Függvények határértéke és folytonossága 7. el˝oadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék
Függvények határértéke – p. 1/1
Függvény határértéke az x0 helyen Definíció. Legyen D ⊂ R, f : D → R adott függvény és x0 a D halmaz torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az x0 -ban A, ha minden xn ∈ D (xn = x0 ), lim xn = x0 sorozat n→∞
esetén az (f (xn )) sorozat konvergens és lim f (xn ) = A. Jele: n→∞
lim f (x) = A,
x→x0
és ezt úgy olvassuk, hogy „limesz x tart x0 esetén f (x) egyenl˝o A-val”. Megjegyzés.Véges x0 helyen a határérték nemcsak véges lehet, hanem ±∞ is.
Függvények határértéke – p. 2/1
A jobb- és bal oldali határérték Definíció. Legyen D ⊂ R, f : D → R, x0 ∈ R torlódási pontja az ]x0 , +∞[ ∩ D-nek. Az f függvénynek x0 -ban létezik a jobb oldali határértéke, ha az f függvény [x0 , +∞[ ∩ D-re való lesz˝ukítésének létezik a határértéke. Jele: lim
x→x0 +0
f (x) = y0 .
Definíció. Legyen D ⊂ R, f : D → R, x0 ∈ R torlódási pontja az ]−∞, x0 [ ∩ D-nek. Az f függvénynek x0 -ban létezik a bal oldali határértéke, ha az f függvény ]−∞, x0 ] ∩ D-re való lesz˝ukítésének létezik a határértéke. Jele: lim
x→x0 −0
f (x) = y0 .
Tétel. Az f függvénynek pontosan akkor létezik a határértéke az x0 -ban, ha itt létezik a bal- ill. jobb oldali határértéke, és ezek egyenl˝oek. Ez a közös határérték lesz az f függvény x0 -beli határértéke.
Függvények határértéke – p. 3/1
A jobb- és bal oldali határérték szemléltetése ∞ ← f (xn )
f (x5 )
Y
−1
−1 ← xn = −1 +
1 n
1 n
f (xn )
0
2
2.
− 12
3
3.
− 23
4
f (x1 )
4.
− 34
5
x1
5. .. .
− 45
6
↓
↓
−1
∞
f (x3 ) f (x2 )
x2
xn = −1 +
1.
f (x4 )
x5 x4x3
n
X
Függvények határértéke – p. 4/1
A jobb- és bal oldali határérték kiszámítása Jobb oldali határérték: áttérünk az xn = −1 +
1 n
sorozatra.
1 1 1 + 1 = lim 1 + 1 = + 1 = lim lim n→∞ −1 + 1 + 1 n→∞ x→1+0 x + 1 n n = lim n + 1 = ∞. n→∞
Bal oldali határérték: áttérünk az xn = −1 −
1 n
sorozatra.
1 1 1 + 1 = lim + 1 = lim +1= 1 1 n→∞ −1 − n→∞ − x→1−0 x + 1 n +1 n lim
= lim −n + 1 = −∞. n→∞
A jobb- és a bal oldali határérték nem egyenl˝o, így a függvénynek az x0 = −1 helyen nincs határértéke.
Függvények határértéke – p. 5/1
Határérték a végtelenben Definíció. Legyen D ⊂ R felülr˝ol nem korlátos halmaz, f : D → R adott függvény, továbbá xn ∈ D olyan sorozat, amelyre lim xn = ∞. Ha az n→∞
(f (xn )) sorozat minden ilyen tulajdonságú (xn ) sorozat esetén konvergens és lim f (xn ) = A (A ∈ R), akkor azt mondjuk, hogy az f függvénynek
n→∞
létezik a határértéke a végtelenben és ez A-val egyenl˝o. Jele: lim f (x) = A.
