eská zem d lská univerzita v Praze, Technická fakulta

eská zem!d!lská univerzita v Praze, Technická fakulta

9. Elektrické pole 9.1 Elektrický náboj Každá látka je vytvo ena z tzv. elementárních !ástic, které vytvá#ejí složit!jší struktury. "ástice na sebe vzájemn# p$sobí silami, které mají r$znou podstatu. Elektromagnetické síly se projevují mezi t#mi !ásticemi, které nesou elektrický náboj. Podstatu elektrického náboje neznáme a jeho existence je pro nás základní experimentální fakt. Vlastnosti elektrického náboje, které se uplat%ují p i vzájemné interakci nabitých !ástic a plynou z experimentálního pozorování jsou: 1. Náboj je skalární veli!ina, k jeho ur!ení sta!í jediná reálná !íselná hodnota. 2. Náboj nem$že existovat jako samostatná substance, je vždy vázán na hmotné !ástice a charakterizuje jejich elektromagnetické silové p$sobení. Je možné jej zjistit jen prost ednictvím tohoto silového p$sobení. 3. Existují dva druhy náboje – kladný a záporný. Náboje stejného druhu se vzájemn# odpuzují, náboje opa!ného druhu se vzájemn# p itahují. 4. Náboj nelze vytvo it ani zni!it. Celkové množství náboje v elektricky izolované soustav# (tj. takové, jejíž hranicí nemohou procházet náboje) z$stává stejné /zákon zachování náboje/. 5. Náboj se nem#ní p i pohybu, je relativisticky invariantní. Velikost náboje je stejná ve všech vztažných soustavách /zákon invariantnosti náboje/. 6. Náboj je kvantován, nelze jej neomezen# d#lit. Existuje nejmenší dále ned#litelný elementární náboj a všechny náboje – kladné i záporné jsou jeho celistvými násobky. Elementární náboj ozna!ujeme symbolem e a platí:

e 1, 603 !10

19

C

V soustav# SI je jednotkou náboje 1 coulomb. Je to jednotka odvozená ze základní jednotky elektrického proudu – ampéru. 1 coulomb (C) je náboj p enesený proudem 1 ampéru za 1 sekundu /zákon kvantování náboje/. P i sou!asném p$sobení n#kolika náboj$ je ú!inek každého náboje týž, jako by náboj p$sobil sám /zákon superpozice/. P íroda jako celek je elektricky neutrální. To znamená, že po!et kladných a záporných elementárních náboj$ je v p írod# vyrovnán.

9.2 Coulomb v zákon Pro kvantitativní popis silového p$sobení mezi makroskopickými nabitými t#lesy je výhodné zavést pojem bodového náboje. Bodovým nábojem rozumíme ur!itou abstrakci, fyzikální model nabité !ástice nebo t#lesa, jehož rozm#ry jsou zanedbatelné ve srovnání se vzdáleností mezi t#lesy. Pouze v p ípad# bodových náboj$ má jednozna!ný smysl pojem vzdálenosti mezi náboji a pouze v tom p ípad# m$žeme zanedbat zp$sob rozložení náboje na t#lese. Experimentální studium silového p$sobení mezi dv#ma bodovými náboji provedl Ch.A. Coulomb r. 1785 a na základ# jeho výsledk$ je možno formulovat Coulomb"v zákon.

1

Jan Petr" – Fyzika, Elektrické pole


Nech& jsou dány dva bodové náboje o veliz kosti Q1, Q2, které jsou umíst#ny ve vakuu v bodech ! ! o polohových vektorech r1 , r2 , a které jsou nehybné Q2 v dané inerciální soustav# sou adnic, viz obr 9.1. r1-r2 ! Q1 Pak síla F12 , kterou na náboj Q1 p$sobí náboj r2 Q2 je dána vztahem F12 r1 ! Q1 ! Q2 ! ! (9.1) F12 $ k ! ! ! 3 ! " r1 r2 # 0 r1 r2 y ! x Obrácen# sílu F21 , kterou p$sobí náboj Q1 na náboj Q2 dostaneme zám#nou index$ 1 a 2 ve vztahu ! ! Obr 9.1 (9.1).Platí tedy F21 $ F12 v souladu s Newtonovým principem akce a reakce. Síly mezi bodovými náboji p$sobí podél jejich spojnice - takové síly nazýváme centrálními. Zm#ní-li se znaménko sou!inu Q1 · Q2, zm#ní se pouze sm#r síly a nikoliv její velikost. Kladné znaménko tohoto sou!inu odpovídá p itom síle odpudivé, záporné znaménko síle p itažlivé. Velikost síly p$sobící mezi dvojicí bodových náboj$ je rovna ! ! Q !Q F $ F12 $ F21 $ k ! ! 1 ! 22 . (9.2) r1 r2 Tato velikost klesá se !tvercem vzdálenosti obou náboj$ a nezávisí na sm#ru v prostoru Síla tohoto druhu se nazývá izotropní. Konstanta k vystupující ve vztahu (9.1) je závislá na volb# jednotek a na vlastnostech prost edí. Pro vakuum je dána vztahem 1 k$ (9.3) 4% & 0 Kde 0 je permitivita vakua. Permitivita vakua je univerzální fyzikální konstanta. Její rozm#r lze ur!it z Coulombova zákona a její velikost je ur!ena experimentáln#.

'& 0 ( $

'Q ( ! 'Q´( $ C 2 )r 2 * ! ' F ( m2 ! N + ,

& 0 $ 8,854 - 10

12

C 2m 2 N

, 1

(9.4) .

(9.5)

"ast#ji se tato konstanta udává ve Fm-1, kde farad (F) je jednotka kapacity (viz dále). Pak k $ 8,987 !109 mF

1

$" 9 !109 mF

1

Hodnota 0 (pro vakuum) se v#tšinou používá i pro vzduchové prost edí. Relativní chyba, které se dopouštíme je asi 0,5%. Coulomb$v zákon formulovaný pro dva bodové náboje m$žeme pomocí principu superpozice rozší it na soustavu bodových náboj" ve vakuu. P edpokládáme, že bodové náboje Q1, Q2, … QN jsou umíst#ny v bodech o polohových ! ! ! ! vektorech r1 , r2 ... , rN . V bod# o polohovém vektoru r je umíst#n bodový náboj Q. Pak experimentální zkušenost ukazuje, že silové p$sobení mezi danou dvojicí bodových náboj$ je na p ítomnosti ostatních náboj$ nezávislé. Podle principu superpozice platí, že výsledná síla p$-

2



! ! sobící na náboj Q je ur!ena vektorovým sou!tem sil FQ ,Qi , kde FQ ,Qi , je síla, kterou i-tý bodový náboj Qi p$sobí na náboj Q, tj. N ! N ! Q !Q ! ! FQ ,.Qi / $ 0 FQ ,Qi $ 0 k ! ! ! i3 ! " r ri # (9.6) r ri i $1 i $1

Platnost Coulombova zákona byla prokázána až do vzdálenosti bodových náboj$ 10-17m a není omezena ani velkými vzdálenostmi dostupnými našemu pozorování.

9.3 Intenzita elektrického pole Podle sou!asných p edstav vytvá ejí elektrické náboje ve svém okolí elektrické pole, které zprost edkuje silové p$sobení mezi elektrickými náboji. Proto na silové ú!inky dvou elektrických náboj$ lze pohlížet jako na silové ú!inky náboje a elektrického pole vytvo eného druhým nábojem, nebo& elektrické pole a elektrický náboj jsou dv# r$zné formy jediného jevu. Nejjednodušším typem elektrického pole je pole elektrostatické, které pochází od náboje, který je v klidu! Pro vyjád ení silových ú!ink$ elektrického pole na náboj se zavádí vektorová veli!ina ! intenzita elektrického pole E . Je definována vztahem ! ! ! ! F "r # E "r # $ (9.7) Q ! ! "íseln# se rovná podílu síly F , kterou p$sobí elektrické pole v daném míst# r na bodový náboj Q a tohoto náboje. Jednotka intenzity elektrického pole vyplyne z defini!ního vztahu 'F ( N (9.8) 'E( $ $ $ V ! m 1 'Q ( C Jednotku newton na coulomb lze vyjád it vhodn#ji jako volt na metr. Elektrické pole lze názorn# zobrazovat pomocí silo!ar. Silo$áry jsou spojité k ivky, ! v jejichž bodech má intenzita elektrického pole E sm#r te!ny k t#mto k ivkám. Dohodou bylo stanoveno, že silo!áry vycházejí z kladného náboje, který je jejich z#ídlem a kon!í v záporném náboji, který je jejich propadem (norou). Ukázky viz obr. 9.2, 9.3. Intenzitu elektrického pole si m$žeme p edstavit jako hustotu silo!ar. Protože je intenzita elektrického pole ur!ena v daném míst# jednozna!n#, nemohou se dv# silo!áry vzájemn# protínat!

