FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való felbontásával. Kiegészítésként érdemes tanulmányozni a tengelymetszetek, valamint az inverz függvény meghatározási módját is.
A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY
Csak 𝑓: ℝ ⟶ ℝ, tehát valós-valós függvényekkel foglalkozunk. Keressük a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát, amelyen a függvény értelmezhető. Több ilyen részhalmaz unióval (vagyis vagy kapcsolattal) köthető össze, míg ha többféle feltételből származik ilyen részhalmaz, akkor ezek metszetét (vagyis és kapcsolatát) kell vennünk.
1. PÉLDA: 𝑓(𝑥) = √2𝑥 2 − 𝑥 − 6 ⟹ 𝐷(𝑓) =? Egy nem nevezőben lévő páros gyökkitevőről van szó, így alatta nemnegatív kifejezés kell álljon. Ha ábrázoljuk a parabolát (vázoljuk legalábbis az állását, és a gyökeit, zérushelyeit, már ha van, vagy vannak), akkor könnyen leolvashatjuk a megfelelő intervallumokat. A parabola egyenes állású (felül nyitott), mivel a főegyüttható (a legmagasabb hatvány együtthatója) pozitív. 2𝑥 2 − 𝑥 − 6 ≥ 0 ⟶ 2𝑥 2 − 𝑥 − 6 = 0 ⟶ 𝑥1 = 2; 𝑥2 = −
3 2
3 𝐷(𝑓) = ]−∞; − ] ∪ [2; ∞[ 2 Érdemes mindig ilyen formában megadni az értelmezési tartományt, mert erről azonnal látszik, hogy hol vannak annak szélei. Ugyanis függvények határértékét itt fogjuk majd vizsgálni.
2. PÉLDA: 𝑓(𝑥) = lg(𝑥 2 + 6𝑥 + 10) ⟹ 𝐷(𝑓) =? Egy logaritmus argumentumában csak pozitív kifejezés állhat. 𝐷 = −4 < 0, és a főegyüttható pozitív, így ez mindig teljesül (a parabola az 𝑥 tengely felett van). 𝐷(𝑓) = ]−∞; ∞[
3. PÉLDA: 𝑥2 − 1 𝑓(𝑥) = ⟹ 𝐷(𝑓) =? ln 𝑥 − 1 Felhívjuk a figyelmet arra, hogy ln 𝑥 − 1 = (ln 𝑥) − 1 ≠ ln(𝑥 − 1). Egyrészt a logaritmus miatt 𝑥 > 0, másrészt a tört miatt ln 𝑥 − 1 ≠ 0, tehát 𝑥 ≠ 𝑒. 𝐷(𝑓) = ]0; 𝑒[ ∪ ]𝑒; ∞[
4. PÉLDA: 𝑓(𝑥) =
√6 − 2𝑥 ⟹ 𝐷(𝑓) =? 𝑥 2 − 16
A számlálóbeli gyök miatt 6 − 2𝑥 ≥ 0, vagyis 𝑥 ≤ 3 a kikötés, a tört miatt pedig 𝑥 2 − 16 ≠ 0, tehát 𝑥 ≠ ±4. E két halmaz közös részét kell vennünk. 𝐷(𝑓) = ]−∞; −4[ ∪ ]−4; 3]
5. PÉLDA: 𝑓(𝑥) = ln(9 − 𝑥 2 ) ⋅ √4𝑥 − 12 ⟹ 𝐷(𝑓) =? A logaritmus miatt 9 − 𝑥 2 > 0, azaz −3 < 𝑥 < 3. A négyzetgyök miatt emellett 4𝑥 − 12 ≥ 0 kell legyen, vagyis 𝑥 ≥ 3. A kettő együtt viszont sosem teljesül, így jelen esetben az értelmezési tartomány üres halmaz. 𝐷(𝑓) = {∅}
B) PARITÁS
A vizsgálat alapvetően az 𝑥; −𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) helyeken felvett 𝑓(𝑥); 𝑓(−𝑥) értékek összehasonlítása. Ha 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), akkor páros, ha 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥), akkor páratlan, illetve ha egyik sem teljesül, akkor nincs paritása. Ez a definíció nem keverendő össze az első két esetből fakadó szimmetriatulajdonsággal, amely sok egyéb tulajdonságot (határérték, monoton, és görbületi szakaszok…stb.) előre meghatároz. A megoldás során minden esetben felhasználjuk az elemi függvények paritását.
