) ii. limz→0, z∈K2 f (z) = limx→0 ( x 22x ) + ( (x(x−2)(x+2) = 14 ) = +2x 2 2 3

+ i 41 .

Selanjutnya, dari (i) dan (ii), terbukti bahwa limz→0 f (z) tidak ada.

Limit Fungsi



Limit Fungsi

Limit Fungsi Teorema berikut ini menerangkan hubungan antara limit fungsi kompleks dengan limit fungsi real dua perubah. Theorem Jika diketahui f (z) = u(x, y ) + iv (x, y ), z0 = x0 + iy0 , dan L = A + iB, maka lim f (z) = L

(3)

z→z0

jika dan hanya jika lim

(x,y )→(x0 ,y0 )

.

u(x, y ) = A dan

lim

(x,y )→(x0 ,y0 )

v (x, y ) = B

(4)



Limit Fungsi

Contoh Example Tentukan limz→1+i (z 2 + z1 ). Penyelesaian: Terlebih dahulu dituliskan z2 +

y 1 x ) + i(2xy − 2 ) = (x 2 − y 2 + 2 2 z x +y x + y2

Selanjutnya, karena x ) = x2 + y2 y lim (2xy − 2 ) = x + y2 (x,y )→(1,1)

lim

(x,y )→(1,1)

(x 2 − y 2 +

maka lim (z 2 +

z→1+i

1 , dan 2 3 2

1 1 3 ) = + i( ). z 2 2



Limit Fungsi

Limit Fungsi, Sifat-sifat lebih lanjut Lemma Jika limz→z0 f (z) ada, maka terdapat r > 0 sehingga f (z) terbatas pada N(z0 , r ) ∩ Df − {z0 }. Theorem Jika limz→z0 f (z) dan limz→z0 g(z) keduanya ada dan c ∈ C, maka i. limz→z0 {f (z) + g(z)} ada, dan lim {f (z) + g(z)} = lim f (z) + lim g(z)

z→z0

z→z0

z→z0

ii. limz→z0 cf (z) ada, dan lim cf (z) = c lim f (z)

z→z0

z→z0



Limit Fungsi, Sifat-sifat lebih lanjut iii. limz→z0 f (z)g(z) ada, dan lim f (z)g(z) = lim f (z) lim g(z)

z→z0

iv. limz→z0

f (z) g(z)

lim

z→z0

z→z0

z→z0

ada, dan limz→z0 f (z) f (z) , asal lim g(z) 6= 0 = z→z0 g(z) limz→z0 g(z)

Theorem Jika Pn (z) = c0 z n + c1 z n−1 + c2 z n−2 + . . . + cn , maka lim Pn (z) = Pn (z0 )

z→z0

Limit Fungsi

Fungsi Analitik (Bagian Pertama)

Recommend Documents