FÉLEMPIRIKUS MODELL KISMÉRETŰ PNEUMATIKUS MÁGNESSZELEPEKRE

FÉLEMPIRIKUS MODELL KISMÉRETŰ PNEUMATIKUS MÁGNESSZELEPEKRE Szente Viktor tanársegéd, Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Áramlástan Tanszék, 1111. Budapest, Bertalan Lajos u. 4 – 6. Tel.: (+36-1)-463-3187, Fax: (+36-1)-463-3464 e-mail: [email protected]

Vad János docens, Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Áramlástan Tanszék, 1111. Budapest, Bertalan Lajos u. 4 – 6. Tel.: (+36-1)-463-2464, Fax: (+36-1)-463-3464 e-mail: [email protected]

Összefoglaló Elkészítettünk egy félempirikus modellt, amely képes kisméretű elektropneumatikus (EP) szelepek átömlési karakterisztikájának visszaadására igen széles nyomásviszony-tartományban. Az átömlési karakterisztika alapjául egy egyszerűsített geometriára megalkotott analitikus modell szolgált. A valóságos geometria összetettebb voltából adódó korrekciókat a FLUENT CFD program segítségével készült kvázi-3D modellszámítások alapján végeztük el. Különféle geometriák vizsgálata alapján meghatározhatóvá vált az átfolyási szám és a geometria közti korreláció. Kulcsszavak: pneumatikus szelep, átömlési karakterisztika, dinamikus szimuláció

1. Bevezető Az elektropneumatikus (EP) szelepek az ipar legkülönfélébb ágazataiban megtalálhatók. Az ilyen szelepek dinamikus átömlési karakterisztikájának ismerete különösen azokon a területeken fontos, ahol rövid válaszidejű pneumatikus rendszerekben szabályzószelepként kerül alkalmazásra. Az ilyen típusú szabályzási funkcióra egy tipikus példa a tehergépjárművekben alkalmazott intelligens elektropneumatikus fékrendszerek [1][2]. Ebben az esetben az EP szelepek dinamikus átömlési karakterisztikája a teljes pneumatikus rendszer működésére igen jelentős hatással van. Ahogy a [3] cikk is illusztrálja, egy egyszerűsített 1D szimulációs eszköz hatékonyan alkalmazható szabályozott elektropneumatikus rendszerek tervezésében és fejlesztésében. Az ilyen szimulációkban alkalmazott szelepmodelleknek megbízhatóan kell számítaniuk a szelep átömlési karakterisztikáját, az igen sok időt felemésztő, és a felhasználás szempontjából szükségtelen 3D áramlások részletes számítása nélkül. Az utóbbi évtizedekben számos kutatás célja volt hogy meghatározza az átömlési tényezőt a nyomásviszony illetve a geometria függvényében. A Perry [4] által végzett mérések – melyek a Perry-polinommal összegezhetők – teljesen empirikus adatokat tartalmaznak kör keresztmetszetű, éles szélű átömlőnyílásokra a teljes nyomásviszony-tartományon. Mivel azonban az EP szelep geometriája ettől jelentősen eltér, így a Perry-polinom alkalmazása megkérdőjelezhető. Ennek ellenére bizonyos esetekben még ma is ennek a használatára kényszerülünk pneumatikus

szimulációkban [5]. Busemann [6] bemutatott egy analitikus modellt kétdimenziós hosszanti nyílásra, míg Oswatitsch [7] egy összetettebb modellt alkotott meg egy Borda-típusú kiömlőnyílásra. Ezek a modellek azonban csak a kritikus feletti nyomásviszony-tartományt vizsgálják. Brower [8], Busemann modelljét alapul véve, kidolgozott egy analitikus modellt a teljes nyomásviszony-tartományra, azonban – a Perry-modellhez hasonlóan – ez is kör keresztmetszetű, éles szélű átömlőnyílásokra érvényes. Más források, mint Grace & Lapple [9], Jobson [10], vagy Tsai & Cassidy [11] mérési adatok alapján egy konstans átömlési tényezőt javasolnak, továbbá ezek a kutatások is elsősorban a kör keresztmetszetű éles szélű átömlőnyílásokra, illetve a golyós- és kúpos tányérszelepekre koncentrálnak. Mindezek alapján szükségessé vált egy széles körben alkalmazható modell kidolgozása az EP szelepek geometriájára. Ebben a cikkben bemutatunk egy félempirikus modellt, amely megbízható információt szolgáltat az EP szelep átömlési karakterisztikájáról. Az alapot egy, az impulzustétel segítségével készült egyszerűsített modell szolgáltatja. Ezen az analitikus modellen a FLUENT véges térfogatok módszerével dolgozó CFD kód segítségével bizonyos korrekciókat végeztünk, így egy félempirikus modell született, melynek alkalmazhatóságát egy EP szelep esettanulmányon keresztül mutatjuk be. A modellt számos EP geometriára vizsgáltunk meg, melyekből egy tudásbázist állítottunk össze, ami igen hasznos lehet jövőbeli fejlesztéseknél. 2. A vizsgált szelep A vizsgált szelepet elsősorban rövid válaszidejű pneumatikus rendszerekben alkalmazzák vezérlőszelepként, pl. hogy nyomásjeleket generáljon relészelepeknek. Az ilyen és ehhez hasonló kisméretű szelepeknek gyors, impulzusszerű átáramlást kell biztosítaniuk akár 10 bar nyomáskülönbségű térfogatok között, 0.01 s vagy kisebb nagyságrendű periódusidővel. Igen fontos hogy megbízható áramlástani modell álljon rendelkezésre a pneumatikus rendszer és vezérlésének tervezése során.

