Fraktály. krásné obrázky v matematice

Fraktály aneb aneb

krásné obrázky v matematice

Mgr. Mgr. Jan Jan Šustek Šustek

22. 22. 10. 10. 2009 2009

Fraktály aneb krásné obrázky v matematice

Grafy funkcí

Grafy funkcí Mějme funkce f, g : [−6, 6] → R definované vztahy f (x) =

2 x2 + |x| − 6 √ + 36 − x2 3 x2 + |x| + 2

a

g(x) =

2 x2 + |x| − 6 √ − 36 − x2 . 3 x2 + |x| + 2

Jak vypadají jejich grafy? x −6,0 −5,0 −4,0 −3,0 −2,0 −1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 f (x) 0,36 3,61 4,65 5,20 5,32 4,92 4,00 4,92 5,32 5,20 4,65 3,61 g(x) 0,36 −3,02 −4,29 −5,20 −5,99 −6,92 −8,00 −6,92 −5,99 −5,20 −4,29 −3,02

1

6,0 0,36 0,36


Grafy funkcí

Grafy funkcí Mějme funkce f, g : [−6, 6] → R definované vztahy 2 x2 + |x| − 6 √ + 36 − x2 f (x) = a 3 x2 + |x| + 2

2 x2 + |x| − 6 √ − 36 − x2 . g(x) = 3 x2 + |x| + 2

Jak vypadají jejich grafy? x −6,0 −5,0 −4,0 −3,0 −2,0 −1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 f (x) 0,36 3,61 4,65 5,20 5,32 4,92 4,00 4,92 5,32 5,20 4,65 3,61 g(x) 0,36 −3,02 −4,29 −5,20 −5,99 −6,92 −8,00 −6,92 −5,99 −5,20 −4,29 −3,02 y

6,0 0,36 0,36

y f

4

4

2

2 x

−6

−4

−2

2

4

x −6

6

−4

−2

2

−2

−2

−4

−4

−6

−6

−8

−8

1

4

6

g


Grafy funkcí Mějme funkce f, g : [−6, 6] → R definované vztahy 2 x2 + |x| − 6 √ + 36 − x2 f (x) = a 3 x2 + |x| + 2

2 x2 + |x| − 6 √ − 36 − x2 . g(x) = 3 x2 + |x| + 2

Jak vypadají jejich grafy? x −6,0 −5,0 −4,0 −3,0 −2,0 −1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 f (x) 0,36 3,61 4,65 5,20 5,32 4,92 4,00 4,92 5,32 5,20 4,65 3,61 g(x) 0,36 −3,02 −4,29 −5,20 −5,99 −6,92 −8,00 −6,92 −5,99 −5,20 −4,29 −3,02 y

x

1

6,0 0,36 0,36


Lindenmayerovy systémy

Lindenmayerovy systémy Mějme počáteční slovo S0 a množinu přepisovacích pravidel {xj 7→ ϕ(xj ) | j = 1, . . . , k}. Příslušný L-systém dostaneme postupnou aplikací přepisovacích pravidel na počáteční slovo. Jestliže S0 = a10 a20 . . . an0 , pak S1 = ϕ(a10 )ϕ(a20 ) . . . ϕ(an0 ). Jestliže S1 = a11 . . . an1 , pak S2 = ϕ(a11 ) . . . ϕ(an1 ). Takto pokračujeme dále.

2


Lindenmayerovy systémy

Lindenmayerovy systémy Mějme počáteční slovo S0 a množinu přepisovacích pravidel {xj 7→ ϕ(xj ) | j = 1, . . . , k}. Příslušný L-systém dostaneme postupnou aplikací přepisovacích pravidel na počáteční slovo. Jestliže S0 = a10 a20 . . . an0 , pak S1 = ϕ(a10 )ϕ(a20 ) . . . ϕ(an0 ). Jestliže S1 = a11 . . . an1 , pak S2 = ϕ(a11 ) . . . ϕ(an1 ). Takto pokračujeme dále. Vezměme počáteční slovo S0 = 0 a přepisovací pravidla {0 7→ 1, 1 7→ 10}. Postupně dostaneme 0→1 → 10 → 101 → 10110 → 10110101 → 1011010110110 → 101101011011010110101 → 1011010110110101101011011010110110 → 1011010110110101101011011010110110101101011011010110101 → ··· Pokračováním donekonečna dostaneme známou králičí posloupnost, mající mnoho zajímavých vlastností.

