Euis Hartini 1, Edi Kurniadi 2 ABSTRAK ABSTRACT

DAFTAR ISI Seminar Nasional Sains dan Teknologi Nuklir 2013 PTNBR – BATAN Bandung, 12 Juni 2013

Tema: Pemanfaatan Sains dan Teknologi Nuklir di Bidang Kesehatan, Lingkungan dan Industri untuk Pembangunan Berkelanjutan

SUATU TINJAUAN TERHADAP POLINOMIAL SIKLOTOMIK Euis Hartini1, Edi Kurniadi2 1,2 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran Jalan Raya Bandung Sumedang KM 21 Jatinangor 45363 1 [email protected], [email protected]

ABSTRAK SUATU TINJAUAN TERHADAP POLINOMIAL SIKLOTOMIK. Dalam makalah ini diteliti polinomial siklotomik dan sifat-sifatnya. Lebih jauh diteliti juga penerapan polinomial siklotomik dalam pembuktikan Teorema Dirichlet dan ring pembagian hingga. Selain melengkapkan bukti yang telah dilakukan oleh Vladimir Dotseno, dalam laporan akhir ini juga diteliti reduksi polinomial dalam polinomial siklotomik. Terakhir diaplikasikan juga polinomial siklotomik dalam pemecahan soalsoal olimpiade matematika. Kata kunci : nol kompleks, akar pangkat ke n primitive satuan, redusi polinomial, generator grup siklik

ABSTRACT A REVIEW TO POLYNOMIAL CYCLOTOMIC. In this paper, a research about polynomial cyclotomic and its properties had been done. Further we discussed the applications of cyclotomic polynomial in the proof of the Direchlet’s Theorem and the division ring. Besides give the complete proof that has be done by Vladimir Dotseno, in this final report we did research reducible of in cyclotomic polynomial. Finally, we applied cyclotomic polynomial in problems solving of mathematics olympiad. Keywords: generator of cyclic group, reducible of polynomial, the primitive nth roof of unity, zeros complex.

1.

problem solving soal IMO.

PENDAHULUAN

Titik kulminasi dari kajian teori grup, ring, lapangan, konstruksi geometri, dan sejarah matematika adalah polinomial siklotomik [Gallian2010]. Polinomial ini berperan dalam teori bilangan dan kombinatorik[Gallian and Rusin1979]. Dua hal utama yang diteliti dalam laporan akhir ini adalah menerapkan polinomial siklotomik untuk membahas Teorema Dirichlet dan ring pembagian hingga. Dalam [Yimin1990] telah diperoleh sifat-sifat dasar dari polinomial siklotomik dan aplikasi polinomial siklotomik dalam pemecahan soalsoal International Mathematics Olympiad (IMO). Dalam makalah ini telah diberikan bukti yang lebih detail dalam membutikan Teorema Dirichlet dan ring pembagian melalui polinomial siklotomik dan contoh dalam

2. TINJAUAN PUSTAKA Kompleks 1,

nol

dari

adalah: .

Jadi, splitt field atas adalah . Lapangan ini disebut perluasan siklotomik akar pangkat ke atas dan faktor tak tereduksi dari atas disebut polinomial siklotomik. Polinomial siklotomik akar pangkat ke didefinisikan sebagai dengan bergerak atas akar pangkat ke dari 1. Dalam [Dotsenko2001] telah didapat bahwa polinomial siklotomik mempunyai koefisien bilangan bulat dan tak tereduksi atas bilangan bulat. Masalah pertama yang muncul adalah memberikan suatu

588

Seminar Nasional Sains dan Teknologi Nuklir 2013 PTNBR – BATAN Bandung, 12 Juni 2013


tinjauan ulang Teorema Dirichlet untuk prim yang menyatakan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif senantiasa terdapat tak hingga banyaknya prim . Selanjutnya masalah ke dua telah didapat bahwa setiap ring tidak selalu komutatif. Dalam hal suatu ring pembagian hingga maka faktanya suatu lapangan yang tentunya komutatif. Di sini diberikan bukti dua masalah tersebut dari yang telah didapat oleh [Donsetko 2001] dengan lebih detail melalui polinomial siklotomik.

bilangan bulat positif dan nth roof of unity. Maka disebut primitive nth roof of unity jika ord( Lema 2 [Arnold2007] Misalkan bilangan bulat positif dan primitive nth root of unity, maka primitive nth roof of unity jika dan hanya jika gcd(

Ilustrasi 2 Pandang polinomial . Nol kompleksnya adalah 1 dan -1. Dapat ditunjukkan bahwa -1 hanya stu-satunya primitive 2th roof of unity

2.1 Splitting Field dan Primitive nth roots of unity

2.2 Polinomial Siklotomik dan Sifat-Sifatnya

Splitting field dari polinomial atas lapangan bergantung tidak hanya pada polinomial tetapi juga bergantung pada field. Oleh karena itu, splitting field dari atas adalah perluasan field terkecil dari dengan split. Secara formal permasalahan di atas dituangkan dalam definisi berikut

Perhatikan

adalah pembangun dari grup siklik yang berorder di bawah operasi perkalian. Dari Lema 2 diperoleh bahwa pembangun berbentuk dengan dan gcd( .Polinomiall yang semua nolnya adalah fungsi Euler’s Totient [Yves2000] primitive nth roof of unity mempunyai nama sendiri yang disebut dengan polinomial siklotomik.