frame solenoid jacket valve body return spring orifice

x

inlet port outlet port

1a. ábra Az EP szelep vázlata

1b. ábra 3D nézet

Az 1a. és 1b. ábrán a szelep vázlatrajzai láthatók (SZENTE és VAD [12]), a szeleptestpozíciót jelző koordináta (x) feltüntetésével. Maga a szeleptest flexibilis tömítő- és érintkező

felületekkel van felszerelve. Áramtalanított állapotban a szelepet a helyretoló rugó zárt végállapotban tartja. Ha a tekercset egyenárammal gerjesztjük, a keret és a hüvely segítségével behangolt elektromágneses erő a szeleptestet a helyretoló rugó ellenében elmozdítja, ezzel megnyitja az áramlási keresztmetszetet. Ennek a szelepnek az ülékszöge α = 8° (α részletes ismertetését ld. a 4. fejezetben). Az átömlési karakterisztika modellezésére első lépésben egy analitikus modellt készítettünk. 3. Analitikus modell A szelep analitikus modellje egy Borda-típusú kiömlőnyílásra felírt impulzustételen alapul, melynek vázlata a 2. ábrán látható. A Borda-típusú kiömlőnyílás egy kör keresztmetszetű, éles szélű, rövid, egyenes csőszakasz, mely benyúlik a nagyobb nyomású térfogatba. Összenyomhatatlan folyadékok esetén ennek a nyílásnak a kontrakciója 0.5 [13], amit mérésekkel igazoltak. Az Oswatitsch-féle modellel ellentétben, itt a teljes nyomásviszony-tartományt vizsgáltuk. A belépő oldalra felvett ellenőrző felület (2. ábra) a nyílástól elegendően távolra lett felvéve, így az átáramlás ezen a felületen keresztül elhanyagolható, illetve a nyomás egyenletes statikus belépőoldali nyomásnak (pup) tekinthető. Az ellenőrző felület közvetlenül a fal mellett halad, így nem foglalja magába a kiömlőnyílást. A kilépőoldalon az ellenőrző térfogat az áramlás legszűkebb keresztmetszetében (vena contracta) ér véget (az izentropikus áramlás alkalmazhatósági határa). Ebben a modellben a következő feltételezéseket vettük alapul: • Az áramlás a nyílásban stacioner • Az erőterek hatása elhanyagolható • Az áramlás izentropikus (súrlódásmentes, hőszigetelt) a belépőoldalon, illetve a kiömlőnyílásban a legszűkebb áramlási keresztmetszetig (vena contracta). Ez azt jelenti, hogy még hangsebesség feletti áramlás esetén is (fojtott expanzió), a lökéshullámok a vena contracta után jelennek csak meg. A szelepen átáramló tömegáram qm a belépőoldali nyomás pup és hőmérséklet Tup, a szelepkeresztmetszet A, az átömlési paraméter Cq és a tömegáram-paraméter Cm függvénye ([5][14]). qm = A ⋅ Cq ⋅ Cm ⋅

pup

(1)

