Fizika 112 13. és 14. Előadás
Kapacitás
Q C= V Mértékegység:
fesz. mérő
C F = , farad V
Jelölés:
Síkkondenzátor I. Láttuk, hogy nagy egyenletesen töltött sík tere:
σ E= 2ε o
σ E= εo
Síkkondenzátor II. σ E= εo
σ=
E=
Q A
Q εoA
Qd V = Ed = εoA
Példa: gömbkondenzátor, hengerkondenzátor
Q εoA C= = V d
Kondenzátor energiája
q V= C
dW = Vdq 1 dW = qdq C
1Q 1 Q2 W = ∫ qdq = C0 2 C
1 Q2 1 1 W= = QV = CV 2 2 C 2 2
Q = CV
Az elektromos mező energiája 2
1Q W= 2 C Síkkondenzátor:
Q E= εoA
Q = ε o AE C=
ε oA d
1 2 W = ε o E Ad 2 Téfrogat: Ad
1 ε E = εo E 2 2 energiasűrűség
Egy V térfogatú tartomány elektrosztatikus energiája:
W = ∫ ε E dV V
Hengerkondenzátor
C=?
Gömbkondenzátor
C=?
Sorosan kötött kondenzátorok Q1
Q2
V1 + V2 = V Q1 = Q 2 Q V= C
Q Q Q 1 1 1 = + azaz = + C e C1 C 2 C e C1 C 2
1 1 =∑ Ce i Ci
Párhuzamosan kötött kondenzátorok
Q = Q1 + Q 2 ⇒ VC e = VC1 + VC 2 tehát C e = C1 + C 2 C e = ∑ Ci i
Dielektrikumok I.
Poláros dielektrikum külső tér hiányában
Poláros dielektrikum külső elektromos térben
Dielektrikumok II.
Nempoláros dielektrikum külső tér hiányában
Nempoláros dielektrikum külső elektromos térben
P = ε o χE
Dielektrikumok III.
χ : az adott anyagra jellemző szuszceptibilitásérték A dielektrikum dipólmomentuma:
p = PVtérf. = ε o χEAd = Q′d Q′ P= = Vtérf A p
Q − Q' E= εoA
Q = Q′ + ε o EA = ε o χEA + ε o EA = ε o (χ + 1)EA
V = Ed
ε oε r A Q ε o (χ + 1)EA C= = → C= V Ed d
relatív dielektromos állandó ill relatív permittivitás:
(ε r = χ + 1)
Anyag
szuszceptibilitás
paraffin
0.9 - 1.2
csillám
3-7
üveg
4 - 15
porcelán
5
víz
80
etilalkohol
20
száraz levegő
0.00059
Paraffin → vezeték nélküli mikrofon
Átütési szilárdság: Emax Csillám: ~ 3 MV/cm, paraffin: ~ 10 MV/cm, papír: ~ 40 kV/cm, levegő: ~ 21 kV/cm
”Síkkondenzátor”:
Hengerkondenzátor:
Földelés Jele:
Elektrosztatikus szőnyeg és borítás
Lépésfeszültség
Az elektromos áram (egyenáram)
Áramerősség :
∆Q I= ∆t
dQ I= dt
pontosabban
Mértékegység: A = C/s
elektromos áramsűrűség :
∆I J= ∆A
vagy
Mértékegység: A/m2
Technikai áramirány: pozitív töltések mozgásának iránya
Egy adott felületen áthaladó áram:
r r I = ∫ JdA A
dI J= dA
Egy egyszerű modell: az áramlási térben a részecskék sűrűsége valamint sebessége és töltése állandó
qE a= m
dQ I= = nqvd A dt J=
I = nqvd A
Átlagos ütközési idő: τ
Driftsebesség:
6
/ elektrongáz → ideális gáz modell: vátl. ≈ 10 m/s /
qE vd = aτ = τ m ???
rézre: vd ≈ 10-4 m/s
Ohm törvénye b
a
Uab = U = Eℓ ℓ
U R= I l m l R= 2 =ρ A nq τ A
nq 2τA I= U ml
Mértékegység: Ω = V/A
ρ : fajlagos ellenállás [mértékegysége: Ωm] Az anyag vezetőképessége: σ = 1/ρ
J = σE
Az ellenállás hőmérsékletfüggése
[
]
ρ (T ) = ρo 1 + α (T − To ) + β (T − To ) + ...
