Jurnal ILMU DASAR Vol. 12 No. 1. 2011 : 97 - 102
97
Estimasi dan Statistik Uji pada Model Probit Biner Bivariat Estimation and Statistical Test in Bivariate Binary Probit Model Vita Ratnasari1), Purhadi2), Ismaini2) & Suhartono2) 1) Mahasiswa S-3 Statistika FMIPA ITS, Surabaya 2) Jurusan Statistika FMIPA ITS, Surabaya ABSTRACT One of the models that can be used to analyze two binary response variables data is bivariate binary probit model. This paper tried to estimate the parameters of bivariate binary probit model using Maximum Likelihood Estimation method, whereas to get the statistical test using Maximum Likelihood Ratio Test method. Keywords : Bivariate binary probit model, maximum likelihood estimation, maximum likelihood ratio test PENDAHULUAN Jenis skala pengukuran data statistik dibedakan menjadi dua yaitu metric (kuantitatif) dan nonmetric (kualitatif atau kategorikal). Variabel respon pada pembentukan regresi klasik, harus bersifat kuantitatif (Sharma 1996 & Hair et al. 2006). Pada kenyataannya, banyak di-jumpai variabel respon bersifat katego-rikal. Sebagai contoh; lulus atau tidak lu-lus, sukses atau gagal, dan lain sebagainya. Jika variabel respon bersifat kategorikal dipaksakan dengan menggunakan model regresi klasik, maka akan terjadi pelanggaran asumsi. Pelanggaran tersebut antara lain ε i tidak berdistribusi Normal dan varians konstan. Selain itu nilai
ε i tidak
E (Yi X i ) tidak selalu
berada antara 0 dan 1 (Kutner et al. 2005). Model yang tepat dalam mengatasi permasalahan ini adalah model logit atau probit. Menurut Gujarati (2003), untuk menerangkan perilaku variabel respon kategorikal adalah dengan menggunakan Cumulative Distribution Function (CDF). Model logit menggunakan logistik CDF, sedangkan model probit menggunakan normal CDF. Penerapan model probit banyak dilakukan diberbagai bidang. Penerapan model probit pada bidang biostatistik dilakukan oleh Bliss (1934) serta Snapinn & Small (1986). Bidang entomologi oleh Aitchison & Silvey (1957), sedangkan di bidang kesehatan oleh Song dan Lee (2005). Di bidang sosial politik oleh McKelvey & Zavoina (1975), Jackman (2000), serta Boes & Winkelmann (2005). Model probit yang diterapkan umumnya adalah model
probit dengan satu variabel respon saja. Padahal, kenyataannya banyak penelitian yang membutuhkan jumlah variabel respon lebih dari satu. Oleh karena itu, pada paper ini akan ditentukan model probit dengan melibatkan dua variabel respon. Sebelum membentuk model, terlebih dahulu me-nentukan estimasi parameter dan statistik uji model probit. Metode estimasi dan statistik uji yang digunakan adalah metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) dan Maximum Likelihood Ratio Test (MLRT). Model probit Misalkan variabel y * adalah variabel respon yang berdistribusi Normal, dapat ditulis: * T y ~ N (β x,1) . Fungsi densitas peluang dari variabel respon y* adalah sebagai berikut.
( )
(
1
)
�1 * T 2� exp � − y −β x � 2π �2 �
f y* =
dimana variabel x = � 1 X1 L � berukuran β =� β0 �
β1
( p + 1) ﾴ 1 L
T
Xp� � yang
dan parameter koefisien, T
βp � �
yang
berukuran
( p + 1) ﾴ 1 . Variabel respon dikategorikan seba-nyak dua kategori dengan batasan (threshold) tertentu, misal: jika y* ﾴ γ , maka Y = 0 y* > γ , maka Y = 1 Dengan demikian terbentuklah model probit biner univariat. Model probit biner univariat
98
Estimasi dan Statistik...(Vita Ratnasari et al.)
