Fakulta dopravní ČVUT Praha
PRUŽNOST Učební pomůcka pro kombinované studium
Katedra mechaniky a materiálů Doc.Ing. Michal Micka, CSc.
Praha, květen 2002
ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTI Napětí definujeme jako velikost vnitřní síly na jednotku plochy. Napětí jsou konečné podíly dS elementů vnitřních sil a ploch. Podle vnitřních sil zavádíme napětí celkové σ r = , napětí dA dT dN normálové σ = ve směru normály k ploše a napětí tangenciální τ = ve směru tečdA dA ném k ploše. Můžeme-li pokládat sílu S a její složky n, t za rovnoměrně rozložené po ploše velikosti A, určujeme napětí podílem S(σr) vnitřní síly a plochy S N T T(τ) σr = , σ= , τ= A A A N(σ) φ Napětí má podle toho rozměr síla lomeno plochou, tady N/m 2 . Tato jednotka má v mezinárodní soustavě jednotek SI označení pascal. Platí tedy 1Pa = 1 N/m 2 = 1kgm -1s -2 . n t Protože pascal je jednotka velmi malá, používá se v praxi Napětí celkové, normálové a obvykle jejích násobků. Jsou povoleny násobky kPa ( kilopascal ) a MPa ( megapascal ), tedy smykové 1 Pa = 103 kPa = 106 Pa. Označíme-li úhel mezi paprskem celkového napětí a normálou k ploše jako ϕ , bude platit:
[
σ = σ r ⋅ cos ϕ
τ = σ r ⋅ sin ϕ
]
σ r = σ 2 +τ 2
Působením normálových sil se mění rozměry tělesa. Je-li rozměr ve směru síly před deformací l a po deformaci l´, je rozdíl ∆l = l ′ − l mezi délkou přetvořeného a nepřetvořeného tělesa skutečným ( absolutním ) protažením tělesa ve směru l. Má rozměr délky. Je-li protažení záporné, nazýváme je zkrácením. Rovnovážná soustava normálových sil, působících na těleso, se protahuje směrem působících sil a v příčném směru se stlačuje. Tažená tyč se tedy ve směru tahu prodlužuje, v příčném směru zužuje, tlačená se naopak ve směru působících sil zkracuje, v příčných směrech prodlužuje. Ze spojitosti pružného prostředí předpokládáme, že se podobně deformuje účinkem normálových sil prvek tělesa. Označujeme skutečným protažením veličinu danou rozdílem původní délky prvku ds a délky elementu po Protažení tělesa přetvoření ds´ ∆s = ds ′ − ds Častěji než se skutečným protažením tělesa nebo elementu počítáme s poměrným protažením ε , které je poměrem skutečného protažení a původní délky, tedy
∆l ∆ds nebo ε = , l ds které má znaménko shodné se skutečným protažením a jako poměr dvou délek je to veličina bezrozměrná. Tangenciální ( smyková ) napětí způsobují posunutí bodů v rovině průřezu. Tím se mění původní pravé úhly v kosé. Označíme-li jako ∆ rozdíl posunutí dvou koncových bodů úsečky ab kolmé před deformací k průřezu a délku úsečky ab jako l, potom poměr rozdílu posunutí k délce kolmého vlákna ∆ d∆ γ= nebo γ = l ds Relativní zkosení je poměrné zkosení. Je to obdobně jako relativní protažení hodnota bezrozměrná. Značí tangentu úhlu, o nějž se změnil úhel vlákna k průřezu. Protože se jedná o velmi malý úhel, lze ho zaměnit tangentou. Vložíme ocelovou tyč poměrně značné délky l a malé průřezové plochy A do čelistí trhacího stroje a zvyšujeme tah F. Můžeme předpokládat, že napětí je po průřezu rozděleno rovnoměrně a má hodnotu F σ= . A Měříme-li délku l´ tyče mezi dvěma značkami vzdálenými před zkouškou l , pozorujeme, že tato délka se vzrůstem síly F Tahová zkouška roste. S rostoucím napětím vzrůstá proto
ε=
Pracovní diagram oceli
také poměrné protažení. Vyznačíme.li závislost normálového napětí σ na poměrném protažení ε , dostaneme tzv. pracovní diagram. Tvar pracovního diagramu závisí na materiálu i jeho zpracování. Proto se pracovní diagramy různých látek od sebe značně liší. Pracovní digramy pro některé látky jsou na obrázku. Lze na nich též pozorovat, že některé látky se chovají odlišně v tahu a v tlaku. Na pracovním diagramu oceli pozorujeme, že až do určité hodnoty napětí se vzrůstající deformací roste, avšak na konci nápadně klesá. Tuto nesrovnalost si vysvětlujeme tím, že na obrázku pracovního diagramu plně vytažená čára je sice vynesena podle skutečně působící tahové síly F, avšak nepřihlíží ke změně průřezové plochy. Takovému napětí vypočtenému z původní průřezové plochy průřezu říkáme konvenční nebo jmenovité napětí. Ve skutečnosti se materiál v příčném směru zužuje, průřez jeví kontrakci. Při malé napínací síle je toto zúžení poměrně malé a nemusí se k němu přihlížet. Při určitém napětí se však průřez začne po celé délce tyče úžit zřetelně, takže musíme pro výpočet skutečného napětí dosazovat do vzorce plochu menší než má nepřetvořený průřez, a napětí je pak ve skutečnosti větší, jak vyznačuje na pracovním diagramu čárkovaná čára. Poměr napínací síly a skutečné plochy průřezu nazýváme skutečné napětí. Sledujme v pracovním diagramu závislost konvenčního napětí na poměrném protažení. Poměr přírůstku napětí a přírůstku deformace ( derivace napětí podle relativního protažení ). Poměr přírůstku napětí a přírůstku deformace ( derivace napětí podle relativního protažení ) dσ E= dε se nazývá modul pružnosti, přesněji modul pružnosti v tahu nebo tlaku. Bývá též nazýván Youngův modul pružnosti. U oceli a některých jiných látek roste protažení v oboru I lineárně, přímo úměrně k napětí, derivace napětí podle protažení je tedy v tomto oboru konstantní a rovná se podílu napětí a protažení E=
σ ε
Pracovní diagramy pro různé materiály: a)litina, b) bronz, c) mramor, d) beton, e) dřevo, f) kůže
Modul pružnosti má stejný rozměr jako napětí. Lineární závislost napětí na deformaci platí, jen pokud napětí nepřestoupí určitou
hodnotu σ M , kterou nazýváme mez úměrnosti. Zmenšujeme-li spojitě zatížení působící na některý materiál, klesá deformace v závislosti na napětí podle téhož pracovního diagramu jako vzrůstající zatížení a při úplném odlehčení se tyč zkrátí na původní délku. Říkáme, že materiál je dokonale pružný. Zachovává však úplnou pružnost jen potud, pokud napětí nepřestoupí hodnotu σ e , které říkáme mez pružnosti ( elasticity ). Obor zatížení až po tuto mez se nazývá pružný. Mez pružnosti se prakticky mnoho neliší od meze úměrnosti, takže napětí a deformace v pružném oboru jsou úplně charakterizovány modulem pružnosti a mezí pružnosti. Vzroste-li napětí, a tím i příslušná deformace, nad mez pružnosti, nastává plastické přetváření, obor plasticity . Ten je charakterizován daleko rychlejším vzrůstem deformace při rostoucím konvenčním napětí než v oboru pružném. Závislost relativního protažení na napětí neprobíhá v oboru II podle přímky a modul pružnosti v tomto oboru není stálý. Můžeme zde mluvit pouze o okamžitém modulu pružnosti, který je roven derivaci napětí podle relativního protažení. Deformace je v tomto oboru převáženě plastická, proto se při odlehčení nevrací zpět po čáře, Odlehčování v plastickém oboru která znázorňovala její růst, ale klesá zhruba podle rovnoběžky s přímkou platnou v pružném oboru. U látek tvárných ( plastických ) je plastický obor charakterizován mezí průtažnosti ( mezí kluzu ) σ T , tj. napětím, za něhož deformace začne vzrůstat velmi rychle, takže deformační čára probíhá v diagramu zhruba rovnoběžně s osou deformací a materiál se spojitě protahuje při téměř konstantním napětí σ = σ T . Ve výpočtech za stavu plasticity idealizujeme průběh napětí u meze průtažnosti podle Prandtla rovnoběžkou s osou ε , nebo mírně stoupající přímkou. Ve skutečnosti je při dosažení napětí na mezi průtažnosti napětí konstantní jen do určité relativní deformace a po ní deformační čára dále stoupá, materiál se zpevňuje. Maximální hodnota, kterou může jmenovité napětí dosáhnout, se nazývá mez pevnosti σ p . Po překročení meze pevnosti materiál teče při současném značném zužování průřezu, až dojde k porušení tyče – tyč se přetrhne. V technické praxi jsou používána normová označení jednotlivých charakteristik v pracovním diagramu oceli: Rm je mez pevnosti, Ry je mez kluzu, Rpr je mez úměrnosti Pracovní diagram popsaný při zkoušce ocelové tyče je charakteristický pro materiály tvárné ( plastické ).