Ellenállás hőmérők:
2
A Dulong – Petit szabály
Einstein
Cv [ J/molK]
T[K] Cv = 3R = 3·8.31 J/molK = 24.9 J/molK
Az ellenállás jelölése
Változtatható ellenállás:
Az ellenállás-értékének megjelölésére a négy ill. ötsávos színkód használatos
Szupravezetés
Cooper-párok
Joule törvény dW = Udq
dW dq P= =U dt dt 2 U P = UI = RI 2 = R
Példa: Mennyi idő alatt forralna fel 20 °C h őmérsékletű 0.2 liter vizet egy 12 V – ról működő 0.5 Ω belső ellenállású turista merülőforraló? Mekkora áram folyik a merülőforraló fűtőszálában?
Egyenáram, egyenáramú körök Feszültségforrás:
Feszültségforrás terheléssel:
áramerősség: I = ε/R teljesítmény: P = I2R
Soros kapcsolás
ε = Vab + Vbc IRe = IR1 + IR2 Re = R1 + R2 Re = ∑ Ri i
Példa: telep belső ellenállással:
I=
ε R + Rb
kapocsfeszültség: Uk = IR
Uk =
R ε R + Rb
Párhuzamos kapcsolás I = I1 + I 2 ε Re
=
ε R1
+
ε R2
1 1 1 = + Re R1 R2
Replusz:
R1R2 Re = R1 + R2
1 1 =∑ Re i Ri
Kirchhoff törvények I. Kirchoff I. törvénye az un. csomóponti törvény : Ibe=Iki
I1+I2+I5=I3+I4
Kirchhoff II. törvénye az ún. hurok-törvény:
r r ∫ Ed s = 0
Kirchhoff törvények II. Példa:
I . I1 = I 2 + I 3 II . ε1-I1R1-I3 R3 = 0
III . ε 2-I 2 R2 + I 3 R3 = 0
Az áramerősség és a feszültség mérése Árammérés: Méréshatár kiterjesztése: shunt
Feszültségmérés:
Méréshatár kiterjesztése: előtét ellenállással
Példa: Wheatston-híd R
R+∆R
Uki
R
R
ε Uki = ? Kiegyenlített Wheatston-híd: ellenállás mérés
Az RC kör ε − IR − ε−
Q =0 C
dQ Q R− =0 dt C
dQ 1 ε =− Q+ dt RC R 1 − t Q(t ) = Cε 1 − e RC
Megoldás:
I (t ) =
ε R
e
−
1 t RC
A mágneses tér
A mágneses indukciós tér A mágneses indukciós tér jelölése: B Mértékegysége a Tesla = Ns/Cm
a Föld mágneses terének indukciója az egyenlítő környékén kb 3*10-5 T Lorentz-erő:
r r r F = qv × B
Lorentz-erő nagysága:
F = qvB sin α
A jobbkéz-szabály
Ha elektromos tér is van: Lorentz-erő általános alakja:
[
r r r r F =q E+v×B
]
Elektromos töltések mozgása statikus elektromos és mágneses térben I. E=0 B : homogén
v2 qvB = m R R=
mv qB
Periódusidő:
T=
2 Rπ v
T=
2πm qB
Elektromos töltések mozgása statikus elektromos és mágneses térben II. A sebességszűrő:
qE = qvB E v= B
Elektromos töltések mozgása statikus elektromos és mágneses térben III. a tömegspektrométer:
Láttuk: R ~ mv
Elektromos töltések mozgása statikus elektromos és mágneses térben IV. a ciklotron
Ciklotronfrekvencia: f = 1/T
f =
qB πm
Elektromos töltések mozgása statikus elektromos és mágneses térben V. Elektronmikroszkóp:
p = vBT = v cos(θ )
2πm qB
Ha a θ szög elég kicsi ( < 5°) → cos(θ) ≈ 1 → nyaláb lefókuszálódik
