ESTIMASI DAN UJI EKSAK KOMPONEN VARIANSI PADA MODEL RANDOM KLASIFIKASI DUA ARAH DENGAN DATA TIDAK SEIMBANG

J. Pilar Sains 6 (2) Juli 2007 © Jurusan Pendidikan MIPA FKIP Universitas Riau ISSN 1412-5595

ESTIMASI DAN UJI EKSAK KOMPONEN VARIANSI PADA MODEL RANDOM KLASIFIKASI DUA ARAH DENGAN DATA TIDAK SEIMBANG Rustam Efendi Program Studi Matematika Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau Kampus Bina Widya Pekanbaru (28293)

Abstract This manuscript dicusses about the model equation yijk     i   j  ( ) ij  eijk ; i  1, 2,  , r ; where



is a constant and

and variances

 i ,  j , ( ) ij , eijk

j  1, 2,  , s ; k  1, 2,  , nij ; nij  1

are distributed independently and normally with zero means

2 2 ,  e , respectively. From this model is given estimation and exact test of the its  2 ,  2 ,  

variance components. Key Words: Unbalanced Data, Variance Components, and Testing Hypothesis.

Pendahuluan Salah satu model yang penting dari rancangan percobaan adalah model random klasifikasi dua arah. Pada model ini tidak saja penting menentukan apakah kedua faktor berpengaruh pada respon, tapi juga penting menentukan apakah terdapat interaksi yang berarti antara kedua faktor. Data pengamatan disajikan dalam bentuk suatu matriks yang barisnya menyatakan taraf faktor pertama dan kolomnya menyatakan taraf faktor kedua. Tiap kombinasi perlakuan menentukan suatu sel dalam matriks. Kenyataan dilapangan sering dijumpai jumlah data untuk setiap sel tidak selalu sama. Data seperti ini disebut data tidak seimbang (unbalanced data). Untuk mengambil kesimpulan tentang efek utama dari data yang diolah diperlukan suatu uji statistk, dan dari model ini akan diturunkan uji eksaknya. Disamping itu, dalam praktik untuk model ini peneliti tidak tertarik pada pengujian

pengaruh rata-rata tiap taraf dari masingmasing faktor, melainkan tertarik pada estimasi komponen variansinya. Permasalahannya adalah bagaimana menentukan estimasi dan uji eksak komponen variansi pada model random klasifikasi dua arah dengan data tidak seimbang. Wald, 1940 merupakan orang pertama yang menerangkan proses uji eksak untuk model klasifikasi satu arah dan dua arah tanpa interaksi pada data tidak seimbang. Dengan dua pendekatan yang berbeda, Spjotvoll, 1968 dan Thomsen, 1975 mengembangkan uji eksak tentang komponen variansi pada model random klasifikasi dua arah dengan interaksi untuk data tidak seimbang. Sedangkan estimasi komponen variansi pada model random klasifikasi dua arah dengan data tidak seimbang disajikan oleh Searle 1971 dan Searle, Casella, McCulloch 1992.

Estimasi Komponen Variansi Bentuk model random klasifikasi dua arah dengan data tidak seimbang yang dibahas adalah yijk     i   i  ( )ij  eijk ; i  1, 2,  , r ; j  1, 2,  , s ; k  1, 2,  , nij (1) dengan: nij  1 untuk setiap (i, j).

yijk observasi ke–k dalam taraf ke–i faktor  dan taraf ke–j faktor   parameter konstan tidak diketahui 2 ) ; eijk  N (0, e2 )  j  N (0, 2 ) ;  j  N (0, 2 ) ; ( ) ij  N (0,  Dengan menggunakan metoda analisis variansi diperoleh estimasi untuk masing-masing variansi dari model Persamaan (1), yaitu sebagai berikut: (i). Ekspektasi jumlah kuadrat faktor 

Rustam Efendi

Estimasi Dan Uji Eksak Komponen /32

s s r   2 2  n n. j  ni .     r  ij j  1 j  1  2 E ( SS )   n..  i 1        n..  ni . n.. i 1      

s r s      r  nij2  nij2  j 1 i 1 j 1  2   2     (r  1) e2 (2)       n n..   i 1 i .    

