Héj / lemez hajlítási elméletek, felületi feszültségek / élerők és élnyomatékok Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Jegyezze meg a héj és a lemez definícióját! Tanulja meg a szuperpozíció elvét és a membrán állapot jellemzőit! Héj:
- Olyan test, amelynek egyik mérete a másik két méretéhez képest kicsi. A legkisebb méret elnevezése: vastagság. - Értelmezhető középfelület, amely nem sík, hanem görbült felület. A középfelületet a vastagsági méret felezéspontjai alkotják. - A héj terhelése tetszőleges (középfelülettel párhuzamos és arra merőleges) erőrendszer lehet. Lemez: - Olyan test, amelynek legkisebb (vastagsági) mérete lényegesen (sokkal kisebb, mint a másik két jellemző mérete. - Értelmezhető középfelület, amely sík. - A lemez terhelése a középsíkra merőleges erőrendszer lehet. Szuperpozíció elv: - Tetszőlegesen terhelt héj feladatának megoldása: membrán állapot és héj hajlítási feladat szuperpozíciója. - Tetszőlegesen terhelt sík középfelületű héj feladatának megoldása: ÁSF és lemez hajlítási feladat szuperpozíciója. Általánosított síkfeszültségi állapot (ÁSF) A saját középsíkjában terhelt lemez (tárcsa) esete. A feszültségek a vastagság mentén nem változnak. eR
P0
eϑ
σϑ
σϑ
Nϑ
p0
p0
Nϑ
ϑ
Membrán állapot A héjban fellépő feszültségek a vastagság mentén nem változnak. Pl.: léggömb/belső nyomással terhelt gömbhéj. 6.1. Héj / lemez hajlítási elméletek Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Jegyezze meg a Kirchhoff - Love-féle héj/lemez elmélet feltételézését, a hipotézist és a geometriai jellemzőket! Rajzolja le a mechanikai modellt a szükséges jelölésekkel!
6.1.1. A Kirchhoff - Love-féle héj / lemez elmélet A Kirchhoff 1 (kirhhof)-Love 2 (lav)-féle héj/lemez elmélet nem veszi figyelembe a nyírási alakváltozást. Ezt az elméletet szokás vékony héjak/lemezek elméletének is nevezni. Hipotézis: hajlításnál a középfelület/középsík normálisai az alakváltozás után is normálisai lesznek az alakváltozott középfelületnek/középsíknak és a normálisokon levő pontok távolsága nem változik. A koordináta-rendszert a középfelülethez/középsíkhoz kötjük. A középfelülethez kötött mennyiségeket 0 indexszel különböztetjük meg. Pl.: P0 . z b P0 ( x, y, z = 0 )
P ( x, y , z )
y
O középsík
x
A geometriai hipotézis következménye: γ xz =γ yz =0 és ε z =0. Feszültségi hipotézis: σ z ≈ 0. Tevékenység: Írja fel/jegyezze meg az elmozdulásmezőt, az alakváltozási állapotot és a feszültségi állapotot jellemző összefüggéseket! A hajlításból származó szilárdságtani állapot lemezeknél: • Elmozdulásmező: u= ( x, y, z ) w0 ( x, y ) ez + ϕ0 × zez . w0 - a középsík z irányú elmozdulása (lehajlása). ∂w ∂w ϕ0 = ϕ x ex + ϕ y ey = 0 ex − 0 ey - a középsík normálisának szögelfordulása. ∂x ∂y u ( x, y , z ) = ϕ y zex − ϕ x zey + w0 ez .
•
Alakváltozási állapot:
εx 1 A = γ yx 2 0
1 2
1 γ xy 2 εy 0
0 0 . 0
Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) német fizikus. Augustus Edward Hough Love (1863-1940) angol fizikus.
∂2w ∂u ∂ϕ y εx = = z =− 20 z =κ x z , ∂x ∂x ∂x ∂ϕ ∂2w ∂v ε y = =− x z =− 20 z =κ y z , ∂x ∂y ∂y ∂ 2 w0 ∂u ∂v γ xy = + =−2 z =−2 κ xy z. ∂y ∂x ∂x∂y
κ x , κ y , κ xy - a középfelület/középsík görbületei (a középfelület/középsík alakváltozását
jellemzik). •
σx τ Feszültségi állapot: F = yx 0
τ xy σy 0
E1 ( κ x + νκ y ) z , σ= x , E z σ= κ + νκ y 1( y x) τ xy = − E1 (1 − ν ) κ xy z.