Výpočet za stavu plasticity: a) bez zpevnění b) b) se zpevněním
Křehké látky se přetvářejí jinak, zejména se u nich jeví náhlé porušení soudržnosti materiálu bez znatelné kontrakce průřezu. Plastické materiály jsou pro konstrukce daleko výhodnější. Porušují se totiž až po značně vyšší deformaci, kterou nás předem upozorní na nebezpečí porušení, kdežto křehké materiály povolují náhle při poměrně malé deformaci. Průběh namáhání též umožňuje u látek tvárných plastické vyrovnání místních namáhání, rovněž lépe odolávají dynamickým účinkům. Plastické materiály se hodí na konstrukce namáhané tahem i tlakem, kdežto křehké materiály vzdorují tahu daleko méně než tlaku. Křehkost a tvárnost nejsou ovšem trvalými vlastnostmi materiálu, ale závisí i na různých okolnostech, zejména na zpracování ( např. kalení ), namáhání a teplotě. Může proto být tentýž materiál za různých okolností ve stavu více méně křehkém nebo plastickém. Z běžných stavebních látek je křehká litina, kámen a beton, houževnatá je ocel. Za nízkých teplot se materiál stává zpravidla křehčím. Výpočet konstrukcí v praxi zjednodušujeme předpokladem, že jde o látky stejnorodé čili homogenní, tj. stejné struktury a stejných vlastností ve všech bodech tělesa a izotropní, tj. takové, které mají ve všech směrech stejné materiálové vlastnosti. Ve skutečnosti se hmoty řídí těmito předpoklady jen přibližně, avšak pro výpočty podle nauky o pružnosti a pevnosti předpoklady homogenity a izotropie materiálu prakticky vyhovují. Většinou namáháme materiál z různých důvodů ( bezpečnost, vyloučení větších deformací apod.) jen po mez úměrnosti. Můžeme tudíž materiál idealizovat jako homogenní, izotropní a dokonale lineárně pružný – modul pružnosti je konstantní. Matematicky tento vztah vyjádříme rovnicí
σ = E ⋅ ε nebo ε =
σ
E kde E je modul pružnosti, σ normálové napětí a ε relativní protažení. Rovnice vyjadřuje základní vztah teorie pružnosti, tzv. Hookův zákon. Hookův zákon platí, jen pokud jsou splněny dva předpoklady: - napětí nepřestoupí mez úměrnosti - nepůsobí normálové napětí v příčných směrech. Působí-li totiž v příčných směrech další normálová napětí, mají rovněž vliv na přetvoření, mají rovněž vliv na přetvoření v uvažovaném směru. Z popisu tahové zkoušky víme, že síla působí protažení ve směru svého vektoru a současně příčnou kontrakci v kolmých směrech. Normálové napětí σ x ve směru osy x vyvolává kromě protažení ve směru svého působení také zkrácení ve směrech y, z ( záporné protažení ). Příčný rozměr se zkracuje ( relativně ) m – krát méně, než se prodlužuje délka ve směru tahových sil. Číslo m se nazývá Poissonova konstanta a vždy musí být větší než 2. Převrácená hodnota Poissonovy konstanty se nazývá Poissonovo číslo a značí se µ ( v cizí literatuře také ν ).
Napětí σ x tedy vyvolává relativní deformace
Normálová napětí v kolmých směrech
εx =
σx
,
E obdobně napětí σ y samotné vyvolává relativní deformace
εy =
σy
,
ε x = ε z = −µ
σy
E E a napětí σ z samotné vyvolává relativní deformace
ε y = εz = −
εx m
= −µ
σx E
εz =
σz
ε x = ε y = −µ
,
σz
E E Sečteme-li účinky všech tří napětí na protažení ve směru x , dostaneme výsledné poměrné protažení 1 ε x = σ x − µσ y − µσ z E a v ostatních směrech 1 1 ε y = σ y − µσ x − µσ z ε z = σ z − µσ x − µσ y E E Tyto závislosti udávají tzv. rozšířený Hookův zákon , jenž stanoví deformaci za současného působení normálových napětí ve třech kolmých směrech na zatěžovaný prvek. Mezi relativním zkosením a tangenciálním napětím platí vztah obdobný Hookovu zákonu
(
)
(
)
γ=
(
)
τ
G kde γ je relativní zkosení, τ tangenciální napětí a G je tzv. modul pružnosti ve smyku. Modul pružnosti v tahu E , modul pružnosti ve smyku G a Poissonovo číslo µ jsou tři materiálové konstanty, které v pružném oboru plně charakterizují daný materiál. Ovšem jen dvě materiálové konstanty jsou na sobě nezávislé, protože mezi nimi platí vztah E G= 2(1 + µ ) Přetvoření nevzniká jen působením zatížení, ale také podle fyziky, různými dalšími vlivy. V praxi je to zejména změna teploty a smršťování ( např. betonu ). Změna teploty vyvolává v daném místě relativní protažení ε x = ε y = ε z = α ⋅ ∆T
kde ∆T značí oteplení ve stupních Celsia a α je součinitel tepelné roztažnosti. Protože relativní roztažení je veličina bezrozměrná, musí být rozměr součinitele tepelné roztažnosti [ 1/Co ].
PROSTÉ PŘÍPADY PRUŽNOSTI Prut je konstrukční prvek, jehož jeden rozměr ( délka ) převládá nad ostatními rozměry ( průřez ). Střednice prutu spojuje ve směru délky těžiště všech podélných průřezů daného prutu. Na myšlený řez v zatíženém prutu působí vnitřní síly – ohybový moment, normálná síla, posouvající síla. Prostorovou soustavu sil ( zatížení, reakce ) lze nahradit jedinou silou v těžišti průřezu a statickým momentem – tzv. redukce síly k bodu.
F1
F2 M
Ax
M N
A Ay
T
R
F3 střednice
N
T R Vnitřní síly nosníku
B
V rovině průřezu může ještě působit kroutící moment. Působí-li na průřez jen jediná složka vnitřních sil jedná se o prostý případ pružnosti.
1. Prostý tah a tlak Jedinou působící vnitřní silou na průřez prutu je normálná síla. V příčném směru nepůsobí žádná.
z
σx
dA
y
Ν
z
x
y
A Tahové napětí
Platí Navierova hypotéza: 1. Osa prutu zůstane po přetvoření přímá. 2. Všechny body dvou sousedních rovnoběžných průřezů kolmých k ose prutu zůstanou po deformaci rovinné a kolmé k ose prutu. dx + ∆dx
Z této hypotézy vyplývá, že poměrná deformace je konstantní po celém průřezu. dx + ∆dx − dx ∆dx εx = = = konst dx dx a z ní dále vyplývá podle Hookova zákona σ x = E ⋅ ε x = konst. Oba vztahy platí pro celý průřez.
N
N
dx
Součtová podmínka rovnováhy mezi napětím a vnitřní silou: N N − ∫ σ x dA = 0 ⇒ N − σ x ∫ dA = 0 ⇒ σ x = A A A
Prodloužení elementu prutu tahem
Normálové napětí je při prostém tahu a tlaku po celém průřezu konstantní a je rovno normálové síle dělené plochou.
Momentová podmínka rovnováhy k ose y : N ⋅ 0 − ∫ σ x ⋅ z ⋅ dA = 0 ⇒ σ x ∫ dA = 0 A
A
Protože σ x je konstanta, ∫ dA je statický moment průřezu k těžišti, vyplývá z momentové A
podmínky, že normálná síla musí procházet těžištěm ( statický moment průřezu k těžišti je nulový ). Při excentrickém působení vyvolává normálová síla k těžišti průřezu ještě ohybový moment a nejedná se o prostý tah či tlak. Použití a) pro návrh průřezu
σ x ≤ σ dov
⇒
N Anutné
≤ σ dov
⇒
Anutné ≥
N
σ dov
V praxi je rozdílné u skutečných materiálů σ dov v tahu a tlaku. N (tah) − N (tlak ) Anutné ≥ Anutné ≥
σ dov, t
σ dov, d
b) velikost deformace l
∆l = ∫ ε x dx ,
a protože
0
εx =
σx E
,
εx =
N potom E⋅A l
l
N N ⋅l N ⋅ ∫ dx = ∆l = ∫ dx a pro prut stálého průřezu ∆l = EA 0 EA E⋅A 0
2. Staticky neurčitý tah nebo tlak Pro určení neznámých nám chybí tolik podmínek, kolikrát je soustava staticky neurčitá. Statické podmínky rovnováhy se musí doplnit podmínkami deformačními.
