Elméleti Mechanika "A" szintű kurzus az ELTE fizika BSc. másodéves hallgatói számára Györgyi Géza és Tél Tamás Kézirat alapján az anyag nagy részét LATEX-be jegyezték és számos ábrát készítettek: Balogh Ferenc, Bíró Gábor, Fábián Gábor, Kálmán Dávid, Kukucska Gergő, Márkus Bence Gábor. 0.9x. verzió 2016. június 20.
Tartalomjegyzék 1. Előszó
14
2. Bevezetés 15 2.1. Nagyságrendek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. A klasszikus mechanika érvényessége . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3. Newton törvényei
17
4. Galilei-féle relativitás
22
5. Gyorsuló koordinátarendszerek, mozgásegyenletek átszámítása 5.1. Transzlációsan gyorsuló rendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Forgó rendszer azonos origóval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Vektorok transzformációja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2. Időderivált átszámítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3. Gyorsulások átszámítása kétszeres időderiválttal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4. Kitérő I: A forgásmátrix differenciálegyenlete, és ennek megoldása egyenletes forgás 5.2.5. Kitérő II: Gyorsulások átszámítása forgásmátrixszal . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Forgás és transzlációs gyorsulás, tehetetlenségi erők . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Tehetetlenségi erők a Földön . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . esetén . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
24 24 25 25 27 29 29 31 32 33
5.4.1. A Föld forgása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.4.2. Tehetetlenségi erők becslése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.4.3. A Coriolis-erő hatásai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 6. Bevezetés a mechanika variációs elveibe 6.1. A variációszámítás elemei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1. Funkcionálok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2. A variációszámítás alapfeladata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3. Stacionaritás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.4. Diszkretizáció, Euler–Lagrange-egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.5. A stacionárius funkcionál mint a határok függvénye . . . . . . . . . . . . 6.1.6. Stacionaritási feltétel nem rögzített határpontok mellett . . . . . . . . . 6.1.7. A legrövidebb út a síkon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.8. Funkcionális derivált és az Euler–Lagrange-egyenlet – diszkretizáció nélkül 6.1.9. Speciális esetek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.10. Példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.11. Értelmezés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.12. Kiterjesztések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Lagrange-féle mechanika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1. Potenciálos erők hatására mozgó tömegpontok . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2. A Hamilton-elv Descartes-koordinátákkal . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3. Holonóm kényszerek és általános koordináták . . . . . . . . . . . . . . . 3
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
39 39 39 41 42 43 45 46 47 50 53 55 59 60 68 69 72 74
6.2.4. 6.2.5. 6.2.6. 6.2.7. 6.2.8.
Hamilton-elv és mozgásegyenletek általános koordinátákkal . . . . . . A Hamilton-elv mellékfeltételekkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A mozgásegyenlet közvetlen transzformációja általános koordinátákra Megmaradási tételek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Példák a Lagrange-féle mechanikára . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
77 80 82 86 89
7. Egydimenziós konzervatív rendszer 7.1. Mozgásegyenlet és energiamegmaradás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. A mozgásegyenlet formális megoldása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Mozgás fordulópont közelében . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. A mozgásegyenlet megoldása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. Mozgás gödör alján: a harmonikus oszcillátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1. Mozgásegyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.2. A mozgásegyenlet megoldása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6. Fázistér I: pályák globális szemléltetése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.1. Harmonikus oszcillátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.2. Általános potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7. Inverz probléma: a periódusidőből visszakövetkeztetünk a potenciálra . . . . . . 7.8. Anharmonikus oszcillátor periódusideje: perturbációszámítás és dimenzióanalízis . 7.8.1. Perturbált harmonikus potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.2. Periódusidő sorfejtése - vezető korrekció . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.3. Periódusidő általános alakja negyedfokú perturbáció mellett. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
96 96 98 99 102 104 104 105 108 108 110 113 115 115 117 119
4
. . . . .
7.8.4. Dimenzióanalízis: periódusidő tiszta hatvány potenciálban. 7.9. Optimalizált perturbációszámítás . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9.1. Kvadratikus perturbáció: a rugóállandót perturbáljuk . . . 7.9.2. Módosítjuk a perturbálatlan potenciált . . . . . . . . . . 7.9.3. A hiba minimalizálása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10. Fázistér II: stabilitásvesztés, bifurkációk . . . . . . . . . . . . . . 7.10.1. Másod-negyedfokú potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10.2. Vasvilla (pitchfork) bifurkáció . . . . . . . . . . . . . . . 7.10.3. Első-harmadfokú potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10.4. Tangens bifurkáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.11. Síkinga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.11.1. Mozgásegyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.11.2. Kis rezgések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.11.3. Fázistér szerkezete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.11.4. Időfüggés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.11.5. Lengések periódusideje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.12. Harmonikus oszcillátor külső gerjesztéssel . . . . . . . . . . . . . 7.12.1. Harmonikus gerjesztés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.12.2. Általános gerjesztés: megoldás Fourier-transzformációval. 7.12.3. Általános gerjesztés: megoldás Green-függvénnyel . . . . 7.12.4. Rezonáns gerjesztés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123 124 124 125 126 128 129 129 131 133 136 136 137 137 138 140 144 145 146 148 151
7.13. Anharmonikus oszcillátor időfüggő perturbációszámítása . . . . . . 7.13.1. Másod-harmadfokú potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . 7.13.2. Másod-negyedfokú potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.13.3. Általános perturbáló potenciál és a szukcesszív approximáció
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . módszere Green-függvénnyel.
8. Csillapított mozgások 8.1. Súrlódási erő sűrű közegben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Variációs elv disszipatív rendszerekre: a Lagrange–Rayleigh-formalizmus 8.2.1. Disszipációs függvény descartes-i koordinátákkal . . . . . . . . 8.2.2. Disszipációs függvény általános koordinátákkal . . . . . . . . . 8.2.3. Az energia megváltozása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Csillapított harmonikus oszcillátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1. Gyenge csillapítás (2ω0 > α) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2. Erős csillapítás (2ω0 < α) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.3. Anharmonikus határeset (2ω0 = α) . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Gerjesztett, csillapított harmonikus oszcillátor . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1. Harmonikus gerjesztés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2. Általános gerjesztés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . .
153 153 155 158
161 . 161 . 162 . 162 . 163 . 166 . 169 . 170 . 172 . 174 . 175 . 175 . 179
9. Síkmozgások ∼ 2D 182 9.1. Potenciálmozgás csillapítással . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 9.2. Lissajous-görbék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 6
9.3. Anharmonikus potenciálok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 10.Centrális mozgások 10.1. Alapok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Síkbeli mozgás . . . . . . . . . . . . . . . 10.3. Hatvány potenciál . . . . . . . . . . . . . 10.4. Kepler-mozgás . . . . . . . . . . . . . . . 10.5. A pályák alakja . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.1. A pályák polárkoordinátás egyenlete 10.5.2. Derékszögű koordinátás egyenlet . 10.6. A pályák fajtái . . . . . . . . . . . . . . . 10.7. Kepler törvényei . . . . . . . . . . . . . . 10.8. Ellipszispályák időfüggése . . . . . . . . . 10.8.1. Egzaktul . . . . . . . . . . . . . . 10.8.2. Perturbációszámítással ǫ szerint . . 10.8.3. Bolygók excentricitása . . . . . . . 10.8.4. A Runge–Lenz-vektor . . . . . . . 10.9. Szórásszámítás . . . . . . . . . . . . . . . 10.9.1. A V (r) = −αm/r potenciál . . . . . 10.10.Hatáskeresztmetszet . . . . . . . . . . . . 10.11.Rutherford-szórás . . . . . . . . . . . . . 10.12.Fázistér . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
187 . 187 . 188 . 190 . 194 . 195 . 195 . 197 . 199 . 201 . 202 . 202 . 203 . 205 . 205 . 207 . 207 . 209 . 212 . 213
11.Fizikai dimenziók 216 11.1. Mozgásegyenletek dimenziótlanítása, mechanikai hasonlóság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 11.2. Dimenzióanalízis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 12.Pontrendszerek: szimmetriák és megmaradási tételek 12.1. A Lagrange-függvény megváltozása a koordináták transzformációjakor 12.2. Időeltolás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3. Koordinátatranszformációk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.1. Térbeli eltolás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.2. Térbeli forgatás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4. Általános szimmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6. Kéttestprobléma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.Kényszerek 13.1. Virtuális elmozdulások és a D’Alembert-elv . . . 13.1.1. Tömegpont . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.2. Pontrendszer több kényszer hatása alatt 13.2. Egyensúly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3. Kényszerek osztályozása . . . . . . . . . . . . . 13.4. Lagrange-féle elsőfajú egyenletek . . . . . . . . 13.5. Energiatétel kényszerek jelenlétében . . . . . . . 8
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
219 219 220 221 221 222 223 224 225
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
227 . 227 . 227 . 229 . 230 . 231 . 232 . 233
14.Kényszerek általános koordinátákkal 233 14.1. Holonóm kényszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 14.2. Anholonóm kényszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 14.3. Kényszermozgás görbén és felületen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 15.Kis rezgések az egyensúly körül 241 15.1. Sajátrezgések konzervatív, időfüggetlen rendszerben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 16.A Hamilton-függvény és a kanonikus formalizmus 16.1. Legendre-transzformáció egy változóban . . . . . . . . . . . . . 16.2. Legendre-transzformáció több változóban . . . . . . . . . . . . 16.3. Paramétertől való függés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4. Hamilton-formalizmus potenciálmozgásokra . . . . . . . . . . . 16.5. Időbeli változás a pálya mentén . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.6. Ciklikus koordináta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.7. Részleges Legendre-transzformált: a Routh-függvény . . . . . . 16.8. Kvadratikus kinetikus energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.9. Példák hamiltoni rendszerekre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.9.1. 1D potenciálmozgás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.9.2. Mozgás kúpfelületen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.9.3. Csillapított rezgés Lagrange- és Hamilton-formalizmussal 16.9.4. Töltött részecske mozgása elektromágneses térben . . . 9
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
247 247 248 249 249 251 252 252 254 255 255 255 256 257
17.Merev testek 17.1. Szögsebesség invarianciája . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2. Tehetetlenségi nyomaték tenzor . . . . . . . . . . . . . . 17.3. Impulzusmomentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4. Mozgásegyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4.1. Teljes impulzus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4.2. Teljes impulzusmomentum . . . . . . . . . . . . . 17.4.3. Energiamegmaradás . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5. Lagrange-formalizmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.6. Erőmentes pörgettyűk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.6.1. Gömbi pörgettyű . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.6.2. Rotátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.6.3. Szimmetrikus pörgettyű . . . . . . . . . . . . . . 17.7. Euler-egyenletek: mozgásegyenletek főtengelyrendszerben 17.8. Súlyos pörgettyű . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.8.1. Euler-szögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.9. A szimmetrikus súlyos pörgettyű mozgásegyenletei . . . . 17.10.Aszimmetrikus erőmentes pörgettyű . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
260 260 261 264 265 265 265 266 266 268 268 269 269 270 273 273 276 281
18.Egydimenziós rugalmas kontinuum 283 18.1. Előfeszített rugókkal kapcsolt testek - 2D diszkrét modell és a húr mint határeset . . . . . . . . . . 283 18.2. Hamilton-elv a kontinuum mechanikában . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 10
18.3. A kontinuum Hamilton-elv kiterjesztései . . . . . . . . 18.3.1. Magasabb dimenziók . . . . . . . . . . . . . . 18.3.2. Magasabb deriváltak . . . . . . . . . . . . . . 18.4. A húr kis rezgései – harmonikus közelítés . . . . . . . 18.5. Hullámegyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5.1. Haladó megoldás . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5.2. Szabad vég . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5.3. Rögzített vég . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5.4. Megoldás Fourier-sorral rögzített végek mellett 19.Vékony rudak hajlítása 19.1. A Lagrange-féle sűrűségfüggvény és a mozgásegyenlet 19.2. Két végén feltámasztott előfeszítésmentes (F = 0) rúd 19.3. Befogott rúd szabad végét húzzuk merőlegesen . . . . 19.4. Hosszirányban összenyomott rúd . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . hajlása . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
287 288 288 289 290 291 292 292 293
. . . .
297 . 297 . 299 . 301 . 302
20.Kétdimenziós kontinuum: membránok 303 20.1. Feszített membránok transzverzális rezgései . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 21.Háromdimenziós rugalmas kontinuum, a deformáció és a feszültség tenzora 305 21.1. A deformációtenzor definíciója . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 21.2. A deformációtenzor értelmezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 11
21.3. Rugalmas energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 21.4. Feszültségtenzor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 21.5. Izotróp test mozgásegyenlete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 22.Hullámok rugalmas testekben 22.1. Longitudinális hullám . . . 22.2. Torziós hullám . . . . . . . 22.3. Térbeli hullámegyenlet . . . 22.4. Belső csillapodás . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
319 319 320 320 321
23.Áramló közegek – alapfogalmak és mozgásegyenletek 23.1. Kontinuitás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2. Állapotegyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.3. Hidrodinamikai derivált . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.4. Feszültségtenzor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.5. Navier–Stokes-egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.6. Összefoglalva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
324 324 325 325 326 327 327
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
24.Ideális ill. összenyomhatatlan folyadék 329 24.1. Ideális: nem súrlódó, adiabatikus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 24.2. Összenyomhatatlan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 24.3. Ideális, összenyomhatatlan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 12
25.Bernoulli-egyenlet ideális folyadékban 25.1. Stacionáris áramlás (v t = 0) konzervatív erőtérben: . 25.2. Összenyomhatatlan folyadék . . . . . . . . . . . . . . 25.3. Nyomási függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.4. Bernoulli-törvény barotróp folyadékban . . . . . . . . 25.5. Mikor tekinthető összenyomhatatlannak egy áramlás?
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
330 330 331 332 333 334
26.Örvényesség, cirkuláció 335 26.1. Örvényvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 26.2. Örvényvonal, ∼cső és ∼fonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 26.3. Thomson (Kelvin) örvénytétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 27.Síkbeli áramlások - örvénymentes, összenyomhatatlan, 27.1. z-től független ∼ síkmetszet . . . . . . . . . . . . . . . 27.2. Komplex függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.3. Komplex sebesség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.4. Példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.5. Cirkuláció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
stacionárius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
338 338 339 339 340 342
1. Előszó Az Elméleti Fizika kurzus sorozat első tantárgya az Elméleti Mechanika, az ELTE fizikus képzés része több, mint fél évszázada. Míg számos kiváló mechanika tankönyv létezik, az ELTE-n előadott Elméleti Mechanika anyagából eddig nem készült közreadható jegyzet. E hiányt igyekszünk most pótolni. Lelkes és felkészült hallgatók az anyag nagy részét LATEX-be írták, melynek alapján készült a jelenlegi változat. A 2012. őszi félév diáit tartalmazza, nem olyan részletes, mint egy könyvszerű jegyzet, de törekedtünk arra, hogy önállóan használható legyen. A vizsgaanyag a tartalomjegyzék, ebből arányos terjedelmet választunk egy-egy vizsgázónak. A jegyzetet fejlesztjük, véleményeket, jelzéseket hibákról szívesen vesszük. A gyakorló feladatok nehézségi fokait [1-7] között számoztuk. Forrásaink és ajánlott irodalom: Nagy Károly: Budó Ágoston: Landau-Lifsic: Landau-Lifsic: Landau-Lifsic: R. Feynman: Tél-Gruiz: Kecskés Lajos:
Elméleti Mechanika, Tankönyvkiadó 1985, 2002 Mechanika, Tankönyvkiadó 1965 Elméleti Fizika I., Mechanika, Tankönyvkiadó 1974 Elméleti Fizika VI., Hidrodinamika, Tankönyvkiadó 1980 Elméleti Fizika VII., Rugalmasságtan, Tankönyvkiadó 1974 Mai Fizika 1., 2., 7. kötet, Műszaki Kiadó 1968 Kaotikus Dinamika, 3. fejezet, Nemzeti Tankönyvkiadó 2002 Egy Ölnyi Végtelen, Nemzeti Tankönyvkiadó 2002 Wikipédia 14
2. Bevezetés 2.1. Nagyságrendek Röviden áttekintjük a távolság és idő nagyságrendjeit. → Távolságok (m) ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
Atommag sugara ∼ 10−15 (femto) Kvark ∼ 10−18 (atto) Fényév (kb. a Naprendszer gravitációs sugara) ∼ 1016 (10 peta) Tejút átmérője ∼ 1021 (zetta) Az Univerzum megfigyelhető átmérője ∼ 1027 (100 G fényév)
Ismeretterjesztő könyv: Ph. Morrison: "Powers of Ten". Fordítás: "A tizes hatalma" :? → Idők (s) ⋆ Elemi részecske élettartama ∼ 10−24 (jokto) ⋆ Univerzum életkora ∼ 1017 (100 peta) (14 Gév)
→ Sebességek (m/s) c = 3 × 108 > v
15
2.2. A klasszikus mechanika érvényessége → Közepes távolságok 10−6 m < ℓ < 1016 m ↑ ↑ Kvantummechanika Általános relativitáselmélet → Közepes idők 10−6 s < t < 1013 s → Lassú (nemrelativisztikus) mozgás v < 105 m/s nem létezik [∆t > 10−8 s] → Folytonos mozgás ideája: ∆t → 0. A limesz absztrakció, a valóságban lim ∆ℓ ∆t → Fizikai mennyiség: Amelyet mérési utasítással definiálhatunk. → A mechanika alapmennyiségei: távolság, idő, tömeg. → Tapasztalatok összegzése: ⋆ A tér euklideszi, 3 dimenziós, homogén, izotróp. ⋆ Az idő 1 dimenziós, homogén, és független a tértől.
16
3. Newton törvényei Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A természetfilozófia [fizika] matematikai alapelvei) Nem az eredeti alakjukat adjuk meg.
1. ábra: Az első kiadás címlapja (1687) Definíció: Inercia (tehetetlenségi) rendszer az, amelyben minden magára hagyott test megőrzi sebességét. I. törvény: Létezik inerciarendszer. 17
A következő törvény inerciarendszerben érvényes. (A II. törvény inerciarendszerhez kötött, a III-IV. minden rendszerben fennáll.) II. törvény: gimnáziumban tanultuk F = ma = m
d2 r qq = mr 2 dt
(3.1)
Csak akkor törvény, ha a benne szereplő mennyiségek definiáltak. Az r(t) trajektóriát kimérhetjük, ezért „értjük”, azonban mit jelent F , m? Newton: "A sebesség, amelyet egy adott erő létre tud hozni adott anyagon, egyenesen arányos az erővel és az idővel, és fordítottan arányos az anyaggal." F ∆t ∆v ∼ (3.2) m Hogyan definiáljuk F -et és m-et? Próbatest: az egységnyi tömegű etalon (m = 1) legyen 1ℓ víz. Definíció: Az erő a próbatest gyorsulása F = ap Ennek alapján erőtörvények állapíthatók meg, pl. F (r, v, t), egyszerű esetben F (r), ez a sztatikus erőtér, ld. 2. ábra. Az erőmérést alakváltozásra is visszavezethetjük, ennek révén dinamométer kalibrálható, s más, akár nem sztatikus erőt is mérhetünk. 18
2. ábra: Sztatikus erőtér: adott helyen adott az erő.
m
m 2
1 m’
m’ m’’
m’’
3. ábra: Különböző tömegű testek gyorsulásai adott sztatikus erőtérben az 1 és 2 helyen (a jobb láthatóság kedvéért az azonos helyhez tartozó vektorokat elcsúsztatva ábrázoltuk).
19
Különböző testek: Bizonyosodjunk meg dinamométerrel arról, hogy a testekre azonos erők hatnak (pl. azonosan deformált rugók, azonosan feltöltött testek elektrosztatikus térben). A megfigyelések szerint azonos erővel hatva különböző testekre ezek azonos irányú de különböző nagyságú gyorsulást szenvednek, ld. 3. ábra. 1,2,... helyen Az ′ ′ F 1 F 2 |F 2 | |F 1 | ugyanazon anyagra (tömegpontra) |a1 | = |a2 | = · · · = m, egy másik anyagi pontra: a′ = a′ = · · · = m′ , | 1| | 2| etc. a testekre jellemző állandó. A II. törvény a tapasztalatot összegzi. Definíció: A tehetetlen tömeg= |erő|/|gyorsulás|. Az F és m ismeretében a gyorsulást megadó törvény, azaz mozgásegyenlet: F = ma. Ha az F (r, v, t) függvény ismert, akkor másodrendű differenciálegyenletet kapunk pontszerű testek r(t)-jére. Kezdeti feltételek (KF) r(0), v(0): általában szükséges, és elégséges a mozgás egyértelmű meghatározásához. Arisztotelésztől Keplerig: F ∼ v. Nem egyezett a tapasztalattal, ezért próbálkozások: F ∼ f (v). Ezzel elvi probléma: r(0) elég lenne a mozgás meghatározásához, ezért a ferde hajítás sokféle pályáját sem kapnánk meg. Newton deizmusa: Isten teremt és kezdeti feltételeket ad. Erre miért nem hivatkoznak a kreacionisták? Pedig tudós vallotta, ezért jó példa lehetne a hívő álláspontra, azaz a teremtésre melyet a fizika törvényeinek megfelelő mozgás követ. Azért nem idézik, mert a csillagok és naprendszerek keletkezésének elfogadott elmélete van, még ha a részleteken folyik is vita. N.B. Elvileg semmi sem zárja ki, hogy magasabb rendű differenciálegyenlet írja le a mozgást, a másodrendűt a tapasztalat választja ki. III. törvény Hatás-ellenhatás elve 20
A
B 4. ábra: F AB = −F BA
Megfigyelés: Két kölcsönható test gyorsulásai ellentétes irányúak és nagyságuk fordítottan arányos a tömegeikkel. Erővel testek hatnak más testekre. A II. törvényben F egy kiszemelt testre ható erő, amely testnek a gyorsulását okozza. A III. törvény szerint ha két test hatott kölcsön, akkor megjelenik a másik testre ható −F erő. IV. törvény: Ugyanazon testre ható erők vektoriálisan összeadódnak. Kettőnél több test páronkénti kölcsönhatásakor az egy testre ható erőket vektoriálisan összeadva kapjuk az erre ható teljes F erőt, mely a gyorsulását okozza. Ennek nem egy ellenereje van, hanem a III. törvény páronként érvényes, azaz a teljes F -et összetevő erők ellenerői mintegy „szét vannak osztva” a többi test között. Kiegészítésképpen idézzük fel, hogyan értjük a fizikai vektor fogalmát: annak komponensei valamely forgatáskor adott módon transzformálódnak. Két dimenzióban ϕ szöggel való forgatáskor x′ = x cos ϕ + y sin ϕ, y ′ = −x sin ϕ + y cos ϕ.
21
(3.3)
y’
y
r
K’ x’
ϕ
x K
5. ábra: Koordinátarendszer forgatása két dimenzióban, x, y a K, x′ , y ′ a K ′ -ben mért koordináták. A visszatranszformáció x = x′ cos ϕ − y ′ sin ϕ, y = x′ sin ϕ + y ′ cos ϕ.
(3.4)
4. Galilei-féle relativitás A K inerciarendszer, a K ′ hozzá képest egyenletes v 0 sebességgel mozog: r 0 (t) = v 0 t 22
(4.1)
K' K
6. ábra: A mozgást különböző koordinátarendszerekből írhatjuk le. Itt K ′ egyenletes relatív sebességgel mozog K-hoz képest, nem fordul el. Mivel a gyorsulás a második derivált, ezért a második Newton-törvény alakja a két rendszerben azonos, tehát K ′ is inerciarendszer. Megjegyzés: F nem függ a vonatkoztatási rendszertől, pl. alakváltozás méri.
23
Galilei-transzformáció r ′ = r − v 0 t, t′ = t, d q d2 r ′ qq a′ = 2 = (r − v 0 ) = r = a. dt dt
(4.2)
F = ma = ma′ = F ′ .
(4.3)
Mivel m a testre jellemző: Tehát ha K inerciarendszer, akkor K ′ is az.
5. Gyorsuló koordinátarendszerek, mozgásegyenletek átszámítása Ugyanazon „fizikai hely” K-ban r, K ′ -ben r ′ . 5.1. Transzlációsan gyorsuló rendszer A K ′ gyorsul, de nem forog K-hoz képest r = r 0 + r ′ → a = a0 + a′ .
24
(5.1)
5.2. Forgó rendszer azonos origóval 5.2.1. Vektorok transzformációja A K és K ′ egymáshoz képest el van forgatva míg origóik egybeesnek, s ugyanazon „hely” mért komponenseiből áll az r ill. az r ′ . Ezeket lineáris transzformáció köti össze r = Or ′ ,
(5.2)
ahol O valamely 3×3-as mátrix. Más szóval, az r és az r ′ ugyanazon "fizikai" vektor K ill. K ′ -beli reprezentációja, ld. 5. ábra. Megjegyzés: Ugyanezen O „forgatja” a K ′ -t. A jelölés most kissé elbonyolódik, figyeljünk arra, hogy a vessző csupaszon vagy zárójelben áll. Vezessük be az r mellett az r [′] vektort, e komponenseket a K-ban értjük. Rögzítsük r-et K-hoz és r[′] -t a K ′ -höz úgy, hogy az r [′] a K ′ -ben ugyanannak látszódjon, mint r a K-ban. Az r[′] -nak a K ′ -beli komponensei a konvenciónk szerint r [′]′ , a feltételünk tehát r = r[′]′ , A (5.2) jelöléssel az r [′] vektor K és K ′ -beli komponenseinek transzformációja
Innen kapjuk
r [′] = Or [′]′.
(5.3)
r [′] = Or.
(5.4)
25
y K’ x’ y’
ω K
x
z’
z
7. ábra: K ′ forog K-hoz képest az ω pillanatnyi szögsebesség vektor körül. Ez (5.2) „megfordítottja”, azaz a K ′ -ben rögzített vektort ugyanazon O-val való forgatás állítja elő, amely adott vektor K ′ -beli komponenseit K-belivé transzformálja. (Megjegyzés vége.) Feltétel a (5.2)-ban bevezetett O-ra: a koordinátarendszer elforgatása a hosszt és szögeket, azaz a skalárszorzatot invariánsan hagyja r 1 · r 2 = Or ′1 · Or ′2 = r ′1 · OT Or ′2 = r ′1 · r ′2 ⇒ OT = O−1 ∼ ortogonális mátrix. 26
(5.5)
5.2.2. Időderivált átszámítása Ha a forgatás időfüggő, akkor a sebesség K-beli komponensekkel írva (zárójeles kifejezés időderiváltját a jobb zárójel mellé-fölé tett pont jelöli) q
q
q
v = r = (Or ′ ) = Or ′ + Or ′ = v (′) + OOT r. q
(5.6)
q
Az időderivált és az időfüggő forgatás természetesen nem felcserélhető. Az (5.6) egyenletben új jelölést vezettünk be: q v (′) = Or ′ . (5.7) q
Ez (5.2) szerint a K ′ -ben végzett időderivált, azaz az r ′ sebesség a K-beli komponensekkel felírva. Szokásos q jelölésünkkel a v (′) K ′ -beli komponenseket tartalmazó alakja r ′ = v (′)′ . (Tankönyvekben előfordul (5.7)-ra a v ′ jelölés, de az utóbbi nálunk a v vektor K ′ -beli komponenseit jelenti.) Vizsgáljuk az (5.6) második tagját. Az ortogonalitás feltétele OOT = 1,
(5.8)
ahol 1 az egységmátrix, amelyből az idő szerinti deriválással kapjuk OOT
q
q
q
q
q
= 0 ; OOT + OOT = OOT + OOT 27
T
= 0.
(5.9)
Felhasználtuk, hogy mátrixokra is alkalmazható a deriválás szorzatszabálya, valamint a deriválás és a transzponálás felcserélhető. Vezessük be az q
mátrixot, melyre (5.9) alapján nyerjük azaz az Ω mátrix antiszimmetrikus, részletesen
Ω = OOT
(5.10)
Ω = −ΩT ,
(5.11)
0 −ω3 ω2 0 −ω1 . Ω = ω3 −ω2 ω1 0
Visszatérve (5.6)-höz kapjuk
(′)
v = v (′) + Ωr = v (′) + ω × r
(v1 = v1 + ω2 r3 − ω3 r2 , etc.)
A fenti egyenlet általános A vektorra is érvényes q
q
A = OA′ + ω × A,
ugyanez magától értetődő jelöléssel
(′)
V A = V A + ω × A.
A = ω × A. Mindkét oldalon K-ban mértük a koordinátákat. Ha A együtt forog K ′ -vel, akkor nyilván ddt (′)
Tankönyvekben elterjedt jelölés a V A -re a
d′ A, dt
nem igazán bevilágító. 28
(5.12)
(5.13) (5.14) (5.15)
5.2.3. Gyorsulások átszámítása kétszeres időderiválttal Először vizsgáljuk a szöggyorsulás vektorát q
q
β = ω = Oω ′ + ω × ω = Oω ′ = β (′) , q
(5.16)
tehát a K-beli és a K ′ -beli szöggyorsulás ugyanazon „fizikai” vektor. A különböző koordinátarendszerekhez viszonyított gyorsulások összefüggéséhez az időderivált (5.15) transzformációját kétszer alkalmazzuk v = v (′) + ω × r,
a = v = a(′) + ω × v (′) + ω × r + ω × (v (′) + ω × r) q
q
(5.17)
= a(′) + 2ω × v (′) + β × r + ω × (ω × r),
ahol felhasználtuk a szöggyorsulás (5.16) invarianciáját, és a(′) -vel a forgó koordinátarendszerben észlelt gyorsulás K-beli előállítását jelöltük. Az a(′) mellett az (5.17) jobboldalán tehetetlenségi gyorsulás tagok jelennek meg. 5.2.4. Kitérő I: A forgásmátrix differenciálegyenlete, és ennek megoldása egyenletes forgás esetén Az alábbiakban megvizsgáljuk a forgásmátrixot állandó szögsebesség mellett. Az (5.10) definíció szerint a forgásmátrix a következő differenciálegyenletnek tesz eleget q
O = ΩO. 29
(5.18)
Ha Ω időben állandó, akkor az egyenlet megoldása ∞ X 1 n n O(t) = e O0 = t Ω O0 , n! n=0 Ωt
(5.19)
erről behelyettesítéssel meggyőződhetünk. Itt O0 a KF, ha t = 0-ban a két koordinátarendszer egybeesik, akkor O0 = 1. Vegyük észre, hogy a KF mátrixszal jobbról kell szorozni! Kétdimenziós eset: Ellenőrizzük, hogy az ismert O-t valóban megkapjuk-e exponenciális alakban. Ekkor 0 −1 0 −ω . (5.20) = ωI , ahol I = Ω= 1 0 ω 0 Az I hatványai:
I2 = −1
ahol 1 továbbra is az egységmátrix. Innen Ωt
e
;
I2k = (−1)k 1, I2k+1 = (−1)k I,
∞ ∞ ∞ X X X (−1)k 1 n n n (−1)k (ωt)2k+1 2k = t ω I =1 (ωt) + I = n! 2k! (2k + 1)! n=0 k=0 k=0 cos ωt − sin ωt = O. = 1 cos ωt + I sin ωt = sin ωt cos ωt
Ez valóban az ismert forgásmátrix, melyet az O0 = 1 KF mellett állítottunk elő. 30
(5.21)
(5.22)
5.1. Gyakorló feladat. Adjuk meg O-t három dimenzióban a z tengely körüli forgásra ω = 0, 0, ω ! [1] 5.2.5. Kitérő II: Gyorsulások átszámítása forgásmátrixszal
Az illusztráció kedvéért bemutatunk a forgásmátrixon közvetlenül végzett számítást, amely szintén a gyorsulás (5.17) transzformációjához vezet. A K rendszerbeli gyorsulás qq
a=r=
q qq qq q q q d d2 ′ ′ ′ ′ ′ ′ + Or , Or = (O r + Or ) = O r + 2 O r |{z} | {z } dt2 dt q|{z} q a(′) 2Ωv (′) OOT r
(5.23)
ahol a K ′ -beli gyorsulás K-beli reprezentációját a(′) -vel jelöltük. Az (5.10) definíciót differenciálva nyerjük q
qq
q q
Ω = OOT + OOT ,
(5.24)
melyből az egységmátrix 1 = OT O alakjának beillesztésével és az Ω (5.10) definíciójának majd antiszimmetriájának felhasználásával adódik qq
q
q q
q
q
q
q
q
OOT = Ω − OOT = Ω − OOT OOT = Ω − ΩΩT = Ω + Ω2 .
(5.25)
Ezt az (5.23)-ba helyettesítve a gyorsulás átszámításának képletéhez jutunk q
a = a(′) + 2Ωv (′) + Ωr + Ω2 r, 31
(5.26)
melyet az
q
Ωv (′) = ω × v (′) , Ωr = β × r, Ω2 r = ω × (ω × r)
(5.27)
a = a(′) + 2ω × v (′) + β × r + ω × (ω × r).
(5.28)
azonosságok alapján vektor alakban írhatunk
Ez a korábban kapott (5.17) eredménnyel azonos. 5.3. Forgás és transzlációs gyorsulás, tehetetlenségi erők Ha a K ′ transzlációsan is gyorsul a0 -lal K-hoz képest, akkor (5.28) kiegészül a = a(′) + a0 + 2ω × v (′) + β × r + ω × (ω × r). Elnevezések:
A centrifugális tagot kifejthetjük
a0 β×r 2ω × v (′) ω × (ω × r)
: : : :
transzlációs EulerCorioliscentrifugális
gyorsulás
(5.30)
Ω2 r = ω × (ω × r) = ω(ω · r) − |ω|2 r = (ω ◦ ω − ω 21)r, 32
(5.29)
(5.31)
ahol ◦ a diadikus szorzat jelölése. A jobboldal −ω 2 (r-nek az ω-ra merőleges vetülete), nagysága ω 2ρ, ahol ρ a forgástengelytől mért távolság, a gimnáziumból ismert képlet. Az (5.29) alapján megadhatjuk a II. Newton-törvényt gyorsuló koordinátarendszerre. Felhasználva, hogy F = ma, a K ′ -ben észlelt (tömeg × gyorsulás)-ra kapjuk ma(′) = F − ma0 − 2m(ω × v (′) ) − m(β × r) − mω × (ω × r).
(5.32)
Eszerint az F -hez a tehetetlenségi erők adódnak. Emlékeztetünk arra, hogy minden tag komponenseit K-ban értettük. A II. Newton-törvény tehát gyorsuló koordinátarendszerben úgy egészítendő ki, hogy a valóságos erőkhöz a fenti tehetetlenségi erőket hozzáadjuk. Megjegyzés: Az F erő "fizikai" vektor, átszámítása K és K ′ között a komponensek ortogonális transzformációjával történik. 5.4. Tehetetlenségi erők a Földön 5.4.1. A Föld forgása A földi tehetetlenségi erők becsléséhez a szögsebesség és szöggyorsulás numerikus értékeire van szükségünk. A Föld szögsebessége ωF =
2π 2π = = 7, 27 · 10−5 s−1 . 24ó 86400s 33
(5.33)
8. ábra: É↔D irányban mozgó tömegpont: milyen irányú a Coriolis gyorsulás? Elsősorban az árapály jelenség hatására a Föld forgása lassul, a szöggyorsulás átlagos értéke βF = −4, 8 · 10−22 s−2
;
ωF (t) ≈ ωF (0) + βF t.
(5.34)
Százmillió évenként kb. 40 perccel hosszabbodik a nap, a hosszabbodás mértéke most 15 − 25µs/év. Jelentősek az ingadozások, például az eljegesedéskori jégsapkák leolvadását követően a kéreg emelkedett. Ezért az elmúlt tízezer évben a Föld lapultsága csökkent, ez a forgást gyorsító hatás. 5.4.2. Tehetetlenségi erők becslése A keringés hatása a forgáshoz képest elhanyagolható. Az egyenlítőn a legnagyobb a centrifugális gyorsulás. Nehézségi gyorsulás: ∼ 10m/s2 . 34
Centrifugális: ωF2 RF sin ϑ ∼ 0, 034 sin ϑ m/s2 , ahol ϑ-t a 8. ábra mutatja és RF = 6371km a Föld átlagos sugara. A Coriolis-gyorsulás É↔D irányú mozgás esetén (v = 10m/s-t véve): 2vωF cos ϑ ∼ 14, 5 · 10−4 cos ϑ m/s2 . Euler-gyorsulás: βF RF sin ϑ ∼ 10−15 sin ϑ m/s2 . A Coriolis-gyorsulás okozta relatív hiba a gravitációs gyorsuláshoz képest: 15 · 10−4 /10 ∼ 0, 15‰ ⇒ A Föld inerciarendszer 3 jegy pontosságig. Eötvös-effektus: NY↔K irányú mozgás hatására változik a súly. Értelmezések: (1) felszínre merőleges Corioliserő komponens; (2) a test szögsebessége módosult inerciarendszerből nézve ωF -hez képest. 5.2. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy forgó gömb felszínén a Coriolis-gyorsulás helyi vízszintes síkbeli vetületének nagysága mindig 2vωF cos ϑ a sebesség irányától függetlenül! [3] 5.3. Gyakorló feladat. Keringési gyorsulások: Becsüljük meg azt a centrifugális tehetetlenségi gyorsulást, amely (a) a Földnek a Nap körüli, (b) a Földnek a Föld-Hold rendszer közös tömegközéppontja körüli, (c) a Napnak a Galaktika centruma körüli keringéséből származik! Miképpen módosul a (5.32) földi mozgásegyenlet, ha az a-b hatásokat figyelembe vesszük (árapály erők)? A szükséges adatoknak nézzenek utána.1 [5] 5.4.3. A Coriolis-erő hatásai → É↔D mozgás az É/D-i féltekén jobbra/balra tér el. Ez minden irányú mozgásra is érvényes! (⇒ Vonat kerekei a jobb/bal oldalon erősebben kopnak.) → A kádban lefolyó víz merre örvénylik? Északi féltekén balra? A Simpson család egyik epizódjában is előkerül: Ausztráliában fordítva? Ez legenda, a Coriolis-hatás csekély, más perturbáció határozza meg az örvénylés 35
irányát!
9. ábra: Különböző féltekéken mozgó test pályájának eltérülése; ciklonban és anticiklonban a levegő forgásiránya felülről nézve – melyik féltekén? → Ciklon: felfelé áramlás beszívja a felszíni levegőt, alacsony nyomású, páradús. Anticiklon: magas nyomású, száraz, ezért a felhőképen alig látszik. Különböző féltekéken ellenkező a forgásirány, melyet a Coriolis-eltérítés állít be. → Passzát szelek (trade winds)
36
~30°
Eq.
10. ábra: (a) Az egyenlítői felmelegedés hatására kialakuló feláramlás és a magasabb szélességeken zajló leáramlás következtében létrejövő légkörzés átlagos szerkezete a forgástengelyt tartalmazó sík metszetében. (A jelölt szögek földrajzi szélességek.) (b) A passzát és nyugati szelek iránya a Föld felületén a délre ill. északra áramló légtömegekre ható Coriolis-erő következménye.
37
11. ábra: Felhőképek 2012.09.18-ike 06:10 óra és 19-ike 00:10 óra között. Nagy ciklon látható a képek bal fölső részén és egy kisebb az első négy kép bal alsó felén. A jobb oldalon a száraz területek anticiklonálisak. 38
6. Bevezetés a mechanika variációs elveibe A variációszámítás matematikai módszerének segítségével a XVIII. században a newtoni mechanika olyan átfogalmazása vált lehetővé, amely számos problémát könnyebben megfogalmazhatóvá és megoldhatóbbá tett. A variációs elvek fizikai tartalma ugyanaz, mint a Newton-egyenleteké, technikailag azonban gyakran kezelhetőbb alakúak. A XX. században a klasszikus mechanika variációs megfogalmazása a kvantummechanika leírásában kulcsszerepet játszott. A számítógépek elterjedésével külön jelentőségre tesz szert klasszikus mechanikai problémák variációs optimumfeladatként való megfogalmazása, amely a mozgásegyenletek hatékonyabb numerikus megoldását teheti lehetővé. Az alábbiakban először a variációszámítás módszerét vezetjük be, majd rátérünk mechanikai alkalmazására. 6.1. A variációszámítás elemei 6.1.1. Funkcionálok A legegyszerűbb funkcionál valós függvényekhez rendel valós számokat F : függvény → szám, jelölése: s = F [y(x)]. A funkcionál függvények terén értelmezett függvény.
39
(6.1)
Funkcionálokat korábban is ismertünk, ilyenek a határozott integrálok, például wb wb f (y(x), x) d x. y(x)d x, vagy F [y(x)] = F [y(x)] = a
a
(6.2)
Az utóbbi esetben a kétváltozós f függvény megadása definiálja az F funkcionált. Általánosabb esetben az f függhet az y deriváltjaitól is, pl. wb f (y(x), y ′(x), y ′′ (x), x) d x. (6.3) F [y(x)] = a
A különféle deriváltak fellépése nem változtat azon, hogy a teljes kifejezés az y(x) függvény menetétől függ, ezért F argumentumába változatlanul y(x) írandó. A funkcionálban többszörös integrálok is szerepelhetnek, és esetleg nem is lép fel benne integrál. Utolsó példánk a Dirac-delta funkcionál FD [y(x)] = y(0), amelyet ha integrálként értelmezünk, akkor használjuk a Dirac-delta „függvényt” wb δ(x) y(x) d x, a < 0 < b. FD [y(x)] = a
40
(6.4)
(6.5)
6.1.2. A variációszámítás alapfeladata Történetileg a variációszámítás problémáját először a következőképpen fogalmazták meg. Tekintsük az alábbi funkcionált w x1 f (y(x), y ′(x), x) dx, (6.6) F [y(x)] = x0
melyet egy adott f (u, v, w) háromváltozós függvény definiál. Ezután azt kérdezzük, milyen y(x) mellett van F -nek szélsőértéke (extrémuma), amennyiben a végpontokban az y(x0) = y0 és y(x1 ) = y1 értékeket rögzítjük. Itt nem vizsgáljuk, vajon az extrémum maximum-e vagy minimum, pusztán a szélsőérték szükséges feltételét keressük. A fenti funkcionál természetesen függ az integrálási tartománytól is, ezt nem szoktuk külön jelölni. 6.1.1. Példa. Görbe minimális hossza, mint variációs feladat. Természetesen tudjuk, hogy egyenes, de jól illusztrálja a variációszámítást. Az elemi hossz a 12. ábráról leolvashatóan p p dx = 1 + tg 2 ϕ dx = 1 + y ′2 (x) dx, dℓ = (6.7) cos ϕ innen adott P0 = (x0 , y0 ) és P1 = (x1 , y1) kezdő- és végpontok között a hossz az y(x) függvény funkcionálja w x1 p w P1 1 + y ′2 (x) dx. (6.8) dℓ = F [y(x)] ≡ L[y(x)] = P0
x0
41
ϕ
12. ábra: A dℓ infinitezimális hossz.
Keressük azt az y(x) függvényt, amely minimalizálja a hosszt. A görbe végpontjainak rögzítése a megoldást egyértelművé teszi. 6.1.3. Stacionaritás Miként azt jól tudjuk, egy függvény deriváltja a megváltozás lineáris tagjának együtthatója f (x0 + δx) = f (x0 ) + δf (x0 ) ≈ f (x0 ) + f ′ (x0 )δx.
(6.9)
Ha a függvénynek x0 lokális minimuma vagy maximuma, azaz extrémuma, akkor a δx eltérésben lineáris tag eltűnik, f ′ (x0 ) = 0. (Ez csak "belső" pontra érvényes, a függvény az értelmezési tartomány határán is felvehet szélsőértéket a derivált eltűnése nélkül.) A derivált eltűnéséből nem következik, hogy ott lokális extrémum található, a pont lehet inflexió is. Általában nevezhetjük a zérus deriváltú helyet stacionárius pontnak, ez arra utal, hogy a függvényérték eltérése a pont kis környezetében lineáris rendnél kisebb. Hasonlóan, valamely többváltozós f (x1 , . . . , xn ) függvény stacionárius pontjának nevezhetjük azt, amelyben a függvény minden argumetuma szerinti parciális deriváltak eltűnnek, ∂f/∂xj = 0, j = 1, . . . , n. Lokális minimum és maximum ilyen, emellett nyeregpontok és inflexiók is lehetnek stacionáriusak. A variációszámítás előző pontbeli alapfeladatát általánosan is megfogalmazhatjuk, éspedig azt kérdezhetjük, milyen y(x) mellett lesz F [y(x)] stacionárius, azaz mely y(x) függvény körüli kis változásokra nem változik első rendben. A lokális extrémumok a stacionaritás speciális esetei. 42
6.1.4. Diszkretizáció, Euler–Lagrange-egyenlet A 6.1.2-beli problémát diszkretizációval visszavezethetjük az ismert parciális deriválásra, majd folytonos határátmenettel kapjuk az eredeti, funkcionálokra vonatkozó probléma megoldását. Diszkretizáljuk az y(x) függvényt olymódon, hogy az x tengelyen bevezetjük az x(n) = x0 + n∆x osztópontokat, melyek valamely kicsiny ∆x távolságra vannak egymástól (a végpont x1 = x0 + N∆x). A keresett y(x) függvény értékei y (n) = y(x(n) ), a határokon y0 = y (0) és y1 = y (N ) . Ekkor (6.6) közelítőleg −1 X (0) (1) N (N ) F y , y , . . . , y ; x0 , x1 = f
→ F [y(x); x0 , x1 ] =
n=0 w x1 x0
(n+1) − y (n) (n) (n) y y , ∆x ,x ∆x
f (y(x), y ′(x), x) dx.