Definisi 1 [Gallian2010] Misalkan E suatu extension field dari F dan misalkan f(x) F[x]. Kita katakan bahwa split di E jika f(x) dapat difaktorkan sebagai produk faktor linear di E[x]. Kita sebut E splitting field untuk f(x) atas F jika f(x) split atas E tapi tidak di subfield proper dari E.

Definisi 5 [Gallian2010] Untuk sembarang bilangan bulat positif , misalkan menotasikan primitive nth roof of unity. Polinomial siklotomik akar pangkat ke adalah polinomial berbentuk

Pandang polinomial . Dapat ditunjukkan bahwa split di dengan splitting field-nya atas adalah . Hal yang serupa dapat dilihat untuk . Ilustrasi

1

Ilustrasi 2 Siklotomik untuk

Definisi 2 [Yimin1990] Misalkan bilangan bulat positif. Suatu bilangan kompleks disebut nth root of unity jika

[Yimin1990]

2.2.1

Polinomial

Siklotomik

untuk

1 2 3 4 5 6 7

Lema 1 [Yimin1990] Misalkan bilangan bulat positif dan nth roof of unity. Maka untuk setiap bilangan bulat , jika dan hanya jika ord( )| 4

Tabel

Tabel 2.2.1 Polinomial

Definisi 3 [Yimin1990] Misalkan bilangan bulat positif dan nth roof of unity. Maka bilangan bulat positif terkecil k yang memenuhi disebut order dari dan dinotasikan dengan ord( )

Definisi

bahwa

Untuk mempermudah proses perhitungan polinomial siklotomik, ada beberapa sifat

Misalkan

589



polinomial siklotomik sebagai berikut

minimalitas . Hal yang serupa, terdapat sedemikian sehingga . Misalkan dan bilangan bulat terbesar antara dan . Maka koefisien dari di adalah

Teorema 1 [Gallian2010] Untuk setiap bilangan bulat positif , dengan produk bergerak untuk yang membagi .

Dengan

bilangan bulat. Koefisien dapat dibagi oleh . Hal ini kontradiksi dengan koefisien dapat dibagi oleh .

Ilustrasi 3 memberikan penjelasan terhadap Teorema 1 di atas , dst

3.

BUKTI Perhatikan bahwa kedua polinomial tersebut monik. Cukup ditunjukkan bahwa kedua polinomial tersebut mempunyai nol yang sama dan multiplisitasnya sama dengan

3.1 Aplikasi Polinomial Siklotomik Dalam Pembuktian Teorema Dirichlet Sebelum membahas aplikasi polinomial siklotomik, berikut suatu teorema yang cukup membantu dalam proses pembuktian Teorema Dirichlet.Sifat-sifat teori bilangan dalam [Shanks1973] digunakan untuk membantu proses pembuktian.

1. Misalkan . Maka grup siklik dengan ord dan memuat semua nth roots of unity. subgrup dari dan oleh karenanya subgrup siklik dari . Menurut Teorema Dasar Grup Siklik maka membagi . Oleh karena itu, muncul sebagai faktor . Di sisi lain jika faktor linear dari pembagi dari , maka karenanya, . Jadi, .

Teorema 2 [Yimin1990] Misalkan bilangan bulat positif dan sembarang bilangan bulat. Maka setiap pembagi prim dari memenuhi salah satu berikut atau BUKTI

untuk suatu , oleh faktor dari

Misalkan dan polinomial dengan koefisien rasional. Jika semua koefisien polinomial bilangan bulat, maka demikian halnya dengan koefisien dan Lema

3

HASIL DAN PEMBAHASAN

[Yimin1990]

Misalkan pembagi prim dari . karena . Misalkan . Karena maka . Jadi, . Selanjutnya jika maka , yaitu, karena . Sekarang misalkan . Karena

BUKTI Misalkan dan bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga dan polinomial dengan koefisien bilangan bulat. Misalkan dengan dan dengan dan . Maka

Maka terdapat pembagi sedemikian sehingga dan . Akibatnya

Karena koefisien Andaikan prim dari

maka semua dapat dibagii oleh . dan misalkan pembagi . Maka ada bilangan bulat sedemikian sehingga . Oleh karenanya, jika maka dan jika maka untuk semua yang mengakibatkan . Hal yang terakhir ini kontradiksi dengan