1. PÉLDA: 𝑓(𝑥) = √𝑥 4 − 17𝑥 2 + 16 Vegyük figyelembe, hogy valamennyi páros kitevőjű hatványfüggvény páros, és behelyettesítés után ezek alapján rendezzük a kapott kifejezést. 𝑓(−𝑥) = √(−𝑥)4 − 17(−𝑥)2 + 16 = √𝑥 4 − 17𝑥 2 + 16 = 𝑓(𝑥) A fentiek alapján már következik, hogy 𝑓(𝑥) 𝑝á𝑟𝑜𝑠 .
2. PÉLDA: 5 1 𝑓(𝑥) = ( + 3 ) ⋅ cos(2𝑥) 𝑥 𝑥 A páratlan kitevőjű hatványfüggvények páratlanok, míg a koszinusz függvény páros (amin a lineáris transzformáció sem változtat). A megoldás kiemelés után adódik. 5 1 5 1 𝑓(−𝑥) = [ + ⋅ cos[2(−𝑥)] = − ) ⋅ cos(2𝑥) = ] (− (−𝑥) (−𝑥)3 𝑥 𝑥3 5 1 = − ( + 3 ) ⋅ cos(2𝑥) = −𝑓(𝑥) 𝑥 𝑥 Definíció szerint ez azt jelenti, hogy a függvény 𝑝á𝑟𝑎𝑡𝑙𝑎𝑛 .
3. PÉLDA: 𝑓(𝑥) = (4𝑥 2 − 𝑥 + 1) ⋅ 𝑒 𝑥 2
Itt arra hívjuk fel a figyelmet, hogy 𝑒 𝑥 = 𝑒 (𝑥
2)
2
≠ (𝑒 𝑥 )2 = 𝑒 2𝑥 .
≠ 𝑓(𝑥) 2 2 𝑓(−𝑥) = [4(−𝑥)2 − (−𝑥) + 1] ⋅ 𝑒 (−𝑥) = (4𝑥 2 + 𝑥 + 1) ⋅ 𝑒 𝑥 { ≠ −𝑓(𝑥) Mivel egyik sem teljesül, ezért 𝑓(𝑥) − 𝑛𝑒𝑘 𝑛𝑖𝑛𝑐𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑖𝑡á𝑠𝑎 .
C) ÖSSZETETT FÜGGVÉNYEK
Elemi függvények egymásba ágyazásával (komponálásával, kompozíciójával) összetett függvényeket tudunk előállítani. Az ún. külső, illetve belső függvényt mindig pontosan meg kell határoznunk (ez a későbbiek miatt lesz fontos). Egy elemi függvény akár saját magával is komponálható.
1. PÉLDA: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 5; 𝑔(𝑥) = 𝑡𝑔 𝑥 ⟹ 𝑓(𝑔(𝑥)) =? ; 𝑔(𝑔(𝑥)) =? Az 𝑓(𝑔(𝑥)) függvény esetében az 𝑓(𝑥) függvény „dolgozik” később, méghozzá a 𝑔(𝑥) által felvett értékekkel, így előbbi a külső, utóbbi pedig a belső függvény lesz. 𝑓(𝑔(𝑥)) = 3(𝑡𝑔 𝑥) + 5 A másik kérdésnél 𝑔(𝑥) egyszerűen önmagába van ágyazva. 𝑔(𝑔(𝑥)) = 𝑡𝑔(𝑡𝑔 𝑥)
2. PÉLDA: 3
𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 𝑥; 𝑔(𝑥) = ln 𝑥; ℎ(𝑥) = √𝑥 ⟹ 𝑔 (ℎ(𝑓(𝑥))) =? Többszörös összetétel esetén ez előző példánál leírtak alapján járhatunk el.
