Fizika példák a döntőben F. 1. Legyen két villamosmegálló közötti távolság 500 m, a villamos gyorsulása pedig 0,5 m/s2 ! A villamos 20 s időtartamig gyorsuljon, majd állandó sebességgel megy, végül szintén 20 s – ig lassítson, gyorsulása -0,5 m/s2 ! Ábrázolják az út – idő, a sebesség – idő és a gyorsulás – idő grafikonokat 5 s - os léptékben! 7 pont Megoldás v = a·t = 10 m/s-ra gyorsul fel a 20 s alatt, és ez alatt 100 m távolságra jut. Ugyanennyi ideig lassít, mely alatt szintén 100 m utat tesz meg. 300 m – t megy az állandó 10 m/s – os sebességgel, mely 30 s-ig tart. A mozgás összesen 70 s – ig tart.
Idő (s) út (m) 5 s – ok (mint időegység) alatt megtett utak (m) A gyorsuló szakasz, páratlan számok szerint nő az út: s = a/2.tgy2 Egyenletesen növekszik az út: s = vmax·te . A gyorsuló „tükörképe” ,lassuló szakasz: s = 400 m + vmax.tl - a/2.tl2 Mérési időpont (s)
0 5 10 15 20 25 30
Mérési pont A két távolsága mérési pont kiindulási közti helytől (m) különbség (m) 0 6,25 6,25 18,75 25 31,25 56,25 43,75 100 50 150 50 200 50
Hosszegys ég
1 3 5 7 8 8 8
35
250
40
300
45
350
50 55 60
50
8
50
8
50
8
43,75
7
31,25
5
18,75
3
6,25
1
400 443,75 475
65
493,75
70
500
F. 2. Becsüljék meg a Nap – Föld távolságot a következő égi jelenség felhasználásával!
a.) Az egyik legkorábbi értékelhető mérést a fénysebességre Ole Rømer dán fizikus végezte 1676-ban. Mérései szerint a Jupiterholdak 1000 s – mal később jönnek elő a Jupiter árnyékából az előre számítotthoz képest az ábrán látható J2 helyzetben a a J1 helyzethez viszonyítva.
b.) Félholdat láthatunk az égen. Milyen szöget zárhat be a Földet és a Holdat összekötő egyenes és a Földet és a Napot összekötő egyenes egymással ebben az égi helyzetben? Rajzolja le a három égitest egymáshoz viszonyított helyzetét! 7 pont Megoldás: a) 1000 s alatt kell megtennie a fénynek a Föld pálya átmérőjének megfelelő távolságot. d = c.t = 3.108 m/s x 103 = 3.1011 m = 300.109 m = 300.106 km A Föld – Nap pálya sugara ennek a fele, vagyis 150 millió km. napközel (147 millió km) és naptávol (152 millió km) b)
A szög majdnem derékszög. Szamoszi Arisztarkosz így határozta meg először a Nap – Föld távolságot, igaz elég pontatlanul, a Hold – Föld pálya távolság felhasználásával és a szög mérésével. F. 3. Alkalmazható-e a Jupiter holdakra Kepler 3. törvénye?
a.) Indokolja válaszát Newton megfelelő axiómáinak felhasználásával! b.) Ellenőrizze állítását a következő adatok segítségével! Jupiter legnagyobb holdjai, melyeket Galilei fedezett fel 1610-ben: Hold A Jupitertől való távolság keringési idő (óra) (ezer km) Io 422 43 Európa 670,9 86 Ganimédesz (nagyobb, mint 1070 172 a Merkúr) Callisto 1883 399 c.) Alkalmazható vajon a Föld körül keringő műholdak esetében is Kepler 3. törvénye? Válaszát indokolja! 7 pont
R3 T2 értéket kellet kiszámítani és egymással összevetni.
Néhány
pl. 4223/432 = 75151448/1849 = 40644,37 10703/1722 = 122504300/29584 = 41409 18833/3992 = 6676532387 /159201 = 41938 kb. azonosak!!! Megoldás A különböző holdakkal és műholdakkal kapcsolatos példák kétféle módon is megoldhatók. A Newton féle gravitációs erőtörvény felhasználásával, vagy Kepler 3. törvényéből. Valójában Kepler 3. törvénye levezethető a mozgásegyenletből: v2 M .m m =γ 2 R R az m tömeggel lehet egyszerűsíteni, továbbá a centripetális gyorsulást másképp felírni: γ .M Rϖ 2 = 2 R
4.π 2 γ .M = 2 innen T2 R 3 γ .M R = = állandó x központi égitest tömege 2 4.π 2 T A törvény tehát bármilyen égitest körül keringő holdakra, illetve csillag körül keringő bolygók esetében. Az állandó értéke csak a központi égitest tömegétől függ. R
F. 4. Homogénnek tekinthető, 50 V/m térerősségű elektromos mezőbe a térerősséggel 30°-os szögben 106 m/s nagyságú kezdősebességgel egy elektront lövünk be. a.) Hogyan, milyen pályán, fog mozogni az elektron? b.) Mekkora távolságot tesz meg, míg visszakerül a kiindulási nívófelületre?