3. Prostý ohyb Jedinou vnitřní silou je ohybový moment, který působí v hlavní centrální rovině setrvačnosti průřezu. Navierova hypotéza: Rovinné řezy kolmé ke střednici nosníku před deformací zůstanou i po deformaci rovinné a kolmé k deformované střednici. Proto se mění lineárně též relativní přetvoření ε x = B + C ⋅ y + D ⋅ z , kde B, C, D jsou pro směr osy x konstanty.
z zh
z M
M
σh
y z
σ x (z )
y
zd
σh Ohybové napětí v průřezu nosníku Statické podmínky rovnováhy N = ∫ σ x dA v tomto výrazu σ x = Eε x = E (B + C ⋅ y + D ⋅ z ) A
Potom M y = − ∫ σ x ⋅ z ⋅ dA A
M z = − ∫ σ x ⋅ y ⋅ dA A
Normálná síla při čistém ohybu je nulová, moment působí jen k jedné hlavní ose průřezu, potom
N = ∫ σ x dA = ∫ E (B + C ⋅ y + D ⋅ z )dA = 0 A
A
M y = − ∫ E ⋅ z (B + C ⋅ y + D ⋅ z )dA
M z = − ∫ E ⋅ y (B + C ⋅ y + D ⋅ z )dA = 0
A
A
Po úpravě těchto rovnic dostaneme B ∫ dA + C ∫ ydA + D ∫ zdA = 0 , kde S x , S y jsou statické momenty průřezu, které jsou A3 12 A
A2 1 3
A2 1 3
Sz
Sy
k hlavním centrálním osám nulové, a z toho dostaneme podmínku B ⋅ A = 0 B ∫ z ⋅ dA + C ∫ yz ⋅ dA + D ∫ z 2 ⋅ dA = −
A24 1 4 3
A424 1 3
Sy
D yz
A424 1 3
My E
a z toho
D⋅Iy = −
A424 1 3
Sz
Iz
⇒
E
D=−
My EI y
;
Iy
B ∫ y ⋅ dA + C ∫ y 2 ⋅ dA + D ∫ yz ⋅ dA = 0 a z toho C ⋅ I z = 0
A24 1 4 3
My
⇒ B =0;
⇒
C =0
A424 1 3 D yz
( pozn.: jsou-li osy y, z hlavní centrální osy setrvačnosti, je Dyz = 0 ). Potom My ⋅z My ⋅z εx = − ⇒ σx =− E⋅Iy Iy Neutrální osa je množina bodů, v nichž je normálové napětí nulové.
Návrh průřezu Napětí v nejvíce namáhaných vláknech průřezu nesmí přestoupit návrhovou hodnotu. M y ⋅ zd M y ⋅ zh ≤ σ dov, t ≤ σ dov, d Iy Iy Označíme-li My Iy Iy Iy I = potom ≤ σ dov, t Wd = Wh = z ⋅ Wd z d σ dov, t z h σ dov, d kde Wd , Wh průřezový modul dolní a horní. Pak nutný průřezový modul pro dané namáhání ohybovým momentem je My Wnutné ≥ ±
σ dov
Např. pro obdélník: 1 I y = bh 3 12
1 3 bh 1 12 = bh 2 Wh = Wd = h 6 2
My Wh
≤ σ dov, d
Pro trojúhelník: 2/3 h 1/3 h
1 3 bh 1 Wh = 36 = bh 2 2h 24 3
1 3 bh 1 = bh 2 Wd = 36 h 12 3
b
TANGENCIÁLNÍ NAPĚTÍ ZA OHYBU Případy, kdy na nosníku je jedinou vnitřní sílou ohybový moment, nejsou časté. Ve skutečnosti se spolu s ohybovými momenty obvykle na nosníku vyskytuje také posouvající síla. Představme si, že vytvoříme nosník tím způsobem, že na sebe položíme pět prken tloušťky h mezi sebou vzájemně nespojených. Únosnost průřezu je úměrná průřezovému modulu, pět prken bude mít průřezový modul 1 5 W5 = 5 ⋅ ⋅ bh 2 = bh 2 6 6 Nyní prkna vzájemně slepíme, takže vznikne jeden nosník o výšce 5h . Průřezový modul tohoto nosníku bude 1 25 W1 = b(5h )2 = bh 2 Zvětšení únosnosti slepením 6 6 Slepením prken se průřezový modul nosníku zvětšil pětkrát. Je to tím, že lepidlo brání posunování prken vzájemně po sobě. Z uvedeného příkladu je vidět, že při ohybu nosníku vznikají mimo normálových napětí také napětí tangenciální. Jejich velikost vypočteme na základě Grashofovy hypotézy, podle které předpokládáme, že u symetrického průřezu zatíženého v rovině souměrnosti je složka tangenciálního napětí τ xz stálá v celé vrstvě vláken rovnoběžných s neutrální osou. Při označování tangenciálních napětí používáme dvojitého indexu. První index značí směr normály k rovině, v níž tangenciální napětí působí, a druhý index značí směr tohoto napětí. Napětí τ xz tedy značí napětí působí v rovině YZ a mající směr osy Z. Oba indexy u tangenciálního napětí je možno zaměnit, neboť platí věta o vzájemnosti složek tangenciálního napětí, podle které τ ij = τ ji . Je tedy možno výpočtu tangenciálních napětí za ohybu vyšetřit místo složky τ xz složku τ zx , která je stejně veliká a působí ve vodorovné rovině XY směrem podélné osy X nosníku. Tangenciální napětí považujeme za kladné, pokud na ploše, u níž vnější normála má směr kladné osy, má tangenciální napětí směr
Kladné směry tangenciálních napětí
druhé osy a na ploše, u níž vnější normála směřuje proti kladné ose, směřuje tangenciální napětí proti druhé ose. Oddělme z nosníku část omezenou dvěma sousedními průřezy x, x+dx a z horní části element až po vlákna vzdálená z od neutrální osy. Ve směru osy X působí na element v rovinách sousedních průřezů normálová napětí, která jsme vyšetřili z účinku ohybového momentu ( kladná jako tahy) a na spodní elementu konstantní tangenciální napětí τ zx ( kladné proti směru osy x ). Je-li v rovině průřezu o souřadnici x ohybový moment M , vyvolává ve vzdálenosti ξ od neutrální osy napětí
Výpočet tangenciálního napětí podle Grashofovy hypotézy
σx =−
M ⋅ξ Iy
a na základnu elementu v průřezu x působí ve směru záporné osy X kladná výslednice normálových napětí e
e
M ⋅ S ze M N x = ∫ σ x dA = − ∫ ξ ⋅ dA = − Iy z Iy z e
Výraz
∫ ξ ⋅ dA
je statický moment části průřezové plochy mezi zvoleným vláknem ξ = z a
z
krajním vláknem ξ = e k neutrální ose průřezu. Vyloučíme-li elementy, kde se plocha průřezu náhle mění nebo kde je působiště osamělého zatěžovacího momentu, mění se N x mezi x a x+dx spojitě. Na uvažovanou část sousedního průřezu o souřadnici x+dx působí ve směru kladné osy X výslednice normálových napětí ∂N x ∂ M ⋅ S ze N x′ = N x + dx = N x + dx ∂x I y ∂x Tangenciální napětí τ zx dávají na spodní plošku elementu výslednici, která má při kladném τ zx směr záporné osy X , a protože na této plošce je τ zx konstantní, je velikost výslednice tangenciálních napětí τ zx rovna τ zx ⋅ 2η ⋅ dx Součtová podmínka rovnováhy ve směru osy X má tvar N ′ − N − τ ⋅ 2η ⋅ dx = 0 x
x
zx
odkud po dosazení za Nx´ dostáváme po úpravě
τ zx =
1 ∂ M ⋅ S ze . ⋅ 2η ∂x I y
U prizmatického nosníku ( nosníku s konstantním průřezem ) je moment setrvačnosti průřezu Iy konstantní a ani se ve směru podélné osy nosníku nemění statický moment Sze pro libovolná vlákna z. Jsou tedy členy Sze a Iy vzhledem k souřadnici x konstanty a ve výrazu je možno je vytknout před derivaci. Dostáváme tak S dM τ zx = ze ⋅ I y ⋅ 2η dx a protože podle Schwedlerovy věty je derivací ohybového momentu M posouvající síla T, dostáváme pro prizmatický nosník následující výraz pro tangenciální napětí za ohybu T S ze τ xz = τ zx = I y 2η kde τ xz = τ zx je tangenciální napětí v průřezu x ve vláknech vzdálených z od těžišťové osy, T je posouvající síla v průřezu x, Iy je moment setrvačnosti celého průřezu v místě x, Sze je statický moment k těžišťové ose části průřezu nad vlákny z až po horní okraj průřezu a 2η je šířka průřezu ve výšce z nad těžišťovou osou. Protože statický moment celého průřezu k těžišťové ose musí být nulový ( tak je definováno těžiště ), je možno tam, kde je to výhodnější, počítat Sze jako záporně vzatý statický moment k těžiště ose části průřezu pod vlákny z až po dolní okraj průřezu. Protože na horním i spodním okraji je statický moment nulový ( statický moment nulové polohy ) je na horním i spodním okraji průřezu tangenciální napětí nulové. Na obvodě průřezu musí mít výsledné tangenciální napětí směr tečny k průřezu. toto tvrzení vyplývá přímo ze zákona o vzájemnosti tangenciálních napětí. Pokud by se totiž vyskytovala nenulová složka τ n ve směru normály k obrysu, musela by dle tohoto zákona existovat i stejně veliká složka v kolmé rovině, tedy tangenciální napětí mezi nosníkem a vzduchem. A protože takové napětí na nezatížené, okraji nemůže existovat, musí být nulová i složka τ n tangenciálního napětí na obvodu. Jak byla uvedeno na začátku tohoto odstavec, uvažujeme průřezy symetrické podle svislé osy Z. Ze symetrie průřezu vyplývá, že na ose symetrie má tangenciální napětí směr osy symetrie. Nakreslíme vektory výsledného tangenciálního napětí v obou bodech na obrysu ve vláknech stejně vzdálených od osy Y, protnou se vzhledem k symetrii průřezu tyto vektory na ose symetrie. Do stejného bodu směřuje i vektor tangenciálního napětí v bodech symetrie. Je tedy oprávněný předpoklad, že i v ostatních bodech těchto vláken bude vektor tangenciálního napětí směřovat do téhož bodu. Takže vektory tangenciálního napětí ve všech bodech průřezu, stejně vzdálených od neutrální osy, se protínají v témž bodě na ose symetrie. Označíme-li úhel mezi osou souměrnosti a spojnicí obecného bodu a průsečík vektorů tangenciálních napětí jako ω , bude závislost výsledného napětí τ obecném bodě a jeho svislým průmětem τ xz