Tup

ahol

Cm =

⎛ 2 ⋅κ ⎜⎛ p ⋅ ⎜ ⎜ down R ⋅ (κ − 1) ⎜ ⎜⎝ pup ⎝

Cm =

2 ⋅κ ⎛ 2 ⎞ κ −1 ⋅⎜ ⎟ R ⋅ (κ − 1) ⎝ κ + 1 ⎠

2

⎞ κ ⎛ pdown ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎠ ⎝ pup

⎞ ⎟⎟ ⎠

κ +1 κ

⎞ pdown ⎛⎜ pdown ⎞⎟ ⎟ > ha (szubszonikus áramlás) ⎟ ⎜ p ⎟ pup ⎝ up ⎠crit ⎟ ⎠

(2a)

pdown ⎛⎜ pdown ⎞⎟ ≤ (transzszonikus ⎜ p ⎟ pup ⎝ up ⎠crit

(2b)

1

R*(k+1)

ha

áramlás)

a kritikus nyomásviszony pedig ⎛ pdown ⎜⎜ ⎝ pup

κ

⎞ ⎛ 2 ⎞ κ −1 ⎟⎟ = ⎜ ⎟ = 0.528 ha κ=1.4 ⎠crit ⎝ κ + 1 ⎠

(3)

A fentieknek megfelelően Cq kivételével minden paraméter értéke méréssel vagy explicit összefüggésekkel meghatározható, így az analitikus vagy félempirikus modell készítése során Cq függvényét kell meghatározni.

pdown

Ajet

A

pup

2. ábra Borda-típusú kiömlőnyílás Ha felírjuk az impulzustörvényt az ellenőrző felületre, a következő összefüggést kapjuk:

− ρ ⋅ v 2jet ⋅ Ajet = p jet ⋅ Ajet − pup ⋅ A + pdown ⋅ (A − A jet )

(4)

A fenti összefüggésben azt vettük alapul, hogy a kilépőoldali statikus nyomás (pdown) befolyásolja az áramlást a vena contracta és a geometriai keresztmetszet közötti gyűrűkeresztmetszetben (A − A jet ) . Azt is feltételeztük, hogy a nyílás kellőképpen rövid ahhoz, hogy a fojtott áramlás esetén fellépő lökéshullámok sem képesek teljesen elzárni. Definiáljuk Cq –t mint az áramlási- és a szelepkeresztmetszet hányadosát: Cq =

A jet A

=

pup − pdown p jet − pdown + ρ ⋅ v 2jet

(5)

A Borda-típusú kiömlőnyílás kilépési sebessége szubszonikus (6a) és transzszonikus (6b) áramlásra:

v

2 jet

v 2jet

⎛ ⎜ ⎛ 2 ⋅κ = ⋅ R ⋅ Tup ⋅ ⎜1 − ⎜ ⎜ κ −1 ⎜ ⎝ ⎝ ⎛ ⎜ ⎛ 2 ⋅κ ⋅ R ⋅ Tup ⋅ ⎜1 − ⎜ = ⎜ κ −1 ⎜ ⎝ ⎝

κ −1 κ

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ κ −1 ⎞ pdown ⎞⎟ κ ⎟ ⎟ pup ⎟⎠ ⎟ crit ⎠ pdown ⎞⎟ pup ⎟⎠

ha

pdown ⎛⎜ pdown ⎞⎟ > ⎜ p ⎟ pup ⎝ up ⎠crit

(6a)

ha

pdown ⎛⎜ pdown ⎞⎟ ≤ ⎜ p ⎟ pup ⎝ up ⎠ crit

(6b)

Élve a következő feltételezésekkel a legszűkebb áramlási keresztmetszetben: p jet pup

p jet pup

=

pdown pup

ha

⎞ ⎛p = ⎜ down ⎟ ⎜ p ⎟ ⎝ up ⎠crit

ha

pdown ⎛⎜ pdown ⎞⎟ > ⎜ p ⎟ pup ⎝ up ⎠crit pdown ⎛⎜ pdown ⎞⎟ ≤ ⎜ p ⎟ pup ⎝ up ⎠ crit

(6a) (6b

és behelyettesítve a 6a. és 6b. képleteket az 5. képletbe, Cq analitikus függvényét kapjuk: 1− Cq =

1

2 ⋅ κ ⎛⎜ pdown ⎞⎟ κ ⋅ κ − 1 ⎜⎝ pup ⎟⎠

Cq =

pdown pup κ −1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎛ pdown ⎞ κ ⎟ ⎟ ⎟ ⋅ ⎜1 − ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ pup ⎠ ⎟ ⎝ ⎠ pdown 1− pup