(6.10)
Vegyük észre, hogy az x1 végpont nem szerepel a szumma utolsó, n = N − 1 tagjában sem, mégis függ tőle F , hiszen adott x0 és N esetén x1 állítja be a ∆x értékét. Itt jelöltük az F funkcionál függését a végpontoktól is. A stacionaritási feltétel minden n = 1, . . . , N − 1 belső függvényértékre 1 ∂f 1 ∂f ∂f ∂F [. . . ] − + ∆x, (6.11) = 0= ∂y (n) ∂y n ∆x ∂y ′ n ∆x ∂y ′ n−1
ahol az y és y ′ szerinti deriváltak argumentumait jelző n alsó index azt jelenti, hogy a (6.1.4) szumma n indexű tagjának argumentumait helyettesítjük be a deriváltakba. 43
A felbontás finomításával nyerjük az Euler–Lagrange-egyenletet ′ d ∂f ∂f ∂f ∂f − ≡ − = 0. ∂y dx ∂y ′ ∂y ∂y ′
(6.12)
Ha tehát adott f esetén az y(x) megoldja az Euler–Lagrange-egyenletet, akkor rá nézve az F [y(x)] funkcionál stacionárius, másszóval az y(x) stacionárius függvénye az F [y(x)]-nak. A fenti Euler–Lagrange-egyenlet általában tartalmazza y ′′(x)-et, ezért másodrendű differenciálegyenlet a stacionárius y(x)-re, melyet adott végpontokbeli y(x0 ) = y0 , y(x1 ) = y1
(6.13)
értékek mellett kell megoldanunk. Ezek határfeltételek, helyettük a differenciálegyenletnél szokásos KF-ek, például az x0 pontban y(x0 ) = y0 , y ′ (x0 ) = v0 is egyértelművé tehetik a megoldást. Megjegyzés: Az alapfeladat csak azt követeli meg, hogy y(x) legyen egyszer differenciálható, az Euler–Lagrangeegyenlet megoldása azonban kétszeresen az. Ez nem ellentmondás, az F [y(x)] funkcionál stacionárius helye „simább”, mint egy általános argumentum. 6.1. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, ha a (6.1.4)-beli szummát „szebb”, szimmetrikus formulával definiáljuk, azaz N −1 (n+1) X y + y (n) y (n+1) − y (n) x(n+1) + x(n) F [. . . ] = f ∆x, (6.14) , , 2 ∆x 2 n=0 a folytonos határátmenetben akkor is a (6.32) feltétel adódik. [3] 44
6.1.5. A stacionárius funkcionál mint a határok függvénye Ha a szóban forgó (6.6) funkcionálba visszahelyettesítjük a (6.32) olyan y(x) megoldását, mely a végpontokban teljesíti a y(x0 ) = y0 és y(x1 ) = y1 feltételeket, akkor a funkcionál stacionárius értékét mint a végpontok függvényét kapjuk (tömör jelöléssel utalunk arra, hogy F nem funkcionál, hanem függvény) F (. . . ) = F (y0 , y1; x0 , x1 )
(6.15)
Hasznos összefüggéseket állíthatunk fel ennek a határpontok szerinti deriváltjaira. A (6.1.4) kifejezésnek az y1 = y (N ) szerinti differenciálása adja, melyből a felbontás finomításával nyerjük ∂F (. . . ) 1 ∂f ∂f ∂F [. . . ] . (6.16) ∆x ; = = ∂y (N ) ∆x ∂y ′ N −1 ∂y1 ∂y ′ x1
A jobboldali eredménybe természetesen az y(x) megoldás-függvény helyettesítendő. Ha az x-beli tartomány x1 végpontját egy kicsiny ∆x hosszal megnöveljük, akkor a stacionárius funkcionál értéke (6.1.4) egy új, n = N indexű taggal növekszik (N +1) − y (N ) (N ) (N ) y ∆x ; ∆F = f |x1 ∆x (6.17) ,x ∆F = f y , ∆x E növekményt kapjuk vissza vezető rendben, ha (6.15) differenciálját képezzük a stacionárius y(x) megoldás mentén, 45
majd felhasználjuk a (6.16) eredményt ∂F (. . . ) ∂F (. . . ) ∆F ≈ ∆y1 + ∆x ≈ ∂y1 ∂x1 Ezt összevetve a (6.17) kifejezéssel nyerjük ∂F (. . . ) = ∂x1
! ∂F (. . . ) ∂f ′ + ∆x. y ∂y ′ x1 ∂x1
∂f ′ f − ′y ∂y x1
(6.18)
(6.19)
6.2. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy F (. . . )-nek az y0 és x0 kezdőértékek szerinti deriváltjait ellentett előjelű formulák adják [3] ∂F (. . . ) ∂f ∂f ′ ∂F (. . . ) = − ′ , = −f + ′ y . (6.20) ∂y0 ∂y x0 ∂x0 ∂y x0 6.1.6. Stacionaritási feltétel nem rögzített határpontok mellett
A fenti relációk megengedik kiterjeszteni a variációs problémát olyan esetekre is, melyekben valamely végpont nincs rögzítve. Ilyenkor az F (y0, y1 ; x0 , x1 ) függvényt még a szabad argumentuma szerint is stacionariussá kell tennünk. 46
Ha például az x0 , x1 és y0 adott, de megengedjük, hogy az y1 végpont tetszőleges legyen, akkor a végpont rögzítése helyett a stacionaritás feltételét ∂f =0 (6.21) ∂y ′ x1 alakban a végpontra is kell alkalmaznunk. Másik példánkban csak az x1 szabad, midőn x0 , y0 , y1 rögzített. Ekkor a stacionaritás a ′ ∂f =0 f −y ∂y ′ x1
(6.22)
feltételt követeli meg. Az a kérdés, hogy az F (y0 , y1 ; x0 , x1 ) argumentumai közül hányat ill. melyeket vehetjük szabadnak úgy, hogy az eredeti variációs probléma értelmes maradjon, fontos és érdekes, de itt nem vizsgáljuk. 6.1.7. A legrövidebb út a síkon Természetesen tudjuk a választ, „egyenes szakasz”, mindazonáltal a feladat jó példa arra, hogy a variációszámítás módszerét tömören illusztráljuk. (a) Rögzített végpontok között 47
Az y(x) görbe menjen át a P0 = (x0 , y0 ) és P1 = (x1 , y1) rögzített végpontokon. Ekkor a minimalizálandó funkcionált (6.8) adja w x1 p w P1 w x1 dℓ = F [y(x)] ≡ L[y(x)] = f (y(x), y ′(x), x) dx (6.23) 1 + y ′ 2 (x) dx ≡ P0
x0
x0
Mivel az f nem függ expliciten az y-tól, ezért a (6.12) Euler–Lagrange-egyenlet szerint ∂f y′ p = = áll. ; y ′ = áll., ′ 2 ∂y ′ 1+y
(6.24)
tehát a vonal egyenes, y(x) = αx + β. A határpontokhoz való illesztéssel kapjuk a feladat megoldását. határpontokhoz való illesztést, majd számítsuk ki a minimális hosszt (melyre 6.3. Gyakorló feladat. Végezzük el ap természetesen az L(y0 , y1 ; x0 , x1 ) = (x1 − x0 )2 + (y1 − y0 )2 formulát kell kapnunk). [2] (b) Ha a függvény végpontja nem rögzített: szabad y1 Ekkor a P1 pont egy, az y tengellyel párhuzamos egyenes mentén mozoghat, miközben P0 fix. Minimalizálnunk kell az y1 szerint is, tehát (6.16) alapján kapjuk ∂L(. . . ) y′ ∂f p (6.25) = = = 0 ; y ′ (x1 ) = 0. ′ 2 ∂y1 ∂y ′ x1 1 + y x 1
48
Mivel y ′(x) állandó, ezért a megoldásgörbe az x tengellyel párhuzamos szakasz, éppen az, amelyet egy iskolás is megmondott volna. 6.4. Gyakorló feladat. Az előző gyakorló feladatban kérdezett L(y0 , y1 ; x0 , x1 ) deriváltja y1 szerint valóban [1]
∂f/∂y ′ |
x1 ?
6.5. Gyakorló feladat. Legyen mindkét y0 , y1 érték szabad. Ekkor mi a stacionaritás feltétele, s teljesíthető-e? [2] (c) Ha az integrálási tartomány végpontja nem rögzített: szabad x1 Ekkor a P1 pont egy, az x tengellyel párhuzamos egyenes mentén mozoghat, miközben P0 fix. Most minimalizálnunk kell az x1 szerint, tehát (6.19) alapján kapjuk ! ′2 p 1 ∂f ′ ∂L(. . . ) y p = = f − ′y = 1 + y′ 2 − p = 0 ; y ′ (x1 ) = ∞. (6.26) ′ 2 ′ 2 ∂x1 ∂y 1+y 1 + y x x1 x 1
1
Tehát a minimális úthossz az y tengellyel párhuzamos szakasz, miként azt előre ki is találhattuk.
6.6. Gyakorló feladat. Ellenőrizzük, hogy az (a) alatti gyakorló feladatban expliciten felírt L(y0 , y1; x0 , x1 ) deriváltja x1 szerint valóban az (6.19) szerint (6.26)-be írt kifejezés? [2] Megjegyzés Ezen az egyszerű példán könnyen átláthatjuk a teljesen szabad P1 végpont esetét, éspedig a legrövidebb, zérus hosszat akkor kapjuk, amikor P1 = P0 , azaz a határpontok egybeesnek. Ha azonban a (b) és (c) 49
feltételeket szemügyre vesszük, azonnal kitűnik, hogy egyszerre nem állhatnak fenn. Valóban, a határokra vonatkozó stacionaritási feltételek az L = 0 körül nem is teljesülhetnek, ugyanis a 6.3-ban szereplő formula nem analitikus P1 = P0 körül. Az L = 0 a globális minimum, de nem stacionárius, a koordináták kis kitéréseire nem másod-, hanem elsőrendűen kicsiny a növekménye. Mindezzel a szabad végpontokra formálisan alkalmazott stacionaritási feltételek buktatóira kívántuk felhívni a figyelmet. 6.1.8. Funkcionális derivált és az Euler–Lagrange-egyenlet – diszkretizáció nélkül A (6.6) kifejezéssel bevezetett F [y(x)] funkcionál stacionárius y(x) argumentum függvényét keressük: változtatjuk (variáljuk) az y(x)-et, s vizsgáljuk, mikor lesz az F [y(x)] funkcionál megváltozása vezető rendben zérus. Számítsuk ki az F funkcionál δF megváltozását, ha az argumentum függvényt módosítjuk ekképpen y(x) → y(x) + δy(x).
(6.27)
A δy(x)-t a függvény variációjának nevezzük, melyre az alapfeladat keretében az alábbi feltételeket rójuk ki: → y(x)-től függetlenül választjuk, → legyen kicsi – a variációban első rendig fejtünk sorba, → δy(x0 ) = δy(x1 ) = 0 – a végpontok rögzítettek, ott a variáció zérus.
50
A módosított funkcionál a (6.6) definíció alapján a következő F [y(x) + δy(x)] = F [y(x)] + δF [y(x)] = F [y(x)] +
wx1 ∂f
x0
∂f ′ δy + ′ δy dx + . . . , ∂y ∂y
(6.28)
ahol csak a variációban lineáris tagokat tartottuk meg. (Az y és δy függvények x argumentumát gyakran nem írjuk ki.) A δF megváltozásra parciális integrálással nyerjük x wx1 ∂f ∂f ′ ∂f 1 δF [y(x)] = δy dx + − δy . (6.29) ′ ′ ∂y ∂y ∂y x 0 x 0
Elnevezés: funkcionál(is) vagy variációs derivált, amely az integrandusban δy-t szorozza x wx1 δF ∂f 1 δF = δy dx + δy , δy ∂y ′ x0
(6.30)
x0
tehát
′ δF ∂f ∂f = − . (6.31) δy ∂y ∂y ′ Megjegyzés: A funkcionálderiváltat a közönséges derivált analógiájára vezettük be. Mindazonáltal a vizsgált funkcionál (6.29) megváltozásában δy(x) – általános belső x pontban – integrál alatt szerepel, ezért célszerű a funkcionálderiváltat az integrál alatt a δy(x)-et szorzó függvényként definiálni. 51
A stacionaritás feltétele (6.30) eltűnése. Mivel az integrandusban a δy(x) függvény belső pontjait a határoktól függetlenül variáljuk, azért a stacionaritás megköveteli külön az integrál és külön a határtagok eltűnését. Az első feltételből ′ δF ∂f ∂f = − = 0, (6.32) δy ∂y ∂y ′
ez éppen (6.12) Euler–Lagrange-egyenlet. A variáció alapfeladata szerint határokon a függvény δy variációja eltűnik, ez esetben (6.30) jobboldalán a határtagok is zérusak, így lineáris rendben a funkcionál δF variációja zérus. A stacionaritás feltételének kiterjesztését nem rögzített határpontok esetére vizsgáltuk a 6.1.6 részben. Az egyik eredmény a fentiekből azonnal leolvasható, éspedig, ha az y(x) értékét valamely xj (j = 0 vagy j = 1) végpontban nem rögzítjük, akkor (6.31) mellett (6.30) megfelelő határtagját tetszőleges δyj mellett is zérussá kell tennünk, amelyhez a ∂f =0 (6.33) ∂y ′ xj feltételt szükséges kirónunk. Ez j = 1 mellett azonos a (6.21) előírással. Azt, hogy a stacionárius y(x) vajon extrémum-e, s ha igen, maximum vagy minimum, globálisan vagy csak lokálisan, általában nem fogjuk vizsgálni. A kérdés megfordítottja is érdekes, éspedig vajon egy extrémum stacionárius-e, melyre ellenpéldát a végpont rögzítése nélküli minimális hossz problémájában láttunk.
52
6.1.9. Speciális esetek 1. f (y, y ′, x) = f (y, x). Ekkor az Euler–Lagrange-egyenlet alakja ∂f δF = = 0, δy ∂y nem differenciálegyenlet, hanem implicit egyenlet y(x)-re. 2. f (y, y ′, x) = f (y ′, x). Az Euler–Lagrange-egyenlet ′ ∂f δF =− =0 ; δy ∂y ′
(6.34)
∂f = áll. ∂y ′
(6.35)
Ez elsőrendű differenciálegyenlet y(x)-re. 3. f (y, y ′, x) = f (y, y ′). Ekkor a stacionaritás feltétele elsőrendű differenciálegyenletként állítható elő. Tekintsük ugyanis az y(x) megoldás mentén az f -et mint x függvényét, melynek deriváltja ′ ′ ∂f ′ ∂f ′′ ∂f ′′ ∂f ∂f ′ ′ ′ ′ [f (y(x), y (x))] = (6.36) y + ′y = y . y + ′y = ∂y ∂y ∂y ′ ∂y ∂y ′ A második egyenlőségben felhasználtuk a (6.12) egyenletet. Mindkét szélső formula teljes derivált x szerint, ezért a különbségük integrálja, az ún. Beltrami-függvény x-től nem függ, azaz ∂f B := ′ y ′ − f = áll. (6.37) ∂y 53
Az első reláció definiálja a B Beltrami-függvényt, a második pedig azt mondja ki, hogy B a stacionárius függvény mentén x-ben állandó. Így előállt az Euler–Lagrange-egyenlet egy integrálja, amely adott állandó B mellett y-ra elsőrendű differenciálegyenlethez vezet. Megjegyzés: Tömör jelölésünkkel tehát a stacionárius függvényen vett funkcionálnak mint a határpontok függvényének a deriváltjai (6.19) és az azt követő gyakorló feladat alapján ∂F (y0 , y1 ; x0 ; x1 ) ∂F (y0 , y1 ; x0 ; x1 ) = B|x0 , = − B|x1 , ∂x0 ∂x1
(6.38)
azaz éppen a Beltrami-függvény a kezdeti, ill. az ellentettje a végpontban. Innen az az egyszerű szabály adódik, hogy ha a variációs problémában valamely xj határpont szabad, akkor az F (. . . ) e változó szerinti stacionaritását – azaz eszerinti deriváltjának eltűnését – a B|xj = 0 beállítással érjük el. 4. f (y, y ′, x) = [g(y, x)]′ , azaz az f teljes derivált x-ben. Ezt (6.6)-ba helyettesítve kapjuk, hogy F nem függ az y(x)-től, azaz x δF F = g(y(x), x) x10 = áll. ⇒ = 0. (6.39) δy Ha tehát két függvény teljes deriváltban különbözik, akkor funkcionális deriváltjaik azonosak és ezért a stacionaritási problémáik megoldása is azonos. 6.7. Gyakorló feladat. Számítsuk ki a 4. esetben a funkcionálderiváltat a (6.31) formula alapján is! [3] 54
6.1.10. Példák 6.1.1. Példa. Újból a legrövidebb út: Görbe ívhosszát a (6.8) funkcionál adja meg, tehát p f (y, y ′, x) = 1 + y ′2 .
(6.40)
Az f nem függ expliciten az x-től, tehát a Beltrami-függvény nem függ x-től
p y′ ∂f ′ 1 p y ′ − 1 + y ′2 = − p = áll. ; y ′ = áll. B = ′y − f = ′2 ′2 ∂y 1+y 1+y
(6.41)
6.1.2. Példa. Minimális forgásfelület: Két koaxiális kör keret között hártyát feszítünk. Milyen alakú lesz a minimális forgásfelület? y1 y0 Előre tudjuk, hogy a gyűrűk távolítása esetén a hártya a tengelyen összeér és elszakad, ezt a megoldásnak is mutatnia kell. A minimalizálandó funkcionál legyen a forgásfelület A területe per 2π, ahol x1 x0 w x1 p w x1 y 1 + y ′2 dx. (6.42) y dℓ = 2π A = 2π F [y] = 2π x0
x0
Vegyük észre, hogy az integrandus az előző példabeli (6.23) y-szo55
13. ábra: Minimális felületű hártya
rosa. A Beltrami-függvény a (6.41) y-szorosa B=
∂f ′ y = áll. y − f = −p ′ ∂y 1 + y ′2
(6.43)
Innen y ′ -t kifejezve elsőrendű, szeparábilis differenciálegyenletet kapunk. (Mivel B < 0, a jelölést egyszerűsíti, ha B ezután az abszolút értéket jelenti.) Megoldását közvetlenül előállíthatjuk, ha felidézzük, hogy sh x = ch′ x, 1 + ch ′ 2 x = ch2 x,
(6.44)
ezért
x−a . B éppen a keresett függvény. Az állandókat az y(x0) = y0 , y(x1 ) = y1 határfeltételre kell illesztenünk. y(x) = B ch
(6.45)
6.8. Gyakorló feladat. Oldjuk meg a (6.43) differenciálegyenletet integrálással! [3] Vizsgáljuk a szimmetrikus esetet, ekkor x0 = −x1 , y0 = y1 adott és a = 0 tehát y(x) = B ch
x B
; 56
y1 B x1 = ch . x1 x1 B
(6.46)
4
Tehát a z = x1 /B értékére kell megoldanunk adott y1 /x1 3.5 mellett 3 y1 ch z = = C(z), (6.47) 2.5 x1 z 2 C(z) mely a C(z)-t definiálja, ld. 14. ábra. Két megoldás közül a kisebb z a fizikai a következő értelemben. Közeli gyűrűk, az1.5 az y1 /x1 ≫ 1 esetén a minimális felület közel y1 sugarú, 2x1 1 hosszú hengerpalást. Ez (6.46) első egyenletéből y ≈ B-nek 0.5 felel meg, innen z = x1 /B ≪ 1, ezt nagy C(z) értékekre a 0 baloldali ág inverzéből kapjuk. Csökkenő y1 /x1 mellett ezen 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 z az ágon haladva elérjük C(z) minimumát, amelynél kisebb y1 /x1 értékekre nincs összefüggő minimális felület. 14. ábra: A C(z) függvény. Szemléletünkkel mindez összhangban van. Ha a gyűrűk túl távol helyezkednek el, közöttük nem kifeszülnek, hanem (szerencsés esetben) a gyűrűk határolta körlapokká ugranak össze a hártyák, melyek területe A0 = 2πy12. Az összefüggő felület létezésének feltétele y1 ≥ C(z ∗ )x1 , ahol z ∗ a C(z) minimumhelye. 6.9. Gyakorló feladat. Adjuk meg az összefüggő felület feltételét numerikusan! (Ehhez transzcendens egyenletet szükséges megoldanunk.) [3] 6.10. Gyakorló feladat. Engedjük a jobb oldali gyűrű keretet szabadon csúszni, azaz legyen x1 szabad, míg y1 rögzített. Nyilvánvaló, hogy a szabadon mozgó keret az x0 helyre csúszik, azaz a minimumot az x1 = x0 eset állítja elő. Hogyan kapjuk ezt meg képlettel a variációs feltételből? [3] 57
6.11. Gyakorló feladat. A gyakorlaton látott példához kapcsolódva: Milyen feltételt jelent a pályára az, ha a brachisztochron problémában az alsó pont x1 koordinátáját rögzítjük, de az y1 -et nem? [3] 6.1.3. Példa. Fermat-elv A fény változó törésmutatójú közegben adott végpontok között a minimális optikai úthosszhoz tartozó pályán terjed. Optikai úthossz (2D-ben az y(x) pályára): w w w p LF [y(x)] = n(r) dℓ = n(x, y) 1 + y ′2 (x) dx = fF (y, y ′, x) dx. (6.48) A Beltrami-függvény az x-függés miatt nem állandó! Az Euler–Lagrange-egyenletek !′ ′ ′ ∂fF ∂fF ∂n p ny δLF = − = 1 + y ′2 − p = 0. δy ∂y ∂y ′ ∂y 1 + y ′2
Speciális eset: n = n(x), ekkor
ny ′ p
1 + y ′2
= n sin ϕ = áll.
(6.49)
(6.50)
Ha a törésmutató szakaszonként állandó, akkor ez éppen a Snellius–Descartes-törvény a határokon. A törvényt eredetileg Ibn Szál fedezte fel (Bagdad, 984). Megfordítva, infinitezimális szakaszokon állandó törésmutatóra a Snellius–Descartes-törvényből a Fermat-elv következik az n = n(x) esetben. Végül az izotrópia alapján az elvet általánosíthatjuk tetszőleges helyfüggő n(r) törésmutatóra. 58
Megjegyzés: mivel a fázissebesség v = c/n, a Fermat-elv azt a pályát jelöli ki, amelyre a fázis terjedéséhez szükséges idő minimális. 6.12. Gyakorló feladat. Lássuk be, hogy síktükrön történő visszaverődésnél a beesési és a visszaverődési szögek egyenlősége esetén lesz a legrövidebb az út, ha a kezdő- és végpontot rögzítjük! [3] Alexandriai Hérón megmutatta, hogy tükrök tetszőleges elrendezésében a fénysugár útvonala a lehetséges legrövidebb adott két végpont között. 6.1.11. Értelmezés A minimalizáló pályára másodrendű differenciálegyenletet kaptunk, amelynek megoldását adott határpontok mellett keressük. Az Euler–Lagrange-egyenletet azonban adott KF mellett is megoldhatjuk. Matematikailag különböző problémák, melyek adott fizikai kérdés esetén ekvivalensek lehetnek. Adott kezdőpont mellett, ha a végpont is adott, a kezdeti derivált meghatározott, ha azonban a KF-be ez utóbbit vesszük, s egyértelmű a megoldás, ugyanazon végpontba érkezünk: ekvivalens paraméterezések. Korábban filozófiai jelentőséget tulajdonítottak a különbségnek: végpontok adottak ∼ teleologikus (céltételező) elv, KF adott ∼ kauzális (oksági) elv.
59
6.1.12. Kiterjesztések a. Több függvény funkcionálja A szélsőértéket több {yk (x)}N k=1 függvénytől függő funkcionál extremizálásával keressük w ′ F [y1 , . . . , yN ] = f (y1 , . . . , yN , y1′ , . . . , yN , x) dx.
(6.51)
A határokat nem írjuk ki, de kikötjük, hogy ott az yk (x) függvények értéke adott, mint a 6.1.2 fejezetbeli alapfeladatban. Mindegyik függvény szerinti variáció eltűnik ′ ∂f ∂f δF = − = 0. (6.52) δyk ∂yk ∂yk′ A Beltrami-függvény általánosítható, ha az f nem függ expliciten az x-től N X ∂f ′ B= y − f = áll.. ∂yk′ k k=1
(6.53)
6.13. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy B-nek az x szerinti deriváltja az extremizáló pályákon valóban zérus! [3] Útmutató: általánosítsuk a (6.36)-beli eljárást több yk (x) függvény esetére! 60
b. Magasabb deriváltak A funkcionálban az y [n] magasabb deriváltak is felléphetnek. A legegyszerűbb eset w F = f (y, y ′, y ′′ , x) dx,
(6.54)
amikor is w ∂f ∂f ′ ∂f ′′ w ∂f ∂f ′ ∂f ′′ δy dx + határ tagok. δy + ′ δy + ′′ δy dx = − + δF = ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y ′ ∂y ′′
(6.55)
Ha a határon δy = 0 és δy ′ = 0, akkor δF ∂f = − δy ∂y
∂f ∂y ′
′
+
∂f ∂y ′′
′′
= 0.
(6.56)
Ez általában negyedrendű differenciálegyenlet, melynek megoldásához négy határfeltételre van szükség y(x0 ) = y0 , y(x1 ) = y1 , y ′(x0 ) = v0 , y ′ (x1 ) = v1 . Ekvivalensen négy KF-re van szükség, pl. y, y ′, y ′′, y ′′′ a kezdőpontban. 6.14. Gyakorló feladat. Ha az x1 végpontban y ′ -t nem rögzítjük v1 -re, hanem ezen érték szabad, akkor milyen feltételt kell kirónunk a stacionaritás teljesítéséhez? Útmutató: írjuk ki (6.55) határtagjait, melyekből a keresett feltételt egyszerűen kiolvashatjuk. [4] 61
c. Mellékfeltételek (kényszerek) Tegyük fel, hogy szélsőértéket más feltételek együttes teljesülése mellett keresünk. y1 , . . . , yN változó függvényt és legyen a kényszerfeltétel ϕ(x, y1 , . . . , yN ) = 0.
Engedjünk meg több (6.57)
Lényeges, hogy itt a kényszer csak a variálandó yk függvények értékei, de nem a deriváltjai között ír elő megszorítást – ez a holonóm kényszer. A fenti egyenlet adott x mellett a függvényértékeket lényegében egy hiperfelületre korlátozza. Lagrange-féle multiplikátorok módszere: (i) Az eljárást először függvény stacionaritási vizsgálatán mutatjuk be. Keressük f (x, y) stacionárius pontját az y = y(x) előírt görbe mentén (az y koordináta, az y(x) függvény kiírt argumentummal a mellékfeltétel), azaz ∂f ∂f ′ d f (x, y(x)) = + y (x) = 0. dx ∂x ∂y
(6.58)
E reláció szemléletesen azt jelenti, hogy a ∇f és az előírt görbe (1, y ′(x)) érintővektora merőlegesek egymásra, azaz az érintő mentén lineáris rendben az f nem változik, stacionárius. Következésképpen ∇f a görbe normálisának irányába mutat. A mellékfeltételt a ϕ(x, y) = y(x) − y = 0 62
(6.59)
alakba írjuk, a görbe normálisa (y ′(x), −1) = ∇ϕ(x, y), s végeredményben adódik (6.60)
∇f k ∇ϕ. (ii) A fentiekkel ekvivalens eredményre jutunk, ha a fλ (x, y, λ) = f (x, y) + λϕ(x, y)
(6.61)
által definiált függvény stacionaritási feltételét követeljük meg mindhárom változójában. Ekkor nyerjük ∇f + λ∇ϕ = 0, ϕ = 0,
(6.62)
melyek azonosak a (6.59,6.60) feltételekkel. Részletesen kiírva ∂f ∂f + λy ′ (x) = 0, − λ = 0, ∂x ∂y
;
∂f ∂f ′ + y (x) = 0, ∂x ∂y
(6.63)
éppen (6.58) adódott. A (6.61)-ben bevezetett λ-t Lagrange-féle multiplikátornak hívjuk, s a módszert is erről nevezték el. 6.15. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy a Lagrange-multiplikátor módszere tetszőleges N-dimenziós változótól függő f (r) függvény stacionárius pontjának meghatározására is alkalmas valamely ϕ(r) = 0 mellékfeltétel előírása esetén. Útmutató: fejezzük ki a mellékfeltételből az egyik koordinátát! [3] 63
6.16. Gyakorló feladat. Írjunk elő több mellékfeltételt, ϕm (r) = 0, 1 ≤ m ≤ M, ahol M < N, s ezzel demonstráljuk a Lagrange-multiplikátorok módszerét. [3] (iii) A fentiekkel analógiában, (6.51) típusú funkcionálok a (6.57) előírása melletti stacionárius pontjának meghatározásához a következő kiegészített funkcionált vezetjük be w w w Fλ = F + λϕ dx = (f + λϕ) dx = fλ dx, (6.64) ahol λ függhet az x-től, s az indexbe írt λ a kiegészített függvényt különbözteti meg. A stacionaritás feltételei ′ δFλ δF ∂ϕ ∂f ∂ϕ ∂f = +λ = +λ − = 0, (6.65) δyk δyk ∂yk ∂yk ∂yk ∂yk′ δFλ = ϕ = 0, (6.66) δλ amelyek megoldandók az y1 (x), . . . , yN (x), λ(x) függvényekre. Több kényszerfeltétel fennállásakor minden feltétel mellé egy-egy multiplikátort vezetünk be. Megjegyzés: A (6.65) egyenletben fellépő, λ-val arányos tag a (6.57) hiperfelület normálisának irányába mutat, nagyságát pedig az a λ adja meg, amelyet a (6.65,6.66) egyenletek megoldásával kapunk. Az eredeti F funcionálderiváltja tehát az előírt felület normálisával párhuzamos, másszóval zérus az felületet érintő síkra vett komponense, amelyet el is várunk a felületre korlátozott stacionárius pontban. Ez a kép konkrét fizikai jelentést nyer akkor, amikor a Lagrange-formalizmus keretében mozgásegyenleteket kényszerek jelenlétében fogalmazunk meg. 64
Speciális eset: integrális mellékfeltétel Φ= amikor is Fλ =
w
w
ϕ dx = 0,
f dx + λ
w
ϕ dx,
(6.67) (6.68)
azaz λ nem függ x-től. 6.1.4. Példa. Láncgörbe: Milyen alakú a felfüggesztett lánc (kötél)? A potenciális energiát minimalizáljuk adott hossz mellett. Ha g a nehézségi gyorsulás és ν a hosszegységre eső tömeg (lineáris sűrűség), akkor w w w p V [y] = g y dm = νg y dℓ = νg y 1 + y ′2 dx, (6.69) miközben rögzített a hossz
L[y] =
wp 1 + y ′2 dx = L0 .
(6.70)
Ekkor Φ = L[y]−L0 , azonban a konstanst elhagyhatjuk az y szerint variálandó funkcionálból, s így kapjuk a µ = νg jelöléssel w Fλ =V + λL = fλ dx, (6.71) p fλ =(µy + λ) 1 + y ′2. (6.72) 65
Bevezetve az y˜ = y + λ/µ jelölést kapjuk
p fλ = µ˜ y 1 + y˜′2 .
(6.73)
y0 =y(x0 ), y1 = y(x1 ), x1 w x1 p w x1 x − a x − a . L0 = dx = C sh ch 1 + y ′2 dx = x0 x0 C C x0
(6.75)
Ez éppen a minimális forgásfelület variációs problémájában megjelent (6.42) függvény, melyhez tartozó stacionaritási problémát már megoldottuk x−a . (6.74) y˜ = y + λ/µ = C ch C Ez az általában aszimmetrikus láncgörbe. Három feltételünk van, a két végpont helye és a görbe hossza, melyekből a λ, a, C paraméterek meghatározandók
Speciális eset a szimmetrikus felfüggesztés, amikor is y0 = y1 , x0 = −x1 . Ekkor a = 0 és x1 (6.77) L0 = 2C sh , C
3
2
és bevezetve a z = x1 /C jelölést kapjuk L0 = 2x1
sh z = 2x1 D(z). z
(6.76)
D(z)
(6.78)
1
66
0 0
0.5
1
1.5 z
2
2.5
15. ábra: A D(z) függvény.
3
A D(z) függvényt a 15. ábra mutatja. Mivel D(z) ≥ 1, azért a megoldhatóság feltétele L0 ≥ 2x1 . Ez nyilvánvaló, a lánc legyen hosszabb, mint a két végpont távolsága. Az L0 és x1 ismeretében tehát a C előáll a (6.77) transzcendens egyenlet megoldásaként. Végül a λ-t határozzuk meg a végpont magasságából. A (6.74) alapján y1 = C ch
x1 − λ/µ. C
(6.79)
Érdekes, hogy a korábban kiszámított minimális forgásfelület síkmetszete is láncgörbe. A felfüggesztett lánc esetén azonban a teljes hosszt mellékfeltétellel rögzítettük, a két probléma nem azonos variációs feladat! Ezt mutatja, hogy a forgásfelület kettő, a lánc három illesztési paramétert tartalmaz. Megjegyzés: A fentiekben megoldott probléma, amelyben p f = (µy + λ) 1 + y ′2, (6.80)
ekvivalens az
n = µy + λ
(6.81)
törésmutatójú közegbeli fényterjedéssel (itt a fény pályájának hossza nem rögzített, hanem λ adott). Ehhez hasonló a törésmutató forró felület fölötti levegőben, melyben a ferdén beeső fény láncgörbét leírva mutat délibábot. Következésképpen a 67
→ gyűrűk között kifeszülő hártya metszete, → felfüggesztett lánc, → délibábot mutató fénysugarak alakja egyaránt láncgörbe. 6.17. Gyakorló feladat. Paraméterezzük közegben haladó fénysugár pályát az x helyett az ℓ geometriai ívhosszal r és keressük a pálya egyenletét r(ℓ) alakban! Ekkor az LF [r(ℓ)] = n(r(ℓ)) dℓ funkcionál naív módon képzett variációs deriváltját zérussal egyenlővé téve nyilvánvalóan helytelen eredményt kapunk. Az LF funkcionált tehát ki kell egészítenünk valamely mellékfeltétellel, amely figyelembe veszi azt a tényt, hogy az integrálási változó éppen az ívhossz. Írjuk fel a minimális optikai úthossz feltételét, az Euler–Lagrange-egyenletet, s vegyük figyelembe, hogy a geometriai ívhossz nincs rögzítve. [7] Ezzel a variációszámítás módszerébe történő bevezetés végére értünk. 6.2. Lagrange-féle mechanika Könnyen látható, hogy potenciálos erőknek kitett tömegpontok newtoni mozgásegyenletei az előző részben vizsgált variációs elv alakjába átfogalmazhatók. Az így nyert Hamilton-elvet később mellékfeltételek esetére is kiterjesztjük, s ezzel a klasszikus mechanikai számításokhoz legszélesebb körben használt variációs elvhez jutunk. Noha az elvet Hamiltonról nevezték el, a koncepciót első megfogalmazója után Lagrange-féle mechanikának hívjuk.
68
6.2.1. Potenciálos erők hatására mozgó tömegpontok a. Szabad részecske Először tekintsünk egy szabad tömegpontot, ez az eset a térben állandó potenciálnak felel meg. Tömegpontnak nevezzük a három koordinátával leírható, elhanyagolható méretű, adott tömeggel rendelkező részecskét. Mint jól tudjuk, ennek szabad, azaz erőmentes mozgását állandó sebesség jellemzi. Vezessük be a hatás funkcionált w m w t1 2 q v dt, (6.82) S[r(t)] = L(r(t), r(t)) dt = 2 t0 amelynek integrandusát Lagrange-függvénynek nevezzük (a v = r jelölést használtuk). Írjuk elő, hogy S extremális a fizikai r(t) pályán rögzített végpontok mellett! Ekkor az i = 1, 2, 3 komponensekre q
0=
d ∂L δS qq =− q = −m ri , δri dt ∂ ri
azaz gyorsulása zérus. A variációs derivált eltűnése valóban állandó sebességű mozgást ír elő!
69
(6.83)
b. 1D potenciálmozgás Tekintsünk egyenes mentén mozgó, 1D tömegpontot. Ez potenciálos erőtérben mozog, ha a reá ható erő előáll ∂V (x, t) ∂x alakban. Külön jelöltük, hogy a potenciál függhet az időtől. Válasszuk a Lagrange-függvényt a következőképpen F (x, t) = −
(6.84)
mx2 − V (x, t). 2
(6.85)
∂L d ∂L ∂V (x, t) δS qq qq = − − m x = F − m x. q =− δx ∂x dt ∂ x ∂x
(6.86)
q
L= A hatás variációs deriváltja zérus, ha 0= Ez éppen a Newton-egyenlet. c. Több részecske 3D potenciálmozgása
Álljon rendszerünk N tömegpontból, ekkor a potenciál általános alakja V (r 1 , . . . , r N , t), 70
(6.87)
s a k-adik tömegpontra ható erő i-edik komponense Fki = −
∂V . ∂rki
(6.88)
Vegyük fel a Lagrange-függvényt a következő alakban N X mk q 2 L(r 1 , . . . , r N , r1 , . . . , r N , t) = |r k | − V (r 1 , . . . , r N , t), 2 k=1
q
q
ahonnan a stacionaritás feltétele ∂L d ∂L ∂V δS qq qq = − − mk rki = Fki − mk rki . 0= q =− δrki ∂rki dt ∂ rki ∂rki
(6.89)
(6.90)
valóban a Newton-egyenlet i-edik komponense a k-adik részecskére. Tömörebb vektor jelöléssel a k-adik részecskére ható erő Fk = −
∂V = −∇k V, ∂r k
(6.91)
amely a (6.88) komponenseit foglalja össze. A (6.90) vektoriálisan is írható 0=
δS ∂L d ∂L ∂V qq qq = − − mk r k = F k − mk rk . q =− δrk ∂r k dt ∂ r k ∂r k 71
(6.92)
A k = 1, . . . , N tömegpontokra végül a Newton-egyenlet vektor alakját kapjuk. A ∂L q q = mk r k ∂ rk
pk =
(6.93)
impulzusokkal írva (6.94)
pk = F k . q
Ezeket az egyenleteket régóta ismerjük, az újdonság az, hogy a hatásfunkcionál stacionaritási feltételét jelentik. 6.2.2. A Hamilton-elv Descartes-koordinátákkal Az előzőek alapján kimondjuk a potenciálmozgásokra érvényes Hamilton-elvet. Képezzük a Lagrange-függvényt a következő módon (6.95)
L = K − V,
ahol K a kinetikus és V a potenciális energia. Változói általában a koordináták és a sebességek, mint az idő függvényei, és expliciten az idő q
q
L = L (r1 , . . . , rN , r 1 , . . . , r N , t) .
72
(6.96)
Adott kezdő és végső időpont között definiáljuk a hatásfunkcionált w t1 L dt, S [r 1 (t), . . . , rN (t)] = t0
(6.97)
s a pályák végpontjait is rögzítettnek tekintjük r k (t0 ) = rk0 , r k (t1 ) = r k1 .
(6.98)
A hatás természetesen függ a kezdő és végső időpontoktól, valamint az ott adott pozícióktól is – ezt nem tüntettük fel (6.97) baloldalán. A Hamilton-elv azt mondja ki, hogy a fizikailag megvalósuló mozgás mentén a hatás stacionárius, azaz a hatásnak a pályák szerinti funkcionális deriváltja eltűnik δS = 0. δr k
(6.99)
Egyelőre potenciálmozgásokra láttuk, hogy ez az elv ekvivalens a Newton-egyenletekkel, mellékfeltételekkel kiegészítve pedig a 6.2.3. fejezetben általánosítjuk. Megjegyzés: Lemondhatunk a végpontok rögzítéséről, ekkor a parciális integráláskor fellépő határtagokat is figyelembe kell venni. A következő feltétel t1 w N N X ∂L X d ∂L ∂L − δrk dt = 0 (6.100) δS − q δrk = q ∂ r ∂r k dt ∂ r k k t0 k=1 k=1 73
független δr k variációk mellett valóban a (6.92) mozgásegyenleteket adja. Ha előírhatjuk a végpontokon a variációk eltűnését, akkor előnyös az eredeti δS = 0 megfogalmazás, hiszen így egyetlen skalár funkcionál stacionaritási feltételét kapjuk. 6.2.3. Holonóm kényszerek és általános koordináták Mechanikai rendszerünk helyzetét gyakran fölösleges a tömegpontok 3N Descartes-koordinátájával megadni, hanem ehhez elegendő kevesebb, célszerűen megválasztott koordináta. Ilyen helyzettel akkor állunk szemben, ha a 3N koordináta között kényszerek állnak fenn, melyek kifejezhetők M feltétellel, úgymint Φℓ (r1 , . . . , rN , t) = 0,
ℓ = 1, . . . , M.
(6.101)
Az általánosság kedvéért megengedtük az időfüggést is. A rendszer szabadsági fokainak száma tehát f = 3N − M.
(6.102)
A (6.101) hiperfelületeket határoz meg a 3N dimenziós térben, az ilyen kényszereket holonómnak nevezzük. Tegyük fel, hogy q1 , . . . , qf ún. általános koordinátákat választhatunk oly módon, hogy a (6.101) mellékfeltételek automatikusan teljesüljenek r k = rk (q1 , . . . , qf , t),
k = 1, . . . , N.
(6.103)
Ez azt jelenti, hogy ha a Φℓ -ek (6.101) formuláiba helyettesítjük a (6.103) függvényeket, akkor azok azonosan eltűnnek Φℓ (q1 , . . . , qf , t) ≡ 0, 74
ℓ = 1, . . . , M.
(6.104)
Ezt tekinthetjük az általános koordináták fő hasznának. A következő lépés a Lagrange-függvény átírása az általános koordinátákra. A (6.103) függvényt idő szerint deriválva a descartes-i sebességeket kifejezhetjük az általános koordinátákkal és ezek időderiváltjaival, azaz az általános sebességekkel rk = q
f X ∂r k q ∂r k ql + , ∂ql ∂t
(6.105)
k = 1, . . . , N.
l=1
Ezeket és a (6.103) kifejezéseket (6.96)-ba helyettesítve kapjuk q
q
L (r1 , . . . , rN , r 1 , . . . , r N , t) = L (q1 , . . . , qf , q1 , . . . , qf , t) , q
q
(6.106)
azaz a Lagrange-függvényt, mint az általános koordináták és sebességek függvényét. (A jobb- és baloldalon nyilvánvalóan különböző függvények állnak, különböző számú argumentummal, de mivel fizikailag azonos mennyiségekről van szó, mindkettőt L-lel jelöltük.) 6.2.1. Példa. Síkinga: Általános iskolából ismert példával kezdjük. Egyelőre nem látszik, miért hasznos a Lagrangeformalizmus, ez bonyolultabb rendszerek esetén fog kiviláglani. A felfüggesztési ponttól mért descartes-i koordináták között fennáll az alábbi kényszer Φ(r) = x21 + x22 − ℓ2 = 0. 75
(6.107)
Ezt automatikusan teljesítjük a q1 = ϕ választással x1 = ℓ sin ϕ,
(6.108)
x2 = −ℓ cos ϕ ; Φ(ϕ) ≡ 0.
A descartes-i sebességkomponensek és a sebességnégyzet előáll x1 = ℓϕ cos ϕ, q
q
x2 = ℓϕ sin ϕ ; v 2 = x21 + x22 = ℓ2 ϕ2 . q
q
q
q
q
(6.109)
A tömegpont kinetikus és potenciális energiája megadja a Lagrange-függvényt K=
mv 2 mℓ2 q 2 ϕ , V = mgx2 = −mgℓ cos ϕ, = 2 2 mℓ2 q 2 ϕ + mgℓ cos ϕ. ; L=K −V = 2
(6.110) (6.111)
Megjegyzés: Az általános koordinátázás nem egyértelmű. 6.18. Gyakorló feladat. Ezt illusztráljuk azzal, hogy válasszuk az x1 Descartes-koordinátát a q1 általános koordinátának, és állítsuk elő vele a Lagrange-függvényt! [2] A lehetséges általános koordinátázás közül azt érdemes bevezetni, amellyel a számítások a legegyszerűbbek.
76
6.2.4. Hamilton-elv és mozgásegyenletek általános koordinátákkal Fogalmazzuk meg a Hamilton-elvet az általános koordináták segítségével! A qj (t) általános koordináták és q qj (t) sebességek függvényeként (6.106)-ban előállt Lagrange-függvényt használva a hatás az általános koordináták trajektóriáinak funkcionálja (a koordináták időfüggését nem jelöltük az integrandusban) w t1 q q L (q1 , . . . , qf , q1 , . . . , qf , t) dt. (6.112) S[q1 (t), . . . , qf (t)] = t0
Ez a hatás éppen az a funkcionál, amelyet úgy kapunk az rk (t) descartes-i trajektóriák funkcionáljából, hogy ezen trajektóriák között az M darab kényszert kirójuk. Először tegyük fel, hogy a hatás stacionaritása valójában extrémum. Szemléletesen nyilvánvaló, hogy a kényszerekkel megszorított r k (t) trajektóriákra a hatás extrémum feltétele megegyezik a kényszereknek automatikusan eleget tevő qj (t) trajektóriákon felvett extremummal. Ezt az utóbbiakra felírt Euler–Lagrange-egyenletekkel fejezzük ki δS ∂L d ∂L = − q = 0, δqj ∂qj dt ∂ qj
(6.113)
melyek a kényszereknek eleget tevő mozgás egyenletei. Miként a descartes-i koordináták variációit, az általános koordinátákéit is rögzített végpontok mellett értjük. Bevezethetjük az általános erőket és a kanonikus vagy általános impulzusokat Fj =
∂L , ∂qj
pj = 77
∂L q , ∂ qj
(6.114)
melyekkel a mozgásegyenletek a tömör (6.115)
pj = Fj q
alakban írhatók. Az általános koordinátákkal tehát hasonló formula adja a mozgásegyenletet, mint a descartesiakkal, viszont az M kényszerfeltétel automatikus figyelembe vétele miatt kevesebb, 3N − M = f számú komponensből áll. A (6.113), azaz ekvivalensen (6.115) másodrendű közönséges differenciálegyenlet-rendszer a q1 (t), . . . , qf (t) trajektóriákra. A trajektóriát a variációs elv rögzített végpontok között határozza meg, azonban gyakran célszerűbb a mozgásegyenletet adott KF-ből kiindulva megoldani határfeltételek kezdeti feltételek
: :
qj (t0 ), qqj (t1 ), qj (t0 ), qj (t0 ).
A két módszer matematikailag különbözik, de fizikai tartalmuk ekvivalens, ha ugyanahhoz a pályához vezetnek. 6.2.2. Példa. Síkinga: A Lagrange-függvényt (6.110) adja, az általánosított impulzus és erő a következő mℓ2 q 2 ϕ + mgℓ cos ϕ, 2 ∂L ∂L q pϕ = q = mℓ2 ϕ, Fϕ = = −mgℓ sin ϕ. ∂ϕ ∂ϕ L=
78
(6.116) (6.117)
A mozgásegyenlet pϕ = Fϕ ; mℓ ϕ = −mg sin ϕ. q
qq
(6.118)
A Beltrami-függvény állandósága fejezi ki az energiamegmaradást B = ϕpϕ − L = q
mℓ2 q 2 ϕ − mgℓ cos ϕ = K + V = E. 2
(6.119)
Megjegyzés: A Newton-egyenletekből indulva fel kellett volna vennünk az inga rúdjában ébredő kényszererőt, s ennek eliminálása után jutottunk volna a ϕ-re vonatkozó mozgásegyenlethez. Ezt a Hamilton-elvből a kényszererő felírása nélkül megkaptuk! 6.19. Gyakorló feladat. Valamilyen szerkezettel az inga rúdjának hosszát időben adott módon változtatjuk: ℓ = ℓ(t). Írjuk fel a mozgásegyenletet! [3] Összefoglalásul azt mondhatjuk, hogy a rendszert célszerűen leíró általános koordinátákat választottunk, ezekre változócserével áttértünk a hatásfunkcionálban, s végül így kerestük az extremumát. Itt kiviláglott a Hamilton-elv előnye, éspedig skaláris mennyiségekből – ilyenek a hatás ill. a Lagrange-függvény – indulva könnyebben térhettünk át az általános koordinátákra, mintha a descartes-i mozgásegyenleteket kellett volna átírnunk. Ez utóbbi eljárást a következő két alfejezetben mutatjuk be.
