ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKA VERSENY Megyei szakasz, IX. osztály

LICEUL TEORETIC “BOLYAI FARKAS” ELMÉLETI LÍCEUM TÎRGU MUREŞ 540064 MAROSVÁSÁRHELY STR. BOLYAI NR.3 Telefon/Fax/0365-882749, 0365-882748 E-mail:[email protected]

M I N I S TE R U L EDUCAŢIEI NAȚIONALE

ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKA VERSENY Megyei szakasz, Marosvásárhely, 2014. december 13.

IX. osztály 1.feladat

 n  1  x x  2 x  ...  nx a) Ha x  R , és n N , akkor igazoljuk, hogy    0, 2 n   ahol a  az a szám egész részét jelöli. b) Ha a, b, c, d  0 , és abcd  1 , igazoljuk, hogy a 2  b 2  c 2  d 2  ab  ac  ad  bc  bd  cd  10 .

2.feladat Az ABCD konvex négyszög AB , és CD oldalainak felezőpontjai E, F . Igazoljuk, hogy az EC , FB, ED, FA szakaszok felezőpontjai egy paralelogramma csúcspontjaiban vannak. 3.feladat Egy kör AB átmérőjét messük el egy, az AB  vel 45  -os szöget bezáró CD húrral. Legyen C  a C pont AB  re vonatkozó szimmetrikusa, AB  CD  P. a) Igazoljuk, hogy mCPD  mCOD  90 . b) Igazoljuk, hogy 2 CP 2  PD 2  AB 2 .





4.feladat Egy karácsonyfa minden ágán annyi szaloncukor van ahány ága van a fának. Egy alkalommal feldőlt a fa és két ága letört. Visszaállították a fát, de Andris minden megmaradt ágról levett ugyanannyi szaloncukrot majd ezt mondta “Most éppen feleannyi cukor van a fán, mint eredetileg volt”. Testvére erre azt válaszolta:”Andris, te rosszul számoltál”. Kinek volt igaza? Indokold a választ. Megjegyzések: Munkaidő 3 óra. Minden feladat kötelező. Mindegyik feladat helyes megoldása 10 pontot ér, melyből 1 pont jár hivatalból.



Megoldás: 1. Feladat, Hivatalból 1p. a) x  x  x,........................................................................................................................................ (1p)  n  1  x x  2 x  ...  nx  n  1x x  x 2 x  2 x ...nx  nx    2  = 2 n n     nn  1x    n  1x x  2 x  ...  nx   x  2 x  ..  nx  0 ,mivel a 0,1 , a  R …(3p) 2       n n n   2     b) a 2  b 2   c 2  d 2   2ab  cd   2  2 abcd  4 ………………………………………………….(2p) ab  cd  2 abcd  2 ac  bd  2 …………………………………………………………………………………...(2p) ad  bc  2 A fenti relációk megfelelő oldalait összeadjuk..........................................................................................(1p)

2.Feladat, Hivatalból 1p.

     AE  FC AB  DC Legyenek K , L, M , N a felezőpontok. NK  ........................................ .......... (3p)  2 4      EB  DF AB  DC Hasonlóan ML  ,.................................................................................................(3p)  2 4   tehát NK  ML  paralelogramma csúcsaiban vannak. ..........................................................................(2p)

Rajz...................... (1p)

LICEUL TEORETIC “BOLYAI FARKAS” ELMÉLETI LÍCEUM


TÎRGU MUREŞ 540064 MAROSVÁSÁRHELY STR. BOLYAI NR.3 Telefon/Fax/0365-882749, 0365-882748 E-mail:[email protected]

3.Feladat, Hivatalból 1p. a) Felhasználjuk a szögek tulajdonságait és a körbeírható négyszögek tulajdonságait........................ (2p+2p) AB 2 b) CP 2  PD 2  C P 2  PD 2  C D 2  DO 2  C O 2  ...................................................................(4p) 2

