6 vwo
[flELATI¥ITEIT Deze m o d u l e is g e b a s e e r d op l i e t boek ' D e s u b l i e m e e e n v o u d v a n r e l a t i v i t e i t ' v a n p r o f e s s o r S a n d e r Bals v a n h e t I n s t i t u u t v o o r T h e o r e t i s c h e Fysica v a n de U n i v e r s i t e i t v a n A m s t e r d a m . H i e r b i j d a n k t Bart R i j k e n b e r g , v a n het Bariaeus G y m n a s i u m t e A m s t e r d a m , S a n d e r Bals v o o r het v e e l v u l d i g e en s t i m u l e r e n d e o v e r l e g d a t in hoge m a t e b e p a l e n d is g e w e e s t v o o r deze m o d u l e .
Colofon Project
Nieuwe Natuurkunde
Auteurs M.m.v. Vormgeving Redactie
S a n d e r Bais, B a r t R i j k e n b e r g Rob O u w e r k e r k ( t e k e n t o o l en c l i p s ) , O n n e S i o o t e n , Loran de Vries L o r a n de Vries Harrie Eijkeihof, Koos K o r t l a n d , G u u s M u l d e r , M a a r t e n Pieters, Chris v a n W e e r t , Fleur Z e l d e n r u s t
Versie
14-7-2010
Copyright ©Stictiting natuurkunde.nl, Enschede 14-7-2010 Amsterdam University Press heeft toestemming verleend voor het gebruik van de tekst en diagrammen uit het boek 'De sublieme eenvoud van relativiteit' van Sander Bals. Alle rechten voorbehouden. Geen enkele openbaarmaking of verveelvoudiging is toegestaan, zoals verspreiden, verzenden, opnemen in een ander werk, netwerk of website, tijdelijke of permanente reproductie, vertalen of bewerken of anderszins al of niet commercieel hergebruik. Als uitzondering hierop is openbaarmaking of verveelvoudiging toegestaan voor eigen gebruik of voor gebruik in het eigen onderwijs aan leerlingen of studenten ik het kader van het project vernieuwing natuurkunde onderwijs. De module is met zorg samengesteld en getest. De Stichting natuurkunde.nl, resp. Commissie Vernieuwing Natuurkundeonderwijs havo/vwo, Amsterdam University Press, Universiteit van Amsterdam en auteurs aanvaarden geen enkele aansprakelijkheid voor onjuistheden en/of onvolledigheden in de module, noch enige aansprakelijkheid voor enige schade, voortkomend uit het gebruik van deze module. Voor zover wij gebruik maken van extern materiaal proberen wij toestemming te verkrijgen van eventuele rechthebbenden. I^ocht u desondanks van mening zijn dat u rechten kunt laten gelden op materiaal dat in deze reeks is gebruikt dan verzoeken wij u contact met ons op te nemen: pleters(g)sclence. uva.nl
2
1
Uitgangspunten
,
8
1.1
Ruimte + tijd = ruimtetijd
8
1.2
Gebeurtenissen
3
1.2
Gebeurtenissen
g
1.3
De schaal der veranderingen
n
1.4
Meting van de lichtsnelheid
1.5
Wereldlijnen
1.6
De postulaten (veronderstellingen)
2
D e relativiteit
_
van gelijktijdigheid
u
17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1
Referentiekaders
25
2.2
Het gelijkzetten van klokken
26
2.3
Bewegende stelsels
27
2.4
Gelijktijdigheid is relatief
28
2.5
Einstein en treinen
29
2.6
Eén ruimtetijd, vele Inertiaalstelsels
30
2.7
Wat is er veranderd?
33
3
Oorzaak
en
ffet/o^..........,...........................................................................
40
3.1
Causaliteit in de problemen
40
3.2
Snelheden optellen volgens Newton
41
3.3
Snelheden optellen volgens Einstein
41
3.4
Een magistrale formule
43
3.5
Causaliteit gered
46
4
Tijdsuitrekking
......................................................................................... 57
4.1
Kunt u mij vertellen hoe laat het is?
4.2
Tijd rek
58
4.3
De tweelingparadox
60
4.4
TIjdrek bij radioactief verval
62
4.5
Plaatsbepaling
64
5
De Lorentz-transformaties
en het
'.
57
r u i m t e - t s j d i r r t e t v a l , . . 7 2
5.1
Lorentz-transformaties
72
5.2
Lorentz-invariantie
73
5.3
Past de ladder In de schuur?
75
5.4
Verificaties van relativiteit
78
5.5
Het ruimtetijdinterval
79
6
Energie
en impuls.....,.......,......,.....,.,....,..,.....,.............,..,,,..........,..,,..,,^
89
6.1
Impuls
:
89
6.2
Relativistische impulsvector
90
6.3
Impuisbehoud
93
6.4
E=mc^
95
6.3
E=mc^ in het onderzoek: het ATLASexperiment bij CERN
97
6.4
E=mc'' in actie: het ITERproject
101
3
Leeswijzer Het is mogeiiji< o m , z o n d e r de lijn v a n Inet v e r h a a l te v e H i e z e n , h o o f d s t u k 5 en de a p p e n d i x o v e r te s l a a n . Zij k u n n e n als e x t r a l e e r s t o f b e s c h o u w d w o r d e n . W a a r m o g e l i j k is e r v o o r g e k o z e n o m aan de h a n d v a n d i a g r a m m e n a f l e i d i n g e n v a n f o r m u les te g e v e n . Het is aan de lezer in h o e v e r r e hij o f zij h i e r a a n a a n d a c h t wil b e s t e d e n : de lijn v a n het v e r h a a l b l i j f t t e v o l g e n , o o k als g e e n i n z i c h t w o r d t v e r k r e g e n in de m a n i e r w a a r o p de f o r m u l e s a f g e l e i d w o r d e n . Het v e r d i e n t sterl<e a a n b e v e l i n g bij het lezen r u i t j e s p a p i e r , liniaal en p o t l o o d bij de h a n d t e h e b b e n . Zo k u n n e n v r a g e n die o p k o m e n via de d i a g r a m m e t h o d e a a n g e p a k t w o r d e n . V o o r wie dit g r a a g op een c o m p u t e r u i t v o e r t : er b e s t a a t een t e k e n t o o l , ontwikl<eld d o o r Rob O u w e r k e r k v a n het S t e d e l i j k G y m n a s i u m H a a r l e m w a a r m e e d i t e e n v o u d i g u i t v o e r b a a r is. Ook k u n n e n d a a r m e e n e t t e p r i n t s w o r d e n g e m a a k t . T e v e n s z i j n clips o n t w i k k e l d w a a r m e t e n i g e r e g e l m a a t v e r w e z e n w o r d t . De m a n i e r w a a r o p r e l a t i v i s t i s c h s n e l h e d e n o p g e t e l d m o e t e n w o r d e n w o r d t m e t b e h u l p v a n clips 8 e n 9 v e r duidelijkt. Er z i j n op u i t e e n l o p e n d e plaatsen t e k s t e n te lezen die t u s s e n gele l i j n e n g e p l a a t s t z i j n . Zij v e r w i j z e n n a a r a a n v u l l e n d l e e s m a t e r i a a l of n a a r s i m u l a t i e s op h e t i n t e r n e t . Tel<sten t u s s e n g r o e n e l i j n e n v o r m e n a a n v u l l e n d e l e e s s t o f op z i c h . I n de t e k s t z i j n tel<stvragen o p g e n o m e n ; de b e d o e l i n g is d a t deze b e a n t w o o r d k u n n e n w o r d e n d i r e c t na lezing o f b e h a n d e l i n g v a n de d a a r a a n v o o r a f g a a n d e tel<sten. A a n h e t e i n d v a n elk h o o f d s t u k zijn de a n t w o o r d e n op deze t e k s t v r a g e n t e v i n d e n . V r a a g s t u k k e n zijn s t e e d s aan het eind v a n elk h o o f d s t u k o p g e n o m e n ; h i e r v a n z i j n g e e n u i t w e r k i n g e n in d i t b o e k j e a a n w e z i g . Lessentabel Les 1
10
Onderwerpen Hoofdstuk 1: ruimtetijd, gebeurtenissen, schaal, w e r e l d l i j n e n , de p o s t u l a t e n Reflectie les 1 ; h o o f d s t u k 2 : t o e l i c h t i n g w e r k i n g clips, relativiteit van gelijl
11 12 13 14 15