s r r    n.2j   s  nij2  ni .   j 1  E ( SS  )    i 1  i 1  2   n..   j 1 n. j  n.. n..      

r s r      s  nij2  nij2  i 1 j 1  2   2 i 1     ( s  1) e2 (3)       n n..   j 1 . j    

(ii). Ekspektasi jumlah kuadrat faktor 

(iii). Ekspektasi jumlah kuadrat interaksi antara faktor  dan faktor 

s r  s 2   r 2 2    ni .  n nij2  n   i .  ij s r  j 1  2   j 1 E ( SS )   i 1   i 1  2      n n n n .. . j .. i .   j 1 i 1           s r s r  2 2   nij2 n n    ij r s  ij   2 j 1 i 1 j 1 2   n..     i 1     (r  1)( s  1) e n..   i 1 ni . j 1 n. j    

(4)

(iv). Ekspektasi jumlah kuadrat kesalahan

E ( SS e )  n..  rs e2 dengan: nij  Jumlah pengamatan pada sel ke - (i, j )

(5) s

ni .  Jumlah pengamatan taraf ke - i faktor    nij j 1

r

n. j  Jumlah pengamatan taraf ke - j faktor    nij i 1

r

s

n..  Jumlah semua pengamatan   nij i 1 j 1

yi ..  Jumlah nilai pengamatan dalam taraf ke - i faktor  s nij

s

s

s nij

j 1k 1

j 1

j 1

j 1k 1

   yijk  ni .   ni . i   nij  j   nij ( ) ij    eijk y. j .  Jumlah nilai pengamatan dalam taraf ke - j faktor  r nij

r

r

r nij

i 1 k 1

i 1

i 1

i 1 k 1

   yijk  n. j    nij i  n. j  j   nij ( ) ij   eijk yij.  Jumlah nilai pengamatan dalam taraf ke - i faktor  dan taraf ke - j faktor  nij

nij

k 1

k 1

  yijk  nij   nij i  nij  j  nij ( ) ij   eijk

Rustam Efendi

Estimasi Dan Uji Eksak Komponen /33

y...  Jumlah nilai semua pengamatan r

s nij

r

s

i 1

j 1

r

s

r

s nij

    yijk  n..    ni . i   n. j  j    nij ( ) ij    eijk i 1 j 1k 1

i 1 j 1

i 1 j 1k 1

Untuk menyederhanakan penulisan, didefinisikan r

s

i 1

j 1

r

s

p1   ni2. ; p2   n.2j ; p5    nij2 ; N  n.. ; q  rs ; N   (r  1)(s  1) i 1 j 1

s

r

p3  

i 1

r

 nij2 j 1

ni .

s

 nij2

p 4   i 1 ; j 1 n. j

;

pk 

pk N

sehingga keempat persamaan di atas, yaitu Persamaan (2), (3), (4), dan (5) dapat ditulis dalam bentuk matriks

 N  p1  p  p 1  4  p1  p4   0

p3  p2 N  p2 p2  p3 0

p3  p5 p4  p5 N  p3  p4  p5 0

r  1   ˆ 2   SS    s  1   ˆ 2   SS    2   SS  N   ˆ     2   N  q   ˆ e   SS e 

(6)

2 dengan ˆ 2 , ˆ 2 , ˆ  , dan ˆ e2 secara berturut-turut merupakan penduga dari  2 , 2 , dan  e2 .  2 ,  

Dari Persamaan (6) diperoleh estimator variansi kesalahan

 ˆ 2   SS  (r  1) MS e    SS   e ˆ e2   MS e dan  ˆ 2   Q 1  SS   ( s  1) MS e  N q ˆ 2   SS  ( N ) MS e       dengan