Rajz...................... (1p) 4.Feladat, Hivatalból 1p. A karácsonyfának n ága van, tehát n  n  n 2 cukor............................................................................... (1p) Letört 2 ág, maradt n  2 , minden egyes ágon n  2  k cukor, mivel minden ágról k darabot levett, tehát az Andris állítása a következő: 2 n  2n  2  k   n ,..........................................................................................................................(2p) 2 n  ben másodfokú egyenlet, melynek a megoldása természetes szám kell legyen. Elvégezzük a számításokat n2  2nk  4  8  4k  0 ........................................................................... (2p)





  4 k  2  4 , ..............................................................................................................................(2p) 2

ahhoz, hogy négyzetszám legyen elég igazolni, hogy k  2  4  p 2 , p  N  p 2  k  2  4 , tényezőre bontás és az esetek tárgyalása után kapjuk, hogy nincs elfogadható megoldás, tehát Andris testvérének van igaza............................................................................................................................... (2p) 2

X.osztály 1.feladat Legyen a, b  R, a  b és z  C \ R . Igazoljuk, hogy

z 2  az  1  R  z  1. z 2  bz  1

2.feladat a) Legyen E  log a a  1  log a1 a , a  N, a  2 . Mennyivel egyenlő az E szám egész része? 1 1 1   b) Legyen S n  . 2 3 4  15 2n  4n 2  1 Melyik a legnagyobb természetes szám, melyre S n  2 ?

2




3.feladat Az ABCD téglalap középpontja O és m DAˆ C  600 . A DAˆ C szögfelezője a DC egyenest az S pontban metszi. Az OS és AD egyenesek metszéspontja L, a BL és AC egyenesek metszéspontja pedig M. Igazoljuk, hogy az SM és CL egyenesek párhuzamosak egymással.





4.feladat 100 kavicsot 50 kupacba rakunk, mindegyikbe legalább egyet. Bizonyítsuk, hogy ha egyetlen kupacban sincs 50-nél több kavics, akkor a kupacok két csoportba rendezhetők úgy, hogy a két kupacban ugyanannyi kavics van. Megjegyzések: Munkaidő 3 óra. Minden feladat kötelező. Mindegyik feladat helyes megoldása 10 pontot ér, melyből 1 pont jár hivatalból.

MEGOLDÁSOK 1.feladat z 2  az  1 Legyen a, b  R, a  b és z  C \ R . Igazoljuk, hogy 2 R  z 1 z  bz  1

Megoldás, Hivatalból 1p.

 R     ,………………………………………………………………………………………..1p z 2  az  1  z 2  az  1    z 2  az  1 z 2  bz  1  z 2  bz  1 z 2  az  1 ………………………2p  z 2  bz  1  z 2  bz  1 





 





 z  z a  bz  z  1  0 ……………………………………………………………………………2p  z  z z  z  1  0 , mivel a  b ……………………………………………………………………1p z  C \ R  z  z  1  0  z  1……………………………………………………………………...2p 2

 z  1…………………………………………………………………………………………………1p 2.feladat a) Legyen E  log a a  1  log a1 a , a  N, a  2 . Mennyivel egyenlő az E szám egész része? 1 1 1   b) Legyen S n  . 2 2 3 4  15 2n  4n  1 Melyik a legnagyobb természetes szám, melyre S n  2 ? Megoldás, Hivatalból 1p. a) E  log a a  1  log a1 a  log a a  1 

1  2 ….……………………………………………..1p log a a  1

log a a  1  log a a 2  2 ………………………………………………………………………....................1p

log a1 a  log a1 a  1  1 …………………………………………………………………………………..1p



Tehát E  2, 3 …………………………………………………………………………………………….1p Ahonnan kapjuk, hogy E   2 ………………………………………………………………………………………………………1p b) 1 1 1 = Sn    2 2 3 4  15 2n  4n  1 2 2 2 ………………………………………………………….,1p   3 1 5 3 2 n  1  2n  1  2n  1  1   …………………………………………………………………………………,…..1p S n  2   2  

Sn 

2n  1  1  1 …………………………………………………………………………………1p 2 ahonnan n  4 , tehát a legnagyobb természetes szám, amelyre teljesül az egyenlőtlenség n  3 .................1p Sn  2 

3.feladat Az ABCD téglalap középpontja O és m DAˆ C  600 . A DAˆ C szögfelezője a DC egyenest az S pontban metszi. Az OS és AD egyenesek metszéspontja L, a BL és AC egyenesek metszéspontja pedig M. Igazoljuk, hogy az SM és CL egyenesek párhuzamosak egymással.