Reflectie les 1 0 ; h o o f d s t u k 4 - r e s t a n t H o o f d s t u k 6 : E = m c ^ ; CERN m e t het A t l a s e x p e r i m e n t Reflectie h o o f d s t u k 6 ; het I t e r p r o j e c t Ruimte voor diagnostische toets; vragenuur Toets gehele module
2
3
4 5
6
7 8 9
4
Vraagstukl<en en clips 1 , 2 , 3, 7, 9, 1 1 , 1 5 , 1 6 , 17 1 9 , 2 1 , 2 2 , 2 3 , 25 clip 1 2 7 , 2 8 , 2 9 , 3 1 , 32 clips 2 t / m 5
35, 3 7 , 38 clips 6 t / m 8 39, 4 1 , 42
4 4 , 4 7 , 4 8 , 5 0 , 5 1 , 52 clip 10 4 7 , 4 8 , 49 clips 1 1 en 12 5 0 , 5 1 , 52 clips 13 t / m 14 53, 55, 56, 57 73, 74, 75, 76
EöilleidniiTig I n deze m o d u l e h o u d e n w i j o n s bezig m e t de r e l a t i v i t e i t s t h e o r i e v a n A l b e r t E i n s t e i n , die hij o p z e t t e in 1 9 0 5 . O m d a t hij l a t e r de t h e o r i e h e e f t u i t g e b r e i d w o r d t deze e e r s t e t h e o r i e de speciale relativiteitstiieone g e n o e m d ; de u i t g e b r e i d e t h e o r i e is de a l g e m e n e r e l a t i v i t e i t s t h e o r i e . De speciale t h e o r i e w o r d t in deze m o d u l e b e h a n d e l d . De speciale t h e o r i e g a a t o v e r i n e r t i ë l e w a a r n e m e r s - d a t zijn w a a r n e m e r s die een c o n s t a n t e s n e l h e i d t e n o p z i c h t e v a n e l k a a r h e b b e n . Einsteins u i t b r e i d i n g n a a r de a l g e m e n e t h e o r i e o m v a t t e o o k w a a r n e m e r s die t e n o p z i c h t e v a n e l k a a r v e r s n e l l e n . Het j a a r 1 9 0 5 w o r d t w e l e e n Wunderjalir genoemd. Einstein l e v e r d e in d a t j a a r d r i e g e w e l d i g e b i j d r a g e n aan de n a t u u r k u n d e . B e h a l v e de r e l a t i v i t e i t s t h e o r i e v e r k l a a r d e hij h e t f o t o e l e k t r i s c h effect. Een m o d e r n e t o e p a s s i n g d a a r v a n v i n d j e in een d i g i t a l e f o t o c a m e r a : op een sensor v a l l e n d licht m a a k t l a d i n g v r i j . De h o e v e e l h e i d v r i j g e m a a k t e l a d i n g w o r d t per p u n t Cpixel') g e m e t e n en als g e t a l o p g e s l a g e n op een g e h e u g e n k a a r t j e . T e r u g l e z i n g v a n die g e t a l l e n s t e l t een c o m p u t e r l a t e r in s t a a t het beeld t e r e c o n s t r u e r e n . Einstein v e r k l a a r de d i t f o t o - e l e k t r i s c h e f f e c t d o o r aan t e n e m e n d a t licht uit d e e l t j e s , f o t o n e n , b e s t a a t . V o o r deze p r e s t a t i e kreeg hij l a t e r d e N o b e l p r i j s . O o k in 1905 b e w e e s h i j , via b e r e k e n i n g e n , d a t m a t e r i e é c h t uit kleine d e e l t j e s b e s t a a t . I n de d e c e n n i a v o o r 1 9 0 5 was e e n deel v a n de n a t u u r k u n d i g e n g a a n t w i j f e l e n a a n de r e a l i t e i t v a n h e t b e s t a a n v a n a t o m e n . D o o r t e r e k e nen aan de B r o w n s e b e w e g i n g , de w i l l e k e u r i g e b e w e g i n g die heel lichte d e e l t j e s in een gas of v l o e i s t o f m a k e n t e n g e v o l g e v a n de t o e v a l l i g e b o t s i n g e n v a n d é d e e l t j e s v a n d a t gas o f die v l o e i s t o f ( a t o m e n ) , w e r d d e f i n i t i e f b e w e z e n d a t de d u i z e n d e n j a r e n o u d e a a n n a m e d a t m a t e r i e uit kleine d e e l t j e s b e s t a a t j u i s t w a s . De speciale r e l a t i v i t e i t s t h e o r i e g a a t o v e r w a a r n e m i n g e n . Een a a n t a l v a n die w a a r n e m i n g e n k u n n e n alleen m a a r in g e d a c h t e g e d a a n w o r d e n . Het g a a t o v e r t r e i n r e i z i g e r s die in t r e i n e n r i j d e n m e t een s n e l h e i d v a n 1 0 0 . 0 0 0 k m / s en s o m s o o k n o g eens m e t die s n e l h e i d d o o r de t r e i n r e n n e n . We zullen zien d a t die w a a r n e m e r s z a k e n w a a r n e m e n w a a r v a n j e m i s s c h i e n nu n o g z e g t d a t ze o n m o g e l i j k z i j n - de t i j d die v o o r de é é n l a n g z a m e r l o o p t d a n v o o r de ander bijvoorbeeld. IMocht j e d e n k e n d a t reizigers die zich v o o r t s p o e d e n m e t 1 0 0 . 0 0 0 k m / s n i e t b e s t a a n , d a n zie j e de hele b e v o l k i n g v a n de a a r d e o v e r h e t h o o f d . De a a r d e b e w e e g t m e t d a t s o o r t e n o r m e s n e l h e d e n t e n o p z i c h t e v a n v e r r e s t e r r e n . Ook spelen deze s n e l h e d e n een g r o t e rol bij d e e l t j e s v e r s n e l l e r s - v a n t v ' s t o t het CERN. I n de e c h t e w a a r n e m i n g e n die d a a r g e d a a n w o r d e n b l i j k e n alle v o o r s p e l d e e f f e c t e n v a n de r e l a t i v i t e i t s t h e o r i e o o k daadwerl<elijk op t e treden. D o o r e r v a r i n g e n uit het d a g e l i j k s l e v e n en d o o r w a t j e e e r d e r leerde bij het v a k n a t u u r k u n de h e b j e een i n t u ï t i e o p g e b o u w d die j e v e r t e l t hoe de w e r e l d in e l k a a r zit en w a t j e k u n t v e r w a c h t e n o v e r de uitl
5
I n de r e l a t i v i t e i t s t h e o r i e k o m e n w e v o o r t d u r e n d de lichtsnelheid t e g e n . Met zijn r e u s a c h t i ge w a a r d e v a n , a f g e r o n d , 3 0 0 . 0 0 0 k m / s s p e e l t die een c e n t r a l e rol in de t h e o r i e . En 3 0 0 . 0 0 0 k m / s is o o k de s n e l h e i d v a n r a d a r g o l v e n , h e t g p s - s i g n a a l en nog veel m e e r . We zullen t e l k e n s zien d a t de v e r r a s s e n d e e f f e c t e n alleen m a a r m e r k b a a r zijn bij r e i z e n m e t deze hele g r o t e s n e l h e d e n . Bij s n e l h e d e n uit het d a g e l i j k s l e v e n g a a t de n i e u w e t h e o r i e , i n m i d d e l s m e e r d a n 1 0 0 j a a r o u d l , a s y m p t o t i s c h o v e r in de bel<ende n a t u u r k u n d e v a n a l l e d a g . Een hele g e r u s t s t e l l i n g ! We leren die n a t u u r k u n d e d u s n i e t v o o r n i e t s ! Toch h e e f t r e l a t i v i t e i t s t h e o r i e ook een d i r e c t belang v o o r ons b e s t a a n . Het m e e s t b e k e n d e r e s u l t a a t v a n d e t h e o r i e is z o n d e r t w i j f e l E = mc^. A a n h e t e i n d v a n de m o d u l e b e s t e d e n w e aan deze b e r o e m d e f o r m u l e r u i m e a a n d a c h t . O o k k i j k e n w e n a a r een d i r e c t e c o n s e q u e n t i e v a n de f o r m u l e : e n e r g i e w i n n i n g uit m a s s a o m z e t t i n g - h o p e l i j k e e n b i j d r a g e a a n de oplossing van het huidige energieprobleem. De r e l a t i v i t e i t s t h e o r i e is geen t h e o r i e die j e m e t j e k l o m p e n k u n t a a n v o e l e n . H e t g e v o e l in j e k l o m p e n - d a t is nu j u i s t j e i n t u ï t i e . We z u l l e n d a a r o m de t h e o r i e s t a p v o o r s t a p o p z e t t e n , w a a r b i j het v o l g e n d e steeds logisch v o l g t op h e t v o o r g a a n d e . W e g a a n b e g i n n e n m e t de r e l a t i v i t e i t s t h e o r i e . Veel plezier!
