Ensambel dan Sistem Interaktif
Ensambel dan Sistem Interaktif Topik--topik yang akan dibahas: Topik ►
► ►
Ensambel Mikrokanonik (tanpa interaksi, bab IV) Ensambel Kanonik (interaksi termal) Ensambel Kanonik Besar (interaksi difusif)
Ensambel Kanonik (interaksi termal termal)) Tinjau 2 sistem A dan A` yang berinteraksi termal, hanya ukurannya yang sangat berlainan, tepatnya salah satu sistem jauh lebih besar dari sistem lainnya. Sistem yang besar dapat dipandang sebagai tandon/reservoar A* A`, E` A, E
Sistem yang apabila berinteraksi dengan sistem yang lain seolah-olah tidak mengalami perubahan apapun setelah proses berlangsung dan mencapai keseimbangan.
Energi total sistem A dan tandon A`
E * = E + E`
Keadaan makro sistem dengan energi E mempunyai banyak sekali keadaan mikro. Interkasi termal menyebabkan aliran panas dari tandon ke dalam sistem (atau sebaliknya) sampai terjadi keadaan seimbang Dalam keadaan seimbang, berapa probabilitas Pr yaitu probabilitas untuk mendapatkan sistem A berada pada suatu keadaan tertentu r yang berenergi Er ?
Dalam keadaan seimbang, berapa probabilitas Pr yaitu probabilitas untuk mendapatkan sistem A berada pada suatu keadaan tertentu r yang berenergi Er ? Tinjau Sistem A* Jumlah total keadaan yang diizinkan pada sistem A* adalah Ω*total Jumlah keadaan yang diizinkan pada sistem A* dimana sistem A berenergi E adalah Ω*(E) Sehingga probabilitas untuk mendapatkan sistem A berada pada suatu keadaan yang berenergi E adalah P(E) =
Ω * (E) 1 = Ω * (E) = C Ω * (E) Ω *Tot Ω *Tot
Ω*(E) dapat dinyatakan dalam bentuk jumlah keadaan yang diizinkan pada sistem A dan sistem A’ Jika sistem A berenergi E dan jumlah keadaannya adalah Ω(E), maka sistem A’ berenergi E’ = E* ˗ E dan jumlah keadaannya adalah Ω’(E* ˗ E), sehingga
Ω * (E) = Ω(E) Ω' (E * − E), sehingga P(E) = C Ω(E) Ω' (E * − E)
Contoh Sistem A dan A’ dapat berinteraksi dan berada dalam sistem yang terisolir A*. Kedua sistem mengalami kesetimbangan dengan energi sistem A* adalah 13 satuan E. Tabel berikut menunjukkan energi yang dimiliki sistem A dan A’ dan jumlah keadaan yang berkaitan: No
ETotal
EA
EA’
Ω (E)
Ω’(E’)
Ω* (E)
1 2 3 4 5
13 13 13 13 13
3 4 5 6 7
10 9 8 7 6
2 5 10 17 25
40 26 16 8 3
80 130 160 136 75
Berapakah probabilitas Pr untuk mendapatkan sistem A berada pada suatu keadaan tertentu r yang berenergi Er = 3 satuan E ?
P(E) = C Ω(E) Ω' (E * − E)
P(E) =
1 80 . 2.40 = 581 581
Hitung juga probabilitas untuk mendapatkan sistem A dengan energi yang lain (Er = 4, 5, 6 dan 7 satuan E ? Keadaan mana yang berpeluang besar mewakili sistem dalam keadaan setimbang tersebut?