Megoldás, Hivatalból 1p. SAC háromszög egyenlő szárú…………………………………………………………………………….1p SO oldalfelező és magasság is……………………………………………………………………………...1p Így LAC háromszögben LO magasság és oldalfelező is…………………………………………………..1p LAC háromszög egyenlő szárú és mivel m DAˆ C  600 , kapjuk, hogy LAC háromszög egyenlő oldalú.





LAC egyenlő oldalú háromszögben S az oldalfelezők metszéspontja………………………………………1p így OS 1  , 1 ……………………………………………………… OL 3 ……………………………………1p DLCB paralelogramma, ahol Q az átlók metszéspontja.……….1p BQ és CO a DBC háromszög oldalfelezői, ezért M a háromszög súlypontja,………………………………………………………1p OM 1 így  , 2 ………………………………………………1p OC 3 1, 2 összefüggésből következik, hogy OM  OS , Thalesz OC OL tételének fordított tétele alapján következik, hogy SM || CL …………………………………………………………………………………1p



4.feladat 100 kavicsot 50 kupacba rakunk, mindegyikbe legalább egyet. Bizonyítsd be, hogy ha egyetlen kupacban sincs 50-nél több kavics, akkor a kupacok két csoportba rendezhetők úgy, hogy a két kupacban ugyanannyi kavics van. Megoldás, Hivatalból 1p. Ha minden kupacban 2 kavics van, akkor a feladat állítása nyilvánvaló, hisz 25-25 kupacot egy-egy csoportba gyűjtve mindkét csoportban 50 kavics lesz………………………………………………………..1p Ha a kupacok között vannak különböző elemszámúak, akkor jelölje a1 , a2 , , a50 az egyes kupacokban levő kavicsok számát, és tegyük fel, hogy a1  a2 …………………………………………………………………1p Tekintsük ezután az a1 , a2 , a1  a2 , a1  a2  a3 ,, a1  a2    a50 számokat. Ezen 51 szám között feltétlenül van kettő b1 és b2 ,amelyek ugyanazt a maradékot adják 50-el osztva. Mivel a felsorolt számok különbözők, továbbá mindegyikük 1 és 100 között van, ez csak úgy lehetséges, ha b1  b2  50 . Ez a két szám így nem az a1 és a2 mivel az ai számok között nincs 50-nél nagyobb. A felsorolt 51 szám közül viszont bármely további kettőnek a különbsége különböző ai számok összege. Ha pedig ilyen számok összege 50, akkor a megfelelő kupacokat egybegyűjtve , a kapott csoportra –és így a megmaradt kupacokból összegyűjtött másikra- teljesül a feladat állítása……………………………………..7p

XI. osztály 1.feladat

 a 2 0 1 a  , B   , A, B  M 2 R  mátrixok, a  R \  1,1. Adottak az A   2  0 a   a 1 Igazold a következő azonosságot: n a 4n2  1 4 2 2 n 1 2 n 1 a  3a  1  A  B   2   A  B2n1 , ahol n  N és a 4  3a 2  1  0 . a 1

2.feladat Határozd meg az an n0 sorozat határértékét, tudva, hogy: 1 an   a0 1  a n1  1  a02  1  a n1 , n  N és a0  0,1 . 2