E i n s t e i n s l e v e n s l o o p tot e n m e t het ' w o n d e r j a a r '
1005
1879
W o r d t g e b o r e n in U I m , D u i t s l a n d .
1888
G a a t n a a r h e t L u i t p o l d - G y m n a s i u m in M ü n c h e n .
1895
Verlaat het gymnasium zonder eindexamen te doen.
1896
D o e t e i n d e x a m e n aan de K a n t o n a l e S c h u l e in A a r a u , Z w i t s e r l a n d . Gaat s t u d e ren a a n de Eidgenössische T e c h n i s c h e H o c h s c h u l e in Z u r i c h .
1900
Haalt l e r a a r s d i p l o m a aan de ETH, m a a r k a n g e e n b a a n v i n d e n .
1902
K r i j g t een b a a n als t e c h n i s c h a s s i s t e n t bij het p a t e n t b u r e a u in B e r n .
1903
T r o u w t m e t Mileva Maric.
1905
17 m a a r t : a r t i k e l o v e r bet b e s t a a n v a n l i c h t q u a n t a . Met l i c h t q u a n t a ( f o t o n e n ) v e r k l a a r d e hij het ( f o t o - e l e k t r i s c h ) e f f e c t w a a r b i j licht in s t a a t is e l e k t r i s c h e l a d i n g uit m a t e r i a l e n v r i j te m a k e n . T o e p a s s i n g e n v i n d j e t e r u g in l i c h t g e v o e l i g e m a t e r i a l e n als de s e n s o r v a n b i j v o o r b e e l d e e n d i g i t a l e c a m e r a . 1 1 m e i : a r t i k e l o v e r de B r o w n s e b e w e g i n g ; Hij b e w e e s m e t z i j n v e r k l a r i n g v a n h e t d o o r B r o w n g e v o n d e n e f f e c t - lichte d e e l t j e s in e e n v l o e i s t o f o f gas v o e r e n c h a o t i s c h e b e w e g i n g e n uit - d a t a t o m e n w é r k e l i j k b e s t a a n en niet s l e c h t s een v e r z o n n e n h u l p m i d d e l w a r e n d a t h a n d i g was bij het b e s c h r i j v e n v a n t a l l o z e v e r s c h i j n s e l e n in de n a t u u r k u n d e en de s c h e i k u n d e . 3 0 j u n i : a r t i k e l o v e r de speciale r e l a t i v i t e i t s t h e o r i e boekje.
- het onderwerp van
2 7 s e p t e m b e r : t w e e d e a r t i k e l o v e r speciale r e l a t i v i t e i t s t h e o r i e , m e t E = 19 d e c e m b e r : t w e e d e a r t i k e l o v e r B r o w n s e b e w e g i n g .
6
mc^.
dit
Voorkennis P l a a t s - t i j d d i a g r a m - g e g e v e n s a f l e z e n en t e k e n e n in e e n g r a f i e k die b e t r e k k i n g h e b b e n op de plaats en de s n e l h e i d v a n e e n l i c h a a m Eenparige beweging -
X = V xt
S p i e g e l w e t - h o e k v a n inval = h o e k v a n t e r u g k a a t s i n g R e l a t i v i t e i t v a n b e w e g i n g - als A als s t i l s t a a n d w o r d t o p g e v a t en B b e w e e g t t e n o p z i c h te v a n A, k u n j e o o k B als s t i l s t a a n d o p v a t t e n en z e g g e n d a t A ( d e a n d e r e k a n t o p ) t e n opzichte van B beweegt. Relatieve s n e l h e i d - de s n e l h e i d v a n e e n l i c h a a m t e n o p z i c h t e v a n e e n w a a r n e m e r die als s t i l s t a a n d w o r d t o p g e v a t Kooi v a n F a r a d a y als v e l d v r i j e r u i m t e - in een r u i m t e die v o l d o e n d e a f g e s l o t e n is d o o r een m e t a l e n o m h u l s e l ( o f g a a s ) kan g e e n e l e k t r i s c h v e l d v a n b u i t e n n a a r b i n n e n d r i n gen G e l i j l w o r m i g h e i d v a n d r i e h o e k e n - driehoel<en h e b b e n d e z e l f d e v o r m als h u n d r i e h o e ken g e l i j k z i j n : h o e k ABC = h o e k PQR, enz. V e r h o u d i n g e n in g e l i j k v o r m i g e d r i e h o e k e n - de v e r h o u d i n g t u s s e n o v e r e e n k o m s t i g e z i j d e n is s t e e d s e v e n g r o o t : A B : P Q = AC:PR = BC:QR, m a a r o o k : A B : B C = PQ:QR, enz.
A B Stelling v a n T h a l e s - Als de basis v a n e e n d r i e h o e k , A B , de m i d d e l l i j n v a n een cirkel is en de t o p C v a n de d r i e h o e k ligt op de c i r k e l , d a n is de t o p h o e k a l t i j d 9 0 ° . C 90°
C 90°
A
IB
7
1
W^tgrnrngmpumtrnm
Het is een wonder dat nieuwsgierigheid
de schoolbanken
overleeft.
Waarover gaat de relativiteitstheorie?
1„1
Clyioiriite
t o j d = ryÈmtetiJdl
R u i m t e en t i j d z i j n m e t o n s . Ze v o r m e n de a r e n a w a a r b i n n e n onze levens zich a f s p e l e n . We l
ruimte Figuur
1.1
Ruimtetijddiagram
8
1„2
Oelbeyrtenissesii
Figuur 1.2 t o o n t nnaar een l
>
gebe urtenis
..... 1 1 1 1 1 1 1
! ruimte Figuur
1.2 Eén gebeurtenis
in een
9
ruimtetijddiagram
T . l D i a g r a m m e i m vergellijllcein a.
Schets de g r a f i e k e n v o o r de o n d e r s t a a n d e s i t u a t i e s in een x ( ' y - d i a g r a m ( d u s m e t de t i j d op de h o r i z o n t a l e as)
b.
Schets de g r a f i e k e n v a n de o n d e r s t a a n d e s i t u a t i e s in een r u i m t e t i j d d i a g r a m ( m e t de t i j d op de v e r t i c a l e as)
1.
Een f i e t s e r m e t een c o n s t a n t e s n e l h e i d .