Célszerű belülről kifelé haladni, előbb a ℎ(𝑓(𝑥)) összetett függvényt képezni, majd ezt beágyazni 𝑔(𝑥)-be. 3
3
ℎ(𝑓(𝑥)) = √3𝑥 2 − 𝑥 ⟶ 𝑔 (ℎ(𝑓(𝑥))) = ln ( √3𝑥 2 − 𝑥 )
Értelemszerűen az összetett függvények is felbonthatóak elemi függvényekre, ezt dekomponálásnak, vagy dekompozíciónak szokás nevezni. Megadja az elemi függvények egymásba ágyazódásának sorrendjét, ez pedig az ilyen függvények deriválásakor bír nagy jelentőséggel. Érdemes megjegyezni azt a módszert, ami a sima függvényérték-kiszámítási sorrenden alapul. Ugyanis ez megadja úgy az összetettség, mint a deriválás sorrendjét is.
3. PÉLDA: 𝑓(𝑥) = log 34 (1 − 𝑥) Gyakori hiba, hogy a kitevőt rosszul értelmezik. Jegyezzük meg, hogy az összes trigonometrikus, hiperbolikus, logaritmus, és inverz függvény esetén a kitevőt közvetlenül a függvény betűjele után írjuk, éppen amiatt, hogy azt véletlenül se keverjük össze azzal, amikor valami a függvény argumentumában („hasában”) van hatványozva, tehát log 34 𝑥 = (log 4 𝑥)3 ≠ log 4 𝑥 3 = log 4 (𝑥 3 ). 1 − 𝑥 ⟶ log 4 (… ) ⟶ (… )3 ⟹ 𝐵𝑒𝑙𝑠ő ⟶ 𝐵𝑒𝑙𝑠ő ⟶ 𝐾ü𝑙𝑠ő 𝑓(𝑥) = 𝑔 (ℎ(𝑖(𝑥))) 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 ; ℎ(𝑥) = log 4 𝑥; 𝑖(𝑥) = 1 − 𝑥
4. PÉLDA: 𝑓(𝑥) = √7𝑐𝑡𝑔
2 𝑥+𝑐𝑡𝑔
𝑥
𝑐𝑡𝑔 𝑥 ⟶ (… )2 + (… ) ⟶ 7… ⟶ √… ⟹ 𝐵𝑒𝑙𝑠ő ⟶ 𝐵𝑒𝑙𝑠ő ⟶ 𝐵𝑒𝑙𝑠ő ⟶ 𝐾ü𝑙𝑠ő 𝑓(𝑔) = 𝑔 (ℎ (𝑖(𝑗(𝑥)))) 𝑔(𝑥) = √𝑥; ℎ(𝑥) = 7𝑥 ; 𝑖(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥; 𝑗(𝑥) = 𝑐𝑡𝑔 𝑥
D) TENGELYMETSZETEK (KIEGÉSZÍTÉS)
Függvénygrafikonok vázolását jellegzetes pontokkal tehetjük pontosabbá, ezek egyike az 𝑥, illetve az 𝑦 tengelymetszet. Az 𝑥 tengelymetszethez (zérushelyhez) meg kell oldanunk az 𝑓(𝑥) = 0 egyenletet (persze 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) kell legyen). Ennek bármennyi megoldása lehet. Az 𝑦 tengelymetszethez csupán 𝑓(0) értékét kell kiszámítanunk (már persze ha 0 ∈ 𝐷(𝑓)), amiből következően ilyen pedig csak egy lehet.
1. PÉLDA: 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 2 − 4𝑥 − 4 Mivel 𝑓(𝑥) egy polinomfüggvény, ezért 𝑥 ∈ ℝ, és így nyilván 0 ∈ 𝐷(𝑓), tehát van 𝑦 tengelymetszet, mert 𝑓(0) = 03 + 02 − 4 ⋅ 0 − 4 = −4, ami pontként megadva (0; −4) . Az 𝑥 tengelymetszethez azt vegyük észre, hogy 𝑓(−1) = 0, tehát 𝑥 = −1 helyen van zérushely, és emiatt a szorzatalakban szerepelnie kell az (𝑥 + 1) tényezőnek. Polinomosztással azt kapjuk, hogy 𝑥 3 + 𝑥 2 − 4𝑥 − 4 = (𝑥 + 1)(𝑥 2 − 4), ami további két zérushelyet jelent, vagyis végül azt kapjuk, hogy (−2; 0); (−1; 0); (2; 0) .