dijelaskan dalam nilai peluang pada persamaan (1). Peluang untuk kategori Y = 1 , adalah P (Y = 1) = Φ (βT x) . (1) Peluang untuk kategori Y = 0 adalah P (Y = 0) = 1 − Φ (βT x) . Dimana Φ (βT x) adalah fungsi distribusi kumulatif normal standart. Misal ( y1* , y2* ) adalah variabel respon yang berdistribusi bivariat Normal, yang dapat T β x� �
1 * * ditulis ( y1 , y2 ) ~ N (μ, Σ ) . Dengan μ = �T �
β2 x � �
1 ρ� � dan Σ = � . Fungsi densitas normal ρ 1� � �
bivariat
( y1* , y2* ) adalah:
f (y , y ) = * 1
* 2
* � 1 �yβ −x exp � − � 1* 1 � 2� yβ2 −x 2π ￥ 2 �
1
Peluang normal bivariat batas
T 1 T 2
T
� y− 1 �β1* −x �￥ � * � y �β2 −x
T 1 T 2
� � � � � � �
( y1* , y2* ) , dengan
z1 dan z2 adalah sebagai berikut.
P ( y1* < z1 , y2* < z2 ) =
z2 z1
φ( z1 , z2 , ρ )dz1 dz2 ��
.
−ﾴ −ﾴ
− β1T x
− β 2T x
dimana z1 = γ dan z2 = δ . Sehingga fungsi densitas normal bivariat ( z1 , z2 ) adalah sebagai berikut:
φ ( z1 , z2 , ρ ) =
lengkap terdapat pada Tabel 1. P11 merupakan peluang terjadinya Y11 . Tabel 1. Tabel Kontingensi Probabilitas (2 ﾴ 2) . Y2 Y1
Y1 = 0 Y1 = 1 Total
Frekuensi
dan
Y2 = 0
Y2 = 1
Total
Y00;P00 Y10;P10 P+0=1- P2
Y01;P01 Y11;P11 P+1=P2
P0+ = 1-P1 P1+ = P1 1
Dengan demikian kejadian yang terjadi di Tabel 1 adalah kejadian yang berdistribusi multinomial, yaitu: f ( y11 , y10 , y01 , P11 , P10 , P01 ) = y01 1− y11 − y10 P11y11 P10y10 P01 (1 − 11 P − 10 P − P 01 )
−y01
Model probit biner bivariat, dijelaskan dengan nilai probabilitas di setiap kemungkinan kejadian yang terjadi. Probabilitas tersebut terdapat pada persaman (2), (3), (4) dan (5). P11 = 1 − Φ ( z1 ) − Φ( z 2 ) + Φ( z1 , z 2 ) , (2)
P10 = Φ ( z 2 ) − Φ( z1 , z 2 ) ,
(3)
P01 = Φ ( z1 ) − Φ ( z1 , z2 ) dan
(4)
P00 = Φ( z1 , z 2 )
(5)
Nilai marginal P1 pada Tabel 1 dapat ditulis:
P = 1− Φ( z
)
(6)
P2 = 1 − Φ ( z2 )
(7)
1 � � 1 1 1 2 2� � � � Dengan cara yang sama, nilai marjinal P2 = exp − Z1 − 2 ρ Z 1Z 2 +Z 2 �� �2 � 1 − ρ 2 �� 2π 1 − ρ 2 � � � � adalah sebagai berikut.