2.
Een o p t r e k k e n d e r a c e a u t o .
3.
Een s t u i t e r e n d e bal.
I (s) Figuur
1.3 Plaats-tijd-diagram
(linl<s) en een ruimtetijddiagram
(reciits)
T . 2 Eera g e b e u r È e n i ö s a.
W a t k u n j e in h e t r u i m t e t i j d d i a g r a m v a n f i g u u r 1.4 a a n d u i d e n als een g e b e u r t e n i s , A of B?
b.
Kun j e o o k e e n b e t e k e n i s t o e k e n n e n a a n h e t a n d e r e o b j e c t ?
B 1 A
ruimte
Figuur
1.4 Een gebeurtenis
10
en een ...?
1„3
De sclhiaal d e r weraradleringeim
In het r u i m t e t i j d d i a g r a m h e b b e n w e een r a s t e r getel<end v a n h o r i z o n t a i e en v e r t i c a l e l i j n e n . Bij elk v a n de assen v a n h e t stelsel h o o r t een s c h a a l : een d o o r s n e e stadsl
j
x(t)= c t
^
1
Figuur
2 1.5 Bewegen
X (ruimte) in Is met de
lictitsnellieid
O m dit op te iossen v o e r e n we een aan de a f s t a n d die l i e t licht in één s t a n d gebruil<en we als schaal langs l i c h t s n e l h e i d en d e f i n i ë r e n v a n nu af
n i e u w e eenineid i n : de l i c ü i t s e c o n d e (is) die gelijl< is s e c o n d e in v a c u ü m a f l e g t , d u s 3 0 0 . 0 0 0 l<m. Deze afde t i j d - a s , d . w . z . w e v e r m e n i g v u l d i g e n de t i j d m e t de aan W =
cxt
als de c o ö r d i n a a t in de t i j d r i c h t i n g . H i e r d o o r is v e r t i c a a l elk h o k j e 3 0 0 . 0 0 0 k m g r o o t ! En o o k in de r u i m t e r i c h t i n g kiezen w e hol<jes m e t l e n g t e 3 0 0 . 0 0 0 k m . We n e m e n dus de l i c h t s e c o n d e als e e n h e i d langs z o w e l de t i j d - als de r u i m t e - a s . Als w e nu e e n k o r t e lichtflits ( o f nog liever: een f o t o n , een q u a n t u m v a n l i c h t ) u i t z e n d e n in de r u i m t e r i c h t i n g , legt die in ons r u i m t e - t i j d d i a g r a m een pad a f d a t o v e r e e n k o m t m e t de gele pijl in f i g u u r 1.5 . We k u n n e n die lijn b e s c h r i j v e n m e t de f o r m u l e x(t)= c • t=w. Als t b i j v o o r b e e l d 1 seconde is, d a n zijn z o w e l x als w g e l i j k a a n c k i l o m e t e r , z i j n d e 1 Is; als t 4 , 5 s e c o n d e is, is x=w dus 4 , 5 m a a l c k i l o m e t e r , e n z o v o o r t . Het pad v a n h e t f o t o n m a a k t dus een h o e k v a n 4 5 ° m e t de w - a s . Merk o o k op d a t een v o o r w e r p d a t zich m e t c o n s t a n t e s n e l h e i d v o o r t b e w e e g t , c o r r e s p o n d e e r t m e t een r e c h t e lijn in h e t d i a g r a m , o m d a t het in t w e e m a a l zoveel t i j d a l t i j d precies een t w e e m a a l zo g r o t e a f s t a n d zal a f l e g g e n . T . 3 D ü a g r a m m e r i i v e r g e ! ij k e n
II
Schets de g r a f i e k e n v a n de o n d e r s t a a n d e s i t u a t i e s in e e n x f y - d i a g r a m ( l i n k s in f i g u u r 1.6), een t ( ' x > d i a g r a m ( f i g u u r 1.6 r e c h t s ) en een r u i m t e t i j d d i a g r a m ( f i g u u r 1 . 6 b ) . a.
Een t r e i n die zich v o o r t b e w e e g t m e t de h e l f t v a n d e l i c h t s n e l h e i d (v=
b.
Een f o t o n d a t zich v o o r t b e w e e g t m e t de l i c h t s n e l h e i d ( c ) .
V2 • c)
--
—
—
2
4 •
Figuur
-
e
a X (m)
t (s)
1.6 Een plaats-tijd-diagram
(linl<s),
T.4 Lichtsignalen Schets 1.6b):
in
een
ruimtetijddiagram
een tijd-plaats-diagram
(reciits).
« (figuur
a.
Een l i c h t s i g n a a l d a t precies een s e c o n de d u u r t
b.
Een f o t o n d a t in de n e g a t i e v e richting beweegt.
*
ruimte-
X (Is)
Figuur
12
1.6b een
ruimtetijddiagram.
1.4
IMetittig ymn d e iDcGiitsnellhieid
F o u c a u l i ' s e x p e r i m e n t v o o r tiet m e t e n v a n d e l i c h t s n e l h e i d Een m e t h o d e o m de s n e l h e i d v a n het licht t e m e t e n is in 1 8 5 0 b e d a c h t d o o r Foucault. Bij deze m e t h o d e v a l t een l i c h t s t r a a l v a n u i t L op een heel snel d r a a i e n d s p i e g e l t j e A , in p u n t |vi. M is het p u n t w a a r o m h e e n A d r a a i t . De weerl
Figuur 1.7 Het licht valt op punt M, terwijl het spiegeltje in stand 1 staat. Dan legt het de afstand MP en terug af. Intussen is het spiegeltje over een hoek a gedraaid, waardoor het licht vanaf 1^ in de richting van Q wordt teruggekaatst. De hoek (3 is dan 2 a omdat de normaal met het spiegeltje mee over een hoek a draait. Bron l^iddelink - Systematische Natuurlwnde deel B. H e t e x p e r i m e n t v a n S^aichelson e n M o r l e y I n 1 8 8 7 d e d e n Michelson en M o r l e y een e x p e r i m e n t o m na t e g a a n o f de l i c h t s n e l h e i d m i s s c h i e n a f h i n g v a n de r i c h t i n g w a a r i n licht l o o p t . Gaat licht v a n n o o r d n a a r zuid e v e n snel als v a n w e s t n a a r oost? Een o g e n s c h i j n l i j k bizarre v r a a g , m a a r 1 2 7 j a a r g e l e d e n h a d m e n g o e d e r e d e n o m aan t e n e m e n d a t h e t a n t w o o r d " n e e " m o e s t z i j n . Licht is een g o l f v e r s c h i j n s e l , zoals bleek uit i n t e r f e r e n t i e p r o e v e n uit h e t b e g i n v a n de 19e e e u w : licht + licht k a n d u i s t e r n i s g e v e n - een e f f e c t d a t m e t h e t b e g r i p g o l f e e n v o u d i g te v e r k l a r e n is. Maar als licht zich g e d r a a g t als een golf, d o o r w e l k m e d i u m p l a n t e n deze g o l v e n zich dan v o o r t ? Zoals het w a t e r de ' d r a g e r ' is v a n de g o l v e n op z e e , en l u c h t de d r a g e r is v a n g e l u i d s g o l v e n , n e t zo m o e t er een d r a g e r zijn v a n de l i c h t g o l v e n , d a c h t m e n . Die d r a g e r kreeg a l v a s t een n a a m , ' e t h e r ' en m e n ging a a n de slag o m e i g e n s c h a p p e n v a n die e t h e r op te s p o r e n . Het l u k t e n i e t o m e n i g e e i g e n s c h a p als d i c h t h e i d o f e l a s t i c i t e i t v a s t t e s t e l l e n . B o v e n d i e n zou de e t h e r r e u s a c h t i g uitgestrel
13
' e t h e r w i n d ' . En, zo w a s h e t idee, de l i c h t s n e i h e i d m e t e t h e r w i n d t e g e n zou m e e t b a a r i
PJliclIielson e n M o r l e y i n e e n a n i m a t B e Op h t t p : / / q a l i l e o a n d e i n s t e i n . p h v s i c s . v i r q i n i a . e d u / m o r e s t u f f / f l a s h l e t s / m m e x p t 6 . h t m k u n j e het e x p e r i m e n t v a n IMichelson en M o r l e y in een a n i m a t i e b e k i j k e n . Let w e l : d a a r w o r d e n de r e s u l t a t e n w e e r g e g e v e n die zij d a c h t e n t e z u l l e n v i n d e n !
