Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára
I. 1. Egy 35 fős osztályból mindenki részvett valamelyik iskolai kiránduláson. 25-en Debrecenbe utaztak, 18-an pedig Pécsre. Hányan utaztak mindkét városba? 2. Állapítsa meg a ]−2; 7[\[2; 4] halmazművelet eredményét! Az eredményt ábrázolja számegyenesen! 3. Ábrázolja Venn-diagramon a következő halmazokat! { é } {é } { } 4. Ábrázolja a következő halmazokat Venn-diagramon! { ∈ ℕ kisebb 120 − tól és osztható 6 − tal} { ∈ ℕ kisebb 130 − tól és osztható 4 − gyel}
5. Adjon meg olyan A, B és C halmazokat, amelyekre érvényes, hogy az 1-gyel jelzett terület végtelen sok elemet tartalmaz! A B 1
1
1
1 1
1
1 C
6. Egy középiskolába 700 tanuló jár. Közülük 10% sportol rendszeresen a két iskolai szakosztály közül legalább az egyikben. Az atlétika szakosztályban 36 tanuló sportol rendszeresen, és pontosan 22 olyan diák van, aki az atlétika és a kosárlabda szakosztály munkájában is részt vesz. a) Készítsen halmazábrát az iskola tanulóiról a feladat adatainak feltüntetésével! b) Hányan sportolnak a kosárlabda szakosztályban? 7. Egy rejtvényújságban egymás mellett két, szinte azonos rajz található, amelyek között 23 apró eltérés van. Ezek megtalálása a feladat. Először Ádám és Tamás nézték meg figyelmesen az ábrákat: Ádám 11, Tamás 15 eltérést talált, de csak 7 olyan volt, amelyet mindketten észrevettek. a) Hány olyan eltérés volt, amelyet egyikük sem vett észre? Közben Enikő is elkezdte számolni az eltéréseket, de ő sem találta meg az összeset. Mindössze 4 olyan volt, amelyet mind a hárman megtaláltak. Egyeztetve kiderült, hogy az Enikő által bejelöltekből hatot Ádám is, kilencet Tamás is észrevett, és örömmel látták, hogy hárman együtt az összes eltérést megtalálták.
b) A feladat szövege alapján töltse ki az alábbi halmazábrát arról, hogy ki hányat talált meg! Ádám Tamás
Enikő
8. Egy középiskolába 620 tanuló jár. Az iskola diákbizottsága az iskolanapra három kiadványt jelentetett meg: I. Diákok Hangja II. Iskolaélet III. Miénk a suli! Később felmérték, hogy ezeknek a kiadványoknak milyen volt az olvasottsága az iskola tanulóinak körében. A Diákok Hangját a tanulók 25%-a, az Iskolaéletet 40%-a, a Miénk a suli! c. kiadványt pedig 45%-a olvasta. Az első két kiadványt a tanulók 10%-a, az első és harmadik kiadványt 20%-a, a másodikat és harmadikat 25%-a, mindhármat pedig 5%-a olvasta. a) Hányan olvasták mindhárom kiadványt? b) A halmazábra az egyes kiadványokat elolvasott tanulók létszámát szemlélteti. Diákok Hangja
Iskolaélet
Miénk a suli! Írja be a halmazábra mindegyik tartományába az oda tartozó tanulók számát!
9. Adottak az I 4;7 , J 6; , K 3;6 , L 2;5 intervallumok. a) Ábrázolja számegyenesen, és írja fel intervallum formában a következő halmazokat: L K ; K I ; I \ J ; J \ I ; L I \ K ; K J \ L !
