Elliptikus eloszlások, kopuláik. 7. előadás, március 25. Elliptikusság tesztelése. Arkhimédeszi kopulák

Elliptikus eloszlások, kopuláik

˝ 7. eloadás, 2015. március 25.

Sur ˝ uségfüggvényük ˝ kontúrjai ellipszisek Példa: Gauss, t

Zempléni András

Azonos típusú elliptikus eloszlások konvolúciója ismét ugyanolyan típusú elliptikus eloszlás

Valószínuségelméleti ˝ és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem

Az elliptikus kopulákra teljesül a radiális szimmetria: C(u, v ) = u + v − 1 + C(1 − u, 1 − v ) Éppen ez az, ami tipikusan nem áll fenn a portfóliók hozamára (a kiugró veszteségek tipikusan nagyobbak a kiugró nyereségeknél)

˝ Áringadozások eloadás

Zempléni András (ELTE)



1/1

Elliptikusság tesztelése




2/1

Arkhimédeszi kopulák

A kopula generátor függvénnyel adhatók meg: ˝ ϕ(u) : [0, 1] → [0, ∞], folytonos és szigorúan monoton csökkeno, φ(1) = 0. Standardizálás után gömbszimmetrikus kell, hogy legyen az eredmény

˝ a d-dimenziós Arkhimédeszi kopula Ebbol

R = ||Y || és S = Y /||Y || függetlenek, S egyenletes eloszlású Például

χ2

Cϕ (u) = φ−1

próba alkalmazható

X d

ϕ(ui ) .

i=1

Egyszeru˝ a konstrukciójuk, de van hátrányuk is: csak egy (vagy néhány) paraméterük van. Az összes s < d dimenziós peremeloszlásuk azonos




3/1




4/1

Példák

Tulajdonságok

A Gumbel kopula (logisztikus modell) generátora: ϕθ (u) = [−ln(u)]θ , ahol θ ∈ [1, +∞). Tehát a d-dimenziós Gumbel-kopula CGumbel (u) = e−(

1

Pd

i=1

− log(ui )θ ) θ

.

Egy C kopula extrém-érték kopula, ha i C(u1t , ..., udt ) = Ct (u1 , ..., ud ) minden t > 0. Ez megfelel a többdimenziós extrém-érték eloszlásoknak. Ezek közül a Gumbel kopula az egyetlen Arkhimédeszi kopula.

Az azonosításhoz nagy mintaelemszám szükséges (különösen 2-nél magasabb dimenzióban) ˝ összefüggoségnél ˝ Nagyon gyenge és nagyon eros nem lényeges a kopula típusa

A Clayton kopula generátora ϕθ (u) = u −θ − 1, ahol θ > 0. Tehát a d-dimenziós Clayton kopula: CClayton (u) =

X d

− 1 θ ui−θ − d + 1 .

i=1 ˝ 7. eloadás, 2015. március 25.



5/1

0.8

Ct (u, v ) = P(U < Ft−1 (u), V < Ft−1 (v )|U < t, V < t)

0.4 0.0 0.6

0.8

1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

u

Gaussian copula

Student−t copula

ahol Ft (u) := P(U < u|U < t, V < t) a feltételes eloszlásfüggvény

1.0

A határeloszlás differenciálható generátorú Arkhimédeszi kopulákra:  ϕ ∈ R0  xy , CClayton,α (u, v ), ϕ ∈ Rα lim Ct (u, v ) =  t↓0 min(x, y ) ϕ ∈ R∞

v 0.4

0.4

v

0.8

0.8

u

0.0

0.0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0

0.2

u


6/1

Kopulákra:

v

v 0.4 0.0

0.4


Clayton copula (Flipped)

0.8

Gumbel copula

0.2


˝ Extremális összefüggoség

Kopulák összehasonlítása

0.0


0.4

0.6

0.8

1.0

u



7/1




8/1

˝ Kopulák összefüggoségi indexei

˝ Kopulák összefüggoségi indexei Lineáris korreláció: R(X , Y ) =

E(X −EX )(Y −EY ) D(X )D(Y )

hátrányai: érzékeny a kiugró értékekre változik, ha transzformáljuk a marginálisokat

χ = lim P{X2 > F2−1 (u)|X1 > F1−1 (u)}, u→1

Alternatívák: Kendall-τ : h i h i ˜ )(Y − Y ˜ ) > 0 − P (X − X ˜ )(Y − Y ˜) < 0 . τ (X , Y ) = P (X − X

Kvantilisfüggo˝ változat: log P{X1 > F1−1 (u), X2 > F2−1 (u)}

χ(u) = 2 −

log P{X1 > F1−1 (u)}

! , 0 ≤ u ≤ 1.