1
β1T = � β10 β11 β12 L β1 p � � �dan βT2 = � β 20 β 21 β 22 L β 2 p � � �
HASIL DAN PEMBAHASAN
T
x =� 1 x1 x2 L x p � � � Variabel respon yang berdistribusi bivariat normal, dikategorikan dengan batasan tertentu . jika y1* ﾴ γ dan y2* ﾣδ maka Y = Y00 y1* ﾣγ dan y2* > δ maka Y = Y01 y1* > γ dan y2* ﾣδ maka Y = Y10 y1* > γ dan y2* > δ maka Y = Y11 Pengkategorian distribusi bivariat normal secara dua dimensi, dapat dijelaskan pada Tabel 1. Tabel kontingensi frekuensi dan probabilitas dua dimensi (2 ﾴ 2) secara
Sesuai dengan tujuan penulisan, berikut ini dibahas tentang estimasi parameter dan statistik uji model probit biner bivariat. Estimasi parameter Pada Tabel 1 menunjukkan bahwa kejadian pada setiap responden akan berdistribusi Multinomial yaitu ( Y11 , Y10 , Y01 ) ~ M ( 1; P11 , P10 , P01 ) . Nilai Y00 dan peluang P00 secara berturut adalah Y00 = 1 − Y11 − Y10 − Y01 dan P00 = 1 − P11 − P10 − P01 , dimana nilai y11 , y10 , y01 dan
y00 adalah 0 atau 1. Menurut
Jurnal ILMU DASAR Vol. 12 No. 1. 2011 : 97 - 102
Gujarati (2003) dan Greene (2008) parameter yang terdapat pada model probit diduga dengan mengguna-kan metode MLE. Tahapan awal untuk mendapatkan estimasi parameter dengan metode MLE adalah dengan mengambil n sampel random,
( Y11i , Y10i , Y01i , Y00i , X1i , X 2i ,L , X pi ) ,
dimana
i = 1, 2,..., n . Fungsi likelihoodnya dapat ditulis sebagai berikut. n
L ( β ) = ﾴ P11i y11i P10i y10 i P01i y01i (1− P11i − P10 i − P01i ) 1−y11i
99
ﾣ P01i T
ﾣ β1
= ( − x ) φ ( z1 ) + ( x)φ ( z1 , z 2 )
Sedangkan turunan ln(β ) sebagaimana persamaan (12). ﾴ ln L ( β ) T
ﾣ β2
n
=
�
￥ﾴ(b y i =1
�
11i
(11) terhadap
�ﾣP � − c y10 i ) � 2 Ti � + �ﾣβ 2 �
�ﾣP + ( a y01i − b y11i + c y 10 i − d y 00 i ) � 01Ti �ﾣβ 2
−y10 i − y01i
β2
� � � (12) � �
i =1
Dan fungsi ln likelihoodnya terdapat pada persamaan (8).
￥( y n
ln L (β ) =
ln( P2 i − P01i ) + 11i
+ y10 i ln ( P1i − P2 i + P01i ) + y01i ln P01i +
)
(8) Nilai peluang pada persamaan (8) mengandung parameter βˆ , dimana komponen yang terkandung pada parameter βˆ adalah βˆ 1
dan βˆ 2 .
�1 Dengan pemisalan a = � �P01i � 1 b=� �P2 i − P01i
� �, �
1 � � � �, c = �P − P + P �dan � �1i 2 i 01i �
persamaan (8) terhadap β1 dan β 2 . Turunan ln L (β ) terhadap β1 adalah: ﾣ β
T 1
n ﾴ �ﾣP � = ￥ﾴ( a y01i − b y11i + c y10i −d y00i )� 01T i �+ β1 � i =1 ﾴ �ﾣ
�ﾴ P � + (c y10 i − d y00i ) � 1Ti � �ﾣβ1 � dimana turunan peluang
(9)
P1i dan P01i terhadap
β1 adalah sebagai berikut. ﾴP1i T
ﾣ β1
= ( x ) φ ( z1 ) dan
= ( x) φ ( z2 ) dan ﾣ βT2 ﾴP01i = ( x)φ ( z1 , z2 ) ﾣ βT2
(10)
(13) (14)
Dari persamaan (9) dan (12) diperoleh hasil taksiran yang tidak close form, maka salah satu pendekatan numerik yang dapat digunakan adalah metode Newton-Raphson. Melalui proses iterasi Newton-Raphson dapat diperoleh penaksir maksimum likelihood bagi β , dimana β( m )
� � 1 d =� �, 1 − P1i − P01i � � maka langkah berikutnya adalah menentukan estimasi β1 dan β 2 , dengan cara menurunkan
ﾴ ln L ( β )
β 2 adalah sebagai berikut.