b) Legyen a H 2; az alaphalmaz. Erre a halmazra írja fel a következő halmazokat intervallum formában és ábrázolja őket számegyenesen is! L; J ; I J ; I K 10. A Visító Vízilovak diákzenekar saját számaiban gitár vagy dob szólal meg. 13 olyan szám van, amelyben gitároznak, 10-ben dobolnak és 8 olyan szám van, amelyben a gitárt dob kíséri. Hány saját száma van a zenekarnak? 11. Hányadik hatványra kell emelni a 44-t, hogy 88-t kapjunk? 12. Mennyi idő alatt tesz meg a fény 1 mm-t, ha a fény sebessége 3·108 m/s? 13. A következő állításokról döntse el, hogy melyik igaz és melyik hamis! Állítását indokolja magyarázattal, vagy példával! a) A pozitív számok minden egész kitevőjű hatványa pozitív. b) Az egész számok minden pozitív egész kitevőjű hatványa pozitív. c) A negatív egész számoknak van olyan negatív egész kitevőjű hatványa, amely pozitív. d) A pozitív egész számok egész kitevőjű hatványai is pozitív egészek. e) Az egész számok negatív egész kitevőjű hatványai nem egész számok. 14. Van-e olyan p prímszám, hogy a) p+15 is prímszám? b) p+19 is prímszám? 15. Milyen számjegyek kerülhetnek az x és y helyére, ha
a) 100 | 1352 xy b) 6 | 135 x 2 c) 24 | 14 x52 y 16. Hány nullára végződik a 22007·125345·25200? 17. Egy baktériumtenyészetben a baktériumok száma óránként háromszorosára növekszik. a) Ha az időmérés kezdetén egyetlen baktérium van a tenyészetben, mennyi lesz a baktériumok száma az ötödik óra végén? b) Hányszorosára növekszik a baktériumok száma a tizedik óra kezdetétől a tizenharmadik óra végéig? 18. Egy 50-től kisebb pozitív egész szám 2-vel, 3-mal és 5-tel osztva 1 maradékot ad. Melyik ez a szám? 19. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amellyel a 21600-at elosztva hányadosként négyzetszámot kapunk? 20. Egy téglalap kerülete 74 cm. A téglalap minden oldalára kifelé négyzeteket rajzolunk. A négy négyzet területének összege 1642 cm2. Mekkora a téglalap területe?
21. Alakítsa úgy az alábbi kifejezéseket, hogy teljes négyzet jelenjen meg a kapott kifejezésekben! a) x2–2x–3 b) x2–8x+20 c) x2+12x+50 d) –x2–6x+3 22. Kiemeléssel alakítsa szorzattá az alábbi kifejezéseket! a) 5a3b2–15a2b3+10a2b b) 17a3b5+17a2b6–34ab4 c) 16a4b3+24a2b4–40a4b4 23. Csoportosítással alakítsuk szorzattá az alábbi kifejezéseket! a) ab+3b–2a–6 b) 2ax+bx+2a+b c) 20bx2+a–4x2–5ab 24. A nevezetes azonosságok felhasználásával alakítsuk szorzattá az alábbi kifejezéseket! a) 16x4–1 b) 6x2+12x+6 c) 36a2–84a+49 25. Zsebszámológép használata nélkül, nevezetes azonosságok alkalmazásával számítsa ki a következő műveletek eredményét! a) 9998·10002
5262 742 726 2 274 2 54321 54325 54323 54320 c) 54323 54322 543212 26. Egyszerűsítsük a következő törteket! b)
a)
10 x 4 30 x 2 5 x 3 15 x
b)
4x2 4x 1 1 4 x2
6 x 2 2 x 20 3 x 2 11x 10 27. Ábrázolja és jellemezze a következő függvényeket! (Értelmezési tartomány, értékkészlet, zérus hely, korlátosság, menete, szélsőérték, paritás, aszimptota.) a) f x 2 x 1 c)
3 x 1 2 1 c) h x x 1 2
b) g x
28. Ábrázolja és jellemezze a következő függvényeket! (Értelmezési tartomány, értékkészlet, zérus hely, korlátosság, menete, szélsőérték, paritás, aszimptota.) a)
f x x 1
b) g x x 1 2 c) h x x 2 1 29. Ábrázolja és jellemezze a következő függvényeket! (Értelmezési tartomány, értékkészlet, zérus hely, korlátosság, menete, szélsőérték, paritás, aszimptota.) a)
f x x 1 4 2
b) g x x 12 4 c) h x 2 x 2 4 30. Ábrázolja és jellemezze a következő függvényeket! (Értelmezési tartomány, értékkészlet, zérus hely, korlátosság, menete, szélsőérték, paritás, aszimptota.) 1 a) f x 1 x 1 1 b) g x 1 x x2 c) h x x 1 31. Oldja meg grafikusan az alábbi egyenleteket! a) 2 x 1 x 4 b)
x 12 1 x 2
c) x 2 2 2 x 3 32. Oldjuk meg algebrai úton az alábbi egyenleteket! a) x 1 2 x 1 x 1 3x 6 0 b) c)
5x 3 4 x 2 2 x 8 5 x 3 0 4 x 1 x 1 5x 10 0
33. Oldjuk meg algebrai úton az alábbi egyenleteket! a) 3 2 x 7 4 5 2 x 3x 3
1 1 x 7 2 x 4 1 2 3 2x 3 x 2 x 3 c) 5 4 3 34. Oldjuk meg algebrai úton az alábbi egyenleteket! b)
a)
x 2 x 3 11
b) 2 x 1 x 4 x 6 c)
x2 3 2
35. Az apa 12 órás munkával vágja fel a tűzifát, ez a munka a fiának 16 órát vesz igénybe. Mennyi idő alatt végeznek együtt a favágással?