E E

+

+

Obr. 9.2

Obr. 9.3

3



z Bodový náboj Q´ lokalizovaný v míst# s polohovým vek! ! torem r 1 vyvolá v míst# s polohovým vektorem r elektrostaQ´ ! ! tické pole jehož intenzita E ( r ) je dána vztahem r -r´ r´ ! ! Q1 ! ! E " r # $ k ! ! ! ´3 ! " r r ´# . (9.9) r r´ ! ! r Velikost intenzity E ( r ) je p ímo úm#rná velikosti nábo0 je Q´ a nep ímo úm#rná !tverci vzdálenosti od náboje. Vektor y intenzity mí í od bodového náboje nebo k n#mu. Takovéto pole x nazýváme radiální, viz obr. 9.2. Je-li elektrostatické pole vytvo eno N bodovými náboji ! Obr. 9.4 Qi, lokalizovanými v místech s polohovými vektory ri ur!íme ! ! ! výslednou intenzitu E ( r ) v míst# r pomocí principu superpo! zice, jako vektorový sou!et intenzit vytvo ených v daném bod# r jednotlivými náboji: N ! N ! ! Q ! ! ! E (r ) $ 0 Ei (r ) $ 0 k ! ! i! 3 ! " r ri # . (9.10) r ri i $1 i $1

9.3a Gaussova v!ta elektrostatiky ! Tok !E vektoru intenzity E elektrostatického pole uzav enou plochou S, tj. plochou uzavírající ur!itý objem je dán vztahem (9. a1) ! ! 2E $ #3 dS ! E , (9.a1) ! kde vektor plošky dS orientujeme ven z uzav ené plochy S. P edpokládejme, že se uvnit plochy S nachází el. náboj QC . Pak platí ! ! 1 (9.a2) #3 dS ! E $ ! QC .

&0

Vztah (9.a2) se nazývá Gaussova v!ta elektrostatiky a má následující zn#ní. ! Tok vektoru intenzity E elektrostatického pole ve vakuu libovolnou uzav enou plochou je roven celkovému náboji QC uzav enému uvnit této plochy d#lenému permitivitou vakua. P itom platí: 4 náboj QC m$že být tvo en jednak bodovými náboji, jednak náboji spojit# rozloženými libovolným zp$sobem, ! 4 náboje umíst#né vn# uzav ené plochy S tok !E vektoru E neovlivní,

4 tok !E nezávisí na rozm#rech plochy S. Zvolená uzav ená plocha S vystupující v Gaussov# v#t# se nazývá Gaussovou plochou. Velký význam Gaussovy v#ty spo!ívá v tom, že v ad# p ípad$, kdy existují n#které ! prvky symetrie v daném systému umož%uje snadný výpo!et intenzity E .

4



9.4 Práce a potenciální energie v elektrostatickém poli ! ! ! Uvažujeme elektrostatické pole o intenzit# E $ E " r # . Do tohoto pole do bodu (i), jehož po! loha je ur!ena polohovým vektorem ri vložíme elektrický náboj Q. P edpokládáme p itom, že se elektrostatické pole p$sobící na náboj Q nijak nezm#ní. Na náboj Q p$sobí podle rovnice ! ! (9.7) síla F $ Q ! E . Je-li náboj voln# pohyblivý pak p$sobení elektrostatického pole vyrov! ! ! náme p$sobíme-li na náboj stejn# velkou silou opa!ného sm#ru F´$ F $ Q ! E . Tím nastane rovnováha sil a náboj se m$že v elektrostatickém poli voln# pohybovat, bude-li rovnováha sil trvale udržována. ! P i posunutí náboje Q o element dráhy dr vykoná vn#jší síla práci ! ! ! ! 5 A $ F´!dr $ Q ! E ! dr . (9.11) P i p emíst#ní náboje Q z bodu (i) do bodu (f) po dráze C, která celá leží v elektrostatickém poli vykoná vn#jší síla práci, která je z definice rovna k ivkovému integrálu f

A$

3

! ! dr ! F 1 $ Q !

i (C )

f

3

! ! dr ! E .

(9.12)

i (C )

Protože se elektrostatické pole v závislosti na !ase nem#ní, lze ukázat, že tato práce je výhradn# závislá na po!áte!ní a koncové poloze náboje Q a nezávisí na dráze, po níž byl náboj ! ! mezi ob#ma body ri , rf p emíst#n, tj. na dráze C. Z toho plyne ! ! dr #3 ! E $ 0 .

(9.13)

což m$žeme slovn# vyjád it takto: P#emis%uje-li se elektrický náboj v elektrostatickém poli po libovolné uzav#ené dráze, rovná se celková práce k tomu vynaložená nebo získaná nule. Rovnice (9.13) dokazuje konzervativnost elektrostatických sil a umož%uje zavést v elektrostatickém poli potenciální energii. Protože víme, že práce A nezávisí na integra!ní cest#, ale pouze na poloze po!áte!ního ! ! (i) a koncového (f) bodu, je z matematiky známo, že C dr ! F 1 je úplným diferenciálem n#jaké funkce, kterou ozna!íme Ep, tj. ! ! dE p $ dr ! F 1 , (9.14) a proto platí (f )

A$

3 dE p $ E p, f

E p ,i .

(9.15)

(i )

Funkce Ep má význam potenciální energie. Platí proto, že práce A vykonaná na náboji vn#jší silou zvyšuje jeho potenciální energii z po!áte!ní hodnoty energie Ep,i na kone!nou hodnotu Ep,f, kde (f)

E p , f $ E p ,i 6 A $ E p ,i Q

! !

3 dr ! E

(9.16)

(i )

Protože jde pouze o zm!nu energie, nem"žeme stanovit její absolutní hodnotu, a proto udáváme potenciální energii vždy vzhledem k n!jakému vhodn! zvolenému vztažnému místu.

5



P i adíme-li pevn# zvolené poloze (i), tzv. vztažný (referen$ní) bod, pevné (ale jinak libovolné) reálné !íslo K. tedy ! E p ,i 7 E p (ri ) $ K , (9.17) pak poloze (f) m$žeme p i adit !íslo Ep,f = K + A . Každému bodu elektrostatického pole tedy lze, p i zvolení referen!ního bodu p i!íst jednozna"n! hodnotu potenciální energie. Poznámka: Potenciální energie daného systému je obecn# definována jako fyzikální veli!ina, jejíž zm#na je dána prací vykonanou na systému vn#jšími silami p i p emáhání vnit ních sil systému.

V elektrostatickém poli je potenciální energie Ep, kterou má bodový elektrický náboj Q v bo! d# (f) v$!i bodu (i) rovna práci, kterou vykoná vn#jší síla F 1 p ekonávající sílu elektrostatického pole p i p emíst#ní elektrického náboje Q z bodu (i) do bodu (f).

9.5. Potenciál elektrostatického pole ! ! Potenciál 8 (ri ) elektrostatického pole v bod# r je definován jako podíl potenciální energie náboje Q v tomto bod# a tohoto náboje, tj. ! ! ! r ! E p (r ) ! ! ! $ 8 z 3 dr 1 ! E (r 1) , 8 (r ) 7 (9.19) ! Q rz ! ! ! kde 8 z $ 8 (rz ) je hodnota potenciálu v referen!ním bod# rz . Potenciál 8 (r ) p edstavuje ! práci vykonanou vn!jšími silami p i p enesení náboje 1C z referen!ního bodu rz do uvažova! ného bodu r elektrostatického pole. Jednotkou potenciálu elektrostatického pole v SI je 1 volt (V). )Ep *

'8 ( $ + , $ =V . 'Q ( C J

(9.20)

Jeden volt je potenciál takového bodu, kdy na p enesení náboje 1C z referen!ního bodu do tohoto bodu je t eba vynaložit práci 1J. Poznámky:

! !