 N  p Q   p4  p1  p1  p4

p3  p2 N  p2 p2  p3

p3  p5 p4  p5

   N  p3  p4  p5 

Uji Eksak Komponen Variansi Persamaan (1) dapat ditulis dalam bentuk matriks

y  1n..  X1α  X 2β  X3 ( αβ)  e

(7)

dengan: y vektor observasi berordo N 1; 1 n.. vektor satuan berordo n..  N

X1  d 1i ii 1r berordo N  r ; X 2 

X3 

d 1ij ii 1r,, jj1s berordo N  rs

 1  

i r j s d ij c i 1 j 1

berordo N  s

dengan matriks dispersinya 2 Σ  X1X1 2  X 2 X2 2  X3 X3   I N  e2

Definisikan yij 

nij

yijk

k 1

ij

n

sebagai rata-rata sampel sel ke (i, j), maka Persamaan (1) menjadi nij

yij     i   i  ( )ij  eij ; i  1, 2,  , r ; j  1, 2,  , s dengan eij  

eijk

k 1 nij

(8)

Rustam Efendi

Estimasi Dan Uji Eksak Komponen /34

atau dalam bentuk matriks

y  1rs  B1α  B 2β  I rs ( αβ)  e dengan: 1rs  (111,112 ,,1rs ) ; e  (e11, e12 , , ers ) B1  I r  1s ; B 2  1r  I s ; α  (1 , 2 ,, r ) ; β  ( 1 ,  2 ,,  r ) (αβ)  [( )11, ( )12 ,, ( )1s ,, ( ) r1 , ( ) r 2 , ( ) rs ]

(9)

dan variansinya 2 Var (y )  A1 2  A 2 2  I rs   K e2

1 1 1 dengan: A1 (I r  J s ) ; A 2  (J r  I s ) ; K  diag ( n11 , n12 ,  , nrs ) Karena A1 dan A2 matriks simetris, maka terdapat matriks ortogonal P berordo rs rs sedemikian sehingga PA1P dan PA 2 P matriks diagonal dengan masing-masing elemen diagonalnya

secara berturut-turut merupakan nilai eigen dari A1 dan A 2 . Misalkan z  Py dengan P matriks ortogonal berordo rs rs yang baris pertamanya (rs) maka variansinya

1

2

1rs ,

2 Var (z)  PA1P 2  PA 2 P 2  I rs   K e2

Lemma 1:

(i). rank (B1 )  r ; (iii). rank (B1 B 2 )  r  s  1 (ii). rank (B 2 )  s ; (iv). rank ( A1  A 2 ) = rank (B1  B 2 )

Jelas rank ( A1 ) = rank (B1 ) , A1 mempunyai nilai eigen s sebanyak r dan nol sebanyak r(s –

1). PA1P mempunyai r elemen diagonal sama dengan s dan lainnya nol. Dengan cara yang sama, PA 2 P mempunyai s elemen diagonal sama dengan r dan lainnya nol.

Dari (iii) dan (iv), matriks (PA1P  PA 2 P) mempunyai (r + s – 1) elemen diagonal tidak

nol. Bila elemen diagonal PA1P tidak sama dengan nol, elemen diagonal yang bersesuaian pada PA 2 P sama dengan nol, kecuali baris pertama dan begitu sebaliknya.

 , z , z  ) dengan z1 elemen pertama dari z, Misalkan vektor z dipartisi menjadi z  (z1 , z

z vektor kolom berordo (r – 1), z  vektor kolom berordo (s – 1), dan z vektor kolom berordo (r – 1)(s – 1) dan vektor z , z  , dan z masing-masing berdistribusi normal dengan rata-rata nol dan variansinya berturut-turut adalah 2 Var (z )  (s 2    )I r 1  K1 e2 2 Var (z  )  (r 2    )I s 1  K 2 e2

2 Var (z )    I (r 1)( s 1)  K 3 e2

dengan K1, K2, dan K3 submatriks dari PKP yang bersesuaian dengan z , z  , dan Selanjutnya didefinisikan vektor u sebagai

 ) u  (z , z , z

diperoleh E (u)  0 dan Var (u)  diag (1I r 1 ,  2 I s 1, 3I ( r 1)( s 1) )  L e2 2 2 2 ,  2  r 2    ,  3    dengan 1  s 2   

z . (10)