79
6.2.5. A Hamilton-elv mellékfeltételekkel Noha az általános koordinátáktól függő hatás extremizálásának feltételét (6.113) magától értetődően fejezi ki, a mozgásegyenletekről általában csak azt mondhatjuk, hogy a stacionaritás feltételét fejezik ki a függvénytérben. Ezért nem fölösleges az általános koordinátákra a descartes-i mozgásegyenletekből közvetlen számítással áttérni és így a (6.113) Euler–Lagrange-egyenletet levezetni. Ezzel az eljárással egyrészt a kényszererők számítására is fényt vetünk, továbbá az itt bemutatott eljárás segítségével a későbbiekben a variációs formalizmust kiterjeszthetjük disszipatív erőkre is. A Hamilton-elvet a mellékfeltételekkel együtt megfogalmazhatjuk oly módon, hogy a (6.96) Descartes-koordinátáktól függő L Lagrange-függvényt a (6.101) kényszerekkel kiegészítjük Lλ = L +
M X
λℓ Φℓ ,
(6.120)
ℓ=1
ahol λℓ (t) az ℓ-edik kényszerfeltételhez tartozó, az időtől általában függő multiplikátor. A kényszerekkel kiegészített Lλ Lagrange-függvény argumentumai Lλ = Lλ (r 1 . . . , r N , r 1 , . . . , r N , λ1 , . . . , λM , t) , q
q
(6.121)
benne a multiplikátorok időderiváltjai nem lépnek fel. Az eredeti L és a kényszerekkel kiegészített Lλ Lagrange-
80
függvények a megfelelő hatásfunkcionálokat definiálják S [r1 (t), . . . , rN (t)] =
w
L dt,
Sλ [r 1 (t), . . . , r N (t), λ1 (t), . . . , λM (t)] =
w
(6.122) Lλ dt
(6.123)
ahol az argumentumokat csak a baloldalon jelöltük. A kényszerekkel kiegészített Sλ hatás extrémumfeltétele a descartes-i koordináták és a multiplikátorok szerinti Euler–Lagrange-egyenletek. Az előbbiek alakja M
M
X ∂Φℓ δS ∂L d ∂L X ∂Φℓ δSλ λℓ λℓ = + = − = 0. q + δr k δr k ℓ=1 ∂r k ∂r k dt ∂ r k ℓ=1 ∂r k
(6.124)
A multiplikátorok szerinti variációs deriváltak eltűnése éppen a (6.101) kényszerekkel ekvivalens. 6.20. Gyakorló feladat. Írjuk fel a Hamilton-elvet síkingára Descartes-koordinátákkal: vegyük figyelembe a kényszert multiplikátorral, s adjuk meg a descartes-i mozgásegyenleteket! [3] Megjegyzés: A multiplikátoros tagok a (6.124) mozgásegyenletben a ∂L/∂r k potenciálos erőhöz adódnak, azaz maguk is erőknek foghatók fel, ezért nyilvánvalóan kényszererőként értelmezhetjük őket. Ezek teszik lehetővé a (6.101) feltételek betartását, s kézenfekvő az a feltevés, hogy az ℓ indexű tag az ℓ-edik kényszer által a k-adik tömegpontra kifejtett kényszererő. Mint alább megmutatjuk, az általános koordináták bevezetésével éppen a kényszererőket küszöbölhetjük ki s jutunk ezeket nem tartalmazó mozgásegyenletekhez. A kényszererők vizsgálatával később foglalkozunk. 81
6.2.6. A mozgásegyenlet közvetlen transzformációja általános koordinátákra Tegyük fel, hogy bevezettük a q1 , . . . , qf általános koordinátákat az 6.2.3 fejezetben leírtak szerint, azaz velük a kényszerek automatikusan teljesülnek. Későbbi felhasználásra (6.103,6.105) alapján adódnak a következő relációk q q ∂ 2 rk ∂r k ∂ rk X ∂ 2 rk q d ∂r k ∂rk ql + , = , (6.125) = q = ∂ qj ∂qj ∂qj ∂q ∂q dt ∂q j ∂ql j ∂t j l
ahol a qj ill. qj szerinti parciális deriváltakat úgy értjük, ahogyan azt a Lagrange-formalizmusban megszoktuk, azaz a másik mennyiséget, s az összes többi, nem j indexű függvényt és az időt állandónak hagyjuk. Először is vegyük észre, hogy ha beszorozzuk a (6.124) egyenletet a q
∂r k ∂qj deriválttal és összegzünk k-ra, akkor a multiplikátorokat tartalmazó rész minden ℓ-re kiesik. Ugyanis X ∂Φℓ ∂r k ∂Φℓ = ≡ 0, ∂r k ∂qj ∂qj k
ahol felhasználtuk a (6.104) relációt, azaz a Φℓ -ek azonosan zérus voltát. Fennmarad tehát X δSλ ∂r k X ∂L ∂r k X d ∂L ∂r k X δS ∂r k = − = = 0. q δr k ∂qj ∂r k ∂qj dt ∂ r k ∂qj δr k ∂qj k k k k 82
(6.126)
(6.127)
(6.128)
Azt mondhatjuk, a ∂r k /∂qj -vel való szorzással a kényszererőkre merőleges vetítést végeztünk, melynek révén ez utóbbiakat elimináltuk a mozgásegyenletekből. Ezért az eredeti S hatást is írhatjuk e variációs kifejezésbe. Vizsgáljuk most a hatás általános koordináták szerinti funkcionálderiváltját, amelyben nem kell felvennünk multiplikátorokkal a kényszereket, ugyanis ezeket az általános koordináták automatikusan kielégítik ∂L d ∂L δS = − q . δqj ∂qj dt ∂ qj Ennek tagjait a derékszögű koordinátákon keresztül történő differenciálással fejezhetjük ki q ∂L X ∂L ∂r k ∂L ∂ r k = + q , ∂qj ∂r ∂ r k ∂qj k ∂qj k " " # q # X d ∂L ∂r k X ∂L d ∂r k d X ∂L ∂r k d ∂L d X ∂L ∂ r k = = + q q q q q = q dt ∂ qj dt k ∂ r k ∂ qj dt k ∂ r k ∂qj dt ∂ r ∂q ∂ r k j k dt ∂qj k k q X d ∂L ∂r k X ∂L ∂ r k = + , q q dt ∂ r ∂q ∂ r k j k ∂qj k k
amelyben több helyütt felhasználtuk a (6.125) relációkat. A hatás funkcionálderiváltja tehát X ∂L ∂L d ∂L d ∂L ∂r k X δS ∂r k δS = − − = = 0, q q = δqj ∂qj dt ∂ qj ∂r k dt ∂ r k ∂qj δrk ∂qj k k 83
(6.129)
(6.130)
(6.131)
(6.132)
a (6.128) egyenlet szerint eltűnik. Vegyük észre, hogy a descartes-i és általános koordináták szerinti variációs deriváltak között kapott (6.132) összefüggés a közvetett függvény parciális deriválási szabályának analógja. Éppen ezt kapnánk a 6.1.4 fejezetben bemutatott eljárással, amelyben az argumentum-függvény diszkretizációját követően parciális deriváltakat képeztünk, majd ezek határátmenetével vezettük be a funkcionálderiváltat. A fenti levezetés diszkretizáció nélkül, funkcionálokkal való számítás révén vezetett el a (6.113) mozgásegyenlethez, azaz igazolta, hogy az Euler–Lagrange-egyenlet az általános koordinátákban is fennáll. Megjegyzések (1) Ha a Hamilton-elv extremum-feltétel, akkor (6.113) mozgásegyenlet szemléletből következik, miként azt a 6.2.4 fejezetben említettük. Azt ugyanis nyilvánvalónak tekinthetjük, hogy a hatásfunkcionál extremum-feltétele koordinátacsere után is fennáll, azaz a descartes-i koordinátákról a kényszereket figyelembe vevő általános koordinátákra való áttérés után is extremumot keresünk, melynek feltétele szükségképpen Euler– Lagrange-egyenletek alakjában áll elő. A fenti levezetés azt mutatja, hogy a kényszerek által szűkített altérben nemcsak az extremum-, hanem az általánosabb stacionaritási feltétel is érvényes marad az általános koordinátákkal kifejezve. (2) Érdemes hangsúlyozni, hogy a koordinátacsere időfüggő relációkat is megengedett a descartes-i és általános koordináták között. (3) A mellékfeltételek multiplikátorral való felvétele eredményeképpen a kényszererőkre is kaptunk formulákat, melyeket majd a kényszerek részletesebb vizsgálatakor használunk. (4) Később a Hamilton-elv disszipatív kiterjesztésében a variációs deriváltak átszámítása kulcsszerepet fog játszani. Az általános koordináták bevezetése a Hamilton-elv alkalmazási körét lényegesen kiszélesíti. Az elv szerint ugyanis a hatás, mint a lehetséges pályák funcionálja stacionarius a fizikailag megvalósuló pálya mentén. E pályákat kényszerfeltételek esetén azonban jól választott általános koordinátákkal célszerű megadni, s ekkor megmutatkozik 84
annak előnye, hogy a Hamilton-elv egy skaláris mennyiség stacionaritását írja elő. Ha ugyanis a hatásfunkcionálba a Descartes-koordináták helyébe megfelelő változócserével az általános koordinátákat írjuk, akkor a hatásnak a kényszer melletti stacionárius pályán felvett értéke nem változik, de a funkcionált célszerűbben paraméterezett pályák szerint variálhatjuk. Foglaljuk össze a Hamilton-elv előnyeit! → → → → →
A rendszer fizikai tulajdonságait egyetlen, skalár értékű függvénybe, a Lagrange-függvénybe foglaltuk. Változócserével célszerűbb paraméterezésre térhetünk át az elv megtartásával. Kényszerek is figyelembe vehetők az általános koordinátákkal. Kikerültük a kényszererők számítását. További olyan kényszerek, amelyeket az általános koordinátákkal nem vettünk figyelembe, a multiplikátorok módszerével ezután is kiróhatók (ld. később).
A Hamilton-elvet és abból a mozgásegyenlet levezetésének módszerét gyakran Lagrange-formalizmusnak nevezik. Megjegyzés: Általános koordináták esetén is lemondhatunk a végpontok rögzítéséről, ekkor a parciális integráláskor fellépő határtagokat is figyelembe kell venni. A mozgásegyenletek általában a következő variációs feltétellel ekvivalensek δS −
f X k=1
pk δqk |tt10
=
f wX k=1
85
(Fk − pk ) δqk dt = 0. q
(6.133)
Csak akkor kapjuk egyetlen skalár funkcionál stacionaritási feltételét, ha a végpontokban az általános koordináták rögzíthetők. 6.2.7. Megmaradási tételek a. Ciklikus koordináta A qj -t ciklikus koordinátának nevezzük, ha a Lagrange-függvényben expliciten nem szerepel, azaz ∂L/∂qj = 0. Ekkor pj = q
d ∂L q = 0 ⇒ pj = áll. dt ∂ qj
(6.134)
Ha a tér invariáns a qj koordináta eltolásával szemben, azaz homogén, akkor azon koordinátához tartozó kanonikus impulzus megmarad. b. Idő homogenitása Ha L expliciten nem függ az időtől, azaz a potenciál időfüggetlen, akkor a (6.53) Beltrami-függvény invariáns. Ennek fizikai jelentése az energia X q ∂L X q E= qj q − L = qj pj − L. (6.135) ∂ q j j j 86
A megvalósuló (extremizáló) pálya mentén valóban X ∂L q ∂L qq dE X q q q q qj + q qj = 0, = (qj pj + qj pj ) − dt ∂qj ∂ qj j j
(6.136)
ahol felhasználtuk pj (6.114) definícióját és a (6.115) mozgásegyenletet.
6.21. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy általában dE/dt = −∂L/∂t! [2] 6.2.3. Példa. Időfüggetlen potenciál: A Lagrange-függvény L= az impulzus
N X mk q 2 |rk | − V (r1 , . . . , rN ), 2 k=1
pk =
∂L q q = mk r k , ∂rk
(6.137)
(6.138)
s a Beltrami-függvény E=
X k
valóban a rendszer energiája.
N X mk q 2 pk r k − L = |r k | + V, 2 k=1
q
87
(6.139)
6.2.4. Példa. Kvadratikus kinetikus energia az általános sebességekben: Ha a kényszerek miatt a rendszert a q1 , . . . , qf általános koordinátákkal jellemezhetjük r k (q1 , . . . , qf ) ≡ r k (q) ⇒ rk = q
X ∂r k j
∂qj
(q) qj , q
(6.140)
ahonnan a kinetikus energia K=
X mk q 2 1 X q q mij (q)qi qj , |r k | = 2 2 i,j
(6.141)
k
kvadratikus az általános sebességekben q-függő együtthatókkal. Mivel L = K − V , az impulzusok X q pj = mji (q)qi ,
(6.142)
i
tehát az energia E=
X j
pj qj − L = K + V. q
88
(6.143)
6.2.8. Példák a Lagrange-féle mechanikára 6.2.5. Példa. Egyenesen csúszó tömegpont rugóhoz rögzítve Rugó végén levő m tömeg egyenes sín mentén súrlódásmentesen mozoghat, melytől d távolságra rögzítjük a rugó másik végét A k állandójú rugó feszítetlen hossza ℓ ≤ d. A Lagrange-függvény 2 k √ 2 m q L = K − V = x2 − x + d2 − ℓ . (6.144) 2 2 A mozgásegyenlet
ℓ p = mx = F = −kx 1 − √ 2 x + d2 q
qq
.
(6.145)
6.22. Gyakorló feladat. Fejtsük sorba az erőt vezető rendben kis x mellett, diszkutáljuk az ℓ < d és ℓ = d eseteket. [2] 6.2.6. Példa. Síkmozgás centrális potenciálban Használjunk polárkoordinátákat f = 2, q1 = r, q2 = ϕ, 89
(6.146)
a potenciál centrális, ha V (r) = V (r).
(6.147)
x =r cos ϕ, y = r sin ϕ, q q q x =r cos ϕ − r ϕ sin ϕ, q q q y =r sin ϕ + r ϕ cos ϕ.
(6.148) (6.149) (6.150)
Sebességek átszámítása
A Lagrange-formalizmus előnye, hogy elegendő a sebességeket átszámítani általános koordinátákra, a gyorsulásokra nincs szükség. A sebesség négyzete v 2 = x2 + y 2 = r 2 + r 2 ϕ2 , q
q
q
q
(6.151)
a Lagrange-függvény L=K−V = Mivel ϕ ciklikus koordináta Fϕ =
∂L =0 ∂ϕ
m q2 q q q r + r 2 ϕ2 − V (r) = L (r, r, ϕ) . 2 ;
pϕ = 90
∂L 2 q q = mr ϕ = N = áll., ∂ϕ
(6.152)
(6.153)
ez az impulzusmomentum. Mivel L az időeltolásra invariáns, az energia megmarad. A kinetikus tag kvadratikus a sebességekben, azért E =K +V =
N2 m q m q m q2 q r + r 2 ϕ2 + V (r) = r 2 + + V (r) = r 2 + Veff (r), 2 2 2 2mr 2
(6.154)
amely szerint a radiális kinetikus energia mellett egy „effektív potenciál” jelenik meg. Visszavezettük a problémát effektív 1D rendszerre, s azonnal elsőrendű differenciálegyenletet kaptunk az r(t) pályára! Illusztrálásul még felírjuk a radiális Euler–Lagrange-egyenletet Fr =
∂L q = −V ′ (r) + mr ϕ2 , ∂r
∂L q q = pr = mr, ∂r
(6.155)
ahonnan az impulzusmomentum behelyettesítésével pr = Fr q
N2 ′ = −Veff (r). ; mr = −V (r) + 3 mr qq
′
(6.156)
Nem meglepő módon az energiában fellépő effektív potenciál jelenik meg a mozgásegyenletben is, melyet egyébként az energia idő szerinti deriválásával is előállíthatunk. 6.23. Gyakorló feladat. Írjuk fel a mozgásegyenleteket a V (r, ϕ) nem feltétlenül centrális potenciálra! [2] 91
6.2.7. Példa. Mozgásállandó visszahelyettesítése a Hamilton-elvbe. Várakozás: Miután függvény extremizálása (általánosabban stacionárius pontja keresése) esetén a megoldás egy részét visszahelyettesíthetjük, majd a redukált probléma stacionárius pontját kereshetjük, hasonlót várunk funkcionáloknál is. Csakhogy a mechanikában csak akkor írhatjuk elő egy funkcionál stacionaritását, ha a végpontokban a trajektória rögzített, különben a mozgásegyenletet (6.133) adja. A következő példa megvilágítja azt, megmaradó mennyiség visszahelyettesítésével hogyan juthatunk az effektív Lagrange-függvényhez. Helyettesítsük be az impulzusmomentumot a Lagrange-függvénybe, ezzel ϕ-t elimináltuk N2 m q2 r + 2 2 − V (r). (6.157) L= K −V = 2 mr Vizsgáljuk ϕ variációját N ϕ= mr 2 q
2Nδr ; δϕ = − mr 3 q
;
δϕ|tt10
=
w
dt δ ϕ = − q
w
dt
2Nδr , mr 3
(6.158)
tehát tetszőleges δr(t) variációk mellett a határokon a polárszög variációja általában nem zérus. Következésképpen a mozgásegyenlet δS − pϕ δϕ|tt10 = δS + N
w
dt
w 2Nδr ∂ N2 = δS − dt δr = 0. mr 3 ∂r mr 2
92
(6.159)
Ez ekvivalens azzal, hogy az általánosított erőt kiegészítettük egy 2N 2 δr/mr 3 taggal, azaz a Lagrange-függvényhez hozzáadtuk a −N 2 /mr 2 kifejezést. Eszerint az effektív Lagrange-függvény N2 N2 m q2 mq Leff = L − r − 2 2 − V (r) = r 2 − Veff , (6.160) = 2 mr 2 mr 2 azaz éppen az effektív potenciált kell levonni a kinetikus energiából. A megmaradó mennyiséget, azaz a részleges megoldást nem helyettesíthetjük egyszerűen vissza a Lagrange-függvénybe! 6.2.8. Példa. Kettős inga Csuklóval megtört síkinga. A szabadsági fokok száma és az általános koordináták f = 2, q1 = ϕ1 , q2 = ϕ2 .
(6.161)
Az m1 kinetikus és potenciális energiája m1 ℓ21 q 2 ϕ1 , V1 = −m1 gℓ1 cos ϕ1 . (6.162) K1 = 2 Az m2 járulékához kifejezzük a descartes-i koordinátákat (y lefelé mutat) x2 =ℓ1 sin ϕ1 + ℓ2 sin ϕ2 , y2 =ℓ1 cos ϕ1 + ℓ2 cos ϕ2 , 93
16. ábra: A kettős inga.
(6.163) (6.164)
majd a sebességeket x2 =ℓ1 ϕ1 cos ϕ1 + ℓ2 ϕ2 cos ϕ2 , q q q y2 = − ℓ1 ϕ1 sin ϕ1 − ℓ2 ϕ2 sin ϕ2 , q
q
q
(6.165) (6.166)
melyekkel az energiák K2 =
m2 2 q 2 q q q ℓ1 ϕ1 + ℓ22 ϕ22 + 2ℓ1 ℓ2 ϕ1 ϕ2 (cos ϕ1 cos ϕ2 + sin ϕ1 sin ϕ2 ) , {z } | 2
(6.167)
cos(ϕ1 −ϕ2 )
V2 = − m2 g (ℓ1 cos ϕ1 + ℓ2 cos ϕ2 ) .
(6.168)
A Lagrange-függvény L = K − V = K1 + K2 − V 1 − V 2
(6.169)
a mozgásegyenleteket származtatja, melyek tömör alakja Fj =
∂L d ∂L q = q = pj . ∂ϕj dt ∂ ϕj
6.24. Gyakorló feladat. Írjuk ki a mozgásegyenleteket részletesen! [4] 94
(6.170)
Energiamegmaradás: mivel ∂L/∂t = 0 és a K kvadratikus az általános sebességekben, azért E = p1 ϕ1 + p2 ϕ2 − L = K + V = áll. q
q
(6.171)
6.25. Gyakorló feladat. Az energia kifejezése részletesen? [1] A mozgásegyenletek numerikusan oldhatók meg, kaotikus mozgás lehetséges. Internet kötés: http://www.myphysicslab.com/dbl_pendulum.html . Vegyük észre, hogy a mozgásegyenleteket a Newtontörvény alapján hosszas eljárással szerkesztik meg — a Lagrange-mechanika ennél rövidebb módszert kínál.
95
7. Egydimenziós konzervatív rendszer Tömegpont 1D potenciálmozgása. Legyen a potenciál időfüggetlen, nincs súrlódás (egy szabadsági fok, f = 1). 7.1. Mozgásegyenlet és energiamegmaradás A potenciál additív konstans erejéig definiált. Ismétlés: m q2 x − V (x), 2 ∂L ∂L q = −V ′ (x), kanonikus impulzus: p = q = mx, erő: F = ∂ x ∂x q qq mozgásegyenlet: p =F ; mx = −V ′ (x).
(7.2)
1 q E = K + V = mx2 (t) + V (x(t)) = áll. 2
(7.4)
Lagrange-függvény: L =K − V =
Energia
(7.1)
(7.3)
Az E − V (x) mérhető, nem függ V (x) nullszintjétől. A mozgás megengedett tartománya x-ben: 1 q E − V (x) = mx2 ≥ 0 2 96
(7.5)
V(x)
Ec2
Ec1
]
] [ A
[
] C
B
[
x
D
17. ábra: Mozgás 1D potenciálban (a jelölt, teljes "B,C"-re kiterjedő pályák periódusideje végtelen, a belsőké véges). A KF x0 = x(t0 ), v0 = x(t0 ), amelyek meghatározzák az energiát 1 E = mv02 + V (x0 ). 2 q
97
(7.6)
A mozgás a 17. ábrán jelölt "B,C" szakaszok belsejében periodikus, az "A,D" tartományokon nem korlátos. → Az energiamegmaradás 1D-ben ekvivalens a Newton törvénnyel, előnye, hogy elsőrendű differenciálegyenlet. → Ha magasabb dimenziós mozgás visszavezethető 1D-re, azaz effektív 1D mozgásegyenlethez jutunk (ld. fent a centrális potenciálban történő mozgás), azt hasonlóan oldhatjuk meg. 7.2. A mozgásegyenlet formális megoldása A mozgásegyenlet a sebesség abszolút értékét adja meg |x| = q
r
2 (E − V (x)). m
(7.7)
Megjegyzés: Elsőrendű, közönséges, szeparábilis differenciálegyenlet x(t) = f (x(t))g(t). q
Az x(t0 ) = x0 KF-hez illeszkedő megoldása implicit alakban wx wt wt q dx/f (x). dt x/f (x) = dt g(t) = t0
x0
t0
98
(7.8)
(7.9)
Fizikai irodalomban elterjedt az a jelölés, melynél az integrálási változót a felső határral azonosnak vesszük, ha nem okoz félreértést. Továbbá az integrál „mértéke” rögtön az integráljel után került, az integrandust ilyenkor =, ± stb. jel vagy a formula vége zárja le. A (7.9) megoldást alkalmazva a mozgásegyenletre (g(t) ≡ 1 és az |.| jelet megtartjuk) t − t0 =
r
x
mw |dx| p ≡ 2x E − V (x) 0
r
x
mw ± dx p . 2x E − V (x) 0
(7.10)
A t mindenképpen növekszik, akkor is, ha "dx" csökken. Fordulópont: a legközelebb elért E = V (xF ),
(7.11)
itt vált dx előjelet, az x(t) pálya visszafordul. A (7.10) integrál útvonalfüggő! 7.3. Mozgás fordulópont közelében Sorba fejtjük a potenciált kvadratikus rendig a fordulópont közelében 1 V (x) = V (xF ) + V ′ (xF )(x − xF ) + V ′′ (xF )(x − xF )2 + . . . 2
99
(7.12)
a. Közel lineáris potenciál V ′ (xF ) 6= 0 ⇒ V (x) ≈ V (xF ) + V ′ (xF )(x − xF ) ⇒ F (x) ≈ −V ′ (xF ) = áll.
A mozgás ilyenkor
x(t) ≈ xF −
1 V ′ (xF ) (t − t0 )2 . 2 m
A pályát és a potenciált a 18. ábra szemlélteti. A fordulópont ∆x környezetében töltött idő (V ′ (xF ) > 0) s s xF xF w w √ dx 2m 8m √ dx p √ ∆t = 2m ∆x véges. ≈ = ′ V (xF ) xF − x V ′ (xF ) V (x ) − V (x) F xF −∆x xF −∆x
(7.13) (7.14)
(7.15)
A pálya véges idő alatt visszafordul (ezt szemléletből is tudtuk, a feldobott kő véges idő alatt esik vissza). b. A fordulópont lokális maximum: közel kvadratikus potenciál A fordulópont a potenciál lokális maximuma 1 V ′ (xF ) = 0, V ′′ (xF ) < 0, ; V (x) ≈ V (xF ) + V ′′ (xF )(x − xF )2 ; F (x) ≈ −V ′′ (xF )(x − xF ), (7.16) 2 100
V(x)
x t 18. ábra: Pálya és potenciál a fordulópont közelében. lineáris, taszító erő hat. A fordulóponttól kis ∆x távolságról indulva a fordulópont elérésének ideje végtelen r xF w m dx ∆t ≈ = ∞. (7.17) ′′ −V (xF ) xF − x xF −∆x
A pálya nem fordul vissza, a mozgás nem lehet periodikus. 7.1. Gyakorló feladat. Oldjuk meg a mozgásegyenletet a potenciál lokális maximuma közelében (azaz taszító kvadratikus potenciálban)! [3] 101
7.4. A mozgásegyenlet megoldása Véges mozgás: Ha az x0 kiindulópont mindkét oldalán egy-egy legközelebbi fordulópontot találunk, melyek teljesítik (−)
(+)
E = V (xF ) = V (xF ),
(7.18)
akkor a mozgás ezek között zajlik. A periódusidő a két fordulópont között eltelt idő kétszerese, (7.10) alapján (+)
T =
√
xF
2m
w
(−)
xF
p
dx . V (xF ) − V (x)
(7.19)
A (7.10) megoldást részletesebben is felírhatjuk. Tegyük fel, hogy kezdetben a sebesség v0 > 0, ekkor a felső fordulópont eléréséig teljesül dx > 0 és ezért r wx m dx p . (7.20) t − t0 = 2 V (x ) − V (x) F x0 Onnan visszafordulva, de az alsó elérése előtt dx < 0, ezért (a határokat az érintésük sorrendjében írjuk) (+) r xF x w w m dx , − t − t0 = p 2 x V (x ) − V (x) F (+) 0
xF
102
(7.21)
t
ahol a második tagot a − előjel pozitívvá teszi. Újból visszafordulhat (+) (−) r xF xF x w w w m dx t − t0 = , − + p 2 x V (x ) − V (x) F (−) (+) 0 xF
xF
(7.22) és így tovább. Minden tag pozitív, a középső értéke T /2. A t(x) általában többértékű, inverze az x(t) fizikai pálya egyértékű, de csak a monoton szakaszaiként invertálható, ld. 19. ábra. A fordulópontok között invertálhatóak az ágak.
+ − + x
19. ábra: Fordulópontok a B szegmens belsejében.
7.2. Gyakorló feladat. Írjuk fel a (7.22) folytatásaként t(x) képletét pontosan n teljes félperiódus megtételét követő x-ekre (páros és páratlan n külön vizsgálandó)! [2] 7.3. Gyakorló feladat. Adjuk meg az előző feladat megoldását, ha a kezdősebesség negatív! [2] 7.4. Gyakorló feladat. Adjuk meg a megoldást, ha nem ütközik a trajektória fordulópontba! [1]
103
7.5. Mozgás gödör alján: a harmonikus oszcillátor 7.5.1. Mozgásegyenlet 1 V ′ (x0 ) = 0, V ′′ (x0 ) > 0 ⇒ V (x) ≈ V (x0 ) + V ′′ (x0 )(x − x0 )2 , 2 ez a simuló parabola; az erő F (x) = −V ′ (x) ≈ − V ′′ (x0 ) (x − x0 ) | {z }
(7.23) (7.24)
k: rugóállandó
lapos ∼ gyenge meredek ∼ erős
Mozgásegyenlet (x0 = 0): mx = −kx ⇒ qq
x= qq
−ω02 x
ω0 =
Kezdeti feltételek: x(0) = x0 , x(0) = v0 . q
104
rugó
r
k , sajátfrekvencia m
!
(7.25)
7.5.2. A mozgásegyenlet megoldása a. Formális eljárás A megoldást gimnáziumból ismerjük, most határozzuk meg a (7.10) megoldóképlet alapján. A pozitív forduló(+) pont xF = A, ez a maximális kitérés, amelyben a sebesség zérus, ezért m q2 k 2 m 2 k 2 k 2 x + x = v0 + x0 = A . 2 2 2 2 2 A megoldás az első fordulópont elérése előtt r wx x/A x dx dx du sgn(v0 ) w sgn(v0 ) w m q p √ = t(x) − t0 = sgn(v0 ) = . 2 2x Aω0 x ω0 k 1 − u2 1 − (x/A) 2 − x2 ) (A x /A 0 0 0 2 E=
(7.26)
(7.27)
Az integrál (u = sin v helyettesítéssel) wu u0
arcsin arcsin w u w u d sin v du √ = dv = arcsin u − arcsin u0 , = 1 − u2 arcsin u cos v arcsin u
(7.28)
0
0
ahonnan t(x) − t0 =
sgn(v0 ) x x0 arcsin − arcsin . ω0 A A 105
(7.29)
Kifejezve x-et kapjuk q h x0 i x(t) = A sin sgn(v0 )ω0 (t − t0 ) + arcsin = x0 cos ω0 (t − t0 ) + sgn(v0 ) A2 − x20 sin ω0 (t − t0 ), A ahol felhasználtuk a
(7.30)
sin(a + b) = cos a sin b + sin a cos b (7.31) p azonosságot. Az energia (7.26) képletéből |v0 | = ω0 A2 − x20 , ahonnan v0 x(t) = x0 cos ω0 (t − t0 ) + sin ω0 (t − t0 ). (7.32) ω0 Ez az első fordulópont elérése előtti általános megoldás. Kiterjesztése későbbi időkre éppen a mindenkori, a KF-hez illesztett általános megoldás! 7.5. Gyakorló feladat. Írjuk fel t(x)-et az első és második fordulópont között, s invertálva mutassuk meg, hogy éppen a fenti képlet adódik! [2] b. Gyakorlati módszer: eiωt behelyettesítése Receptet adunk állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenletek megoldásához. A harmonikus oszcillátor mozgásegyenlete x = −ω02 x. qq
106
(7.33)
Próbafüggvényt helyettesítünk be x = a eiωt ⇒ −aω 2 = −aω02 ⇒ ω = ±ω0 .
(7.34)
Az általános megoldás komplex együtthatókkal x = a+ eiω0 t + a− e−iω0 t = (a+ + a− ) cos ω0 t + i(a+ − a− ) sin ω0 t.
(7.35)
Ezt a KF-hez illesztjük (nyilván a∗+ = a− ). 7.6. Gyakorló feladat. Alakítsuk át a mozgásegyenletet elsőrendű, 2d, lineáris differenciálegyenletté az y = x bevezetésével, s az együttható mátrix felhasználásával írjuk fel a megoldást! [3] q
c. Periódusidő +A 1 2 w 2 2 w 2π dx d(x/A) p p = = T = (arcsin 1 − arcsin(−1)) = . 2 2 ω0 A ω0 −1 1 − (x/A) ω0 ω0 1 − (x/A) −A
A periódusidő nem függ az amplitúdótól, azaz az energiától!
107
(7.36)
d. Általános kvadratikus potenciál
V (x) = a + bx + cx2 = V0 +
k (x − x∗ )2 , 2
(7.37)
ezzel az x∗ körüli harmonikus oszcillátort kaptuk. 7.7. Gyakorló feladat. Fejezzük ki a k, x∗ paramétereket a, b, c-vel! [1] 7.6. Fázistér I: pályák globális szemléltetése A fázistér a mozgás elterjedt szemléltetése az (x, v) síkon. Eddig kerestük az x(t), v(t) függvényeket, most az (x(t), v(t)) paraméteres görbéket ábrázoljuk: ezek a fázistérbeli trajektóriák. Egyenletük r 2 |v| = (E − V (x)) (7.38) m tükörszimmetrikus az x tengelyre. A különböző görbéket E paraméterezi. 7.6.1. Harmonikus oszcillátor Ha a potenciál V (x) = 21 mω 2 x2 , akkor 1 1 1 E = mv 2 + mω 2 x2 = mω 2 A2 2 2 2 108
(7.39)
v
v
x
x x
x
x x
t
t
20. ábra: Fázistér, és a hozzá tartozó v(t) és x(t) függvények az x(0) = 0, v(0) > 0 KF mellett. Az x − v összefüggés ellipszis:
v2 x2 + = 1. (7.40) A2 ω 2 A2 A fázistérbeli pályát és az időbeli trajektóriákat a 20. ábra szemlélteti. Általában stabil x∗ egyensúly közelében (V ”(x∗ ) > 0) ilyen a mozgás, x∗ : elliptikus fix pont! Ilyen a tipikus konzervatív stabil egyensúly, körülötte kis rezgéseket folytat a tömegpont, a fázistérben ellipsziseket jár be. Növekvő E növekvő átmérőjű pályákat határoz meg, ld. 21. ábra. Az E megha- 21. ábra: Fázistérbeli pályák különböző E energiák meltározza az ellipszist, amelyen végtelen sok KF-ből indított mozgás történhet. lett. 109
7.6.2. Általános potenciál A potenciált és a fázistérbeli trajektóriákat a 22. ábra szemlélteti. Különböző fázistérbeli trajektóriák különböző E energiákhoz tartoznak, ezért nem metszhetik egymást. v E4 E4
E3 E3
E1
E2 E1
x E2
E>E4
22. ábra: Általános potenciál és a fázistér. Szeparátrixok (Ec ): E2 (piros), E4 (zöld). 7.8. Gyakorló feladat. A két ábra nem összeillő. Mi a hiba? [1] 7.9. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy lokális maximum közelében (ahol V ′′ (x∗ ) < 0) a pályák hiperbolák! [3] Az x∗ instabil, hiperbolikus fix pont. 110
Általában szeparátrixnak nevezünk egy pályát (az ábrákon az energiáját Ec -vel jelöltük), ha → átmegy legalább egy hiperbolikus fix ponton, → végtelen idő szükséges a bejárásához, → kvalitatíven különböző pályákat választ el. 7.6.1. Példa. Másod-harmadfokú potenciál: V (x) = k2 x2 + λx3 , ld. 23. ábra. v
V(x)
Ec
Ec x
x
23. ábra: Másod-harmadfokú potenciál λ < 0 mellett és fázistérbeli pályák. A piros vonal a szeparátrix. 7.6.2. Példa. Másod-negyedfokú potenciál: V (x) = k2 x2 + λx4 . "Lágyuló" (λ < 0), ld. 24. ábra, ill. "keményedő" (λ > 0) rugó.
111
v
V(x) Ec
Ec
x
x
24. ábra: Másod-negyedfokú potenciál (λ < 0) és fázistérbeli pályák. A piros vonal a szeparátrix. Pályák kétféle szemléltetése: Időfüggvények Fázistér (t,x) illetve (t,v) ∼ (x,v) x(t),v(t) ∼ v(x) időbeli változás ∼ geometriai szerkezet egyedi pályák ∼ globális áttekintés
112
7.7. Inverz probléma: a periódusidőből visszakövetkeztetünk a potenciálra Tekintsünk egy potenciálvölgyet, éspedig legyen V (0) = 0, és V (x) monoton csökkenjen a negatív és nőjön a pozitív félegyenesen! A két inverz ága x1 (V ) ≤ 0 és x2 (V ) ≥ 0, adott E energián a fordulópontok x1 (E), x2 (E) (a korábbitól eltérő jelöléssel). A periódusidőt felbontjuk kétoldali járulékokra és az integrálban változócserét hajtunk végre (x → V ) "0 # x2w(E) w wE √ √ dx dV dV p x′1 (V ) √ T (E) = 2m = 2m + x′2 (V ) √ E − V E −V E − V (x) 0 E x (E) 1
√
= 2m
wE 0
[x′2 (V
)−
x′1 (V
wE √ dV dV = 2m ∆x′ (V ) √ , )] √ E−V E − V 0
(7.41)
ahol bevezettük az inverz ágak különbség függvényére a következő jelölést ∆x(V ) = x2 (V ) − x1 (V ).
(7.42)
Az x1 (V ), x2 (V ) inverz ágakhoz adott azonos függvény nem változtatja a periódusidőt, ez tehát azonos olyan potenciálvölgyekre, melyeknek ugyanazon energiákhoz tartozó szélessége azonos. Fordítsuk meg a kérdést! Ha ismerjük a periódusidőt, mint az energia függvényét, akkor mit mondhatunk a potenciálról? Előre tudjuk, hogy a potenciál nem egyértelműen határozható meg, a peridódusidő az inverz ágak különbségéről ad információt. 113
Alkalmazzuk a periódusidőre a következő transzformációt T˜ (U) =
wU T (E)dE √ wU dE wE dV √ ∆x′ (V ) √ = 2m √ . U − E U − E E − V 0 0 0
(7.43)
A 0 ≤ V ≤ E ≤ U egyenlőtlenségek alapján az integrálások sorrendjét felcseréljük T˜ (U) =
√
2m
wU
′
∆x (V )dV
0
wU V
dE p . (U − E)(E − V )
(7.44)
Az E szerinti integrálás tartományát a (0, 1) intervallumra képezhetjük a z változóra áttérve E = V + (U − V ) z 2 ; dE = 2(U − V )z dz, w1 wU p √ dz dE 2 p =2 √ = π, (U − E)(E − V ) = z(U − V ) 1 − z ; 2 1 − z (U − E)(E − V ) 0 V
(7.45)
amely érdekes módon U-tól és V -től függetlennek adódott. Ennek alapján T˜ -ot kifejezzük, melyből végül a (7.43) definíció szerint nyerjük a keresett formulát ∆x(V )-re V wU √ √ 1 w T (E)dE ′ ˜ √ T (U) = π 2m ∆x (V )dV = π 2m∆x(U) ; ∆x(V ) = √ . π 2m 0 V − E 0
114
(7.46)
Tehát a T (E) periódusidő egyértelműen meghatározza az inverz ágak ∆x(V ) különbségét, azaz a potenciálvölgy szélességét minden adott V energia mellett. Szimmetrikus potenciált T (E) egyértelműen definiál. 7.10. Gyakorló feladat. Adjunk meg egy nem szimmetrikus, kvadratikusnál bonyolultabb V (x) potenciált expliciten, melyhez állandó periódusidő tartozik! [3] 7.8. Anharmonikus oszcillátor periódusideje: perturbációszámítás és dimenzióanalízis A perturbációszámítás az elméleti fizika legelterjedtebb módszerei közé tartozik. Elsőként a véges mozgások periódusidejének számításán keresztül mutatjuk be az eljárást. Ezen túl a periódusidő számítása a dimenzióanalízisre is jó példával szolgál. 7.8.1. Perturbált harmonikus potenciál A kvadratikus potenciálhoz adjunk kis perturbációt V (x) =
k 2 x + ǫv(x), 2
(7.47)
majd a periódusidőt ǫ szerint sorba fejtjük. Feltesszük, hogy a mozgás során |V (x)| ≫ |ǫv(x)|, a sorfejtés kis paraméterét később, a számítás során azonosítjuk. Legyenek a fordulópontok most A1 , −A2 E = V (A1 ) = V (−A2 ). 115
(7.48)
A periódusidőt felbontva kapjuk (x ≷ 0) T (E) = T1 (E) + T2 (E) =
√
2m
wA1 0
A2
w √ dx dx p + 2m p . E − V (x) E − V (−x) 0
(7.49)
Észrevesszük, hogy a perturbáció az integrandusokban szereplő potenciálban és az integrálok felső határait képező amplitúdókban is megjelenik – első lépésként a felső határból küszöböljük ki. Vizsgáljuk T1 -et! Bevezetve az r k ǫ x = A1 sin u ( ; dx = A1 cos udu) , ω = (7.50) , α= m kA21 jelöléseket nyerjük T1 =
√
2m
wA1 0
π/2 cos udu 2 w p p . = 2 u + 2α[v(A ) − v(A sin u)] ω cos (k/2)(A21 − x2 ) + ǫ[v(A1 ) − v(x)] 1 1 0
dx
(7.51)
Ha ǫ = 0, visszakapjuk a harmonikus oszcillátor fél periódusidejét, T1 = π/ω = T /2. A fenti integrál felső határa rögzített, a perturbáció csak az integrandusban lép fel, melyet az alábbiakban fejtünk sorba vezető rendben.
116
7.8.2. Periódusidő sorfejtése - vezető korrekció Használjuk fel, hogy (1 + y)−1/2 = 1 −
y 2
+ O(y 2), ahonnan
π/2 2 w v(A1 ) − v(A1 sin u) T1 = 1−α du + O(α2 ). ω cos2 u
(7.52)
0
A korrekcióban a kitérést közelíthetjük a perturbálatlan értékkel r 2E k 2 + O(ǫ) E = A1 + ǫv(A1 ) ; A1 = 2 k
;
A1 ≈ A2 ≈ A0 =
r
2E . k
(7.53)
Tehát π/2 2π 2α w v(A0 sin u) − v(A0 ) + v(−A0 sin u) − v(−A0 ) T = T1 + T2 = + du + O(ǫ2 ) ω ω 0 cos2 u π/2 2π 2π 2ǫ 2ǫ w vs (A0 sin u) − vs (A0 ) 2π 2ǫ 2π 4ǫ ≈ I(A0 ) = 1+ I(A0 ) + du = + I(A0 ) = + ω ωE cos2 u ω ωE ω ωkA20 ω πkA20 0 (7.54)
117
ahol vs (x) = (v(x) + v(−x))/2 a perturbáció szimmetrikus része. Következésképpen a páratlan v(x) az ǫ-ban első rendben nem módosítja a periódusidőt. A "féloldalas" idők, T1 , T2 változhatnak, de amennyivel a trajektória "siet" az egyik oldalon, annyival "késik" a másikon. 0 + O(ǫ2 )! 7.11. Gyakorló feladat. Köbös perturbáció: v(x) = x3 . (a) Mutassuk meg, hogy T1/2 ≈ ωπ 1 ∓ 4ǫA πk 2 [3] (b) Határozzuk meg T korrekcióját ǫ rendig! [5]
7.12. Gyakorló feladat. Általános hatvány perturbációra (v(x) = |x|β ) írjuk fel a periódusidő vezető korrekcióját. [3] 7.8.1. Példa. Negyedfokú perturbáció: v(x) = x4 = vs (x). Az integrált el tudjuk végezni π/2 w
π/2
w sin4 u − 1 2 4 π 4 du (1 + sin u) = −A = −A du I(A0 ) 0 0 cos2 u 2 0 0 2π 3A20 ǫ 3Eǫ 2π ; T = 1− 1 − 2 + O(ǫ2 ) . + O(ǫ2 ) = ω 2k ω k =A40
1 3π 3πE 2 1+ = − A40 = − 2 , 2 4 k
(7.55) (7.56)
A perturbáció energiafüggést eredményez! A korrekció kicsiny, ha ǫE/k 2 és ǫA20 /k << 1,
(7.57)
tehát a perturbációszámítás eredményéből tudtuk megmondani, mikor érvényes a közelítés. (Itt ǫ nem dimenziótlan!) 118
7.13. Gyakorló feladat. Ellenőrizzük, hogy e kifejezések valóban dimenziótlanok! [1] 7.14. Gyakorló feladat. Lássuk be, hogy a fenti feltétel teljesülése esetén v(x) valóban sokkal kisebb a harmonikus potenciálnál a fordulópontok között! [1] 7.15. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy a periódusidő valamely általános V0 (x) potenciál ǫV1 (x) perturbációja esetén első rendig T0 + ǫT1 (V1 a korábbi v-nek felel meg, és T1 is új jelölés), ahol T1 = −
∂ w T0 dt V1 (x0 (t)), ∂E 0
(7.58)
melyben a perturbálatlan x0 pályán kívül a T0 periódusidő is függhet az E energiától. Ellenőrizzük, hogy visszakapjuk-e a harmonikus potenciálra a (7.54) eredményt? [7] 7.8.3. Periódusidő általános alakja negyedfokú perturbáció mellett. Tekintsük a másod-negyedfokú potenciált, amelyet a harmonikus mellé járuló v(x) = x4 perturbációval adható meg.
119
(7.59)
a. Amplitúdófüggés Vizsgáljuk a periódusidőt nem feltétlenül kicsiny amplitúdó mellett. Dimenzióanalízis: ha kiemeljük a 2π/ω-t, a maradék dimenziótlan, ezért csak dimenziótlan változó függvénye lehet ǫA2 , k # " ∞ X 2π 2π T (A) = f (s) = 1+ cn sn , ω ω n=1 s=
(7.60) (7.61)
melyet sor alakjában írtunk. Láttuk fent, hogy c1 = −3/2, levezetés nélkül közöljük a c2 = 57/16 értéket. b. Energiafüggés Az amplitúdó helyett az energiát is használhatjuk E=
kA2 + ǫA4 . 2
120
(7.62)
Az átszámításkor sorfejtés esetén fölösleges a megoldóképletet használni, adott rendig elegendő a szukcesszív approximáció " # 4 4 4 2 2E ǫA 2E ǫ 2E 2E 4ǫE 2ǫA 2E 2ǫA 2 A = 1− = 1− = 1 − 2 + ... . − = − (7.63) k k k E k E k k k k Természetesen ugyanezt kapjuk, ha a megoldóképletet fejtjük sorba. Az energiafüggést hordozó dimenziótlan változó innen is leolvasható ǫE , k2 2π 2π T (E) = g(u) = ω ω
(7.64)
u=
1+
∞ X n=1
!
dn u n .