2


Kochova vločka

Kochova vločka Mějme počáteční „slovoÿ

a množinu přepisovacích pravidel

3

n

7−→

o .


Kochova vločka



n

7−→

Postupně dostaneme

→

→

→

Nekonečným opakováním vznikne Kochova vločka.

3

→

o .


Kochova vločka



n

7−→

o .

Postupně dostaneme

→

→

→

→

Nekonečným opakováním vznikne Kochova vločka.

U běžných křivek je délka třikrát zvětšené křivky třikrát delší než délka původní křivky. Ale délka třikrát zvětšené Kochovy vločky je čtyřikrát větší než délka původní vločky.

3


Sierpi´ nského koberec

Sierpi´ nského koberec Mějme počáteční „slovoÿ


4

7−→

.




→


→

Nekonečným opakování vznikne Sierpi´ nského koberec.

4

7−→

→

.




→


→

7−→

.

→

Nekonečným opakování vznikne Sierpi´ nského koberec.

U běžných obrazců je obsah dvakrát zvětšeného obrazce čtyřikrát větší než obsah původního obrazce. Ale obsah dvakrát zvětšeného Sierpi´ nského koberce je třikrát větší než obsah původního koberce. 4


Komplexní čísla

Komplexní čísla Komplexní číslo je číslo tvaru z = a + bi, kde a, b ∈ R a i2 = −1. Množinu všech komplexních čísel značíme C. Im

z = a + bi

b 1

Re −1

1

a

−1

5


Komplexní čísla

Komplexní čísla Komplexní číslo je číslo tvaru z = a + bi, kde a, b ∈ R a i2 = −1. Množinu všech komplexních čísel značíme C. Im

z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) b 1

|z| ϕ Re

−1

1

a

−1

Komplexní čísla lze zapsat v goniometrickém nebo exponenciálním tvaru z = a + bi = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) = |z|eiϕ ,

kde |z| =

√

a2 + b 2 .

Druhá mocnina komplexního čísla je z 2 = (a2 − b2 ) + 2abi = |z|2 (cos 2ϕ + i sin 2ϕ) = |z|2 e2iϕ .

5


Komplexní čísla

Posloupnosti komplexních čísel Podobně jako posloupnost reálných čísel definujeme posloupnost komplexních čísel. Je to zobrazení N → C. Posloupnost komplexních čísel {zn }∞ n=1 se nazývá omezená, pokud existuje konstanta K > 0 taková, že pro všechny členy posloupnosti platí |zn | ≤ K. Jinými slovy existuje kruh v Gaussově rovině takový, že všechny členy posloupnosti leží uvnitř tohoto kruhu.

6


Komplexní čísla

Posloupnosti komplexních čísel Podobně jako posloupnost reálných čísel definujeme posloupnost komplexních čísel. Je to zobrazení N → C. Posloupnost komplexních čísel {zn }∞ n=1 se nazývá omezená, pokud existuje konstanta K > 0 taková, že pro všechny členy posloupnosti platí |zn | ≤ K. Jinými slovy existuje kruh v Gaussově rovině takový, že všechny členy posloupnosti leží uvnitř tohoto kruhu. Vezměme posloupnost definovanou vztahy z1 = i a zn+1 = zn2 + z1 . Tato posloupnost má členy z2 z3 z4 z5

= z12 + z1 = z22 + z1 = z32 + z1 = z42 + z1 ···

= i2 + i = i − 1 , = (i − 1)2 + i = −i , = (−i)2 + i = i − 1 , = (i − 1)2 + i = −i ,

Tato posloupnost je periodická a proto je omezená.

6


Komplexní čísla

Posloupnosti komplexních čísel Podobně jako posloupnost reálných čísel definujeme posloupnost komplexních čísel. Je to zobrazení N → C. Posloupnost komplexních čísel {zn }∞ n=1 se nazývá omezená, pokud existuje konstanta K > 0 taková, že pro všechny členy posloupnosti platí |zn | ≤ K. Jinými slovy existuje kruh v Gaussově rovině takový, že všechny členy posloupnosti leží uvnitř tohoto kruhu. Vezměme posloupnost definovanou vztahy z1 = = i − 1 a zn+1 = zn2 + z1 . Tato posloupnost má členy

Vezměme posloupnost definovanou vztahy z1 = i a zn+1 = zn2 + z1 . Tato posloupnost má členy z2 z3 z4 z5