ﾴP2i
i =1
+ (1 − y11i − y10 i − y 01i ) ln(1− P1i − P01i)
Dengan turunan peluang P2i dan P01i terhadap
adalah penaksiran parameter pada
iterasi ke m. Selain membentuk vektor gβ( ) yang dibutuhkan untuk proses iterasi tersebut, perlu didapatkan matrik Hessian, Hβ( ) . Vektor gradien atau vektor gβ( ) merupakan turunan pertama dari fungsi ln likelihood terhadap parameternya. Elemen-elemen Hβ ( ) matriks merupakan turunan kedua terhadap parameternya. Komponen vektor gβ( ) yang berukuran [2( p + 1) ﾴ 1] adalah sebagai berikut. ﾴ ln L (β ) � �
� ﾣβT � 1 � gβ( ) = � ﾣln L (β ) � � � ﾣβT � � 2 � [ 2 ( p +1) ﾴ1]
Komponen vektor gβ( ) terdapat pada persamaan (9) dan (12). Matrik simetris Hessian Hβ( ) yang berukuran [2( p + 1) ﾣ2( p + 1)] adalah sebagai berikut.
100
Estimasi dan Statistik...(Vita Ratnasari et al.)
� ﾴ 2 ln L(β) � β ﾣ βT �ﾣ Hβ( ) = � 1 1 ﾣ2 ln L(β) � � β1 ﾣ βT2 �ﾣ
ﾴ 2 ln L(β) � � ﾣ β1 ﾣ βT2 � � ﾣ2 ln L(β) � ﾣ β2 ﾣ βT2 � � [2( p +1) ﾴ 2( p +1)]
ﾴ ln L ( β )
� �ﾣP01i � + � � T � ﾣ β1 ﾣ β2 i =1 � � �ﾣβ 1 � �ﾴP � �ﾴP01i � 2 2 2 − ( a y01i + b y11i + c y 10 i − dy 00 i ) � 01T i � + �ﾣβ T � �ﾣβ 2 � � 1� 2
ﾣβ1 ﾣ β1
=
(
)
2
2
) �ﾣβ
2
ﾣP1i T
ﾣ β1 β1
2
diperoleh dengan menurunkan
didapatkan dari turunan
T
ﾣ β1 ﾣ β2 T
ﾴ P01i
( xx )
=−
T
ﾣ β1 ﾣ β2
(1 − ρ ) 2
(z
− ρ ( z 2 ) ) exp(∆ )
1
ﾴ ln L ( β )
(19)
2
Sedangkan
diperoleh dari
T
ﾣ β2 ﾣ β2
turunan kedua ln(β ) terhadap β 2 . ﾴ ln L ( β ) 2
T
ﾣ β2 ﾣ β2
(
�
n
=
￥ﾴ2(b y i =1
2
11i
�
�ﾣP 2 + c y10 i ) � 2Ti �ﾣβ 2
− a y 01i + b y11i + c y10 i + d y00 i 2
2
2
2
� �ﾣP01i � + � � T� � �ﾣβ 2 � 2
�ﾴP01i � + T � � 2�
) �ﾣβ
2
2
�ﾴP � − (b y11i + c y10 i ) � 2Ti �+ �ﾣβ 2 � 2
� 1 (z )� 1 � �2 �
= ( xx )( z1 ) exp �− T
(16)
ﾣP01i
diperoleh
T
ﾣ β1 β1
2
�ﾴ P + ( a y01i − b y11i + c y10 i −d y00 i ) � 01i T �ﾣβ 2 ﾣβ 2 2
2
pula
ﾴ P01i
Dimana
persamaan (10) terhadap β1 .
Begitu
2
(18)
2
(15)
ﾣβ1β1
T
persamaan (11) terhadap β 2 .