Rustam Efendi

Estimasi Dan Uji Eksak Komponen /35

L submatriks PKP yang terkait dengan u dan dinyatakan dengan

K 11 K12 K 13   L  K12 K 22 K 23   K13 K 23 K 33 

(11)

L mempunyai rank rs – 1, berarti non-singular

 )  ) ; K 23  e2  E (z  z K12  e2  E (z z ) ; K13  e2  E (z z Selanjutnya vektor y pada Persamaan (9) ditulis dalam bentuk y  Dy dengan y vektor observasi dalam persamaan (7) dan D penjumlahan langsung (direct sum) yang didefinisikan oleh

 1nij D i , j  nij 

   

Dari Persamaan (1) dan (8) diperoleh jumlah kuadrat kesalahan Q 

 ( yijk  yij ) 2 i, j , k

atau dalam dalam bentuk matriks

Q  y R y

(12)

dengan R matriks berordo N  N yang didefinisikan oleh

 J nij R  I n..    i , j  nij 

   

(13)

dengan J nij matriks satuan berordo nij  nij dan R matriks idempoten dengan rank N  rs sehingga diperoleh

RΣ

DR  RX1  RX 2  RX 3  0 , DΣ R  0 , dan Karena y dan u independen terhadap Q, maka Selanjutnya R ditulis dalam bentuk

Q

 e2

 e2

R

2  N  rs

R  CΛC

(14) dengan C matriks ortogonal berordo N  N dan  matriks diagonal berordo N  N yang merupakan eigenvalue dari R. Diasumsikan N  2rs  1 , sebab R idempoten dengan rank dan N  rs  rs  1. Selanjutnya  dan C dipartisi menjadi Λ  diag (I v1 , I v2 ,0)

C  [C1 : C2 : C3 ] , dengan v1  rs  1 ; v2  N  rs  1, 0 matriks nol berordo rs rs , C1 berordo N  v1 , C2 berordo N  v2 , C3 berordo N  rs , Ci Ci  I, i  1, 2, 3 , Ci C j  0, i  j . Persamaan (14) selanjutnya ditulis sebagai

R  C1C1  C2C2

(15)

Dari Persamaan (12) dan (15), jumlah kuadrat kesalahan Q dapat dipartisi menjadi

Q  Q1  Q2

(16)

dengan Q1  y C1C1 y dan Q2  y C2C2 y Karena jumlah kuadrat Q1, Q2, dan vektor random u pada (10) independen, maka 2 Q1 Q2   v1 dan   v22 2 2

e e Selanjutnya perhatikan vektor random ω yang didefinisikan oleh 1

ω  u  (maksI v1  L) 2 C1 y dengan maks nilai eigen terbesar dari matriks L pada persamaan (11), dan

(17) 1

(maksI v1  L) 2 matriks simetris dengan nilai eigen sama dengan akar kuadrat nilai eigen

Rustam Efendi

Estimasi Dan Uji Eksak Komponen /36

(maksI v1  L) yang non-negatif. Di sini jelas L matriks real simetris, berarti semua nilai eigennya real. Jadi (maksI v1  L) matriks semidefinit positif. Kemudian partisi ω seperti u dalam (10)  ) menjadi dengan ω  (ω , ω , ω

ω berordo r  1, ω b er o r d os  1 , dan  berordo (r  1)(s  1) . ω Berikut diberikan lemma tentang sifat-sifat distribusional dari vektor random di atas.

Lemma 2: Diberikan ω seperti dalam persamaan (16), dipartisi menjadi

 ) ω  (ω , ω , ω

Maka: (i). E (ω )  E (ω  )  E (ω )  0 (ii). ω , ω  , dan ω adalah vektor random berdistribusi normal independen dengan matriks dispersi 2 Var (ω )  (s 2     maks e2 )I r 1 2 Var (ω  )  (r 2     maks e2 )I s 1 2 Var (ω )  (   maks e2 )I (r 1)( s 1)

(iii). ω , ω  , dan ω independen terhadap Q2 Bukti : (i). Kalikan ruas kiri dan ruas kanan persamaan (13) dengan 1 n.. diperoleh

  Jn R1 n..  I n..    ij i, j  n  ij  Persamaan (14) dapat ditulis

   1n  0  .. 