κ −1 1 ⎛ ⎞ κ κ ⎟ ⎛ ⎜ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ p 2 ⋅ κ ⎜ pdown ⎟ down ⎟ ⎟ + ⎜ pdown ⎟ − pdown ⋅ ⋅ ⎜1 − ⎜ κ − 1 ⎜⎝ pup ⎟⎠crit ⎜ ⎜⎝ pup ⎟⎠crit ⎟ ⎜⎝ pup ⎟⎠crit pup ⎝ ⎠

ha

pdown ⎛⎜ pdown ⎞⎟ > ⎜ p ⎟ pup ⎝ up ⎠crit

(7a)

ha

pdown ⎛⎜ pdown ⎞⎟ ≤ ⎜ p ⎟ pup ⎝ up ⎠ crit

(7b)

Az analitikus modell eredményei a 7. és 8. ábrán láthatók. Összenyomhatatlan közegek esetén (egységnyi nyomásviszony) a modell sikeresen visszaadja az előzetesen megállapított 0.5-ös kontrakciós tényezőt. A diagramokból jól látható, hogy a modell kvalitatívan követi a Perrypolinomot, ezzel magyarázatot adhat a lejátszódó folyamatokra. A következő fejezetben a vizsgált EP szelep CFD eredményeit mutatjuk be, a Borda-féle kiömlőnyíláshoz képest jelentősen eltérő geometrián. 4. CFD vizsgálatok

Hogy az analitikus modell korrigálásához szükséges adatbázist felépítsük, számos 3D modellt állítottunk elő, amelyek az előzetesen validált FLUENT numerikus kódon (CFD) alapultak [15][16]. A tengelyszimmetria miatt a 3D modellek át lettek transzformálva kvázi-3D (Q3D)

tengelyszimmetrikus modellekké. Ennek a vázlata látható a 3. ábrán. A szimulációs szoftver hiányosságai miatt a szeleptest mozgása nem került beépítésre. Hogy a geometria hatását megvizsgálhassuk, számos különböző Q3D modellt készítettünk. A vizsgálatok a szelepülék állásszögére (α) koncentrálódtak (3. ábra). A szelepülékszög pozitív, ha a 3. ábrán látható módon a szelepülék kúpja hegyesszöget zár be a szelepnyílás szimmetriatengelyével. Így a 3. fejezetben elemzett Borda-féle kiömlőnyílás ülékszögét α = 90°–nak vehetjük.

3. ábra Q3D vázlat

4. ábra Mach kontúrok pdown/pup= 1:10 nyomásviszonyon

A szimulációk során peremfeltételként megadtuk pup, pdown és Tup értékét, és a szoftver segítségével kiszámítottuk a tömegáramot. Egy szimuláció eredményeként kapott Mach-eloszlás látható példaként a 4. ábrán. Ilyen és ehhez hasonló ábrák segítségével részletes képet kaphatunk a szelep belsejében lezajló áramlástani folyamatokról. A Cq értékét az 1. képlet segítségével számoltuk ki. 12

0.85

20º 14º 8º 0º -8º -14º -20º Perry

Cq

0.75

0.7

0.65

Cq differences [%]

10

0.8

8 6 4 2 0

0.6 0

0.2

0.4

0.6

0.8

Pdown/Pup

5. ábra Cq értékei különböző szelepülékszögeken (α)

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Pdown/Pup

6. ábra A minimális és maximális Cq értékek közti különbség

Az 5. ábrán a különböző geometriákhoz tartozó Cq értékek láthatók a nyomásviszony függvényében. Összehasonlítási célokból a Perry modell megfelelő értékeit is feltüntettük. A számított görbék trendje hasonlít a Perry-polinomhoz illetve az analitikus modellhez. Jól látható, hogy a szelep állásszöge kevéssé befolyásolja az átömlési tényezőt. Az is jól látható azonban, hogy az állásszög növelése ha kismértékben is, de csökkenti a Cq értékét, mivel a belépési

peremen kialakuló leválási buborék növekedése lecsökkenti az effektív áramlási keresztmetszetet. Nyilvánvaló továbbá, hogy a vizsgált tartomány két részre tagolódik: alacsonyabb nyomásviszonyokon, kb. 0.5-ös értékig a Cq értékeinek különbsége a legnagyobb és a legkisebb állásszög között nem változik (szaggatott vonallal jelölve, 6. ábra), majd nagyobb nyomásviszonyokon ez a különbség lineárisan növekszik (pontvonallal jelölve, 6. ábra). Ez a tagolódás megegyezik a Cq karakterisztika tagolódásával: alacsony nyomásviszonyokon a Cq értéke nem változik, majd a kritikus nyomásviszony környékén elkezd csökkenni. Ez azt sugallja, hogy az analitikus modellt különbözőképpen kell korrigálni erre a két régióra. 5. Az analitikus modell illesztése a CFD számításokra