�ﾴ P01i � �ﾴP1i � �ﾣβT �+ T � � 1 � � 1 � �ﾣ2 P � + ( a y01i − b y11i − d y00 i ) � 01i T � + �ﾣβ1 ﾣβ1 � � ﾣ2 P � � + ( 2c y10 i + dy00 i ) � 1i T � �ﾣβ1 ﾣβ1 � �
−2 c y10 i + d y00 i
T
01 i
00 i
1
�ﾴ P � �ﾴP1i � 2 2 −2 c y10 i + d y 00 i � 01Ti � + �ﾣβ T � �ﾣβ1 � � 1�
ﾴ P1i
� �ﾴP1i � + � �ﾴβT � � � 1� �ﾴ P � � − dy ) � � �ﾣβ ﾣβ � � 2
2 ﾴ 2 �ﾴP01i � 2 2 2 ￥ﾴ− ( a y01i + b y11i + c y10 i + d y00i ) �ﾣβT �+ i =1 ﾣ � 1 � ﾴ
Dimana
� �+ �
+ ( ay01i − by11i + cy10 i
n
(
� �ﾴP1i � �ﾣβT � � 1
�ﾴP 2 2 −(c y10 i − d y00 i ) � 01T i �ﾴβ 2
2
T
�ﾣP 2 + c y10 i ) � 2Ti �ﾣβ 2
11i
�ﾴP 2 + c y10 i � 2Ti �ﾣβ 2
Secara rinci, komponen-komponen matriks Hessian terdapat pada persamaan (15), (18), dan (20). Persamaan (15) diperoleh dengan menurunkan persamaan (9) terhadap β1 . ﾴ ln L ( )ﾴ
�2
n
￥ﾴ(b y
=
T
dengan
�ﾴ P + (b y11i + c y10 i ) � 2 i T �ﾣβ 2 ﾣβ 2 2
menurunkan persamaan (11) terhadap β1 .
� � � � �
� �+ � (20)
2
�− 1 ( z ) �+ T = ( xx )( z1 ) exp � 1 � ﾣ β 1β 1 �2 � ﾴ P01i
T
−
( x) (1 − ρ ) 2
(z
1
+ ρ ( z 2 ) ) exp( ∆) ( 17)
dengan
�1 1 � 2 2 ∆=� − z1 − 2 ρ ( z1 )( z2 ) + z1 ) � ( 2 � 2 (1 − ρ ) � Persamaan (18) didapatkan dari penurunan persamaan (9) terhadap β 2 .
2
ﾣP01i
didapatkan
T
ﾣ β2 ﾣ β2
dengan
menurunkan
persamaan (14) terhadap β 2 , yaitu: 2
T
ﾴ P01i T
ﾣ β2ﾣ β2
=
( xx ) (1 − ρ ) 2
( −z
2
+ ρ ( z1 ) ) exp(∆ )
(21)
2
Dan
ﾴ P2 i T
ﾣ β2 ﾣ β2
didapatkan dengan menurunkan
persamaan (13) terhadap β 2 , yaitu:
Jurnal ILMU DASAR Vol. 12 No. 1. 2011 : 97 - 102
2
ﾣP2 i
1 � � T = ( xx )( z 2 ) exp � − ( z2 ) � T ﾣ β2ﾣ β2 2 � �
(22)
Pengujian signifikansi parameter Pengujian kelayakan model dilakukan pengujian parameter. Hal ini bertujuan untuk mengetahui apakah variabel prediktor yang terdapat dalam model berpengaruh nyata atau tidak. Pengujian parameter model dilakukan baik secara overall (serentak) maupun parsial. Metode yang digunakan untuk menda-patkan statistik uji adalah MLRT. Hipotesis serentak adalah suatu hipotesa
x1 , x2 ,..., x p
yang menguji apakah variabel
mempunyai pengaruh yang signifikan terhadap variabel respon y1 dan y2 . Hipotesa tersebut adalah:
101
Untuk mendapatkan nilai βˆ 1 dan βˆ 2 dengan menggunakan persamaan (9) dan (12). Sedangkan L (ωˆ ) adalah sebagai berikut.
[
]
L (ωˆ ) = 1 − Φ ( γ ˆ−10 β ) − Φ ( ˆδ20− )β
[
]
ﾴ Φ (δ −ˆβ20 ) − Φ ( γ ˆ10 − β,
y10
δ ˆ20− β)
ﾴ
[
ﾴ Φ (γ − βˆ10 ) − Φ (γ − βˆ10 , δ − βˆ20 )
[
]
ﾴ Φ (γ − βˆ10 , δ − βˆ20 )
y11
+( Φ ˆ 10γ −, β ˆ 20 δﾴ −) β
]
y 01
ﾴ
y 00
βˆ10 dan βˆ20 diperoleh dengan menggunakan persamaan (23) dan (24). dimana turunan ln likelihood terhadap β10 adalah: Nilai
ﾴ ln L ( ﾴ) ﾣ β10
�
n
=
￥ﾴ(a y i =1
�
�ﾣP � − b y11i + c y 10 i − d y 00 i ) � 01i � + �ﾣβ 10 � *
01i
�ﾴ P + ( c y10 i − d y 00 i ) � 1i �ﾣβ10 *
*
� � � � �
(23)
*
H 0 : β 11 = β12 = L = β1p = β 21 = β 22 = L = β 2 p = 0
Nilai turunan peluang P1i dan P01i terhadap
H 1 : paling sedikit ada satu β rs ﾴ 0 dengan r = 1, 2 dan s = 1, 2, ..., p Himpunan parameter dibawah populasi ( Ω ) adalah: Ω = { β10 , β11 , K , β 1 p , β 20 , β 21, K , β 2 p }
β10 adalah: *
ﾴP1i
ﾣ β10
*
= φ ( z1 ) dan *
ﾣ P01i ﾣ β10
= − φ ( z1 ) + φ ( z1 , z 2 ) *
*
*
dimana nilai z1 = γ − β10 dan z 2 = δ − β 20 . *
*
Sedangkan himpunan parameter dibawah H0 (ω ) adalah:
Sedangkan turunan pertama ln(β ) terhadap
ω = { β10 , β 20 } . Statistik uji didapatkan dengan merasiokan L (ωˆ ) ˆ), Λ = L (ωˆ ) dan L (Ω . Tolak H0 jika ˆ) L(Ω
ﾴ ln L ( ﾴ)
Λ=
β 20 adalah: ﾣ β 20
� �ﾣP2*i � ( b y − c y ) ￥ﾴ 11i 10 i �ﾣβ �+ i =1 � � 20 � n
=
�ﾣP + ( a y01i − b y11i + c y10 i − d y 00 i ) � 01i �ﾣβ 20 *
L(ωˆ ) < λ0 , dimana 0 < λ0 < 1 . ˆ) L (Ω
(24) *
Sehingga didapatkan G 2 = −2 ln Λ , dimana menurut Agresti (2002), G 2 mendekati distribusi χ 2 . �L(ωˆ ) � ˆ ) − 2 ln L (ωˆ ) G 2 = −2 ln Λ = −2 ln � = 2 ln L (Ω ˆ )� �L(Ω � ˆ ) adalah: Secara rinci L (Ω T L ( Ωˆ ) =�1 − Φ γ( βˆ 1−x )
�
y11
T T (+ Φ γβˆ1 x −, βˆδ2 x ﾴ )−
T
T T ﾴ� Φ (δ −βˆ 2 x ) − Φ ( γ βˆ 1− x ,
�
y10
δβˆ 2 −x ) T
� � y01
ﾴ� Φ (γ − βˆ 1 x ) − Φ (γ − βˆ 1 x, δ − βˆ 2 x ) � ﾴ
�
T
T
T
y 00
T T ﾴ� Φ (γ − βˆ 1 x, δ − βˆ 2 x ) �
�
�
�
ﾴ
*
dengan turunan peluang P2i dan P01i terhadap
β 20 adalah:
ﾴP* ﾴP2*i * * = φ ( z2* ) dan 01i = φ ( z1 , z2 ) ﾣ β 20 ﾣ β 20 Keputusan untuk menolak H0 jika G > χα2 ,v , dimana v adalah banyaknya � parameter model dibawah populasi dikurangi � banyaknya parameter model di bawah H0. Kemudian nilai χ v2,α dapat diperoleh pada tabel Chi-Square. Setelah melakukan pengujian secara serentak, langkah selanjutnya adalah pengujian 2
− (Φ δ βˆ 2 x− )
� � � � �
102
Estimasi dan Statistik...(Vita Ratnasari et al.)