(C1C1  C2C2 )1n..  0

Dengan demikian diperoleh 1

C1 1n..  0 , E (C1 y)  C1 1n..   0 , dan E [ω]  E [u]  E [(maksI v1  L) 2 C1 y ]  0 Jadi

 ω  0   E [ω]   ω    0 ω  0  

(ii). Jelas bahwa ω berdistribusi normal. Klaim u independen terhadap C1 y . Untuk menunjukkan ini, perhatikan kembali persamaan y  Dy , y independen terhadap jumlah kuadrat kesalahan Q dan DΣ R  0 . Dengan argumen yang yang sama pada (i) diperoleh

Cov[y, yC1 ]  DΣ C1  0 Karena u subvektor dari z  Py , maka u independen terhadap C1 y seperti yang diklaim. Matriks dispersi dari ω adalah 1

Var (ω)  Var (u)  (maks I v1  L) 2 C1 ΣC1 (maks I v1  L)

1

2

dengan C1 Xi  0, i  1, 2, 3 dan C1 Σ C1  C1 C1 e2  I v1 e2 , sehingga diperoleh

Var( ω )  diag[(1I r 1 ,  2 I s 1 ,  3I ( r 1)( s 1)  L e2  ( maksI v1  L) e2 atau

Var( ω )  diag [(1  maks e2 )I r 1 , ( 2  maks e2 )I s 1 ,

( 3  maks e2 )I ( r 1)( s 1) ]

Rustam Efendi

Estimasi Dan Uji Eksak Komponen /37

Dari sini dapat disimpulkan bahwa ω , ω  , dan ω independen dengan matriks dispersinya berturut-turut adalah 2 Var (ω )  (s 2     maks e2 )I r 1 2 Var (ω  )  (r 2     maks e2 )I s 1

2 Var (ω )  (   maks e2 )I (r 1)( s 1)

 , jumlah kuadrat interaksi antara faktor  dan  , berturut-turut dinyatakan dengan SS    , SS      ,   , dan Q2 berdistribusi SS  

(iii). Karena Q2 partisi dari Q, maka Q2 juga independen terhadap u. Karenanya  Q2 juga independen C1ΣC2  0 , maka terhadap C1 y . Karena Q2 independen terhadap u dan C1 y , maka Q2 independen terhadap ω atau Q2 independen terhadap ω , ω  , dan ω .

secara independen dan

Dari Lemma 2 disimpulkan bahwa jumlah kuadrat faktor  , jumlah kuadrat faktor 2 SS (s 2     maks e2 )   r21

SS (r 2   2  maks e2 )   s21 2 SS (   maks e2 )   (2r 1)( s 1)

Q2  e2   v22 Dengan demikian diperoleh suatu uji statistik yang merupakan uji eksak untuk masing-masing variansi, yaitu

F

MS  SS (r  1) untuk uji hipotesis H 0 :  2  0 vs H a :  2  0  MS  SS [(r  1)(s  1)]

dengan kriteria uji, tolak H0 pada level signifikan  jika Fhitung  F ,[ ( r 1), ( r 1)( s 1)]

F

MS  MS 



SS ( s  1) SS [(r  1)( s  1)]

untuk uji hipotesis H 0 :  2  0 vs H a :  2  0

dengan kriteria uji, tolak H0 pada level signifikan  jika Fhitung  F ,[ ( s 1), ( r 1)( s 1)] dan untuk menguji hipotesis

F

v2

MS 

maks Q2



SS [(r  1)(s  1)]

maks Q2 v2

2 2  0 vs H a :   0 untuk uji hipotesis H 0 :  

dengan kriteria uji, tolak H0 pada level signifikan  jika Fhitung  F , [(r 1)( s 1), v2 ] Berikut diberikan lemma yang memberikan batasan nilai maks dalam bentuk umum. Lemma 3: Nilai eigen terbesar dari matriks L, maks memenuhi interval ketidaksamaan