3.feladat Adott egy PQ átmérőjű C1  kör, amelyben megszerkesztünk egy olyan C 2  belső érintő kört, amely érinti a PQ átmérőt is egy C pontban úgy, hogy PC  CQ . Tekintsük az A pontot a C1  körön , illetve a B pontot a PQ átmérőn úgy, hogy AB érinti a C 2  kört és AB  PQ . Igazold, hogy AC a PAB szög szögfelezője. 4.feladat Egy körvonalon 44 fa helyezkedik el. Egy-egy perc elteltével valamelyik két majom átugrik a szomszédos fára, az egyik az óramutató járásával azonos, a másik ellentétes írányba. Lehetséges-e, hogy egy idő múlva mindegyik majom ugyanazon a fán ül? Megjegyzések: Munkaidő 3 óra. Minden feladat kötelező. Mindegyik feladat helyes megoldása 10 pontot ér, melyből 1 pont jár hivatalból.

MEGOLDÁSOK / XI. OSZTÁLY 1. Feladat, Hivatalból 1p. 4 6  a6 0     a 0 a 0  a6 1   , A3   5  A 2   3    a  a 3  a 1   a   a  a 1    a 2  1 1   an 0 Indukcióval igazoljuk, hogy A n   a 2 n  1  , n  N ………………………………….3p 1 a 2  a 1  3 6 1 a6      1 a  a 1 a  6  , A3     B 2   4   0 a 5  a 3  a    0 a a  1  0 a      a2 1 1 a 2n  Indukcióval igazoljuk, hogy B n   a 2 n  1  , n  N ………………………………….2p 0 a 2  a 1    4n2 a 4n2  1   a  1  a 2 4n2 1 a2 1  a  2 n 1 2 n 1 a  1   a   ……………..1p Tehát A B   a 4n2  1  a 2  1  a 1  a 2  4n2 1 4 a 2   a 1  2 4  a 1  a   a  3a 2  1  0  1 0 2 4 2       A B    ( A  B )   a  3 a  1  1  a 2  0 a 4  3a 2  1 0 1  a 







n



Indukcióval igazoljuk, hogy ( A  B) 2n  a 4  3a 2  1 I 2 ,  n  N ………………………1p




Tehát 4n2 n a a 4n2  1 1 2 n 1 4 2 ( A  B )  a  3 a  1 ( A  B) 2 2 a 1 a 1 (1)………………………………………………………………………………………………1p







n

( A  B) 2n1  a 4  3a 2  1 ( A  B) ,  n  N  

a

4



 A

 3a 2  1

n



 a 4  3a 2  1

n

2 n 1

a

 



 B 2 n 1  a 4  3a 2  1

n

a 4n2  1  a 2  1  a    a 2  1  a 1  a 2 

4n2

1 ( A  B),  n  N a 1



………………….1p

(2)

2

Az (1) és (2) 9sszefüggésekből a 4  3a 2  1  A 2 n1  B 2 n1   n

a 4n2  1 2 n 1   A  B  , ahol n  N és 2 a 1

a 4  3a 2  1  0 .

2. Feladat, Hivatalból 1p.   Mivel a0  0,1 , x  0,  , amelyre a0  cos x …………………………….………………2p  2 x x Következésképpen: 1  a02  sin x, 1  a0  2 cos , 1  a0  2 sin . 2 2 x   a1  cos x   . ……………………………………………………………………………...1p 2  Matematikai indukcióval igazolható, hogy x x x   an  cos x   2  ...  n  …………………………………………………………………….3p 2 2 2   x x   lim an  lim cos x   ...  n   cos 2 x  2 cos 2 x  1  2a02  1. ……………………….3p n n 2 2  

3. Feladat, Hivatalból 1p. Ha O és O  a C1 , C2  körök középpontjai, illetve R és r a sugaraik, akkor OO  R  r …(1p). Pitágorász tétele alapján: OC  OO 2  CO 2  R 2  2Rr . ……………………………………..(1p) CP  OP  OC  R  R 2  2Rr , BP  BC  CP  r  R  R 2  2Rr ,………………………. (2p)

BQ  QP  PB  R  r  R 2  2Rr ………………………………………………………………..(1p) PAQ háromszögben a befogó és magasság tételek alapján:

AP  QP  BP , AB  BQ  BP ……………………………………………………………………(2p) Számolások útján igazolható, hogy: AP QP R  R 2  2 Rr CP   ...   , és a szögfelező tételének fordított tétele alapján AC szögfelező. AB BQ r BC ……………………………………………………………………………………………………………(3p)



4. Feladat, Hivatalból 1p. Számozzuk meg a fákat valamilyen körüljárás szerint, render az 1,2,3,…,44 számokkal……………..…(1p). Az i-edik fához hozzárendeljük a az S i  ia i számot, ahol a i az i-edik fán ülő majmok száma……...(2p) Figyeljük az S  S1  S 2  ...  S 44 ősszeg változását. Az S értéke egy-egy alkalommal vagy nem változik, vagy 44-gyel változik az 1. és a 44. fák közötti átugráskor. Kezdetben S  1  2  3  ...  44  22  45. …(3p) Az elérni kívánt állapotban S  44  k ( ha a majmok a k-adik fán vannak), de ez nem érhető el, mert 44 nem osztja a ( 22  45  44n ) alkú számot. Tehát nem lehetséges ez az eset………………………………(3p)

XII. osztály 1. Feladat Határozzuk meg a következő primitív függvényeket: dx a)  1008 , ha x  R  . x 1  x 2014



b)



x( x  1)e x

 x

2



 x 1

2

dx

2. Feladat Adott a G,  csoport, melyben teljesülnek a következő feltételek: (i) ( xy ) 3  x 3 y 3 ,  x, y  G (ii) a 3  b 3  a  b, a, b  G Igazoljuk, hogy G,  Abel féle csoport. 3. Feladat Egy nemzetközi bizottság 5 tagból, 5 állam 1-1 képviselőjéből áll. Azokat az iratokat, melyeken a bizottság dolgozik, páncélszekrényben őrzik. Hány zárja kell, legyen a szekrénynek, és hány kulccsal kell ellátni a bizottság minden egyes tagját, hogy az iratokhoz csak akkor lehessen hozzáférni, ha a bizottságnak legalább három, tetszés szerinti tagja együtt van? 4. Feladat Az ABCD téglalap középpontja O, AB  BC . Az O pontba a BD-re húzott merőleges az AB egyenest E pontban, a BC egyenest pedig F pontban metszi. Jelölje M a CD szakasz felezőpontját, N pedig az AD szakasz felezőpontját. Igazoljuk, hogy FM  EN . Megjegyzések: Munkaidő 3 óra. Minden feladat kötelező. Mindegyik feladat helyes megoldása 10 pontot ér, melyből 1 pont jár hivatalból.




MEGOLDÁSOK / XII. OSZTÁLY

1. Feladat Határozzuk meg a következő primitív függvényeket: dx a)  1008 , ha x  R  . 2014 x 1 x





x( x  1)e

 x

b)

2

x



 x 1

2

dx

Megoldás:......................................................................................................................Hivatal 1p dx x1006 a) I   1008  dx x 1  x 2014   x 20141  x 2014  Legyen y  x1007  dy  1007 x1006dx ........................................................................................1p Ekkor I y  Tehát I 

b) I  

1 1 1  1 1  1  1  2  2 dy     arctg dy  2 2   1007 y 1  y 1007  y 1007  y y  1



1  1 1007    1007  arctg x   C .................................................................................1p 1007  x 

x( x  1)e x

x



 y   C ...........3p 

2



 x 1

2

dx  

( x 2  x )e x

x

2

dx   2



 x 1

x

2



 x  1  2x 1 ex

x

2



 x 1

2

dx  ......................................1p

 ex (2 x  1)e x  ex (2 x  1)e x   2  dx  dx   x 2  x  1  x 2  x  1 2 dx .......................................1p  x  x 1 x2  x 1 2    Az első integrált parciálisan integrálva ex 1  (2 x  1) x x  x 2  x  1 dx  e x 2  x  1   e  x 2  x  1 2 dx …………………………………………..1p