!

1/ Potenciál

8 (r ) m$žeme vypo!ítat ze vztahu (9.19) známe-li vektor intenzity elektrostatického pole E (r ) v !

každém bod# libovolné spojnice referen!ního bodu ( rz ) a bodu

! r ..

2/ Každému bodu elektrostatického pole, lze viz (9.19), p i zvolené hodnot# "z potenciálu v referen!ním bod#

! (rz ) p i adit jednozna"n! hodnotu potenciálu.

3/ Spojením bod$, které mají stejnou hodnotu potenciálu, vzniknou ekvipotenciální plochy (hladiny) tzv. ekvipotenciály. 4/ Z jednozna!nosti potenciálu plyne, že se hladiny s r$znými hodnotami potenciál$ neprotínají! 5/ P i p emíst#ní elektrického náboje po dráze ležící na ekvipotenciální ploše není t eba vynakládat práci. 6/ Pro skládání potenciál" více polí je možno použít principu superpozice.

6



9.6 Nap!tí v elektrostatickém poli Práci, kterou vykoná elektrostatické pole p i p emis&ování bodového jednotkového kladného ! ! náboje z bodu ri do bodu rf nazýváme nap#tím mezi t#mito body, tj. (f)

U if $

! !

3 dr ! E (i )

Jednotkou nap#tí je volt (V), tj. [U] = V. Nap!tí je kladné, má-li výchozí bod vyšší potenciál než bod koncový. Kladný elektrický náboj se p$sobením el. sil m$že pohybovat sm#rem od vyšších hladin potenciálu k nižším. Platí, viz (9.12) a (9.15) (f)

3

! ! dr ! E $

(i )

1 ! ) E p, f Q +

E p ,i *, $ )+8 f

8i *, $ 8 fi .

(9.22)

98 7 8 fi kde "fi je rozdíl potenciál$ mezi koncovým a po!áte!ním bodem. 'íkáme proto, že nap#tí je rovno záporn! vzatému rozdílu potenciál".

9.7 Gradient pole Je-li dáno elektrostatické pole, najdeme jeho potenciál z definice podle vztahu (9.19)

" r ! $ " rz ! %

r

' dr ´&E r #!

,

rz

tedy integrací intenzity E r ! elektrostatického pole. Obrácen z potenciálu pole " r ! najdeme p!íslušnou intenzitu pole E r ! derivováním. Nejprve ur"íme elementární p!ír#stek potenciálu. P!i p!emíst ní z místa r do blízkého bodu r ( dr se zm ní potenciál pole o hodnotu d" $ " r ( dr ! % " r ! .

(9.23)

Z matematické analýzy je známo, že úplný (totální) diferenciál funkce t!í prom nných x,y,z se vypo"ítá pomocí parciálních derivací podle p!edpisu: )" )" )" & dx ( & dy ( d" r ! $ & dz $ grad " & dr (9.24) )x )y )z Symbol grad je definován p!edpisem ) /) ) ) , * $- , , )r -. )x )y )z *+ Operátor grad vytvá!í ze skalární funkce " vektorové pole grad 0

/ )" )" )" , , grad " $ -. )x )y )z Ze vztahu (9.24) dostaneme

, ** +

(9.25)

(9.26)

7



d" $ grad " & dr $ grad " & dr & cos 1

(9.27)

Odtud plyne, že pokud bude ve všech sm rech posun dr stejný, naroste funkce " nejvíce v tom sm ru, kde je cos 1 $ 1 , tedy ve sm ru grad " . Sm r vektoru grad " je proto ur"en sm rem nejrychlejšího r#stu funkce " r ! . Dále platí, že p!ír#stek potenciálu pole je z definice roven záporn vzaté práci pole na jednotkovém náboji, tj. d" r ! $ % E r ! & dr . (9.28) Srovnáním vztah# (9.24) a (9.28), které musí platit pro libovolné elementární posunutí dr , dostaneme vztah pro výpo#et intenzity pole ze známého potenciálu E

r ! $ % grad " r ! .

E

dn &2

dr3 &1 A

dr1 +d ,d <0

(9.29)

Výše uvedenou situaci si dr2 = 0 m#žeme ukázat graficky. Silové grad pole popsané potenciálem je ma+d ,d >0 pováno hladinami potenciálu. Máme nalézt vektor intenzity Obr. 9.5 v každém bod prostoru, v n mž se pole rozprostírá. Tedy po"etn máme skalární charakteristiku pole, vyjád!enou v každém míst prostoru jedinou "íselnou hodnotou, nahradit vektorovou charakteristikou, zahrnující t!í "íselné údaje. Zkoumaným místem A na obr. 9.5 prochází hladina potenciálu " $ "0 0 konst. , ke které z obou stran p!iléhající hladiny, jimž p!ísluší potenciál lišící se od potenciálu, o d !"!#, d !$!#%!tedy " ( d" , p!i"emž podle 9.28 elementární p!ír#stek d" r ! $ % E r ! & dr $ % E r ! & dr & cos 1 ,

(9.30)

kde úhel & je úhel, který v p!íslušném míst svírá vektor posunutí dr s vektorem intenzity E . Je roven nule, mají-li oba vektory týž sm r, a je roven ' mají-li navzájem opa"ný sm r. Posune-li se zkušební náboj z místa A po hladin potenciálu " $ " 0 , která tímto místem prochází, nap!. o dr3 na obr. 9.5, nezm ní se p!itom potenciální energie náboje a p!íslušný elementární p!ír#stek d je roven nule. Podle (9.30) je proto roven nule skalární sou"in E & dr3 (síla pole p!i posunutí zkušebního náboje po hladin potenciálu nekoná žádnou práci), oba vektory E a dr3 jsou k sob kolmé, takže intenzita E je v míst A kolmá k hladin potenciálu procházející tímto místem (p!esn ji k te"né rovin v míst A). P!i posunutí jiného sm ru, nap!. dr1 a dr2 atd. na obr. 9.5 se dostane zkušební náboj na sousední hladiny potenciálu. P!i ostrém úhlu 1 , mezi posunutím dr1 a vektorem E má skalární sou"in E & dr1 , kladnou hodnotu, síla pole koná kladnou práci, p!ír#stek potenciálu je podle (9.30) záporný, d" < 0, potenciál na p!íslušné hladin , na kterou se zkušební náboj dostal, je o d" menší. Je-li naproti tomu tento úhel tupý ( 1 2 na obr. 9.5), je jeho kosinus záporný, práce síly pole E p!i posunutí zkušebního náboje o dr2 je záporná a podle (9.30) je naopak p!ír#stek potenciálu kladný, d" > 0, potenciál na této hladin je o d" v tší.

8



Proto vektor intenzity E , kolmý k hladin potenciálu ve zvoleném míst A, mí$í ve sm!ru, v n!mž potenciál klesá. Jeho velikost je podle (9.30) dána vztahem d" d" , (9.31) E$% $% dr & cos 1 dn tedy podílem úbytku potenciálu (záporným p!ír#stkem d" ) p!i p!echodu na sousední hladinu v bezprost!edním okolí vyšet!ovaného místa A a pr#m tu dn p!íslušného posunutí dr do sm ru normály k hladin procházející tímto místem. Podíl p!ír#stku skalární veli"iny a vzdálenosti, v níž tento p!ír#stek vzniká, nazýváme r"stem skalární veli#iny, a podíl úbytku veli"iny a vzdálenosti, v níž vzniká tento úbytek nazýváme spádem skalární veli#iny. Spád je tedy záporným r#stem. P!i stejn velkém p!ír#stku d" nebo úbytku % d" je r#st d" / dr nebo spád % d" / dr ! p!íslušné veli"iny " r#zn velký, a to podle toho v jakém sm ru postupujeme z jedné hladiny na druhou hladinu, "ili jak velká je vzdálenost dr , v níž se z hodnoty " dostaneme na hodnotu " ( d" (na obr. 9.5 nap!. vzdálenosti dr1 a dr2 ). Jednozna"ný význam mají r#st a spád, postupujeme-li ve sm ru kolmém k hladinám. V tomto sm ru je totiž dr $ dn nejkratší vzdálenost, v níž se z místa A dostaneme na hladinu, jíž p!ísluší potenciál lišící se od potenciálu " o elementární p!ír#stek d" . P!íslušný význa"ný r#st a spád mají pak ze všech ostatních možných r#st# nebo spád# z místa A nejv tší velikost ( d" je stále stejné!), což zvlášt ozna"íme: Maximální r#st veli"iny 0 gradient veli"iny !( p!ír#stek veli"iny " , zna"ka grad " nejkratší vzdálenost, v níž p!ír#stek vzniká Maximální spád veli"iny " 0 záporný gradient veli"iny !( úbytek veli"iny " , nejkratší vzdálenost, v níž úbytek vzniká

zna"ka ( % grad " )