1 1 1  maks  (1)  rs i, j nij n Bukti :

Perhatikan matriks ortogonal P dengan baris pertamanya (rs) 1 2 1rs yang mendiagonalisasi

A1  B1B1 dan A 2  B 2B2 secara simultan. Diberikan P1 submatriks dari P yang diperoleh dengan menghilangkan baris pertama P, diperoleh persamaan

P1P1  I rs 1

Rustam Efendi

Estimasi Dan Uji Eksak Komponen /38

P1P1 

1 J rs  I rs rs

maks nilai eigen terbesar dari L  P1K P1 , yaitu maks  emaks (P1KP1) . Jika n (1) menyatakan

 

frekuensi sel terkecil, maka n (1) P1P  P1K P1 adalah semidefinit positif, maka

emaks (P1KP1 ) 

1 n (1)

emaks (P1P1 ) 

1 n (1)

Ini juga benar bahwa maks besar dari atau sama dengan jumlah nilai eigen P1K P1 dibagi dengan rs – 1 (rata-rata nilai eigen P1K P1 ). Maka

emaks (P1KP1 ) 

1 tr (P1K P1 ) (rs  1)

tetapi,

 1 1   tr(P1K P1)  tr(P1P1K )  tr I rs  J rs K   tr(K )  tr(1rs 1rs K ) rs   rs  1 1 1 1  tr(K )  1rs K 1rs     rs rs i , j nij i , j nij Sehingga dapat disimpulkan bahwa

emaks (P1KP1 ) 

1 1 1 1 1 dan  maks  (1)   rs i, j nij rs i, j nij n dan dua jenis terapi alternatif kanker rahim secara random, kemudian dikombinasikan. Datanya, setelah disandi, diberikan pada tabel berikut. Jenis Obat Jenis Terapi Alternatif 1 2 1 13, 7, 10 2 2 6 6, 9, 3

Kesimpulan Dengan memanfaatkan ilmu tentang aljabar matriks dan statistika matematika dapat diturunkan estimasi dan uji eksak dari komponen variansi pada model random klasifikasi dua arah dengan data tidak seimbang. Contoh Perhitungan Dari beberapa jenis obat dan terapi alternatif kanker rahim, diambil dua jenis obat a. Perhitungan Estimasi

yijk

y. j .

13, 7, 10 6 36

( Data fiktif )

nij

yi .. 2 6, 9, 3 20

32 24 56  y...

n. j

3 1 4 1 3 4 4 4 8  n..

yi ..

yij

ni . y. j .

10 6 9

2 6 5

8 8 7  y...

SS  4(8  7) 2  4(6  7) 2  8 , SS   4(9  7) 2  4(5  7) 2  32 SS  3(10) 2  1(2) 2  1(6) 2  3(6) 2  [4(8) 2  4(6) 2 ]

 [4(9) 2  4(5) 2 ]  8(7) 2  16 SSe  (13  10) 2  (7  10) 2  (10  10) 2  (2  2) 2  (6  6) 2  (6  6) 2  (9  6) 2  (3  6) 2  36

32  12 12  32 32   5 , p1  4 p1  4  4  32 , p2  4  4  32 , p3  4 4 8 32 20 32  12 12  32  4 , p5   2 12 p4    5 , p5  32  12  12  32  20 , p2  8 8 4 4 2

2

2

2

Rustam Efendi

Estimasi Dan Uji Eksak Komponen /39

sehingga diperoleh bentuk matriksnya

 4 1 2 12  1  1 4 22  1 1 1 2  0  0 0

1   2   8      1   2  32  2  16  1       4   e2  36

  2   0,2000  0,1333  0,3333 0,0667   8   5,6000  2            0,1333 0,2000  0,3333 0,0667  32   2,4000  2     0,1333 0,1333 0,6667  0,2333 16   7,6000   2      0 0 0,2500  36  9,0000    e   0 b. Perhitungan Uji Eksak Dari data diperoleh komponen-komponen yang diperlukan dalam perhitungan, yaitu :