Tehát I  e x





1  (2 x  1) e x (2 x  1) 1 x ……………..1p  e  dx  dx  e x 2 2 2 2   x  x 1 x  x 1 x2  x 1 x2  x 1









2.Feladat Adott a G,  csoport, melyben teljesülnek a következő feltételek: (i) ( xy ) 3  x 3 y 3 ,  x, y  G (ii) a 3  b 3  a  b, a, b  G Igazoljuk, hogy G,  Abel féle csoport. Megoldás: ……………………………………………………………………….…. Hivatal 1p ( xy ) 3  x 3 y 3 ,  x, y  G  xyxyxy  x 3 y 3  yxyx  x 2 y 2 (1) ……………………..1p 3 3 3 3 3 2 2 3 3 ( yx)  y x ,  x, y  G  yxyxyx  y x  x y yx  y x  ……………………………………………………..……1p.  x 2 y 3  y 3 x 2 ,  x, y  G 3 x  G , G,  csoport  x  G


 

 

2

 x3 y 3  y 3 x3

2

 

3


  …………………………………………….3p x y   yx   x y  yx / y ………………….1p

 x2 y3  y3 x2

3

3

3

2 2 2 Felhasználva az (i) összefüggést  2  x 2 yy  yx 2 y  x 2 y 2  yx 2 y Az (1)-es összefüggést felhasználva yx 2 y  yxyx  yxxy  yxyx  xy  yx Tehát a G,  csoport kommutatív…………………………………………………………..3p

3. Feladat, Egy nemzetközi bizottság 5 tagból, 5 állam 1-1 képviselőjéből áll. Azokat az iratokat, melyeken a bizottság dolgozik, páncélszekrényben őrzik. Hány zárja kell, legyen a szekrénynek, és hány kulccsal kell ellátni a bizottság minden egyes tagját, hogy az iratokhoz csak akkor lehessen hozzáférni, ha a bizottságnak legalább három, tetszés szerinti tagja együtt van? Megoldás: Hivatal 1p A bizottság bármelyik két tagja a többi három távollétében nem nyithatja ki a szekrényt, ezért bármelyik tag-párhoz található legalább egy olyan zár, amelyhez egyiküknek sincs kulcsa. Egy másik tag-párhoz nem tartozhat ugyanez a zár, amit ők sem tudnak kinyitni. Ezért legalább annyi zárra van szükség, ahányféleképp a bizottságból két embert kiválaszthatunk, azaz legalább 10 zárra van szükség………………………………………………………………….5p Mindegyik bizottsági tagot annyi kulccsal kell ellátni, ahány különböző tag-pár képezhető a többi négy tagból, vagyis legalább 6 kulccsal, mert bármelyik tagnál kell kulcsnak lennie a többi négyből képezhető 6 párhoz tartozó 6 különböző nyithatatlan zár mindegyikéhez……………4p 4.Feladat Az ABCD téglalap középpontja O, AB  BC . Az O pontba a BD-re húzott merőleges az AB egyenest E pontban, a BC egyenest pedig F pontban metszi. Jelölje M a CD szakasz felezőpontját, N pedig az AD szakasz felezőpontját. Igazoljuk, hogy FM  EN . Megoldás: Hivatal 1p Legyen P a (BC) felezőpontja, {Q}  DC  EF . MP középvonala a BCD háromszögnek, tehát MP BD . Mivel EF  BD  MP  EF …….2p MC  FB . ………………………………………………………………….1p MFP háromszögben FQ és MC magasságok, metszéspontjuk Q, tehát Q az MFP háromszög ortocentruma. ……………………...……………………2p  PQ  MF ……………………………………………1p EOB  DOQ (sz. o. sz)  OQ  OE POQ  NOE (o. sz. o)  QPˆ O  ONˆ E  QP NE …………………………………...2p 



QP NE és PQ  MF  NE  MF .

………………………………………………….1p

ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKA VERSENY Megyei szakasz, IX. osztály

Recommend Documents