Figuur 1.8 Scliematisctie weergave Michelson-I^orley experiment.
van tiet
Figuur i^orley
1.9 Opstelling experiment
van het
l^ichelson-
Fysische eenheden V r o e g e r w e r d e n e e n h e d e n v a a k g e d e f i n i e e r d aan de h a n d v a n e e n p r o t o t y p e . De k i l o g r a m is b i j v o o r b e e l d v a s t g e l e g d d o o r het massa v a n een m e t a l e n c i l i n d e r die in Parijs w o r d t b e w a a r d . Hierbij m o e t worden opgelet dat dit stuk metaal niet van massa verandert ( b i j v o o r beeld d o o r vuil of r o e s t e n ) . Het is g e m a k k e l i j k e r o m e e n e e n h e i d te d e f i n i ë r e n aan d e h a n d v a n een n a t u u r c o n s t a n t e . Bij de m e t e r is d i t g e d a a n aan de h a n d v a n de l i c h t s n e l h e i d . V o o r h e t o g e n s c h i j n l i j k bizarre g e t a l 2 9 9 . 7 9 2 . 4 5 8 m e t e r p e r seconde is g e k o z e n , o m n i e t alle m e e t l a t t e n t e r w e r e l d t e m o e t e n v e r a n d e r e n .
14
l.S
Wereidlojnerii
Zoals g e z e g d leggen o b j e c t e n een p a d a f in de r u i m t e t i j d , d a t w e w e e r g e v e n m e t een l i j n . Bij het w o o r d ' p a d ' denl<en w e a l g a u w aan een p a a d j e in het bos o f een f i e t s p a d in de s t a d - een pad in de r u i m t e d u s . D a a r o m n o e m e n we een pad d o o r de r u i m t e t i j d m e e s t a l e e n w e ü - e l d l i j n . I n f i g u u r 1.10 zien we v e r s c h i l l e n d e w e r e l d l i j n e n . Alle g e t e k e n d e l i j n e n b e g i n n e n op h e t t i j d s t i p O op de p l e k x = O, in het p u n t d a t de o o r s p r o n g w o r d t g e n o e m d ( n i e t in de zin d a t r u i m t e en t i j d d a a r ' o n t s t a a n ' ; h e t is g e w o o n een w i l l e k e u r i g g e k o z e n r e f e r e n t i e p u n t v a n ons c o ö r d i n a t e n s t e l s e l ) , en b e w e g e n zich v o o r u i t in de t i j d . W e r e l d l i j n e n k u n n e n n a t u u r l i j k n i e t t e r u g in de t i j d - in de f i g u u r naar b e n e d e n - l o p e n . Laten we b e g i n n e n m e t de z w a r t e pijl dia s a m e n v a l t m e t de t i j d a s : deze b e s c h r i j f t e e n v o o r w e r p in r u s t , d a t s t i l s t a a t in de o o r s p r o n g . De gele pijl k e n n e n w e a l : d i t is de w e r e l d lijn v a n een l i c h t f l i t s o f f o t o n . De a n d e r e r e c h t e l i j n e n in h e t d i a g r a m k o m e n o v e r e e n m e t o b j e c t e n die m e t a n d e r e c o n s t a n t e s n e l h e d e n b e w e g e n : c o n s t a n t o m d a t de a f g e l e g d e afs t a n d steeds e v e n r e d i g is m e t de t i j d s d u u r . De rode pijl kan s t a a n v o o r i e m a n d die reist m e t een s n e l h e i d
w a n t op elk t i j d s t i p h e e f t deze d r i e k w a r t a f g e l e g d v a n de a f s t a n d die de lichtflits in d e z e l f de t i j d h e e f t a f g e l e g d . Dat is g o e d te zien op het t i j d s t i p t = 4, w a a r de r o d e r e i z i g e r zich d r i e e e n h e d e n in de r u i m t e r i c h t i n g h e e f t v e r p l a a t s t en h e t licht v i e r . Op basis v a n e e n v e r g e l i j k b a r e r e d e n e r i n g m o g e n w e c o n c l u d e r e n d a t de g r o e n e r e i z i g e r zich v e r p l a a t s t m e t t w e e m a a l de l i c h t s n e l h e i d . De kronl<elende b l a u w e w e r e l d l i j n , t e n s l o t t e , b e s c h r i j f t e e n d r a l e n d e r e i z i g s t e r die zich heen en w e e r b e w e e g t m e t w i s s e l e n d e s n e l h e i d : ze v e r s n e l t en v e r t r a a g t . Haar s n e l h e i d op e e n t i j d s t i p t w o r d t b e p a a l d d o o r de s t e i l h e i d v a n de r a a k l i j n a a n haar w e r e l d l i j n in het c o r r e s p o n d e r e n d e p u n t . W e zien d a t een w e r e l d l i j n alle i n f o r m a t i e b e v a t o v e r de b e w e g i n g e n die e e n reiziger u i t v o e r t .
x(t) = 3/4 c t 5 '^X(t)=C
/
A x(t)= ?
/
x(t) = c t
/
/ x(t)= 2 c t
Figuur
1.10
Wereldlijnen
15
T . 5 W e r e l d 11 ijrsein I n f i g u u r 1.11 zijn d r i e w e r e i d l i j n e n w e e r g e g e v e n . a.
Well<e w e r e l d i i j n b e s c t i r i j f t g e e n pad d o o r de r u i m t e ?
b.
B e s c h r i j f w a t i e d e r e w e r e i d i i j n zou i
c.
Tel<en de w e r e l d l i j n die j o u v o o r s t e l t , t e r w i j l j e deze o p g a v e zit te m a k e n .
,
A
I
B
c
1
/
/
A
[>Figuur
X
1.11
I R y i m t t e t i j d d i a g r a m m e n Èelcenen R u i m t e t i j d d i a g r a m m e n laten zich z o n d e r veel m o e i t e t e k e n e n m e t b e h u l p v a n een t e k e n t o o l op h e t i n t e r n e t . Ga n a a r h t t p : / / 8 0 . 1 2 7 . 1 2 4 . 1 1 4 / t e k e n . h t m l . O m een i n d r u k te k r i j g e n v a n de w e r k i n g v a n h e t p r o g r a m m a , d r u k op de i n f o r m a t i e t o e t s i.
16
1„6
De
postylatesTi
(weronderstelDnragen)
W i j willen v o o r a l w e t e n w a a r Einstein u i t e i n d e l i j k op uitl<wam. Dat is w a t hier b e s c h r e v e n w o r d t z o n d e r al t e z e e r in t e g a a n op de o n t w i k k e l i n g v a n zijn i d e e ë n en de v e r w o e d e d i s cussies w a a r de w e t e n s c h a p p e l i j k e k o p s t u k k e n uit die t i j d in verwikl<eld r a a k t e n v o o r d a t ze zijn t h e o r i e al d a n niet k o n d e n a c c e p t e r e n . Hier w o r d t de e s s e n t i e v a n de t h e o r i e u i t e e n g e z e t , w a a r b i j we s t r a k v a s t h o u d e n aan de w e e r g a v e m e t b e h u l p v a n r u i m t e t i j d d i a g r a m m e n . Je l e e r t hoe j e m e t die d i a g r a m m e n o m m o e t g a a n , z o d a t j e h o p e l i j k de v r a g e n die g a a n d e w e g bij j e o p k o m e n , zelf k u n t b e a n t w o o r d e n . Als b e g i n p u n t n e m e n w e een u i t e r s t b o n d i g e f o r m u l e r i n g v a n de t h e o r i e , t w e e p o s t u l a t e n w a a r i n Einstein de c r u x e r v a n s a m e n v a t t e ; dit zijn t w e e f u n d a m e n t e l e v e r o n d e r s t e l l i n g e n o v e r de w e r k i n g v a n de n a t u u r . D a a r n a l a t e n w e s t a p v o o r s t a p zien w a a r o m de c o n s e q u e n t i e s v a n deze u i t g a n g s p u n t e n zo s u b l i e m en t e g e l i j k e r t i j d s c h o k k e n d z i j n . I n z e k e r e zin leggen we de w e g die Einstein zelf g i n g in o m g e k e e r d e r i c h t i n g af.