Spearman-ρ: h i h i ˜ )(Y − Y 0 ) > 0 − P (X − X ˜ )(Y − Y 0 ) < 0 . ρ(X , Y ) = 3 P (X − X ˜,Y ˜ ), (X 0 , Y 0 ) független, azonos eloszlásúak. ahol (X , Y ), (X




9/1

Tulajdonságok



10 / 1

További tulajdonságok

Ezek úgynevezett rangkorrelációk (csak az értékek sorrendje érdekes)

Mindketto˝ invariáns a monoton transzformációkra. Legyen κ = ρ vagy κ = τ . Ekkor

Nem érzékenyek a kiugró értékekre

−1 ≤ κ ≤ 1; κX ,X = 1, κX ,−X = −1. Ha X és Y független, akkor κX ,Y = 0. κX ,−Y =κ−X ,Y =-κX ,Y .

Kiszámításuk a kopulával 1Z 1

Z

C(u, v )dC(u, v ) − 1

τ (X , Y ) = 4 0

Z

˝ ˝ Az egyes kopulákra adódó összefüggoségi méroszámok függnek ˝ így becslésükbol ˝ egyúttal a kopula becslése is a paramétertol, megkapható. Például a Gumbel kopulára τ = 1 − 1/β.

0 1Z 1

[C(u, v ) − uv ] dudv .

ρ(X , Y ) = 12 0



0



11 / 1




12 / 1

Alkalmazások

Illeszkedésvizsgálat A számításigény csökkentéséhez a dimenziószámot is csökkenteni kell. A K -függvény:

A Gauss kopulára a páronkénti korrelációkra Rij = sin πτ (Xi , Xj )/2 )

K (ϑ, t) = P(F (X < t) = P (Cϑ (F1 (X1 ), . . . , Fd (Xd )) < t)

Lényeges a választás a különbözo˝ kopula-típusok között (pl. a ˝ farok-összefüggoség segítségével, illetve elméleti meggondolások alapján).

K (ϑ, t) = t +

Tapasztalati tény, hogy pl. a pénzügyi portfólióknál gyakran ˝ minden egyes elem extrém értéku˝ (tozsdekrach) azaz itt ˝ várhatóan fellép a farok-összefüggoség.



d−1 X i=1

i (−1)j h ϕϑ (t)j fi (ϑ, t) i!

ahol

˝ nagyon nagy különbségek adódhatnak a A különbözo˝ modellekbol valószínuségbecslésre. ˝


Arkhimédeszi kopulákra a kiszámítása

13 / 1

A K függvényen alapuló teszt

d ϕϑ (x)|x=ϕϑ (t) . dx Ha nincs zárt alakja, szimulálni akkor is lehet f (ϑ, t) =




14 / 1

A teszt

Empirikus verzió: n

Kn (t) =

1X χ(En < t) t ∈ [0, 1] n i=1

ahol

Formális tesztet is kaphatunk az Sn statisztikából (ha nagy, elutasítjuk az illeszkedést).

n

Az aszimptotikus eloszlását csak ismert kopula esetén lehet kiszámítani.

1X χ Uj,1 < Ui,1 , . . . , Uj,d < Ui,d n i=1 √ Kendall folyamat κn (t) = n (K (ϑn , t) − Kn (t)) . En =

Azokban a realisztikus esetekben, ahol C-t becsüljük, szimulációval kaphatjuk meg a kritikus értékeket

Cramér-von Mises típusú statisztika: Z Sn =

1

(κn (t))2 Φ(t)dt

0

ahol Φ a súlyfüggvény Zempléni András (ELTE)



15 / 1




16 / 1

Kopulák összehasonlítása

Rosenblatt-transzformáció

Egy másik módszer: Breyman-teszt (Breymann et al, Berg & Bakken) a Rosenblatt transzformáción alapul R : (0, 1)d × (0, 1)d R(u) = (e1 , ..., ed ), ahol e1 = u1 és i ≥ 2-re ei =

∂ i−1 C(u1 , ..., ui , 1, 1, ...1) ∂ i−1 C(u1 , ..., ui−1 , 1, 1, ...1) / . ∂u1 ...∂ui−1 ∂u1 ...∂ui−1

Tulajdonsága: U eloszlása pontosan akkor a C kopula, ha R(U) a független kopula.




17 / 1

Breymann-teszt: függetlenségvizsgálat


18 / 1

Berg, D. (2009) Copula Goodness-of-fit testing: An overview and power comparison.

Ha ezt a saját eloszlásfüggvényébe helyettesítjük, egyenletes eloszlást kapunk. Ezt tesztelhetjük például az Anderson-Darling próbával.

Berg, D. and Bakken, H. (2006) Copula Goodness-of-fit Tests: A Comparative Study.

Berg és Bakken továbbfejlesztette a módszert, konzisztenssé téve azt.



Hivatkozások

P YB = di=1 Φ−1 (Ei )2 éppen chi-négyzet eloszlású, d szabadságfokkal.




19 / 1

Nelsen, R.B. (2006) An Introduction to Copulas. 2nd ed. John Wiley & Sons.




20 / 1

Elliptikus eloszlások, kopuláik. 7. előadás, március 25. Elliptikusság tesztelése. Arkhimédeszi kopulák

Recommend Documents