0 0 . 0
E = 1
E . 1 − ν2
Megjegyzések: - A w0 ( x, y ) lehajlásfüggvény ismeretében a test minden szilárdságtani jellemzője előállítható. - A potenciális energiában a w0 ( x, y ) mező második deriváltjai szerepelnek. Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Jegyezze meg a Reissner-Mindlin-féle héj/lemez elmélet feltételézését, a hipotézist és a geometriai jellemzőket! Rajzolja le a mechanikai modellt a szükséges jelölésekkel! 6.1.2. A Reissner-Mindlin-féle héj/lemez elmélet A Reissner 3 (rejszner) - Mindlin 4-féle héj/lemez elmélet figyelembe veszi a nyírási alakváltozást. Ezt az elméletet szokás vastag héjak/lemezek elméletének is nevezni. Hipotézis: hajlításnál a középfelület/középsík normálisai az alakváltozásnál egyenesek maradnak, de nem lesznek merőlegesek az alakváltozott középfelületre és a normálisokon levő pontok távolsága nem változik. A geometriai hipotézis következménye: ε z = 0, γ xz = állandó, γ yz = állandó a vastagság mentén.
Feszültségi hipotézis: σ z ≈ 0. A hajlításból és nyírásból származó szilárdságtani állapotok lemezeknél: z ϕx ϕ y y ϕy > 0
ϕx > 0
O
x
•
Elmozdulásmező: u ( x, y, z ) = ϕ y z ex − ϕ x z e y + w0 ez . u
v
ϕ x - a normális x tengely körüli szögelfordulása, 3 4
Eris Reissner (1913-1996) német származású amerikai matematikus, mérnök. Raymond David Mindlin (1906-1987) amerikai mérnök.
ϕ y - a normális y tengely körüli szögelfordulása.
A ϕ x és ϕ y szögelfordulás független a w0 ( x, y ) lehajlásmezőtől: = ϕx
∂w0 − ψx , ∂y
= ϕy
∂w0 − ψy. ∂x
ψ x az y és z tengelyek szögének megváltozása, ψ y az x és z tengelyek szögének megváltozása.
•
1 γ xy εx 2 1 Alakváltozási állapot: A = γ yx ε y 2 1 γ zx 1 γ zy 2 2 ∂ϕ y ∂u ∂v z =κ x z , ε x = =− εy = ∂x ∂x ∂x
1 γ xz 2 1 γ yz . 2 0 =−
∂ϕ x z =κ y z , ∂y
∂ϕ y ∂ϕ x ∂u ∂v γ xy = + = − + z =κ xy z , ∂y ∂x ∂x ∂y ∂v ∂w ∂u ∂w0 ∂w0 γ xz = + = − ϕ y = ψ y , γ yz = + 0 ∂z ∂x ∂x ∂z ∂y
•
σx τ Feszültségi állapot: F = yx 0
τ xy σy 0
0 0 . 0
σ= E1 ( κ x + νκ y ) z , x
σ= E1 ( κ y + νκ x ) z , y
τ xy = − E1 (1 − ν ) κ xy z ,
E1 =
τ xz = G γ xz ,
∂w0 − ϕx = ψ x . = ∂x
E . 1 − ν2
τ yz = G γ yz a vastagság mentén nem állandó.
Megjegyzés: - A test mechanikai jellemzőinek meghatározásához három független mezőt kell ismerni: w0 =( x, y ) ϕ x ( x, y ) ϕ y ( x, y ) .
- A potenciális energiában a w0 , ϕ x , ϕ y mezők első deriváltjainál magasabb deriváltak nem szerepelnek. Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Jegyezze meg a membrán állapot és a héj/lemezhajlítás kiindulási adatait, jellemzőit! 6.2. Felületi feszültségek / élerők és élnyomatékok Héj/lemez mechanikai modellje a középfelület/középsík. A mechanikai jellemzőket a középfelülethez/középsíkhoz kötjük. - Membrán állapot/ ÁSF Elmozdulásmező: u0 ( x, y ) , v0 ( x, y ) .
Alakváltozási jellemzők A vastagság mentén állandók. