Fegyverhordozók feladatai
Lovagi Logikai torna 2016 Főfeladatok:
1. Mikor fordult elő utoljára, hogy az aktuális dátumban minden számjegy különböző? A dátumokat ÉÉÉÉ.HH.NN. formában írjuk. Megoldás: 2000-rel kezdődő nem lehet, mert akkor a hónapot nem tudjuk különböző számjegyekkel leírni. (vagy 0 szerepel a hónapban 01-10 vagy 2-esa 12. hónapban. 11 nem lehet, mert egyforma számjegyeket tartalmaz) Tehát 1-essel kezdődik utána pedig csökkenő sörrendben jönnek a számok a dátumban. 1987.06.25. 2. Hányféleképpen tudjuk kiolvasni az alábbi ábrán a LOVAGI TORNA szót, ha csak jobbra és lefelé haladhatunk? L O V
O V A
V A G
A G I
T O R O R N R N A Megoldás: Először nézzük meg hányféleképpen tudjuk kiolvasni a lovagi szót. Az első sor és az első oszlop betűihez egyféleképpen lehet csak eljutni. A második sor V betűjéhez kétféleképpen és így tovább. A táblázat bármelyik mezőjére az előtte levő, illetve a fölötte levő mezőről juthatunk (ha van fölötte, illetve előtte mező). Beírom a táblázat mezőibe, hogy oda hány út vezet, ha a bal felső sarokból indulunk. A kitöltést is úgy tudom elvégezni, hogy a bal felső sarokból indulva írom be a mezőkbe a számokat. 1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 10 A TORNA szó T betűjéhez így 10 féleképpen tudunk eljutni, így végig az első sorába és oszlopába is 10 féleképpen. A szó végéig a kitöltés a következő: 10 10 10 10 20 30 10 30 60 Tehát 60 féleképpen tudjuk kiolvasni. 3. Podmaniczky Rafael a rettegett rablólovag egy éjszaka betört a király pincéjébe, ahol talált egy kupac aranyat. Elsőre úgy gondolta, elviszi az összeset, de közbeszólt a lelkiismerete, és úgy döntött, megelégszik a felével is. Össze is szedte az aranyrudak felét, de aztán visszafordult, és elvett még egyet, majd elment. Néhány perccel később a rabló testvére Podmaniczky János is betért a király pincéjébe, ő is elvitte a maradék aranyrudak felét és még egyet. Aztán betért a harmadik és a negyedik rabló, mindkettő elvitte a maradék felét és még egyet. Majd jött egy ötödik is, de neki már nem maradt egy aranyrúd sem. Hány aranyrúd volt a király pincéjében? Megoldás: Visszafelé gondolkodunk. Ha az utolsó rablónak már nem jutott aranyrúd, akkor az előző rabló 2 aranyrudat vitt el. 1 a fele és még 1. 5.rabló 4.rabló 3.rabló 2.rabló 1.rabló eredetileg
fele
+1
1 3 7 15
1 1 1 1
elvitt 0 2 4 8 16
maradt 0 2 6 14 30 aranyrúd
4. Öt számkártyánk van. Mindegyiken egy-egy nullánál nagyobb, de egymástól különböző számjegy áll. Az egyik számkártya fordítva került a képre, ezért nem látható, hogy melyik számjegy van rajta. Az öt számkártya felhasználásával egy kétjegyű és egy háromjegyű számot állítunk elő. Mennyi lehet a két legnagyobb különbségű szám különbségének és a két legkisebb különbségű szám különbségének a különbsége? 1
2
8
9
Megoldás: A nem látható számjegy lehet: 3, 4, 5, 6 vagy 7. lehet. A két legnagyobb különbségű szám különbsége lehet: 983 984 985 -12 -12 -12 971 972 973 A két legkisebb különbségű szám különbsége:
986 -12 974
987 -12 975
123 124 -98 -98 25 26 A különbségek különbsége:
125 -98 27
126 -98 28
127 -98 29
971 972 973 -25 -26 -27 946 946 946 Tehát az eredmény minden esetben 946.