Ez fizikai szempontból azonos a (7.61) mennyiséggel, de más változó függvényeként áll elő! 7.16. Gyakorló feladat. Adjuk meg a d1 , d2 együtthatókat! [2] Megjegyzés: Különböző jelölések → Matematika: T (A) és T (E) ugyanazon függvény, az A ill. E helyeken. → Fizika: T (A) és T (E) ugyanaz a mennyiség, de különböző változók különböző függvényalakjai. 121
(7.65)
c. Nagy kitérések Ha kx2 << ǫx4 , akkor a periódusidő formulája nem függhet a k-tól. Ennek feltétele a g(u) hatvány alakú aszimptotikája nagy u mellett, melynek kitevőjét alább számítjuk ki r −a √ m ǫE m 1 −a −1 −a . (7.66) ; T ∝ √ ; a= g(u) ∝ u ; T ∝ω u = 4 2 k k 4 ǫE
Ezzel lényegében az x4 potenciálban mozgó tömegpont periódusidejének energiafüggését határoztuk meg. d. "Lágyuló" potenciál: ǫ < 0.
A fenti (7.65) sort u < 0-ra is értelmezhetjük, mely a periódusidőt ǫ < 0 mellett fejezi ki. Negatív ǫ esetén a potenciálban azonban két globális maximum, ±xc jelenik meg, a periodikus mozgás csak ezek között történhet. A maximumpontokat és a hozzájuk tartozó Ec energiát alább meghatározzuk s 1 k 1 1 k2 0 = V ′ (xc ) = kxc − 4|ǫ|x3c ; xc = ; Ec = V (xc ) = kx2c − |ǫ|x4c = . (7.67) 2 |ǫ| 2 16 |ǫ| A lokális maximumok közelében a periódusidő divergál (ld. (7.17)) , ezért T (E) → ∞ midőn E ր Ec
; 122
u ց uc = −
|ǫ|Ec 1 = − , k2 16
(7.68)
itt tehát a periódusidő szingularitást mutat. Ha E > Ec , akkor nem véges a mozgás, periódusidő nem értelmezett. Megjegyzés: A T -nek u hatványai szerinti sorának konvergenciasugara nem lehet nagyobb, mint |uc | = 1/16. Sejtés: éppen ekkora. T(u)
e. Globális függvénymenet
2π /ω
A periódusidő a (7.64)-ben bevezetett u függvényében a 25. ábrán látható. Vegyük észre, hogy a konvergenciasugáron a pozitív oldalon áthaladhatunk, |uc |-ban a T (u) menetében szingularitás nem jelenik meg.
~u−1/4 −1/16
u 7.8.4. Dimenzióanalízis: periódusidő tiszta hatvány potenciálban. 25. ábra: Periódusidő a negyedfokú perturbáció esefüggvényében. Az uc = −1/16 helyen tén az u = ǫE Az energia k2 divergál, ez a szeparátrix energiájának felel meg. mv 2 β E= + b|x| . (7.69) 2 A paramétereknek egyetlen idő dimenziójú kombinációja létezik. p p p p (7.70) hossz: β E/b, sebesség: E/m ; idő: m/E β E/b.
123
A periódusidő csak az utóbbi kifejezéssel lehet arányos, tehát √ m β1 − 12 E T (E) ∝ √ . β b
(7.71)
β ≷ 2 ∼ keményedő/lágyuló potenciál a harmonikushoz képest. 7.17. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy az m, E, b mennyiségekből dimenziótlan kombináció nem állítható elő! Ezt a tényt hallgatólagosan felhasználtuk a (7.71)-ben: a jobboldalt függvény nem, csak numerikus állandó szorozhatja. [1] 7.18. Gyakorló feladat. Számítsuk ki a periódusidőt a (7.19) integrálformulájából! Legfeljebb dimenziótlan integrált hagyhatunk kijelölve. [3] 7.9. Optimalizált perturbációszámítás 7.9.1. Kvadratikus perturbáció: a rugóállandót perturbáljuk Bevezetésképpen módosítsuk a rugóállandót a harmonikus potenciálban, s ezt formálisan tekintsük perturbációnak, azaz V (x) =
k 2 k x2 x + ǫv(x) = x2 + ǫ . 2 2 2 124
(7.72)
q k Természetesen ismerjük az egzakt periódusidőt, melyet sorba fejthetünk ω = m T = 2π
r
m ≈ 2π k+ǫ
r
m ǫ 2π πǫ 1− = − . k 2k ω mω 3
(7.73)
Ezenközben a perturbációszámítási eredményünk is érvényes, melynek a (7.73) sorfejtéssel összhangban kell lennie. 7.19. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy a korrekció (7.54) általános képlete éppen a (7.73) O(ǫ) járulékát adja! [1] 7.9.2. Módosítjuk a perturbálatlan potenciált Újraosztunk tagokat a nulladrendű és a perturbáló potenciálok között az alábbi módon k 2 k kλ 2 2 V (x) = x + ǫv(x) = (1 + λǫ)x + ǫ v(x) − x . 2 2 2
(7.74)
Az új perturbációval (0)
(1)
T (ǫ) = Tλ + ǫTλ + . . . .
(7.75)
A perturbálatlan sajátfrekvencia ωλ =
p
k(1 + λǫ)/m, 125
(7.76)
melyet nem fejtünk sorba. A periódusidőhöz (7.54) adja meg a vezető korrekciót a módosított vλ (x) = v(x) −
kλ 2 x 2
(7.77)
perturbáló potenciállal, melyből (elhagyjuk A0 indexét) (0)
Tλ =
2π , ωλ
(1)
Tλ =
4 Iλ (A). mωλ3 A2
(7.78)
A korrekció két járuléka (1)
Tλ =
πλk 4 I(A), + 3 mωλ mωλ3 A2
(7.79)
ahol az első tag (7.73)-ből származik az ǫ → −λkǫ helyettesítéssel, a másodikat (7.54) alapján a v(x)-szel számítjuk. Az egzakt eredménytől való eltérés a hiba (0)
(1)
∆Tλ (ǫ) = T (ǫ) − Tλ − ǫTλ .
(7.80)
7.9.3. A hiba minimalizálása Az eddig tetszőleges λ-t úgy állítjuk be, hogy minimalizálja a hibát. Mivel T (ǫ) nem függ λ-tól, azért i ∂ ∂ h (0) (1) Tλ + ǫTλ = 0. ∆Tλ (ǫ) = − ∂λ ∂λ 126
(7.81)
A minimumpontot jelöljük λ∗ -gal. Érdekes módon a fenti hiba éppen akkor minimális, ha a periódusidő vezető korrekciója eltűnik, miként ezt alább belátjuk. Az elsőrendű közelítésre új jelölést vezetünk be [1]
(0)
(1)
Tλ = Tλ + ǫTλ = A minimum feltétele
Mivel
∂ [1] ∂ωλ ∂ [1] T = T =0 ∂λ λ ∂λ ∂ωλ λ 1 λ= ǫ
azért
4ǫ 2π πǫkλ I(A). + + 3 ωλ mωλ mωλ3 A2
mωλ2 −1 k
;
;
∂ [1] T = 0. ∂ωλ λ
2mωλ ∂λ = , ∂ωλ ǫk
∂ [1] πǫkλ 2π πǫk 2mωλ 4ǫ −3 T =− 2 + I(A) = 0. + ∂ωλ λ ωλ mωλ3 ǫk mωλ4 mωλ4 A2 {z } |
(7.82)
(7.83)
(7.84)
(7.85)
=0
∗
Tehát a [.] tag a λ minimumpontban eltűnik, ez ekvivalens a (1)
Tλ∗ = 0
127
(7.86)
feltétellel. Ez határozza meg λ∗ -ot! A periódusidő optimális első rendű közelítése tehát megegyezik a nulladrendűvel, ha behelyettesítjük a minimalizáló λ∗ -ot r m 2π [1] (0) = 2π (7.87) Tλ∗ = Tλ∗ = ωλ∗ k(1 + ǫλ∗ ) A perturbáló v(x) potenciálról szóló információt a λ∗ hordozza, melyet a harmonikus oszcillátor periódusidejének képletébe helyettesítünk. Mivel a hibát minimalizáltuk, ennek általában kisebbnek kell lennie, mint a λ nélkül számított elsőrendű közelítés. Konklúzió: egy fizikai jelentéssel nem bíró λ paraméter bevezetésével az elsőrendű perturbációszámítást megjavíthattuk! Kérdés, milyen mértékű a javulás. 7.20. Gyakorló feladat. Vizsgáljuk a periódusidőt a v(x) = x4 perturbáló potenciál mellett! Ábrázoljuk a perturbációszámítás első rendjében kapott eredményeket az ǫA2 függvényében a λ = 0 ill. az optimális λ∗ mellett értékekre, s rajzoljuk fel a – numerikusan kiszámítható egzakt – periódusidő görbéjét is (m = 1, ω = 2π egységekkel)! Levonhatjuk azt a következtetést, hogy az optimalizáció jelentősen javítja az első rendű perturbációszámítás pontosságát. [7] 7.10. Fázistér II: stabilitásvesztés, bifurkációk A potenciál valamely paraméterének változtatása esetén egy korábban stabil fix pont elvesztheti a stabilitását és új fix pontok jöhetnek létre. 128
7.10.1. Másod-negyedfokú potenciál Vizsgáljuk a V (x) = −µx2 /2 + αx4 /4
(7.88)
potenciált, ahol α > 0 állandó és µ-t változtatjuk. A µ előjelétől függően kvalitatíven különböző trajektóriákat a 26. ábrán illusztráljuk. 7.10.2. Vasvilla (pitchfork) bifurkáció Az egyensúlyi helyzetek a µ paraméter függvényében a 27. ábrán láthatók. A µ < 0 esetén stabil fix pont µ = 0-ban elveszti stabilitását és µ > 0 esetén további két stabil fix pont jelenik meg. A vasvilla művészi ábrázolását a 28. ábra illusztrálja.
x*
µ
27. ábra: Bifurkációs diagram: fixpontok a paraméter függvényében. —: stabil, - -: instabil.
Megjegyzés: Stabil és instabil pontok egyszerre jelennek meg. Stabilitási index: +1 ... stabil, (7.89) s= −1 ... instabil. 129
V(x) V(x)
x
v
v
x
x (b)
(a)
(a) µ < 0, az origó stabil (elliptikus).
(b) µ > 0, az origó instabil (hiperbolikus), a szeparátrix energiája Ec = 0.
26. ábra: Másod-negyedfokú potenciál és fázistérbeli pályák. 130
A 27. ábráról leolvasható, hogy az összes fix pontra vett összeg
PN j
sj =állandó:
µ < 0 : N = 1, s1 = 1, µ > 0 : N = 3, s1 = −1, s2 = s3 = 1.
(7.90) (7.91)
7.21. Gyakorló feladat. Adjuk meg a µ > 0 esetén megjelenő egyensúlyi helyzetek formuláját µ függvényében a (7.88) potenciálra! [2] 7.22. Gyakorló feladat. Határozzuk meg a másod-harmadfokú V (x) = k2 x2 + α3 x3 potenciálbeli stabil és instabil egyensúlyi helyzeteket az α függvényében! Találunk-e bifurkációt? A helyzetet tisztázhatja, ha az egyensúlyi helyzeteket az 1/α függvényében ábrázoljuk. [2] 7.10.3. Első-harmadfokú potenciál Másfajta bifurkációt találunk az első-harmadfokú potenciálban. Tekintsük rögzített α > 0 mellett a α V (x) = −kx + x3 3 potenciált, melynek egyensúlyi helyzetei ( nincs k<0 q V ′ (x∗ ) = −k + αx∗2 = 0 ; x∗ = . k ± α k≥0
Most a k = 0-ban megjelenik két fixpont. Mivel V ′′ (x∗ ) = 2x∗ , azért a pozitív x∗ stabil, a negatív instabil. 131
(7.92)
(7.93)
7.23. Gyakorló feladat. Ábrázoljuk a potenciált és a tipikus fázistérbeli trajektóriákat k <, =, > 0 esetén! [2]
(a) Grant Wood: Gothic, 1930.
American
(b) Ismeretlenek, napjainkban.
28. ábra: Vasvilla és hiperrealizmus [Wikipedia].
132
x* nincs N=0
C
N=2 k x* b
a
29. ábra: (a) Bifurkációs diagram: fix pontok a paraméter függvényében. —: stabil, - -: instabil; (b) fix pontok a komplex síkon. 7.10.4. Tangens bifurkáció P Az egyensúlyi helyzetek a k függvényében a 29. ábrán láthatók. A stabilitási indexek minden k-ra N j sj = 0. p ∗ Az x-et a komplex síkra kiterjesztve azt mondhatjuk, a k < 0 esetben imaginárius x = ± k/α fix pontok a k = 0-ban az origóban "találkoznak", majd a valós tengelyen maradva távolodnak onnan. 7.10.1. Példa. Vasvilla bifurkáció: Centrifugális szabályozó — rögzített szögsebességgel forgó, merev karú inga (30. ábra):
133
ω
ω ϕ
l ϕ m
a
b
c
30. ábra: (a) Centrifugális szabályozó és (b) egyszerűsített modellje, a forgó felfüggesztésű inga; (c) James Watt szerkezete.
L = K − V,
K=
A mozgásegyenlet
m 2 q2 ℓ ϕ + ℓ2 ω 2 sin2 ϕ , 2
V = −mgℓ cos ϕ.
mℓ2 ϕ = −mgℓ sin ϕ + mℓ2 ω 2 sin ϕ cos ϕ. qq
134
(7.94)
(7.95)
Megjegyzés: Együtt forgó koordinátarendszerből leírva ugyanezt kapjuk, a második tag a centrifugális erő érintő irányú vetülete. Automatikusan kiadódott a lagrange-i mechanikából! Egyensúlyi helyzetek (ld. 31. ábra) sin ϕ∗ = 0 vagy
cos ϕ∗ =
g . ℓω 2
(7.96)
π /2
ϕ*
Kitérés (ϕ∗ > 0) csak ω > ωc =
r
g ℓ
(7.97)
esetén lehetséges. Megjegyzés: A mozgás az egyensúlyi helyzeten kívül a ϕ változóban effektíven 1D: 1 Veff (ϕ) = − mgℓ cos ϕ − mℓ2 ω 2 sin2 ϕ, 2 1 2 q2 E = mℓ ϕ + Veff (ϕ) = állandó. 2
ω
(7.98) (7.99) 31. ábra: Centrifugális szabályozó bifurkációs diagramja.
7.24. Gyakorló feladat. Illusztráljuk a bifurkációt a potenciál görbéjével az ω <, =, > ωc esetekre! [1] 7.25. Gyakorló feladat. Az inga felfüggesztési pontját d sugarú körön forgatjuk függőleges tengely körül (az első éves emelt szintű mechanika órán vizsgált példa). Írjuk fel a Lagrange-függvényt és a mozgásegyenletet! [3] 135
7.26. Gyakorló feladat. Mutassuk qmeg, hogy a tehetetlenségi erők könnyen „kijönnek” a Langrange-mechanikában, felvéve a kinetikus energiát az m |r + ω × r|2 /2 alakban, ahol ω(t) az explicit időfüggéssel adott szögsebesség, és r a forgó rendszerbeli helyvektor, amelyet válasszunk az általános koordinátának. [4] 7.11. Síkinga 7.11.1. Mozgásegyenlet A centrifugális szabályozó modellje forgás nélkül, ld. (7.94) 1 q L = mℓ2 ϕ2 + mgℓ cos ϕ, 2 1 q E = mℓ2 ϕ2 − mgℓ cos ϕ. 2 E < Ec = mgℓ ∼ leng, E > Ec ∼ körbe fordul.
V(ϕ) Ec
(7.100) (7.101) (7.102) (7.103)
136
−π
π
ϕ
32. ábra: Síkinga potenciálja.
7.11.2. Kis rezgések Ha ϕ << 1 akkor cos ϕ ≈ 1 − ϕ2 /2, akkor közelítőleg (a potenciálbeli állandót elhagyva) 1 q L = mℓ2 ϕ2 − 2 1 q E = mℓ2 ϕ2 + 2
1 mgℓϕ2 , 2 1 mgℓϕ2 , 2
;
ϕ = −ω 2 ϕ,
(7.104)
qq
(7.105)
ahol
ϕ ω=
r
g , ℓ
T = 2π
s
ℓ . g
E>E c
(7.106)
Ec
A ϕ-ben harmonikus oszcillátort kaptunk, ez a matematikai inga.
E<E c ϕ
7.11.3. Fázistér szerkezete A trajektóriák egyenlete (ld. 33. ábra) p p q |ϕ| = 2/mℓ2 E + mgℓ cos ϕ.
−π
π
(7.107) 33. ábra: Síkinga fázistere. 137
Ha E = −mgℓ cos ϕ0 < Ec = mgℓ, akkor |ϕ| = q
a szeparátrix E = Ec , cos ϕ0 = −1
p √ 2g/ℓ cos ϕ − cos ϕ0 ,
p p p ϕ |ϕ| = 2g/ℓ cos ϕ + 1 = 2 g/ℓ cos . 2 Minden fizikai mennyiség periodikus ϕ-ben. Kétféle ekvivalens szemléltetés: → Fázistérbeli cella ismétlődik, 34a. ábra, → Hengeren értelmezzük, 34b. ábra. q
(7.108)
(7.109)
7.11.4. Időfüggés E E C= = Ec mgℓ Implicit egyenlet ϕ(t)-re
t − t0 =
< 1 leng C = − cos ϕ0 > 1 körbefordul
(7.110)
s
(7.111)
ℓ wϕ |dϕ| √ . 2g ϕ0 C + cos ϕ 138
ϕ
ϕ
ϕ
a b ϕ
34. ábra: (a) Periodikus (b) hengeres nézet. Sorfejtések lehetségesek pl. → az egyensúlyi helyzet körül ∼ C = −1 + ǫ, → a szeparátrix körül ∼ C + cos ϕ = 2 cos2 (ϕ/2) + C − 1, C = 1 + ǫ.
139
7.11.5. Lengések periódusideje a. Az elliptikus integrál E < Ec , C = − cos ϕ0 : T =4
s
ϕ0 ℓ w dϕ √ . 2g 0 cos ϕ − cos ϕ0
(7.112)
Küszöböljük ki a fordulópont ϕ0 szögét a felső határból! Vezessük be helyette a sin ϕ20 = k új paramétert, és végezzük el a következő változócserét: ϕ 1 ϕ 1 ; cos ψ dψ = cos dϕ sin ψ = sin k 2 2k 2 ϕ ϕ0 ϕ cos ϕ =1 − 2 sin2 , cos ϕ − cos ϕ0 = 2 sin2 = 2 k 2 − k 2 sin2 ψ = 2k 2 cos2 ψ. − sin2 2 2 2
(7.113) (7.114)
A periódusidő
T =4
s
ℓ 2g
π/2 w 0
1 cos ψ dψ =4 ϕ · √ 1 cos 2 2k cos ψ 2k
s
ℓ g
π/2 w 0
dψ p
2
1 − k 2 sin ψ
=4
s
ℓ K(k), g
ahol K(k) az elsőfajú teljes elliptikus integrál. Kvalitatív menetét és a periódusidőt a 35. ábra szemlélteti. 140
(7.115)
T
K(k)
k
π/2
1 k
a
1
2
b
π
ϕ0
q
` g
ϕ
0
π
35. ábra: (a) Az elliptikus integrál K(k); (b) k(ϕ0 ); (c) a periódusidő. b. A periódusidő sora Az elliptikus integrálok tulajdonságait speciális függvények jegyzékei ismertetik. Alább bemutatjuk, hogyan határozható meg a K(k) Taylor-sora. Hatvány kifejtése n X n j x (1 + x) = j j=0 n
∞ X −1/2 1 √ (−x)j , = j 1−x j=0
; 141
(7.116)
ahol 1 1 1 −1/2 1 (2j − 1)!! = − − − 1 . . . − − j + 1 = (−1)j , j j! 2 2 2 2j!! melyet j = 0 esetén 1-nek értelmezünk. A periódusidő s s ∞ ∞ w π/2 ℓ X −1/2 ℓ X 2j (2j − 1)!! w π/2 2j (−k 2 )j sin2j ψ dψ = 4 k T =4 sin ψ dψ. 0 0 j g j=0 g j=0 (2j)!!
(7.117)
(7.118)
Kiszámítjuk az integrált w π/2
w π/2
cos′ ψ · sin2j−1 ψ dψ sin ψ dψ = − 0 0 w π/2 2j−1 π/2 = − cos ψ · sin ψ cos2 ψ · sin2j−2 ψ dψ + (2j − 1)
Ij =
2j
0
;
0
=(2j − 1) (Ij−1 − Ij ) 2j − 1 (2j − 1)!! π Ij = Ij−1 = · · · = . 2j (2j)!! 2
142
(7.119) (7.120)
Végeredményképpen kapjuk T (ϕ0 ) = 2π
s
2 ∞ ℓ X 2j (2j − 1)!! k , g j=0 2j!!
(7.121)
ahova a k = sin(ϕ0 /2)-t helyettesítjük be. A sor konvergens, ha |k| < 1, ez éppen a lengés feltétele. A vezető tagok s ℓ 1 2 ϕ0 9 4 ϕ0 T (ϕ0 ) = 2π 1 + sin + sin + ... . (7.122) g 4 2 64 2 A kitérésben O(ϕ40 ) rendig: ϕ0 1 ϕ30 ϕ0 ϕ30 ϕ0 = − +··· = − + ..., k = sin 2 2 3! 8 2 48 ϕ2 ϕ4 k2 = 0 − 0 + . . . , 4 48 4 ϕ k4 = 0 + . . . , 16s ϕ20 ℓ 11 4 1+ + ϕ + ... . T (ϕ0 ) =2π g 16 3072 0 143
(7.123) (7.124) (7.125) (7.126)
A sorfejtés használhatóságát javítja az, hogy az együtthatók kicsik. Becslések: s 2 ℓ ϕ 0 |ϕ0 | <0, 4 (30◦ ) ; < 0, 01 ; T ≈ 2π 16 g |ϕ0 | <1, 3 (80◦ )
;
1%-on belül
a vezető korrekció 10%-on belül.
(7.127) (7.128)
7.27. Gyakorló feladat. Ellenőrizzük a negyedfokú tag együtthatóját! [2] 7.28. Gyakorló feladat. Korábban kiszámítottuk az x4 -es perturbáció hatását első rendig. Összhangban van a jelen eredménnyel? [1] 7.12. Harmonikus oszcillátor külső gerjesztéssel Az alábbiakban a harmonikus oszcillátort vizsgáljuk időfüggő külső gerjesztő erő jelenlétében. 1 q 1 qq L = mx2 − mω02 x2 + mxf (t) ; x + ω02 x = f (t), 2 2
144
(7.129)
ez lineáris, inhomogén differenciálegyenlet. Az inhomogén és a homogén egyenlet egy-egy megoldásának összege az inhomogén egyenletet megoldása. Ezért az inhomogén egyenlet általános megoldása x(t) = xh (t) + xp (t), xh (t) = A sin(ω0 t + δ) : a homogén egyenlet általános megoldása, xp (t) : az inhomogén egy "partikuláris" megoldása.
(7.130)
Adott erő esetén a feladat egy partikuláris megoldás meghatározása. Ha ez a KF-hez illesztett, elértük célunkat. Ha nem, akkor hozzáadhatjuk a homogén egyenlet xh általános megoldását, amelynek paramétereivel a KF-t előállíthatjuk. 7.12.1. Harmonikus gerjesztés A gerjesztő erő legyen tisztán koszinuszos f (t) = F0 cos Ωt,
(7.131)
x(t) = x0 cos Ωt,
(7.132)
x0 (−Ω2 + ω02 ) cos Ωt = F0 cos Ωt F0 ; x0 = 2 ω0 − Ω2
(7.133)
helyettesítsük be a következő próbafüggvényt mellyel
145
(7.134)
Tehát az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása x(t) =
ω02
F0 cos Ωt (= xp (t)). − Ω2
(7.135)
Fázistolás: ha Ω > ω0 , akkor az együttható negatív, ez a gerjesztő erőhöz képest π fázistolást jelent. Rezonancia: Ω = ω0 , ekkor az amplitúdó végtelen. 7.12.2. Általános gerjesztés: megoldás Fourier-transzformációval. A Fourier-transzformációt (FT) a következő konvenció szerint alkalmazzuk w∞ 1 w∞ x(t) = x(t)e−iωt dt xω eiωt dω ∼ xω = −∞ −∞ 2π Idézzük fel a Dirac-delta szimbólumot 1 w ∞ iωt e dω, δ(t) = 2π −∞
w∞
−∞
δ(t − t0 ) f (t) dt = f (t0 ),
(7.136)
(7.137)
melynek segítségével látható, hogy valóban x(t) =
1 w ∞ iωt w ∞ ′ x(t′ )e−iωt dt′ . e dω −∞ 2π −∞
146
(7.138)
7.29. Gyakorló feladat. Számítsuk ki a δǫ (t) = r∞ δ (t − t0 ) f (t) dt → f (t0 ), ha ǫ → 0! [3] −∞ ǫ
1 2π
r∞
−∞
2
eiωt−ǫω dω függvényt, és mutassuk meg, hogy valóban
Egy partikuláris megoldás meghatározása céljából alkalmazzuk a FT-t a x(t) + ω02 x(t) = f (t) qq
(7.139)
mozgásegyenletre. Felhasználva, hogy a kétszeres időderivált FT-ja x(t) ∼ [x]ω = −ω 2 xω qq
(7.140)
(ω02 − ω 2 )xω = fω .
(7.141)
qq
nyerjük Tehát
x(t) =
1 w∞ fω eiωt dω. 2 2π −∞ ω0 − ω 2
7.12.1. Példa. Harmonikus gerjesztés F0 iΩt e + e−iΩt ∼ fω = πF0 [δ(ω − Ω) + δ(ω + Ω)] , f (t) = 2 F0 ⇒ x(t) = 2 cos Ωt ω0 − Ω2
Valóban visszakaptuk a (7.135) rezgést, az oszcillátor felveszi a gerjesztő frekvenciát. 147
(7.142)
(7.143) (7.144)
7.12.3. Általános gerjesztés: megoldás Green-függvénnyel Fourier-transzformáltak szorzatát vizsgáljuk (7.145)
Cω = Aω Bω . Visszatranszformálva kapjuk ∞ ∞ y dt′ dt′′ dω x ′ ′′ C(t) = A(t′ )e−iωt B(t′′ )e−iωt eiωt = A(t′ )B(t′′ )δ(t − t′ − t′′ )dt′ dt′′ 2π −∞ −∞ w∞ w∞ A(t − t′ )B(t′ )dt′ ≡ [A ∗ B](t), A(t′ )B(t − t′ )dt′ ≡ ; C(t) = −∞
−∞
(7.146) (7.147)
ez a konvolúció művelete, melyet ∗-gal jelölünk. Az utolsó azonosságot az integrálási változó cseréjével kapjuk. Ezzel azt demonstráljuk, hogy miképpen Aω és Bω felcserélhetők voltak Cω definíciójában, a konvolúció formulájában is felcserélhető A(t) és B(t). Ennek alapján az előző szakaszban FT-val kapott megoldás időfüggését is előállíthatjuk. A (7.141) szerint fω xω = 2 . (7.148) ω0 − ω 2 Vezessük be a Green-függvényt
1 Gω = 2 ω0 − ω 2
∞ 1 w eiωt ∼ G(t) = dω. 2π ω02 − ω 2 −∞
148
(7.149)
Tehát G(t) az f (t) = δ(t)-nek megfelelő megoldás. A keresett megoldás végül konvolúció alakjában áll elő w∞ dt′ G(t − t′ )f (t′ ) = [G ∗ f ](t). (7.150) xω = Gω fω ∼ x(t) = −∞
A Green-függvény a Dirac-delta gerjesztéshez tartozó megoldás, amellyel az általános gerjesztéshez tartozó partikuláris megoldást állíthatunk elő. Határozzuk meg G(t)-t közvetlenül a qq
G(t)+ω02G(t) = δ(t)
(7.151)
egyenletből! Keressünk olyan megoldást, amely a gerjesztés előtt zérus és mindenütt folytonos 0, ha t < 0, G(t) = B sin ω0 t, ha t > 0,
(7.152)
majd integráljuk a mozgásegyenletet qq
G+ω02G = δ(t) q
q
.w τ
−τ
dt
G(τ )−G(−τ ) + ω022τ G(0) ≈ 1
τ → 0,
(7.153)
⇒ G(0+ ) = Bω0 = 1.
(7.154)
q
A KF-hez illeszkedő megoldás tehát G(t) =
θ(t) sin ω0 t, ω0 149
(7.155)
ahol bevezettük a Heaviside-függvényt θ(t) =
0, ha t < 0, 1, ha t > 0.
(7.156)
Mutassuk meg, hogy G(t) a (7.149) FT formulával összhangban van! Útmutató: célszerű 7.30. Gyakorló feladat. r iωt a θ(t) = (1/2πi) dω e /ω integrálelőállítást használni. [3] A gerjeszett harmonikus oszcillátor egy partikuláris megoldását tehát wt x(t) = ω0−1 sin ω0 (t − t′ ) f (t′ ) dt′ (7.157) −∞
állítja elő. Vegyük észre, hogy a Green-függvény a homogén általános megoldással kiegészítve változatlanul kielégíti (7.151)-et! A fenti Green-függvény a KF speciális választásának felel meg, amelyben a gerjesztés előtt az oszcillátor nyugalomban van, így a retardált Green-függvényt kaptuk. 7.31. Gyakorló feladat. Győződjünk meg behelyettesítéssel arról, hogy (7.157) valóban megoldja a mozgásegyenletet! [1] 7.32. Gyakorló feladat. Tekintsük a Ga (t) = −ω0−1 θ(−t) sin ω0 t függvényt, és mutassuk meg, hogy ez is a δ(t) gerjesztéshez tartozó megoldás! Ez az avanzsált Green-függvény. [2] 150
7.12.4. Rezonáns gerjesztés Ha Ω = ω0 , akkor a (7.135) szinguláris. Ez azt jelenti, hogy tartósan ható rezonáns gerjesztés elvben divergáló amplitúdójú rezgést hoz létre. Mindazonáltal véges megoldást kell kapnunk, ha a rezonáns gerjesztés (7.158)
f (t) = θ(t)F0 cos ω0 t, azaz a t = 0 időpontban kapcsoljuk be, melyet megelőzően az oszcillátor nyugalomban volt. a. Állandó variálásának módszerével Keressük az
(7.159)
x(0) = 0, x(0) = v0 q
KF-nek megfelelő megoldást a következő alakban t > 0 mellett (7.160)
x(t) = a(t) sin ω0 t. Ez az állandó variálásának módszere. A mozgásegyenletbe helyettesítve
(7.161)
x =a sin ω0 t + ω0 a cos ω0 t, q
q
x =a sin ω0 t + 2aω0 cos ω0 t − qq
qq
q
aω02
sin ω0 t =
151
−aω02
sin ω0 t + F0 cos ω0 t,
(7.162)
ahonnan az azonos szögfüggvények együtthatóit egyenlővé téve és a megoldást a KF-hez illesztve nyerjük F0 F0 t v0 F0 t v0 q qq a= , a = 0 ⇒ a(t) = + ⇒ x(t) = + sin ω0 t. (7.163) 2ω0 2ω0 ω0 2ω0 ω0 A tisztán szinuszos tag a homogén egyenlet megoldása, mely a KF-hez illesztést tette lehetővé. A megoldás növekvő amplitúdójú rezgés, ez a fizikai tartalma a korábban a rezonanciánál fellépő végtelen amplitúdónak! 7.33. Gyakorló feladat. Van-e x(t) = b(t) cos ω0 t alakú megoldás, ahol b(t) polinom? [2] b. Megoldás Green-függvénnyel Használjuk a Green-függvény (7.155) alakját F0 w t F0 w t ′ ′ ′ ′ ′ 2 ′ x(t) = sin ω0 (t − t ) cos ω0 t dt = sin ω0 t cos ω0 t − cos ω0 t sin ω0 t cos ω0 t dt′ {z } | | {z } ω0 0 ω0 0 =
1 (1+cos 2ω0 t′ ) 2
F0 w t F0 t sin ω0 t + sin ω0 (t − 2t′ ) dt′ . 2ω0 2ω0 0
1 2
sin 2ω0 t′
Mivel az integrál eltűnik, éppen megkaptuk a zérus v0 -hoz tartozó (7.163) partikuláris megoldást. 152
(7.164) (7.165)
7.13. Anharmonikus oszcillátor időfüggő perturbációszámítása Az alábbiakban a perturbációszámítás módszerét az időfüggő trajektóriák számítására mutatjuk be. 7.13.1. Másod-harmadfokú potenciál Tekintsük az alábbi potenciált V (x) =
k 2 ǫ′ 3 x + x, 2 3
(7.166)
amelyben a köbös tag kis perturbáció. A mozgásegyenlet x = −ω02 x − ǫx2 , qq
ahol
ǫ′ ǫ= , m
ω0 =
r
k . m
(7.167)
A megoldást a következő alakban keressük x(t) = x0 (t) + ǫx1 (t),
ahol x0 (t) = A cos ω0 t,
(7.168)
Az egyszerűség kedvéért kihagytuk a fázist a cos alól, a KF-hez való illesztéshez természetesen ezt is fel kell venni. A mozgásegyenletbe helyettesítve és csak az ǫ-ban lineáris tagokig menve kapjuk x0 + ǫx1 = −ω02 x0 − ω02 ǫx1 − ǫx20 + O(ǫ2 ). qq
qq
153
(7.169)
Az O(1) tagok kiesnek. Az ǫ-nal arányos tagok összehasonlításával x1 + ω02 x1 = −x20 . qq
(7.170)
Tehát a pálya x1 (t) korrekciója harmonikus oszcillátor, melyet az ismert perturbálatlan x0 (t) megoldás külső gerjesztő erőként hajt meg. Felhasználva, hogy cos2 ω0 t =
1 (1 + cos 2ω0 t) 2
(7.171)
nyerjük x1 + ω02 x1 = − qq
A2 (1 + cos 2ω0 t). 2
(7.172)
Ez egy konstans és egy harmonikus külső gerjesztő erőnek kitett harmonikus oszcillátor. Egy partikuláris x1 (t) megoldás az egyes gerjesztésekhez tartozó megoldások összege, melyeket egyenként a (7.135) megoldóképlet határoz meg 1 A2 A2 cos 2ω0 t, (7.173) x1 (t) = − 2 − 2 2ω0 2 ω0 − 4ω02
tehát a megoldás
ǫA2 1 x(t) = A cos ω0 t + 2 cos 2ω0 t − 1 + O(ǫ2 ). 2ω0 3 154
(7.174)
Az alapharmonikus mellett egy állandó és egy kétszeres frekvenciájú felharmonikus jelent meg, és kiadódott a közelítés jóságát meghatározó kis dimenziótlan paraméter ǫA << 1. ω02
(7.175)
A periódusidő nem változott ǫ rendig, összhangban a korábban a páratlan potenciálokra kapott eredményünkkel. 7.34. Gyakorló feladat. A fenti megoldás fogyatéka, hogy egy speciális KF-nek felel meg. Általánosítsuk az eredményt tetszőleges KF-re. [4] 7.13.2. Másod-negyedfokú potenciál A potenciál legyen most V (x) = melyben a mozgásegyenlet a következő
k 2 ǫ′ 4 x + x, 2 4
x = −ω02 x − ǫx3 , qq
(7.176) (7.177)
ahol a (7.167) jelöléseit használtuk. Előre tudjuk, hogy a periódusidő ǫ rendben megváltozik. Keressük a megoldást a következő alakban x(t) = x0 (t) + ǫx1 (t),
ahol x0 (t) = A cos ω0 t, 155
(7.178)
melyet a mozgásegyenletbe helyettesítve kapjuk x0 + ǫx1 = −ω02 x0 − ω02 ǫx1 − ǫx30 + O(ǫ2 ).
(7.179)
x1 + ω02 x1 = −x30 = −A3 cos3 ω0 t.
(7.180)
qq
Az O(ǫ) tagok összege eltűnik
qq
qq
Az x1 (t) perturbáció itt is harmonikus oszcillátor, melyet külső gerjesztésként az x0 (t) perturbálatlan trajektória hajt meg. A koszinuszt kifejtve kapjuk 3
1 1 3iϕ 3 (eiϕ + e−iϕ ) e + 3eiϕ + 3e−iϕ + e−3iϕ = cos 3ϕ + cos ϕ, = cos ϕ = 8 8 4 4 3
ahonnan
(7.181)
A3 (3cos ω0 t + cos 3ω0 t) . (7.182) 4 A megoldás a két, ω0 és 3ω0 harmonikus gerjesztéshez tartozó megoldások összege. Az alapfrekvenciával történő gerjesztés rezonáns! A megoldás (7.135) képletét alkalmazva x1 + ω02 x1 = − qq
x1 (t) = − ahonnan
3A3 A3 1 t sin ω0 t − cos 3ω0 t, 2 8ω0 4 ω0 − 9ω02
x(t) = x0 (t) + ǫx1 (t) = A cos ω0 t −
ǫA3 3ǫA3 cos 3ω0 t + O(ǫ2 ). t sin ω0 t + 8ω0 32ω02 156
(7.183)
(7.184)
Honnan látszik a megváltozott periódusidő? Tekintsük ehhez a perturbált frekvenciájú harmonikus rezgést cos [(ω0 + ǫω1 )t] = cos ω0 t cos ǫω1 t − sin ω0 t sin ǫω1 t ≈ cos ω0 t − ǫω1 t sin ω0 t + O(ǫ2 ).
(7.185)
A (7.184) első két tagja éppen ilyen, ahol ω1 =
3A2 . 8ω0
(7.186)
7.35. Gyakorló feladat. Győződjünk meg arról, hogy ez megfelel a periódusidőre vonatkozó korábbi direkt eredménynek! [1] Végül a megoldást írhatjuk a következő alakban x(t) ≈ A cos(ω0 + ǫω1 )t +
ǫAω1 cos 3ω0 t. 12ω0
(7.187)
A perturbált alapfrekvencia mellett egy harmadik felharmonikus is megjelent! Az A-t kiemelve kapjuk a korrekció dimenziótlan együtthatóját, melyre a közelítés érvényességének feltétele ǫA2 ǫω1 = << 1. 12ω0 32ω02 157
(7.188)
7.36. Gyakorló feladat. A perturbált trajektóriát egészítsük ki olymódon, hogy az a KF-et ne változtassa meg. [3] 7.37. Gyakorló feladat. Írjuk fel cosn ϕ függvényt szinusz és koszinusz függvények lineáris kombinációjaként! [3] Megjegyzés: A (7.184) közelítés csak ǫω1 t << 1 időkig jó, sokkal nagyobb időkre divergál, viszont a (7.187) formula korlátos, a hibája nagy időkre csupán a fázis elcsúszásából fog származni. Azáltal, hogy a trajektória egyik korrekcióját a perturbált frekvenciával sikerült kifejeznünk, megszüntettük a divergenciát! Az x(t) pálya sorfejtésének formuláját természetesen változatlanul csak ǫ rendig hihetjük el. Vegyük észre, hogy a koszinusszal ǫ-ban magasabb rendeket is generáltunk, mely rendekben a pálya korrekcióit egzatul nem ismerjük. Az így nyert elcsúszó fázis azonban fizikailag szemléletesebb. 7.13.3. Általános perturbáló potenciál és a szukcesszív approximáció módszere Green-függvénnyel. Tetszőleges perturbáló ǫv(x) potenciál esetén a mozgásegyenlet x + ω02 x = −ǫv ′ (x) ≡ ǫf (x).
(7.189)
x0 = A cos ω0 t,
(7.190)
x(t) = x0 (t) + ǫ[G ∗ f (x)](t),
(7.191)
qq
A gerjesztett harmonikus oszcillátor megoldása a harmonikus rezgéshez adódó, a gerjesztés által indukált partikuláris megoldás, amelyet a Green-függvénnyel állíthatunk elő. A homogén egyenlet megoldása a nulladrendű trajektória a gerjeszett egyenleté pedig
158
ahol a konvolúció jelölését és a harmonikus oszcillátor Green-függvényét használtuk. (A retardált Green-függvényt (7.155) adja, a KF-hez illesztés céljából a homogén oszcillátor általános megoldásának bevételével egyelőre nem foglalkozunk.) Ily módon az x(t) trajektóriára implicit egyenletet kaptunk, amelyből szukcesszív approximáció révén a pálya sorfejtését állíthatjuk elő. Az O(ǫ) közelítést akkor kapjuk, ha a jobboldalon x(t) helyébe x0 (t)-t írunk x(t) = x0 (t) + ǫx1 (t) + O(ǫ2 ) = x0 (t) + ǫ[G ∗ f (x0 )](t) + O(ǫ2 ).
(7.192)
A jobboldalon fellépő G(t) és f (x0 (t)) függvényeket expliciten ismerjük, tehát az x1 (t) korrekciót előállítottuk. 7.38. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy a köbös és negyedfokú perturbációkkal fent előállított közelítő megoldások ebből a formulából is megkaphatók. [2+2] A következő közelítéshez a (7.191) egyenlet jobboldalán az x(t) megoldást ǫ rendig pontosan helyettesítjük vissza x(t) = x0 (t) + ǫ[G ∗ f (x0 + ǫx1 (t))](t) = x0 (t) + ǫ[G ∗ f (x0 )](t) + ǫ2 [G ∗ (f ′ (x0 ) · x1 )](t) + O(ǫ3 ).
(7.193)
Összefoglalásképp a pálya x(t) = x0 (t) + ǫx1 (t) + ǫ2 x2 (t) + . . .
(7.194)
sorfejtésében fellépő első három függvény x0 (t) = A cos ω0 t,
x1 (t) = [G ∗ f (x0 )](t),
x2 (t) = [G ∗ (f ′ (x0 ) · [G ∗ f (x0 )])](t).
Másodiknál magasabb rendben a pálya korrekciója több tag járulékainak összege. 159
(7.195)
7.39. Gyakorló feladat. Állítsuk elő az ǫ3 rendű x3 (t) korrekciót Green-függvénnyel ! [4] 7.40. Gyakorló feladat. A KF-hez olymódon illeszthetünk, hogy az egyes rendekben xj (t)-hez a homogén egyenlet q általános megoldását – más-más paraméterekkel – hozzáadjuk. Írjuk fel ǫ rendben az x(0) = A, x(0) = 0 KF teljesülésének feltételét általános f (x) mellett. [4] Ebben a fejezetben megmutattuk, hogy szukcesszív approximációval a pálya tetszőleges rendű korrekcióját a Green-függvény segítségével előállíthatjuk. A gerjesztett oszcillátor Green-függvénye ezáltal a perturbációszámításban különös jelentőségre tesz szert. Ennek fizikai háttere az, hogy a perturbáción keresztül a magasabb rendű korrekciókat az alacsonyabb rendű trajektóriák mintegy külső meghajtásnak tekinthető módon gerjesztik. Az itt vázolt mechanizmus a fizikai mozgásokra általánosabban, nemcsak a klasszikus mechanikában érvényes.
160
8. Csillapított mozgások 8.1. Súrlódási erő sűrű közegben A súrlódási erő kis sebességekre lineáris F s ≈ −γv.
(8.1)
Ezért 1D potenciálmozgás esetén a következő mozgásegyenletet vizsgáljuk mx = −γ x − V ′ (x). qq
q
A tömegpont energiájának csökkenése a disszipált teljesítmény q d 1 q2 q qq q q q E= mx + V (x) = mxx + xV ′ (x) = −γ x2 = Fs x. dt 2
(8.2)
(8.3)
Mint azt várjuk, ez éppen a súrlódási erő által a tömegponton végzett teljesítmény. Ez negatív, ellentettje a test q által a környezeten végzett munkának. Az energia mindaddig csökken, amíg |x| = 6 0.