x→∞
Definíció. Legyen D ⊂ R alulról nem korlátos halmaz, f : D → R adott függvény, továbbá xn ∈ D olyan sorozat, amelyre lim xn = −∞. Ha az n→∞
(f (xn )) sorozat minden ilyen tulajdonságú (xn ) sorozat esetén konvergens és lim f (xn ) = A (A ∈ R), akkor azt mondjuk, hogy az f függvénynek n→∞
létezik a határértéke a mínusz végtelenben és ez A-val egyenl˝o. Jele: lim f (x) = A.
x→−∞
Függvények határértéke – p. 6/1
A végtelenben vett határérték kiszámítása 1 1 + (x + 1) + 1 = lim = x→∞ x + 1 x→∞ x+1 x+2 = lim = x→∞ x + 1 x · (1 + x2 ) 1+ = lim = lim x→∞ x · (1 + 1 ) x→∞ 1 + x lim
2 x 1 x
1 1 + (x + 1) + 1 = lim = lim x→−∞ x + 1 x→−∞ x+1 x+2 = lim = x→−∞ x + 1 x · (1 + x2 ) 1+ = lim = lim 1 x→−∞ x · (1 + ) x→−∞ 1 + x
= 1.
2 x 1 x
= 1.
Függvények határértéke – p. 7/1
Függvény ábrázolása a határérték ismeretében Összefoglalva: • A jobb oldali határérték a szakadási helyen: ∞. • A bal oldali határérték a szakadási helyen: −∞. • A határérték a ∞-ben és a −∞-ben: 1.
Ennek alapján a függvény képe:
4
2
0 y -6
-4
-2
0
2
4
x -2
-4
Függvények határértéke – p. 8/1
Egy gyakorlati alkalmazás Egy üzem termelési volumenének alakulásában általában három jellegzetes szakasz figyelhet˝o meg. A termelés megindulása utáni szakaszban a termelés még lassan emelkedik. Kés˝obb a növekedés gyorsabb. A harmadik szakaszban a termelés mennyiségi növekedése rendszerint újra lassul (pl. a kereslet lanyhulása, vagy a piac telítettsége miatt). Itt a termelés egyre inkább egy állandó mennyiség felé tart. A termelésnek ezt a mennyiségi alakulását az id˝o függvényében az f (t) =
a , a > 0, 1 + b · e−λ·t
λ > 0.
ún. logisztikus függvény írja le, ahol t jelenti az eltelt id˝ot, f (t) pedig a termelés mennyiségét. A harmadik szakaszbeli állandó termelési mennyiséget a függvény végtelenben vett határértéke adja meg.
Függvények határértéke – p. 9/1
Egy gyakorlati alkalmazás 35
30
A konkrét logisztikus függvény:
25
20
f (t) =
15
195 . −0.5278·t 5 + 56 · e
10
5 0
2
4
6
8
10
12
14
evek
Az állandó termelt mennyiség: 195 195 = 39. lim f (t) = lim = −0.5278·t t→∞ t→∞ 5 + 56 · e 5 A harmadik szakaszban a termelt mennyiség 39 ezer termék.
Függvények határértéke – p. 10/1
Függvény folytonossága Definíció. Legyen D ⊂ R, f : D → R adott függvény és x0 ∈ D. Az f függvény folytonos az x0 -ban, ha f -nek létezik a határértéke x0 -ban és az megegyezik a függvény helyettesítési értékével, azaz lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
Ha az f függvény a D halmaz minden pontjában folytonos, akkor azt mondjuk, hogy az f folytonos az értelmezési tartományán, vagy röviden: f folytonos függvény. Megjegyzés. Ha az f függvény az értelmezési tartományának valamely pontjában nem folytonos, akkor a függvénynek ott szakadási helye van.
Függvények határértéke – p. 11/1
Szakadási helyek típusai Y
Az f függvénynek x0 -ban els˝ofajú szakadása van, ha x0 -ban létezik a jobb-, illetve bal oldali véges határértéke. x0
X
Y
Ha még az is teljesül, hogy a jobb-, illetve bal oldali véges határérték megegyezik, akkor ez a szakadás megszüntethet˝o. x0
X
Y
A függvény szakadási helye másodfajú, ha nem els˝ofajú. x0
X
Függvények határértéke – p. 12/1