Gradient skalární veli"iny má charakter vektoru, protože jen v jednom sm ru ležícím v normále k hladin skalární veli"iny v p!íslušném míst (nap!. A) má r#st nebo spád maximální velikost. V této nositelce leží také vektor intenzity pole E , jehož velikost (úbytek potenciálu % d" ! d lený vzdáleností dn ) je shodný s velikostí maximálního spádu potenciálu v p!íslušném míst . Shrnutí:

Vektor intenzity E silového pole je v každém jeho míst co do velikosti i sm ru ur"en maximálním spádem potenciálu " "ili záporným gradientem potencionálu " , symbolicky: E $ % grad " . D sledek Potenciály " a " ´ , kde

"´ r ! $ " r ! ( konst.

(9.32)

ur"ují totéž pole intenzity E .

9



9.8 Elektrický dipól Elektrický dipól je tvo!en dvojicí náboj# stejné velikosti Q, ale opa"né polarity, které jsou blízko sebe. Vlastnosti dipólu jsou ur"ující pro výklad vlastností dielektrik. M#žeme-li vzdálenost náboj# vzhledem ke vzdálenosti pozorování r r považovat za zanedbatelnou, jak tomu v p!ípad dipól# vytvo!ených v polarizovaném dielektriku bývá, pak takovému dipólu !íkáme elementární elektrický dipól.! Elementárnímu dipólu p!i!azujeme vektorovou veli"inu elektrický dipólový moment p , který má velir0 & kost sou"inu náboje Q a orientované vzdálenosti -Q +Q + " !mezi náboji, kde vektor " sm !uje od záporného ná" boje k náboji kladnému, viz. obr. 9.6. p$Q&"

(9.33)

Obr. 9.6

2 p3 $ C & m Potenciál dipólu je pomocí dipólového momentu vyjád!en vztahem p&r 1 1 p & cos 1 & $ & 20 " r! $ 2 44 50 44 5 0 r r

(9.34)

V homogenním poli intenzity E p#sobí na oba náboje tvo!ící dipól síly F( $ Q & E a F% $ % Q & E . Tyto síly mají stejnou velikost a vytvá!ejí silovou dvojici s momentem M , kde M $ "6QE $ p6 E

+Q

(9.35)

F+

"

Moment M se snaží sto"it dipól do stabilní polohy, kdy je elektrický dipólový moment p rovnob žný s vektorem intenzity elektrostatického pole E a oba vektory mají stejnou orientaci, viz. obr. 9.7 Hodnota potenciální energie dipólu v elektrostatickém poli je dána vztahem

+

P

& M

F-

-Q E Obr. 9.7

E p 1 ! $ % p & E $ % p & E & cos 1

(9.36)

Potenciální energie závisí na úhlu 1 , který svírají vektory p a E . Stabilní poloze, kdy je 1 = 0°, odpovídá minimální hodnota potenciální energie, kterou má dipól v elektrostatickém poli.

9.9 Elektrostatické pole v obecném prost!edí Dosud jsme uvažovali všechny vztahy pro veli"iny elektrostatického pole za p!edpokladu, že prost!edím obklopujícím náboje je vakuum. Vložíme-li do elektrostatického pole látku, dojde v ní vlivem Coulombovských sil k p!esunu náboj# (r#znými mechanismy), a proto bude mít látka zp tný vliv na pole. Z hlediska pole budeme rozlišovat dva druhy látek: vodi"e a dielektrika (izolanty). Dielektrikem myslíme ideální dielektrikum, to je látku s nulovou vodivostí. Ve skute"nosti ostrá

10



mez mezi vodi"i a dielektriky neexistuje, nebo$ každá reálná látka má ur"itou nenulovou vodivost.

1. Vodi e v elektrostatickém poli Vodi"e m#žeme zjednodušen chápat jako látky obsahující volné elektrony. Volným elektron#m ve vodi"i !íkáme elektronový plyn. Bez p!ítomnosti vn jšího pole se vodi" jeví jako elektricky neutrální. Vložíme-li izolovaný vodi" do elektrostatického pole s intenzitou E 0 budou na jeho volné náboje p#sobit síly, které je p!eskupí ve sm ru t chto sil k povrchu vodi"e. Na jedné stran vodi"e vznikne p!ebytek záporného náboje, na odvrácené stran náboje kladného, viz obr. 9.8. Tento nov rozložený náboj vytvo!í své vlastní elektrostatické pole s intenzitou E i , která bude p#sobit proti vn jšímu poli E 0 . P!eskupování náboje ve vodi"i ustane, bude-li v každém bod vodi"e výsledná intenzita pole nulová. tj. E $ E0 ( Ei $ 0 .

(9.37)

Na náboje p!estanou p#sobit síly. Tomuto jevu p!eskupování náboje se !íká elektrostatická indukce a náboji, který se na povrchu nashromáždí se !íká indukovaný náboj. +

+

Ei

E0

+ +

+

Ei = -E0

+

Obr 9.8

Skute"nost, že se náboj p!evedený na vodivé t leso rozloží pouze na jeho povrchu a nikoliv uvnit!, se dá dokázat pomoci Gaussovy v ty. Ze vztahu E $ % grad " vyplývá pro vnit!ek

= konst.

vodi"e, kde je E = 0, že " = konstanta. Potenciál E=0 ve všech vnit!ních bodech vodi"e je konstantní a Q povrch je ekvipotenciálou. E = konst. Protože povrch vodivého t lesa je ekvipotenciálou, musí k n mu být silo"áry kolmé. To znamená, že intenzita elektrostatického pole má na povrchu vodi"e sm r normály, viz obr. 9.9. Je-li uvnit! Obr. 9.9 vodivého t lesa dutina, která neobsahuje náboj, je také v této dutin nulová intenzita elektrostatického pole a na hrani"ní st n dutiny nemohou být elektrické náboje. Elektrostatické pole uvnit! dutiny ve vodi"i je proto nulové bez ohledu na to, jakým zp#sobem jsou rozloženy náboje. Na tomto principu jsou založena stín ní proti elektrostatickému poli. Dutý vodi" se chová tak, že stíní dutinu od vn jšího elektrostatického pole. Za!ízení, které v praxi tento efekt využívá se jmenuje Faradayova klec.

11



Umístíme-li do dutiny, která je vytvo!ena vodi"em isolovan elektrický náboj, elektrostatické pole uvnit! dutiny není nulové. Rozd lení náboje na povrchu vodi"e je obecn nerovnom rné. V okolí ostrých hran a hrot# je intenzita elektrostatického pole mnohem vyšší než v blízkosti rovinných nebo vydutých "ástí povrchu vodi"e.