Postulaten van de
relativiteitstheorie
V o o r w a a r n e m e r s die m e t c o n s t a n t e s n e l h e i d t e n o p z i c h t e v a n e l k a a r b e w e g e n , g e l d t d a t : •
De n a t u u r k u n d i g e w e t t e n h e t z e l f d e z i j n .
9
De l i c h t s n e l h e i d in v a c u ü m h e t z e l f d e is.
H e t e e r s t e p o s t u l a a t g a a t o v e r t w e e r e f e r e n t i e k a d e r s , of t w e e ( g r o e p e n ) w a a r n e m e r s , die m e t c o n s t a n t e s n e l h e i d reizen t e n o p z i c h t e v a n e l k a a r . Deze k a d e r s w o r d e n i n e r t i a a l s t e l s e l s g e n o e m d . Het ' s p e c i a l e ' v a n de speciale r e l a t i v i t e i t s t h e o r i e slaat e r o p d a t de t h e o r i e b e p e r k t is t o t d e r g e l i j k e i n e r t i a a l s t e l s e l s : er z i j n dus geen o n d e r l i n g e v e r s n e l l i n g e n in h e t s p e l . Het p o s t u l a a t is d a t die w a a r n e m e r s in h u n eigen s t e l s e l , als ze de j u i s t e e x p e r i m e n t e n d o e n en s l i m g e n o e g z i j n , a l l e m a a l dezelfde n a t u u r k u n d i g e w e t t e n zullen o n t d e k k e n , d e z e l f d e v e r g e l i j k i n g e n v o o r de m e c h a n i c a , de z w a a r t e k r a c h t , h e t e l e k t r o m a g n e t i s m e e n z o v o o r t . Dat klinl
InertaaalsËelsels I n de n a t u u r k u n d e is een i n e r t i a a l s t e l s e l een c o ö r d i n a t e n s t e l s e l w a a r i n v o o r w e r p e n , w a a r g e e n k r a c h t op w e r k t , s t i l s t a a n of een e e n p a r i g e r e c h t l i j n i g e b e w e g i n g u i t v o e r e n . D a t b e t e k e n t d a t in z o ' n stelsel de b e w e g i n g s w e t t e n v a n N e w t o n g e l d i g z i j n : v o o r w e r p e n v e r a n d e r e n alleen v a n s n e l h e i d als e r een k r a c h t op ze w e r k t en d a n is de v e r s n e l l i n g e v e n r e d i g m e t die k r a c h t . Als d e f i n i t i e v o o r een i n e r t i a a l s t e l s e l k u n j e d u s n e m e n d a t in zo'n stelsel de e e r s t e w e t v a n N e w t o n m o e t g e l d e n . In het Latijn betekent iners: werkeloos, waardeloos, t r a a g .
Het t w e e d e p o s t u l a a t s t e l t d a t de l i c h t s n e l h e i d in v a c u ü m h e t z e l f d e is v o o r alle w a a r n e m e r s die m e t een c o n s t a n t e s n e l h e i d b e w e g e n . I n v a c u ü m b e t e k e n t in de ' l e g e r u i m t e ' , d u s n i e t in een m a t e r i a a l w a a r het licht allerlei o b s t a k e l s t e g e n k o m t en i n t e r a c t i e s o n d e r g a a t . Als j e bij deze u i t s p r a a k s t i l s t a a t , is die nogal v r e e m d . Ze k l o p t n i e t m e t ons i n t u ï t i e v e b e g r i p v a n s n e l h e d e n , en o o k n i e t m e t de t h e o r i e v a n N e w t o n . Als j e aan het f i e t s e n b e n t m e t 15 k m / u , en j e g o o i t een b o n b o n n a a r i e m a n d , die v e r d e r o p op de s t o e p s t a a t , m e t nog e e n s
17
20 k m / u , d a n zal die de b o n b o n o p v a n g e n en z e g g e n d a t die aanl<wam m e t een s n e l h e i d v a n 15 + 20 = 35 k m / u . We zijn het er snel o v e r eens d a t d a t k l o p t als een b u s . W a c h t e v e n - w e m o e t e n z e g g e n : e r w a s eens een t i j d d a t d a t léék te k l o p p e n . We zijn h e t e r a l l e m a a l o v e r eens dat als j e m e t een zeer snelle t r e i n reist die v o o r t r a a s t m e t de h e l f t v a n de l i c h t s n e l h e i d , v = Vi c, en m e t j e l a s e r z a k l a m p een l i c h t f l i t s u i t z e n d t n a a r j e p a r t n e r op een s t a t i o n een e i n d v e r d e r o p , die lichtflits t e n o p z i c h t e v a n j o u b e w e e g t m e t de l i c h t s n e l h e i d . V o l g e n s onze o u d e i n t u ï t i e v e r e d e n e r i n g zou j e p a r t n e r op h e t s t a t i o n , als ze de s n e l h e i d van de lichtflits zou m e t e n , u i t k o m e n op een s n e l h e i d (i = c + 1/2 c = IV2 c. IMaar hier l
T . S B e w e g ü o g ós r e l a f t i e f W e l k e v a n de o n d e r s t a a n d e z i n n e n k u n n e n d e z e l f d e s i t u a t i e b e s c h r i j v e n ? a.
A n t o n h e e f t e e n s n e l h e i d v en Bianca s t a a t stil
b.
A n t o n h e e f t e e n s n e l h e i d v t e n o p z i c h t e v a n Bianca
c.
Bianca h e e f t een s n e l h e i d v t e n o p z i c h t e v a n A n t o n
d.
Bianca h e e f t een s n e l h e i d v en A n t o n s t a a t stil
18
Begrippen
Samenvattin I n een r u i m t e t i j d d i a g r a m is de p l a a t s ( h o r i z o n t a a l ) t e g e n t i j d ( v e r t i c a a l ) u i t g e z e t . Een d e r g e l i j k d i a g r a m is v e r g e l i j k baar m e t e e n p l a a t s - t i j d - d i a g r a m uit de natuurl
Ruimtetijddiagram Ruimtetijd Gebeurtenis Lichtseconde Wereldlijn Inertiaalstelsel Postulaat Foton
Een g e b e u r t e n i s is een b e p a a l d e p l e k op e e n b e p a a l d t i j d s t i p , o f t e w e l een v o o r v a l m e t een r u i m t e - en e e n t i j d c o ö r d i n a a t . Een g e b e u r t e n i s is e e n p u n t in een r u i m t e t i j d d i a gram •
Alle g e b e u r t e n i s s e n spelen zich af in r u i m t e t i j d , op e e n p l a a t s in de r u i m t e en een m o m e n t in de t i j d . Elke g e b e u r t e n i s w o r d t als één p u n t in r u i m t e t i j d w e e r g e g e v e n . R u i m t e t i j d is e e n r u i m t e m e t 3 r u i m t e d i m e n s i e s en 1 t i j d s d i m e n s i e . W i j beperl<en ons t o t een r u i m t e t i j d m e t 1 r u i m t e d i m e n s i e en 1 t i j d s d i m e n s i e .