161
8.2. Variációs elv disszipatív rendszerekre: a Lagrange–Rayleigh-formalizmus 8.2.1. Disszipációs függvény descartes-i koordinátákkal Vegyük észre, hogy 1 ahol R(v) = γv 2 . 2 Formálisan tehát a disszipatív mozgásegyenletet így származtathatjuk Fs = −R′ (v),
(8.4)
d ∂L ∂L ∂R qq q − q ⇐⇒ mx = −V ′ (x) − γ x. (8.5) q = dt ∂ x ∂x ∂x Az R-et disszipációs vagy Rayleigh-féle függvénynek is hívják. Több 3D tömegpontra a Descartes-koordinátákban írt súrlódási erőt a következő disszipációs függvény adja N
R=
1X γj |vj |2 , 2 j=1
(8.6)
ahol γj a j-edik pontra érvényes súrlódási együttható (ezek között lehetnek azonosak). A képlet hasonló a kinetikus energiához, de a variációszámításbeli szerepe más, itt F sj = −
∂R = −γj v j . ∂v j 162
(8.7)
A teljes mozgásegyenletek tehát d ∂L ∂R ∂L − q = q . ∂r j dt ∂ r j ∂ rj Az S =
r
(8.8)
L dt hatást használva és bevezetve a D=
w
R dt
(8.9)
disszipációs funkcionált az eredményt a δD δS = q δr j δrj
(8.10)
tömör alakban írhatjuk. Ezzel az eredeti Hamilton-elven, a hatást extremizáló eljáráson túlmentünk, "kívülről" tettünk a mozgásegyenletekhez disszipatív tagokat, melyeket szintén egyetlen skalár funkcionál variációjából származtattunk. Az így kapott egyenlet a Hamilton-elv disszipatív rendszerekre való kiterjesztése, amely mindazonáltal nem áll elő egyetlen függvény időintegráljaként felírható funkcionál extrémum feltételeként. 8.2.2. Disszipációs függvény általános koordinátákkal A variációszámítás disszipációs függvénnyel való kiegészítése eddig formális konstrukciónak tűnhetett, hiszen eleve feltettük a sebességgel ellentétes, vele arányos közegellenállási erőt. Ezért csupán esztétikai jelentősége volt 163
annak, hogy variáció alakjában is fel tudtuk ugyanezt írni. Az R disszipációs függvény igazi előnye az általános koordináták bevezetésekor világlik ki. Mint alább bemutatjuk, R általános koordinátákkal való felírása után belőle variációval éppen az általánosított koordinátákra vonatkozó mozgásegyenletekben fellépő súrlódási erőket nyerjük. Az általános koordinátákra való áttérés a 6.2.6 fejezetben megadott eljárással történik. A hatást most Lagrangemultiplikátoros tagokkal egészítjük ki, melyek a kényszereket figyelembe veszik, s az így nyert Sλ -t használva δD δSλ = q . δr j δrj
(8.11)
∂rj ∂r j = q . ∂qi ∂ qi
(8.12)
A (6.125) szerint q
ahonnan (6.128) és (8.11) alapján kapjuk X δSλ ∂r j j
X δS ∂r j X δD ∂ rq j = = q q . δr j ∂qi δr ∂q δ r ∂ q j i j i j j
(8.13)
Egyrészről (6.132) szerint a baloldal S variációja qi szerint, másrészről, mivel r j -k a qi lineáris függvényei, a jobboldal q D variációja qi szerint (változatlan qj -k mellett), mindezért nyerjük q
δS δD = q. δqi δ qi 164
q
(8.14)
A Lagrange- és a disszipációs függvényekkel felírva d ∂L ∂R ∂L − q = q . ∂qi dt ∂ qi ∂ qi
(8.15)
Általános koordinátákkal a disszipatív mozgásegyenleteket tehát a descartes-i koordinátás (8.8) formula analógiájaként kaptuk, hasonlóan a korábban tárgyalt konzervatív esethez! Ezt a disszipációs függvény bevezetésének köszönhettük. A korábban bevezetett általános erők és impulzusok formuláit felidézzük, majd célszerűen az általános súrlódási erőket definiáljuk Fj =
∂L , ∂qj
pj =
∂L q , ∂ qj
Fsj = −
∂R δD q ≡− q . ∂ qj δ qj
(8.16)
Mindezután a csillapított rendszer mozgásegyenletei a pj = Fj + Fsj q
(8.17)
alakban is írhatók. Mostanra nyilvánvalóvá vált a disszipációs függvény előnye. Amiként a mozgásegyenletek komponenseit konzervatív esetben a Lagrange-függvényből egyszerűen megkaphattuk, hasonlóan egyszerűen állnak elő a disszipatív erők a disszipációs függvény segítségével. 165
Ha a súrlódási erő nemlineáris a sebességben, amely effektus ritkább közegben ill. nagyobb sebességek mellett válhat lényegessé, akkor a descartes-i disszipációs függvény nem marad kvadratikus. Mindazonáltal a fenti eljárás érvényét nem veszti, azaz az általános koordinátákra való áttéréskor ekkor is a Hamilton-elv (8.14) kiterjesztése alkalmazandó. 8.2.3. Az energia megváltozása Korábban az energia megmaradását mutattuk meg explicit időfüggést nem tartalmazó Lagrange-függvény esetében disszipáció nélkül. Most engedjük meg mindkettőt ! X ∂L qq X q q X q q ∂L X ∂L q q d X q E= qj − pj qj − L = pj qj + pj qj − − q qj dt ∂t ∂q ∂ q j j j j j j j X q ∂L ∂L X ∂L X ∂L q q qj = qj = − + Fsj − − + Fsj qj , (8.18) ∂qj ∂t ∂qj ∂t j j j ahol a harmadik egyenlőséghez felhasználtuk a (8.17) formulát. A − ∂L tag a külső konzervatív erők által a rendszer∂t P q be táplált, míg − j Fsj qj a rendszer által a súrlódási erőkön keresztül végzett teljesítmény. Az energiaváltozást a disszipációs függvénnyel tehát tömören kifejezhetjük q ∂L X ∂R q (8.19) E=− − q qj . ∂t ∂ q j j 166
Kvadratikus disszipációs függvény, azaz a sebességekben lineáris súrlódási erők esetén R=
1X q q Rij (q1 , . . . , qf )qi qj , 2 i,j
(8.20)
amely alapján q
E=−
∂L − 2R. ∂t
(8.21)
A disszipációs függvény ezzel közvetlen fizikai jelentést nyert, éspedig a kétszerese éppen a pálya mentén leadott disszipációs teljesítmény. 8.1. Gyakorló feladat. Adjunk egyszerű példát olyan rendszerre, amelyben a disszipált teljesítmény arányos a kinetikus energiával! [1] 8.2.1. Példa. Síkinga: Feltéve, hogy csak a tömegpontra kifejtett közegellenállás a disszipáció egyetlen forrása (vékony rúdon felfüggesztett tömegpont) 1 q L = mℓ2 ϕ2 + mgℓ cos ϕ, 2 167
1 q R = γℓ2 ϕ2 , 2
(8.22)
ahonnan mℓ2 ϕ = −mgℓ sin ϕ − γℓ2 ϕ. qq
A disszipációs teljesítmény
q
q
E = −2R = −γℓ2 ϕ2 . q
(8.23) (8.24)
8.2. Gyakorló feladat. Bizonyosodjunk meg arról közvetlen számítással, hogy a (8.23) súrlódási tagja éppen az F s = −γv erőből származó járulék az inga mozgásegyenletéhez. [2] 8.3. Gyakorló feladat. Rugóval egy ponthoz rögzített, vízszintesen mozgó felfüggesztésű inga csillapított mozgása: írjuk fel a disszipációs függvényt és a mozgásegyenletet, ha az inga végén a tömegpont súrlódó közegben mozog (súrlódási együttható: γ) és a rugót a megnyúlási sebességével arányos belső súrlódási erő fékezi (belső súrlódási együttható: η). [4] 8.4. Gyakorló feladat. Határozzuk meg a disszipatív közegben mozgó tömegpontokból álló kettős inga disszipációs függvényét és írjuk fel a mozgásegyenleteket! (Csak az egyes tömegpontok súrlódnak, a felfüggesztő rudak közegellenállását hanyagoljuk el, s a tömegpontokat jellemző súrlódási együtthatók különbözhetnek.) [5] 8.5. Gyakorló feladat. A Lagrange–Rayleigh-formalizmus nemlineáris súrlódási erőkre is használható. Adjuk meg a Rayleigh-függvényt 3D tömegpontra, ha a súrlódási erő a sebességgel ellentétes irányú és a) állandó nagyságú b) a sebesség négyzetével arányos. Az a) esetben vegyünk fel tapadási és csúszási súrlódási erőket az általános iskolában megismert módon és diszkutáljuk a problémát. [3-2] 168
8.3. Csillapított harmonikus oszcillátor Az alábbiak az egyensúly kis környezetében, itt kvadratikus minimummal rendelkező, általános potenciálra is érvényesek. A Lagrange- és a sűrű közegbeli disszipációs függvény L=
m q2 k 2 x − x, 2 2
1 q R = γ x2 , 2
(8.25)
a mozgásegyenlet pedig mx = −kx − γ x ; x = −ω02 x − αx, qq
q
qq
q
ahol α = γ/m.
(8.26)
A mozgásegyenlet állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenlet, ezért keressük a megoldást x ∝ eλt
(8.27)
alakban, amelynek behelyettesítésével nyerjük α λ2 + αλ + ω02 = 0 ; λ± = − ± 2
r
A λ± ráták a paraméterektől függően lehetnek komplexek vagy valósak.
169
α2 − ω02 4
(8.28)
8.3.1. Gyenge csillapítás (2ω0 > α) A két ráta komplex, egymásnak konjugáltjai α λ± = − ± iω, ahol ω = 2
r
ω02 −
α2 < ω0 , 4
(8.29)
tehát az általános megoldás α
x(t) = A+ eλ+ t + A− eλ− t = e− 2 t (A1 cos ωt + A2 sin ωt) .
(8.30)
Megjegyzés: A relaxációs ráta α/2, nem pedig α! A relaxációs idő τ = 2/α, amely elteltével az amplitúdó e-ad részére csökken. Jósági tényező: a frekvencia és a csillapítási tényező viszonya konvenció szerint Q=
ω Im λ = . 2 Re λ α
(8.31)
8.6. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy Q az amplitúdó e−π ≈ 0, 043-ad részére csökkenésének ideje alatt végzett oszcillációk száma. [1] 170
A súrlódási teljesítmény q
E = −2R = −γ x2 = − q
2γ K, m
(8.32)
arányos a kinetikus energiával. 8.7. Gyakorló feladat. Hányad részére csökken az energia T · Q idő elteltével? [1] q A trajektóriát a KF-hez illeszthetjük: x(0) = x0 , x(0) = v0 α α αx0 x(t) = e− 2 t x0 cos ωt + e− 2 t ω −1 v0 + sin ωt. 2
(8.33)
8.8. Gyakorló feladat. Adjuk meg a disszipált teljesítmény képletét a (8.33) általános megoldás alapján! [2] Az energia tipikus időbeli változását a 36/a. ábra mutatja. Fázistér: A mozgás az (x = 0, v = 0) egyensúlyi helyzethez tart, ez tehát vonzó határhalmaz, azaz attraktor, ld. 36/b. ábra. A konzervatív rendszerbeli elliptikus fix pontot most vonzó fix pont váltja fel. Általában disszipatív rendszerekben bonyolultabb attraktorok is megjelenhetnek, kaotikus mozgás különös attraktorhoz tart. Már Galilei észrevette, hogy a csillapodás alatt állandó a periódusidő, éspedig hosszabb, mint csillapodás nélkül.
171
E
T
t
(a)
(b)
36. ábra: (a) Az energia lefutása az időben és (b) tipikus fázistérbeli pálya. 8.3.2. Erős csillapítás (2ω0 < α) r α α2 λ± = − ± β, ahol β = − ω02 , (8.34) 2 4 valós, tisztán lecsengő trajektória. A KF-hez illesztett formulát (8.33) alapján közvetlenül megkaphatjuk az iβ = ω,
cos iβ = ch β, 172
sin iβ = i sh β
(8.35)
(a)
(b)
37. ábra: (a) Fázistér (az x tengely a szélsőértéknél metszi a pályákat) és (b) időbeli lefutás erős csillapítás esetén x0 = 0 és v0 > 0 mellett. behelyettesítéssel
α α αx0 sh βt. x(t) = e− 2 t x0 ch βt + e− 2 t β −1 v0 + 2 Mivel β < α/2, azért mindkét tag lecseng nagy időkre. A mozgást a 37. ábrán illusztráljuk.
173
(8.36)
8.3.3. Anharmonikus határeset (2ω0 = α) Ekkor β = ω = 0, és az egyetlen ráta λ± = −α/2. Így nem kapunk automatikusan két lineárisan független megoldást, ezért alkalmazzuk az állandó variálásának módszerét α
x(t) = a(t)e− 2 t .
(8.37)
Innen t −α 2
x = ae q
q
α α − ae− 2 t , 2
x= qq
α α2 a − αa + a e− 2 t . 4 qq
q
(8.38)
A mozgásegyenlet tehát α2 α2 α2 α2 qq q q qq x + αx + x = 0 ; a − aα + a + αa − a + a = 0 ; a = 0 ; a(t) = a0 + a1 t. 4 4 2 4 qq
q
8.9. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy
dn dtn
[g(t)h(t)] =
Pn
k=0
n k
(8.39)
g [k](t)h[n−k] (t)! [3]
8.10. Gyakorló feladat. Határozzuk meg adott KF mellett x(t)-t! [3]
8.11. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy ugyanezt kapjuk bármely ω 6= 0 korábbi megoldásból az ω → 0 limeszben! [2] 174
8.4. Gerjesztett, csillapított harmonikus oszcillátor Gerjesszük mf (t) külső erővel a csillapított oszcillátort 1 1 q L = mx2 − mω02 x2 + xmf (t), 2 2
1 q qq q R = mαx2 ; x + αx + ω02 x = f (t). 2
(8.40)
8.4.1. Harmonikus gerjesztés
f (t) = F0 cos(Ωt) = F0 (eiΩt + e−iΩt )/2.
(8.41)
f˜(t) = F0 eiΩt ; x˜(t) = XeiΩt ; x(t) = (˜ x(t) + x˜∗ (t))/2 = Re x˜(t).
(8.42)
Vizsgáljuk külön
A mozgásegyenletbe helyettesítés után
−XΩ2 + iαΩX + ω02 X = F0 ; X =
175
ω02
F0 . − Ω2 + iαΩ
(8.43)
Magától értetődő jelöléssel kapjuk X=
1 = Ae−iδ a + ib
a + ib =
eiδ A
;
F0 1 =p , a2 + b2 (ω02 − Ω2 )2 + α2 Ω2 b αΩ tg δ = = 2 ; x˜(t) = XeiΩt = Aei(Ωt−δ) . a ω0 − Ω2 ; A= √
(8.44) (8.45)
A valós gerjesztéshez tartozó egy partikuláris megoldás
x(t) = Re Aei(Ωt−δ) = A cos(Ωt − δ).
(8.46)
Az A amplitúdót és a δ fázistolást különböző α-k mellett a 38. ábra mutatja. Megjegyzés: Mivel az arctg értékkészlete konvenció szerint a (−π/2, π/2) intervallum, azért az Ω-nak folytonos függvényét a következő formula adja αΩ 0, ha Ω < ω0 , δ = arctg 2 (8.47) + 2 π, ha Ω > ω0 . ω0 − Ω A fázistolás δ = π/2, ha Ω = ω0 . Az inhomogén mozgásegyenlet általános megoldását a homogén egyenlet (8.30) általános megoldásának hozzáadásával nyerjük, például gyenge csillapítás mellett α
x(t) = A cos(Ωt − δ) + e− 2 t (B cos ωt + C sin ωt). 176
(8.48)
δ
α=0.2 ω0 α=0.5 ω0 α=ω0
A
α 0 =0
π α1 π/2
α2 α3
F0/ω02 Ω0
ω0
Ω
(a) A rezonanciagörbe.
Ω
(b) A fázistolás α0 = 0 < α1 < α2 < ω0 < α3 mellett.
38. ábra: Csillapított harmonikus oszcillátor. Nagy időkre csak az első tag marad meg. A formula csillapítás nélkül is érvényes. Ha a külső és a saját frekvencia hányadosa irracionális (azaz a két frekvencia inkommenzurábilis), a trajektória nem periodikus, hanem ún. kváziperiodikus. A csillapított oszcillátor fázistérbeli tipikus pályájáit ill. ezeken az energia időfüggését a 39. a-b ábra mutatja. 8.12. Gyakorló feladat. Illesszük a t = 0-ban felvett KF-hez az általános megoldást! (Ez formális kérdés, ugyanis tartósan ható külső gerjesztés esetén általában nem bír jelentőséggel a KF-hez illesztés.) [3] 177
(a) Trajektóriák a fázistérben, határciklushoz tartanak.
(b) A rendszer energiájának időbeli változása: energiafelvétel és -leadás.
39. ábra: Gerjesztett csillapított oszcillátor. 8.13. Gyakorló feladat. Adjuk meg s ábrázoljuk az energia időbeli változását a kezdetben nyugalomban levő tömegpont esetén az alul- ill. túlcsillapított, valamint az anharmonikus határesetben. [1,33-1,33-1,34]
178
a. Rezonancia Milyen Ω = Ω0 gerjesztő frekvencia mellett maximális az amplitúdó? A (8.44) gyök alatti kifejezése ekkor minimális q ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 (ω0 − Ω ) + α Ω = 2(Ω0 − ω0 ) + α = 0 ; Ω0 = ω02 − α2 /2. (8.49) ∂Ω2 Ω0
Az amplitúdó
A(Ω0 ) =
F F0 p 0 . = 2 αω α ω0 − α2 /4
(8.50)
Összefoglalásul, három különböző jellegzetes frekvenciát találtunk:
ω0 p ∼ csillapítás nélküli sajátfrekvencia, itt δ = π/2, 2 2 ω = pω0 − α /4 ∼ a csillapított oszcillátor rezgési frekvenciája, 2 2 Ω0 = ω0 − α /2 ∼ itt maximális az amplitúdó.
(8.51)
8.4.2. Általános gerjesztés
A Green-függvény módszerével oldjuk meg x(t) = [G ∗ f ](t) =
w
179
G(t − t′ )f (t′ )dt′ ,
(8.52)
ahol a retardált Green-függvény G(t) a Dirac-delta gerjesztéshez tartozó (folytonos) megoldás qq
q
G + αG + ω02 G = δ(t),
G(t < 0) ≡ 0.
(8.53)
Az egyenletet −τ és τ között integrálva és a τ → 0 limeszt véve kapjuk q
q
q
+ G(t) |+τ −τ +O(τ ) = 1 ; G(0 ) = 1.
A KF most is G(0) = 0 és G(0+ ) = 1. A (8.33) és (8.36) általános megoldást a KF-hez illesztve kapjuk 1/ω sin ωt, ha ω0 > α/2, −α t G(t) = θ(t)e 2 1/β sh βt, ha ω0 < α/2.
(8.54)
(8.55)
A Green-függvény behelyettesítésével (8.52) tetszőleges gerjesztésre előállítja a trajektóriát. 8.14. Gyakorló feladat. Adjuk meg a Green-függvényt az anharmonikus határesetben (ω0 = α/2)! [1] 8.15. Gyakorló feladat. A kezdetben nyugalomban levő csillapított oszcillátorra hassunk a t = 0-ban bekapcsolt gerjesztő erővel, f (t) = θ(t)F0 cos Ωt. Határozzuk meg a trajektóriát! [3] Megjegyzés: A mozgásegyenlet Fourier-transzformációjával is felírhatjuk a Green-függvényt −ω 2 + iαω + ω02 xω = fω , (8.56) 180
ahonnan Gω =
ω02
1 . − ω 2 + iαω
(8.57)
A G(t) fenti meghatározásával közvetve ezen Gω Fourier-transzformáltját számítottuk ki. Megjegyzés: A 7.13.3 fejezetben leírt szukcesszív approximáció módszere a csillapított mozgásra is alkalmazható perturbáló potenciál mellett a fenti Green-függvénnyel.
181
9. Síkmozgások ∼ 2D 9.1. Potenciálmozgás csillapítással Tömegpont 2D potenciálmozgását írjuk le. A Lagrange- és disszipációs függvények (ez utóbbi sűrű közegben) mα q 2 m q |r| . (9.1) L = |r|2 − V (r), R = 2 2 A mozgásegyenlet δS δD qq q = q ; mr = −∇V (r) − mαr. (9.2) δr δr Egyensúlyi helyzet: r ∗ , ha ∇V |r∗ = 0. Potenciálgödör mélyén (r ∗ stabil egyensúlyi helyzet) → α = 0 oszcillál r ∗ körül, → α > 0 relaxál r ∗ -hoz. Válasszuk r ∗ = 0-nak és fejtsük sorba a potenciált V (r) ≈ V (0) + ahol a következő jelölést használtuk
1 V11 x2 + 2V12 xy + V22 y 2 , 2
∂ 2 V (r) Vij = ∂xi ∂xj 0
(x1 = x, x2 = y). 182
(9.3)
(9.4)
A Vij mátrix szimmetrikus, ezért ortogonális transzformációval diagonalizálható. 9.1. Gyakorló feladat. Fejezzük ki a sajátértékeket és a sajátvektorokat két dimenzióban a Vij mátrixelemekkel! [2] Tekintsük a harmonikus potenciált a diagonalizáló koordinátákkal m V (r) = (ω12x2 + ω22 y 2 ). (9.5) 2 A mozgásegyenletek x = −ω12 x − αx, y = −ω22 y − αy. qq
q
qq
q
(9.6)
A csillapítást hagyjuk el (α = 0), ekkor a megoldást írhatjuk a következő alakban y(t) = A2 sin ω2 t,
(9.7)
m m q2 q (x + y 2 ) + V (r) = (ω12 A21 + ω22 A22 ). 2 2
(9.8)
x(t) = A1 sin(ω1 t + δ), amelynek energiája E= 9.2. Lissajous-görbék
A fázistér 4D, a pályákat szemléltethetjük valamely metszetben. Legyen ϕ = ω1 t, 183
(9.9)
és egy A1 sugarú henger palástjára rajzoljuk fel az y(ϕ) = A2 sin ω2 t = A2 sin
ω2 ϕ ω1
(9.10)
görbét folytonosan növekvő ϕ mellett a 40.a. ábra szerint. Ha a görbét a ϕ = 0 pozícióhoz képest δ szöggel visszafelé forgatott függőleges síkra vetítjük, akkor a vízszintes koordináta vetülete éppen x(ϕ) = A1 sin(ϕ + δ).
(a) Az y(ϕ) a hengeren.
(b) Felülnézet: vetítés függőleges síkra.
40. ábra: Lissajous-görbe szerkesztése. A henger elfordításával különböző δ-kat állíthatunk be. 184
(9.11)
A vetület tehát a ϕ-vel paraméterezett, (x, y) síkbeli pálya, ld. 41. ábra. A pályák a hengeren záródnak, ha ωω21 = pq racionális, tehát a Lissajous-görbék is zártak. Ha ωω12 irracionális, akkor a pálya nem zárt, idővel lefedi a hengert. A Lissajous-görbék érzékenyek a hangolásra: kis racionális frekvencia hányadosok jól detektálhatók. (A digitális grafika előtti analóg eljárás.) 9.2. Gyakorló feladat. Adjuk meg a pálya egyenletét az (x,y) síkban ω1 = ω2 mellett különböző δ-kra! [2]
185
(a)
(e)
(b) δ = 0
(f) δ = 0
(c) 0 < δ <
π 2
(g) δ =
π 8
(d) δ =
π 2
(h) δ =
π 4
41. ábra: Lissajous-görbék. Felső sor: ω1 = ω2 mellett (az amplitúdók egyenlők); alsó sor: 2ω1 = ω2 .
186
9.3. Anharmonikus potenciálok → Centrális potenciál: V (r) = V (r) — alább tárgyaljuk. → Általános V (r) potenciálban a mozgás tipikusan kaotikus.
10. Centrális mozgások 10.1. Alapok Legyen a rögzített erőcentrum r = 0, ekkor a centrális potenciál és az erő V (r) = V (r) ; F (r) = −∇V (r) = er F (r) ahol er =
r . r
(10.1)
Innen a descartes-i mozgásegyenlet
qq
mr = F (r) = er F (r).
(10.2)
Mivel a v = r sebesség megváltozása mindig r irányú, ezért r és v a mozgás során ugyanabban a síkban maradnak, azaz az általuk kifeszített síkból a tömegpont nem lép ki. Definiáljuk tömegpont impulzusmomentumát általában q
N = mr × r q
187
(10.3)
(elterjedt jelölése még J , mi a továbbiakban az N -et használjuk). A mozgásegyenlet alapján q q
q
qq
N = mr × r + mr × r = r × F = M ,
(10.4)
ahol az utolsó egyenlőség definiálja a forgatónyomatékot. Centrális potenciálban rkF
; M = 0 ; N = áll.,
(10.5)
és az impulzusmomentum definíciója szerint a mozgás síkjára merőleges. 10.2. Síkbeli mozgás
A centrális potenciálban történő mozgást elegendő az N -re merőleges síkban leírni. Korábban a Lagrangeformalizmust ezzel példáztuk, ld. 6.2.8. §. Polárkoordinátákat használva kaptuk mr 2 ϕ = N = áll. q
(10.6)
10.1. Gyakorló feladat. Lássuk be, hogy N éppen a feljebb 3D-ben definiált impulzusmomentum abszolút értéke! [2] 188
Az energia megmarad, melynek kifejezése E=
m q2 q r + r 2 ϕ2 + V (r) = áll. 2
(10.7)
Az impulzusmomentum megmaradását felhasználva bevezetjük a centrifugális ill. effektív potenciálokat Vcent (r) =
m 2 q2 N2 r ϕ = , 2 2mr 2
Veff (r) = Vcent (r) + V (r).
A centrifugális elnevezés arra utal, hogy a potenciál mindig taszító, ha N 6= 0. Az energiát írhatjuk az mq E = r 2 + Veff (r) = áll. 2
(10.8)
(10.9)
alakban. A rádiusz tehát 1D mozgást végez az effektív potenciálban, melyet az energiaformula idő szerinti deriválásával közvetlenül is beláthatunk. A mozgásegyenlet r(t) megoldását általában az inverzével adhatjuk meg integrál alakjában r wr m |dr| p t − t0 = . (10.10) 2r E − V (r) eff 0
Innen a pálya r(ϕ) egyenletét szintén az inverzével írhatjuk fel dt =
mr 2 dϕ N
189
(10.11)
alapján
r
|dr| N w p . ϕ − ϕ0 = √ 2m r0 r 2 E − Veff (r)
(10.12)
A síkmozgást négy KF paraméter meghatározza, például ϕ0 , r0 , N, E, és a kezdősebességek előjele. 10.3. Hatvány potenciál Tekintsük a következő hatványfüggvény potenciált αm V (r) = − a , (α > 0, a 6= 0), ar
(10.13)
amely minden esetben vonzó, ld. 42. ábra. Adott N esetén a centrifugális potenciált hozzáadva nyerjük az effektív 1D potenciált, melyet a 43. és 44. ábrákon illusztrálunk. Ha a 6= 2, akkor pontosan egy r ∗ egyensúlyi helyzetet találunk, ez a körpálya sugara. A körpálya a < 2 esetben stabil, a > 2 mellett instabil. 10.2. Gyakorló feladat. Határozzuk meg az r ∗ egyensúlyi helyzetet, mint az a kitevő függvényét! [2] Tegyük fel, hogy N 6= 0 adott, ekkor 190
42. ábra: A potenciálok jellemző távolságfüggése.
→ → → →
a < 0 ∼ minden mozgás véges, periodikus, 0 < a < 2 ∼ véges mozgás E < 0 mellett, egyébként a végtelenbe repül, a = 2 ∼ vagy minden pálya kör, vagy mindig beesik a centrumba vagy mindig kirepül, a > 2 ∼ a KF-től függően instabil körpálya, vagy beesik a centrumba vagy a végtelenbe repül.
10.3. Gyakorló feladat. Adjuk meg a ≥ 2 esetén a centrumba esés feltételét (a kezdeti N, E, r értékekkel)! [3]
191
(a) a < 0
(b) 0 < a < 2
43. ábra: Effektív potenciálok, melyekben stabil körpálya jöhet létre.
192
(a) a = 2
(b) a > 2
44. ábra: Effektív potenciálok, melyekben stabil körpálya nem jöhet létre.
193
10.4. Kepler-mozgás Nagy tömegű csillag gravitációs terében mozgó kisebb égitest problémája. Szűk értelemben csak a véges mozgásra használják, most a végtelenből jövő vagy oda tartó test mozgását is ideértjük. A potenciál V (r) = −
αm . r
(10.14)
Az α együttható a csillag M tömegével arányos α = γM,
ahol γ = 6.67384(80) 10−11 m3 kg−1 s−2 ,
(10.15)
γ a gravitációs állandó és a Nap esetén M⊙ = 1.98855(25) 1030 kg.
(10.16)
A csillagot állónak tekinthetjük, ha a tömege nagyságrendekkel nagyobb a másik égitesténél. A potenciál a = 1 kitevőjű hatvány, tehát N 6= 0 mellett E < 0 esetén véges mozgás alakul ki, E ≥ 0 mellett az égitest a végtelenbe repül.
194
10.5. A pályák alakja 10.5.1. A pályák polárkoordinátás egyenlete Érdekes módon a gravitációs potenciálbeli mozgást közvetlen módszerekkel, a (10.10) és a (10.12) általános formulák használata nélkül is megoldhatjuk. Határozzuk meg a pályák r(ϕ) egyenletét! Vezessünk be új változót r(ϕ) = amellyel az energia
1 u(ϕ)
; r=− q
u′ q Nu′ ϕ = − , u2 m
N2 m q mα N 2 u′2 N 2 2 N2 E = r2 + − = + u − mαu = 2 2mr 2 r 2m 2m m ahol bevezettük a
u′2 u2 u + − 2 2 p
N2 m2 α paramétert. Az u-függő részt teljes négyzetté alakítjuk állandó hozzáadásával p=
E 1 u′2 (ϕ) (u(ϕ) − 1/p)2 + = + 2 = áll. 2 2 pmα 2p 195
(10.17)
= áll.,
(10.18)
(10.19)
(10.20)
Látható, adott p mellett E ≥ Emin = −mα/2p. Éppen az egységnyi sajátfrekvenciájú harmonikus oszcillátor energiaformulája adódott a ϕ "idő"-ben, melynek megoldása, ha a KF-t úgy rögzítjük, hogy u a ϕ = 0-ban legyen maximális, akkor u(ϕ) = 1/p + A cos ϕ,
A ≥ 0.
(10.21)
Az ǫ = Ap jelöléssel kapjuk u(ϕ) =
p 1 ǫ + cos ϕ ; r(ϕ) = , p p 1 + ǫ cos ϕ
(10.22)
ez a kúpszeletek fokális polárkoordinátás egyenlete, melyet alább részletesebben megvizsgálunk. A vonzócentrum az egyik fókuszban van, a pályát pedig az r(π/2) = p,
r(0) = rmin = p/(1+ǫ)
(10.23)
távolságok egyértelműen meghatározzák. A minimális távolság helye a perihélium pont. 10.4. Gyakorló feladat. Mi a maximális rádiusz (aphélium pont) létezésének feltétele? [1] A perihélium pontban u′ = 0 és u − 1/p = ǫ/p, melyet a (10.20)-ba helyettesítve kapjuk r 2pE . ǫ= 1+ αm 196
(10.24)
Innen látható ǫ < 1 ∼ E < 0, ǫ = 1 ∼ E = 0, ǫ > 1 ∼ E > 0.
(10.25)
10.5.2. Derékszögű koordinátás egyenlet Nem feltételezve a kúpszeletek részletes ismeretét a pályák alakját közelebbről megvizsgáljuk. A polárkoordinátás egyenletet átírjuk descartes-i koordinátákba x = r cos ϕ ; p = r(1 + ǫ cos ϕ) = r + ǫx ; r 2 = ǫ2 x2 − 2pǫx + p2 = x2 + y 2,
(10.26)
ahonnan azonos átalakításokkal 2
2
2
(1 − ǫ )x + 2pǫx + y = p
2
; (1 − ǫ ) x + 2
pǫ 1 − ǫ2
2
+ y 2 = p2 +
p2 p2 ǫ2 = . 1 − ǫ2 1 − ǫ2
(10.27)
Ha ǫ = 1, akkor a bal oldali relációból y 2 = p2 − 2px,
197
(10.28)
egyébként (10.27) második egyenletének jobb oldalával leosztva kapjuk (x + e)2 y 2 + 2 = 1, ha ǫ < 1, a2 b (x − e)2 y 2 − 2 = 1, ha ǫ > 1. a2 b
(10.29) (10.30)
ahol a=
p , |1 − ǫ2 |
b= p
p |1 − ǫ2 |
=
√
ap,
e=
√ pǫ = ǫa = a2 − b2 . |1 − ǫ2 |
(10.31)
Az energiával kifejezve (az ǫ formuláját (10.24) adja) αm , a= 2|E|
b=
√
ap =
s
N 2 αm N . =p 2 αm 2|E| 2m|E|
(10.32)
A (10.29) egyenletek a kúpszeletek descartes-i koordinátákban írt alakjai, melyek méreteit jellemző a, b, e paramétereket a KF által meghatározott ǫ és p mennyiségekkel fejeztük ki. A szimmetria-középpont helye az eddigi origótól (az egyik fókusztól) számítva (∓e, 0) amidőn ǫ ≶ 1, ha ide toljuk az ordináta tengelyt, akkor a kúpszeletek a koordinátatengelyekre egyenként szimmetrikusak.
198
10.6. A pályák fajtái A kúpszelet fajtáját az ǫ excentricitás határozza meg (numerikus excentricitásnak is hívják), p a kúpszelet paramétere, e = aǫ neve lineáris excentricitás (a fókuszpontok távolságának fele). a. Kör: ǫ = 0 A fókusz a szimmetriaközéppont, (10.22) szerint r(ϕ) ≡ p, állandó. b. Ellipszis: 0 < ǫ < 1 A (10.29) adja meg. Az origó az F2 vonzócentrum, ettől az O szimmetria középpont az elrendezésünk szerint e távolságban "balra" van. A vonzócentrumot a szimmetria középpontra tükrözve kapjuk az F1 másik fókuszt. 10.5. Gyakorló feladat. Mutassuk meg valamelyik analitikus alakból, hogy a két fókusztól mért távolságok összege állandó! [3]
199
45. ábra: Ellipszispálya 0 < ǫ < 1 mellett (fent), parabolapálya ǫ = 1 mellett (lent).
c. Parabola: ǫ = 1 A pálya ekkor a (10.28) egyenlettel adott parabola, mely szimmetrikus az x tengelyre. A polárkoordinátás egyenletből is láthatóan r(ϕ → π) → ∞. Az a, b, e hosszak divergálnak, azaz a másik fókusz "balra a végtelenben van". 10.6. Gyakorló feladat. A fókusztól a perihélium felé p távolságban a szimmetriatengelyt merőlegesen metsző egyenes a parabola vezéregyenese. Mutassuk meg, hogy a parabola pontjaiban a vezéregyenestől és a fókusztól mért távolságok azonosak! [3] d. Hiperbola: ǫ > 1 A (10.30) határozza meg. A szimmetria-középpont a fókusztól "jobbra" van. Az egyenletnek eleget tevő görbe nem összefüggő, két ága van, közülük csak a "bal oldali" (a 46. ábrán mutatott) felel meg a pályára kapott (10.22) polárkoordinátás alaknak. Ez látható abból, hogy (10.22) szerint r kizárólag a cos ϕ0 = −1/ǫ által meghatározott tompa szögnél divergál, márpedig a tükörképe a π − ϕ0 szögnél divergens, ezt azonban (10.22) nem mutatja. 10.7. Gyakorló feladat. Lássuk be, hogy a másik hiperbolaág polárko- 46. ábra: Hiperbola alakú pálya ǫ > 1 mellett egy hibával. Mi az? ordinátás egyenlete r = p/(ǫ cos ϕ−1)! [2] 200
10.7. Kepler törvényei I. Pálya alak A bolygók ellipszispályán mozognak, melynek egyik gyújtópontjában a Nap áll. II. Felületi tétel A Naptól mért vezérsugár egyenlő idők alatt egyenlő területeket súrol. Valóban, haq dt idő alatt a súrolt elemi terület df = 1 2 1 2 q N r dϕ, akkor f = 2 r ϕ = /2m =áll. 2 III. A keringési idő négyzete arányos a Naptól 47. ábra: A vezérsugár által súrolt területhez. mért "középtávolság" köbével. Valóban, a vezérsugár egy év (T ) alatt az ellipszis területét súrolja r p √ q π a3 p a3 πab πN a3 N √ = = = ; T = 2π . (10.33) f= 2m T T Tm α α Tehát az a féltengely köbének és a T keringési idő négyzetének hányadosa minden pályára azonos. Az átlagos szögsebesség r 2π α N ω= = = . (10.34) 3 T a mab 201
10.8. Ellipszispályák időfüggése 10.8.1. Egzaktul A következő természetes paraméterezés a descartes-i koordinátás egyenletet automatikusan kielégíti x = a cos ξ − aǫ,
y = b sin ξ ;
(x + e)2 y 2 + 2 =1 a2 b
(10.35)
A ξ az elliptikus koordinátázás szögváltozója. Az átlagos szögsebességet átírhatjuk az impulzusmomentum z komponenseként ω=
q q 1 N q q = (xy − y x) = (cos ξ − ǫ)ξ cos ξ + sin ξ ξ sin ξ mab ab q d = ξ(1 − ǫ cos ξ) = (ξ − ǫ sin ξ). dt
(10.36)
Innen nyerjük a ξ(0) = 0 KF mellett a Kepler-egyenletet ωt = ξ − ǫ sin ξ.
(10.37)
Mivel ǫ < 1, azért t(ξ) invertálható, ezt számítógépen könnyen elvégezhetjük! Így nyerjük a ξ(t) függvényt, amely a pálya időfüggését (10.35)-n keresztül megadja. 202 48. ábra: Az elliptikus szögváltozó időfüggése.
10.8. Gyakorló feladat. Írjuk fel a hiperbolapályák időfüggését meghatározó egyenletet! Útmutató: vezessük be az x = aǫ − a ch ξ, y = b sh ξ paraméterezést! [2] 10.9. Gyakorló feladat. Vizsgáljuk a ξn+1 = ωt + ǫ sin ξn iterációt ellipszispályákra! Tisztázzuk elméletileg, hogy konvergál-e adott t mellett a keresett ξ értékhez, s adjunk néhány példát numerikusan! [4] 10.8.2. Perturbációszámítással ǫ szerint A (10.37)-et szukcesszív approximációval oldhatjuk meg. Vegyük észre, hogy ξ formuláját rekurzívan alkalmazva egyre hosszabb alakban írhatjuk az egzakt egyenletet ξ = ωt + ǫ sin ξ = ωt + ǫ sin(ωt + ǫ sin ξ) = ωt + ǫ sin(ωt + ǫ sin(ωt + ǫ sin ξ)) = . . . .
(10.38)
Ennek előnye, hogy ha az n-edik zárójelben csak az ωt-t tartjuk meg, akkor ǫn rendig helyes egyenletet kapunk. Másodrendig ǫ2 ξ = ωt + ǫ sin(ωt + ǫ sin ωt) + ... ≈ ωt + ǫ sin ωt + ǫ cos ωt sin ωt = ωt + ǫ sin ωt + sin 2ωt. 2 2
(10.39)
A perturbációszámítás magasabb rendjeiben magasabb felharmonikusok jelennek meg. A vezérsugár r = p − ǫx = p + ǫ2 a − aǫ cos ξ = a − aǫ cos ξ, 203
(10.40)
ahol az utolsó egyenlőséget (10.31) alapján írtuk. Innen r ≈ a − aǫ cos [ωt + ǫ sin ωt] ≈ a − aǫ cos ωt + aǫ2 sin2 ωt = a +
aǫ2 aǫ2 − aǫ cos ωt − cos 2ωt. 2 2
(10.41)
Magasabb rendekben itt is magasabb harmonikusok jelennek meg. A polárszög N N = (1 + 2ǫ cos ωt) + .... 2 mr ma2
(10.42)
√ N N b 1 − ǫ2 , = = ω ma2 mab a
(10.43)
ϕ(t) = ωt + 2ǫ sin ωt + O(ǫ2 ).
(10.44)
ϕ= q
Mivel
azért
10.10. Gyakorló feladat. Számítsuk ki ϕ(t)-t ǫ2 rendig! [2]
204
10.8.3. Bolygók excentricitása A fizikai értékek indokolják-e a perturbációszámítást? Merkur 0, 2 Föld 0, 017 Mars 0, 09 . . . Kepler ennél fedezte fel az ellipszist. exobolygók ∼ 0, 5 10.8.4. A Runge–Lenz-vektor További megmaradó mennyiség (az impulzusmomentumon és az energián kívül) q
L = v × N − αmer ; L = a × N − αmer = − q
α q (er × ez )N − αmϕeϕ . 2 r
(10.45)
q
Mivel er × ez = −eϕ és N = mr 2 ϕ, azért L = 0. A perihélium pontban L k ex , tehát mindig ex irányú. A Runge–Lenz-vektor megmaradása az ellipszis orientációjának állandóságát fejezi ki. Más potenciálban mozgó részecske pályája általában nem záródik, ilyenkor a Runge–Lenz-vektorral analóg megmaradó mennyiség nincs. q
10.11. Gyakorló feladat. Lássuk be, hogy az L/αm perihélium felé mutató vektor hossza az excentricitás! [2] 10.12. Gyakorló feladat. Vezessük le a pályák egyenletét az L megmaradása alapján! (Útmutató: szorozzuk be L-et a helyvektorral ...) [2] 205
10.13. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy a sebességvektor végpontja kört ír le! (Útmutató: vegyük a radiális egységvektor négyzetét ...) [3]
206
10.9. Szórásszámítás A távolból érkező és oda távozó részecske elhajlását vizsgálja, a vonzócentrum közeli mozgás részletes leírása nélkül. Feltesszük, hogy a potenciál a végtelenben zérus. Centrális potenciálban az elhajlás ϑ szöge a részecske E = mv02 /2 végtelenbeli energiájától és N = mbv0 -on keresztül a b impakt paramétertől függ, ld. 49. ábra.
49. ábra: Szórás vonzó potenciál mellett: ϑ = 2ϕ0 − π.
10.9.1. A V (r) = −αm/r potenciál a. Vonzó (α > 0) Mint korábban láttuk, a pálya hiperbola, melyben p és (10.24) szerint ǫ formulái a következők p=
N2 b2 v02 = , m2 α α
ǫ2 − 1 =
2Ep v 4 b2 = 02 . mα α
(10.46)
A végtelenbeli és a perihélium helyzet közötti polárszöget ismerjük, cos ϕ0 = −1/ǫ, ezért az elhajlás ϑ = 2ϕ0 − π szöge, b és v0 között az alábbi összefüggést kapjuk
207
1/ǫ 1 α √ p = = v02 b ǫ2 − 1 1 − 1/ǫ2 ϑ π = tg = − ctg ϕ0 = tg ϕ0 − 2 2
(10.47)
ld. 50. ábra. Kis b vagy kis v0 esetén ϑ ≈ π, azaz visszaszórás történik. Megjegyzés: Formálisan alkalmazhatjuk a kapott képletet a fény elhajlására, v0 = c mellett, melyből kis szögre ϑ ≈ 2α/c2 b adódik. Az általános 50. ábra: ϑ(b) a gravitációs potenciálban. relativitáselmélet szerint a helyes faktor 2 helyett 4. b. Taszító (α < 0) A vonzó potenciálra levezetett (10.46) formulák érvényben maradnak, ezért p < 0. Mivel ϕ-t változatlanul a perihéliumtól mérjük, azért a (10.21)-ben A = ǫ/p > 0, tehát ǫ < 0 . A kényelem kedvéért fordítsuk meg p és ǫ előjelét pozitívra, így (10.22) átalakul r(ϕ) =
p , ǫ cos ϕ − 1
p=
N2 . |α|m2 208
(10.48) 51. ábra: Taszító potenciálnál bejárt hiperbola (az erőcentrum az origó).
Taszító potenciálon szóródó részecske energiája szükségképpen E > 0, ezért ǫ > 1, így adódik a perihélium pontbeli rádiuszra r(0) > 0. A 10.7. feladat megoldói láthatták, hogy a (10.48) pálya éppen a vonzó potenciálban bejárt, azonos p, ǫ jellemzőkkel adott hiperbola másik ága; mindkettő ugyanazt a (10.30) descartes-i egyenletet elégíti ki. A szórási szög ezúttal ϑ = π − 2ϕ0 , ahol a maximális, hegyes polárszög most cos ϕ0 = 1/ǫ. A (10.47) baloldalán |α|-t kell írnunk, s végül nyerjük π |α| 1 ϑ √ = − ϕ = tg . = ctg ϕ = tg 0 0 2 2 v0 b 2 2 ǫ −1
(10.49)
Az |α|-kel a vonzó és taszító potenciálbeli formulák azonosak! 10.10. Hatáskeresztmetszet Feltevéseink → felületegységenként n0 bejövő részecske, → egyöntetűen v0 sebesség, → ismert a ϑ(b) függvény, amely monoton csökken.
A szórást természetesen jellemző, kísérletileg mérhető fizikai mennyiség a hatáskeresztmetszet. 52. ábra: A hatáskeresztmetszet definíciójához. 209
Centrális potenciál esetén a szórást a ϑ elhajlási szög jellemzi, a 52. ábra taszító potenciált illusztrál. A ϑ és a ϑ + dϑ között szóródó részecskék száma n0 2πb db ≡ n0 dσ. (10.50) A felületeket pozitívnak vesszük, tehát a dϑ előjelére tekintet nélkül a |dϑ| tartományban a dσ felületre beeső részecskék szóródnak. Az ennek megfelelő térszögtartományt a polárszögre integrálva kapjuk |dΩ| = 2π sin ϑ|dϑ|. Differenciális hatáskeresztmetszet: dσ db(ϑ) b(ϑ) . σdif (ϑ) = = (10.51) dΩ sin ϑ dϑ Ha a ϑ(b) lassan változik, akkor a σdif nagy. Tehát a (10.50) a következő alakot ölti 2πbdb = σdif |dΩ|.
Totális hatáskeresztmetszet: a teljes hatásos szórási felület w w w wπ db(ϑ) dϑ = 2π b db. σtot = dσ = σdif dΩ = 2π b(ϑ) dϑ 0
(10.52)
(10.53)
A b-re vett integrál a valós tengelyen véve divergál. Ha azonban a ϑ(b) valamely véges b0 -tól kezdve zérussá válik, akkor a b > b0 értékeket kihagyjuk, s így a w b0 σtot = 2π b db = πb20 (10.54) 0
210
totális hatáskeresztmetszetet kapjuk. Ez annak felel meg, ha (10.53)-ban a ϑ szög szerinti integrált nem a [0, π] tartományban, hanem [ε, π]-ben a ε → 0 határátmenettel definiáljuk. Más szóval, a σdif differenciális hatáskeresztmetszetet pozitív szögekre számítjuk ki s használjuk az integrandusban. Ennek révén kikerüljük azt a problémát, hogy db/dϑ nem értelmezett a ϑ = 0-ban, s fizikailag is indokolt, hogy a szóródást nem okozó végtelen nagy felületet ne vegyük számításba. Megjegyzés: A véges totális hatáskeresztmetszet nem a potenciál véges hatótávolságának következménye! Például a V (r) ∝ e−r/r0 exponenciális potenciál a hagyományos terminológiával véges r0 hatótávolságú, mivel azonban nem egzaktul tűnik el az erő nagy r mellett, azért σtot = ∞. Véges totális hatáskeresztmetszetet a klasszikus mechanikában csak akkor kapunk, ha az erő véges távolságon zérussá válik. 10.10.1. Példa. Gömbfelületről rugalmasan szóródó részecske. A differenciális hatáskeresztmetszet ϑ =π − 2ϕ ; b = R sin ϕ = R sin (π−ϑ)/2 = R cos ϑ/2 ; |db/dϑ| = R/2 sin ϑ/2 ϑ R2 b(ϑ) db(ϑ) R cos ϑ2 R = sin = = áll. ; σdif = sin ϑ dϑ sin ϑ 2 2 4
A gömbi "kemény mag" potenciál sajátossága az állandó differenciális hatáskeresztmetszet. A totális w σtot = σdif dΩ = πR2 természetesen a gömb keresztmetszete. 211
(10.55) (10.56)
(10.57)
(a)
(b)
53. ábra: Szórás tömör gömbön (a) szögek; (b) a szórási szög az impakt paraméter függvényében. 10.11. Rutherford-szórás Hélium atommagok (α részecskék, tömegük mα ≈ 4mproton , töltésük 2e) szóródnak Z = 79 rendszámú arany magok taszító Coulomb-terében. A korábbiakat felhasználva db ϑ α 2Ze2 1 αmα = α , b = 2 ctg , (10.58) , α= V (r) = 2 r mα v0 2 dϑ 2v0 sin2 ϑ2 ctg ϑ2 b(ϑ) db(ϑ) 1 α α2 α ; σdif = = = . (10.59) sin ϑ dϑ v 2 2 sin ϑ cos ϑ 2v 2 sin2 ϑ 4v 4 sin4 ϑ 0
2
212
2
0
2
0
2
Mivel az erő nem tűnik el véges távolságon, azért σtot = ∞. Ezt kapjuk a ϑ szerinti integrálással is, ugyanis σ(ϑ) ∝ ϑ−4 kis ϑ mellett, melynek integrálja divergál. Megjegyzés: Az alfa részecskék Rutherford-szórását a kvantummechanika írja le, amely érdekes módon a fenti, klasszikus differenciális hatáskeresztmetszettel azonos formulát eredményez. E különleges egyezés mélyebb oka az 1/r potenciálbeli mozgás magasabb szimmetriája, mely a fent tárgyalt Runge–Lenz-vektor megmaradásával függ össze. 10.14. Gyakorló feladat. Határozzuk meg nagyenergiájú részecske elhajlási szögét általános V (r) potenciálban! Ehhez első rendben elég az egyenes pályán való mozgás során a teljes merőleges impulzusváltozást kiszámítani. [4] Számítsuk ki σdif -et kis szögekre, ha V = −αm/ara ? [2]
54. ábra: Rutherford-szórás elrendezése
10.12. Fázistér Centrális potenciálban adott E, N mellett egyértelmű fázistérbeli görbéket kapunk a vr −r és a vϕ −ϕ síkokban. A V (r) = −αm/r esetén r 2 N N q q r =vr (r) = (E − Veff (r)), r ϕ = vϕ (ϕ) = = (1 + ǫ cos ϕ). (10.60) m mr mp 213
(a)
(b)
55. ábra: Fázistér vonzó (α > 0) potenciálra (a) vr − r; (b) vϕ − ϕ metszet. Az E < 0 görbe valójában a ±π végpontokig ér. Megjegyzés: Az r-ben effektíven egydimenziós a mozgás adott N mellett, ezért a különböző E-hez tartozó vr − r görbék nem metszhetik egymást. Ezzel szemben a pályák vϕ − ϕ vetületei kereszteződhetnek.
