Fizika 112 7. és 8. Előadás
Még egy kis rezgés Körmozgás – rezgőmozgás analógia!
x
r v
r acp
vx
x(t ) = R sin ϕ = A sin(ωt )
ax v(t ) = v cos ϕ = Rω cos(ωt ) = Aω cos(ωt )
+ kezdeti feltételek!!!
a x (t ) = −acp sin ϕ = − Rω 2 sin(ωt ) = − Aω 2 sin(ωt )
Molekula rezgés:
k
m1
m2 ω=? k’ = ? m’ = ?
Csatolt rezgés:
k’
k 0
m1
k m2
x1 x2 Általában: k’ << k (nullhosszúságú rugók)
x
I . m1&x&1 = −kx1 + k ′( x2 − x1 ) II . m2 &x&2 = k (l − x2 ) − k ′( x2 − x1 ) m2 = m1 és
ωo2
k = m
I. II .
k′ 2 &x&1 = −ωo x1 + ( x2 m
− x1 )
k′ 2 &x&2 = ωo (l − x2 ) − ( x2 m
− x1 )
megoldás:
ω=
ωo2
ω − ωo ω + ωo x1 = C cos t cos t 2 2 ω − ωo ω + ωo x2 = C sin t sin t 2 2
k′ + 2κ ahol κ = m
A Dirac-delta: F
r F (t )
k m 0
Erőlökés:
x
τ
∆p = I = Fτ = áll. de τ → 0
x(t=0) = xo = 0 :
F(t) : gerjesztés
Fτ x(t ) = sin(ωot ) mωo F (t − τ ) x(t ) = ∫ sin[ωo (t − τ )]dτ mωo −∞ t
Rezgések Fourier-felbontása:
Tehát a Fourier transzformáció:
A lebegés jelensége: y1 (t ) = A cos(ω1t ) y2 (t ) = A cos(ω2t ) y (t ) = y1 (t ) + y2 (t ) y (t ) = A cos(ω1t ) + A cos(ω2t ) ω + ω2 ω2 − ω1 y (t ) = 2 A cos 1 t cos t 2 2 f1 + f 2 f 2 − f1 y (t ) = 2 A cos 2π t cos 2π t 2 2 f lebegés = ∆f
!
Csatolt rezgés még egyszer
Hullámterjedés
Hullámterjedés (Hullámmozgás)
”Árulkodó nyers adatok
Óriás-hullámok (Freak wave)
Az ESA ERS-1 és ERS-2 műholdjai 1991. illetve 1995. óta keringenek a Föld körül. A fedélzetükön elhelyezett SAR-radar az óceánok felett a hullámok alakulását vizsgálja. A 200 kilométeres közönként készített 10 x 5 kilométeres területet lefedő radarfelvételek matematikai elemzésével megállapítható a hullámok iránya és átlagos energiája. Ez az óceán-hullámspektrum nyilvánosan hozzáférhető, a meteorológusok például a tengeri időjárás pontosabb előrejelzésére használják az adatbázist. A nyers képi adatok ugyanakkor rendszerint nem sokra jók, Rosenthal és munkatársai viszont meg tudják belőlük állapítani az egyes hullámok, köztük a fenyegető óriások magasságát.” A szakértő szerint valószínűleg ugyanez a jelenség tehető felelőssé sok hajó elsüllyedéséért. Szerte a világban hetente átlagosan két nagy hajó süllyed el.” (Index, 2015. Febr. 27.)
Hullámzás a stadionban
Közlekedési dugó a sztrádán: fékezési hullám (ennél bonyolultabb)
Hullámok:
Hullámterjedés feltétele: rugalmas közeg
- Megfeszített húr, rugó - Vízfelszín, folyadék - Szilárd test - Gáz - Stb.
Hullám kialakulása víz (folyadék) felszínen
Hullámimpulzus - hullámcsomag
r v
t=0
Haladó hullámcsomag s
f(x-vt)
f(x)
x
s f(x+vt)
r v
f(x)
t=0
x
Longitudinális hullám
Transzverzális hullám
Szinusz(os) hullám max
=A
Hullámszám:
r v
v=
2π y(x, t) = A sin ( x − vt ) λ
2π λ
λ 1 és T = → f ⋅λ = v T f
v=
2π y(x, t = 0) = A sin x λ
k=
ω k
2π 2π 2π vt = t = t = ωt λ λ/v T Hullámegyenlet:
y(x, t) = A sin (kx − ωt + ϕ )
Hullám terjedési iránya!
∂ 2 y ( x , t ) 1 ∂ 2 y ( x, t ) = 2 2 ∂x v ∂t 2
Szuperpozíció
Linearitás!!!