O
Een w e r e l d l i j n is h e t pad in r u i m t e t i j d d a t een v o o r w e r p a f l e g t : een c o n t i n u e o p e e n v o l g i n g v a n g e b e u r t e n i s s e n . Hieraan k u n j e a f l e z e n w a a r en op w e l k t i j d s t i p e e n v o o r w e r p is; t e v e n s k u n j e uit de helling de s n e l h e i d v a n d a t voorwerp aflezen. Bewegende voorwerpen volgen wereldlijnen.
•
De w e r e l d l i j n e n v a n o b j e c t e n die m e t c o n s t a n t e s n e l h e i d b e w e g e n w o r d e n v o o r g e s t e l d als r e c h t e l i j n e n . De w e r e l d lijn v a n een f o t o n o f l i c h t p u l s j e c o r r e s p o n d e e r t m e t e e n lijn die o n d e r 4 5 ° l o o p t .
a
I n e r t i a a l s t e l s e l s w o r d e n g e v o r m d d o o r w a a r n e m e r s die ten opzichte van elkaar m e t constante snelheid bewegen.
•
De r e l a t i v i t e i t s t h e o r i e is g e b a s e e r d op t w e e p o s t u l a t e n ( v e r o n d e r s t e l l i n g e n ) o v e r w a a r n e m e r s die t e n o p z i c h t e v a n elkaar m e t constante snelheid bewegen (inertiaalwaarnem e r s ) . V o o r deze w a a r n e m e r s g e l d t d a t : 1 de n a t u u r k u n d i g e w e t t e n h e t z e l f d e z i j n 2 de l i c h t s n e l h e i d in v a c u ü m h e t z e l f d e is.
tje moet kunne. Je m o e t e e n Je m o e t v a n Je m o e t v a n Je m o e t een tijddiagram.
w e r e l d l i j n k u n n e n t e k e n e n v a n een l i c h t s t r a a l in een r u i m t e t i j d d i a g r a m . een o b j e c t een w e r e l d l i j n k u n n e n t e k e n e n in e e n r u i m t e t i j d d i a g r a m . een g e b e u r t e n i s d e c o ö r d i n a t e n k u n n e n a f l e z e n in een r u i m t e t i j d d i a g r a m . b e t e k e n i s k u n n e n toel<ennen a a n p u n t e n en ( w e r e l d ) l i j n e n in een r u i m t e -
19
§1-2
1
Meer
ryimtedimensies
a. T e k e n een r u i m t e t i j d d i a g r a m m e t t w e e r u i m t e d i m e n s i e s en é é n t i j d s d i m e n s i e . b. W a a r o m k u n j e g e e n r u i m t e t i j d d i a g r a m tel<enen m e t d r i e r u i m t e d i m e n s i e s en é é n t i j d s dimensie?
§1.3
2
Ruimtetijddiagram
a. Well<e g r o o t h e i d t e k e n e n we in e e n r u i m t e t i j d d i a g r a m langs d e v e r t i c a l e as? b. Kan in een r u i m t e t i j d d i a g r a m de lijn v a n b o v e n n a a r b e n e d e n lopen? Zo n e e , w a a r o m niet? c. T e k e n h e t r u i m t e t i j d d i a g r a m v a n e e n f o t o n in v a c u ü m . d . T e k e n h e t d i a g r a m v a n een f o t o n d a t in v a c u ü m in de n e g a t i e v e r u i m t e r i c h t i n g weegt.
3
be-
L i c h t s n e l h e i d in w a t e r
I n w a t e r is de l i c h t s n e l h e i d m a a r 0 , 7 5 c . a. T e k e n h e t d i a g r a m v a n een f o t o n d a t d o o r w a t e r b e w e e g t . b. I n h e t r u i m t e t i j d p u n t ( w = l , x = 4 ) g a a t een l a m p aan die g e d u r e n d e 3 s e c o n d e n a a n b l i j f t . De l a m p z e n d t in v a c u ü m in alle r i c h t i n g e n licht u i t . Tel<en het r u i m t e t i j d d i a g r a m v a n deze g e b e u r t e n i s s e n . c. Als in h e t r u i m t e t i j d d i a g r a m in ' a l l e ' r i c h t i n g e n licht w o r d t u i t g e z o n d e n , o v e r hoeveel r i c h t i n g e n g a a t h e t dan? d . T u s s e n w e l k e t i j d s t i p p e n w o r d t h e t p u n t x = 6 belicht?
4
Lichtsneiheid
We r e k e n e n v a a k m e t de a f g e r o n d e w a a r d e v o o r de l i c h t s n e l h e i d v a n 3 • 10^ m / s . Is d a n de a f w i j k i n g v a n de c o r r e c t e w a a r d e m e e r o f m i n d e r d a n 1 % ? §1.4
5
E x t r a - Foucauöt's e x p e r i m e n t
G e g e v e n is d a t in f i g u u r 1.7 v o o r h o e k (3 1,0° w o r d t g e m e t e n . Van h e t d r a a i e n d e s p i e g e l t j e is b e k e n d d a t het 4 4 0 o m w e n t e l i n g e n p e r s e c o n d e m a a k t , t e r w i j l de a f s t a n d MP 5 0 0 m b e d r a a g t . B e r e k e n h i e r u i t de s n e l h e i d v a n h e t licht.
20
§1.5
6
* Een v r a a g o v e r e e n p l a a t s - t i j d - d i a g r a m , g e b r u i k m a l t e n d v a n de m e c h a n i c a van Newton.
A s t a a t stil en B b e w e e g t m e t c o n s t a n t e s n e l h e i d v t e n o p z i c h t e v a n A. A g o o i t op t = O e e n v o o r w e r p m e t s n e l h e i d Vz v naar v o r e n ; o o k B d o e t d i t . Tel<en d e w e r e l d l i j n e n v a n A , B en v a n deze t w e e v o o r w e r p e n .
7
Wereldlijnen
a. K u n n e n w e r e l d l i j n e n e l k a a r s n i j d e n ? b. Zo j a , w a t is de b e t e k e n i s v a n h e t s n i j p u n t ? Zo n e e , w a a r o m niet? c. B e k i j k f i g u u r 1.10. Geef de t i j d s t i p p e n a a n w a a r o p de d a m e ( d e kronl<elende w e r e l d l i j n ) stilstaat.
8
O n m o g e l i j k e wereldliijn
W a a r o m is de w e r e l d l i j n in f i g u u r 1.12 o n mogelijk?
9
R u i m t e v e r s u s [-uimtetijd
W a t is het v e r s c h i l t u s s e n e e n p a d d o o r de r u i m t e en e e n w e r e l d l i j n d o o r de ruimtetijd?
jl.6
10 W i e s t a a t stil?
Figuur
1.12 Onmogelijl<e
wereldlijn
S t e l : j e zit op de a c h t e r b a n k v a n e e n a u t o . De a u t o s t a a t in d e file en j e zit e e n b e e t j e d r o m e r i g naar b u i t e n t e s t a r e n . S o m s h e b j e d a n w e l eens e v e n * h e t g e v o e l d a t de a u t o p l o t s e l i n g a c h t e r u i t b e g i n t t e r i j d e n . Je s c h r i k t w a k k e r en k i j k t n o g e e n s g o e d . D a n blijict het d a t h e t de rij a u t o ' s naast j e is g e w e e s t die in b e w e g i n g k w a m . a. Leg u i t , in t e r m e n v a n h e t e e r s t e p o s t u l a a t , w a a r a a n j e j e v e r g i s s i n g b e m e r k t . b. B e s c h r i j f e e n s i t u a t i e u i t h e t d a g e l i j k s leven w a a r b i j j e n i e t w e e t o f j e s t i l s t a a t of j u i s t beweegt.
11 ï s v e r s n e l l i n g ooEc r e l a t i e f ? M e n e e r A zit in e e n r e m m e n d e t r e i n , m e v r o u w B s t a a t stil op h e t p e r r o n . Beiden l a t e n e e n tennisbal uit hun hand vallen. a. K o m t de t e n n i s b a l v a n m e n e e r A v l a k v o o r zijn v o e t e n op de g r o n d , of b e w e e g t die bij hem vandaan? b. W o r d t d i t d o o r allebei w a a r g e n o m e n ? c. En hoe zit d i t v o o r de t e n n i s b a l v a n m e v r o u w B? Aan de a n t w o o r d e n o p b o v e n s t a a n d e v r a g e n k u n j e zien d a t b e i d e n h e t e r o v e r eens z i j n d a t m e n e e r A a a n h e t v e r s n e l l e n is en m e v r o u w B niet. d . Als A en B nu eens n i e t t e n o p z i c h t e v a n e l k a a r v e r s n e l l e n , k u n j e d a n e e n e x p e r i m e n t bedenl<en d a t b e w i j s t d a t b i j v o o r b e e l d A b e w e e g t en B stil s t a a t ?
21
12 InertiaallsÊelsel a. Als j e een Inertiaalstelsel g e k o z e n h e b t ( b i j v o o r b e e l d in de h o e k v a n e e n b o o t ) , w a a r h o u d t d i t stelsel d a n op? b, Kun j e een bal e e n inertiaalstelsel u i t g o o i e n , net zoals j e een bal uit een b o o t k u n t g o o i en?
13 E q u i v a l e n t i e v a n ineü'tiaalstelsels Het e e r s t e p o s t u l a a t z e g t d a t de n a t u u r k u n d i g e w e t t e n h e t z e l f d e zijn in ieder i n e r t i a a l s t e l sel. B e a n t w o o r d nu de v o l g e n d e v r a g e n m e t een a r g u m e n t a t i e : a. G e g e v e n d i t p o s t u l a a t , is er d a n een f y s i s c h o n d e r s c h e i d te m a k e n t u s s e n een i n e r t i a a l stelsel in r u s t en een i n e r t i a a l s t e l s e l d a t b e w e e g t m e t c o n s t a n t e snelheid? b. G e g e v e n d i t p o s t u l a a t , zou e e n o b j e c t d e z e l f d e k i n e t i s c h e e n e r g i e m o e t e n h e b b e n in alle inertiaalstelsels? c. G e g e v e n d i t p o s t u l a a t , als j e t w e e identieke e x p e r i m e n t e n zou u i t v o e r e n in t w e e scliillende i n e r t i a a l s t e l s e l , zou j e dan e x a c t d e z e l f d e r e s u l t a t e n m o e t e n k r i j g e n ?
ver-
14 Relatieve s n e l h e i d S t e l j e t w e e b o t e n v o o r . Boot 1 v a a r t m e t 2,5 m / s n a a r h e t o o s t e n . De a n d e r e b o o t v a a r t m e t 5 m / s n a a r het o o s t e n . We m a k e n aan i e d e r e b o o t een i n e r t i a a l s t e l s e l v a s t m e t de x as n a a r h e t o o s t e n w i j z e n d . a. W a t is de s n e l h e i d v a n b o o t 1 , bezien v a n u i t het stelsel v a n b o o t 2? b. W a t is de s n e l h e i d v a n b o o t 2, bezien v a n u i t het stelsel v a n b o o t 1?
l i
Einstein e n Galileï
Einstein g e b r u i k t e t w e e p o s t u l a t e n ( v e r o n d e r s t e l l i n g e n ) bij h e t o p s t e l l e n v a n zijn speciale r e l a t i v i t e i t s t h e o r i e , N o e m de v e r o n d e r s t e l l i n g die Einstein zelf had b e d a c h t en n o e m die w e l k e d o o r Galileï is b e d a c h t .
16 R e l a t i e v e s n e l h e i d v a n fotonen Een l a m p z e n d t in alle r i c h t i n g e n licht u i t . We l
1 7 Inlet a f l e z e n v a n e e n w - x - d i a g r a r n I n f i g u u r 1.13 z i j n t w e e g e b e u r t e n i s s e n A en B a a n g e g e v e n . De hol<jes h e b b e n een h o o g t e en b r e e d t e v a n 1 l i c h t s e c o n d e . De o o r s p r o n g is het punt ( 0 , 0 ) . a. Op w e l k e t i j d s t i p p e n v i n d e n de nissen A en B plaats?
A
i1
gebeurte,B P
b. H o e v e r v a n de o o r s p r o n g v i n d e n zij plaats? r X
Figuur
22
1.13 Een w-x-diagram
aflezen
18 * Een o n t m o e t i n g m e t T a c i i y - J o h n ( 1 ) I n f i g u u r 1.14 w o r d e n een r o d e en t w e e gele w e r e l d l i j n e n g e g e v e n die e l k a a r s n i j d e n in de oorsprong O ( x = 0 , w = 0 ) . a. W a t s t e l l e n deze w e r e l d l i j n e n v o o r ? We s t e l l e n ons v o o r d a t er een o n t m o e t i n g p l a a t s v i n d t t u s s e n de z w a r t e w a a r n e m e r en ene Tachy-Joinn (T-J) die m e t een s n e l h e i d v a n v = 2 c l a n g s k o m t . De o n t m o e t i n g v i n d t p l a a t s in de o o r s p r o n g . Z i j n assenstelsel is in f i g u u r 1.14 al r o o d w e e r g e g e v e n . O m zijn k o m s t aan t e k o n d i g e n s t u u r t T-J m e t r e g e l m a t i g e t u s s e n p o z e n een l i c h t s i g n a a l n a a r de z w a r t e w a a r n e m e r . De r u i m t e t i j d p u n t e n v a n w a a r u i t de s i g n a l e n v e r t r e k k e n z i j n m e t de l e t t e r s A t / m I a a n g e g e v e n . Hij b l i j f t s i g n a l e n z e n d e n na de o n t m o e t i n g . W i j p r o b e ren d i t p r o b l e e m t e a n a l y s e r e n aan de h a n d v a n tig 1 . 1 5 ; hierin z i j n l i c h t s i g n a l e n g e t e k e n d die o n t s t a a n in de p u n t e n A t / m I en die de v e r t r o u w d e loop h e b b e n die w e al e e r d e r t e genkwamen. b. Hoe e r v a a r t de z w a r t e w a a r n e m e r de hele o n t m o e t i n g ( b e s c h r i j f de o n t m o e t i n g als een reeks v a n w a a r n e m i n g e n v a n de z w a r t e w a a r n e m e r ) ? c. W a t k u n j e z e g g e n o v e r de f r e q u e n t i e s (zo m o g e l i j k k w a n t i t a t i e f ) v a n de reeks s i g n a l e n die de z w a r t e w a a r n e m e r o n t v a n g t . Ook de z w a r t e w a a r n e m e r h e e f t de hele t i j d een k n i p p e r l i c h t a a n s t a a n . d. T e k e n m e t b e h u l p v a n de t e k e n t o o l de w e r e l d l i j n e n v a n de s i g n a l e n v a n dit k n i p p e r l i c h t . B e s c h r i j f de hele o n t m o e t i n g nu v a n u i t h e t g e z i c h t s p u n t v a n T - J . e. Hoe v e r h o u d e n zich de f r e q u e n t i e s v a n de s i g n a l e n die T-J o n t v a n g t , v o o r en na de ontmoeting? f.
Leg m e t b e h u l p v a n j e a n t w o o r d e n op v r a a g b en d uit d a t h i e r s p r a k e is v a n een schending van het eerste postulaat van Einstein.
Opm. aan.
Deze
schending
Ion
voorl
worden;
verderop
besteden
A
w
we daar
x'
w'
1 H F
G X
A
f
m Figuur
1.14
Ontmoeting
23
aandacht