2 . Dielektrikum v elektrostatickém poli, polarizace Na rozdíl od vodi"# se v ideálním dielektriku nachází pouze vázané náboje, které se nemohou látkou voln pohybovat. Mohou se pouze posunout ze své polohy v níž jsou drženy vazebními silami. Tomuto posunutí náboje, které vede k porušení elektrické rovnováhy t lesa, !íkáme polarizace dielektrika. Existuje !ada mechanizm# polarizace, avšak z makroskopického hlediska není mechanismus polarizace podstatný. Budeme p!edpokládat, že každý objemový element 7V látky je složen z mnoha "ástic (atom#, molekul), z nichž každá vykazuje v elektrostatickém poli sv#j dipólový moment. Pro popis polarizace látky si vybereme takový malý objem 7V , aby se v n m navenek v nep!ítomnosti vn jšího elektrostatického pole neprojevil p!ípadný atomární nebo molekulární elektrický dipólový moment, tj. v n mž platí

9 pi

$ 0 , kde i 8 7V

(9.38)

i

/ , P!i vložení látky do vn jšího elektrostatického pole nebude již sou"et - 9 pi * nulový a lze . i + definovat vektor elektrické polarizace dielektrika P r ! , jako podíl sou"tu dipólových moment# v objemu 7V r ! tvo!ícím okolí bodu r a tohoto objemu:

P r! $

lim 7V :0

dp r ! 1 & 9 pi $ 7V r ! i87V r ! dV

(9.39)

Polarizace P r ! v uvažovaném míst r dielektrika se rovná elektrickému dipólovému momentu objemové jednotky dielektrika (objemová hustota dipólového momentu). Vektor polarizace P r ! p!edstavuje veli"inu, která z makroskopického hlediska popisu# je stav polarizovaného t lesa v jeho libovolném bod r . Experimentáln pozorovaný výsledný dipólový moment pV libovolného objemu V dielektrika pak lze vyjád!it vztahem pV $

' dV & P r ! ,

(9.40)

V!

který m#že být považován za (implicitní) definici vektoru polarizace. Stav daného objemu dielektrika je proto možno charakterizovat výsledným elektrickým dipólovým momentem, který m#že být chápán jako st!ední hodnota vektorové sumy dipólových moment# jednotlivých atom# "i molekul. Dá se ukázat, že elektrostatické pole vytvo!ené kone"ným objemem V spojit rozložených elektrických dipól# je ekvivalentní elektrostatickému poli makroskopických náboj# rozložených na povrchu tohoto objemu s plošnou hustotou ; p r ! . Plošná hustota ; p r ! závisí p!itom pouze na pr#b hu vektoru elektrické polarizace P r ! a sm ru jednotkového vektoru normály n na povrchu objemu.

12



; p r ! $ P r !&n

(9.41)

Výše definované makroskopické náboje ozna"ujeme jako náboje polariza"ní. Polariza"ní náboje jsou náboje vázané, které nelze p!emístit ani odd lit, na rozdíl od náboj# indukovaných v elektrickém poli na vodi"ích. Kvantitativn se pak polarizace liší od indukce v tom, že indukovanými náboji se vn jší pole ve vodi"i zcela ruší, kdežto polariza"ními náboji se vn jší pole v dielektriku jen zeslabuje. Ve vodi"i p!esun volných elektron# skon"í, až pole v látce vymizí a elektrické síly p!estanou na n p#sobit. V dielektriku se však posun vázaných "ástic s náboji zastaví, jakmile se kvazielastické síly vyvolané posunem vyrovnají elektrickým silám zeslabeného pole v látce. Ve velké v tšin dielektrik (tzv. m kká dielektrika) existuje lineární závislost vektoru polarizace P r ! , v daném bod r na výsledné intenzit pole E r ! v tomto bod . Pro isotropní a homogenní prost!edí je možno tuto závislost zapsat ve tvaru P r ! $ 5 0 & <e & E r ! .

(9.42)

kladná bezrozm rná veli"ina (konstanta) < e charakterizuje vlastnosti dielektrika a nazývá se jeho elektrickou susceptibilitou. B žná dielektrika z#stávají lineární, pokud se intenzita pole E p!íliš nezv tší. Vliv "asových zm n pole zde neuvažujeme. Pro popis dielektrika v elektrickém poli je výhodné zavést vektor elektrické indukce, který definujeme vztahem D r ! $ 50 & E r ! ( P r !

(9.43)

=? D >@ $ Cm %2 $ As m %2 Zdrojem vektoru D je pouze volný náboj! Vztah (9.43) mezi vektorem E a D m#žeme upravit pomoci (9.42), tj. D $ 5 0 E ( 5 0 <e E $ 5 0 & 1 ( <e ! & E $ 5 0 & 5 r E $ 5 & E

(9.44)

5 r $ 1 ( <e !

je pom rná (relativní) permitivita

(9.44a)

5 $ 50 &5r

je permitivita [F m-1] .

(9.44b)

Kde

Vliv dielektrika na elektrické pole jsme tak zahrnuli do konstanty . Je-li dielektrikum nehomogenní, je susceptibilita ! e funkcí sou adnic a v d!sledku toho je funkcí sou adnic i permitivita . Permitivitou vyjad ujeme schopnost dielektrika poE larizovat se a vytvá et nenulové hustoty vázaných náboj!, + a tak reagovat na primární elektrické pole do n"hož bylo + P dielektrikum vloženo. #ím v"tší je pom"rná permitivita + D r , tím víc je prost edí primárním polem polarizováno, tím siln"jší vlastní pole vytvá í a tím více relativn" zesla- +0 p buje primární pole E0 . Polarizací se tedy pole v dielektriku zeslabí v pom"ru E0 / E , který udává pom"rná permidielektrikum

+ + + +

tivita platí

r

" E0 / E . Protože pro všechna dielektrika

, tj. #

0

r

,

r

# 1,

obr. 9.10

(9.45)

13



dostáváme pravidlo: Vložením m"kkého dielektrika do elektrického pole se p!vodní pole v objemu dielektrika vždy zeslabí. V objemu t"lesa je výsledné pole E " E0 $ E p a E % E0

(9.46)

P i analýze elektrostatických polí používáme t i vektory: vektor intenzity E , vektor polarizace P a vektor elektrické indukce D . Shrneme p i azení t"chto vektor! ke zdroj!m – náboj!m. Uvedené vztahy znázor$uje obr. 9.10. Zdrojem vektoru E je volný i vázaný náboj. Zdrojem vektoru P je vázaný náboj. Zdrojem vektoru D je volný náboj.

9.10 Kapacita Uvažujme izolovaný vodi%, který nese náboj Q. Potenciál vytvo ený tímto vodi%em v okolním prostoru ozna%íme ( & r ' . Lze ukázat, že platí vztah Q " konst . ( &r '

(9.47)

Pom"r mezi velikostí náboje na uvažovaném vodi%i a hodnotou potenciálu v daném bod" je funkcí pouze geometrických parametr! t"lesa a daného bodu. Speciáln", ozna%íme-li (0 hodnotu potenciálu na povrchu t"lesa odpovídající náboji Q, m!žeme psát Q C" (9.48)

(0

Veli%ina C, která také závisí pouze na geometrických parametrech daného izolovaného vodi%e (jeho velikosti a tvaru), se nazývá jeho kapacita. Kapacita osamoceného vodi%e proto vyjad uje jeho schopnost shromaž&ovat elektrický náboj. Je tím v"tší, %ím v"tší náboj se p i daném potenciálu m!že na vodi%i nashromáždit. Vodi% o menší kapacit" bude daným nábojem p iveden na vyšší potenciál než vodi% o v"tší kapacit". Jednotkou elektrické kapacity je farad (F), je to kapacita vodi%e, který p i potenciálu 1V má náboj 1C. V poli n"kolika nabitých vodi%! je potenciál v kterémkoliv míst" roven sou%tu potenciál! p ekládajících se polí. To platí též o potenciálech v místech t"chto vodi%!. Když se k vodi%i s kladným nábojem a potenciálem (1 p iblíží druhý vodi% s nábojem záporným, vzbudí v míst" prvního vodi%e záporný potenciál ( 21 a jeho p i%tením k (1 se potenciál prvního zmenší. Obdobn" se p iblížením zmenší i velikost záporného potenciálu druhého vodi%e, a protože se oba náboje p itom nem"ní, kapacita vodi%! se zv"tší. Velké kapacity lze dosáhnout t"sným p iblížením vodi%! takového tvaru, aby co možno celý induk%ní tok vycházející z jednoho vodi%e kon%il na druhém. Dvojice takto upravených vodi%! se nazývá kondenzátor. Jednomu vodi%i neboli elektrod" se p ivádí náboj a jeho polem se na druhé elektrod" indukuje opa%ný náboj, jenž má stejnou velikost za p edpokladu, že celý induk%ní tok první elektrody kon%í na druhé. S p esností s níž je tento p edpoklad spln"n je kapacita kondenzátoru ur%ena vztahem Q Ck " 1 (9.49) U12