Elektromos töltések mozgása statikus elektromos és mágneses térben VI. mágneses térbe helyezett áramjárta huzalra ható erő:
r r r r r r r r ds dq r r F = qv × B ⇒ dF = dqv × B = dq × B = ds × B dt dt r r r F = I ∫ ds × B s Spec. eset: Legyen B homogén, a vezeték hossza: ℓ
r r r F = Il × B
Áramhurok mágneses térben, mágneses momentum a jelölt oldalakra ható erő nagysága: F = IbB
a M = 2 F cos ϕ = IabB cos ϕ 2
⇒ M = IAB cos ϕ
r r r M = IA × B
r r r M = µ×B r µ = IA r
Mágneses momentum potenciális energiája mágneses térben:
rr U = − µB Elektrosztatika (analógia):
rr U = − pE
Elektromos töltések mozgása statikus elektromos és mágneses térben VII. Hall effektus
r r r F = qv × B
E = vdB
Hall-feszültség: VH = Ew = vdBw BI VH = nqet
Mágneses ind. tér mérése → Hall szonda
Mágnes indukciós tere
Analógia → elektromos dipólus
A mágneses Gauss törvény
r r ∫ BdA = 0 A
Nincs mágneses monopólus!!! Zárt felület
A Föld mágneses tere 11.3°
A Van-Allen öv
Mozgó töltések és áramok mágneses tere
Az elektromos áram mágneses tere
A Biot-Savart törvény
r µo dsr × nr dB = I 2 4π r
Körvezető indukciós terének meghatározása a szimmetriatengelyen I.
µ ds µ ds dB = o I 2 = o I 2 4π r 4π a + x 2
µ ds µo ds sin dBx = o I 2 φ = I 4π a + x 2 4π a 2 + x 2
B( x) =
µo
(
Ia 2
2 a2 + x
)
2 3/ 2
illetve
µ ds = oI ⋅a 3 / 2 2 2 4π a 2 + x 2 a +x a
(
r r µo µ B= 2π a 2 + x 2 3 / 2
(
)
)
Spec. eset:
µ I B ( x = 0) = o 2 a
Körvezető indukciós terének meghatározása a szimmetriatengelyen II. B ( x = 0) =
Spec. eset:
r µo B= 2π
µ
µo I 2 a
r
(a
2
+x
)
2 3/ 2
x >> a: B ∼ 1/x3
Példa: a ∞ hosszú vezető indukciós tere (Biot-Savart) I (áram)
ds
r
r µo dsr × nr dB = I 2 4π r
P
I (áram)
B=? a keret közepén
Ampère – törvény I. r r ∫ Bd s = µ o ∑ I j s
j
jobbkéz-szabály:
Σ I = I1 - I2 + I3
Ampère – törvény II.
r r ∫ Bds = µo ∑ I j s
j
r r ∫ Bds = 2rπB
ill.
j
s
2rπB = µo I
µo ∑ I j = µo I
azaz
µo I B= 2 rπ
Ampère – törvény III.
r r ∫ Bds = µo ∑ I j j
s
B=
µo NI l
Ampère – törvény IV.
µo NI B= 2 rπ
Indukció I. A mágneses fluxus:
r r Φ m = ∫ BdA A
Indukció II.
Elektromotoros erő
dΦ m ε =− dt
Lenz törvény
r r ε = ∫ Eds
Indukció III.
∆Φ m = Blv∆t Blv I= R
Blv∆t ε = = Bl v ∆t
B 2l 2 v FL = BIl = R 2
B 2l 2 v 2 P = FLv = R
2 2 2 l l v B v B = P = I 2R = R R R
Örvényáramok
Indukciós sütő Indukciós fék Villanyóra számlálója . . .
+ kísérlet
Indukció IV. qE = qvB ⇒
E = vB
ε = Vab = El = vBl
Példa: helikopter rotorja
Váltakozó feszültségű generátor
A = ab
Φm = BAcos(ωt)
dΦ m ε =− = V (t ) = BAω sin(ωt ) = Vo sin(ωt ) dt
Példák:
+