τ=
τ xz cos ω
Protože složka napětí τ xz je ve vláknech se stejnou souřadnicí z konstantní bude největší výsledné napětí tam, kde je cos ω nejmenší a tedy úhel ω největší, to je na obvodě průřezu. A označíme-li úhel mezi tečnou k obrysu a svislou osou symetrie jako ϕ , bude výsledné tangenciální napětí τ 0 na obvodu průřezu po dosazení rovno S ze T τ0 = ⋅ I y 2η ⋅ cos ϕ
τ0 =
S ze T ⋅ I y 2η ⋅ cos ϕ
Protože napětí na obvodu je ze všech napětí ve vláknech se stejnou souřadnicí největší, stačí pro posouzení průřezu ne tangenciální napětí stanovit průběh obvodových napětí a z nich T největší tangenciální napětí vůbec. Podíl je na celém průřezu konstantní a proto největší Iy tangenciální napětí v průřezu bude na jeho obvodu v místě, kde d S ze =0 dz 2η ⋅ cos ϕ Příklady:
OHYBOVÁ ČÁRA ZA PROSTÉHO OHYBU Podle přijaté hypotézy o deformaci prvku ohybem zůstávají rovinné průřezy po deformaci rovinnými, avšak natáčejí se. Přímá vlákna k nim kolmá se zakřivují. Při prostém ohybu hlavní centrální osa setrvačnosti všech průřezů leží v rovině vnějších sil, která také obsahuje osu nosníku ( spojnice těžišť všech průřezů ). Druhá hlavní centrální osa setrvačnosti je v každém průřezu osou neutrální. Aby se neporušila rovnováha, musí rovina vnějších sil i po přetvoření obsahovat výslednici sil vnitřních, a tedy také osu nosníku. Přetvořené ose nosníku říkáme ohybová čára. Je to rovinná křivka. Určení deformace nosníku namáhaného na ohyb záleží ve výpočtu ohybové čáry; známe-li ji, najdeme polohu kteréhokoli bodu nosníku po přetvoření z předpokladů, jež jsme zavedli o deformaci za ohybu. Tyto předpoklady se vcelku u pružných látek potvrzují experimentálně, pokud není poměr výšky průřezu k rozpětí nosníku větší než asi jedna pětina, což bývá v praxi splněno. Vlivu posouvajících sil na přetvoření obvykle nedbáme ( předpokládáme čistý ohyb ). Tento předpoklad se hrubě rozchází se skutečností jen u krátkých nosníků ( poměr výšky nosníku k rozpětí je v rozmezí jedna pětina až jedna polovina ), dále u nosníků úzkých a vysokých nebo u těch, jejichž průřez se náhle mění. Jestliže výška nosníku je větší než přibližně polovina rozpětí, je třeba takovéto případy vyšetřovat jako tzv. nosné stěny. V teorii prostého ohybu nosníku také předpokládáme, že jde o pružný materiál, jehož chování se řídí Hookovým zákonem. Dalším předpokladem je, že kolmo k ose nepůsobí žádná normálová napětí; v opačném případě by bylo třeba aplikovat zobecněný zákon Hookův. I tato přibližnost je dovolená a můžeme ji posoudit, představíme-li si, že např. na horním povrchu trámu nepatrné šířky jen 0,1 m od zatížení 10 kN/m´vzniká svislé normálové napětí σ z − 0,1 MPa , což je i v tomto nepřízniw vém případě proti normálovým napětím, která vznikají v podélných vláknech hosx podárně navržených nosníků, zanedbatelné. Nepřihlíží se ani k vlivu zkrácení Pohyb posuvné podpory při ohybu nosníku osy. Neutrální osa při prostém ohybu protíná osu, délka ohybové čáry je tedy stejná jako délka nepřetvořené osy. Protože ale je nejkratším spojením podporových bodů přímá osa, nemohou podpory zůstat po přetvoření ve své poloze, ale musí se posuvná podpora přiblížit k pevnému kloubu. Proto je pohyblivost jedné podpory nutná. Avšak ve výpočtu ohybové čáry v klasické pružnosti toho nedbáme a počítáme jen pořadnice ohybové čáry jako odchylky těžišť z původní polohy v rovinách nepřetvořených řezů, určujeme tedy ohybovou čáru jako w = w( x ) . Označme posunutí ve směru podélné osy X obecného bodu jako u a u´. u Z předpokladu rovinnosti kolmých průřezů po deformaci vyplývá, že u´ se po průřezu mění lineárně, a při prostém ohybu v rovině XZ je u na y nezávislé. Označíw me-li úhel mezi původní rovinou průřezu u´ rovinou průřezu po deformaci jako ϕ , φ z můžeme posunutí u´ vyjádřit vztahem u ′ = z ⋅ tgϕ =& z ⋅ ϕ . Průhyb střednice označme w. Podle Naφ vierovy hypotézy dále předpokládáme, že průřezy zůstanou kolmé k deformované Prostý ohyb nosníku
střednici. Úhel ϕ je současně úhlem mezi ohybovou čarou a osou X , tedy dw tgϕ = . dx U většiny konstrukcí jsou průhyby i pootočení ϕ velmi malé. Můžeme proto předpokládat, že vodorovné posunutí u je přibližně rovno u´ , tedy u = u ′ ⋅ cos ϕ = u ′ 1 − ϕ 2 + ϕ 4 − ...... =& u ′ Po úpravě předchozích vztahů dostaneme dw u = z⋅ dx Relativní protažení je definováno jako podíl prodloužení vláken a původní délky vláken, tj. ∆u du εx = = dx dx d 2w du d dw Po derivování podle x platí = z = . z dx dx dx dx 2 My ⋅z Pro poměrné prodloužení při prostém ohybu platí ε x = − . Porovnání výrazů dostaneme E⋅Iy
(
−
My ⋅z
= εx =
d 2w du = z 2 a z toho dx dx
)
d 2w
=−
My
. E⋅Iy dx Tato rovnice představuje diferenciální rovnici druhého řádu pro výpočet ohybové čáry a je označována jako Bernoulliova rovnice průhybové čáry. Tuto diferenciální rovnici můžeme dvakrát integrovat a dostaneme postupně My My My d 2w dw = − ⇒ = − dx + C ⇒ w dx = − 1 ∫ E⋅Iy ∫ ∫ E ⋅ I y ⋅ dx + C1 x + C2 E⋅Iy dx dx 2 My Rovnici můžeme psát v úseku, v němž je možno zlomek vyjádřit jedinou funkcí. Je tedy EI y
E⋅Iy
2
třeba pro výpočet ohybové čáry rozdělit nosník na integrační intervaly. Intervaly musí být voleny tak, aby uvnitř žádného intervalu nebyl žádný bod, v němž se mění rovnice ohybového momentu, momentu setrvačnosti nebo modulu pružnosti. Nesmí být tedy uvnitř intervalů působiště osamělých břemen nebo osamělých momentů, začátek nebo konec rovnoměrného zatížení, začátek nebo konec náběhu, místa náhlé změny momentu setrvačnosti apod. Máme-li n integračních intervalů, dostaneme při vyjádření průhybů celkem 2n integračních konstant, v každém intervalu dvě. Integrační konstanty určujeme pomocí okrajových podmínek, tj. podmínek na koncích nosníku a podmínek spojitosti ohybové čáry, které pro jednotlivé typy okrajů jsou tyto: a) v místě kloubové podpory nebo posuvné podpory je průhyb nulový, tj. w = 0 dw b) v místě vetknutí je průhyb a pootočení nulové, tj. w = 0; =0 dx c) na rozhraní mezi i-tým a i+1-ním intervalem je ohybová čára spojitá a spojité jsou i dw dw první derivace wi = wi +1 ; = dx i dx i +1 d) v místě vnitřního kloubu mezi i-tým a i+1-ním intervalem je ohybová čára spojitá, tj. wi = wi +1 Typy okrajů jsou vykresleny na obrázku.
a)
b)
c)
i
w= 0
w=0 dw =0 dx
w= 0
w= 0
d)
i+1
i
i+1
wi = wi +1 dϕ dϕ = dx i dx i +1
wi = wi +1
U nosníků symetrických a symetricky zatížených je i ohybová čára souměrná. Můžeme tedy řešit u symetrických konstrukcí pouze polovinu nosníku a na ose symetrie psát okrajovou podmínku ve tvaru dw sym : =0 dx U konstrukcí staticky určitých dostáváme tolik okrajových podmínek, kolik je na konstrukci integračních konstant ohybové čáry. Tím je vyjádřeno, že konstrukce staticky určité jsou současně tvarově určité. U konstrukcí staticky přeurčitých ( tvarově neurčitých ) dostáváme menší počet rovnic, něž je počet integračních konstant, nelze integrační konstanty určit. U konstrukcí staticky neurčitých je počet rovnic větší než počet integračních podmínek, je větší o stupeň statické neurčitosti. Pro stanovení reakcí za statických podmínek rovnováhy nám právě toto množství rovnic chybělo. Můžeme tedy pomocí diferenciální rovnice ohybové čáry řešit nejen ohybovou čáru konstrukcí staticky určitých a neurčitých, ale i reakce a průběhy vnitřních sil na konstrukcích staticky neurčitých. Při výpočtu ohybové čáry není nutné zachovávat stejný souřadný systém pro všechny intervaly, dokonce je možno uvažovat v některých intervalech souřadný systém x′ = l − x zprava. Je ovšem třeba dát pozor při dosazování souřadnic do okrajových podmínek, abychom v intervalu uvažovali souřadnice vztažené k použitému souřadnému systému a dále na to, že platí dw dw dx′ = −dx =− dx′ dx Počet integračních konstant je roven dvojnásobku počtu intervalů, což nebývá vždy malé číslo. Např. při výpočtu ohybové čáry na prostém nosníku zatíženém čtyřmi osamělými břemeny je pět integračních intervalů a musíme tedy řešit soustavu deseti lineárních rovnic o deseti neznámých. Této nepříjemné záležitosti se můžeme na nosníku konstantního průřezu vyhnout, využijeme-li Clebschovo řešení.