214
(a)
(b)
56. ábra: Fázistér taszító (α < 0) potenciálra (a) vr − r; (b) vϕ − ϕ metszet.
215
11. Fizikai dimenziók Korábban többször végeztünk dimenzióanalízist. Minden fizikai problémában hasznos az egyenletek dimenziótlanítása, melyet nem kerülhetünk el, ha számítógéppel modellezünk, szimulálunk. 11.1. Mozgásegyenletek dimenziótlanítása, mechanikai hasonlóság Vezessünk be dimenziótlan távolságot és időt r = Lr ′ ,
t = T t′ ,
(11.1)
ahol L és T a mozgás karakterisztikus távolsága és ideje. Általában ezeket többféleképpen megválaszthatjuk. Ekkor mr = F qq
; m
L d2 r ′ =F T 2 dt′2
; mr ′ = qq
T2 F, L
(11.2)
ahol az r ′ időderivált a t′ szerint értendő. Például a Kepler-problémában q
mr = − qq
γmM er r2
⇒
r′ = − qq
γMT 2 1 e. 3 ′2 r {z } r | L
(11.3)
dimenziótlan
Azonos dimenziótlan paraméterekkel megadott mozgások hasonlók! A Kepler-problémában azonos T 2 /L3 mellett a mozgások mechanikailag hasonlóak. Kepler III. törvénye a mechanikai hasonlóságot fejezi ki. 216
Általános hatvány potenciálra (a 6= 0) αm V (r) = − a ar ha tehát
T 2/La+2
αT 2 1 ; r = − a+2 ′a+1 er , L r qq′
(11.4)
azonos, akkor a mozgások hasonlók.
11.2. Dimenzióanalízis A fizikai mértékegységekben rejlő információ felhasználása. Például tekintsük egy v végtelenbeli sebességű testnek egy M tömegű csillag gravitációjának hatására történő elhajlását, és tegyük fel, hogy az elhajlás szöge a fizikai paraméterektől hatvány alakban függ (b az impakt paraméter, γ a gravitációs állandó, „A” dimenziótlan együttható) ϑ = f (γ, M, v, b) = Aγ α M β v δ bǫ . (11.5) A dimenziókat beírva kapjuk
α δ m3 β m kg mǫ . 1= kg· s2 s Minden dimenziós mennyiségnek zérus hatványon kell szerepelnie, ezért
3α + δ + ǫ = 0,
β = α,
2α + δ = 0 ; ǫ = −α, α Mγ ; ϑ=A . bv 2 217
(11.6)
(11.7) (11.8)
A jobboldalon elvileg a zárójelben levő dimenziótlan kifejezés tetszőleges függvénye felléphet. Ha feltesszük, hogy kis elhajlás szöge arányos a tömeggel, akkor α = 1, és ϑ=A
Mγ bv 2
(11.9)
Éppen ezt kaptuk a (10.58) képletében kis ϑ-ra az A = 2 együtthatóval. Nagyobb szögre is kiszámítottuk ϑ = 2arctg
Mγ , bv 2
(11.10)
a függvény argumentuma a dimenziótlan mennyiség! A fény Nap körüli elhajlásánál b ≈ R⊙ , s mint említettük korábban A = 4. A relativitáselmélet jelentősen eltérő jóslatot adott.
218
12. Pontrendszerek: szimmetriák és megmaradási tételek A 6.2.7. fejezetben a Lagrange-függvénnyel leírható rendszerekben a ciklikus koordináták és az időeltolási invariancia következtében megmaradó mennyiségeket vizsgáltuk. Alább a Lagrange-függvény általános infinitezimális transzformáció hatására történő változását és – invariancia esetén – a megmaradó mennyiségeket határozzuk meg. 12.1. A Lagrange-függvény megváltozása a koordináták transzformációjakor Pontrendszerek Lagrange-függvényét az általános koordinátáikkal adjuk meg q f f L = L {qi (t)}i=1 , {qi (t)}i=1 , t .
(12.1)
Tekintsük a fizikailag megvalósuló, azaz az Euler–Lagrange-egyenleteket kielégítő qi (t) pályákat, melyeket megváltoztatunk a ∆qi (t) mennyiségekkel, s engedjük meg az időeltolást is, azaz qi → qi + ∆qi ,
t → t + ∆t.
Ennek hatására a Lagrange-függvény megváltozása X ∂L X q ∂L ∂L q ∂L ∂L d X q ∆L = pi ∆qi + ∆qi + q ∆qi + ∆t = (pi ∆qi + pi ∆qi ) + ∆t = ∆t. ∂q ∂ q ∂t ∂t dt ∂t i i i i i 219
(12.2)
(12.3)
Descartes-i koordináták esetén természetesen r j → rj + ∆r j ,
t → t + ∆t ; ∆L =
∂L d X pj · ∆r j + ∆t. dt j ∂t
(12.4)
12.2. Időeltolás A pálya mentén eltoljuk a rendszert ∆t idővel, ekkor ∆qi (t) = qi (t + ∆t) − qi (t) = qi (t)∆t, q
ahonnan
∆L = Innen
dL ∂L d X q pi qi ∆t + ∆t = ∆t. dt dt i ∂t
d dt
X i
!
pi qi − L q
=−
A korábbról ismert eredményt kapjuk. Ha ∂L/∂t = 0, akkor a X q pi qi − L = E i
mennyiség állandó, ez az energia.
220
∂L . ∂t
(12.5) (12.6)
(12.7)
(12.8)
12.3. Koordinátatranszformációk Itt ∆t = 0. Ha a Lagrange-függvény invariáns, azaz a koordinátatranszformáció szimmetria, akkor X ∆L = 0 ; pi ∆qi = áll. időben.
(12.9)
i
Ez mozgásállandó, viszont benne maradt a kis ∆qi mennyiség. Célunk makroszkopikus mozgásállandó származtatása, ezért paraméterezzük a koordinátatranszformációt, s a független, kicsiny, időfüggetlen paraméterek együttható függvényei lesznek a keresett invariánsak. Alább erre az eljárásra mutatunk példákat. 12.3.1. Példa. Ciklikus koordináta: Ha valamely qj -tól expliciten nem függ a Lagrange-függvény, akkor pj (t)∆qj = áll., tehát pj (t) = áll. 12.3.1. Térbeli eltolás Legyenek az általános koordináták r j és bármilyen homogén ∆r j ≡ ∆r eltolásukra ∆L = 0. A transzformáció paramétere most ∆r, mellyel X X X pj · ∆r j = pj · ∆r = áll. ; P = pj = áll. (12.10) j
j
j
221
A teljes impulzus tehát megmarad. Bevezetve a tömegközéppontot és sebességét X X X X q M= mj , R = 1/M mj r j R = V = 1/M mj v j = 1/M pj j
j
j
(12.11)
j
nyerjük
P = MV = áll., R(t) = R0 + V t.
(12.12) (12.13)
Ez a tömegközépponti tétel. 12.3.2. Példa. A potenciál a koordináták különbségeitől függ: V ({r j }) = V ({r j − r k }). 12.3.2. Térbeli forgatás
∆r j = ∆ϕ × r j , ∆L = 0 ;
X j
pj · (∆ϕ × r j ) = ∆ϕ ·
X j
r j × pj = áll.
(12.14)
Független paramétereink a ∆ϕ vektor komponensei, tehát a megmaradó mennyiség a teljes impulzusmomentum X N= r j × pj . (12.15) j
222
Ha csak a t tengely körüli forgatásra teljesül az invariancia, akkor ∆ϕ = t∆ϕ ; Nt = N · t = áll.
(12.16)
12.4. Általános szimmetria Tegyük fel, hogy a Lagrange-függvény invariáns a ∆qi =
K X
Iia (q) ∆βa
(12.17)
a=1
transzformációra, amelynek kis paraméterei a ∆βa -k. Ekkor (12.9) szerint a megmaradó mennyiségek Ja =
f X
pi Iia (q),
a = 1, . . . , K.
(12.18)
i=1
12.1. Gyakorló feladat. Milyen I mátrix írja le egy tömegpont esetén a mindhárom tengely körüli forgatásokkal szembeni szimmetriát? [2]
223
12.5. Összefoglalás Zárt rendszerekben a tapasztalat szerint a következő szimmetriák állnak fenn Szimmetriatranszformáció
Megmaradó mennyiség
Darabszám
Térbeli eltolás
P R0
3 3
Térbeli forgatás
N
3
Időeltolás
E
1
Összesen 10 megmaradó mennyiséget kapunk: "A mozgásegyenletek 10 integrálja." Speciális esetek → N=2: 3D – Fázistér 2D – Fázistér → N=3: 3D – Fázistér 2D – Fázistér
dimenziók: 6+6=12 ; 12-10=2 változó időfüggése szabad dimenziók: 4+4=8 ; 8-(2+2+1+1)=2 szabad változó dimenziók: 18 ; 18-10=8 szabad változó dimenziók: 12 ; 12-6=6 szabad változó 224
Ha a fázistér dimenziója 2, a pályák a síkban nem metszhetik egymást, a mozgás integrálható. Kettőnél több szabad változó esetén tipikusan kaotikus a mozgás (pl: kettős inga, egynél nagyobb dimenziós térben potenciálmozgást végző tömegpont). Időfüggő potenciálban mozgó rendszer is általában káoszt mutat (pl: meghajtott síkinga). A magasabb dimenziós harmonikus oszcillátor és a centrális potenciálban mozgó tömegpont kivétel, ezek mozgása integrálható. 12.6. Kéttestprobléma Centrális erővel kölcsönható két tömegpont Lagrange-függvénye L=
m1 q 2 m2 q 2 r + r − V (|r1 − r 2 |). 2 1 2 2
(12.19)
Mivel homogén eltolásra a Lagrange-függvény invariás, az R tömegközéppont egyenesvonalú egyenletes mozgást végez. Válasszuk ezt az origónak, amikor is M = m1 + m2 ,
r = r1 − r2 ,
Visszaírva a Lagrange-függvénybe kapjuk L=
m1 r 1 + m2 r2 = 0 ; r 1 =
m1 m22 q 2 m2 m21 q 2 µ q2 r − V (r), r + r − V (r) = 2M 2 2M 2 2 225
m2 r, M
ahol µ =
r2 = − m1 m2 . M
m1 r. M
(12.20)
(12.21)
Tehát a relatív koordinátában egy µ tömegű pont centrális mozgása valósul meg, ahol µ a két tömeg harmonikus közepének a fele. Vegyük észre, hogy erre az eredményre a mozgásegyenletek felírása nélkül jutottunk. 12.2. Gyakorló feladat. Írjuk fel a teljes Lagrange-függvényt az R=0 feltevése nélkül, azaz szerepeljen benne expliciten R. Így közvetlenül láthatjuk a tömegközéppont és a relatív koordináta mozgását. [2] Az impulzusmomentum függ az origó megválasztásától. Az R=0 mellett q
q
N = m1 r1 × r1 + m2 r 2 × r 2 =
m1 m22 + m2 m21 q q (r × r) = µr × r = áll. 2 M
(12.22)
A tömegközépponti impulzusmomentumot a µ tömegű részecske relatív koordinátában leírt mozgása adja! 12.3. Gyakorló feladat. Tartsuk meg az R változót, és írjuk fel a teljes impulzusmomentumot. [2] 12.6.1. Példa. Gravitációs potenciál:
γm1 m2 γµM =− (12.23) r r Azaz a centrum tömegének M-et tekinthetjük, a másiké µ. Pl. a Nap és a Jupiter tömegeinek aránya M⊙ ≈ 1048MX , a Napot rögzítettnek véve 1‰ (egy ezrelék) hibát vétünk. Fentebb a szórási problémákat is rögzített centrum mellett vizsgáltuk. Az eredmények azonban véges tömegű szóró részecske esetén a tömegközépponti rendszerben érvényesek, melyeket a laboratóriumi rendszerre át kell számítani. Erről a fontos témakörről itt nem szólunk, példákat az első éves mechanika kurzus tárgyalt. V =−
226
13. Kényszerek Eddig az általános koordináták bevezetése révén eliminálni kívántuk a kényszererőket. Az alábbiakban célunk ezek bevétele a mozgásegyenletbe és meghatározásuk. A kényszerekről itt feltételezzük, hogy tökéletesen merevek azaz tisztán geometriai megkötések, továbbá nem járnak súrlódással. Más szóval ideálisan kemény és sima szerkezetek valósítják meg. Például ilyen a sokat tárgyalt inga, amelyről alapesetben feltesszük, hogy a rúdja nem nyúlik és a felfüggesztésben nem ébred súrlódás. 13.1. Virtuális elmozdulások és a D’Alembert-elv 13.1.1. Tömegpont Bontsuk fel a tömegpontra ható erőt szabad- és kényszererők összegére F = F sz + F k .
(13.1)
Az elsőt ismertnek tételezzük fel, a másodikról csak azt tudjuk, hogy éppen akkora, hogy a tömegpont a kényszer geometriájának eleget tegyen. Miután elhanyagoltuk a súrlódást, a kényszerek által kifejtett erő merőleges a geometria által az adott pillanatban megengedett δr kis elmozdulásokra. Ezek az ún. virtuális elmozdulások, ha a kényszer időfüggő, akkor δr egy rögzített időpontban a geometria által megengedett elmozdulásokat jelenti. A variációszámítás nyelvén a virtuális elmozdulás a pálya olyan variációja, amely a kényszereknek eleget tesz, feltéve, hogy az időt nem variáljuk. 227
A mozgásegyenletet a kényszererők híján nem ismerjük, de ha virtuális elmozdulással szorozzuk, akkor a F δr = F sz δr ; (mr − F sz ) · δr = 0 qq
(13.2)
relációt kapjuk. Ez D’Alembert elve egy tömegpontra.
13.1.1. Példa. Időben változó felületen történő mozgás. Ha a kényszer a ϕ(r, t) = 0 időben változó felület, akkor a virtuális elmozdulások egy pillanatban a test helyén az érintő síkra vannak korlátozva, amelyre a kényszererő nyilván merőleges. Részletesen írva, a felület egy pontjában az érintő sík normális vektora ∇ϕ, tehát az e síkra korlátozott virtuális elmozdulásra ∇ϕ · δr = 0, ld. 57. ábra. Mivel a pillanatnyi kényszererő is csak normális irányú lehet, azaz párhuzamos ∇ϕ(r, t)-vel, teljesül F k = λ∇ϕ,
(13.3) 57. ábra: Felületre korlátozott mozgás és a virtuális elmozdulások.
ahol λ egyelőre ismeretlen skalár tényező. A mozgásegyenlet tehát mr = F sz + λ∇ϕ,
(13.4)
qq
melyhez a ϕ(r, t) = 0 feltételt hozzávéve összesen négy egyenletet kapunk a négy ismeretlenre, az r(t) komponenseire és a λ(t) függvényekre (feltéve, hogy az F sz szabaderő a trajektória ismert függvénye, például konzervatív térben F sz = −∇V , ahol V (r, t) a potenciál.). 228
13.1.2. Pontrendszer több kényszer hatása alatt Álljon a rendszerünk N tömegpontból, melyekre a szabaderőkön kívül hassanak olyan kényszererők, hogy a következő M geometriai feltételeknek tegyenek eleget (13.5)
ϕj (r 1 , . . . , r N , t) = 0 j = 1, . . . , M. A virtuális elmozdulások δr1 , . . . , δrN , melyek rögzített idő mellett összefüggnek az alábbiak szerint X X ∇i ϕj δr i + . . . ; ∇i ϕj δr i = 0. ϕj (r1 + δr 1 , . . . , r N + δr N , t) = ϕj (r1 , . . . , rN , t) + {z } | {z } | 0
i
0
(13.6)
i
Itt ∇i jelöli az r i szerinti gradienst. Az i-edik tömegpontra a j-edik kényszer hatása plauzibilis módon F kij = λj ∇i ϕj .
(13.7)
Ez azt fejezi ki, hogy a j-edik kényszernek a 3N dimenziós térbeli gradiensével arányos a kényszererő, azaz λ nem függ sem i-től, sem a descartes-i komponenstől. A teljes kényszererőre kapjuk X X X qq F ki = λj ∇i ϕj ; F ki δri = 0 ; (mi r i − F sz (13.8) i )δr i = 0. j
i
i
Ez a D’Alembert-elv pontrendszerre. A kényszererők formuláját használva a mozgásegyenlet X qq k sz mr i = F sz + F = F + λj ∇i ϕj , i i i j
229
(13.9)
M melyek a (13.5) feltételekkel a mozgásegyenleteket adják. Összesen 3N + M egyenlet az {r i }N i=1 és {λj }j=1 ismeretlenekre. Megjegyzés: Elbizonytalanodhat az olvasó, honnan tudjuk, hogy a kényszererők (13.7) formulájában a λj együtthatók nem függnek a tömegpontok i indexétől. Már látjuk, hogy így kaptunk éppen annyi ismeretlent, ahány egyenletünk van, meggyőzőbb érvet rövidesen a Lagrange-formalizmus szolgáltat.
13.2. Egyensúly Ha r i = áll., akkor (13.8)-ből következően X i
F sz i · δr i = 0.
(13.10) 1
2
...
3
Ez a virtuális munka elve: egyensúlyban a szabaderők virtuális munkája zérus.
δ r1
13.2.1. Példa. Kétkarú emelő
F1
δr1/2 = (+/−)a1/2 δϕ ; F1 a1 δϕ − F2 a2 δϕ = 0 ; F1 a1 = F2 a2 . (13.11) 13.2.2. Példa. Csigasor δr2 = δr1 /2N,
N
...
2
δr 2
F2
58. ábra: Emelő és csigasor.
F1 δr1 = F2 δr2 ; F1 = F2 /2N. 230
(13.12)
13.3. Kényszerek osztályozása Eddig a ϕ(r1 , . . . , rN , t) = 0 egyenlettel megadható kényszert vizsgáltuk. Ez a holonóm kényszer. Ha ∂t ϕ = 0, akkor a kényszer holonóm-szkleronóm, egyébként holonóm-reonóm. A sebességek közötti relációt az idő szerinti deriválással kapjuk ∂ϕ X q + ∇n ϕ · r n = 0. (13.13) ∂t n Olyan kényszert, amelyet nem írhatunk fel a koordinátákat tartalmazó függvény eltűnésének egyenletével, anholonómnak nevezzük. Gyakran a sebességek közötti reláció adható meg a0 (r, t) +
N X n=1
an (r, t)rn = 0, ; a0 (r, t)dt + q
N X
an (r, t)dr n = 0,
(13.14)
n=1
ahol r az összes koordinátát foglalja össze, azaz az együtthatók r 1 , . . . , rN , t függvényei . A holonóm esetben az együtthatók egyetlen függvényből differenciálással származtathatók (13.13) szerint ∂ϕ , an = ∇n ϕ, ∂t egyébként nem. A kényszer anholonóm-szkleronóm, ha ∂an a0 = 0, = 0, n = 1, . . . , N. ∂t a0 =
231
(13.15)
(13.16)
egyébként anholonóm-reonóm. A kényszer egyenlőtlenséggel is adott lehet, például gázrészecskék gömb tartályban |r n |2 ≤ a2 . 13.4. Lagrange-féle elsőfajú egyenletek Tegyük fel, hogy az alábbi kényszerfeltételek adottak aj0 (r, t) +
N X
ajn (r, t)rn = 0, q
j = 1, . . . , M.
(13.17)
n=1
Köztük lehetnek holonómak is. Az anholonóm-reonóm esetre általánosítva a kényszererők (13.8) formuláját a (13.13) megfeleltetés alapján kapjuk X F kn = λj ajn (r, t), (13.18) j
amely az n-edik tömegpontra hat. Ezzel a mozgásegyenlet X qq mn r n = F sz + λj ajn (r, t). n
(13.19)
j
Ezek a Lagrange-féle elsőfajú mozgásegyenletek, melyek a (13.17) feltételekkel összesen 3N + M relációt adnak a 3N helyváltozóra és az M darab λj paraméterre. 232
13.5. Energiatétel kényszerek jelenlétében Tekintsük a kinetikus energiát X mn q X X q X q q qq K= |r n |2 ; K = mn r n r n = rn (F sz + λj ajn ), n 2 n n n j
(13.20)
az utolsó egyenletnél felhasználtuk a kényszererők (13.18) kifejezését. A sebességek közötti (13.17) összefüggéssel X X q q K= F sz r − λj aj0 . (13.21) n n n
j
Potenciálos szabaderők esetén
X n
q
F sz n r n = −V q
q
q
q
; E =K +V =−
X
λj aj0 .
(13.22)
j
Szkleronóm kényszerek mellett, azaz ha minden aj0 = 0, az energia megmarad.
14. Kényszerek általános koordinátákkal 14.1. Holonóm kényszerek Tegyük fel, hogy az általános koordinátákkal nem vettük figyelembe az összes kényszert, hanem fennmaradt M – esetleg időfüggő – feltétel ϕj (q, t) = 0 j = 1, . . . , M. (14.1) 233
A q-val a q1 , . . . , qN változók együttesét rövidítettük. A kényszereket a variáláskor Lagrange-multiplikátorokkal vehetjük figyelembe, azaz bevezetjük a λ1 , . . . , λM új változót és a Lagrange-függvényt módosítjuk w X q q Lλ (q, q, t) = L(q, q, t) + λj ϕj (q) ; Sλ [q(t), λ(t)] = Lλ dt, (14.2)
a hatás tehát az általános koordináták és a multiplikátorok funkcionálja. Ekkor qi -k függetlennek vehetők, de a λj -k szerint is variálunk. Az Euler–Lagrange-egyenletek a qi -k szerinti variálással adódnak d ∂L ∂L X ∂ϕj + λj . q = dt ∂ qi ∂qi ∂qi j
(14.3)
Az általánosított szabad- és kényszererő komponensek Fisz =
∂L , ∂qi
Fik =
X j
λj
∂ϕj , ∂qi
(14.4)
melyekkel a mozgásegyenletek pi = Fisz + Fik . q
(14.5)
A konstrukció szerint a λj -k szerinti variálással kapjuk a kényszerfeltételeket ϕj = 0. 234
(14.6)
Összesen f + M egyenletünk van az ugyanennyi qk (t) és λj (t) ismeretlen függvényekre. Természetesen mindez alkalmazható descartes-i koordinátás leírásra, azaz qk ∼ rni . A mozgásegyenletek megoldásának általános módszere az, hogy elsőként a kényszerfeltételeket kétszer deriváljuk X ∂ϕj q ∂ϕj qk + =0 ∂qk ∂t k X ∂ 2 ϕj q X ∂ϕj qq X ∂ 2 ϕj q q ∂ 2 ϕj qq qk + qk ql + 2 qk + =0 ϕj = ∂qk ∂ql ∂qk ∂t∂qk ∂t2 ϕj = q
k
→ → → → →
k,l
(14.7) (14.8)
k
qk helyére a mozgásegyenleteket beírva M egyenletet kapunk λ1 , . . . , λM -re; q kifejezzük a λ-kat a q, q változókkal; q qq a λ-kat a mozgásegyenletbe visszaírva q, q, q-ot tartalmazó N db mozgásegyenletet kapunk; ezekből elvileg meghatározhatók a q(t)-k; a λ-k q-val kifejezett formuláival expliciten adódnak a λ(t)-k. qq
14.2. Anholonóm kényszerek Mivel az anholonóm kényszereket nem írhatjuk a korábban alkalmazott, csak a koordinátákat tartalmazó ϕj függvények eltűnésének alakjában, a szokásos Lagrange-multiplikátoros eljárás nem alkalmazható. Ha a hatást nem 235
is, de a variációját kiegészíthetjük multiplikátorokkal kombinált eltűnő tagokkal, s így az anholonóm mozgásegyenletekhez jutunk. A kényszer valódi elmozdulásokra X ajk (q, t) dqk + aj0 (q, t) dt = 0 j = 1, . . . , M. (14.9) k
A pálya variációja, melyek éppen a virtuális, azaz adott idejű (δt = 0) elmozdulások, teljesítik X ajk (q, t) δqk = 0 j = 1, . . . , M.
(14.10)
k
A pályák variálásakor a hatás variációja, ha hozzáadjuk az eltűnő kifejezések lineárkombinációját, a következő w wX X λj ajk δqk dt. (14.11) δS = δ L dt + j
k
Tehát a mozgásegyenletek δS =0 ; δqi
d ∂L ∂L X + λj ajk , q = dt ∂ qk ∂qk j 236
(14.12)
melyek a (14.9) kényszerfeltételekkel f + M egyenletet adnak az összesen ugyanennyi qi és λj függvényekre. Holonóm kényszerek az anholonómak speciális esetének tekinthetők, ekkor az ajk → ∂ϕj/∂qk helyettesítéssel visszakapjuk a korábban felírt mozgásegyenleteket. Vegyes kényszerek, azaz holonóm és anholonóm keveréke esetén a holonómakra végezhető a helyettesítés. Természetesen a qj -k lehetnek Descartes-koordináták, melyekre egyben igazoltuk a (13.19) Lagrange-féle elsőfajú mozgásegyenleteket. Magától értetődő jelöléssel, általános impulzusokkal, szabad- és kényszererőkkel a mozgásegyenletek alakja pi = Fisz + Fik .
(14.13)
q
Ez a felbontás holonóm kényszerekre is nyilvánvalóan alkalmazható. A megoldás módszere a holonóm esetéhez hasonló: deriváljuk a kényszerfeltételeket, majd a gyorsulások helyére a mozgásegyenletek kifejezéseit beírva a λj ket a koordinátákkal és sebességekkel kifejezve kapjuk. Ezeket a mozgásegyenletekbe visszaírva kiküszöböljük a λj -ket, s így f csatolt, másodrendű differenciálegyenletet kapunk. 14.2.1. Példa. Anholonóm-reonóm kényszerre: Guruló korong, nem csúszik meg, és a korong síkja maradjon függőleges. Helyzetét megadja az érintkezési pont x, y, eddigi teljes elfordulása ϕ és az q irányát jellemző ϑ szög. A kerületi sebesség nagysága v = r ϕ, ahonnan x = −r ϕ cos ϑ, q
q
(14.14)
y = −r ϕ sin ϑ, q
q
237
59. ábra: Az x, y síkon guruló korong, az ábrával ellentétben a síkja függőleges állású (az ábra javításra szorul).
vagy differenciális alakban dx + rdϕ cos ϑ = 0,
(14.15)
dy + rdϕ sin ϑ = 0.
Ezen feltételeket az egyébként erőmentes mozgás meghatározásához figyelembe kell vennünk. 14.3. Kényszermozgás görbén és felületen 14.3.1. Példa. Síkgörbén való szabad mozgás Előre tudjuk, hogy a görbe mentén egyenletesen mozog, ezt kell kapnunk a formális megoldásból. A holonóm kényszer és a mozgásegyenletek ′ qq −f (x) xqq . (14.16) =λ ϕ(x, y) = y − f (x) ; m 1 y A kényszer szkleronóm, ezért az E = K energia megmarad x2 + y 2 = x2 (1 + f ′2 ) = v 2 = áll. q
q
q
(14.17)
Idő szerinti integrálással kapjuk az ívhosszat wx p vt = 1 + f ′2 (x)dx = s(x) − s(x0 ), x0
238
60. ábra: Síkgörbén való mozgás (14.18)
melyból invertálással adódik x(t). Határozzuk meg az x helyen ható kényszererőt! y = f (x),
λ v 2 f ′′ mv 2 f ′′ λ = − f ′2 + ; λ = m m 1 + f ′2 (1 + f ′2 )2 2 ′2 3/2 p k F = λ 1 + f ′2 = mv , ahol R = (1 + f ) . R |f ′′ |
y = f ′ x, q
y = f ′ x + f ′′ x2 ;
q
qq
qq
q
(14.19) (14.20)
Gimnáziumból tudjuk, hogy köríven mozgáskor a centripetális erőt éppen ez a formula adja, ahol R a görbületi sugár. Tehát mechanikai érvek révén kiszámítottuk általános síkgörbe görbületi sugarát! 14.1. Gyakorló feladat. Hasonló gondolatmenettel adjunk formulát az r = r(u) paraméteres egyenlettel megadott térgörbe görbületi sugarára! [4] 14.2. Gyakorló feladat. Mozgó rúdra fűzött test: Milyen mozgást végez az a tömegpont, amely az y = γtx időfüggő egyenlettel meghatározott egyenesen súrlódásmentesen csúszik (szabaderő nem hat)? A KF legyen x(0) = q x0 , x(0) = v0 . Speciális esetként meg kell kapnunk, hogy ha v0 = 0, akkor x ≡ x0 , y = γtx0 , és λ = 0. [4] 14.3.2. Példa. Mozgás a h(x, y) − z ≡ ϕ(x, y, z) = 0 felületen gravitáció jelenlétében. A mozgásegyenletek mr = λ∇ϕ − mgez , qq
ahol ∇ϕ = (∂x h, ∂y h, −1).
(14.21)
A parciális deriváltakra rövidített jelölést használtunk. A kényszert differenciáljuk az idő szerint r∇ϕ = 0, q
r(∇ ◦ ∇ϕ)r + r∇ϕ ≡ rHr + r∇ϕ = 0, q
q
239
qq
q
q
qq
(14.22)
ahol bevezettük a H = ∇ ◦ ∇ϕ-t, azaz ϕ Hesse-mátrixát. A mozgásegyenletből visszaírva a gyorsulást q
q
λ g + rHr rHr + |∇ϕ|2 − gez ∇ϕ = 0 ; λ = −m , m 1 + |∇h|2 q
q
ahol értelemszerűen ∇h kétkomponensű vektor. A mozgásegyenletbe visszaírva q q g + rHr ∇h qq mr = −m − mgez = F kny + F kc + F sz . 1 + |∇h|2 −1
(14.23)
(14.24)
A H-nak csak az x, y komponensei nemzérusak, ez h(x, y) Hesse-mátrixa, ezértq az x, y-ra vonatkozó egyenletek zártak. Ha ezeket megoldjuk, az energiamegmaradás révén velük kifejezhetjük z-t, amelyet integrálva előáll z(t). A kényszererő két tagra bomlik, az F kny a sztatikus nyomóerő, az F kc a centripetális erő. qq A teljes erő általában nem potenciálos. Ha azonban h első és második deriváltjai kicsik, akkor λ ≈ −gm, z ≈ 0, qq qq x ≈ −g∂x h, y ≈ −g∂y h, azaz közelítőleg a h a potenciál. 14.3. Gyakorló feladat. Győződjünk meg arról, hogy a sztatikus nyomóerő éppen az, amelyet tg α = |∇h| hajlásszögű sík lejtő fejt ki nyugvó tömegpontra. [2] 14.4. Gyakorló feladat. Mekkora a centripetális erő nagysága adott helyen és sebességek mellett? Mutassuk meg, hogy H főtengelyeibe eső sebességek esetén a szokásos ∝ mv 2 /R formula adódik, két lehetséges R1 és R2 értékkel. Ezek a fő görbületi sugarak, melyeket tisztán dinamikai megfontolásokkal számítottunk ki. [4] 240
15. Kis rezgések az egyensúly körül 15.1. Sajátrezgések konzervatív, időfüggetlen rendszerben Tekintsük az alábbi Lagrange-függvénnyel leírható rendszert (q az összes koordinátát foglalja össze) f 1X q q Mij (q)qi qj − V (q). L= 2 i,j=1
(15.1)
A qi = qi∗ egyensúlyban ∂V = 0. ∂qj q∗
(15.2)
j
Kis kitérésekre a tömegmátrixot az egyensúlyban vehetjük és a potenciált másodrendig sorbafejtjük Mkl (q) ≈ Mkl (q ∗ ) ≡ Mkl , (15.3) 2 X ∂V X ∂ V X (qk − q ∗ ) + 1 (qk − q ∗ )(ql − q ∗ ) ≡ V (q ∗ ) + 1 V ≈ V (q ∗ ) + Vkl (qk − qk∗ )(ql − ql∗ ), k k l ∂qk q∗ 2 ∂qk ∂ql q∗ 2 k
k,l
k,l
(15.4)
241
ahol a második egyenlőség a Vkl mátrixot definiálja. Mivel V (q ∗ ) állandó, azért elhagyjuk, s ezentúl q-val jelöljük q − q ∗ kitérést. Végül a Lagrange-függvény kis kitérésekre tömör jelöléssel L=
1 q q 1 qMq − qVq, 2 2
(15.5)
ahol az M mátrix általában pozitív definit, s feltesszük, hogy V pozitív szemidefinit; mindkét mátrix szimmetrikus. Az általánosított impulzus ill. erő p=
∂L ∂L q = −Vq. q = Mq, F = ∂q ∂q
(15.6)
Az előbbi a tömegpontnál megszokott impulzus fogalmát olyképp általánosítja, hogy a tömegmátrix és az általános sebességvektor szorzata, eközben az erő az általános koordináták egyensúlytól való kitérésében lineáris, ebben többdimenziós rugóerőnek tekinthető. A mozgásegyenlet p=F q
; Mq = −Vq ; q = −Kq, qq
qq
ahol K = M−1 V.
(15.7)
Tegyük fel, hogy ismerjük a Kuj = ωj2uj sajátértékprobléma megoldásait, ahol ωj2 ≥ 0. Ekkor q j (t) = e±iωj t uj megoldja a mozgásegyenletet, ugyanis d2 ±iωj t e uj = −ωj2 e±iωj t uj . dt2 242
(15.8)
Innen az általános megoldás ωj > 0 esetben q(t) =
f X
iσωj t
bjσ e
uj =
j=1 σ=±
f X
aj ei(ωj t+δj ) uj ,
(15.9)
j=1
ahol uj -k a normálmódusok. Ha valamely ωj = 0, az uj zéró módus, az egyensúly marginális voltát fejezi ki, ilyet találunk például a transzláció, elfordulás, valamint kvadratikusnál magasabb rendű potenciálminimum esetében. A sajátfrekvenciák egyenleteit többféleképpen írhatjuk (az utolsó formula nemszinguláris V-re érvényes) −1 M V − ω 21 = 0 ∼ V − ω 2 M = 0 ∼ ω −2 1 − V−1M = 0 (15.10) 15.1.1. Példa. 2 × 2-es mátrix sajátértékproblémája a11 − α a 12 = α2 − α Tr A + |A| |A − α1| = 0 = a21 a22 − α
p ; α± = 1/2 Tr A ± (Tr A)2 − 4|A| . (15.11)
15.1. Gyakorló feladat. Határozzuk meg a sajátvektorokat! [2] 243
15.1.2. Példa. Kettős inga: A Lagrange-függvényt a 6.2.8 fejezetben írtuk fel. Az egyensúlyi helyzet ϕ∗1 = ϕ∗2 = 0, amely körül m1 + m2 2 q 2 m2 2 q 2 q q K= l1 ϕ 1 + l2 ϕ2 + m2 l1 l2 ϕ1 ϕ2 , 2 2 g 2 g 2 V = (m1 + m2 )l1 ϕ1 + m2 l2 ϕ2 − m1 gl1 − m2 g(l1 + l2 ) . | {z } 2 2
(15.12) (15.13)
állandó, elhagyjuk
Mátrix alakban
q 1 q q ϕ ϕ1 , ϕ2 M q1 , K= ϕ2 2 1 ϕ1 ϕ1 , ϕ2 V V = , ϕ2 2
(m1 + m2 )l12 m2 l1 l2 , M= m2 l1 l2 m2 l22 g(m1 + m2 )l1 0 . V= 0 gm2 l2
(15.14) (15.15)
A karakterisztikus egyenlet
−2 1ω − V−1M = 0,
m2 l2 l1 g m1 + m2 g . ahol V−1M = l1 l2 g g 244
(15.16)
A 2 × 2-es mátrixokra vonatkozó (15.11) képletet használjuk, amelyben most A = V−1 M és Tr A =
l1 + l2 , g
|A| =
l1 l2 m1 l1 l2 l1 l2 m2 − = , g2 g 2 m1 + m2 g 2 (m1 + m2 )
(15.17)
ahonnan a
jelöléssel a sajátfrekvenciák −2 ω±
m1 l1 l2 ∆ = g 2 (Tr A)2 − 4|A| = (l1 + l2 )2 − 4 m1 + m2
√ √ i √ l1 + l2 ± ∆ 1 h g m1 + m2 2 = (l1 + l2 ) ∓ ∆ ; ω± = 2g = (l + l ± ∆). 1 2 2g (l1 + l2 )2 − ∆ 2 m1 l1 l2
(15.18)
(15.19)
A jobb oldal fizikai dimenziója [g/l], valóban frekvencia négyzet. Ha a belső kar nagyon rövid, azaz l1 → 0, akkor ∆ → l22 ,
(15.20)
ω+ → ∞.
(15.21)
ahonnan azonnal látszik, hogy
245
E nagyon gyorsan rezgő módus a belső kar infinitezimálisan rövid voltából következik. A másik frekvencia számításához l1 -ben a következő rendig el kell mennünk √ 2m1 2m1 2 ∆ ∼ l2 + l 1 1 − ∆ ∼ l2 + 2l1 l2 1 − ; , (15.22) m1 + m2 m1 + m2 amelyből 2 ω− →
g . l2
(15.23)
mely a külső kar frekvenciáját a matematikai ingabeli képlettel adja meg. A módusok pontos alakját az alábbi gyakorló feladatot megoldva kapjuk. 15.2. Gyakorló feladat. Határozzuk meg a normálmódusokat, azaz az u± = c(1, β± ) sajátvektorokat, s vizsgáljuk az l1 → 0 határesetet! [3]
246
16. A Hamilton-függvény és a kanonikus formalizmus 16.1. Legendre-transzformáció egy változóban Tekintsünk olyan f (x) függvényt, amelynek deriváltja egyértelműen meghatározza x-et, azaz y = f ′ (x) ≡ y(x)
(16.1)
invertálható. Ez teljesül, ha f ′′ (x) állandó előjelű az ilyen f (x) vagy konvex, vagy konkáv. Jelölje az inverzet x(y), amellyel vezessük be a következő függvényt g(y) = [xf ′ (x) − f (x)]x(y) = x(y)y − f (x(y)).
f(x) xf’(x) g
x
(16.2)
Ez az f (x) Legendre-transzformáltja (LT). A 61. ábra mutatja, hogy a g az 61. ábra: A Legendre-transzformációhoz. érintő negatív tengelymetszete. Differenciálva g-t kapjuk g ′(y) = x′ (y)y + x(y) − f ′ (x)x′ (y) = x(y),
(16.3)
f (x) = xf ′ (x) − g(y(x)) = [g ′(y)y − g(y)]y(x) .
(16.4)
azaz g ′(y) és f ′ (x) egymás inverze. A (16.2) argumentumába az y(x) függvényt írva nyerjük Ez az inverz LT, amely a (16.1,16.2) definíció szerint éppen a g(y) transzformáltja. A LT-t kétszer alkalmazva tehát az eredeti függvényt nyerjük vissza. Az f és g függvényt LT pároknak is nevezik. 247
16.1. Gyakorló feladat. Függvény konvex, ha minden húrjának egy pontja sem esik a görbe alá, szigorúan konvex, ha minden húr minden pontja a végpontjai kivételével a görbe fölé esik. Mit gondol, elég a konvexitás, vagy szigorú konvexitás szükséges a LT-hoz? [2] (Magától értetődően a kérdés konkávitással is feltehető úgy, hogy végül a LT-hoz vagy az egyik vagy a másik szükséges.) 16.2. Legendre-transzformáció több változóban A fentieket általánosíthatjuk többváltozós f (x) skalár értékű függvényre. Tegyük fel, hogy a gradiens invertálható y = ∇f (x)
;
x = x(y),
(16.5)
a konvex függvényekre teljesül. Definiáljuk a LT-t a következő relációval g(y) = x(y) · y − f (x(y)).
Ennek gradiense (a parciális derivált rövidített jelölésével) X X yi ∇xi − ∂i f ∇xi = x(y), ∇g(y) = x(y) +
(16.6) (16.7)
i
i
azaz ∇f (x) és ∇g(y) egymás inverze. A gradiens a saját változóban értendő. A LT inverzét akkor kapjuk, ha a (16.6)-ba az y(x)-t helyettesítjük f (x) = x · y(x) − g(y(x)).
Tehát több változó esetén is a LT önmaga inverze.
248
(16.8)
16.3. Paramétertől való függés Ha a LT olyan függvényre hat, amelyben más, a LT által nem érintett, "külső" α paraméter is fellép, akkor α-tól a derivált inverze x(y, α) és a transzformált is függni fog f (x, α) ; g(y, α).
(16.9)
∂α g(y, α) = y · ∂α x − ∂α f − ∇f · ∂α x = −∂α f (x(y), α).
(16.10)
Határozzuk meg a paraméter szerinti deriváltat (∂α f -ben a saját x változót tartjuk állandónak, ∂α g-ben és ∂α x-ben az y-t)
Tehát LT párok "külső" paraméter szerinti deriváltjai egymás ellentettjei. Konkrét példákban „külső” paraméternek tekinthetünk olyan változókat, melyektől az f függvényünk függ, de a LT-ban nem érintettek. Ilyen változó több lehet, α1 , α2 . . . , melyek mindegyikére érvényes a (16.10) reláció. 16.4. Hamilton-formalizmus potenciálmozgásokra Az eddig vizsgált mechanikai rendszerekben a sebességfüggést a kinetikus energia hordozta, amely minden descartes-i sebességkomponensben konvex. Számos fizikai rendszerben ez a tulajdonság az általános koordinátákban q is teljesül, azaz a Lagrange-függvény a qi -től konvex módon függ. A LT-t a sebességekben végezzük, ezért az általánosított impulzusok lesznek az új változók, amelyekről feltesszük, hogy a sebességekre invertálhatók. Más szóval a rendszer helyzetét és mozgásállapotát a (p, q) fázistérbeli 249
pozíciója egyértelműen jellemzi. Vektor jelöléssel q
q
(16.11)
q
p = ∇qq L(q, q, t) ; q = q(p, q, t).
A Lagrange-függvény LT-ja a Hamilton-függvény
q
q
q q = [q · p − L]q(p,q) H(q, p, t) = [q · ∇qq L − L]q(p,q)
(16.12)
Ez éppen a korábban vizsgált energia, melyet most az impulzusok függvényének tekintünk. A 16.2 és 16.3 fejezetekbeli jelöléssel tehát a következő megfeleltetést tehetjük f ∼ L,
x ∼ q, q
y ∼ p,
g ∼ H,
α ∼ (q, t),
(16.13)
ahol a legutolsó megfeleltetés úgy értendő, hogy minden qj és a t „külső” paraméternek tekinthető a LT szempontq q jából, mely csak a qj változókban történik. Vegyük észre, hogy a tény, miszerint a qj sebességek a qj koordináták időderiváltjai, nem akadálya annak, hogy a LT szemszögéből független változóknak tekintsük őket. Tehát az L Lagrange- és a H Hamilton-függvény LT párok. A (16.11) inverz relációját most így írhatjuk x = ∇g ∼ q = ∇p H,
(16.14)
∂H ∂L q =− = −pi , ∂qi ∂qi
(16.15)
q
ez a LT tulajdonsága a mennyiségek mechanikai jelentésétől függetlenül. Mint láttuk a 16.3 fejezetben, a LT pároknak a LT-ban részt nem vevő változók szerinti deriváltjai egymás ellentettjei (qi ∼ α)
250
ahol felhasználtuk a mozgásegyenleteket. Összegezve, a (p, q) fázistérbeli trajektóriát a q = ∇p H,
p = −∇q H
q
q
(16.16)
ún. Hamilton-egyenletek határozzák meg. Komponensekkel kiírva ∂H q = −pi . ∂qi
∂H q = qi , ∂pi
(16.17)
Összesen 2f elsőrendű differenciálegyenlet. Numerikus szimulációra alkalmasabb, mint az Euler–Lagrange-egyenlet. Jelentősége ennél lényegesen mélyebb, mint későbbi tanulmányaik során látni fogják, a kvantummechanika elvi alapozásában a Hamilton-formalizmus alapvető szerepet játszik. Mechanikai rendszerek vizsgálatához gyakran közvetlenül a Hamilton-függvényt írjuk fel. 16.2. Gyakorló feladat. Hogyan módosulnak a Hamilton-egyenletek kényszerek jelenlétében, azaz ha az Euler– Lagrange-egyenletek alakja (14.12)? [4] 16.5. Időbeli változás a pálya mentén Mint a 16.3 fejezetben láttuk, LT párok külső paraméter szerinti deriváltjai egymás ellentettjei ∂H ∂L =− . ∂t ∂t 251
(16.18)
A Hamilton-függvény sajátja, hogy teljes időderiváltja ugyanez ∂H ∂H ∂L dH q q = + ∇p H · p +∇q H · q = =− . |{z} |{z} dt ∂t ∂t ∂t
(16.19)
∇p H
−∇q H
Ez természetesen egybevág az energia időderiváltjáról korábban megismert relációval. 16.6. Ciklikus koordináta
Ha a Lagrange-függvény nem függ valamely qk -tól, akkor a Hamilton-függvény sem ∂H q 0= = −pk ; pk = áll. ∂qk
(16.20)
16.7. Részleges Legendre-transzformált: a Routh-függvény Célszerű lehet egyes esetekben nemq az összes általános koordináta sebességét impulzussá transzformálni. Ha a q q q q1 , . . . qk -kat megtartjuk, s a qk+1 , . . . qf sebességekből impulzusokra térünk át, akkor kapjuk a Routh-függvényt pj = R=
∂L q q q q q , j = k + 1, . . . , f, ; qj = qj (q, q1 , . . . , qk , pk+1 , . . . , pf ), ∂ qj f X
j=k+1
pj qj − L = R(q, q1 , . . . , qk , pk+1, . . . , pf ). q
q
q
252
(16.21) (16.22)
Nyilván k = 0 éppen a Hamilton-függvényt adja. (Az esetleges időfüggést nem írtuk ki.) A mozgásegyenletek az első k változóra Euler–Lagrange-egyenletek, a maradék f − k-ra Hamilton-típusúak ∂R d ∂R , i = 1, . . . , k, q = dt ∂ qi ∂qi ∂R ∂R q q , qj = , j = k + 1, . . . , f. pj = − ∂qj ∂pj
(16.23) (16.24)
Az első sor éppen az Euler–Lagrange-egyenlet az i ≤ k indexekre, ugyanis az ilyen indexű koordináták és sebességek a LT szemszögéből „külső” paraméterek, tehát a Lagrange- ill. Routh-függvény szerintük való deriváltjai egymás ellentettjei. A második sor első egyenlete az Euler–Lagrange-egyenlet a j > k indexekre, míg a második egyenlet a LT alaptulajdonsága (a transzformált függvénynek az új változó szerinti deriváltja a régi változó). A Routh-függvény jól alkalmazható, ha ciklikus koordináták sebességeit kiküszöbölve a megmaradó impulzusokat szeretnénk látni az Euler–Lagrange-egyenletben. Ha a j > k indexű koordináták ciklikusak, akkor a (16.24) első egyenlete nullát ad, a második a sebesség és az impulzus közötti relációt definiálja, s a (16.23) a megmaradó impulzusok visszahelyettesítése mellett adja a mozgásegyenleteket a nem-ciklikus koordinátákra. 16.3. Gyakorló feladat. Írjuk fel a Routh-függvényt s vele a mozgásegyenleteket kétdimenziós centrális mozgásokra, kitranszformálva a szögsebességet, de megtartva a radiális sebességet. [3] 16.4. Gyakorló feladat. Az f szabadsági fokú rendszerünk mozgásegyenletei legyenek a qi általános koordinátákkal képzett Euler–Lagrange-egyenletek. Lássuk be azt, hogy ha egy ciklikus koordináta (mondjuk a qf ) impulzusát 253
állandónak tartjuk, akkor általában nem tűnhet el a qf variációja az időbeli végpontokban! A hatás variációját milyen taggal kell kiegészítenünk ahhoz, hogy az egészet zérussal egyenlővé téve a mozgásegyenleteket helyesen kapjuk? Mutassunk rá, hogy az eredmény ekvivalens a Routh-függvény fent tárgyalt tulajdonságaival. [6] 16.8. Kvadratikus kinetikus energia A kinetikus energia tipikusan kvadratikus az általános sebességekben, azaz 1 q q L = K − V = qM(q)q − V (q, t). 2 A kanonikus impulzus
p = ∇qq L = M(q)q ; q = M−1 (q)p q
q
(16.25)
(16.26)
A Hamilton-függvény maga az energia q- és p-vel kifejezve
1 1 q q E = K + V = qM(q)q + V (q, t) = pM−1 (q)p + V (q, t) = H(q, p, t) 2 2 Ha
∂V /∂t
= 0, akkor
∂H/∂t
(16.27)
= 0 és az energia a pálya mentén megmarad.