9 pont Megoldás a.) A mozgás teljes mértékben analóg a ferde hajítással, tehát az elektron parabola pályán fog mozogni. b.) Gyorsulásának iránya a nívólapra merőleges lesz: ay = e.E/m = -8,78.1012 m/s2 . A kezdeti sebesség x és y irányú komponensei: v0x = v0 . sinα = 5.105 m/s, v0y = v0 . cosα = 8,66.105 m/s. (A szög a függőlegeshez képest van megadva, ezért van mintegy „fordítva” a gravitációs ferde hajításban megszokotthoz képest, ahol a vízszinteshez képesti szöget szoktuk megadni.) xmax = tösszes . v0 . sinα, tehát a mozgás idejét kell még meghatároznunk. Ehhez a függőleges irányú mozgást használjuk fel. A legmesszebbi ponton, a parabola csúcsánál éppen 0 lesz a függőleges irányú sebesség. vy = 0 = v0 . cosα - a.t1/2 t1/2 = 8,66.105/8,78.1012 = 9,8.10-8 s a mozgás ideje a parabola csúcsának eléréséhez. Ennek kell a 2-szeresét venni, ami a tösszes lesz. xmax = 2. 9,8.10-8 . 5.105 = 9,8.10-2 m = 9,8 cm. Az elektron pályáját is meg lehet határozni: y = v0y.t – a.t2/2
x(m)
és
y(cm)
0 0 0,01 0,015564 0,02 0,027616 0,03 0,036156
x = t. v0x ahonnan ki kell fejezni az időt és y –hoz beírni.
0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1
0,041184 0,0427 0,040704 0,035196 0,026176 0,013644 ‐0,0024
F. 5. Az Olimpián sportlövészet is van, melyhez jó reflexek kellenek, sokat kell gyakorolni és nem csak puskával. Nézzük a következő szituációt! A 120 méterre álló versenyző felé egy almát dobunk a vízszintessel 60°-os szöget bezáró, 20 m/s nagyságú sebességgel az edzésen. A versenyző az alma elindításának pillanatában, az alma eldobásával azonos magasságból lő ki egy nyílvesszőt, melynek kezdősebessége 41 m/s nagyságú. a.) Milyen irányban kell a versenyzőnek céloznia, hogy eltalálja az almát? b.) Hol lesz az alma, amikor a nyílvessző eltalálja? c.) Mekkora lesz a legnagyobb magasság és mely időpillanatban? d.) Rajzolja le a két test mozgását és a találkozás helyét! Vegyen 0,5 s-os időközöket az ábrázoláshoz! A légellenállástól tekintsünk el! 10 pont Megoldás a.) A találkozásnál az elmozdulások függőleges komponense ugyanakkora, hiszen azonos magasságból indultak. α = 60°, az alma és β a keresett nyíl kezdősebességének a vízszintessel bezárt szöge.
vA0 .sinα.t – g.t2/2 = vNy0 .sinβ.t – g.t2/2, innen az összevonások és egyszerűsítések után , ahonnan β = 25° . Ilyen irányban kell célozni. b.) Az elmozdulások vízszintes komponenseinek összege a 120 m. Ezt felírva meg tudjuk határozni a találkozásig eltelt időt.
vA0 .cosα.t + vNy0 .cosβ.t = 120 m, innen az idő t = 2,5 s – nak adódik. Az alma vízszintes elmozdulása vA0 .cosα.t = 25 m az alma függőleges elmozdulása vA0 .sinα.t – g.t2/2 = 12 m Innen az elmozdulás Pythagoras tételével 27,7 m. d) Rajzolja le a két test mozgását és a találkozás helyét! Alma: vA0 .sinα. – g.tem = 0 20.sin60° = g.tem tem = 1,7 s, tehát már lefelé esik az alma. Nyíl vNy0 .sinβ.-– g.tem = 0 41.sin25° = g.tem tem = 1,7 s, tehát már a nyíl is lefelé esik. Tehát mind a nyíl, mind az alma a hajítási parabola lefelé tartó ágában van. Alma x = 20.cos60°.t = 10.t y = 20.sin60°.t – 5.t2 = 17,32.t – 5.t2 idő (s) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 0 0 0 0
x (m) 0 5 10 15 20 25 38 57 76 95 120
y (m) 0 7,4 12,3 14,8 14,6 12 0 0 0 0 0
Nyíl
x = 41.cos25°.t = 38.t y = 41.sin25°.t – 5.t2 = 17,32.t – 5.t2 idő (s) 0 0,5 1
120 - x (m) 120 101 82
y (m) 0 7,4 12,3
1,5 2 2,5 0
63 44 25 0
14,8 14,6 12 0
c) A maximális magasság mindkét esetben: ymax = 15,3 m. bármelyik függőleges összefüggésből számolva, hiszen azok azonosak. Vegyük észre, hogy a függőleges irányú mozgás azonos, melynek így is kell lennie. Ha egy időpontban találkoznak, az azt jelenti, hogy a többi időpontban is együtt mozogtak a függőleges irányban.