Clebschovo řešení. Tento postup redukuje počet integračních konstant až na dvě tím, že jednotlivé členy funkce ohybového momentu vyjadřuje různými, vhodně volenými parametry. Je-li na rozhraní dvou intervalů působiště osamělého břemene, případně osamělého momentu, budou s výrazy pro ohybový moment nalevo a napravo od osamělého břemene F lišit pouze o člen ∆M = − F ( x − p ) .
Označíme-li tedy ohybový moment v intervalu 1 M 1 ( x ) , bude ohybový moment v intervalu 2 roven M 2 ( x ) = M 1 ( x ) − F ⋅ ( x − p ) Při integraci diferenciální rovnice pak obdržíme M (x ) w1 = − ∫ ∫ 1 dx dx + C1 x + C 2 EI y M (x ) − F ⋅ (x − p ) M (x ) F ⋅ (x − p ) dx dx + w2 = − ∫ ∫ 1 dx dx + C3 x + C 4 = − ∫ ∫ 1 dx dx + ∫ ∫ EI EI EI y y y M (x ) F ⋅ ( x − p )3 + C3 x + C 4 = − ∫ ∫ 1 dx dx + + C3 x + C 4 EI y EI y Na rozhraní obou intervalů platí výše uvedené okrajové podmínky, takže v místě x = p musí být w1 = w2 a
F 1
dw1 dw2 F ( x − p )3 = . A protože pro x = p je člen nulo6 EI y dx dx
2
p x-p vý a též jeho derivace je nulová, musí být C3 = C1 a x C 4 = C 2 . Jsou tedy v obou intervalech stejná integrační Osamělé břemeno znaménka. Stejným způsobem postupujeme, začíná-li na rozhraní dvou intervalů spojité zatížení. Např. pro rovnoměrné zatížení q se výrazy pro ohybové momenty v intervalech 3 a 4 bu1 dou lišit o člen ∆M = − q ⋅ x − p 2 , 2
(
)
q 4
q
3 p 1
x-p
x Začátek spojitého zatížené
5
6
p
x-p
x Konec spojitého zatížení
takže po integraci se výrazy pro průhyb budou lišit o člen M (x ) 1 1 q( x − p )4 2 ( ) dx dx = − ∆w = − ∫ ∫ − q ⋅ x − p dx dx = EI y EI y ∫ ∫ 2 24 EI y I tento člen je na rozhraní intervalů, tj. x = p nulový a nulová je též jeho první derivace, proto integrační konstanty v obou sousedních intervalech budou opět stejné. V případě, kdy na rozhraní intervalů spojité zatížení končí, navodíme stejné podmínky jako v případě začínajícího spojitého zatížení tím, že spojité zatížení prodloužíme dále za rozhraní x = p a toto přidané zatížení q zrušíme přidáním záporného zatížení – q , začínajícího na
rozhraní x = p . Bude tedy v levém intervalu ohybový moment od spojitého zatížení ( byl-li jeho počátek v místě x = 0 ) roven 1 M 5 = − qx 2 2 a v pravém intervalu, kde je zvětšen o zatížení opačného smyslu, bude 1 1 M 6 = − qx 2 + q( x − p )2 2 2
Mohrův způsob určení průhybové čáry Tento postup se zakládá na analogických vztazích mezi průhybem a ohybovým momentem na jedné straně a ohybovým momentem a zatížením na straně druhé. Připomeňme si nejprve si nejprve Schwedleroq(x) vu větu pro rovinný ohyb, tj. vztahy mezi funkcemi q(x ) , T (x ) a M 0 (x ) . T(x) Ze součtové výminky rovnováhy ve svislém směru T ( x ) − q ( x ) ⋅ dx − T ( x ) − dT ( x ) = 0 dT ( x ) A = T ′( x ) = − q(x ) plyne dx Z momentové rovnováhy k bodu A M(x)+dM(x) M(x) dx M 0 ( x ) + T ( x )dx − q( x )dx ⋅ − M 0 ( x ) − dM 0 ( x ) = 0 2 T(x)+dT(x) dx po zanedbání účinku členu − q( x )dx ⋅ jako neko2 dx nečně malého 2.řádu, dostaneme dM 0 (x ) = M ′( x ) = T ( x ) dx Rovnici derivujeme podle x a dosadíme za
dT a dostaneme diferenciální rovnici 2. řádu dx
d 2 M 0 (x ) = M 0′′ ( x ) = − q( x ) dx Srovnáme-li tuto rovnici s Bernoulliovou rovnicí průhybové čáry My d 2w ′′ = − w = E⋅Iy dx 2 je mezi nimi zřejmá analogie. Položíme-li w′′( x ) = M ′f′ ( x ) a pak platí
w′( x ) = ϕ ( x ) =
T f (x ) EI y
a
w( x ) =
M f (x ) EI y
− M y (x ) EI y
= qf
Vidíme, že je možno získat ohybovou čáru w( x ) a natočení ϕ ( x ) řešením průběhu posouvající síly a ohybového momentu na fiktivním nosníku. Výše uvedené zápisy jsou matematickým vyjádřením Mohrových vět:
1. Úhel natočení v obecném místě nosníku je roven velikosti fiktivní posouvající síly na fiktivním nosníku od zatížení skutečnou momentovou plochou dělené konstantou EI y . 2. Průhyb v obecném místě nosníku je roven velikosti fiktivního ohybového momentu na fiktivním nosníku od zatížení skutečnou momentovou plochou dělené konstantou EI y . Veličina, které si v analogii vzájemně odpovídají, vyplývají ze srovnání diferenciálních rovnic: dM dw M ϕ= w ↔ M ↔ q ↔ T= dx dx EI Fiktivní nosník je takový nosník, jehož fiktivní statické okrajové podmínky odpovídají geometrickým podmínkám skutečného nosníku. Tento fiktivní nosník, kterým nahrazujeme původní nosník při řešení ohybové čáry jako výslednicové čáry, nazýváme duálním ( sdruženým ) nosníkem. Je-li původní nosník staticky určitý, je staticky určitý i duální nosník ( vodorovné reakce jsou vesměs nulové a uvažujeme pouze jedinou vazbu přenášející vodorovnou sílu ). Podle výše uvedených zásad původní prostý nosník bez převislých konců můžeme ponechat beze změny i pro řešení ohybové čáry jako duální nosník, protože na obou koncích prostého nosníku jsou průhyby nulové a současně i ohybové momenty nulové. U konzoly požadujeme, aby ve vetknutí byly průhyb w a natočení ϕ nulové, ale ohybový moment a posouvající síla jsou současně nulové na volném konci. Je tedy třeba, aby na fiktivním nosníku zatíženém redukovaným momentovým obrazcem byl zaměněn volný konec za vetknutí a vetknutí za volný konec. Řešíme-li ohybovou čáru nosníku s převislým koncem, potom obdobně jako u konzoly zaměňujeme volný konec vetknutím. V místě mezilehlé podpory potřebujeme, aby průhyb byl nulový a pootočení vlevo a vpravo od podpor bylo stejné. A podporou na fiktivním nosníku, která zajišťuje nulový ohybový moment a stejnou posouvající sílu zleva a zprava je vnitřní kloub. Naopak při řešení ohybové čáry v okolí vnitřního kloubu na nosníku je potřeba, aby průhyb nalevo a napravo byl stejný, pootočení může být různé. Nahrazujeme tedy vnitřní kloub na fiktivním nosníku mezilehlou podporou, u níž je ohybový moment vlevo a vpravo stejný a posouvající síla se může lišit ( o velikost reakce v podpoře ). skutečný nosník
duální nosník
Duální nosník tedy vytváříme tak, že a) kloubovou podporu na konci nosníku ponecháme beze změny b) volný konec nahradíme vetknutím c) vetknutí nahradíme volným koncem d) mezilehlou podporu nahradíme vnitřním kloubem e) vnitřní kloub nahradíme mezilehlou podporou Podpory původního nosníku a jemu odpovídajícího duálního nosníku jsou uvedeny na obrázku.