974 -28 946
975 -29 946
5. Egy furcsa számítógépes program egy könyv oldalait az elsőtől kezdve az utolsóig így számozta be: 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 10, ..., 185, vagyis öt oldalanként a következő oldalt a megelőzővel azonosan számozta, és a legutolsó oldalra a 185-ös sorszám került. Valójában hány oldalas lehet ez a könyv? Megoldás: A számozásnál 5 oldal helyett mindig 6 oldal van. 185:5=37 376=222 Tehát a könyv 222 oldalas.( Az előtte levő szám is 185, így a 221 is jó válasz.) 6. Lerajzoltunk egy négyzetet, majd az egyik oldalára egy fele akkora oldalhosszúságú, a szemközti oldalára pedig egy kétszer akkora oldalhosszúságú négyzetet (lásd ábra). Mennyi a három négyzet által alkotott sokszög kerülete és területe, ha az először lerajzolt négyzet oldala 8 cm? Megoldás: A kis négyzet oldala: 4 cm, a nagyé 16 cm. a három kerület: 16 cm+32 cm+ 64 cm =112 cm, de a négyzetek érintkezésénél nem kell számolnunk, így le kell vonni: 24+28=24 cm-t. Így a kerület: 88 cm. A terület a 3 négyzet területének összege: 44+88+1616=336 cm2.
Mellékfeladatok: 7. A 2016 olyan évszám, amely osztható számjegyei összegével. Hány év múlva lesz legközelebb ilyen évszám? Megoldás: A következő ilyen szám a 2020, 2020 osztható 4-gyel. Tehát 4 év múlva lesz ilyen évszám.
8. Egy kétjegyű számot megszorozva egy egyjegyűvel, 176-ot kapunk eredményül. A két szorzótényező három számjegye egyforma. Melyik ez a számjegy? Megoldás: 444=176. A számjegy a 4-es. 9. Hányféleképpen tudjuk kiolvasni az alábbi ábrán az APRÓDOK szót, ha csak jobbra és lefelé haladhatunk? A P R Ó
P R Ó D
R Ó D O
Ó D O K
Megoldás: A 2.-es feladat alapján a táblázat: 1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6 10
1 4 10 20
20 féleképpen olvasható ki. 10. A királykisasszony gyöngyöket gyűjt. Már 55 db gyöngyöcske van a kincsesládájában: 6 barna, 11 sárga, 5 fehér, 8 kék, 12 piros, 5 zöld és 8 lila. Egyszer azt játszotta, hogy addig vett ki bekötött szemmel gyöngyöket a ládikából, ameddig valamelyikből 7 azonos színű nem került a kezébe. Legalább hány szemet kell kivennie, hogy biztosan legyen közöttük 7 azonos színű? Megoldás: A legrosszabb esetet tekintsük. A királykisasszony kiveszi a 6 barna gyöngyöt, 6 sárgát, 5 fehéret, 6 kéket, 6 pirosat, 5 zöldet és 6 lilát. Ekkor még nincs 7 egyforma gyöngye, de a következő már valamelyikkel azonos színű lesz. 6+6+5+6+6+5+6=40 és még 1. Tehát 41 gyöngyöt kell kivennie. 11. Négy lovag kártyázik. Minden kör végén a vesztes megduplázza a többiek pénzét. Az első négy kör végére mindenki egyszer vesztett, és mindenkinek pontosan 480 aranya van. Hány arannyal lett kevesebbje a játék végén a kiindulási helyzethez képest annak a kalóznak, aki a legrosszabbul járt? Megoldás: Visszafelé gondolkodva 1.lovag
2.lovag
3.lovag
4.lovag
Kiindulás
150
270
510
60+150+270+510=990
1.kör
300
540
120+300+540+60=1020
60
2.kör
600
240+600+2120=1080
120
120
3.kör
480+3240=1200
240
240
240
4.kör
Vesztes 480
480
480
480
210
-30
-510
különbség 330 510 aranyat vesztett.
Vesztes
Vesztes
Vesztes
12. A királyi udvar főszakácsmestere nagyon szerette a gyerekeket. Egy szép kora nyári napon már megsütött 25 darab palacsintát, amikor a lurkók nekifogtak az evésnek. Amíg elkészült két palacsintával, addig megettek hármat. 27 palacsinta elfogyasztása után a gyermekek befejezték az evést, és a főszakácsmester is befejezte a sütést. Hány palacsinta maradt az asztalon? Megoldás: Minden körben 2-t sütött és 3-at ettek meg, így 1-gyel csökkent a palacsinták száma. 27:3=9 kör volt, ezért 9-cel csökkent a palacsinták száma. 25-9=16. Vagyis 16 palacsinta maradt. 13. A lovagi torna döntőjébe négy versenyző jutott be. A verseny után mindegyiküket megkérdezték, melyik helyen végzett.