Hullámok visszaverődése, reflexiója: Zárt vég Nyitott vég
Egymásra merőleges rezgések összetétele – Lissajou görbék
x(t) = A sin (ωt )
y(t) = A sin (ωt + ϕ )
Állóhullám x
y1(x,t) = A cos(kx − ωt )
y2(x,t) = A cos(kx + ωt )
y = y1 + y2 y(x,t) = 2 A cos(ωt ) cos(kx )
2π ω= T
2π k= λ
Állóhullám:
λ 2
Alap és felharmónikusok (mindkét vég zárt) λ1 = 2 L 2⋅ fixed
f1 =
f =
v λ
v v = λ1 2L
f2 =
v v = 2⋅ = 2 ⋅ f1 λ2 2L
f3 =
v v = 3⋅ = 3 ⋅ f1 λ3 2L
f n = n ⋅ f1
λ2 = L → λ2 = L 2
3⋅
λ3 L = L → λ3 = 2 ⋅ 2 3
4⋅
λ4 L = L → λ4 = 2 ⋅ 2 4
Mindkét vég nyitott λ1 = 2 L L
λ2 =
2L 2
f1 =
v v = λ1 2L
f2 =
v v = 2⋅ = 2 ⋅ f1 λ2 2L
f3 =
v v = 3⋅ = 3 ⋅ f1 λ3 2L
f n = n ⋅ f1
λ3 =
2L 3
Zárt vég
Nyílt vég
Egyik vég nyitott
λ1 = L → λ1 = 4L 4
f1 =
v v = λ1 4L
f2 =
v v = 3⋅ 4L λ2
f3 =
v v = 5⋅ λ3 4L
L
λ 4L 3⋅ 2 = L → λ2 = 4 3
5⋅
λ3 4L = L → λ3 = 4 5
f n = (2n - 1) ⋅ f1
Hullám intenzitása Hangerősség:
I β = ( 10dB) lg Io
teljesítmény intenzitás = felület
194 Elméleti határ, hanghullám esetén, 1 atmoszféra környezeti nyomásnál 180 A Krakatau vulkán robbanása 100 mérföldről (160 km) a levegőben 168 géppuska lövése 1 méterről 150 repülőgép sugárhajtóműve 30 méterről 140 pisztolylövés 1 méterről120 fájdalomküszöb; vonatkürt 10 méterről 110 gyorsító motorkerékpár 5 méterről; láncfűrész 1 méterről 100 légkalapács 2 méterről; diszkó belül dB 90 üzemi zaj, kamion 1 méterről 80 porszívó 1 méterről, zaj forgalmas utca járdáján 70 erős forgalom 5 méterről 60 iroda vagy vendéglő belül 50 csendes vendéglő belül 40 lakóterület éjjel 30 színházi csend 10 emberi lélegzet 3 méterről 0 emberi hallásküszöb (egészséges fül esetén); egy szúnyog repülésének hangja 3 méterről f
Forrás mozog, a megfigyelő áll
fo
f ′ = fo
1 v 1 +− vh
Doppler effektus 1.
v = Hr
H = Hubble állandó
Doppler effektus 2.
r v forrás áll
megfigyelő mozog
v f ′ = f o 1— + vh
… és ha a szél fúj?
vm 1± vh ′ f = fo vf 1m vh
m: megfigyelő f : forrás h : hang
Huygens elv 1.
Huygens elv 2.
reflexió
Magyarázat!!!
Huygens elv 3.
Fénytörés (hullámtörés) Magyarázat!!!
Interferencia
s1
s2
Kioltás: Erősítés:
∆s = s2 − s1 = nλ ∆ϕ = n(2π )
∆s = s2 − s1 = (2n + 1) ∆ϕ = (2n + 1)π
λ 2
n = 1, 2,3 ...
Chladni ábrák
gitár
Polarizáció (hullám)
kötél:
fény
Felületi feszültség I.
víz
F = αl
higany
dW = Fdx = αldx = αdA
Felületi energia:
E = W = αA
Felületi feszültség II.
E = W = αA
h ∼ r-1
Falak nedvesedése (kapilláris hatás)
E → Emin
Felületi feszültség III.
Szappanbuborék, halraj
Folyadékok (gázok) mechanikája Hogyan repül a repülő (Flift)??? ???
???
F N P= = Pa 2 A m
Def.: nyomás Víznyomás:
r g
Po
A mérhető nyomás P = Po + ρgh
h
mélység
légköri nyomás sűrűség
Vízcsepp v. szappanbuborék, felületi feszültség:
dW = αdA = α 8πrdr Energiasűrűség:
dV = 4πr dr
dW 2α ω= = dV r
2
r → r + dr
P = FA
dW = P 4πr 2 dr = α 8πrdr 2α P= r
Felhajtóerő (Archimedes): r FB
Ff = ρ foly.gV′ r mg
(”úszó” test)
Ff = ρ foly.gV′ = ρ o gV = mg
folyadék
Összenyomhatatlan folyadék: r v2
r v1 A1
A2
1 2
Bernoulli egyenlete: P + ρv2 + ρgy= const.