Určete Clebschovou metodou ohybovou čáru nosníku s konstantním průřezem a konstantním modulem pružnosti zatíženého dle obrázku. Nosník je jednou staticky F = 10 kN neurčitý, proto nemůžeme f = 2 kN/m´ reakce určit z podmínek rovnováhy. Víme, že v podpoře a a b bude jedna zatím neznámá I II reakce A , proto si schéma upravíme podle druhého obx rázku. Uvolníme vazbu a zavedeme sílu A a dále v úseku 4m 2m II dosáhneme nulového rovnoměrného zatížení tak, že přidáme zespoda v opačném F = 10 kN směru působící stejně veliké f = 2 kN/m´ rovnoměrné zatížení f. Tak b dostaneme jako základní a schéma konzolu, která je staf = 2 kN/m´ ticky určitá a můžeme na ní A vyjádřit ohybový moment. I II Úsek I
f 2 2 ⋅ x = A⋅ x − ⋅ x2 = A⋅ x − x2 2 2 Integrací vztahu pro průhybovou čáru dostaneme − EI y ⋅ w′′ = M = Ax − x 2 M = A⋅ x −
Ohybový moment
− EI y ⋅ w′ = A
x 2 x3 − + C1 2 3
− EI y ⋅ w = A
x3 x 4 − + C1 x + C2 6 12
Úsek II
M = Ax −
f 2 f 2 2 x − F ⋅ ( x − 4) + ( x − 4)2 = Ax − x 2 − 10 ⋅ ( x − 4 ) + ( x − 4)2 = 2 2 2 2
= Ax − x 2 − 10 ⋅ ( x − 4) + ( x − 4)2 − EI y w′′ = Ax − x 2 − 10 ⋅ ( x − 4) + ( x − 4)2 − EI y w′ = A
x 2 x 3 10 1 − − ⋅ ( x − 4)2 + ( x − 4)3 + C1 2 3 2 3
1 x 3 x 4 10 − − ⋅ ( x − 4)3 + ( x − 4 )4 + C1 x + C 2 6 12 6 12 Zavedeme okrajové deformační podmínky: w =w =w ′ =0 − EI y w = A
a
b
b
1) Pro x = 0 :
w=0
2) Pro x = 6 :
w=0
⇒
C2 = 0
63 6 4 10 1 A − − (6 − 4 )3 + (6 − 4)4 + C1 ⋅ 6 = 0 6 12 6 12 A ⋅ 36 − 108 − 13,33 + 1,33 + C1 ⋅ 6 = 0 A ⋅ 6 − 20 + C1 = 0 C1 = 20 − 6 A 3) Pro x = 6 : w′ = 0 2 3 6 6 12 1 A − − (6 − 4 )2 − (6 − 4 )3 + C1 = 0 2 3 2 3 8 A ⋅18 − 72 − 20 − + C1 = 0 3 A ⋅18 − 89,3 + C1 = 0 a po dosazení za C1 A ⋅18 − 89,3 + 20 − 6 A = 0 12 A − 69,3 = 0 A = 5,77 kN C1 = −14,65 Potom můžeme popsat průhybovou čáru v I a II oblasti funkcemi: x3 x 4 EI y ⋅ wI = 5,77 ⋅ − − 14,65 x 6 12
x3 x 4 5 1 EI y ⋅ wII = 5,77 ⋅ − − ( x − 4)3 + ( x − 4 )4 − 14,65 x 6 12 3 12
Vzpěrná pevnost Stabilita pružných soustav Doposud jsme se zabývali pouze takovými případy, kdy je napětí v průřezu přímo úměrné zatížení. Zvětšujeme-li zatížení, vzrůstá úměrně tomu i napětí v tělese, až při jistém zatížení dojde k porušení tělesa přetržením, rozdrcením nebo usmyknutím. Ale můžeme se setkat i s jiným způsobem porušení konstrukce. Na obrázku je uveden jednoduchý příklad trojkloubového oblouku, který se skládá ze dvou přímých prutů délky l a je zatížen ve středním kloubu osamělým břemenem F. Pokud je vzepětí oblouku h oproti rozpětí 2a dostatečně velké, můžeme osové síly v prutech vypočítat z podmínek rovnováhy na nepřetvořené konstrukci F S= 2 sin α Ovšem, když je vzepětí oblouku malé, vyvolává zkrácení prutů vlivem osových sil značnou změnu úhlu α může dojít i k tomu, že účinkem břemene F vznikne v prutech napětí značně menší než přípustná mez, ale stlačení prutů bude takové, že střední kloub poklesne na úroveň obou krajních kloubů. V této poloze se ovšem nemůže udržet, dochází k propadnutí konstrukce. A ačkoliv v tomto případě nebyla pevnost materiálu ještě zdaleka vyčerpána, je konstrukce nepoužitelná. Říkáme, že ztratila stabilitu, a břemeno, při němž ke ztrátě stability dochází, nazýváme kritickým břemenem.
Rovnováha:
a) stabilní
b) labilní
c) indiferentní
Konstrukce se může nalézat v rovnováze stabilní, labilní nebo indiferentní. Rozdíl mezi těmito třemi druhy rovnováhy můžeme ukázat na příkladu z mechaniky tuhých těles. Jestliže umístíme kuličku do duté misky, potom při vychýlení se její těžiště zvedá, čímž se zvětšuje její potenciální energie. Proto v okamžiku, kdy vnější síla přestane působit, vrací se kulička zpět do původní polohy. Říkáme, že kulička v duté misce je v rovnováze stabilní. Umístímeli kuličku na vrchol vypuklé misky, potom při jejím posunutí těžiště klesá. I když vnější síla přestane působit, kulička pokračuje dále v pohybu. Říkáme, že kulička na vrcholu vypuklé plochy je v rovnováze labilní. Rozhraní mezi uvedenými dvěma rovnováhami tvoří případ, kdy kuličku umístíme na rovnou plochu. Při jejím posunutí zůstává těžiště ve stejné výšce, kulička může být v klidu v jakékoli poloze. Kulička na rovině je v rovnováze indiferentní. Obdobně mohou nastat tyto případy rovnováhy u tlačeného štíhlého prutu. Uvažujme prut zatížený osovou silou F a vychylme jej ze svislé polohy dočasně působící silou F2. Pokud je síla F malá, potom se po ukončení působení síly F2 prut vrací zpět do svislé polohy – je v rovnováze stabilní. Vzrůstá-li síla F, pak při její určité velikosti je možno prut nepatrně vychýlit do libovolné polohy. V této vychýlené poloze zůstane – je v rovnováze indiferentní.
Eulerovo řešení vzpěrné pevnosti.
Pojmem vzpěra označujeme v technické praxi štíhlé tlačené pruty a jejich únosnost ( pevnost ) označujeme jako vzpěrná pevnost. Určení vzpěrné pevnosti spočívá ve výpočtu kritického břemene Fk, to je takové centricky působící tlakové síly, při níž se prut nachází v indiferentní rovnováze ( při vychýlení se nevrací do původní přímé polohy, ale zůstává v nové poloze ). Uvažujme vzpěru konstantního průřezu upevněnou na jednom konci kloubově a na druhém posuvně, zatíženou tlakovou silou F. Tato vzpěra byla dočasně působícím zatížením vychýlena ze svislé polohy. Průhyb v obecném průřezu vzdáleném od spodní podpory o x označme w. Ze tří statických podmínek rovnováhy vyplývá, že jedinou reakcí je svislá složka v kloubu, která má velikost F. Ohybový moment v místě x bude tedy roven M = F ⋅w Tlačený prut Ohybový moment na nosníku můžeme ovšem určit též pomocí diferenciální rovnice ohybové čáry, podle které je d 2w M = − EI 2 dx Ze srovnání obou výrazů pro ohybový moment dostáváme pak diferenciální rovnici ohybové čáry při vzpěru d 2w EI 2 + F ⋅ w = 0 dx která má řešení F F w = C1 sin ⋅ x + C 2 cos ⋅x. EI EI Integrační konstanty určíme z okrajových podmínek. V kloubu musí být průhyb nulový, tedy pro x = 0 je w = 0 ⇒ C 2 = 0 . Druhá okrajová podmínka vyplývá z toho, že i v posuvné podpoře musí být průhyb nulový, tj. pro x = l je F w = 0 ⇒ C1 sin ⋅l = 0 EI Tato podmínka má jednak triviální řešení C1 = 0 , které odpovídá stabilní rovnováze, jednak řešení pro kritické břemeno Fk Fk π 2 EI sin ⋅l = 0 ⇒ ⋅ l = k ⋅ π ⇒ Fk = k 2 2 EI EI l kde k je celé číslo. Jako řešení dostáváme tak soustavu kritických Vzpěra podepřená břemen kloubem a posuvem 4π 2 EI 9π 2 EI π 2 EI , , , ........ Fk = 2 l l2 l2 π 2 EI Položíme-li F = Fk = 2 do rovnice ohybové čáry a současně dosadíme C 2 = 0 , dostává l πx ohybová čára při vzpěru rovnici w = C1 sin . Ohybová čára je tedy jedna půlvlna l
sinusoidy, body s nulovou pořadnicí a současně i inflexní body ohybové čáry jsou na obou 4π 2 EI , dostáváme koncích nosníku. Položíme-li za tlakovou sílu F druhý kořen rovnice F = l2 jako ohybovou čáru dvě půlvlny sinusoidy. Indiferentní rovnováha nastává ovšem již při první velikosti kritického břemene, další kritická břemena odpovídají podepření kromě na koncích ještě v dalších uzlových bodech. Kritické břemeno pro k = 1 nazýváme též Eulerovo břemeno. π 2 EI Fk = FE = 2 l Nejmenší kritické břemeno nastává pro nejmenší moment setrvačnosti, proto prut při vzpěru vybočuje vždy ve směru nejmenšího momentu setrvačnosti. Zavádíme tedy do vzorce minimální moment setrvačnosti. Je-li prut na obou koncích vetknut, působí na horním vetknutém konci kromě osové síly F ještě moment ve vetknutí M0 a případně i posouvající síla T. Bude se tedy ohybový moment v průřezu x rovnat M = F ⋅ w + T ⋅ (l − x ) + M 0 a ze srovnání s diferenciální rovnicí ohybové čáry vyplývá d 2w