36. Egy anya 29 éves volt, amikor a fia született. Mostantól számítva 11 év múlva az életkora 1 évvel lesz kevesebb, mint a fia akkori életkorának kétszerese. Hány évesek most? 37. Ha kilenc kályhában öt és fél nap alatt tizenkét köbméter bükkfa ég el, mennyi nap alatt ég el tizenkét kályhában kilenc köbméter bükkfa? (Karinthy Frigyes: Tanítom a kisfiamat) 38. Egy szemüvegeket forgalmazó cég reklámja szerint a vásárló annyi százalékkal csökkentheti a megvásárolt szemüvegkeret árát, ahány éves. a) Hány százalékkal csökkentheti a kész szemüveg árát egy 17 éves vásárló, ha a kiválasztott lencse 60000 Ft-ba, a keret pedig 25000 Ft-ba kerül? b) Hány évesnek kell lennie annak a vásárlónak, aki a teljes szemüveg árát 17%kal szeretné csökkenteni egy ugyanolyan szemüveg vásárlása esetén, mint az előző? c) Milyen értékű keret vásárlása esetén érhetné el, egy 17 éves vásárló, hogy szemüvegének ára a teljes ár 10 %-ával csökkenjen, ha 60000 Ft-os lencsére van szüksége? 39. Egy osztály tanulóinak hatoda kollégista, fele helyben lakik a szüleinél, 7 fiú és 5 lány pedig bejáró. Tudjuk még azt is, hogy a lányok negyede bejáró. Hány fiú és hány lány van az osztályban? 40. Egy vállalat két üzeme 3:7 arányban részesedik a termelésből. Hány százalékkal növekszik a vállalat termelése, ha az első üzem 21 %-kal, a második pedig 20 %-kal növeli a teljesítményét? 41. Oldjuk meg az egyenlő együtthatók módszerével az alábbi egyenletrendszereket: 2 +5 =1 a) 2 − = −5 4 +5 =6 b) =5 2 2 3 d) 6
c)
+5 =1 − = −5 + = −4 − =6
42. Réka nagyon szereti a virágokat. Elhatározza, hogy virágpalántákat fog vásárolni az erkélyládákba. A vásárlásra 10000 Ft-ot szán. A palánták árát feltérképezve, latolgatja, hogy melyikből mennyit vegyen. Ha 12 muskátli és 25 petúniát vesz, akkor 160 Ft-ja marad. Ha 21 muskátlit és 14 petúnia palántát vesz, akkor még 80 Ft-tal ki kell egészítenie a pénzét. Mennyibe kerülnek a muskátli illetve a petúnia palánták? 43. A laboratóriumban kétféle sóoldat áll rendelkezésünkre. Ha az elsőből 4 cm3-t és a másodikból 12 cm3-t összekeverünk, akkor 50%-os oldatot kapunk. Ha az elsőből 12 cm3-t és a másodikból 4 cm3-t keverünk össze, akkor 30%-os lesz az oldat. Hány százalékosak az eredeti oldatok? 44. A baromfiudvarban tyúkok, nyulak és kacsák élnek. Az állatoknak összesen 38 feje és 92 lába van. Melyik fajtából mennyi van, ha tudjuk, hogy a kacsák és nyulak számának aránya 3:2?