A1v1 = A 2 v 2
Zsukovszkij-féle szárny profil
Nyikolaj Ivanovics Zsukovszkij 1847-1921 1902-1904 az első szélcsatorna építése
Közegellenállás:
1 F = c w ρAv 2 2 cw = 0,26 − 0,29
cw = 0,26
Kármán-féle örvénysor:
Kármán Tódor 1881-1963 1898-1902 Királyi József Műegyetem (BME) USA: Szuperszónukus aerodinamika és 1944 után Jet Propulsion Laboratory (Sugárhajtáslaboratórium)
Nem túl jó döntések, avagy amikor a fizika fölülírja a gazdasági folyamatokat Az ország mellékvonali közlekedése teljesen megbénult tíz évvel ezelőtt egy, az előző évben történt baleset kivizsgálása nyomán. A kezdet: Ukk és Jánosháza között 2002. november 13-án, a Bzmot 277 pályaszámú motorkocsi tengelytörés miatt kisiklott. A baleset körülményeinek tisztázása során később ultrahangos vizsgálatnak vetették alá e csehszlovák gyártmányú típus kerékpártengelyeit. Ennek eredményeképpen 2003. január 23-án a 259-ből 219 motorkocsi közlekedését függesztették fel, ugyanis úgy ítélték meg, a sikláshoz vezethető repedések veszélyeztették az utasok biztonságát.
Termodinamika (és statisztikus mechanika)
???
Hőmérséklet Andres Celsius (1701-1744)
1737-ben tervezte meg a ma is általánosan használt (100 fokos beosztású) hőmérsékletskálát, melynek azóta is megőrizte nevét, sőt az egyik leggyakrabban elhangzó névvé tette világszerte. Ötlete, amelyet 1742-ben ismertetett a Svéd Akadémián tartott előadásában, leegyszerűsítette a hőmérsékletmérést, és a kapcsolódó számításokat. Celsius azonban a forráspontot jelölte 0-val, s a fagyáspontot 100-al, a két számot 1750-ben Stromer svéd tudós cserélte fel. 54
Abszolút hőmérsékletskálák
KÜLÖNBÖZŐ HŐFOKSKÁLÁK ÖSSZEHASONLÍTÁSA Alappont
671,67
212
491,67
32
80
0
100
0
Alappont 373,15
3.
Alappont 273,15 2.
Rankine 1 Ro =1 Fo
Réaumur
0
Kelvin
Celsius
Fahrenheit
1 K = 1 Co
0
1. 55
Hőtágulás
Szilárd testek: Lineáris hőtágulás. ℓ=ℓ0(1+α∆T) Térfogati hőtágulás V=V0(1+β∆T)
∆T=T-T0
∆T=T-T0 56
57
58
Folyadékok termodinamikája. Térfogati hőtágulás. ∆T=T-T0
V=V0(1+β∆T)
β a térfogati hőmérsékleti együttható: ??
β=3α
??
Gázolaj, benzin: β ≈ 0.001 1/°C Példa 59
Víz térfogatváltozása
víz
jég
60
Hőtágulás (még egyszer) To
Hőtágulás:
TC = T - 273,15 [°C]
Lo
[K]
2 TF = TC + 32o F 5
T L
∆L = αL o ∆T L - L o = αL o (T - To ) α : átlagos hőtágulási együttható [1 / °C]
H2O
Material Aluminum Brass & bronse Copper Glass Glass (Pyrex) Steel Concrete
Linear expansion Coeff. α (1/°C) 24*10-6 19*10-6 17*10-6 9*10-6 3,2*10-6 11*10-6 12*10-6
Y: Young (rugalmassági) modulus (acél: 200 GPa)
∆A = 2αA∆T
Hőtágulás 2D-ben:
∆V = βV∆T → β = 3α
Hőtágulás 3D-ben:
Gáz thermometer (kísérlet)
P∝T V∝T
(P = const.)
(V = const.)
Ideális gáz:
P∝T
(V = const.)
V∝T
(P = const.)
P [Pa ]
PV ∝ T
PV = nRT
(m = const.)
Ideális gáz törvény
[ ]
V m3 T [K ]
Ideális gáz állandó:
mól szám
R = 8.31
A gáz tömege
m n= M Moláris tömeg
J mol ⋅ K 1 mól :
N A = 6,022 ⋅10 23
Moláris (mólnyi) tömeg
??
H
1
??
H2 → M H2 = 2g
Li
6
C12
O 2 → M O2 = 32 g
N 2 → M N 2 = 28 g