16.5. Gyakorló feladat. Írjuk fel a kvadratikus kinetikus energia és általános potenciál esetén érvénye Euler– Lagrange- ill. Hamilton-egyenleteket, s közvetlenül mutassuk ki ezek ekvivalenciáját. [3] 254
16.9. Példák hamiltoni rendszerekre 16.9.1. 1D potenciálmozgás Nyilvánvaló, egyszerű példa (x, x)
(x, p), p2 mx − V (x) ; H = + V (x) = H(x, p), L= 2 2m ∂H ∂H p q q p=− = −V ′ (x), x = = . ∂x ∂p m q
q2
∼
16.9.2. Mozgás kúpfelületen
255
(16.28) (16.29) (16.30)
Legyen a kúp nyílásszöge ϑ (állandó), ekkor z = r ctg ϑ, ahonnan r2 q |v| = r + r ϕ + r ctg ϑ = + r 2 ϕ2 , 2 sin ϑ q2 m r q L= + r 2 ϕ2 − mgr ctg ϑ, 2 2 sin ϑ q mr q pr = pϕ = mr 2 ϕ(= Nz ), 2 , sin ϑ p2ϕ 1 2 2 p sin ϑ + 2 + mgr ctg ϑ. H= 2m r r q
2
q2
2
q2
q2
2
(16.31)
z
(16.32)
θ
(16.33) (16.34)
y ϕ x
16.6. Gyakorló feladat. Írjuk fel a hamiltoni mozgásegyenletet! [3] 16.9.3. Csillapított rezgés Lagrange- és Hamilton-formalizmussal Tekintsük a következő Lagrange-függvényt
62. ábra: Kúpfelület koordinátázása.
q mx2 mω02 2 L=e − x , 2 2 q q q qq p = eαt mx ; p = αeαt mx + eαt mx = −eαt mω02 x. αt
256
r
(16.35) (16.36)
Innen a lineáris, csillapított oszcillátor mozgásegyenletét kapjuk x + αx + ω02x = 0 qq
q
(16.37)
Kanonikus formalizmussal 2 2 2 p 1 p2 αt mω0 2 −αt p αt mω0 2 − + e x = e + e x meαt 2 meαt 2 2m 2 ∂H p ∂H q q = −eαt mω02 x, x = = e−αt , p=− ∂x ∂p m
H = pq − L = p q
(16.38) (16.39)
ekvivalens az Euler–Lagrange-egyenlettel. Megjegyzés: A korábban tárgyalt Lagrange–Rayleigh-formalizmus tetszőleges sebességfüggő csillapítás esetén használható, ez a példa lineáris sebességfüggés mellett működik. 16.7. Gyakorló feladat. Használható-e a fenti Lagrange-függvény általános egydimenziós V (x) potenciálra, ill. több, különböző csillapítási állandójú tömegpontra? [4] 16.9.4. Töltött részecske mozgása elektromágneses térben Vizsgáljuk az alábbi Lagrange-függvénnyel leírható tömegpontot L=
m q2 e q |r| + Ar − eφ, 2 c 257
(16.40)
ahol A, φ az r, t-től függnek. A mozgásegyenletek ∂L X e ∂L e q q = (∂i Aj )rj − e∂i φ, pi = q = mri + Ai , ∂ri c ∂ ri c j e e eX eX q q qq q qq ∂j Ai rj + ∂t Ai ; mri = −e∂i φ + (∂i Aj − ∂j Ai )rj − ∂t Ai , pi = mri + {z } c j c c j | c Fi =
(16.41) (16.42)
εijk Hk
ahol H = rot A. Például:
−yH z 1 A = xHz ; ∂1 A2 − ∂2 A1 = Hz , 2 0
Hx = Hy = 0
(16.43)
Ha mármost elektromos térerősségnek gondoljuk az
1 E = − ∂t A − ∇φ c
(16.44)
vektorteret, akkor a mozgásegyenlet alakja qq
mr = eE + 258
e q r × H, c
(16.45)
ez éppen a korábbi tanulmányaink során megismert Lorentz-erő. Valóban, az elektrodinamikában látni fogják, hogy az elektromos erőteret a potenciálokkal éppen (16.44) fejezi ki. Dolgozzuk ki a Hamilton-formalizmust! H = pr − L = m|r|2 + q
q
e 1 e 1 q q q q Ar − m|r|2 − Ar + eφ = m|r|2 + eφ. c 2 c 2
Az energiából kiesett az A tér! Azonban H-t az impulzussal kell kifejeznünk, ezért kapjuk e 2 1 H(r, p) = p − A + eφ. 2m c
(16.46)
(16.47)
Ezen Hamilton-függvény a tér és anyag kölcsönhatásának alapmennyisége, tartalmazza a klasszikus Lorentz-erő „információját”, s egyben a kvantummechanikai leírás kiindulópontja. 16.8. Gyakorló feladat. Írjuk fel a hamiltoni mozgásegyenleteket! [3]
259
17. Merev testek 17.1. Szögsebesség invarianciája A merev test definíciója az, hogy a pontpárok távolsága állandó, tehát létezik K testhez kötött koordinátarendszer, amelyben minden pontja áll. Legyen az L labor rendszer inerciarendszer, melyben a K origójának sebessége V . Mint korábban láttuk, ha K az ω szögsebességgel forog, akkor L-ből nézve egy pont sebessége v = V + ω × r,
(17.1)
˜ ˜ testhez ahol r a K-beli helyvektor L-ből leírva. Toljuk el a K rendszer O origóját az a vektorral az O-ba, ez a K rögzített rendszer origója r = r˜ + a,
v = V + ω × a + ω × r˜ = V˜ + ω × r˜ ,
(17.2)
˜ sebessége az L-ből nézve. Tehát a szögsebesség ω invariáns az origó megválasztására, a testet ahol V˜ az O jellemzi.
260
17.2. Tehetetlenségi nyomaték tenzor A kinetikus energia az L labor rendszerből (17.1) felhasználásával 1X 1X mk |vk |2 = mk |V |2 + 2V (ω × rk ) + |ω × r k |2 2 k 2 k 1 1X = MV 2 + MV (ω × R) + mk |ω|2 rk2 − (ωrk )2 = Ktr + Kkev + Krot , 2 2 k
K=
(17.3)
ahol R a testhez rögzített K rendszer origójától mérve a tömegközéppont helyvektora L-ben megadva. (A koordinátarendszer és a kinetikus energia K jelei nem tévesztendők össze.) A kinetikus energiát transzlációs, kevert és rotációs járulékokra bontottuk. Ha V , R, ω közül kettő párhuzamos, vagy bármelyikük eltűnik, akkor Kkev = 0. Két gyakori esetet érdemes kiemelni, egyrészt azt, ha nincs rögzített pontja a testnek, amikor is a tömegközéppontba célszerű a testhez rögzített rendszer origóját helyezni és emiatt Kkev = 0, másrészről azt, amikor egy rögzített pontja körül forog, amelyet az origónak választva csak a Krot lehet nemzérus. Vizsgáljuk a rotációs kinetikus energiát Krot =
1X 1 mk ω 1rk2 − r k ◦ r k ω = ωΘω, 2 k 2
261
(17.4)
ahol bevezettük a tehetetlenségi nyomaték tenzort X Θ= mk 1rk2 − r k ◦ r k ,
Θij =
k
P
k
mk δij rk2 − rki rkj .
d3 r ρ(r)⊔ = k mk ⊔, ezért w w Θ = d3 r ρ(r) 1r 2 − r ◦ r , Θij = d3 r ρ(r) δij r 2 − ri rj .
Folytonos tömegeloszlásra
Mátrix alakban
r
X
Θ=
w
Számítások során néha érdemes a Γ =
r
2 x2 + x23 −x1 x2 −x1 x3 d3 r ρ −x1 x2 x21 + x23 −x2 x3 . −x1 x3 −x2 x3 x21 + x22
(17.5)
(17.6)
(17.7)
d3 r ρ(r)r ◦ r tenzort meghatározni, amelyből Θ = 1 Tr Γ − Γ.
(17.8)
A ΘTKP tömegközépponti tehetetlenségi r 3 nyomatékkal az általános origó körüli Θ kifejezhető. Legyen az r a tömegközépponttól mért helyvektor ( d r ρ(r)r = 0), s határozzuk meg a tehetetlenségi nyomatékot az a-val 262
eltolt origóhoz képest Θ= =
w
w
d3 r ρ(r) 1|r − a|2 − (r − a) ◦ (r − a)
d3 r ρ(r) 1(r 2 + a2 − 2ar) − r ◦ r − a ◦ a + a ◦ r + r ◦ a
=ΘTKP + M(1a2 − a ◦ a).
(17.9)
Ez Steiner tétele. Mivel Θ szimmetrikus, ortogonális sajátrendszere van — ezek a főtengelyek. A Θk sajátértékek valósak, ezek a fő tehetetlenségi nyomatékok, amelyeket A, B, C-vel is szokásos jelölni. Fejtsük ki a szögsebességet a sajátvektorok szerint X Θek = Θk ek , ω = ωk ek . (17.10) k
A kinetikus energia ekkor Krot =
1X 1 Θk ωk2 = (Aω12 + Bω22 + Cω32 ). 2 k 2
Krot = áll.: tehetetlenségi ellipszoid. Fél tengelyei a =
p
2Krot /A, stb.
263
(17.11)
A diagonális tehetetlenségi nyomaték mátrixelemek között egyenlőtlenségek állnak fenn w w Θ11 + Θ22 = d3 r ρ(r) x22 + x23 + x21 + x23 ≥ d3 r ρ(r) x21 + x22 = Θ33 ,
A fő tehetetlenségi nyomatékokra A + B ≥ C,
Gömbi pörgettyű Szimmetrikus pörgettyű Rotátor Aszimmetrikus pörgettyű
Elnevezések:
B + C ≥ A,
stb.
(17.12)
C + A ≥ B.
A=B=C pl. szabályos testek A = B 6= C pl. forgástestek A = B, C = 0 pl. tömegpontok egyenes mentén A 6= B 6= C 6= A
17.3. Impulzusmomentum A rotációs járulék N=
w
d3 r ρ(r) [r × (ω × r)] =
w
d3 r ρ(r) ωr 2 − r(ωr) = Θω = ∇ω Krot .
(17.13)
Ha ω az egyik főtengellyel párhuzamos, akkor N k ω.
17.1. Gyakorló feladat. Írjuk fel a teljes impulzusmomentumot a transzlációs mozgást is figyelembe véve, ha R0 q a K origójába mutat és a sebesség v = R0 + ω × r. [2] 264
17.4. Mozgásegyenletek 17.4.1. Teljes impulzus
P =
X
pk =
k
A transzlációs mozgásegyenlet
X
ahol V = M −1
mk r k = MV , q
k
X
mk v k .
(17.14)
k
q
P =
X X q fk = F , pk =
(17.15)
k
k
ahol F a testre ható teljes külső erő (a belső erők Newton III. törvénye szerint kioltják egymást). 17.4.2. Teljes impulzusmomentum
N=
X k
q
r k × pk ; N =
X k
(v k × pk + r k × pk ) = q
X k
rk × f k = M ,
(17.16)
ahol M a teljes forgatónyomaték. Ha a belső erők centrálisak, azaz a k. és l. test egymásra ható F kl = −F lk erői a tömegpontokat összekötő egyenessel párhuzamosak, akkor rk × F kl + r l × F lk = 0, ezért M a külső erők forgatónyomatéka. 265
Ha az origót eltoljuk r = r˜ + a ; M =
X k
˜. (˜ r k + a) × f k = a × F + M
(17.17)
Az első tag invariáns az F hatásvonala mentén való eltolásával szemben! Ha F = 0, akkor a teljes forgatónyomaték nem függ az origó választásától. 17.2. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy homogén gravitációs erőtérben, f k = mk g, M = MR × g! [2] 17.4.3. Energiamegmaradás Tegyük fel, hogy a merev test helyzetét a tömegközéppont R vektora mellett a ϕ szögparaméterekkel jellemezhetjük. Az utóbbi általában 3 komponensből áll. Ha a külső potenciál nem függ expliciten az időtől, akkor 1 1 E = MV 2 + ωΘTKP (ϕ)ω + V (R, ϕ) = áll. 2 2 Vegyük észre, hogy a forgó test tehetetlenségi nyomatéka általában függ az orientációjától.
(17.18)
17.5. Lagrange-formalizmus A Lagrange-függvény a merev test helyzetét megadó ϕ szögparaméterek használatával 1 1 L = MV 2 + ωΘTKP (ϕ)ω − V (R, ϕ). 2 2 266
(17.19)
Konkrét rendszerben első feladatunk a szögparaméterek megválasztása. Több merev test esetén mindegyik helyzetét jellemző paramétereket használunk. Ha a test egy pontja rögzített, akkor azt választhatva K origójának, a tehetetlenségi nyomatékot arra a pontra vonatkoztatva adjuk meg, mellyel a Lagrange-függvény 1 L = ωΘ(ϕ)ω − V (ϕ). 2
(17.20)
Ilyenkor transzlációs járulék nincs. r 17.3. Gyakorló feladat. Tekintsük a ϕ-t az ωdt vektornak, melynek komponensei legyenek az általános koordináták. Ekkor N = Θ(ϕ)ω az általános impulzus, az M = −∇ϕ V forgatónyomaték az általánosított erő, tehát q nyilvánvalóan nem kapjuk meg az N = M mozgásegyenletet, hiszen a Θ deriváltjai is fellépnek. A szokásos eljárással adódó Euler–Lagrange-egyenlet helytelen. Miért? [7] 17.5.1. Példa. Egyik végén csuklóval felfüggesztett ℓ hosszú és m tömegű inga. A tehetetlenségi nyomatéka Θ = mℓ2 /3, amellyel 1 1 q L = mℓ2 ϕ2 + mgℓ cos ϕ. 6 2 17.4. Gyakorló feladat. Írjuk fel a mozgásegyenletet és határozzuk meg a kis lengések frekvenciáját! [2] 267
(17.21)
17.6. Erőmentes pörgettyűk Merev testek szabad forgásakor célszerű a tömegközéppontba helyeznünk az origót. Az alábbiak érvényesek maradnak homogén gravitációs térben, ha a tömegközéppont rögzített (ott támasztjuk fel), ugyanis e pontra nézve a külső erők forgatónyomatéka zérus. 17.6.1. Gömbi pörgettyű A=B=C
; N = Aω = áll.
ω N
N
63. ábra: Rögzített tengely körül forgatott, majd elengedett rotátor (vékony rúd). 268
(17.22)
17.6.2. Rotátor (17.23)
A = B, C = 0 ; N = A(ω1 , ω2 , 0) = Aω ⊥ ,
az ω3 nem befolyásolja az impulzusmomentumot. Forgassuk rögzített, a vonallal nem derékszöget bezáró tengely körül, majd engedjük el, ld. 63. ábra. Az elengedés pillanatabeli N megmarad, ennek irányában forog tovább. 17.6.3. Szimmetrikus pörgettyű
N
Labor koordináták: X, Y, Z, a testhez rögzítettek x1 , x2 , x3 . Az N = áll. mutasson Z irányába, x3 pedig a test szimmetriatengelye. Pillanatfelvételt készítünk a pörgettyűről, ld. 64. ábra. Az impulzusmomentumot és szögsebességet felbontjuk a szimmetriatengellyel párhuzamos és arra merőleges komponensekre N = N ⊥ + N 3, ω = ω⊥ + ω3 ; N ⊥ = Aω ⊥ , N 3 = Cω 3 .
(17.24)
Z
ω ω3
ω pr
x3
ωt
ω θ
Látható, az ω mindig az S : (Z, x3 ) síkba esik, ez a pillanatnyi forgástengely. Az x3 tengely pontjainak sebessége ω × x3 e3 merőleges az S síkra, azért θ = áll. Következésképpen N3 = áll.,
N⊥ = áll. ; ω3 = áll.,
ω⊥ = áll. 269
(17.25) 64. ábra: Szimmetrikus pörgettyű, A > C: ω t a szimmetriatengely körüli forgás, ω pr a precesszió szögsebessége.
Célszerű másik felbontás ω = ω pr + ω t , ld. 64. ábra. Az x3 tengely forgása (17.26)
q
e3 = ω × e3 = ω pr × e3 ,
éppen a precessziós szögsebességgel történik, s mivel ω az S síkban van, ugyanezzel forog. Kinematikai modell: A mozgást egy rögzített, Z tengelyű, az ω azimutszögével azonos félnyílásszögű kúp felületén görgetett másik, x3 tengelyű kúppal szemléltethetjük. Ekkor az érintkezési vonal a pillanatnyi forgástengely (ω), az x3 tengely körüli forgás szögsebessége ω t , és a forgó kúp a Z tengely körül ω pr -vel megy körbe. 17.5. Gyakorló feladat. Rajzoljuk fel a szögsebességvektorok állását, ha A < C. [2] Fejezzük ki a szögsebesség komponenseket az N és θ megmaradó mennyiségekkel: N cos θ N⊥ N sin θ N3 = , ω⊥ = = , (17.27) ω3 = C C A A ω⊥ N N3 A−C A−C ωpr = = , ωt = ω3 − ωpr cos θ = ω3 − = ω3 = N cos θ . (17.28) sin θ A A A AC A pörgettyűhöz rögzített koordinátarendszerben az ω vektor éppen ωt szögsebességgel forog az x3 tengely körül. 17.7. Euler-egyenletek: mozgásegyenletek főtengelyrendszerben A K főtengelyrendszerben a tehetetlenségi nyomaték diagonális és időben állandó, de K nem inerciarendszer. Az L rendszer inerciarendszer, ezért ebben q
N L = M L. 270
(17.29)
Az impulzusmomentum K-beli N és L-beli N L reprezentációi között fennáll N L = ON . Korábbi tanulmányaink alapján q
q
q
q
N L = ON + ON = ON + ω L × ON = M L .
(17.30)
Áttérve K-beli komponensekre nyerjük q
(17.31)
N = N × ω + M, az első tag a tehetetlenségi erők forgatónyomatéka. Kihasználva, hogy N = (Aω1 , Bω2 , Cω3 ), kapjuk Aω1 =(B − C)ω2 ω3 + M1 q B ω2 =(C − A)ω3 ω1 + M2 q C ω3 =(A − B)ω1 ω2 + M3 , q
(17.32) (17.33) (17.34)
ezek az Euler-egyenletek. 17.7.1. Példa. Szimmetrikus erőmentes pörgettyű: Most M = 0,
A = B ; ω3 = 271
N3 = áll. C
(17.35)
A másik két komponens, a γ = ω3 (A − C)/A jelöléssel
A−C ω2 ω3 = γω2 A C−A q ω1 ω3 = −γω1 . ω2 = A
ω1 = q
(17.36) (17.37)
Innen ω1 = −γ 2 ω1 ; ω1 = ω⊥ sin(γt + δ) ; ω2 = ω⊥ cos(γt + δ). qq
(17.38)
2 Fennáll ω12 + ω22 = ω⊥ = áll. Összevetve (17.27)-val láthatjuk, hogy γ = ωt , a szimmetriatengely körüli forgás szögsebessége. K-ban ezzel forog az ω ⊥ .
17.6. Gyakorló feladat. Írjuk fel N komponenseinek időfüggését! [1] 17.7.2. Példa. A Föld lapultsága miatt szabad precesszió 1 C−A ≈ , A 300
ω3 =
2π 1nap
; Tγ ≈ 300nap.
(17.39)
A forgástengely a geoid északi pólusához képest Tγ periódussal precesszál. Euler 305 napot jósolt. Chandler ingadozás: 433 nap. Képlékenység miatt összesen 7 éves a periódus. Az eltérés kb. 15 m. Árapályerők forgatónyomatéka okozta precesszió: 26000 éves, 23, 5◦ nyílásszögű kúp mentén. Csillagászati terminológia gyakran: szabad ∼ nutáció, forgatónyomaték hatására ∼ precesszió. 272
17.8. Súlyos pörgettyű A súlyos, azaz nem a súlypontjában feltámasztott, egy pontjában elfordíthatóan rögzített pörgettyű mozgását Lagrange-formalizmussal írjuk le. Célszerűen választott általános koordináták az Euler-szögek. 17.8.1. Euler-szögek Egy pontjában rögzített merev test forgását szándékozzuk leírni. Legyen L : (X, Y, Z) inerciarendszer, továbbá K : (x1 , x2 , x3 ) a forgó testhez rögzített koordinátarendszer, amely legyen a tehetetlenségi nyomaték tenzor főtengelyrendszere. Általános koordinátákként célszerű az L és a K koordinátarendszer relatív helyzetét megadó φ, ϑ, ψ Eulerszögeket választani, ld. 65. ábra. Szimmetrikus definíció: a két rendszer x − y síkjai a csomóvonalban messék egymást ϑ szögben, a csomóvonallal az X tengely φ, az x1 pedig ψ szöget zárjon be. A ϑ egyben a két z tengely (azaz a Z és x3 ) közötti szög. Megjegyzés: Az Euler-szögekkel adott helyzet előáll az alábbi egymás utáni forgatások eredményeként az eredetileg egybeeső koordinátarendszerektől indulva. A szögeket és a
273
65. ábra: Az Euler-szögek definíciójához. N (node) jelzi a csomóvonalat. [Landau-Lifsic I.]
tengelyeket jelölve:
φ : eZ = e3 , ϑ : ecs = e1 , körüli forgatás. ψ: e3
(17.40)
Az első forgatás φ szöggel az akkor egybeeső eZ = e3 tengelyek körül történik. Azután a ϑ szöggel az ecs csomóvonal körül forgatunk, amely az első forgatás után egybeesik az x1 tengellyel, harmadikra a végleges e3 tengely körül forgatunk ψ-vel. Ha L-et „álló”-nak tekintjük, akkor a forgástengelyek közül csak az eZ rögzített, az e3 együtt forog a K-val, és az ecs is a K orientációjától függ, ezért azt mondhatjuk, az Euler-szögek "keverék" forgatásoknak felelnek meg. Az eredeti definíciónk szimmetrikus volt, ezzel összhangban a szögek és tengelyek kicserélésével kapott alábbi szekvencia is ugyanazon relatív helyzethez vezet: ψ : e3 = eZ , ϑ : ecs = eX , körüli forgatás. (17.41) φ: eZ Célunk először a kinetikus energia előállítása az Euler-szögek és sebességeik függvényében. Ehhez a teljes szögsebességvektort kell felírnunk, amely az egyes szögek változásának megfelelő szögsebességvektorok összege q
ω Z = φeZ ,
q
ω cs = ϑecs ,
q
q
ω 3 = ψe3 = ψ(0, 0, 1) ; ω = ω Z + ω cs + ω 3 .
(17.42)
Miután K főtengelyrendszer, benne a kinetikus energiát könnyű megadni, ehhez a szögsebességeket a K-beli 274
komponensekkel írjuk fel. A forgástengelyek (17.43) (17.44) (17.45)
eZ =(sin ϑ sin ψ, sin ϑ cos ψ, cos ϑ), ecs =(cos ψ, − sin ψ, 0), e3 =(0, 0, 1).
Az eZ formuláját indokoljuk azzal, hogy az eZ -t először a csomóvonalra merőleges a (Z, x3 ) síkban két merőleges komponensre bontjuk, az x3 komponens cos ϑ, a másik az (x1 , x2 ) síkbeli vetület, előjelesen sin ϑ, s mivel a síkbeli vetület is merőleges a csomóvonalra, az x1 és x2 tengelyekre vetítve éppen a fenti formulát kapjuk. ahonnan ω = ω Z + ω cs + ω 3 komponensei a K rendszerben q
q
ω1 = φ sin ψ sin ϑ + ϑ cos ψ q
q
ω2 = φ cos ψ sin ϑ − ϑ sin ψ q
q
ω3 = φ cos ϑ + ψ
(17.46) (17.47) (17.48)
Elnevezések (ld. 66. ábra): q
φq : precesszió, ϑq : nutáció, ψ: rotáció.
(17.49)
275
66. ábra: Precesszió, nutáció, saját szimmetriatengely körüli forgás. [Wikipedia]
A rotációs kinetikus energia 1 Krot = (Aω12 + Bω22 + Cω32 ). 2
(17.50)
Innen a Lagrange-függvény általános potenciálra q
q
q
L = Krot (ψ, ϑ, φ, ϑ, ψ) − V (ψ, φ, ϑ).
(17.51)
E = Krot + V = áll.
(17.52)
Az energia A mozgásegyenletek szükségképpen ekvivalensek az Euler-egyenletekkel, ezt részletesen nem mutatjuk meg. 17.9. A szimmetrikus súlyos pörgettyű mozgásegyenletei Ha a tömegközéppont s távolságra van az origótól x3 mentén (a súlypontot "felfelé" mérjük) A = ATKP + Ms2 = B 6= C.
(17.53)
A szögsebesség négyzetek q
q
ω12 + ω22 = φ2 sin2 ϑ + ϑ2 , 276
q
q
ω32 = (φ cos ϑ + ψ)2 ,
(17.54)
s
O
1 0 0 1
O
Mg
67. ábra: Súlyos pörgettyűk: nem a tömegközéppont rögzített. Ha a jobb ábrán O a tömegközéppont, a pörgettyű erőmentes. ahonnan a kinetikus energia (17.50)-ből előáll. A potenciális energia V = Mgs cos ϑ, amellyel a Lagrange-függvény L = Krot − V =
q q q 1 q2 2 Aφ sin ϑ + Aϑ2 + C(φ cos ϑ + ψ)2 − Mgs cos ϑ. 2
277
(17.55)
Két változó ciklikus ∂L ∂L =0 ; pψ = q = Cω3 = N3 = áll., ∂ψ ∂ψ q q ∂L ∂L NZ − N3 cos ϑ =0 ; pφ = q = Aφ sin2 ϑ + N3 cos ϑ = NZ = áll. ; φ = . ∂φ A sin2 ϑ ∂φ
(17.56) (17.57)
Szemléletesen magyarázva, a forgatónyomaték a csomóvonal irányába mutat, ezért az impulzusmomentum (Z, x3 ) síkra vett vetülete állandó, ebből következik NZ és N3 megmaradása. A ϑ szerinti variálás után a megmaradó mennyiségeket beírva effektív 1D egyenletet kapunk ϑ-ra. Ezzel ekvivalens, ha az energiamegmaradást használjuk. A kinetikus energia Krot =
q q q 1 q2 2 (NZ − N3 cos ϑ)2 1 q2 N32 + Aϑ + Aφ sin ϑ + Aϑ2 + C(φ cos ϑ + ψ)2 = . 2 2 2C 2A sin2 ϑ
(17.58)
A ϑ-függő tagot a V (ϑ) = Mgs cos ϑ potenciállal összevonjuk Veff (ϑ) = Mgs cos ϑ +
(NZ − N3 cos ϑ)2 , 2A sin2 ϑ
(17.59)
s kapjuk az energiamegmaradást E=
N32 A q2 + ϑ + Veff (ϑ) = áll. 2C 2
(17.60) 278
68. ábra: Tipikus effektív potenciál.
Ez az effektív 1D mozgás energiafüggvénye. A mozgásegyenlet ennek deriválásával is megkapható qq
′ Aϑ = −Veff (ϑ).
(17.61)
Ha NZ 6= N3 , a potenciál divergál midőn ϑ → 0, π, ld. 68. ábra, ilyenkor a ϑ két, 0 és π közé eső fordulópont között oszcillál: ez a nutáció. A mozgást s > 0 esetén a 69. ábra illusztrálja.
69. ábra: Súlyos pörgettyűk precessziója és nutációja, az x3 tengely pályáján illusztrálva: (a) ω Z > 0; (b) ω Z előjele változik; (c) a fordulópontban ω Z = 0. [Landau-Lifsic I.] 279
Erőmentes (s = 0) – már megoldottuk: ha N Z irányú, azaz NZ = N akkor ϑ = ϑ∗ = áll. Ekkor nincs nutáció. Ha azonban a Z tengelyt nem N irányában vesszük fel, akkor a ϑ ingadozik, ez az L célszerűtlen választásának következménye, de a mozgást természetesen ebben is korrektül írjuk le. 17.7. Gyakorló feladat. Erőmentes pörgettyűre Z irányú N mellett a ϑ = ϑ∗ = áll. megoldás csak akkor következik az effektív potenciálos leírásból, ha a ϑ∗ minimumhelyen teljesül NZ cos ϑ∗ = N3 . Lássuk ezt be! [4] 17.8. Gyakorló feladat. Erőmentes pörgettyűre az NZ = N3 esetben az effektív potenciálnak a ϑ intervallumának határán, a ϑ = 0 helyen van minimuma. Milyen mozgást jósol ϑ-ra a korábbról ismert megoldás, s ez összhangban van-e az effektív potenciálbeli mozgással? [4] Megjegyzés: Kapcsoljuk ki a 69. ábrán látható mozgás közben a gravitációt! Ekkor a precesszió szűnik meg, míg ϑ ingadozik, azaz nutáció fennmarad. Ha azonban korábbi konvenciónk szerint az N irányában vesszük fel a Z tengelyt, akkor ezt a nutációt precessziónak látjuk. Az elnevezések az L rendszer állásától függnek! 17.9. Gyakorló feladat. Végezzük el a ϑ szerinti variálást, s mutassuk, megy, hogy a megmaradó mennyiségek visszahelyettesítése után éppen a (17.61) mozgásegyenletet kapjuk. [4] 17.10. Gyakorló feladat. Alátámasztott (s > 0), függőleges szimmetriatengely (Z = x3 ) körül lassan forgó test eldől, de egy kritikus értéknél gyorsabb pörgés stabil. Mekkora ez a kritikus szögsebesség? Útmutató: az NZ = N3 esetben kis ϑ mellett vizsgáljuk az effektív potenciált. [4] 17.11. Gyakorló feladat. Felfüggesztett (s < 0) test forgása mikor stabil ill. instabil? [4] 17.12. Gyakorló feladat. Lehetséges-e adott NZ , N3 mellett több egyensúlyi ϑ∗ szög? Ha általánosan nem tudjuk eldönteni, vizsgáljunk tipikus eseteket grafikusan. [6] 280
17.10. Aszimmetrikus erőmentes pörgettyű Az energia és az impulzusmomentum az L rendszerben megmarad. A K rendszerben 1 N12 N22 N32 Krot = = áll. + + 2 A B C N 2 = N12 + N22 + N32 = áll.
(17.62) (17.63)
Az N pályáját a Krot = áll. ellipszoid és az N = áll. gömb metszete adja , ld. 70. ábra az A < B < C esetben. A főtengelyek körüli forgás felel meg a tengelymetszeteknek. Kissé kitérítve az e1 és e3 körüli forgástól az N kismértékben ingadozhat, ezek tehát elliptikus fix pontok. Az e2 hiperbolikus, ugyanis innen kissé kimozdítva N távolodik. A 70. ábráról leolvashatóan N azután periodikusan visszatér e2 közelébe.
281
70. ábra: Aszimmetrikus erőmentes pörgettyű N impulzusmomentumának K rendszerből mért látszólagos pályái (A < B < C).
282
18. Egydimenziós rugalmas kontinuum 18.1. Előfeszített rugókkal kapcsolt testek - 2D diszkrét modell és a húr mint határeset Diszkrét leírás: N db. azonos m tömegű test k rugóállandójú ideális rugóval összekapcsolva, melyek előfeszítés nélküli hossza l, és nyugalmi távolságuk d = l + F/k, ahol F az előfeszítő erő. A j-edik test egyensúlyi helyzettől való elmozdulásvektora: uj (t). A kinetikus és rugalmas energia (e1 = (1, 0), a potenciálból kiemeltünk d2 -et): N
mX q 2 K= |uj | , 2 j=1
N l 2 kd2 X uj − uj−1 . + e1 − V = 2 j=1 d d
(18.1)
71. ábra: Rugókkal összekötött tömegek síkbeli rendszere, nyugalomban az x tengely mentén helyezkednek el. 283
18.1. Gyakorló feladat. Euler–Lagrange-egyenletek? [4] Kontinuum leírás: Képzeljük el, hogy a rendszer hossza, tömege és az előfeszítő erő véges marad, miközben egyre több, kisebb tömegű és rövidebb rugókkal összekötött test alkotja. Végül a folytonos húr adódik N → ∞,
d, l, m → 0,
midőn L0 = Nd,
M = Nm,
F = k(d − l) ; k → ∞
(18.2)
Az A keresztmetszetet felvéve a sűrűség ρ = m/(Ad) = M/(AL0 ). A gimnáziumból ismert formula a relatív megnyúlásra definiálja a Young-modulust EA amellyel
d−l kl = F = k(d − l) ; E = , l A
kd = F + EA,
(18.3)
EA l = . d F + EA
(18.4)
A j index szerepét az x folytonos koordináta veszi át jd → x,
d → dx,
uj (t) → u(x, t),
(uj − uj−1 )/d → ∂x u(x, t),
284
uj → ∂t u(x, t). q
(18.5)
A (18.1) energiák integrálba mennek át L0 ρA w (∂t u1 )2 + (∂t u2 )2 dx, K[u(x, t)] = 2 0 2 2 L0 L0 l kd w F + EA w p EA 2 2 |∂x u + e1 | − V [u(x, t)] = dx = dx (1 + ∂x u1 ) + (∂x u2 ) − 2 0 d 2 EA + F 0
(18.6)
K és V az u(x, t) tér (mező) funkcionálja minden adott t időpontban. A Lagrange-függvény L=K−V =
w L0 0
Λ dx
maga is integrál, ahol Λ a Lagrange-sűrűségfüggvény. Az w t2 w L0 w t2 Λ dx dt. L dt = S= t1
t1
0
(18.7)
(18.8)
hatás most kétszeres integrál. Megjegyzés: Azt, hogy a határátmenet során megfelelő makroszkopikus paramétereket vezettünk be az is mutatja, hogy véges funkcionálokat kaptunk. 285
18.2. Hamilton-elv a kontinuum mechanikában Mi a teendő, ha folytonosan koordinátázott ψα (x, t) terek írják le rendszerünk állapotát, s célunk ezen függvények meghatározása? Tegyük fel, hogy létezik a terektől és első deriváltjaiktól függő Λ(ψα , ∂x ψα , ∂t ψα , x, t) Lagrange-sűrűségfüggvény, mellyel a hatás w t2 w L Λ dx dt. (18.9) S= t1
0
Ha a ψα (x, t) tereket variáljuk, akkor a hatás variációja x X ∂Λ ∂Λ ∂Λ δψα + δ∂x ψα + δ∂t ψα dxdt. δS = ∂ψ ∂(∂ ψ ) ∂(∂ ψ ) α x α t α α
(18.10)
Ha a határon nem variáljuk a tereket (pl. a húr vége rögzített volt), akkor parciális integrálással X x ∂Λ ∂Λ ∂Λ δS = − ∂x δψα dxdt. − ∂t ∂ψ ∂(∂ ψ ) ∂(∂ ψ ) α x α t α α
(18.11)
Az S minden egyes ψα (x, t) szerint vett funkcionálderiváltja eltűnik, tehát ∂Λ ∂Λ ∂Λ δS = − ∂x − ∂t = 0. δψα ∂ψα ∂(∂x ψα ) ∂(∂t ψα ) 286
(18.12)
A pontmechanikából ismert Euler–Lagrange-egyenlet kibővült, x a szabadsági fokokat folytonosan indexeli, és formális szerepe hasonló a t-éhez. 18.2.1. Példa. A fent tárgyalt húr esetén ψ1 = u1 ,
ψ2 = u2, 2 F + EA p EA ρA 2 2 2 2 (∂t u1 ) + (∂t u2 ) − . (1 + ∂x u1 ) + (∂x u2 ) − Λ= 2 2 F + EA
(18.13)
Most Λ = Λ(∂t ui , ∂x ui ) csak az első deriváltaktól függ. Megjegyzés: A rugókról feltettük, hogy nagy kitérésre is lineáris az erőtörvény: a kontinuum határátmenetben így kapunk hiperlineáris anyagot. Parciális differenciálegyenletekhez peremfeltételt (PF) is kell adnunk. A végein rögzített húr esetén ez u(0, t) ≡ 0, u(L, t) ≡ 0. 18.2. Gyakorló feladat. Írjuk fel a mozgásegyenleteket! [5] 18.3. A kontinuum Hamilton-elv kiterjesztései Magasabb koordinátatér dimenzióra és magasabb deriváltaktól függő Λ sűrűségfüggvényre a Hamilton-elv tovább általánosítható. Más határfeltételek esetén a variációban határ tagok is felléphetnek, de a térfogati egyenletek változatlanok. 287
18.3.1. Magasabb dimenziók Ha a koordinátatér többdimenziós, Λ = Λ(ψα , ∇ψα , ∂t ψα , x, t), azaz L =
r
Λ dd x akkor
∂Λ ∂Λ ∂Λ δS = −∇ − ∂t = 0. δψα ∂ψα ∂(∇ψα ) ∂(∂t ψα )
(18.14)
18.3.2. Magasabb deriváltak Magasabb deriváltakra példa egydimenziós x koordináta mellett Λ = Λ(ψα , ∂x ψα , ∂x2 ψα , ∂t ψα , x, t), amikor is δS ∂Λ ∂Λ ∂Λ ∂Λ = − ∂x + ∂x2 − ∂t = 0, 2 δψα ∂ψα ∂(∂x ψα ) ∂(∂x ψα ) ∂(∂t ψα )
(18.15)
a harmadik tag előjele pozitív a variáláskor kétszer végzett parciális integrálás miatt. Általában ∞
X ∂Λ δS ∂Λ = (−1)n ∂xn − ∂t = 0. n δψα ∂(∂ ψ ) ∂(∂ ψ ) α t α x n=0
(18.16)
18.3. Gyakorló feladat. Írjuk fel a variációs deriváltat magasabb dimenziókban magasabb deriváltak mellett! [3]
288
18.4. A húr kis rezgései – harmonikus közelítés √ Sorbafejtjük (18.13) második tagját az u kitérésekben másodrendig a 1 + ∆ = 1 + ∆2 + . . . közelítéssel 2 F EA + F p (1 + ∂x u1)2 + (∂x u2 )2 − 1 + 2 EA + F s ( )2 2 EA + F F (∂x u2 ) = (1 + ∂x u1 ) 1 + −1+ 2 2 (1 + ∂x u1 ) EA + F 2 EA + F 1 (∂x u2 )2 F = 1 + ∂x u1 + +···−1+ 2 2 1 + ∂x u1 EA + F F EA + F (∂x u1 )2 + (∂x u2 )2 + F ∂x u1 + áll. (18.17) ≈ 2 2 r A lineáris tag x-beli derivált, az L = dx Λ Lagrange-függvényhez a végpontokban ad csak járulékot, a variáláskor nem változik. A mozgásegyenletek tehát az alábbi sűrűségfüggvényből határozhatók meg F A 2 2 2 2 ρ(∂t u1 ) − E(∂x u1 ) + ρ(∂t u2 ) − (∂x u2 ) , (18.18) Λ≈ 2 A ahol elhanyagoltuk F -et EA mellett (EA az az erő elvileg, amely kétszeres hosszra nyújt, a gyakorlatban az előfeszítés ennél sokkal kisebb). 289
A (18.12) mozgásegyenletek ∂x AE∂x u1 − ∂t Aρ∂t u1 = 0,
∂x F ∂x u2 − ∂t Aρ∂t u2 = 0,
(18.19)
longitudinális,
(18.20)
transzverzális.
(18.21)
amelyekből az állandókat kiemelve kapjuk ρ∂t2 u1 = E∂x2 u1 F ρ∂t2 u2 = ∂x2 u2 A A kétféle kis rezgés független (nincs kereszttag). 18.5. Hullámegyenlet Bevezetjük a következő rövidített jelölést ∂t ψ → ψt ,
∂x ψ → ψx .
(18.22)
Ezzel a fent kapott egyenletek közös formája a hullámegyenlet ψtt − c2 ψxx = 0. Mint látni fogjuk, c a hullám terjedési sebességének abszolút értéke. 290
(18.23)
18.5.1. Haladó megoldás PF nélkül (L → ∞) mellett keressük a megoldást az alábbi alakban ψ(x, t) = f (x − vt),
(18.24)
amelyet a hullámegyenletbe helyettesítve nyerjük v 2 f ′′ − c2 f ′′ = 0 ⇒ |v| = c már D’Alembert ismerte.
(18.25)
v = ±c: jobb-, illetve balfelé terjedő hullámok. Tehát az általános megoldás ψ(x, t) = f+ (x − vt) + f− (x + vt), ahol f± (x) tetszőleges sima függvények, a jobbra/balra terjedő megoldásokat adják. A húr transzverzális és longitudinális hullámaira (18.21) és (18.20) szerint s s r F σ E ct = = , cl = . ρA ρ ρ
(18.26)
(18.27)
A transzverzális hullámsebesség annál gyorsabb, minél nagyobb a σ = F/A feszültség, amely az előfeszítést jellemzi. A longitudinális sebesség érvényes rudakra is. 291
72. ábra: Szabad vég: a hullám visszaverődik. (A szaggatott vonal x = 0, tőle balra van a valóságos húr.) 18.5.2. Szabad vég Az egyik végen nem hat erő, ide helyezzük az origót, a rugalmas energiasűrűség itt zérus: ∂x ui (0, t) ≡ 0. A szál a x < 0 oldalon helyezkedik el, ez a fizikai tartomány. Legyen f+ (x) = f (x) és válasszuk f− (x) = f (−x)-et, ezzel az x-ben páros u(x, t) = f (x − ct) + f (−x − ct) megoldást kapjuk, amely automatikusan teljesíti a PF-t. A megoldás x > 0 része ebben az elrendezésben fizikai testeket nem ír le. 18.5.3. Rögzített vég Rögzített vég u(0, t) ≡ 0, válasszuk f− (x) = −f (−x), ezzel antiszimmetrikus megoldást kapunk: u(x, t) = f (x − ct) − f (−x − ct).
292
73. ábra: Rögzített vég: a hullám tükrözve verődik vissza. 18.5.4. Megoldás Fourier-sorral rögzített végek mellett Tekintsük a fix PF-t: u(0, t) = u(L, t) = 0, ehhez választjuk a kifejtés függvényeit u(x, t) =
∞ X
an (t) sin
n=1
nπx , L
(18.28)
állóhullámok szuperpozíciója. Az an (t) időfüggése (18.23) alapján an (t) = −c2 qq
π 2 n2 an (t). L2
293
(18.29)
an (t) harmonikusan rezeg az ωn = c πn frekvenciával. Hullámszám és hullámhossz L πn 2π ωn = , λn = . (18.30) c L kn Az ω(k) a diszperziós reláció, itt lineáris ω = ck. A korábbról ismert általános harmonikus megoldást (18.28)-be helyettesítve q X nπx an (0) sin ωn t sin . (18.31) u(x, t) = an (0) cos ωn t + ωn L n kn =
Adott u(x, 0) és ut (x, 0) KF esetén hogyan számítjuk ki az együtthatókat? Emlékeztető L L (n − n′ )πx n′ πx 1w (n + n′ )πx 2w nπx cos dx = δnn′ , sin dx = − cos sin L0 L L L0 L L innen
L
(18.32)
L
2w nπx an (0) = u(x, 0) sin dx, L L
nπx 2w ut (x, 0) sin an (0) = dx. L L q
0
(18.33)
0
Az an (0) és an (0) következik a húr kezdeti alakjából és sebességéből. Haladó hullámok soraként is felírható, komplex együtthatókkal X u(x, t) = bn ei(ωn t−kn x) + cn ei(ωn t+kn x) + c.c. q
n
294
(18.34)
→ → → →
Módus: egy harmonikusan rezgő szabadsági fok. Hangmagasság: alaphang ω1 , felhangok ωn , n > 1, q Hangszín: {an (0), an (0)}, P q 2 2 2 Hangerő (intenzitás, teljesítmény): n [an (0) + an (0) /ωn ].