14



Kde Q1 je náboj jedné z elektrod a U12 je její nap"tí v!%i druhé (což lze formulovat i tak, že kapacita kondenzátoru je definována jako podíl kladného náboje Q a nap"tí U mezi vodi%i, tj. Ck " ( / U ). Standardním typem kondenzátoru je kondenzátor deskový. Je tvo en dv"ma plochými elektrodami o ploše S odd"lenými vrstvou dielektrika o tlouš'ce d. P i malé tlouš'ce vrstvy lze p edpokládat mezi elektrodami homogenní pole o intenzit" E " Q1 / & S ' , a tak pro nap"tí platí U12 " E ) d " Q1 ) d / & S ' . Dosazením do vztahu (9.49) dostaneme

S . (9.50) d Výraz (9.50) ur%uje kapacitu deskového kondenzátoru v závislosti na jeho geometrických rozm"rech a permitivit" dielektrika. Ck " )

9.11 Spojování kondenzátor A/ Sériové (za sebou) P i sériovém zapojení kondenzátor! platí: 1. Náboj je na všech kondenzátorech týž: Q1 " Q2 " ! " QN

C1

C2

CN B

A Obr. 9.11

2. Výsledné nap"tí U na soustav" kondenzátor! se rovná sou%tu nap"tí U i na jednotlivých kondenzátorech N

U " *Ui

(9.51)

i "1

3. Nap"tí se d"lí na jednotlivé kondenzátory v obráceném pom"ru ke kapacitám, tj. Q Ui " (9.52) Ci 4. P evrácená hodnota výsledné kapacity soustavy kondenzátor! spojených sériov" se rovná sou%tu p evrácených hodnot kapacit jednotlivých kondenzátor!. N 1 1 "* C i"1 Ci

(9.53)

B/ Paralelní (vedle sebe) P i paralelním zapojení kondenzátor! platí: 1. Nap"tí na všech kondenzátorech je U1 " U 2 " ! " U N

B

stejné

2. Výsledný náboj Q soustavy kondenzátor! je roven sou%tu náboj! Qi na jednotlivých kondenzátorech

C1

C2

CN A

N

Q " * Qi

(9.54)

Obr. 9.12

i "1

3. Náboje se rozd"lí na jednotlivé kondenzátory v p ímém pom"ru k jejich kapacitám (9.55) Qi " Ci ) U

15



4. Výsledná kapacita soustavy kondenzátor! spojených paraleln" se rovná sou%tu kapacit jednotlivých kondenzátor! N

C " * Ci

(9.56)

i "1

9.12 Potenciální energie soustavy náboj Uvažujme soustavu N bodových nehybných náboj! Q1 až QN rozmíst"ných ve vakuu v bodech r1 až rN . Tyto náboje na sebe p!sobí Coulombovými elektrostatickými silami a mají-li z!stat nehybné, musí být na svých místech n"jakým zp!sobem udržovány. P i vytvá ení dané soustavy náboj! musí vn"jší síly p ekonávat síly Coulombovy a musí tedy konat práci. Práce vn"jších sil (která je rovna záporn" vzaté práci vykonané Coulombovými silami) odpovídá elektrostatické potenciální energii soustavy náboj!. Pro výše uvedenou soustavu N bodových náboj! platí Qi Q j 1 N 1 )* , (9.57) W " * Qi (i " 2 i "1 8 + 0 i , j rij kde s%ítáme p es všechna vzájemn" r!zná i a j, takže se každá dvojice náboj! uvažuje dvakrát, a proto je t eba doplnit navíc %initel 1/2. Platí

rij " r ji " ri - r j

(9.58)

Získaná potenciální energie charakterizuje výsledný stav soustavy bodových náboj! a m!že být kladná, záporná i nulová. Je-li náboj v objemu V rozložen spojit" s hustotou . nahradíme ve vztahu (9.57) náboj výrazem . d V a sumu integrálem, pak

W"

1 d V . )( 2 V/

(9.59)

9.13 Stacionární elektrické pole V elektrostatice jsme se zabývali vlastnostmi a vzájemným p!sobením elektrických náboj!, které jsou v!%i dané soustav" sou adnic v klidu. Nyní budeme popisovat jevy, které vznikají p i makroskopickém pohybu elektrických náboj!. Zkoumanou oblast omezíme na p ípad, kdy p íslušné makroskopické veli%iny nezávisí na #ase. Tyto jevy budeme ozna%ovat jako stacionární. S pohybem elektrických náboj! je spojen vznik elektrického proudu. Elektrický proud definujeme jako uspo$ádaný pohyb elektrických náboj". Za kladný sm!r proudu považujeme sm!r uspo$ádaného pohybu kladných elektrických náboj". Elektrický proud, který vytvá í ustálený pohyb elektrických náboj! se nazývá stacionární. Stacionární proudy jsou vytvo eny pouze pohybem volných elektrických náboj!. Stacionární proudy vytvá í stacionární elektrické pole a jsou provázeny ve svém okolí neprom"nným (stacionárním) magnetickým polem. Protože stacionární magnetické pole nevyvolává jev indukce, neovliv$uje elektrické pole. Proto m!žeme ob" tato pole zkoumat odd"len".

16



Proud"ní (uspo ádaný pohyb) elektrického náboje popisujeme vektorem proudové hustoty j " j &r ' . Absolutní hodnota j " j tohoto vektoru ur%uje množství elektrického náboje, které prote%e za jednotku %asu jednotkovou plochou kolmou na sm"r j . Sm"r vektoru prou" dové hustoty je shodný se sm"rem pohybu nosi%! kladného náboje v daném míst" r . Veli%ina, dI " j ) dS " jN ) dS

(9.60)

ur%uje elektrický proud protékající plošným elementem dS . (Symbol jN ozna%uje vn"jší normálovou složku vektoru proudové hustoty). Elektrický proud plochou S je dán vztahem

I"

/ dS ) j ,

dS

(9.61)

&S '

tedy jako tok vektoru proudové hustoty j danou plochou S, viz. obr. 9.13. Jednotkou elektrického proudu je ampér (A), jehož definici zavedeme p i studiu silových ú%ink! magnetického pole.

S

Mezi proudovou hustotou j a hustotou . a rychlostí v elektrických náboj! v daném míst" r platí vztah

j &r ' " . &r ' ) v &r ' .

j

dS

9.13

(9.62)

Ze vztahu (9.61) a z definice proudové hustoty lze odvodit, že elektrický proud je dán hodnotou náboje, který projde ur%itou plochou S za jednotku %asu, tj. dQ I" . (9.63) dt Poznámka: V p ípad" nestacionárních proud! je vektor proudové hustoty závislý jak na sou adnicích tak i na %ase, tj. j " j &r ,t ' .

9.14 Rovnice kontinuity elektrického proudu Zákon zachování elektrického náboje vyjad uje empirickou zkušenost, že celkový elektrický náboj v uzav ené soustav" z!stává nem"nný. Uvažujme objem V ohrani%ený plochou S, kterou protéká elektrický proud o hustot" j , viz. obr. 9.14. Tok vektoru j ploškou dS je j ) dS a celkový tok vektoru j uzav enou plochou S je dán integráS lem.

V dS

#/ dS ) j .

dS j

S

Podle vztahu (9.61) je tento tok roven celkovému elektrickému proudu I , který z plochy S vytéká, tj. I " #/ dS ) j &S '

17

Obr. 9.14



Tento elektrický proud souvisí s nábojem, který objem V opouští. Protože náboj Q v objemu V uzav eném plochou S p i kladné hodnot" proudu klesá, je tato zm"na vyjád ena znaménkem minus, tj. dQ (9.64) I " #/ dS ) j " dt S Je-li v uvažovaném objemu náboj Q rozložen s hustotou . , lze p edchozí rovnici napsat ve tvaru I ... d (9.65) S #/ dS ) j " - dt / dV . . S V Tato rovnice tzv. rovnice kontinuity je matematickou formulací principu kontinuity elektrického proudu. Proud, který vytéká z uzav ené plochy, je roven úbytku náboje uvnit této plochy za jednotku %asu. V p ípad" stálého proudu, tj. proudu, který je %asov" neprom"nný (stacionární proud) nem!že docházet k hromad"ní volného náboje. Pokud by se s %asem m"nila objemová hustota náboje, nemohlo by se jednat o stacionární jev. Proto v poli stacionárního proudu musí platit, že proud, Obr. 9.15 který do libovolného objemu vtéká, musí op"t ve stejné velikosti z objemu vytékat, viz obr. 9.15. Ve stacionárním proudovém poli je tedy tok vektoru proudové hustoty uzav enou plochou nulový, tj.