secara parsial. Pada pengujian parsial, ingin diketahui kontribusi setiap variabel prediktor. Pengujian hipotesis secara parsial pada model probit biner bivariat adalah: β rs = 0 H0 :
β rs ﾴ 0
H1 :
maka dilakukan perhitungan secara numerik, yaitu iterasi Newton-Rapshon. Dengan menggunakan metode MLRT, diperoleh statistik uji serentak yaitu statistik uji G 2 , sedangkan uji parsial adalah statistik uji t .
r = 1, 2 dan
dengan
s = 0,1, 2,..., p Himpunan parameter jika H0 benar (ω ) adalah:
{
ω = β r*s* , r * = 1, 2; s* = 0,1,..., p ; r * ﾴﾴr , s *
DAFTAR PUSTAKA
}
s
dimana: L (ωˆ ) =
� �1 −
*T Φ ( γβˆ−1 x )
*T ﾴ� Φ (δ −βˆ 2 x )
�
*T − (Φ βˆ δ2 −x )
y11
*T +( Φβˆ 1 γx − ,
*T βˆ 2 xδ ﾴ−)
y10
*T − (Φ γ βˆ1− x ,
*T δβˆ 2 −x )
� � y01
ﾴ� Φ (γ − βˆ 1 x ) − Φ (γ − βˆ 1 x, δ − βˆ 2 x ) � ﾴ
�
*T
*T
*T
�
y00
*T *T ﾴ� Φ (γ − βˆ 1 x, δ − βˆ 2 x)�
�
�
dengan βˆ 1 = {β10 , β11 ,..., β1( s −1) , β1( s +1) ,..., β1 p } *
* dan βˆ 2 = {β 20 , β 21 ,..., β 2 p } atau * βˆ 1 = {β10 , β11 ,..., β1 p } dan * βˆ 2 = {β 20 , β 21 ,..., β 2 ( s −1) , β 2( s +1) ,..., β 2 p }
Pembentukan statistik uji parsial dilakukan dengan menggunakan metode MLRT seperti pada uji serentak, se-hingga didapatkan βˆrs statistik uji t , yaitu t = . Dengan n SE ( βˆ ) rs
besar, maka t ~ N (0,1) . Keputusan untuk menolak H0 jika
t > Zα
2
.
KESIMPULAN Estimasi parameter model probit biner bivariat dapat diperoleh dengan menggunakan MLE. Karena diperoleh hasil yang tidak close form,
ﾴ
Agresti A. 2002. Categorical Data Analysis, John Wiley & Sons Inc. Hoboken. New Jersey. Aitchison J & Silvey SD. 1957. The Generalization of Probit Analysis to the Case of Multiple � � Responses. Bio-metrika: 44(2): 131-140. Bliss CI. 1934. The Method of Probits. American Association for the Advancement of Science: Science. New Serie: 79 (2037): 38–39. Boes S & Winkelmann R. 2005. Ordered Response Models, Tech-nical Report. Socioeconomic Institute. University of Zurich. Greene WH. 2008. Econometrics Analysis. Fourth Edition. Prentice Hall. Englewood Cliffs. New Jersey. Gujarati DN. 2003. Basic Econome-tric. Fourth Edition. Mc Graw Hill. New York. Hair JF, Black WC, Babin BJ, Anderson RE & Tatham RL. 2006. Multivariate Data Analysis. Prentice Hall Inc. New Jersey. Jackman S. 2000. Models for Ordered Outcomes. Technical Report. Stan-ford University. McKelvey RD & Zavoina W. 1975. A Statistical Model for the Analysis of Ordinal Level Dependent Vari-ables. Journal of Mathematical So-ciology. 4:103-120. Kutner MH, Nachtsheim CJ, Nether J & Li W. 2005. Applied Linear Statistical Models. McGraw-Hill Companies. New York Sharma S. 1996. Applied Multivariate Techniques. John Willey & Sons Inc. Canada. Snapinn SM & Small RD. 1986. Test of Significance Using Regres-sion Models for Ordered Categorical Data. Biometrics. 42:583592. Song XY & Lee SY. 2005. A Multivariate Probit Latent Variable Model for Analyzing Dichotomous Responses. Statistica Sinica. 15:645-664.