1 1 B1   0  0

0 1 0 0 ; B2   1 1   1 0

 12 1 P   12   12  2

1 2 1 2  12  12

1 2  12 1 2  12

0 1 0 1 ; I4   0 0   1 0 1 2   12  ;  12   1  2

 13 0 0 0  0 1 0 0 ; K 0 0 1 0   0 0 1 0

0 1 0 0

0 0  0 0 1 0  0 13 

0   0,6667  0,3333 L   0,3333 0,6667 0   0 0,6667

y  13 7 10 2 6 6 9 3 ; Q1  19,8235 ; Q2  16,1773 ; maks  1  ω  1,6079 SS  ω ω  3,0232 ; SS  ω ω   3,0232 ; SS  ω dengan masing-masing uji hipotesisnya adalah sebagai berikut: (i). Hipotesis Faktor 

H 0 :  2  0 vs H a :  2  0 dengan tingkat signifikan   0,05 diperoleh Ftabel  161,4  1,88  Fhitung Berarti, tolak H 0 pada tingkat signifikan   0,05 dan disimpulkan terdapat perbedaan kemanjuran obat terhadap tingkat kesembuhan penyakit yang diobati. (ii). Hipotesis Faktor 

H 0 :  2  0 vs H a :  2  0 dengan tingkat signifikan   0,05 diperoleh Ftabel  161,4  1,88  Fhitung Berarti, tolak H 0 pada tingkat signifikan   0,05 dan disimpulkan terdapat perbedaan kemanjuran terapi alternatif terhadap tingkat kesembuhan penyakit yang diterapi. (iii). Hipotesis Interaksi Faktor  dan  2 2 H 0 :    0 vs H a :    0 dengan tingkat signifikan   0,05 diperoleh

Ftabel  10,13  0,298  Fhitung Berarti, tolak H 0 pada tingkat signifikan   0,05 dan disimpulkan terjadi interaksi antara obat dan terapi alternatif dalam penyembuhan penyakit yang diobati dan diterapi. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Ucapan Terima Kasih Alam Universitas Gadjah Mada Yogyakarta, Terima kasih kepada Prof. Dr. Suryo Guritno, yang telah banyak memberikan sumbang saran M.Stat., Guru Besar bidang statistika di

Rustam Efendi

dengan penuh kesabaran atas penyelesaian tulisan ini. Daftar Pustaka Anton, H., 1987, Aljabar Linear Elementer, Ed. Kelima, Alih Bahasa : P. Silaban, Erlangga, Jakarta. Bain, L. J., and Engelhardt, M., 1992, Introduction to Probability and Mathematical Statistics, 2nd ed., Duxbury Press, Belmont, California. Gallo, J. and Khuri, A. I., 1990, Exact Test for the Random and Fixed Effects in an Unbalanced Mixed Two-Way CrossClasification Model, Biometrics 46, 1087 – 1095. Khuri, A. J., and Littell, R. C., 1987, Exact Test for the Main Effects Variance Components in an Unbalanced Random Two – Way Model, Biometrics 43, 545 – 560.

Estimasi Dan Uji Eksak Komponen /40

Magnus, J. R. and Neudecker, H., 1999, Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics, Revised Edition, John Wiley & Sons Ltd., Chichester. Searle, S. R., 1982, Matrix Algebra Useful for Statistics, John Wiley & Sons Inc., New York. Searle, S. R., Casella, G., and McCulloch, C. E., 1992, Variance Components, John Wiley & Sons, Inc., New York. Thomsen, I., 1975, Testing Hypothesis in Unbalanced Variance Component Models for Two-Way Layouts, Annals of Statistics 3, 257 – 265. Wald, A., 1940, A Note on the Analysis of Variance with Unequal Class Frequencies, Annals of Mathematical Statistics 11, 96 – 100.