Richárd lovag: „Nem lettem sem első, sem utolsó.” Simon lovag: „Nem lettem első.” Cid lovag: „Első lettem.” Péter lovag: „Én lettem az utolsó.”
Valaki, aki a versenyt is látta, ezt mondta: „A négy válasz közül három igaz, egy hamis.” Ki volt az első? Megoldás: Tegyük fel sorba, hogy melyik lovag hazudik. Richárd Simon
Cid
Péter
Richárd
Simon
Cid
Péter
Hamis
Igaz
Igaz
Igaz
1.vagy 4.
2.3. vagy 4.
1.
4.
ellentmondás
Igaz
Hamis
Igaz
Igaz
2.vagy 3.
1.
1.
4.
ellentmondás
Igaz
Igaz
Hamis
Igaz
2.vagy 3.
2.3. vagy 4.
2.3. vagy 4.
4.
ellentmondás
Igaz
Igaz
Igaz
Hamis 2.vagy 3.
2.3. vagy 4.
1.
1.2. vagy 3.
Cid lovag lett az első. 14. Összesen hányféleképpen lehet egy négyemeletes (ötszintes) házat kifesteni, ha minden szintet vagy fehérre, vagy pirosra festünk, de két fehér szint nem kerülhet egymás fölé? Megoldás: PPPPP, PPPPF, PPPFP, PPFPP, PFPPP, FPPPP, FPFPP, FPPFP, FPPPF, PFPFP, PFPPF, PPFPF, FPFPF 13 féleképpen 15. Artúr lovag szerencseszáma két számjegyű. Ha a számjegyeit összeszorozzuk, akkor 27-et kapunk, ha felcseréljük őket, akkor pedig a tízesek helyén álló szám háromszorosa lesz az egyesek helyén állónak. Mi Artúr lovag szerencseszáma? Megoldás: 27=39. Artúr lovag szerencseszáma 39. 16. A lovag vendéget várt estére, ezért gyertyát gyújtott. Meggyújtott egy fehér gyertyát, ami 42 cm magas volt, és a dobozára rá volt írva, hogy 24 óra alatt egyenletesen ég el. Egy piros gyertyát is meggyújtott, amiről azt tudjuk, hogy 32 óra alatt ég el, szintén egyenletesen. Este 7-kor gyújtotta meg mindkét gyertyát, este 11-kor pedig észrevették, hogy egyforma magasak lettek. Hány cm magas volt a piros gyertya ugyanazon este 9 órakor?
Megoldás: A fehér gyertyából 1 óra alatt
cm ég el. 4 óra alatt
42-7=35 cm. A piros gyertya 2 óra múlva lett 35 cm. 4 óra alatt a gyertya
cm. Marad része égett el,
megmaradt a -od része, ami 35 cm. A gyertya magassága 35:78=40 cm. 40-35=5 cm égett el 4 óra alatt, akkor 2 óra alatt 2,5 cm. Így 37, 5 cm volt 9 órakor. 17. Egy 7 cm élű kocka minden lapátlóját pirossal megrajzoltuk, majd a kockát 1-cm élű kis kockákra vágtuk. Hány kis kockán van piros vonal? Megoldás: Egy átló 7 kis kockán halad keresztül. Egy lapon 2 átló van:27 kiskocka, de a középsőt kétszer számoltuk. Vagyis 1 lapon 13 kiskockán halad piros vonal. 6 lap van 613=78. azonban a csúcsokban levő kockákat háromszor számoltuk. Kétszer le kell vonni. 78-28=62. Azaz 62 kiskockán halad vonal. 18. Egy négyzet alakú kert hossza 90 m. A lovag kertésze facsemetéket telepít bele. A facsemeték között mindig 5 méter a távolság, és a kerítéstől is 5 méterre kerül az első facsemete. Hány darab facsemetét telepített a kertész? Megoldás: 90:5=18. Ha a sor elejéről indulna 18+1 fát telepítene 1 sorba. Mindkét végén elhagy 1-1 fa helyet, így 1 sorban 17 facsemete van, és 17 sor van. 1717=289. Tehát 289 facsemetét telepített a kertész.