.

dari Tetapi

Teorema 3 (Dirichlet) [Yimin1990] Untuk setiap bilangan bulat positif , terdapat tak hingga banyaknya bilangan prim yang memenuhi BUKTI Untuk bukti trivial. Sekarang pandang untuk . Andaikan ada sebanyak hingga bilangan prim yang

590



memenuh . Misalkan produk dari prim-prim tersebut dan semua prim tersebut adalah bentuk penguraian dari . Diperoleh . Misalkan suatu bilangan positif yang cukup besar sedemikian sehingga dan misalkan pembagi prim dari . Karena membagai , tidak membagi , sehingga dan . Hal ini kontradiksi dengan Teorema 2.

3.3 Aplikasi Polinomial Siklotomik dalam Problem Solving Olimpiade Matematika Aplikasi lain dari polinomial siklotomik adalah problem solving dalam soal-soal IMO. Berikut beberapa contoh aplikasi polinomial siklotomik dalam problem solving soal IMO Problem (IMO Shortlist 2006) Temukan semua bilangan bulat yang merupakan solusi

3.2 Aplikasi Polinomial Siklotomik Dalam Pembuktian Ring Pembagian Hingga

SOLUSI Persamaan di atas ekuivalen dengan

Masalah berikutnya adalah aplikasi polinomial siklotomik dalam ring pembagian hingga yang dituangkan dalam teorema berikut

Dari Teorema 4, diperoleh bahwa setiap pembagi prim memenuhi atau . Hal ini mengakibatkan setiap pembagi dari salahsatunya dapat dibagi oleh atau kongruen terhadap 1 modulo 7. Jadi, atau , yaitu atau . Jika maka demikian juga maka . Hal ini kontradiksi. Selanjutnya jika maka , juga suatu kontradiksi. Oleh karena itu, persamaan tersebut tidak mempunyai solusi bilangan bulat.

Teorema 4 [Dotsenko2001] Setiap division ring hingga komutatif BUKTI Tujuan kita harus membuktikan bahwa . Misalkan . Karena ruang vektor atas maka dengan dimensi dari ruang vektor ini. Karena division ring maka grup. Kita peroleh

Setiap Centraliser seperti conjugacy class, dengan nol di dalamnya membentuk subring yang memuat , yaitu ruang vektor atas . Misalkan dimensi ruang vektor tersebut dengan . Kita punya

Dapat ditunjukkan bahwa

4. KESIMPULAN Polinomial siklotomik dapat diaplikasikan untuk membuktikan Teorema Dirichlet dan ring pembagian hingga. Selain itu, sifat-sifat polinomial siklotomik dapat diaplikasikan untuk problem solving IMO. Kajian lebih jauh dapat diteliti tentang aplikasi polinomial siklotomik dalam konstruksi regular dalam Teorema Gauss.

bilangan

bulat jika dan hanya jika membagi . Polinomial dan koprim. Demikian juga dengan dapat dibagi oleh produknya. Jadi persamaan di atas semua sukunya kecuali dapat dibagi oleh . Jadi, dapat dibagi oleh . Tetapi yang terakhir tidak mungkin terjadi untuk : untuk semua root of unity . Demikian juga, . Yang menunjukkan bahwa .

5. UCAPAN TERIMAKASIH Kami mengucapkan terima kasih kepada Jurusan Matematika FMIPA Unpad yang telah mendanai penelitian swadana ini tahun anggran 2012.

591


6.


Discrete mathematics 27 (hlm. 245-259). 5. Mathlinks, IMO Shortlist 2006, N5. (Online), (http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php? p=780855, diakses 1 Desember 2012). 6. SHANKS. 1993. Solved and Unsolved Problems in Number Theory, 4th ed. Chelsea, New York. 7. YIMIN GE. 1990. Elementary Properties of Cyclotomic Polynomials, Mathematics Magazine. 8. YVES. 2000. Cyclotomic polynomials and prime numbers, Mathematics Magazine .

DAFTAR PUSTAKA

1. ARNOLD, ANDEW. 2007. Algorithms for Computing Cyclotomic Polynomials.. University of British Columbia. (Online), (www.cecm.sfu.ca/CAG/theses/arnold.pdf, diakses 1 Desember 2012). 2. DOTSENKO, VLADIMIR. 2001. Two Application of Cyclotomic polynomials, Mathematics Magazine. 3. GALLIAN. 2010. Contemporery Abstract Algebra, Seventh ed. 4. GALLIAN and RUSIN. 1979 Cyclotomic Polynomials and Nonstandard Dice,

592

Euis Hartini 1, Edi Kurniadi 2 ABSTRAK ABSTRACT

Recommend Documents