Látván hogy az analitikus modell és a CFD számítások trendje igen hasonló, feltételeztük hogy az analitikus modell által szolgáltatott görbét egyszerű transzformációs függvényekkel rá lehet illeszteni a CFD eredményekre. A modellkorrekció első lépése az volt, hogy kiválasszunk egy esetet, amelyen lehet tesztelni és verifikálni a korrekciós függvényeket. Ez az α = 8° eset volt, mivel ez volt a szelepülék eredeti állásszöge is. Számos kísérletet tettünk arra, hogy megtaláljuk a lehető legegyszerűbb függvényt. Arra jutottunk, hogy a kritikus nyomásviszony alatti és feletti régiót valóban külön kell kezelni. A 7. ábra mutatja, hogy az analitikus modell a Perry modellhez hasonló tendenciát mutat, mindkettő eltér azonban a validált CFD eredményektől. Az is látható azonban, hogy a szubszonikus tartomány korrekciója igen egyszerű, ugyanis a Cq-analytic-transformed görbe egy egyszerű lineáris transzformáció segítségével (9a. képlet) majdnem tökéletesen illeszkedik az adatokra a szubszonikus tartományban. Ebből azt a következtetést vontuk le, hogy a transzszonikus korrekció egy hasonló transzformáció kellene hogy legyen, és lehetőség szerint a szubszonikus korrekció paramétereinek felhasználásával. Mint fentebb említettük, a Cq-analytic-transformed görbe egy egyszerű lineáris transzformáción alapul. Az eredeti görbe el lett forgatva a kritikus nyomásviszonyhoz tartozó Cq érték körül, majd egy konstans értékkel el lett tolva az Y tengely mentén. Ez eredményezte a 7. ábrán látható Cq-analytic-transformed görbét. Ez a görbe igen jól követi a CFD adatokat a szubszonikus tartományban, de a szuperszonikusban szétválik. Hogy ezt korrigáljuk, egy nyomásfüggő korrekciót alkalmaztunk, amely eggyel több konstansot (K3) tartalmaz a szubszonikusban alkalmazott kettőhöz (K1, K2) képest. A végső görbe, amely mindkét korrekciót tartalmazza, a 8. ábrán látható, a két korrekciós függvény pedig a 9a-b. képletben. Cqcorr = (Cq − Cqcrit )⋅ K1 + Cqcrit + K 2

ha

⎛ p K − K 3 ⎞⎟ Cqcorr = (Cq − Cqcrit )⋅ ⎜ K 3 + down ⋅ 1 + Cqcrit + K 2 ⎜ ⎟ p C up qcrit ⎝ ⎠

ha

pdown ⎛⎜ pdown ⎞⎟ > ⎜ p ⎟ pup ⎝ up ⎠crit pdown ⎛⎜ pdown ⎞⎟ ≤ ⎜ p ⎟ pup ⎝ up ⎠ crit

(9a) (9b)

A korrekciós függvények meghatározása után a konstansok (Ki) értékei a legkisebb négyzetek módszerével lettek meghatározva a különböző állásszögekre. Ezek meghatározása után szembeötlő volt, hogy a konstansok változásai az állásszög függvényében egyszerű lineáris függvényként leírhatók (10a-c. képlet). A lenti függvényekkel kapott Ki értékek még így is ±1% tűrésen belül képesek tartani a transzformált Cq értékeket a CFD adatokhoz képest.

Cq-analytic Cq-analytic-transformed

Cq-Perry Cq-8° (CFD)

0.9

0.9

0.85

0.85

0.8

0.8

0.75

0.75 Cq

Cq

Cq-analytic Cq-analytic-transformed

0.7

0.7

0.65

0.65

0.6

0.6

0.55

0.55

0.5

Cq-Perry Cq-8° (CFD)

0.5 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

Pdown/Pup

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Pdown/Pup

7. ábra Korrekció a szubszonikus tartományon

8. ábra Korrekció a teljes tartományon

K1 = 0.0028·α + 0.4307

(9a)

K2 = -0.0015·α + 0.1433

(9b)

K3 = 0.0003·α + 0.1482

(9c)

