Fraktály aneb
krásné obrázky v matematice
Mgr. Jan Šustek
22. 10. 2009
Fraktály aneb krásné obrázky v matematice
Grafy funkcí Mějme funkce f, g : [−6, 6] → R definované vztahy f (x) =
2 x2 + |x| − 6 √ + 36 − x2 3 x2 + |x| + 2
a
g(x) =
2 x2 + |x| − 6 √ − 36 − x2 . 3 x2 + |x| + 2
Jak vypadají jejich grafy? x −6,0 −5,0 −4,0 −3,0 −2,0 −1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 f (x) 0,36 3,61 4,65 5,20 5,32 4,92 4,00 4,92 5,32 5,20 4,65 3,61 g(x) 0,36 −3,02 −4,29 −5,20 −5,99 −6,92 −8,00 −6,92 −5,99 −5,20 −4,29 −3,02
6,0 0,36 0,36
y
x
Lindenmayerovy systémy Mějme počáteční slovo S0 a množinu přepisovacích pravidel {xj 7→ ϕ(xj ) | j = 1, . . . , k}. Příslušný L-systém dostaneme postupnou aplikací přepisovacích pravidel na počáteční slovo. Jestliže S0 = a10 a20 . . . an0 , pak S1 = ϕ(a10 )ϕ(a20 ) . . . ϕ(an0 ). Jestliže S1 = a11 . . . an1 , pak S2 = ϕ(a11 ) . . . ϕ(an1 ). Takto pokračujeme dále. Vezměme počáteční slovo S0 = 0 a přepisovací pravidla {0 7→ 1, 1 7→ 10}. Postupně dostaneme 0 → 1 → 10 → 101 → 10110 → 10110101 → 1011010110110 → 101101011011010110101 → 1011010110110101101011011010110110 → 1011010110110101101011011010110110101101011011010110101 → ··· Pokračováním donekonečna dostaneme známou králičí posloupnost, mající mnoho zajímavých vlastností. 2
Fraktály aneb krásné obrázky v matematice
Kochova vločka a množinu přepisovacích pravidel
Mějme počáteční „slovoÿ n
o
7−→
.
Postupně dostaneme
→
→
→
→
→
→
···
Nekonečným opakováním vznikne Kochova vločka.
U běžných křivek je délka třikrát zvětšené křivky třikrát delší než délka původní křivky. Ale délka třikrát zvětšené Kochovy vločky je čtyřikrát větší než délka původní vločky.
Sierpi´ nského koberec Mějme počáteční „slovoÿ
a množinu přepisovacích pravidel 3
7−→
.
Fraktály aneb krásné obrázky v matematice
Postupně dostaneme
→
→
→
→
→
···
Nekonečným opakování vznikne Sierpi´ nského koberec.
U běžných obrazců je obsah dvakrát zvětšeného obrazce čtyřikrát větší než obsah původního obrazce. Ale obsah dvakrát zvětšeného Sierpi´ nského koberce je třikrát větší než obsah původního koberce.
Trocha biologie Složitějšími L-systémy lze modelovat biologické procesy, například růst rostlin. Více lze najít v pracech skupiny kolem prof. Przemyslawa Prusinkiewicze.