+ F ⋅ w = −T ⋅ (l − x ) − M 0 . dx 2 Rovnice představuje diferenciální rovnici oboustranně vetknuté vzpěry. Je to diferenciální rovnice druhého řádu s pravou stranou. Její řešení je rovno součtu řešení w1 homogenní diferenciální rovnice a partikulárního integrálu, který má např. tvar T (l − x ) + M 0 wp = − F Obecné řešení tedy je T (l − x ) + M 0 F F w = C1 sin ⋅ x + C 2 cos ⋅x− EI EI F
EI
Vzpěra vetknutá oboustranně
Reakce i ohybová čára vzpěry po obou stranách vetknutí jsou symetrické, musí tedy vodorovná složka reakce v horním i v dolním vetknutí být stejně veliká a mít i stejný smysl. Současně ale musí platit součtová výminka rovnováhy ve vodorovném směru. A obojí současně splňuje pouze nulová posouvající složka reakce T =0 Rovnice ohybové čáry se tak zjednodušuje na M F F w = C1 sin ⋅ x + C 2 cos ⋅x− 0 EI EI F Ve vetknutí musí být průhyb i pootočení (první derivace ohybové čára) nulové, takže musí být splněny podmínky:
x=0
w=0
x=0
dw =0 dx
x=l
w=0
x=l
dw =0 dx
⇒
M0 =0 F F =0 C1 EI
C2 −
⇒ ⇒
C1 sin
⇒
C1
Z první podmínky získáme C 2 =
M F F ⋅ l + C 2 cos ⋅l − 0 = 0 F EI EI F F F F cos ⋅ l + C2 sin ⋅l = 0 EI EI EI EI
M0 a z druhé C1 = 0 . Po dosazení těchto konstant do třetí F
a čtvrté rovnice vychází M0 F cos =0 ⋅ l − 1 F EI M0 F F sin ⋅l = 0 F EI EI Tyto podmínky mají jednak triviální řešení M 0 = 0 , které odpovídá stabilní rovnováze, jednak řešení Fk π 2 EI ⋅ l = k ⋅ 2π ⇒ Fk = k 2 2 EI l 2 Nejmenší hodnota kritického břemene je pro k = 1 π 2 EI Fk = 2 l 2 Vidíme, že na oboustranně vetknutém nosníku je kritické břemeno čtyřikrát větší než na prostém nosníku, nosník (vzpěra) oboustranně vetknutý má čtyřnásobnou únosnost. Dosadíme-li za tlakovou sílu F kritické břemeno do rovnice ohybové čáry, dostaneme M 2πx − 1 w = 0 cos F l Ohybová čára nosníku oboustranně vetknutého nosníku má 2 inflexní body (místa, kde je druhá derivace nulová) x = l / 4 a x = 3l / 4 ; vzdálenost inflexních bodů je l/2.
Uvažujme nyní konzolu centricky tlačenou. Označíme-li průhyb volného konce konzoly jako w0 , budou ohybové momenty v místě x M = − F (w0 − w) , a protože je současně M = − EI rovnice EI
d 2w dx 2
+ F ⋅ w = F ⋅ w0
d 2w dx 2
, platí pro ohybovou čáru tlačené konzoly diferenciální
Řešení se opět sestává z obecného řešení homogenní diferenciální rovnice a partikulárního integrálu, který je w = w0 . Ohybová čára konzoly má tedy rovnici F F w = C1 sin ⋅ x + C 2 cos ⋅ x + w0 EI EI Pro neznámé C1, C2 , w0 máme tři geometrické okrajové podmínky ⇒ x=0 w=0 C 2 + w0 = 0
Konzola
x=0
dw =0 dx
⇒
C1
F =0 EI
x=l
w = w0
⇒
C1 sin
F F ⋅ l + C 2 cos ⋅l = 0 EI EI
Z prvních dvou rovnic vyplývá C 2 = − w0 , C1 = 0 takže třetí rovnice má po dosažení tvar F − w0 ⋅ cos ⋅l = 0 , EI a netriviální řešení má jen v případě, kdy Fk π ⋅ l = + k ⋅π . 2 EI Pro k = 0 dostáváme první kritické břemeno π 2 EI Fk = (2l )2 Kritické břemeno je tedy na konzole čtyřikrát menší než na prostém nosníku ( vzpěře ). Ohybová čára má rovnici π x w = w0 ⋅ 1 − cos , 2l vzdálenost inflexních bodů na ohybové čáře je 2l. Máme-li prut, který je na jednom konci vetknutý a na druhém podepřený posuvně, vzniká v posuvné podpoře vodorovná složka reakce T. Ohybový moment v průřezu vzdáleném x od spodní podpory se bude rovnat M = T ⋅ (l − x ) + F ⋅ w Po dosazení za ohybový moment M = − EI
d 2w dx 2
dostáváme dife-
renciální rovnici ve tvaru d 2w EI 2 + F ⋅ w = −T (l − x ) dx
T (l − x ) a po sečtení s F obecným řešením homogenní diferenciální rovnice dostáváme rovnici ohybové čáry
tato rovnice má partikulární řešení w p = −
Jednostranně vetknutý nosník
F F ⋅ x + C 2 cos ⋅ x − T (l − x ) EI EI Rovnice musí splňovat geometrické okrajové podmínky x=0 w=0 ⇒ C 2 − T (l − x ) w = C1 sin
x=0
dw =0 dx
⇒
C1
F +T = 0 EI
F F ⋅ l + C 2 cos ⋅l = 0 EI EI Jedná se o soustavu tří lineárních rovnic pro neznámé C1, C2 , T . Soustava má nulové pravé strany, takže netriviální řešení existuje pouze tehdy, když determinant soustavy je nulový, tedy x=l
w=0
⇒
C1 sin
−l 0 1 F 0 1 =0 EI F F sin ⋅ l cos ⋅l 0 EI EI Rozepsáním determinantu dostáváme podmínku F F F sin ⋅l − ⋅ l cos ⋅l = 0 EI EI EI Dělíme-li tuto rovnici cos
F ⋅ l , dostáváme transcendentní rovnici EI
F F ⋅l = ⋅l , EI EI která má řešení π 2 EI 2,0457π 2 EI F ⋅ l = 1,4303π ⇒ Fk = = & EI l2 (0,7 ⋅ l )2 Hodnotu kritického břemene můžeme ve všech případech vyjádřit společným π 2 EI Fk = 2 , L kde L nazýváme vzpěrná délka. Tato vzpěrná délka, která je rovna vzdálenosti inflexních bodů na ohybové čáře, která je v případě prostého nosníku rovna rozpětí nosníku, u nosníku oboustranně vetknutého polovině, u konzoly dvojnásobku délky a u nosníku na jedné na jedné straně vetknutého a na druhé straně prostě podepřeného je rovna sedmi desetinám délky. Aby konstrukce neztratila stabilitu, nesmí tlaková síla přestoupit kritické břemeno Fk dané vzorcem. Je-li prut namáhán tlakovou silou Fk , vzniká v něm normálové napětí F σk = k A Po dosazení za kritické břemeno Fk a s uvážením, že I = A ⋅ i 2 , dostáváme pro napětí při kritickém zatížení π 2E σk = 2 L i tg
Vzpěrné délky jednoduchých vzpěr konstantního průřezu
Vidíme, že normálové napětí, které v nosníku nesmí být překročeno, aby prut neztratil stabilitu, je mimo modul pružnosti E závislé na poměru vzpěrné délky L a (minimálního) poloměru setrvačnosti i. Tento poměr nazýváme štíhlostní poměr a označujeme λ , tedy L λ= i Při zavedení štíhlostního poměru dostáváme pro kritické napětí π 2E σk = 2
λ
Vynesme závislost mezi kritickým napětím a štíhlostním poměrem. je to hyperbola druhého stupně. současně však nesmí normálové napětí v prutu přestoupit mez průtažnosti σ T , kdy deformace v prutu značně vzrůstají. je tedy maximálně přípustné normálové napětí dáno čarou, která je pro hodnoty E hyperbola druhého stupλ ≥π
σT
ně a pro menší hodnoty přímka. Omezující křivka bývá v místě zlomu nahrazována parabolou, která má s hyperbolou i přímkou společné tečny. Na obrázku je tato parabola nakresleZávislost maximálního normálového napětí a štíhlostna čárkovaně. ního poměru Ovšem zrovna tak, jako při prostém tlaku nemůžeme v konstrukci ani její části připustit vznik napětí na mezi průtažnosti, ale pouze dovolené namáhání, nemůžeme ani při vzpěrném tlaku připustit kritické napětí. Konstrukce musí mít ještě předem stanovenou bezpečnost proti ztrátě stability. Označíme-li tuto míru bezpečnosti písmenem k, nesmí napětí při vzpěru překročit hodnotu π 2E σ≤ 2 kλ Toto mezní napětí vyjadřujeme zlomkem dovoleného namáhání
π 2 E σ dov = c kλ2
kde c se nazývá součinitel vzpěrnosti a v pružném oboru, kde σ < σ T , je roven k ⋅ σ dov 2 c= ⋅λ π 2E Součinitel vzpěrnosti c, který je vždy větší než l (při prostém tlaku c=1) obvykle neurčujeme pomocí vztahu, ale normy pro různý materiál jej udávají v závislosti na štíhlostním poměru λ ve formě tabulek. Posouzení prutu namáhaného na vzpěrný tlak pak vypadá tak, že 1) určíme minimální poloměr setrvačnosti imin a vzpěrnou délku L L 2) vypočteme štíhlostní poměr λ = imin 3) v tabulkách pro daný materiál nalezneme v závislosti na štíhlostním poměru λ vzpěrnostní součinitel c 4) posoudíme, zda tlakové normálové napětí napřestoupí dovolené namáhání redukované vzpěrnostním součinitelem F σ σ = ≤ dov A c Při návrhu prutu postupujeme iteračním způsobem. Nejprve odhadneme vzpěrnostní součinitel c. Pomocí tohoto vzpěrnostního součinitele zjistíme nutnou plochu, která musí být F ⋅c Anut ≥
σ dov
a navrhneme průřez. Při tom v případě, že můžeme navrhnout více průřezů se stejnou plochou, volíme ten, který má největší minimální poloměr setrvačnosti. Potom určíme štíhlostní součinitel c2 . Pro tento nový vzpěrnostní součinitel c2 pak opakujeme celý postup znovu. Iteraci ukončíme tehdy, když se dva po sobě následující vzpěrnostní součinitel už od sebe příliš neliší. Na závěr je bezpodmínečně nutné prut posoudit.