Tinjau kembali sistem A dan A’ yang dapat berinteraksi dan berada dalam sistem yang terisolir A* Probabilitas P untuk mendapatkan sistem A berada pada suatu keadaan tertentu yang berenergi E adalah
P(E) = C Ω(E) Ω' (E * − E)
Selanjutnya kita ingin mengetahui kondisi seperti apa saat terjadi keseimbangan antara sistem A dan A’ P(E) = C Ω(E) Ω' (E * − E) ln P(E) = ln C + ln Ω(E) + ln Ω' (E * − E) Saat seimbang, P(E) bernilai maksimum
ln P(E) bernilai maksimum
∂ {ln C + ln Ω(E) + ln Ω' (E * −E)} = 0 ∂E ∂ ln Ω(E) ∂ ln Ω' (E * − E) + =0 ∂E ∂E
β( E ) = β' ( E ' )
∂ ln P(E) = 0 ∂E
∂ ln Ω(E) ∂ ln Ω' (E' ) − =0 ∂E ∂E' ∂ ln Ω(E) ∂ ln Ω' ( E' ) = ∂E ∂E'
∂ ln Ω(E) 1 ∂Ω(E) = ∂E Ω(E ) ∂E ∂ ln Ω' ( E' ) 1 ∂Ω' (E' ) β' (E' ) = = ∂E' Ω' (E' ) ∂E'
β(E) =
β( E ) = β' ( E ' )
Dua kuantitas penting: ln Ω dan β
β satuannya adalah: (energi)˗1
β=
1 1 ∂Ω(E) k : konstanta Boltzmann = T : Temperatur Absolut kT Ω(E) ∂E
Jadi saat setimbang: β ( E ) = β' ( E ' ) ln Ω
S = k lnΩ
S : Entropi k : konstanta Boltzmann
T = T'
Sistem yang Kontak Termal dengan Reservoar Kalor A* A`, E` A, E
A`: Reservoar Kalor A : Sistem yang Kecil
Probabilitas sistem A dalam keadaan tertentu r yang berenergi Er adalah Pr
Pr (E r ) = C Ω(E r ) Ω' (E * − E r ) ∂ ln Ω' ln Ω' ( E * − E r ) = ln Ω' ( E*) − E r = ln Ω' ( E*) − β' E r ∂E ' Ω' ( E * −E r ) = Ω' ( E*)e −β'r
Sehingga
Pr (E r ) = C Ω(E r ) Ω' (E*)e −β'E r = Ke −β'E r Fungsi Distribusi Kanonik
A : konstanta β‘ : karakteristik reservoar =1/kT’
Fungsi Distribusi Kanonik:
Pr (E r ) = Ke
− β' E r
β' → β
Konstanta K dapat ditentukan dari syarat normalisasi: − βE r P ( E ) = Ke =1 ∑ r r ∑ r
r
Sehingga Fungsi Distribusi Kanonik dapat dituliskan:
Pr (E r ) =
e
−
Er kT
∑e r
−
Er kT
1 = ∑ e −βE r K r
Contoh Penggunaan Distribusi Kanonik
1. Paramagnetisme Kita akan menyelidiki sifat magnetik suatu material yang terdiri N0 atom magnetik persatuan volume yang ditempatkan dalam medan magnet luar B dan material tersebut bersuhu T Kasus sederhana : tiap atom magnetiknya berspin ½ dan momen magnetiknya µ0 Tinjau sebuah atom magnetik, berapakah momen magnetik rata-rata dari sebuah atom tersebut? Bext.
Keadaan partikel pada sistem di atas adalah sebagai berikut: 1. Ada partikel yang memiliki momen magnetik yang searah dengan medan magnet luar; 2. Ada partikel yang memiliki momen magnetik yang berlawanan arah dengan medan magnet luar.
Distribusi kanonik:
Pr = Ce P+ = Ce
-βE+
-βEr
dan P- = Ce
-βE-
Energinya: E+ = -(B) (+µo) = -Bµo E - = -(B) (-µo) = Bµo Sehingga:
P+ = Ceβ Bµo dan P- = Ce-β Bµo Karena hanya ada dua keadaan, maka : P - + P+ = 1 Ce-β Bµo + Ceβ Bµo = 1, sehingga
C=
eβBµo
1 + e −βBµo
Pernyataan momen magnetik partikel rata-rata dinyatakan oleh:
µ = ∑ Pr µ r
( + µ o )e βBµ o + ( −µ o )e − βBµ o = e βBµ o + e −βBµ o
eβBµ o − e −βBµ o µ = µ o βBµ o −βBµ o e + e
eθ − e −θ dimana secara umum harga : θ = tanh θ sehingga −θ e +e
Jika digunakan definisi
β=
µ = µ o tanh(µ o β B)
1 kT
maka harga momen magnetik rata-rata tiap satuan volume dari material (Magnetisasi):
M = Nµ
M = Nµ o tanh
µ oB kT
Kasus harga µoB << kT maka nilai
µoB << 1 kT
Deret Mc. Laurin tanh x adalah : x x2 x x2 1 + + + ... − 1 − + − ... 1! 2! 1! 2! tanh x = x x2 x x2 1 + + + ... + 1 − + − ... 1! 2! 1! 2!
x3 1−1+ 2x + 2 3! . tanh x = 2 2x 2+ 2!
Maka untuk harga x << 1, tanh x = 2x/2 = x sehingga
µ B M = Nµ o tanh o kT
Nµ o2 B M = kT
Nµ o2 Hukum Curie χ = kT
χ: suseptibilitas material maka harga momen magnetik rata-rata tiap satuan volume dari material (Magnetisasi): µ B M = Nµ o o kT
µoB >> 1 kT
Kasus harga µoB >> kT maka nilai
Bµ o kT
tanh
−
Bµ o kT
µoB e −e = Bµ o Bµ o − kT e kT + e kT
Bµ o kT
tanh
µoB e = Bµ o ≈ 1 kT e kT
maka harga momen magnetik rata-rata tiap satuan volume dari material (Magnetisasi):
M = Nµ 0 Nilai maksimum (saturasi), tidak bergantung B dan T
2. Energi Total Rata-Rata Gas Ideal Tinjau sebuah gas yang terdiri dari N buah molekul identik, masing-masing bermassa m yang ditampatkan pada sebuah kotak 3-D dengan sisi-sisi Lx , Ly , Lz dan gas bersuhu T Penyederhanaan Sistem (Idealisasi): 1. Energi potensial interaksi sangat kecil dibanding energi kinetik 2. Non degenerasi 3. Molekul gas monoatomik Berapakah energi total rata-rata gas ideal tersebut?