2. PÉLDA: ln(𝑥 2 ) 𝑓(𝑥) = 𝑥+1 Szükségünk van az értelmezési tartományra. Ez az 𝑥 2 > 0, illetve az 𝑥 + 1 ≠ 0 kikötések mellett könnyen felírható. 𝑥 ∈ ]−∞; −1[ ∪ ]−1; 0[ ∪ ]0; ∞[ Mivel most 0 ∉ 𝐷(𝑓), ezért 𝑛𝑖𝑛𝑐𝑠 𝑦 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑒𝑙𝑦𝑚𝑒𝑡𝑠𝑧𝑒𝑡 . Egy tört értéke akkor 0, ha számlálója 0, így ln(𝑥 2 ) = 0 ⟶ 𝑥 = ±1, de −1 ∉ 𝐷(𝑓). Ez azt jelenti, hogy 𝑥 = −1 helyen nincs zérushely, viszont az (1; 0) pontban van.
E) INVERZ FÜGGVÉNY (KIEGÉSZÍTÉS)
Egy függvény akkor invertálható, ha kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés, azaz ha az értelmezési tartományán egységesen szigorúan monoton függvény. Éppen ezért kell például a trigonometrikus függvények értelmezési tartományát egy-egy ilyen szakaszra leszűkítenünk. Fontos, hogy az 𝑓 −1 (𝑥)-szel jelölt inverzt ne keverjük össze a reciprokkal. Speciális tulajdonság, hogy az eredeti függvény, és a saját inverzének a grafikonja szimmetrikus az 𝑦 = 𝑥 egyenesre.
1. PÉLDA: 𝑓(𝑥) = −4𝑥 + 2 ⟹ 𝑓 −1 (𝑥) =? Mivel 𝑓(𝑥) lineáris függvény, ezért a képe egy egyenes, ami nyilvánvalóan szigorúan monoton (most éppen csökkenő) függvény, így invertálható. Az inverz két lépésben számítható ki. Először a megadott 𝑦 = 𝑓(𝑥) alakot kell rendeznünk 𝑥-re, majd ezután felcserélnünk 𝑥 és 𝑦 szerepét. 𝑓(𝑥) = 𝑦 = −4𝑥 + 2 ⟶ 𝑥 =
𝑦−2 1 1 =− 𝑦+ −4 4 2
1 1 𝑦 = 𝑓 −1 (𝑥) = − 𝑥 + 4 2
2. PÉLDA: 𝑓(𝑥) = lg(2𝑥 + 8) ⟹ 𝑓 −1 (𝑥) =? A logaritmusfüggvény is szigorúan monoton függvény, így a 𝐷(𝑓) = ]−4; ∞[ értelmezési tartományán létezik inverze. 1 𝑓(𝑥) = 𝑦 = lg(2𝑥 + 8) ⟶ 10𝑦 = 2𝑥 + 8 ⟶ 𝑥 = (10𝑦 − 8) 2 𝑦 = 𝑓 −1 (𝑥) =
1 ⋅ 10𝑥 − 4 2
GYAKORLÓ FELADATOK: 3
√𝑥 2 − 4 𝑓(𝑥) = 𝑥 ⟹ 𝐷(𝑓) =? 2 +8 (Megoldás: 𝐷(𝑓) = ]−∞; ∞[)
𝑓(𝑥) =
√−𝑥 2 + 6𝑥 ⟹ 𝐷(𝑓) =? ln(𝑥 2 − 8𝑥 + 16)
(Megoldás: 𝐷(𝑓) = [0; 3[ ∪ ]3; 4[ ∪ ]4; 5[ ∪ ]5; 6])
𝑓(𝑥) =
𝑥 ⋅ |3𝑥| 𝑐ℎ(2𝑥) + 1
(Van-e paritása?) (Megoldás: van, páratlan függvény)
𝑓(𝑥) = (3𝑥 4 − 1) ⋅ 8|𝑥| (Van-e paritása?) (Megoldás: van, páros függvény)
𝑓(𝑥) = (𝑥 2 − 9𝑥 + 18) ⋅ 𝑒 𝑥 (Határozzuk meg a tengelymetszeteket!) (Megoldás: x t.m. (3; 0); (6; 0), y t.m. (0; 18))
𝑓(𝑥) =
2𝑥 − 1 ⟹ 𝑓 −1 (𝑥) =? 𝑥+3
(Megoldás:𝑓 −1 (𝑥) =
−3𝑥−1 𝑥−2
)