= z12 + z1 = z22 + z1 = z32 + z1 = z42 + z1 ···

= i2 + i = i − 1 , = (i − 1)2 + i = −i , = (−i)2 + i = i − 1 , = (i − 1)2 + i = −i ,

z2 z3 z4 z5

= z12 + z1 = z22 + z1 = z32 + z1 = z42 + z1 ···

= (i − 1)2 + (i − 1) = −i − 1 , = (−i − 1)2 + (i − 1) = 3i − 1 , = (3i − 1)2 + (i − 1) = −5i − 9 , = (−5i − 9)2 + (i − 1) = 91i + 55 ,

Tato posloupnost je periodická a proto je omezená. Členy posloupnosti rostou nade všechny meze, proto tato posloupnost není omezená. Pro která čísla z1 ∈ C je posloupnost definovaná vztahem zn+1 = zn2 + z1 omezená?

6


Mandelbrotův fraktál

Mandelbrotův fraktál Množina čísel z1 z předchozí otázky se nazývá Mandelbrotova množina, n o M = z1 ∈ C ∀n : zn+1 = zn2 + z1 ⇒ ∃K ∀n : |zn | ≤ K .

7



Mandelbrotův fraktál Množina čísel z1 z předchozí otázky se nazývá Mandelbrotova množina, n o M = z1 ∈ C ∀n : zn+1 = zn2 + z1 ⇒ ∃K ∀n : |zn | ≤ K . Jak poznat, že z1 ∈ M? Pokud pro některé m platí |zm | > 2, pak z1 ∈ / M. Proto n o M = z1 ∈ C ∀n : zn+1 = zn2 + z1 ⇒ ∀n : |zn | ≤ 2 . Im

1

Re −1

1 −1

i∈M 7



Mandelbrotův fraktál Množina čísel z1 z předchozí otázky se nazývá Mandelbrotova množina, n o M = z1 ∈ C ∀n : zn+1 = zn2 + z1 ⇒ ∃K ∀n : |zn | ≤ K . Jak poznat, že z1 ∈ M? Pokud pro některé m platí |zm | > 2, pak z1 ∈ / M. Proto n o M = z1 ∈ C ∀n : zn+1 = zn2 + z1 ⇒ ∀n : |zn | ≤ 2 . Im

1

Re −1

1 −1

i∈M

i + 0,001 ∈ /M 7



n o M = z1 ∈ C ∀n : zn+1 = zn2 + z1 ⇒ ∀n : |zn | ≤ 2

8



Přidání barev Jednotlivým číslům z1 ∈ C lze přiřadit barvu podle „časuÿ, kdy posloupnost {zn }∞ n=1 opustí kruh |z| ≤ 2, tedy podle F (z1 ) = min n ∈ N |zn | > 2 . Platí z1 ∈ M ⇐⇒ F (z1 ) = ∞.

9



10



11



12



13



14



Počítání cibulek Každé cibulce na hlavním kardioidu lze přiřadit racionální číslo pq . Jmenovatel q určuje počet větví antény na cibulce (včetně hlavní větve). Čitatel p určuje pořadí nejkratší větve počítané od hlavní větve proti směru hodinových ručiček (bez hlavní větve).

15




Cibulka

15

1 3




Cibulka

15

2 5




Cibulka

15

9 25



Největší cibulka mezi cibulkami pq a rs je cibulka p+r . V důsledku toho jsou na hlavním kardioidu cibulky q+s p pro všechna čísla q ∈ (0, 1) ∩ Q a tyto cibulky jsou navíc seřazeny v přirozeném pořadí.

5

9

4

7

3

12

5

2

3 5 8 13

16

4 11

1 3


Použité zdroje

Použité zdroje • Robert L. Devaney: The Dynamical Systems and Technology Project at Boston University. http://math.bu.edu/DYSYS • Przemyslaw Prusinkiewicz et al.: Algorithmic Botany at The University of Calgary. http:// algorithmicbotany.org • Manfred Schroeder: Fractals, Chaos, Power Laws. W. H. Freeman & Co., 1991. • Wikipedia contributors: Misiurewicz Point. Wikipedia, The Free Encyclopedia. http:// en.wikipedia.org/wiki/Misiurewicz_point • Wikipedia contributors: Mandelbrot Set. Wikipedia, The Free Encyclopedia. http:// en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set • phaumann: Mandelbrot Set Zoom 10E125. watch?v=G0nmVUU_7IQ

YouTube.

17

http://www.youtube.com/

Fraktály. krásné obrázky v matematice

Recommend Documents