E=
3 NkT 2
Penggunaan Distribusi Kanonik: Tinjau sebuah molekul dalam gas ideal tersebut (sistem kecil) Berapakah probabilitas menemukan molekul tersebut dalam keadaan kuantum r yang energinya εr ? − βε r r r
P (E ) = Ke
Pr (E r ) = Ke
− βε r
Pr (E r ) =
e
−
εr kT
∑e
−
εr kT
r
Pernyataan εr untuk sistem ini?
π 2h 2 εr = 2m
n x 2 n y 2 n z 2 2 + 2 + 2 Ly L z L x
Energi rata-ratanya?
ε = ∑ Pr ε r = r
− βε r ε e ∑ r r
∑e
−
εr kT
r
Perhatikan pembilangnya!
∑ε e r
r
−βε r
(
)
∂ −βε r ∂ ∂Z −βε r e = −∑ =− ∑e = − ∂β r ∂β r ∂β
Z = ∑ e −βε r : Fungsi Partisi r
Sehingga energi rata-ratanya:
1 ∂Z ∂ ln Z ε=− =− Z ∂β ∂β
Fungsi partisi sebuah molekul: ∞
Z = ∑ e −βε r = ∑ r
nx
∞
∑ ny
βπ 2h 2 n 2 n 2y n 2 z x + exp − + = Z x Z y Zz ∑ 2 2 2 nz 2m L x L y L z dengan: ∞
Karena bentuknya mirip, kita hitung salah satu saja, misal Zx: Aproksimasi, nx, ny, nz variabel kontinu: ∞
βπ 2 h 2 n 2x 2 dn x Z x = ∫ exp − 0 2m L x L = b 1x (b : konstanta)
β
2
Hal serupa untuk Zy dan Zz:
Zy = b
Ly
β
1
2
dan Zz = b
βπ 2 h 2 n 2x 2 Z x = ∑ exp − nx 2m L x ∞
βπ 2 h 2 n 2y Z y = ∑ exp − 2 2m L ny y ∞
βπ 2 h 2 n 2z 2 Z z = ∑ exp − nz 2m L z ∞
Sehingga fungsi partisi Z:
Lz
β
1
2
Z = Zx Z y Zz = b
3
Lx L yLz
β
3
2
=b
3
V
β
3
2
Z=b
3
V
β
3
2
Energi rata-rata sebuah molekul:
∂lnZ ∂ 1 ∂Z 3 =− = − lnV − lnβ + 3lnb ε=− ∂β ∂β Z ∂β 2 3 ∂lnβ 3 3 = = = kT 2 ∂β 2β 2 Energi rata-rata gas ideal:
3 E = N ε = NkT 2
3. Tekanan Rata-Rata Gas Ideal gas ideal
y
fr : Gaya dalam arah x yang diberikan oleh sebuah molekul pada dinding kanan kotak, dimana molekul tersebut dalam keadaan kuantum r dan energinya εr
Ly
fr Lx
x
Misalkan dinding kanan berubah secara lambat sebesar dLx Maka, molekul melakukan usaha pada dinding sebesar fr dLx Molekul kehilangan energi sebesar ‒ dεr Sehingga:
f r dL x = −dε r
→ fr = −
∂ε r ∂L x
Gaya rata-rata oleh sebuah molekul pada dinding:
f = ∑ Pr f r r
∑f e = ∑e
−βε r
r
r
−βε r
∂ε r ∑r e − ∂L x = −βε r e ∑ −βε r
r
r
Perhatikan pembilang:
∑e r
−βε r
∂ε r − ∂L x
1 ∂ 1 ∂Z = ∑ e − βε r = β ∂Lx β ∂Lx r
Sehingga
1 ∂Z 1 ∂Z 1 ∂lnZ β ∂L x f= = = Z βZ ∂L x β ∂L x
Z=b
3
Lx L yLz
Diperoleh gaya rata-rata oleh sebuah molekul pada dinding:
1 ∂lnZ 1 kT f= = = β ∂L x βLx Lx
β
3
2
Gaya rata-rata oleh N molekul pada dinding:
NkT F = Nf = Lx
Tekanan rata-rata oleh N molekul pada dinding kanan seluas LyLz :
P=
F Nf NkT NkT = = = A LyLz Lx LyLz V
P V = NkT
Persamaan Keadaan Gas Ideal
Catatan: Perhitungan P pada dinding yang lain, akan menghasilkan persamaan yang sama