18.4. Gyakorló feladat. Fejezzük ki bn , cn -et az an (0), an (0) együtthatókkal! [2] q
18.5. Gyakorló feladat. Írjuk fel az x = L-ben szabad végű megoldást Fourier-sor alakjában! [3]
295
74. ábra: Rögzített végű húr módusai.
296
19. Vékony rudak hajlítása 19.1. A Lagrange-féle sűrűségfüggvény és a mozgásegyenlet A kinetikus, a transzverzális kitérésekhez tartozó rugalmas és a gravitációs potenciális energia wL F wL 2 ρA w L 2 u dx. ut dx, Vtr = ux dx, Vpot = −ρgA K= 0 2 0 2 0 A transzverzális potenciálhoz feltettük, hogy u deriváltja kicsi, a gravitációshoz u is kicsiny. ∆l z z=0 l
R ∆φ
75. ábra: Rúd hajlítása. Az u transzverzális kitérést lefelé mérjük. 297
(19.1)
Hátravan a hajlítási rugalmas energia Vhajl kiszámítása. Hagyjuk el az F nyújtó erőt, és tegyük fel, hogy van olyan vonal a rúdban, a semleges réteg, amelynek hossza nem változik: azon mérjük x-et. A hajlítás okozta relatív megnyúlás a semleges rétegtől z távolságra a geometriai hasonlóság alapján és a Hooke-törvény szerint (ld. 75. ábra) ∆l σ z = = , (19.2) R l E Ahol R a görbületi sugár és σ = F/A a feszültség. A teljes hosszirányban ébredő erő a feszültség keresztmetszetre integrálásával adódik w Ew σ dz dy = z dz dy = 0. (19.3) R A semleges réteg tehát a metszetek súlypontjain megy át. A forgatónyomaték w Ew 2 E M = σz dz dy = (19.4) z dz dy = I. R R I az adott keresztmetszet hajlítási nyomatéka, geometriai jellemző, belőle származik a hajlítási merevség. (Húr esetén I elhanyagolhatóan kicsi.) A görbületi sugár ismert módon (1 + u2x )3/2 1 ≈ ; M ≈ EIuxx , uxx uxx A ∆x (a 75. ábrán l ) hosszú ívhez tartozó középponti szög ∆x ∆φ = ≈ uxx ∆x. R R(x) =
298
(19.5)
(19.6)
A hajlítási energia (hasonlóan az F erővel feszített rugó energiájának 12 F x formulájához) 1 EI w L 2 1 M∆φ ≈ EIu2xx ∆x, ; Vhajl = u dx. 2 2 2 0 xx
Végül nyerjük a teljes hatást a harmonikus közelítésben (az F hosszirányú előfeszítéssel) w t2 w L EI 2 ρA 2 F 2 ut − ux + ρgAu − u . Λ dx dt, ahol Λ = S= 0 t1 2 2 2 xx A Λ most uxx -től is függ! A mozgásegyenlet δS ∂Λ ∂Λ ∂Λ ∂Λ − + = 0, = − δu ∂u ∂ux x ∂ut t ∂uxx xx
(19.7)
(19.8)
(19.9)
tehát ρAutt = F uxx − EIuxxxx + ρgA,
(19.10)
ahol ρgA a lineáris gravitációs erősűrűség.
19.2. Két végén feltámasztott előfeszítésmentes (F = 0) rúd hajlása Az egyensúly feltétele u(x)-re uxxxx =
ρgA = áll. EI 299
(19.11)
76. ábra: Végein feltámasztott rúd. PF: u(0) = u(L) = 0,
uxx (0) = uxx (L) = 0.
(19.12)
Negyedfokúnál magasabb tagok (19.11) szerint nem léphetnek fel u(x) = αx + γx3 + δx4 .
(19.13)
Így u(0) = 0, uxx(0) = 0 rögtön teljesül. (19.11) alapján δ= A uxx (L) = 0 feltétel
1 ρgA . 24 EI
6γL + 12δL2 = 0 ; γ = −2δL. 300
(19.14) (19.15)
Az u(L) = 0 feltétel szerint A rúd alakja tehát
α − 2δL3 + δL3 = 0 ; α = δL3 .
(19.16)
u(x) = δ(x4 − 2x3 L + xL3 ).
(19.17)
19.3. Befogott rúd szabad végét húzzuk merőlegesen Hanyagoljuk el a gravitációt, g = 0. A végpontban hassunk F˜ erővel, ennek forgatónyomatéka M ≈ F˜ L. Kihasználjuk a forgatónyomaték (19.5) képletét, ezért a PF u(0) = 0, Az egyensúly feltétele
uxx (L) = 0,
uxx (0) =
uxxxx = 0 ; u(x) = βx2 + γx3 .
A forgatónyomatékok alapján β= A rúd alakja tehát
ux (0) = 0,
F˜ L , 2EI
2β + 6γL = 0 ; γ = −
x3 F˜ L 2 x − u(x) = 2EI 3L 301
F˜ L . EI
(19.18) (19.19)
β . 3L
(19.20)
(19.21)
19.1. Gyakorló feladat. Egyik végén befogott, saját súlyánál fogva hajlított rúd alakja? Útmutató: az egyensúly differenciálegyenletét ismerjük, meghatározandók a határfeltételek. [3] 19.2. Gyakorló feladat. Mindkét végén egy tengely mentén befogott rúd saját súlyánál fogva hajlított alakja? (A végeken eredő erővel nem, csak forgatónyomatékkal hatunk.) [3] 19.4. Hosszirányban összenyomott rúd Most F = −|F | < 0, továbbá g = 0, a mozgásegyenlet alakja ρAutt = −|F |uxx − EIuxxxx.
(19.22)
Az u(x, t) = ei(ωt−kx) behelyettesítéssel kapjuk az ω(k) diszperziós relációt 2
2
−ω ρA = |F |k − EIk
4
k2 ; ω (k) = (−|F | + EIk 2 ). ρA 2
(19.23)
A diszperzió nemlineáris! Nagy nyomóerő esetén, kis hullámszámra negatívvá válik ω 2, ez instabilitást jelent (Eulerinstabilitás). Ugyanis ekkor ω = ±iσ, ilyenkor az időfüggő együttható eiωt = e±σt , ezek egyike exponenciálisan nő. Ez annak jele, hogy a rúd kihajlik (nemlineáris erők tartják végesnek). Ha a PF u(0) = u(L) = 0, akkor a megengedett legkisebb hullámszám k1 = π/L, tehát |F | növekedésével ez a módus lesz először instabil: |F |krit = EIπ 2 /L2 . 302
20. Kétdimenziós kontinuum: membránok Vékony 2D anyag, transzverzális rezgéseket vizsgálunk. Hajlítási merevség nincs a membrán, van a lemez esetén. 20.1. Feszített membránok transzverzális rezgései A membrán vastagsága d és legyen izotróp módon előfeszítve σ feszültséggel. A kinetikus energia K=
1w 2 ρd w 2 ρut dV = ut dx dy. 2 2
(20.1)
A húrra láttuk
σA w 2 σw 2 F w 2 ux dx = ux dx = ux dV. V = 2 2 2 Ennek analógiájára a membrán esetén σd w 2 σd w 2 V = (ux + uy ) dx dy = |∇u|2 dx dy. 2 2 A Lagrange-sűrűség Λ=
ρd 2 σd u − |∇u|2 . 2 t 2 303
(20.2)
(20.3)
(20.4)
A mozgásegyenlet ρutt = σ(uxx + uyy ) = σ △ u. p Ez a 2D hullámegyenlet, a terjedési sebesség c = σ/ρ, hasonlóan a húr formulájához.
(20.5)
20.1. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy f (kr − ωt) alakú függvény megoldás, ha ω = ck. [2] A mozgásegyenletbe ei(ωt−kr) behelyettesítéssel adódik c2 k 2 = ω 2 ,
(20.6)
lineáris a diszperzió. Lx , Ly méretű téglalapra feszített membrán esetén a megengedett hullámszámok kxn =
nπ , Lx
kym =
ωnm = cπ
s
mπ . Ly
m2 n2 + . L2x L2y
(20.7)
(20.8)
Alaphang: n = m = 1, azaz ω11 . A felharmonikusok nem ω11 p/q alakúak, mint a húrban, ezért dallam nem játszható. (Téglalapra feszített membránban a feszültség általában nem izotróp, itt a példa kedvéért közelítettünk.)
304
21. Háromdimenziós rugalmas kontinuum, a deformáció és a feszültség tenzora 21.1. A deformációtenzor definíciója Rugalmas deformációnak, azaz alakváltozásnak olyan elmozdulást nevezünk, amely a rugalmas energia megváltozásához vezet. Fizikai érzékünk is azt sugallja, hogy ilyenek azok az elmozdulások, amelyek révén az anyagban levő távolságok, helyüktől és irányuktól függően, általában megváltoznak. E változást jellemzi a deformációtenzor. Ha deformáció hatására minden tömegelem u(r) elmozdulást szenved, a deformáció előtt egymáshoz képest ∆r helyzetben levő anyagelem új relatív helyzete ∆r ′ = ∆r + u(r + ∆r) − u(r) ≈ (1 + (∇ ◦ u)T )∆r
; |∆r ′ |2 = ∆r(1 + ∇ ◦ u)(1 + ∇ ◦ u)T ∆r = |∆r|2 + 2 ∆r ε ∆r.
(21.1) (21.2)
Ez definiálja az ε (szimmetrikus) deformációtenzort. Megjegyzés: Az 1 + 2ε = g metrikus tenzornak tekinthető, amely a deformáció utáni távolságokat jellemzi a deformáció előtti koordinátákkal. A deformációtenzor expliciten 1 ε= ∇ ◦ u + (∇ ◦ u)T + (∇ ◦ u)(∇ ◦ u)T . (21.3) 2
Lineáris rugalmasságtanban (az alábbiakban erre szorítkozunk) a deriváltakban másodrendű tagot elhagyhatjuk 1 ∇ ◦ u + (∇ ◦ u)T ≡ def u, (21.4) ε= 2 amely definiálja a „deformáció” vektor differenciál operációt. Ilyenkor az εij -k maguk is kicsik. 305
21.2. A deformációtenzor értelmezése → Szimmetrikus, ezért (adott helyen) főtengelyrendszerre forgatható, sajátértékei εi . → Az i-edik fő irányba mutató ∆r megnyúlása √ |∆r ′ | − |∆r| = 1 + 2εi |∆r| − |∆r| ≈ εi |∆r|.
(21.5)
Tehát εi jelentése relatív megnyúlás. → Az elemi térfogat megváltozása főtengelyrendszerben ∆V ′ ≈ Πi (1 + εi )∆V ≈ (1 +
X
εi )∆V
i
;
∆V ′ − ∆V = Tr ε = div u. ∆V
(21.6)
Mivel tenzor nyoma invariáns ortogonális transzformációkra, ez a relatív térfogatváltozás nemcsak főtengelyrendszerben. → Eltolás: u = u0 = áll ; ε = 0. (21.7) → Forgatás:
u = ∆ϕ × r.
306
(21.8)
21.1. Gyakorló feladat. Mutassuk meg a definíció szerint, hogy elforgatásra ε = def (∆ϕ × r) = 0. [1] → Homogén deformációk: εij térben állandó ⋆ csak ε11 = 6 0 ε11 = ∂1 u1 ; u1 = x1 ε11 (nyújtás) ; ε11 = u1 /x1 ∼ relatív megnyúlás ⋆ csak ε12 = ε21 = 21 (∂1 u2 + ∂2 u1 ) 6= 0 (nyírás)
u2 u1 = = ε12 ≈ γ. (21.9) x1 x2 A nemdiagonális elem az él elfordulásának szögével arányos. Az elmozdulástér tükörszimmetrikus az x1 = x2 tengelyre. u1 = ε12 x2 ,
u2 = ε12 x1 ; tan γ =
21.3. Rugalmas energia A rugalmas deformáció Φ energiája általában ε-tól függ w Φ[ε] = φ(ε) d3 r.
(21.10)
Korábban V -vel is jelöltük. A φ a rugalmas energiasűrűség, jó közelítéssel nem függ a deformációtenzor deriváltjaitól. Lineáris rugalmasságtanban az energiasűrűség másodrendű kifejezés 1 1 φ = εij Cijklεkl ≡ ε : C : ε. 2 2 307
(21.11)
77. ábra: Nyújtás és nyírás. Itt bevezettük az összegzési konvenciót: azonos indexekre automatikusan összegzünk. A „ : ” két index egybeejtését jelzi. A Cijkl-k a rugalmas moduluszok, anyagi állandók, melyek általános szimmetriái (21.12)
Cijkl = Cjikl = Cklij
Mivel ε-nak 6 független eleme van, a Cijkl 6x6 szimmetrikus mátrixnak tekinthető, 6(6 + 1)/2 = 21 független elemmel. Az elemek fajtái és darabszámuk (i 6= j 6= k 6= i) Ciiii Ciijj
∼ 3, ∼ 3,
Cijij Cijik
∼ 3, ∼ 3,
308
Cijjj Ciijk
∼6 ∼3
(21.13) (21.14)
A legkisebb szimmetriájú kristály triklin: 21. A kristályszimmetriák csökkentik a független elemek számát. Monoklin: egy tengely körüli 180◦ -os elforgatás: 13, ortorombos: 9, négyzetes 6, köbös 3. Izotrop eset (pl. gumi): a deformációtenzorból két kvadratikus skalár képezhető φ=
λ ( Tr ε)2 + µ Tr ε2 . 2
(21.15)
A két anyagi paraméter λ, µ a Lamé-állandók. 21.2. Gyakorló feladat. Fejezzük ki Cijkl -t λ, µ-vel! [3] 21.4. Feszültségtenzor A σ feszültségtenzort a következőképpen definiáljuk σij =
δΦ ∂φ = , δεij ∂εij
azaz σ =
δΦ ∂φ = , δε ∂ε
(21.16)
definíció szerint szimmetrikus. Lineáris rugalmasságtanban σij = Cijklεkl , A Lagrange-sűrűség
azaz σ = C : ε.
ρ Λ = |ut |2 − φ(ε) − v(u), 2 309
(21.17) (21.18)
ahol v(u) a külső tömegerők potenciális energiasűrűsége és ε = def u,
1 1 εij = [∂i uj + ∂j ui ] ≡ [uj,i + ui,j ], 2 2
(21.19)
a deriválásra használt ∂j fi ≡ fi,j jelöléssel. A mozgásegyenlet az állandó ρ közelítésben ∂φ ∂v . + ρui,tt = − ∂ui ∂ui,j j
(21.20)
Mivel ∂φ ∂εkl ∂εkl ∂φ = = σkl , ∂ui,j ∂εkl ∂ui,j ∂ui,j
(21.21)
továbbá a σ feszültségtenzor szimmetriájából következően ∂εkl 1 ∂εkl 1 = (δki δlj + δkj δli ) ; Akl = (Aij + Aji ) ; ∂ui,j 2 ∂ui,j 2 ezért a mozgásegyenlet végül ρui,tt = −
∂v + σij,j . ∂ui
310
∂φ = σij , ∂ui,j
(21.22)
(21.23)
Vektoriális alakban ρutt = f + div σ,
(21.24)
f a külső tömegerők sűrűsége, div σ nyilvánvalóan a rugalmas erősűrűség. Figyeljünk az indexre, általában [ div T]i = ∂j Tij = Tij,j ; szimmetrikus T esetén az i, j indexek sorrendje közömbös. A feszültségtenzor fizikai jelentését az első évfolyamban részletesen tanulmányozták. Itt röviden felidézzük, hogy valamely térfogatra ható rugalmas erőt úgy kapjuk, hogy a div σ rugalmas erősűrűséget integráljuk. Ez a w z div σ dV = σ dA (21.25) felületi integrálként áll elő, amely teljes összhangban van azzal a fizikai várakozásunkkal, mely szerint a rugalmas erőhatást a szóbanforgó térfogatot határoló felület közvetíti. Az elemi rugalmas erő F = σA a kis A = An felületelemre hat. A vektoriális felületi erősűrűség σn, ahol n a felület normálisa, de azt is mondhatjuk, hogy a σ a tenzoriális felületi erősűrűség. Cauchy vette észre először, hogy nem függ a felület görbületétől, csupán az irányítottságától. A feszültségtenzorról alkotott fizikai képünket kiegészíthetjük, ha külső erők nem hatnak, mely esetben a p = ρut impulzussűrűség felhasználásával a 21.24 a pt = div σ (21.26) alakban áll elő. Ez éppen egy vektoriális kontinuitási egyenlet, amelyben az impulzussűrűség felületi áramsűrűsége −σ. Külső erők hiányában a teljes impulzus megmarad, egyes térrészek között azonban áramolhat, s az áramsűrűséget éppen a mínusz feszültségtenzor adja meg. Külső erők jelenlétében az impulzus nem marad meg, de a felületeken „átáramló” részét változatlanul a feszültségtenzor adja meg. 311
78. ábra: Nyújtás és nyírás. Húzás: n = (1, 0, 0) σxx Anx = σxx A = Fx .
(21.27)
Nyírás: a felső lapon n = (0, 1, 0), az oldalsón n = (1, 0, 0) σxy Any = Fx ,
σyx Anx = Fy .
(21.28)
(A fenti két egyenletben előforduló indexek maguktól értetődően komponenseket jelölnek, nem pedig deriválásokat.)
312
21.5. Izotróp test mozgásegyenlete Idézzük fel az izotróp anyag (21.15)-ban megadott rugalmas energiáját φ=
λ ( Tr ε)2 + µ Tr ε2 . 2
(21.29)
∂Φ = 1λ Tr ε + 2µε. ∂ε
(21.30)
Innen a feszültségtenzor σ= Megjegyzés: az inverz reláció λ 1 σ− Tr σ = (3λ + 2µ) Tr ε ; ε = 1 Tr σ . 2µ 3λ + 2µ
(21.31)
Mivel Tr ε = div u,
ε = def u =
ezért
1 ∇ ◦ u + (∇ ◦ u)T , 2
div σ = λ∇(∇u) + µ∇2 u + µ∇(∇u) ≡ µ △ u + (µ + λ)∇(∇u). 313
(21.32)
(21.33)
A mozgásegyenlet tehát ρutt = f + µ △ u + (µ + λ)∇(∇u).
(21.34)
Emellett a KF és PF megadása szükséges → u(r, 0), ∂t u(r, 0) → u(r, t)|A , vagy ε|A , vagy σn|A . Egyensúlyban
f + µ △ u + (µ + λ)∇(∇u) = 0.
(21.35)
∇ × (∇ × u) = ∇(∇u) − △u
(21.36)
f + (2µ + λ)∇(∇u) = 0.
(21.37)
Speciális eset a rotációmentes, ∇ × u = 0, elmozdulás. Ekkor használva a azonosságot kapjuk ∇(∇u) = △u, ezért egyensúlyban
21.5.1. Példa. Homogén nyújtás. Csak σ11 = F/A = áll. különbözik zérustól. A (21.31) relációt használva kapjuk ε11 =
1 2λ + 2µ F F = 2µ 3λ + 2µ A EA 314
; E=µ
3λ + 2µ , λ+µ
(21.38)
ezzel az E Young-modulust kifejeztük a Lamé-állandókkal. Azután ε22 = ε33 = − a Poisson-szám. A térfogatváltozás
λ F λ = −νε11 ; ν = , 2µ(3λ + 2µ) A 2(λ + µ)
Tr ε =
F 1 (1 − 2ν) ; 0 < ν < . EA 2
(21.39)
(21.40)
21.3. Gyakorló feladat. Adjuk meg az u elmozdulásvektort! [1] 21.5.2. Példa. Homogén nyírás. Ekkor csak σ12 = σ21 = τ = áll. nemzérus, ezért ε = σ/2µ, ahonnan ǫ12 = γ = τ /2µ. A µ = G neve torziómodulus. 21.5.3. Példa. Egyenletes összenyomás. Ha a feszültségtenzor diagonális, azaz σ = −p1, akkor a deformációtenzor is az lesz, és (21.31) alapján ahol
Tr σ = −3p = (3λ + 2µ) Tr ε ; p = −K Tr ε, K =λ+ 315
2µ 3
(21.41)
(21.42)
a kompressziómodulus. Tehát K a Tr ε relatív térfogatváltozáshoz szükséges nyomás váltószáma. Reciproka a κ=
1 K
(21.43)
kompresszibiltás, amely az egységnyi nyomásnövekedés hatására bekövetkezett relatív térfogatcsökkenést adja meg. Precízebb definíciókat a fenti anyagi állandókra a termodinamika nyújt, azok tárgyalása a jelen jegyzet kereteit meghaladja. 21.5.4. Példa. Gömbhéj radiális deformációja. A gömbhéj külső és belső sugara R2 ill. R1 < R2 és a külső és belső nyomás p2 , p1 > p2 . Az elmozdulástérről feltesszük, hogy radiális (az r index nem deriválás!) u(r) = er · ur (r).
(21.44)
A várt kis elmozdulások következtében a nyomások a deformáció után nem változnak. Az elmozdulás rotációmentes, ezért (21.37) alapján f = 0 mellett
Gömbi koordinátákban
∇(∇u) = 0 ; ∇u = Θ = áll.
2 X ur x2 2ur 1 xi i ′ xi − 3 ur + ur 2 = + u′r = 2 (r 2 ur )′ , Θ = ∇u = ∂i ur = r r r r r r i 316
(21.45)
(21.46)
ahonnan a b integrálási állandót bevezetve kapjuk b Θr Θr 3 + b = r 2 ur ; ur = + 2. 3 3 r
Célszerű a tenzorok elemeinek gömbi komponenseit használni. A PF σrr Rj = −pj .
(21.47)
(21.48)
A deformációs tenzor
Θ 2b − 3. 3 r Mivel Trε = Θ és a másik két tenzorkomponens a gömbi szimmetria miatt azonos, kapjuk Θ b εθθ = εϕϕ = + 3 . 3 r Ez éppen = ur /r. A feszültségtenzor σ = λ · 1 · Θ + 2µ · ε, ezért 4µb Θ 2b − 3 = KΘ − 3 , σrr =λΘ + 2µεrr = λΘ + 2µ 3 r r Θ b 2µb σϕϕ =σθθ = λΘ + 2µ + 3 = KΘ + 3 , 3 r r εrr = u′r =
317
(21.49)
(21.50) (21.51) (21.52) (21.53)
ahol a K kompressziómodulus (21.42)-ben bevezetett definícióját használtuk. Illesztjük a (21.48) PF-hez KΘ −
4µb = −pj . Rj3
(21.54)
A két egyenletet egymásból kivonva adódik b, majd az Rj3 -bel szorzás után véve a különdséget kapjuk Θ-t b=
p1 − p2 R13 R23 , 4µ R23 − R13
Θ=
p1 R13 − p2 R23 1 . R23 − R13 K
(21.55)
Innen ur (r), ε, σ a fentiek alapján megadhatók. Azonos nyomások, p1 = p2 = p esetén b = 0, ahonnan Θ=−
p . K
(21.56)
Vegyük észre, hogy ilyenkor a fentiekből következően a feszültségtenzor σ = −p 1, azaz egyenletes az összenyomás.
318
22. Hullámok rugalmas testekben Külső erő nélkül (f = 0) a mozgásegyenlet harmonikus közelítésben ρutt = µ △ u + (µ + λ)∇(∇ u).
(22.1)
ρutt = (2µ + λ) △ u,
(22.2)
Rotációmentes elmozdulástérre ez a térbeli hullámegyenlet az u minden komponensére. 22.1. Longitudinális hullám A (22.1) divergenciáját véve a Θ = ∇u relatív térfogatváltozásra kapjuk ρΘtt = µ △ Θ + (µ + λ) △ Θ = (2µ + λ) △ Θ, amiből cl =
s
2µ + λ ρ
a dilatációs (longitudinális) hullám sebessége.
319
(22.3)
(22.4)
22.2. Torziós hullám A (22.1) rotációját véve az ω = 1/2∇ × u
örvényességre nyerjük r µ < cl . ρω tt = µ △ ω ; ct = ρ
(22.5)
Ez a torziós (transzverzális) hullámot írja le. 22.1. Gyakorló feladat. Mi az ω jelentése? Mutassuk meg, ha u = a × r, ahol a állandó, akkor ω = a! [1]. , ct ∼ 5 − 7 km . 22.2.1. Példa. Földrengés hullámok esetén cl ∼ 8 − 12 km s s 22.3. Térbeli hullámegyenlet A Lagrange-féle sűrűségfüggvény és a mozgásegyenlet 1 Λ = [(ψt )2 − c2 |∇ψ|2 ] ; ψtt = c2 △ ψ. 2
(22.6)
22.3.1. Példa. Síkhullámok: adott, n irányban terjedő megoldás ψ(r, t) = f (nr ∓ ct). 320
(22.7)
Állandó fázist adott t-re az nr = áll. síkban figyelhetünk meg. Egy módus ψ = ψ0 ei[ω(k)t∓kr] ,
ω = ck.
(22.8)
22.3.2. Példa. Gömbhullámok: térben izotróp megoldások, ψ csak r-től függ. Radiális tér divergenciáját meghatároztuk, ld. (21.46), azt a ∇ψ = er ∂r ψ ≡ er ψr -re alkalmazva kapjuk ψr 1 2 2 ψtt = c ∇(∇ψ) = c 2 + ψrr = c2 (rψ)rr ; (rψ)tt = c2 (rψ)rr . (22.9) r r Egy módus
ψ0 i(ωt∓kr) e , ω = ck. r Az amplitúdó 1/r-rel csökken, az energiasűrűség 12 [(∂t ψ)2 + c2 |∇ψ|2 ] ∝ r −2 . ψ(r, t) =
(22.10)
22.4. Belső csillapodás A rugalmas deformáció csillapodással jár, ezért a mozgásegyenletet kiegészítjük a D r disszipációs funkcionál segítségével a 8. fejezetben ismertetettek szerint. Kontinuumról lévén szó, most az dt R = D disszipációs funkcionálban az R integrandus maga is funkcionál. A (8.14) egyenlet alapján δR δD δS = , = δu δut δut 321
(22.11)
amelyben R a deformáció εt sebességétől függ w 1 R[εt ] = r(εt ) d3 r, lineáris rugalmasságtanban: r = εt : C′ : εt , 2
(22.12)
′ ahol Cijkl a viszkozitási együtthatók. A súrlódási feszültségtenzor
σ′ =
∂r , ∂εt
lineáris rugalmasságtanban: σ′ = C′ : εt .
(22.13)
Hasonlóan a konzervatív erő levezetéséhez, a disszipatív erősűrűségre kapjuk div σ′ = −
δR δR ∂r = div = div . δut δεt ∂εt
(22.14)
Az előjel azért változik, mert az εt -ben az ut sebességek gradiensei szerepelnek. Izotróp testre csak két független viszkozitási együttható lép fel r=
η′ ( Tr εt )2 + η Tr ε2t ; σ′ = η ′ 1 Tr εt + 2ηεt , 2
(22.15)
ahonnan (21.34)-t kiegészítve a csillapítást is tartalmazó mozgásegyenletet kapjuk δR δS = δu δut
; ρutt = f + µ △ u + (µ + λ)∇(∇u) + η △ ut + (η + η ′ )∇(∇ut ). 322
(22.16)
22.4.1. Példa. Térfogati hullámok csillapodása: ρΘtt = (2µ + λ) △ Θ + (2η + η ′ ) △ Θt ; Θtt = c2 △ Θ + ν △ Θt ,
(22.17)
ω 2 = c2 k 2 − iνωk 2 .
(22.18)
i ω 2 ≈ c2 k 2 − iνck 3 ; ω ≈ ck − νk 2 , 2
(22.19)
ahol ν = (2η + η ′ )/ρ. Síkhullámok diszperziója a Θ ∝ ei(kr−ωt) behelyettesítésével adódik. Gyenge csillapítás esetén (νk 2 ≪ |ω|)
a csillapítás a hullámhosszal négyzetesen csökken. A jósági tényező (8.31)-beli definíciója alapján Q=
c cλ Re ω ≈ = , 2 Im ω νk 2πν
(22.20)
hosszú hullámok csillapítása gyenge. Földrengéshullámok jósági tényezője a mérések szerint széles frekvenciasávban állandó, tehát a fenti hullámegyenlet rájuk nem érvényes. Viszont folyadékbeli hullámokra jó a közelítés. Folyadékokkal később foglalkozunk, itt csak megemlítjük a tólengés jelenségét. Ha kitartó viharos szél egy tó vízszintjét erősen kitéríti, akkor a vihar elállta után a tó teljes szélességére kiterjedő szintingadozás hosszú időn keresztül fennmaradhat. 323
23. Áramló közegek – alapfogalmak és mozgásegyenletek Az alapvető keresett mennyiség az v(r, t) sebességtér. A rugalmasságtanban ut (r, t)-ben a koordináták a deformáció előtti helyek, most az aktuális r helyvektorral jellemezzük a helyzeteket. 23.1. Kontinuitás Elemi felületen egységnyi idő alatt áthaladó elemi tömeg a 79. ábra szerint dm = ρdV = ρvndA dt.
(23.1)
Az anyag megmarad, ezért az adott V térfogat felületén kiáramló tömeg a térfogaton belüli tömeget csökkenti
v dm
dA
n
vdt 79. ábra: A felületen dt idő alatt v sebességgel áthaladó anyag. 324
0=
z w d w ρ dV + ρv dA = dV [ρt + ∇ρv]. dt
(23.2)
Innen bevezetve a j = ρv felületi áramsűrűséget nyerjük ρt + ∇j = 0.
(23.3)
A sebességtér tehát csatolódik a ρ(r, t) sűrűségtérhez. 23.2. Állapotegyenlet A sűrűségen kívül lényeges lesz a nyomás (esetleg hőmérséklet, entrópia) is. Szükségesek termodinamikai összefüggések. Lokális termodinamikai egyensúly feltételezése: a tömegelem egyensúlyban van "önmagával": lokálisan érvényesek a termodinamikai állapotegyenletek. Egyszerű példa: adiabatikus áramlás. A nyomás az adiabatikus állapotegyenlet szerint függ a ρ sűrűségtől (erre utal az s index): ps = ps (ρ). (23.4) Ez jellemzi az ideális folyadékot, amelyben definíció szerint nincs hőcsere. 23.3. Hidrodinamikai derivált
325
A tömegelemhez rendelt valamely Φ(r, t) térmennyiség értéke ∆t idő múlva Φ(r + ∆r, t + ∆t), ahol a térkoordináta különbsége a v sebességgel történt ∆r = v ∆t elmozdulásból adódik. Ezért ∆Φ =Φ(r + ∆r, t + ∆t) − Φ(r, t) = Φt · ∆t + (∇Φ)∆r =∆t[Φt + (v∇)Φ]. (23.5) 80. ábra: A hidrodinamikai derivált értelmezéséhez.
A teljes derivált ezért (v∇ neve konvektív derivált) dΦ = Φt + (v∇)Φ. dt
(23.6)
23.4. Feszültségtenzor Folyadékban nincs nyírási feszültség (µ = 0), ezért súrlódás nélkül σ = −p1. A súrlódási feszültség izotróp folyadékban (22.15) alapján lineáris a deformáció sebességében. Az aktuális r koordinátákat használva (23.7) σ′ = η ′ 1 Tr εt + 2ηεt = η ′ 1(∇v) + η ∇ ◦ v + (∇ ◦ v)T
Az η, η ′ a viszkozitási együtthatók. Megjegyzés: a lineáris rugalmasságtan kis ui,j esetén érvényes, most legyen vi,j kicsiny! A sebességek lehetnek nagyok.
326
23.5. Navier–Stokes-egyenlet A mozgásegyenlet
dv = f − ∇p + div σ′ . dt Izotróp folyadékra (23.7) alapján (hasonlóan a rugalmasságtanbeli mozgásegyenlet levezetéséhez) ρ
(23.8)
div σ′ = (η + η ′ )∇(∇v) + η △ v.
(23.9)
dv f ∇p = v t + (v∇)v = − + (ν + ν ′ )∇(∇v) + ν △ v. dt ρ ρ
(23.10)
Behelyettesítve nyerjük
Ez a Navier–Stokes-egyenlet (NS). Itt ν = η/ρ és ν ′ = η ′ /ρ a kinematikai viszkozitási együtthatók, a tapasztalat szerint ezek a sűrűségtől gyengén függnek. 23.6. Összefoglalva → NS (3 egyenlet) → Kontinuitás (1 egyenlet) → Állapotegyenlet (1 egyenlet) 327
81. ábra: Áramvonalak stacionárius és nemstacionárius áramlásban. Ismeretlenek: v, ρ, p 5 térmennyiség, melyekre 5 egyenletünk van. PF: pl. v = 0, p (s ezzel ρ) rögzített a peremen, minden időben. Súrlódás nélkül rögzített peremen v · n = 0. Stacionárius áramlás: v(r, t) = v(r), ρ(r, t) = ρ(r), p(r, t) = p(r). A térmennyiségek időfüggetlenek, az áramlás jellege nem változik. Áramvonalak: pillanatfelvétel a sebességtérről, a v vektor az áramvonal helyi érintője irányába mutat. A vonalsűrűség ∝ |v|. Pályavonal: tömegelem útvonala. Stacionárius áramlásban pályavonal=áramvonal, nemstacionárius esetben a pályavonal6=áramvonal, ez utóbbi időfüggő, ld. 81. ábra.
328
24. Ideális ill. összenyomhatatlan folyadék 24.1. Ideális: nem súrlódó, adiabatikus Súrlódás nélkül a NS az Euler-egyenletre egyszerűsödik ρv t + ρ(v∇)v = f − ∇p.
(24.1)
p = ps (ρ).
(24.2)
Ha az elemi tömegek közötti hőcsere elhanyagolható, akkor az adiabatikus állapotegyenlet érvényes Ezek mellett a (23.3) kontinuitási egyenletet használjuk. PF: vn = 0, a fal tehát áramvonal. 24.2. Összenyomhatatlan ρ ≡ ρ0 =áll. térben és időben, mely esetben a kontinuitás
ρt + ∇ρv = ρ0 ∇v = 0.
(24.3)
A sebességtér divergenciamentes! A NS-egyenlet v t + (v ∇)v =
∇p f − + ν ∆v, ρ0 ρ0
ahol ν = η/ρ0 a kinematikai viszkotitás (ν ′ = η ′ /ρ0 nem jelenik meg). 4 egyenlet v, p-re. Noha p = p(ρ), p nem állandó! A p úgy "‘áll be"’, hogy teljesüljenek az egyenletek. 329
(24.4)
24.3. Ideális, összenyomhatatlan v t + (v ∇)v =
∇p f − , ρ0 ρ0
(24.5) (24.6)
∇ v = 0.
25. Bernoulli-egyenlet ideális folyadékban 25.1. Stacionáris áramlás (v t = 0) konzervatív erőtérben: (25.1)
f = −ρ∇V. A (v ∇)v tagot v-vel balról skalárisan szorozva (az összegzési konvenciót használjuk) 1 vj (v∇)vj = v∇vj2 . 2
(25.2)
Az Euler-egyenlet stacionárius áramlásra (v∇)v = −∇V − 330
∇p , ρ
(25.3)
melyet ugyanígy szorozva nyerjük
∇p v2 = 0. v ∇ + ∇V + 2 ρ
(25.4)
25.2. Összenyomhatatlan folyadék Ha ρ = ρ0 = áll. akkor a (25.4)-beli utolsó, „nyomás” tag is gradiens, ezért 2 p v = 0. +V + v∇ 2 ρ0
(25.5)
Valamely n egységvektor mellett n∇ ezen vektor irányába vett derivált. Az áramvonalat úgy definiáltuk, hogy minden pontjában a sebesség érintse, tehát v∇ éppen az áramvonal mentén számított deriválttal arányos, s ha ez zérus, akkor az a függvény, amelyre hat, az áramvonal mentén állandó. Innen kapjuk a Ψ(r) =
v2 p +V + = áll. 2 ρ0
(25.6)
Bernoulli-egyenletet. A nyomás a ρ0 V potenciális energiasűrűség taghoz adódik, felfoghatjuk úgy, mint a felületi erők energiasűrűségét. A fenti egyenlet felületeket definiál, tehát ugyanazon áll. érték végtelen sok különböző áramvonal mentén előállhat.
331
25.3. Nyomási függvény Olyan P (r, t) függvényt keresünk, melyre a „nyomás tag” nemcsak összenyomhatatlan folyadékra gradiens, azaz dP =
dp . ρ
(25.7)
Ha ρ(p) egyértelmű (barotróp közeg), akkor P = és
p(r,t) w
dp′ , ρ(p′ )
∇p = ∇P. ρ Mikor létezik P (p)? Például ha → Ideális folyadék: adiabatikus állapotegyenlet p = ps (ρ) vagy ρ = ρs (p) → Egyensúlyban levő folyadék: izotermikus p = pT (ρ) → Összenyomhatatlan: P (p) = p/ρ0 .
332
(25.8)
(25.9)
25.4. Bernoulli-törvény barotróp folyadékban Stacionárius áramlásra ideális, barotróp folyadékban, konzervatív tömegerők jelenlétében 2 v v∇ + V + P = 0. 2
(25.10)
A sebesség irányában vett derivált eltűnik, tehát az áramvonal mentén Ψ(r) =
v2 + V + P = áll. 2
(25.11)
Következésképpen az áramvonal két pontja között fennáll wp2 dp 1 2 2 (v − v1 ) = V1 − V2 − . 2 2 ρ(p) p
(25.12)
1
Mivel V1 − V2 a térfogati erő munkája és − munkatétel ideális folyadékra érvényes alakja.
rp2
p1
dp ρ(p)
a felületi erő munkája a tömegelemen, a Bernoulli-törvény a
333
25.5. Mikor tekinthető összenyomhatatlannak egy áramlás? Kis sűrűségváltozás esetén
∂ρ ρ(p) ≈ ρ0 + (p − p0 ). ∂p p0
Ideális folyadékban az állandó entrópia mellett számított κs adiabatikus kompresszibilitás jelölésével 1 1 ∂ρ = ρ′s (p0 ) ; ρ(p) ≈ ρ0 + ρ0 κs (p − p0 ). κs = ρ0 ∂p S=áll ρ0
(25.13)
(25.14)
Tehát akkor lesz ρ közel állandó, ha
κs |p − p0 | ≪ 1.
(25.15)
A külső erőt elhanyagolva válasszuk meg p0 -t úgy, hogy ahhoz v = 0 tartozzon. Vezető rendben a Bernoullitörvény szerint p − p0 v2 P (p) ≈ ≈ . (25.16) ρ0 2 A kis sűrűségváltozás, vagyis az összenyomhatatlanság feltétele ezért v 2 ρ0 κs ≪ 1.
334
(25.17)
25.1. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, a rugalmasságtanban a dilatációs p hogy λ = 1/κs , ahonnan összhangban √ hullámra µ = 0 mellett kapott c = λ/ρ kifejezéssel, a hangsebesség c = 1/ ρ0 κs ,. [4] Az összenyomhatatlanság feltétele tehát v ≪ c, vagy v = Ma ≪ 1, c
(25.18)
ahol Ma a Mach-szám. A hangsebességnél sokkal lassabban áramló közeg tehát összenyomhatatlannak tekinthető. A légkörben c ≈ 330 ms , ezért a meteorológia szempontjából közelítőleg összenyomhatatlan.
26. Örvényesség, cirkuláció 26.1. Örvényvektor Definíciója melynek értelmezése lokális szögsebesség.
ω = 1/2 ∇ × v,
26.1. Gyakorló feladat. Ha v = ω0 × r térben állandó ω0 mellett, akkor ez éppen az örvényesség. [2]. 335
(26.1)
Cirkuláció: Adott C görbére Γ=
z
C
vdr = 2
w
ωdA.
(26.2)
A
Örvénymentes áramlás: ω = 0. Ponttá húzható görbére: Γ = 0. Egymásba folytonosan átvihető görbékre Γ ugyanaz. Akadályt n-szer körbevevő görbékre Γn = nΓ1 (n: topologikus szám). 26.2. Örvényvonal, ∼cső és ∼fonal Mivel az örvénytér divergenciamentes ∇ω = 0, azért folytonos vonalakkal reprezentálható, melyek sűrűsége arányos |ω|-val ; örvényvonalak.
(26.3)
→ Helmholtz I. Szomszédos örvényvonalak örvénycsövet alkotnak, amely körül a cirkuláció a cső mentén állandó w Γ = ωdA = állandó (26.4)
→ Örvényfonal ∼ kis keresztmetszet Γ = ω∆A = ω∆A = állandó → Helmholtz II. Nem bizonyítjuk: örvényfonal mindig ugyanazokból a részecskékből áll. 336
(26.5)
26.3. Thomson (Kelvin) örvénytétele A cirkuláció változása ugyanazon részecskékből álló hurokra z z q q q Γ = v dr + v dr. A második tag
z
z
z q q 1z 2 dv = 0 ; Γ = v dr. 2 A (23.10) NS-egyenlet konzervatív térben, ha létezik nyomási függvény v dr =
v= q
q
v dv =
dv = −∇V − ∇P + (ν + ν ′ )∇(∇v) + ν △ v. dt
(26.6)
(26.7)
(26.8)
q
Ezt beírva Γ képletébe a gradiensek körintegrálja eltűnik, s marad z q Γ = ν △v dr.
(26.9)
Tehát a cirkulációt a nyírási viszkozitás generálja! Ha ideális folyadék kezdeti állapotában cirkulációmentes, akkor az is marad.
337
27. Síkbeli áramlások - örvénymentes, összenyomhatatlan, stacionárius 27.1. z-től független ∼ síkmetszet
A Φ a sebességpotenciál.
∇ × v = 0 ; v = ∇Φ =
0 ∇v = 0 ; v = ∇ × A = ∇ × 0 Ψ
; v=
Ψy −Ψx
Φx Φy
; Φx = Ψy , Φy = −Ψx
(27.1)
(27.2)
; △Φ = Ψyx − Ψxy = 0, △Ψ = −Φyx + Φxy = 0
(27.3)
∇Φ · ∇Ψ = Φx Ψx + Φy Ψy = −Φx Φy + Φy Φx = 0
(27.4)
Mindkét függvény eleget tesz a Laplace-egyenletnek, és szintvonalaik egymásra ortogonális görbeseregek. A Ψ =áll. vonalakat a v = ∇Φ érinti, ezért azok áramvonalak. A Ψ neve: áramlási függvény.
338
27.2. Komplex függvények w = f (z) = Φ(x, y) + iΨ(x, y).
(27.5)
(Egyelőre nem azonosak a fenti Φ,Ψ függvényekkel.) Az f (z) differenciálható (holomorf) df = f ′ (z)dz = f ′ (z)(dx + idy) = Φx dx + Φy dy + iΨx dx + iΨy dy ; f ′ (z) = Φx + iΨx = Ψy − iΦy
Ezek a Cauchy–Riemann-relációk. Az f (x, y) csak x + iy-tól függ, z ∗ = x − iy-tól nem! Itt is fennállnak △Φ = 0, △ψ = 0, ∇Φ · ∇Ψ = 0
(27.6) (27.7)
(27.8)
Tehát egy differenciálható komplex függvény valós és képzetes része megfelel a sebességpotenciálnak ill. áramlási függvénynek, vagy fordítva. Jelen konvenciónk, hogy a valós rész a potenciál. 27.3. Komplex sebesség A vektorokat „komplexifikálhatjuk” a ∼ a = a1 + ia2 .
339
(27.9)
Tehát a helyvektor és a sebesség r ∼ z = x + iy, v ∼ v = v1 + iv2 = Φx + iΦy = Φx − iΨx = f ′ (z)∗ .
(27.10) (27.11)
O(α)a ∼ eiα z.
(27.12)
Az α szöggel való forgatás
27.4. Példák Adott perem esetén ez áramvonal, tehát olyan f (z) keresendő, amelynek képzetes része a perem mentén állandó! 27.4.1. Példa. Homogén áramlás f (z) = z;
f ′ (z) = 1 = vx − ivy = vx Ψ = y;
Φ=x
Áramlás az x tengellyel párhuzamosan egységnyi sebességgel. 27.1. Gyakorló feladat. Adjuk meg f (z) = C · z sebességterét és az áramvonalakat. [2] 340
(27.13) (27.14)
27.4.2. Példa. Derékszögű sarok f (z) =
A 2 A 2 z = (x − y 2 + i2xy) = Φ + iΨ 2 2
(27.15)
Ψ =áll. hiperbolák ∼ áramvonalak Φ =áll. hiperbolák ∼ ekvipotenciálisak v = f ′∗ (z) = Az ∗ = A(x − iy)
(27.16)
Az xy =áll. hiperbola perem mellett is megoldás. 27.4.3. Példa. Általános szögű sarok Keresünk olyan komplex függvényt, amelynek képzetes része az α szögű sarok határain eltűnik. Ilyen a f (z) = Az π/α = Aρπ/α eiπϕ/α ; Ψ = Aρπ/α sin(πϕ/α)
(27.17)
27.2. Gyakorló feladat. Sebességtér? [2] 27.4.4. Példa. Homogén örvény f (z) = −iA ln z = −iA(ln r + iϕ) 341
(27.18)
Φ = Aϕ (többértékű)
Ψ = −A ln r;
iA v=− z
∗
=
iA iϕ iA = e ∗ z ρ v=
27.3. Gyakorló feladat. f (z) = A ln z; A/z;
π szöggel forgatott 2
∼
A eϕ ρ
(27.19) (27.20) (27.21)
A valós. [2-2]
27.5. Cirkuláció Γ=
z
v dr =
z
∇Φ dr =
Áramvonal mentén Ha az áramvonal önmagába záródik
u
z
dΦ
;
nemzérus, ha többértékű a Φ.
dΨ = ∇Ψ · dr = 0
dΨ = 0 ; Ψ egyértékű, innen z z z Γ = Re df = df = f ′ (z) dz.
(27.22) (27.23)
(27.24)
(A Γ független a görbéktől, ha azok egymásba vihetők. A kontúr irányítottsága az óramutató járásával ellenkező.) 342
27.5.1. Példa. Homogén örvény Γ=
z
dΦ = 2π · A ; f (z) = −
iΓ ln z. 2π
(27.25)
Minden, az origót magába foglaló kontúrra Γ a cirkuláció. 27.5.2. Példa. Örvénypár
iΓ z + a ln . 2π z − a Ilyenek evezőpár nyomán keletkező örvények együttmozgó rendszerből. f (z) = −
27.4. Gyakorló feladat. Sebességtér? [2]
343
(27.26)
Boldog karácsonyt és sikerekben gazdag új évet!
344