#/ dS ) j " 0

(9.66)

S

Rovnice (9.66) se n"kdy nazývá rovnice kontinuity stacionárního proudu. Uvažujme p ípad více vodi%! spojených do jednoho bodu zvaného uzel. Volíme-li plochu S tak, aby uzel ležel uvnit této plochy dostáváme z (9.66) n

/ dS ) j " * I k " 0 S

(9.67)

k "1

Rovnice n

* Ik " 0

(9.68)

k "1

je matematickou formulaci 1. Kirchhoffova zákona: algebraický sou%et proud! v uzlu se rovná nule, tj. sou%et proud!, které do jistého objemu (uzlu) p itékají, se rovná sou%tu proud!, které z uzlu vytékají, viz. obr. 9.15.

9.15 Ohm v zákon Volné elektrony v kovu vykonávají tepelný pohyb, který má chaotický charakter. Ve vn"jším elektrickém poli jsou navíc urychlovány p!sobením síly elektrického pole F " -e E .

18



&

'

Je-li elektrické pole homogenní E " konst. je síla F konstantní. Podle Newtonova zákona síly platí (m = konst.) dv m) " F " -e ) E , dt kde v je rychlost pohybu náboje. Proto e dv " - ) E ) dt m a po integraci obdržíme e v "Et $ v0 (9.69) m P edpokládejme, že po%áte%ní rychlost v0 " 0 . Pohyb elektronu je rovnom"rn" zrychlený až do okamžiku jeho srážky. Mezi dv"ma srážkami se zm"ní rychlost elektronu z hodnoty v0 na hodnotu vmax . Pr!m"rná rychlost elektronu mezi dv"ma srážkami proto bude v0 $ vmax 1 1 e vmax " Et , (9.70) " 2 2 2m Kde t je st ední doba mezi dv"ma srážkami. Ozna%íme-li koncentraci volných elektron! n, potom je hustota náboje . " -e ) n v"

Protože j " .v dostaneme 2 0 1 e 1 01 ne t 1 j " -n ) e 2 Et 3"2 3)E . 4 2 m 5 42 m 5 Ozna%íme

(9.71)

1 n e2 t , (9.72) 2 m kde koeficient 6 se nazývá elektrická vodivost látky (konduktivita). Jednotkou je siemens na metr S m -1 .

6"

&

'

Rovnice j &r ' " 6 ) E &r ' ,

S2

(9.73)

která vyjad uje vztah mezi vektorem proudové hustoty j a vektorem intenzity elektrického pole E v daném míst" r , je matematickým vyjád ením Ohmova zákona v diferenciálním tvaru. Ohm!v zákon m!žeme vyjád it také v integrálním tvaru. Uvažujme %ást homogenního vodi%e omezenou dv"ma ekvipotenciálními plochami S1 a S 2 , vzdálenými $ , mezi nimiž je nap"tí U. Pr! ez vodi%e je S, viz. obr. 9.16. Zvolíme-li integra%ní dráhu podél silok ivky

19

S

E

S1 $

Obr 9.16



je E ) dr " E d r , a tak pro nap"tí U platí U " / d r ) E " / dr E " / dr $

$

$

j

6

" / dr $

I 1 " I ) / dr S6 S6 $

(9.74)

pro I = konst. Integrál ozna%íme 1 R " / dr S6 $

(9.75)

a definujeme jej jako elektrický odpor vodi%e. Vztah mezi nap"tím U a proudem I pak m!žeme vyjád it ve tvaru U " R)I což je matematickým vyjád ením Ohmova zákona v integrálním tvaru. Je-li 6 a S podél vodi%e konstantní, bude odpor R dán vztahem $ $ R" " .) S )6 S kde 1 ."

6

(9.76)

(9.77)

(9.78)

je rezistivita. Jednotkou odporu je ohm &7 ' ,

8 R9 "

8U 9 8I 9

" V ) A -1 " 7 " S -1 .

Jednotkou rezistivity je ohmmetr 7m , 8. 9 " 8R9 8S 9 " 7 m . 8$9

9.16 Elektromotorické nap!tí Rovnice kontinuity pro stacionární (stálý, na %ase nezávislý) proud má tvar

#/ dS ) j " 0 , viz. (9.66). to znamená, že ve stacionárním p ípad" nemá vektor j z ídla. Proto, má-li proud existovat, musí mít j víry (nenulové cirkulace), a tak proudové %áry stacionárního proudu jsou vždy uzav ené k ivky. Nositelé náboje, kte$í stacionární proud realizují se musí pohybovat po uzav$ených drahách! Tento pohyb a tedy ani stacionární proud nem!že být vyvolán elektrostatickým nebo stacionárním elektrickým polem, protože ob" pole jsou potenciální, tj. platí v nich vztah

#/ dr ) E " 0 . P eneseme-li náboj v elektrostatickém (konservativním) poli po uzav ené dráze, bude mít pole svou p!vodní podobu. Energie pole bude stejná, jako p ed uskute%n"ním pohybu náboje po uzav ené dráze. To znamená, že p í%inou ustáleného proudu, který je výslednicí pohybu náboj!, které se na svých drahách srážejí s %ásticemi látky a %áste%n" tak m"ní svou

20



energii v teplo, nem!že být konservativní pole. Protože ze zkušenosti víme, že stacionární proud ve vodi%i m!že existovat, musíme p edpokládat existenci jiných, a to nepotenciálních silových polí, p!sobících na nositele náboje. Nepotenciální pole jsou obecn! neelektrické povahy! Uvažujme úzkou proudovou trubici pr! ezu :S vedenou podél uzav ené proudové %áry, viz. obr. 9.17. Aby existoval stacionární proud musí nepotenciální tzv. vtišt!né síly F * p sobit alespo! na "ásti uzav#ené proudové "áry, kde p#enášejí náboje podél proudové "áry mezi dv$ma ekvipotenciálními plochami A, B, a to proti elektrostatickým silám p#enesených náboj . Jsou tedy schopny držet rovnováhu elektrickému poli t$chto náboj v tzv. aktivní "ásti AiB délky ! i , viz. obr. 9.17. P sobení

e

S

j A

B i +

A

B

E

E

E

E*

Obr. 9.17

vtišt$né síly F * m žeme formáln$ vyjád#it tak, že v aktivní "ásti AiB p#ipo"ítáme k poli náboj E ješt$ p#ídavné necoulombovské pole E * (tj. F * ! Q E * ), jakoby zde platilo

"E % E #.

j !$

*

(9.79)

Veli"ina E * se nazývá vtišt$ná (elektromotorická) intenzita. V ostatní "ásti, ozna"ené AeB délky ! e existuje jen pole E vybuzené p#enesenými náboji. Podstatné je, že náboje na hranicích aktivní "ásti AiB jsou silou F * stále dopl!ovány, takže pole E i proudová hustota j podél "áry jsou trvalé. Proto m žeme síly reprezentované polem E * nazvat elektromotorickými. Rovnici (9.79) platnou pro aktivní "ást AiB p#epíšeme do integrálního tvaru. Nejprve ji skalárn$ vynásobíme vektorem dr , který volíme za prvek linie E , resp. j a upravíme na tvar 1 j dr ! E dr % E * dr . (9.80)

$

Tento výraz integrujeme podél proudové "áry mezi ekvipotenciálními plochami A, B. Dostaneme 1 * (9.81) & dr j ! & dr E % & dr E .

$

li

li

li

Proudovou hustotu na levé stran$ vyjád#íme pomocí proudu I tekoucího proudovou trubicí. Tento proud je podél celé proudové "áry konstantní, takže m žeme psát

& dr li

j

$

! & dr li

j

$

!I

dr

& 'S$

(9.81a)

li

Veli"ina Ri ! & li

dr 'S $

(9.81b)

21



p#edstavuje odpor Ri p#íslušného úseku proudové trubice. Dále zavedeme veli"inu

E ! & dr E * ,

(9.81c)

!i

kterou nazveme elektromotorickým nap$tím (emn). Vztah (9.81) tak m žeme p#epsat do tvaru I Ri ! & dr E % E ,

(9.82)

!i

který vyjad#uje závislost nap$tí mezi ekvipotenciálními plochami A, B na proudu. P#edpokládáme-li, že druhá "ást AeB proudové trubice je tvo#ena homogenním vodi"em modeluje tento p#ípad tzv. elektrický obvod. %ást AiB, kde p sobí vtišt$ná síla, pak chápeme jako zdroj emn a #ezy A, B p#edstavují svorky tohoto zdroje. Rozdíl potenciálu mezi nimi definovaný vztahem U s ! & dr E

(9.83)

le

se ozna"uje jako svorkové nap$tí, které je vždy kladnou veli"inou. Protože platí

& dr

E % & dr E ! 0

le

li

je možné místo (9.82) psát E ( I Ri ! U s .