Komplexní čísla Komplexní číslo je číslo tvaru z = a + bi, kde a, b ∈ R a i2 = −1. Množinu všech komplexních čísel značíme C. Komplexní čísla lze zapsat v goniometrickém nebo exponenciálním tvaru √ z = a + bi = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) = |z|eiϕ , kde |z| = a2 + b2 . 4
Fraktály aneb krásné obrázky v matematice
Druhá mocnina komplexního čísla je z 2 = (a2 − b2 ) + 2abi = |z|2 (cos 2ϕ + i sin 2ϕ) = |z|2 e2iϕ . Im
z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) b 1
|z| ϕ Re
−1
1
a
−1
Posloupnosti komplexních čísel Podobně jako posloupnost reálných čísel definujeme posloupnost komplexních čísel. Je to zobrazení N → C. Posloupnost komplexních čísel {zn }∞ n=1 se nazývá omezená, pokud existuje konstanta K > 0 taková, že pro všechny členy posloupnosti platí |zn | ≤ K. Jinými slovy existuje kruh v Gaussově rovině takový, že všechny členy posloupnosti leží uvnitř tohoto kruhu. Vezměme posloupnost definovanou vztahy Vezměme posloupnost takovou, že platí z1 = z1 = i a zn+1 = zn2 + z1 . Tato posloupnost = i − 1 a zn+1 = zn2 + z1 . Tato posloupnost má členy má členy z2 z3 z4 z5
= z12 + z1 = z22 + z1 = z32 + z1 = z42 + z1 ···
= i2 + i = i − 1 , = (i − 1)2 + i = −i , = (−i)2 + i = i − 1 , = (i − 1)2 + i = −i ,
z2 z3 z4 z5
= z12 + z1 = z22 + z1 = z32 + z1 = z42 + z1 ···
= (i − 1)2 + (i − 1) = −i − 1 , = (−i − 1)2 + (i − 1) = 3i − 1 , = (3i − 1)2 + (i − 1) = −5i − 9 , = 91i + 55 ,
Tato posloupnost je periodická a proto je Členy rostou nade všechny meze, proto tato posloupnost není omezená. omezená. Vzniká přirozená otázka, pro která čísla z1 ∈ C je posloupnost definovaná vztahem zn+1 = = zn2 + z1 omezená?
Mandelbrotův fraktál Množina čísel z1 z předchozí otázky se nazývá Mandelbrotova množina, n o M = z1 ∈ C ∀n : zn+1 = zn2 + z1 ⇒ ∃K ∀n : |zn | ≤ K . 5
Fraktály aneb krásné obrázky v matematice Jak poznat, že je skutečně posloupnost {zn }∞ n=1 omezená a že z1 ∈ M? Pokud pro ∞ některé m platí |zm | > 2, pak {zn }n=1 není omezená a z1 ∈ / M. Proto platí n o 2 M = z1 ∈ C ∀n : zn+1 = zn + z1 ⇒ ∀n : |zn | ≤ 2 . Im
1
Re −1
1 −1
Z předchozího víme, že i ∈ M. Na druhou stranu z obrázku nahoře je vidět, že i + 0,001 ∈ / ∈ / M. Celá Mandelbrotova množina je zobrazena dole.
6
Fraktály aneb krásné obrázky v matematice
Přidání barev Jednotlivým číslům z1 ∈ C lze přiřadit barvu podle „časuÿ, kdy posloupnost {zn }∞ n=1 opustí kruh |z| ≤ 2, tedy podle F (z1 ) = min n ∈ N |zn | > 2 . Platí z1 ∈ M ⇐⇒ F (z1 ) = ∞.
Na následujících obrázcích je Mandelbrotova množina postupně zvětšována.
7
Fraktály aneb krásné obrázky v matematice
8
Fraktály aneb krásné obrázky v matematice
Počítání cibulek Každé cibulce na hlavním kardioidu lze přiřadit racionální číslo pq . Jmenovatel q určuje počet větví antény na cibulce (včetně hlavní větve). Čitatel p určuje pořadí nejkratší větve počítané od hlavní větve proti směru hodinových ručiček (bez hlavní větve).
Největší cibulka mezi cibulkami pq a kardioidu cibulky pro všechna čísla v přirozeném pořadí.
r s p q
Cibulka
1 3
Cibulka
2 5
je cibulka p+r . V důsledku toho jsou na hlavním q+s ∈ (0, 1) ∩ Q a tyto cibulky jsou navíc seřazeny
9
Fraktály aneb krásné obrázky v matematice
1 3
5
9
4
7
3
12
5
2
3 5 8 13
4 11
Použité zdroje • Robert L. Devaney: The Dynamical Systems and Technology Project at Boston University. http://math.bu.edu/DYSYS • Przemyslaw Prusinkiewicz et al.: Algorithmic Botany at The University of Calgary. http://algorithmicbotany.org • Manfred Schroeder: Fractals, Chaos, Power Laws. W. H. Freeman & Co., 1991. • Wikipedia contributors: Misiurewicz Point. Wikipedia, The Free Encyclopedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Misiurewicz_point • Wikipedia contributors: Mandelbrot Set. Wikipedia, The Free Encyclopedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set • phaumann: Mandelbrot Set Zoom 10E125. YouTube. http://www.youtube.com/ watch?v=G0nmVUU_7IQ
10
