Erdősné Németh Ágnes. Batthyány Lajos Gimnázium Nagykanizsa. INFO SAVARIA április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 1

Parkettázás szabályos sokszögekkel

Erdősné Németh Ágnes Batthyány Lajos Gimnázium Nagykanizsa

[email protected]

INFO SAVARIA 2010. április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa

1

LOGO versenyfeladatok II., III., IV. kategória feladatai közt mindig szerepel valamilyen parkettázás

Feladatminták

Ötlet: szabályos sokszögekkel


2

Szabályos parkettázás A sík olyan egyrétegű, hézagmentes lefedése, ahol minden csúcspontban ugyanannyi szabályos sokszög találkozik és a csúcsok egymásba mozgatásakor a parketta invariáns. Azaz minden csúcspont környezete „ugyanúgy néz ki” és bármely csúcsot el tudunk mozgatni egymásba, a látvány nem változik.


3

Szabályos sokszögek – egy típus Tipp: melyikkel lehet? Háromszög, négyzet gyorsan jön lehet-e mással?—méhek☺

Próbálkozás Háromszög Négyzet Ötszög? Hatszög Hétszög? Nyolcszög?


4

Egy típusú szabályos sokszögből Egy csúcs:Számelméletileg vizsgálva a problémát, osztópárok felírása a 360 fokra: 360*1 180*2 120*3 90*4 72*5 60*6 45*8 40*9 36*10 30*12 24*15 20*18

1*360 2*180 3*120 4*90 5*72 6*60 8*45 9*40 10*36 12*30 15*24 18*20

o Szabályos sokszögek belső szögei: (n-2)*180 /n 60o, 90o, 108, 120o, 128,57, 135, 140, 144, 147,2727, 150, ….


5

Több típus is lehet Hány szabályos sokszög találkozhat egy csúcspontban? Belső szög konvex =>minimum 3 szögtartomány Legkisebb belső szög a szabályos háromszögé =>maximum 6

Harmad, negyed, ötöd illetve hatodfokú parkettákról beszélhetünk, attól függően, hány sokszög találkozik egy-egy pontban Hányféle szabályos parkettázás létezik? TIPP


6

Harmadfokú parketták

(a − 2) ∗ 180o (b − 2) ∗ 180o (c − 2) ∗ 180o + + = 360o a b c

1 1 1 1 + + = a b c 2 a,b,c ≥ 3; a,b,c ∈ Ζ a≤b≤c INFO SAVARIA 2010. április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa

7

Harmadfokú parketták

1 1 1 1 + + = a b c 2 a=3 =>

1 1 1 + = b c 6

=>

b=7 => c=42 b=8 => c=24 b=9 => c=18 b=10 => c=15 b=11 => c nem egész b=12 => c=12

a=4 => b=5,6,7,8 => c=20, 12, nem egész, 8 a=5 => b=5,6 => c=5, nem egész a=6 b=6 c=6


8

Harmadfokú parketták {3, {3, {3, {3, {3, {4, {4, {4, {5, {6,

7, 42} 8, 24} 9, 18} 10, 15} 12, 12} 5, 20} 6, 12} 8, 8} 5, 10} 6, 6}


9

Negyedfokú parketták 1 1 1 1 + + + =1 a b c d

a,b,c,d ≥ 3; a, b,c,d ∈ Ζ a≤b≤c≤d

4 megoldást kapunk {3, {3, {3, {4,

3, 6, 4, 4,

4, 12} – nem jó 3, 6} 4,6} 4, 4}


10

Ötödfokú parketták

1 1 1 1 1 3 + + + + = a b c d e 2

a,b,c,d,e ≥ 3; a,b,c,d,e ∈ Ζ a≤b≤c≤d≤e

2 megoldást kapunk {3, 3, 3, 3, 6} {3, 3, 3, 4, 4}


11

Hatodfokú parketták Egyetlen megoldás van

Így mind a 11 lefedést előállítottuk


12

Matematika Geometriai probléma - algebrai eszközök Algebrai megoldás - nem mind felel meg Teljes megoldás További problémákat vet fel Matematikailag: Térbeli megfelelő Algoritmikusan: Geometriai transzformáció, amire invariáns


13

WINGEOM program Geometriai szerkesztések Lefedések Ingyenes, letölthető http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html

Könnyű használni


14

Sokszög rajzolása Imagine-ben Eljárás háromszögrajz ismétlés 3 [előre 100 jobbra 360/3] Vége Először lépkedéssel, majd konkrét értékekkel, majd paraméteresen Eljárás sokszögrajz :oldalhossz :oldalszám :szin ismétlés : oldalszám [előre : oldalhossz jobbra 360/: oldalszám] színezés :szin Vége INFO SAVARIA 2010. április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa

15

Parkettarajzolás Imagine-ben Egy alapelem, mozgás, következő alapelem…. Egy sor megrajzolása (ismétlés) Vissza a sor elejére MOZGÁS, újabb sor megrajzolása És itt jön elő a geometriai transzformáció

☺

Meg kell keresni az invariáns elemet és a mozgást


16

Gyerekek munkái Peti Marci

333333: síklefedés2 5 9 ”sárga ”kék 50 Sík2 9 ”sárga ”kék 50 A2 ”sárga ”kék 50 4444: síklefedés 5 9 ”piros ”kék 50 666: síklefedés3 3 6 "sárga "kék "piros 30 3446: síklefedés8 5 5 "sárga "kék "piros 10 4 6 12: síklefedés10 5 5 10 "sárga "kék "piros

Patti

3 12 12: 4 8 8:

lefedes1 "sárga "kék 3 5 30 lefedes2 30 3 5 "sárga "piros

Márk

Egy eljárás: nincs alapelem, sor. 4 8 8: a4848 "piros "sárga 40 6 4 3 6 3 6: a3636 40 "piros "kék 6 4 Kis trükkös☺ 33336: a436 40 "zöld "kék 3 5


17

Nem szabályos sokszöggel parkettázás


18

PENROSE csempék Nem periodikus csempézés


19

Linkek IMAGINE http://logo.sulinet.hu

Dr. Kosztolányi József: Egy kutatási program általános iskolásoknak, POLYGON 1991, június WINGEOM http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html

A sík parkettázása a Wingeom programmal http://www.sulinet.hu/tart/fcikk/Kcf/0/25849/1

Penrose csempézések http://www.termeszetvilaga.hu/tv9708/penrose1.html http://www.termeszetvilaga.hu/tv9708/penros1a.html

Az aranymetszés síkgeometriája http://www.jgytf.uszeged.hu/tanszek/matematika/speckoll/2001/arany/04_sikgeometria.htm

Reimann: Parketták a geometria szemszögéből http://www.tankonyvtar.hu/konyvek/matematikai-mozaik/matematikaimozaik-081029-28


20

Parkettázás szabályos sokszögekkel

Erdősné Németh Ágnes Batthyány Lajos Gimnázium Nagykanizsa

[email protected]


21

Erdősné Németh Ágnes. Batthyány Lajos Gimnázium Nagykanizsa. INFO SAVARIA április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 1

Recommend Documents