Prosté kroucení Prosté kroucení nastává, působí-li v rovině průřezu dvojice sil; její moment K se nazývá kroutící moment. Kroucení se vyskytuje často ve strojních součástech konstrukcí, ve stavebních se vyskytuje řidčeji. V technické pružnosti lze odvodit jednoduchou přesnou hypotézu, potvrzenou experimentálně a souhlasící se závěry matematické pružnosti, jen pro kroucení kruhu, mezikruží a u průřezu eliptického plného i dutého, kdežto pro průřezy obdélníkový a čtvercový, podává technická pružnost výsledky jen hrubě přibližné. Za prostého kroucení vznikne v obecném bodě ( se souřadnicemi y,z) průřezu jen tangenciální napětí, jehož složky rovnoběžné s osami Y,Z jsou τ xy , τ xz , kladné ve smyslu kladných os.
Je-li průřez namáhaný na kroucení středově souměrný k těžišti, předpokládáme v technické pružnosti, že i vnitřní síly jsou k němu středově souměrné, k osám symetrie pak antimetrické (symetrické až na znaménko). A protože složka tangenciálního napětí ve směru osy antimetrie musí být na této ose nulová, musí mít napětí na ose antimetrie směr k této ose kolmý. Tohoto můžeme s výhodou využít při řešení kroucení kruhového průřezu. Kruhová tyč je souměrná ke všem rovinám, kterýkoliv průměr je osou souměrnosti průřezu. musí mít tedy tangenciální napětí v kterémkoliv místě kruhového průřezu směr kolmý k poloměru.
Označme toto napětí ve směru tečném τ xt a z rotační souměrnosti průřezu vyplývá, že napětí τ xt je podél celé kružnice ρ konstantní. Víme, že tangenciální napětí vyvolává relativní zkosení γ , jež je přímo úměrné napětí a nepřímo úměrné modulu pružnosti ve smyku. Protože úhel γ je pro celou kružnici o poloměru ρ konstantní, tato kružnice se při zkosení tyče pouze Kroucení kruhového průřezu pootočí kolem svého středu. Stejně tak i ostatní kružnice, takže při kroucení kruhové tyče se dva rovnoběžné průřezy proti sobě vzájemně pootočí o úhel zkosení ϕ . Relativní zkosení vláken γ je v ose tyče nulové a k okraji lineárně narůstá, a stejně tak musí se vzdáleností od středu lineárně narůstat i tangenciální napětí τ xt , tedy
τ xt =
ρ
τ max
r Vnitřní síla, jež je výslednicí tangenciálního napětí τ xt působícího na plošce dA vzdálené ρ od těžiště, má k těžišti moment o velikosti ρτ xt dA . Vnitřní síly v průřezu musí dát stejný kroutící moment jako K ; podmínka ekvivalence k těžišti má potom tvar K = ∫ ρτ xt dA A
a dosadíme-li za τ xt , dostaneme K=∫
A
ρ2 r
τ max dA =
τ max r
∫ρ A
2
dA =
τ max r
⋅Ip
kde I p značí polární moment setrvačnosti, r je vnější poloměr, τ max je napětí τ xt na obvodu tyče a K je kroutící moment. naopak z tohoto vztahu může určit K K K τ xt = ⋅ ρ τ max = ⋅ r = Ip Ip Wk kde Wk je analogicky s ohybem zavedená veličina modul průřezu v kroucení. Ip 1 = π r3 . Wk = 2 r Obdobný vztah platí pro průřez ve tvaru mezikruží, modul průřezu v kroucení je zde roven 1 r 4 − r24 Wk = π 1 2 r1 kde r1 je poloměr vnější kružnice, r2 je poloměr vnitřní kružnice. Pro průřez obdélníkový ( a samozřejmě čtvercový ) je přesné řešení obtížné. Při kroucení nekruhových průřezů dochází totiž k tomu, že průřez před deformací rovinný se vlivem kroucení zbortí do křivé plochy, dochází k tzv. deplanaci průřezu. Řešení úlohy vede k parci-
ální diferenciální rovnici druhého řádu ( Poissonově rovnici ) a lze je nalézt specielními postupy, např. pomocí nekonečných řad a pod. Uvedeme jen výsledky řešení. Označme b kratší stranu obdélníkového průřezu a h delší stranu. Souřadnicová osa Y nechť je rovnoběžná s kratší stranou obdélníka, osa Z s delší stranou. Tangenciální napětí τ xz má podél kratších stran obdélníka nulovou hodnotu ( je to složky kolmá k obvodu ) a podél delších stran se mění přibližně podle kvadratické paraboly (u úzkých průřezů podle obdélníka se zaoblenými rohy). ve směru osy Y se mění zhruba lineárně, na ose Z má nulovou hodnotu. Tangenciální napětí τ xy je obdobné (v kolmých směrech ). Přibližné průběhy tangenciálních napětí τ xy a τ xz jsou uvedeny na obrázku. Největší hodnota tangenciálního napětí v průřezu vůbec je uprostřed delší strany obdélníka. Určíme jí ze vzorce K K τ max = max τ xz = = 2 α b h Wk
Kroucení obdélníkového průřezu
Wk = α b 2 h Napětí τ xy má největší hodnotu uprostřed kratší strany a k jejímu určení použijeme vzorce kde
max τ xy =
K
β bh 2
Součinitele α a β závisí na poměru stran obdélníka ( viz tabulka ). h:b
α β
1 0,208 0,208
1,2 0,219 0,196
1,5 0,231 0,180
2 0,246 0,155
3 0,267 0,118
5 0,292 0,0783
10 0,312 0,421
∞ 0,333
Vzpěrná pevnost sloupu – příklad 1
Vzpěrná pevnost příklad 2
Vzpěrná pevnost – příklad 3
Kroucení – příklad 1 Navrhněte a posuďte ocelovou tenkostěnnou trubku pro zatížení kroutícím momentem K=32 kNm . Trubku navrhněte s tloušťkou stěny 10 mm, dovolené namáhání oceli ve smyku je τ dov = 112 MPa Řešení: Nutný modul průřezu v kroucení K Wk =
τ dov
1 r14 − r24 který je pro mezikruží roven Wk = π . 2 r1 Protože tloušťka stěny je 10 mm, je tedy r2 = r1 − t a po dosazení číselných hodnot v jednotkách [N] a [mm] dostáváme K
τ dov
=
Mezikruhový průřez
π r14 − (r1 − t )4 2
⋅
r1
K r1 − 0,25t 3 = 0 r13 − 1,5tr12 + t 2 − 2πtτ dov r13 − 15r12 − 4447,284r1 − 250 = 0 Tato rovnice třetího stupně má jediné kladné řešení
r1 = 74,6 mm .
z Kroucení – příklad 2
K=32 kNm 600
Určete maximální hodnoty tangenciálního napětí v trámu s obdélníkovým průřezem 400/600 mm od zatížení kroutícím momentem K = 32 kNm . Řešení: Obdélníkový průřez má poměr stran 600 h:b = = 1,5 , takže v tabulce nalezneme hodnoty 400 součinitelů α , β : α = 0,231 β = 0,180
b
a
y
400
Maximální tangenciální napětí τ xy nastává uprostřed kratší strany, tj. v místě b a je rovno maxτ xy =
K
β bh
2
=
32 ⋅10 6 0,180 ⋅ 400 ⋅ 600
2
= 1,235 N/mm 2 = 1,235 MPa
Maximální tangenciální napětí τ xz , které je současně největším tangenciálním napětím vůbec v tomto průřezu, se nachází uprostřed delší strany, to je v bodě a, a je rovno K 32 ⋅10 6 = 1,443 MPa . maxτ xy = 2 = αb h 0,231 ⋅ 400 2 ⋅ 600