45. Az alábbi állításokról döntsük el, hogy melyik igaz és melyik hamis! a) Van olyan háromszög, amelynek pontosan két szimmetriatengelye van. b) Van olyan háromszög, amelynek háromnál több szimmetriatengelye van. c) Van olyan síkidom, amelynek végtelen sok szimmetriatengelye van. d) Minden rombusznak két szimmetriatengelye van. e) Van olyan konkáv négyszög, amely tengelyesen szimmetrikus. f) Ha egy háromszögnek van két egyenlő oldala, akkor tengelyesen szimmetrikus. g) Ha egy háromszögnek van két egyenlő szöge, akkor tengelyesen szimmetrikus. h) Ha egy négyszögnek van két egyenlő oldala, akkor tengelyesen szimmetrikus. i) Ha egy négyszög tengelyesen szimmetrikus, akkor a négyszögnek van két egyenlő oldala. j) Ha egy paralelogramma tengelyesen szimmetrikus, akkor rombusz. k) Ha egy sokszög tengelyesen szimmetrikus, akkor szabályos. l) Ha egy sokszög szabályos, akkor tengelyesen szimmetrikus. m) Van olyan tengelyesen szimmetrikus négyszög, amelynek szimmetriatengelye a négyszögnek pontosan egy csúcsán megy át. n) A szabályos sokszög bármely szimmetriatengelye tartalmazza a sokszög legalább egy csúcsát. o) Van olyan szabályos sokszög, amelynek minden szimmetriatengelye a sokszög pontosan egy csúcsát tartalmazza. 46. Szerkesszük meg a rombuszt, ha adott egyik átlójának hossza és az átló valamelyik végpontjában található szöge! (Adatok: átló hossza: 50 cm; szög: 30) 47. Adott a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben az háromszög, amelynek csúcsai (3; 1), (−2; 5) é (−4; −2). Tükrözzük ezt a háromszöget a megadott pontokra, és írjuk fel az így kapott háromszög csúcsainak koordinátáit! a) Az adott pont az origó. b) Az adott pont a (0; 4) pont. c) Az adott pont a (−1; −2) pont. 48. Az téglalap alakú biliárdasztalon két golyó található: P és Q. Szerkesszük meg, hogy milyen irányba kell ellökni a P golyót, ha azt akarjuk, hogy az ellökött golyó előbb az a) , majd az oldalt érintve eltalálja a golyót! b) , majd , és végül a oldalról visszapattanva eltalálja a golyót! D
C
Q
P
A
B
49. András és Béla egy szabályos hatszög alakú asztalon a következő játékot játssza: felváltva helyeznek el az asztalon 1 €-os érméket úgy, hogy azok egymást nem fedhetik, és a lerakott érméknek teljes terjedelmükben az asztalon kell lenniük. Az veszít, aki nem tud már a szabályoknak megfelelően érmét elhelyezni az asztalon. A játékot András kezdi. Nyerhet-e András ebben a játékban, ha ügyesen játszik? 50. Számítsuk ki, hogy a háromszög oldalai mekkora szögben látszódnak a háromszög magasságpontjából, ha a háromszög két szöge 60 és 80! 51. Egy trapéz szárait összekötő középvonal hossza 15 cm. A trapéz két alapjának hossza úgy aránylik egymáshoz, mint 2:3. Számítsuk ki a trapéz alapjainak hosszát! 52. Forgassuk el az négyzetet az csúcs körül a) -1980-kal; b) 4410-kal! 53. Adott az és a pont. Szerkesszünk olyan pontot a síkban, amely körül +90-kal elforgatva az pontot, a pontot kapjuk! 54. Az derékszögű háromszögben a csúcsnál derékszög van. =18 cm =15 cm. A háromszög belsejében felveszünk egy pontot, amelyre az , és az háromszögek egyenlő területűek. a) Határozzuk meg az pont távolságát a befogóktól. b) Határozzuk meg az pont távolságát a derékszögnél lévő csúcstól! 55. Egy thai-boksz mérkőzés küzdőtere 8 m oldalú négyzet. Hány méterre van a küzdőtér négy sarkától az a versenyző, aki a négyzet egyik átlójának egyik harmadoló pontjában áll? 56. Két különböző sugarú kör metszi egymást. Az egyik metszésponton keresztül szerkesszünk olyan egyenest, amelynek a körökbe eső részei, mint húrok egyenlő hosszúak! 57. Egy ABC egyenlő szárú háromszög alapja 60 cm, magassága 40 cm. Az AB alap F felezőpontjából bocsássunk merőlegeseket a szárakra, ezek talppontjai legyenek D és E pontok. Mekkora a CEFD négyszög kerülete és területe? 58. Egy konvex négyszög átlói merőlegesek egymásra. Mekkora a négyszög területe, ha átlóinak hossza e és f? 59. Mekkorák a derékszögű háromszög hegyesszögei, ha az ábrán látható módon három egyenlőszárú háromszögre tudjuk felbontani?
60. Egy település központjában két, egymást 45°-ban metsző egyenes út találkozik. A két utat a településen kívül, szintén egy egyenes útszakasszal kívánják összekötni. Úgy akarják megtervezni ezt az útszakaszt, hogy ennek kereszteződései a meglévő utakkal ugyanakkora távolságra legyenek a település központjától. A megépítendő útra elkülönített pénz 5 km hosszúságú út megépítését teszi lehetővé. Hová kell tervezni az új út megépítését?