6. Konklúzió

Egy egyszerű analitikus modellt hoztunk létre az átömlési tényező számításához egy Bordatípusú kiömlőnyílásra, a teljes nyomásviszony-tartományon. Ezt a modellt összehasonlítottuk az irodalomban található eredményekkel. Az analitikus modell szolgált alapul a félempirikus modellhez, mellyel EP szelepek átömlési tényezőjét lehet leírni különböző állásszögek esetén. A félempirikus modellt az analitikus modell egyszerű transzformációival kaptuk. A paramétereket a FLUENT által szolgáltatott kvázi-3D CFD adatok alapján állapítottuk meg. Ez a modell 1%-os maximális eltéréssel képes visszaadni az átömlési tényezőt a CFD adatokhoz viszonyítva. A későbbiekben sor kerül a modell további általánosítására és kísérleti ellenőrzésére is. Köszönetnyilvánítás

A szerzők munkáját az Országos Tudományos Kutatási Alap OTKA T 038184 számú projektje támogatta.

Jelmagyarázat

Görög betűk α szelepnyílás állásszöge [º] κ izentropikus kitevő [-] ρ közegsűrűség [kg/m3]

x qm p T Cq

szeleptest elmozdulás [m] tömegáram [kg/s] abszolút nyomás [bar] hőmérséklet [ºK] átömlési tényező [ ° K / (m / s ) ]

Cm A v R K

tömegáram paraméter [ 1/ J/kg/°K ] szelepkeresztmetszet [m2] áramlási sebesség [m/s] univerzális gázállandó [J/kg/ºK] korrekciós függvényekben alkalmazott konstans [-]

Alsó indexek up belépőoldali értékek down kilépőoldali értékek jet értékek a gázsugárban crit értékek kritikus nyomásviszony esetén corr transzformált értékek

Referenciák [1] Mack, J.: ABS-TCS-VDC Where Will the Technology Lead Us? Sale international, 1996. [2] Szőcs, K. – Kőfalusi, P. – Németh, S.: Fékrendszerek, Maróti- Godai Könyvkiadó Kft., 1997. [3] Szente, V. – Vad, J. – Lóránt, G. – Fries, A.: Computational and Experimental Investigation on Dynamics of Electric Braking Systems, Proc. 7th Scandinavian International Conference on Fluid Power, May 2001, Linköping, Sweden, Vol. 1., pp. 263 – 275. [4] Perry, J. A.: Critical flow through sharp-edged orifices, Trans. ASME, Vol. 71, 1949. [5] Bideaux, E. – Scavarda, S.: A Pneumatic Library for AMESim, Proc. ASME'98 Conference, November 1998, Anaheim, California. [6] Busemann, A.: Hodographenmethode der Gasdynamik, Zeitschrift für angewandte Math. und Mech., Vol. 17, No. 2, 1937. [7] Oswatitsch, K.: Grundlagen der Gasdynamik, Springer-Verlag, 1976. [8] Brower, W.B. – Eisler, E. – Filkorn, E.J. – Gonenc, J. – Plati, C. – Stagnitti J.: On the compressible flow through an orifice, Transactions of the ASME, Vol. 115, 1993. [9] Grace, H. P. – Lapple, C. E.: Discharge coefficients for small-diameter orifices and flow nozzles, Trans. ASME, Vol. 73, pp 639-647, 1951. [10] Jobson, D. A.: On the flow of a compressible fluid through orifices, Proc. IME, Vol. 169, pp 767-779, 1955. [11] Tsai, D. H. – Cassidy, E. C.: Dynamic behavior of simple pneumatic pressure reducer, J. Basic Eng., Vol. 83, 1961. [12] Szente, V. – Vad, J.: Computational and Experimental Investigation on Solenoid Valve Dynamics, Proc. IEEE/ASME International Conference on Advanced Intelligent Mechatronics, July 2001, Como, Italy, Vol. 1., pp. 618 – 623. [13] Lajos, T.: Fundamentals of Fluid Mechanics (in hungarian), Műegyetemi Kiadó, 2000. [14] ISO 6358:1989, Pneumatic fluid power. Components using compressible fluids. Determination of flow rate characteristics. [15] Szente, V. – Vad, J.: Computational and experimental investigation on the flow characteristics of small-scale pneumatic solenoid valves, 2nd International Conference on Heat Transfer, Fluid Mechanics and Thermodynamics, June 2003, Victoria Falls, Zambia [16] FLUENT documentation, v6.1.18, 2002. http://www.fluent.com [17] McCloy, D. – Martin, H. R.: Control of Fluid Power: Analysis and Design, Chichester, Ellis Horwood, 1980.