(9.84)

Svorkové nap$tí je proto vždy menší než elektromotorické nap$tí. Pouze ve speciální p#ípad$ nulového proudu platí mezi nimi rovnost. Rovnice (9.84) vyjad#uje fyzikální situaci, která nastává ve zdroji emn. Vtišt$né síly, p sobící uvnit# zdroje, rozd$lí volné nositele náboje tak, že mezi svorkami p sobí elektrické pole. V p#ípad$, kdy zdrojem nete"e žádný proud, nastane rovnovážný (statický) stav p#i rovnosti emn a svorkového nap$tí. Za tohoto stavu platí podle (9.79) E ! ( E * , takže na nositele proudu uvnit# zdroje již další síly nep sobí. P#i odb$ru proudu jsou ze svorek odvád$ny náboje, "ímž poklesne svorkové nap$tí i intenzita pole uvnit# zdroje. P sobení vtišt$ných sil není pak zcela vykompenzováno a odvád$né náboje mohou být neustále dopl!ovány. Vyjád#íme-li ve vztahu (9.84) svorkové nap$tí ve tvaru dr (9.85) U S ! & dr E ! I & ! IRe , ' S $ l l e

e

dostaneme E ! IRi % I Re .

(9.86)

Vztah (9.86) vyjad#uje souvislost mezi emn a proudem v obvodu. Uzav#enou proudovou trubici podle obr. 9.17 považujeme za uzav#ený elektrický obvod, jestliže pláš& trubice souhlasí s povrchem vodi" . M žeme ji pak zakreslit do schematického tvaru podle obr. 9.18, tzv. jednoduchý (nerozv$tvený) obvod. +

Zna"kou

je reprezentován zdroj emn a jednotlivými zna"kami

odpory jednotlivých úsek vodi" .

22



Re

Protože emn E je tvo#eno jako k#ivkový integrál po "ásti obvodu m žeme jednotlivá emn p#ítomná v témže obvodu s"ítat. Podobn$ m žeme s"ítat jednotlivé odpory. Zobecn$ním rovnice (9.86) pro libovolnou smy"ku obvodu stacionárního proudu, která je tvo#ena zdroji emn a odpory m žeme formulovat II. Kirchhoff v zákon: Algebraický sou"et emn ve smy"ce je roven algebraickému sou"tu úbytk nap$tí na všech odporech ve smy"ce, tj.

) E ! ) IR j

j

R1

+

Obr. 9.18

(9.87)

j

j

kde smy"kou rozumíme "ást sít$ tvo#ící uzav#ený nerozv$tvený obvod, viz. obr. 9.19. Poznámka Elektromotorické nap$tí * je neelektrickou p#í"inou trvalého potenciálového rozdílu, tedy p#í"inou nap$tí, fyzikální veli"ina * není proto identická s pojmem nap$tí!

+

+

Poznámka smy ka

Sí p#edstavuje rozv$tvený obvod, tj. obvod obsahující více smy"ek. U t$chto typ obvod rozeznáváme uzly, v$tve a smy"ky. Uzel je bod sít$, ve kterém se stýkají více než dva prvky obvodu.

+

+

V!tev je sériová kombinace prvk mezi dv$ma uzly. Obr 9.19

Smy"ka, viz. výše.

9.17 Spojování odpor# Pravidla pro skládání odpor v sériovém a paralelním zapojení. a) Sériové spojení N odpor R1 až RN. R1

R2

RN

I U Obr. 9.20

Podle rovnice kontinuity te"e všemi odpory stejný proud I, výsledné nap$tí je dáno sou"tem nap$tí na jednotlivých odporech. U ! U1 % U 2 % " % U N . (9.88) Podle Ohmova zákona U ! I R proto platí I R ! I R1 % I R2 % " % IRN .

(9.89)

Výsledný odpor R sériového spojení odpor R1 až RN je 23



R ! R1 % R2 % " % RN .

(9.90)

Výsledný odpor R je roven sou"tu jednotlivých odpor . b) Paralelní spojení N odpor R1 až RN.

R1 I1

R2

RN

I2

U IN

I Obr 9.21

V p#ípad$ paralelního spojení je výsledný proud podle I. Kirchhoffova zákona roven sou"tu proud jednotlivými odpory. Nap$tí U je na každém díl"ím odporu stejné, protože je dáno rozdílem potenciálu mezi stejnými uzly. Pro výsledný odpor R platí I ! I1 % I 2 % " % I N , (9.91) U U U U ! % %"% , R R1 R2 RN

(9.92)

1 1 1 1 ! % %"% . R R1 R2 RN

(9.93)

P#evrácená hodnota výsledného odporu je rovna sou"tu p#evrácených hodnot jednotlivých odpor .

9.18 Práce a výkon elektrického proudu Z makroskopického pohledu uvádí elektrické pole náboje do uspo#ádaného pohybu ve sm$ru intenzity pole. Kdyby tomuto pohybu nekladlo prodS st#edí odpor, musely by stálým p sobením pole náboje získávat stále v$tší rychlost. To by znamenalo, že proud by rostl nade všechny meze. j Z mikroskopického pohledu však víme, že dochází E ke srážkám nosi" náboje s jinými "ásticemi látky. Tímto mechanismem se energie pole transformuje do energie tepelné. Abychom toto teplo vypo"etli, zvolme ve vod! di"i proudovou trubici o infinitesimálním pr #ezu dS a omezme ji dv$ma rovinami vzdálenými o d! , kolmými k ose trubice, a tedy i k vektoru proudové hustoty j , viz obr. 9.22. Za dobu dt projde pr #eObr. 9.22 zem dS elektrický náboj

24



dQ ! j dS dt ! j dS dt

(9.94)

Intenzita E elektrického pole v tomto míst$ bude p sobit na náboj dQ silou F ! dQ E . Práce vykonaná silou F elektrického pole p#i posunutí náboje dQ o dráhu d! je dA ! F d ! ! Fd ! ! j E dS d ! dt .

(9.95)

Bude-li délka d! taková, že náboj dQ urazí za dobu dt práv$ tuto dráhu, bude práce dA mít velikost pot#ebnou pro udržení stacionárního proudu ve zvoleném úseku proudové trubice. Z rovnice (9.95) m žeme stanovit výkon k tomu pot#ebný, který p#ipadá na jednotku objemu. Platí dP dA p! ! ! j E. (9.96) dV dS d! dt Rovnice (9.96) p#edstavuje Joule"v zákon v diferenciálním tvaru. Máme-li isotropní vodi", pak mezi vektory E a j platí j ! $ E , a tak pro výkon p dostaneme 1 p ! $E 2 ! j 2 (9.97)

$

Rovnice (9.96) a (9.97), udávají výkon, který se v jednotce objemu p#em$ní ve vodi"i v teplo. Výkon proudu vyjád#íme ješt$ pro homogenní a isotropní vodi" o délce ! na jehož koncích udržujeme nap$tí U, takže jím protéká proud I. Na pr chod náboje dQ takovým vodi"em musíme vynaložit práci dA ! U dQ . (9.98) Výkon, který musí dodávat zdroj bude dA dQ P! !U ! UI . dt dt Po dosazení z Ohmova zákona U ! I R dostaneme

(9.99)

U2 ! I2 R. (9.100) R Rovnice (9.99 a 9.100) jsou integrální formulací Jouleova zákona a vyjad#ují výkon, který se p#em$ní p#í pr chodu elektrického proudu vodi"em na teplo. Protéká-li vodi"em stacionární proud po dobu t, má energie p#em$n$ná v teplo velikost E !U I t . (9.101) P!

25


eská zem d lská univerzita v Praze, Technická fakulta

Recommend Documents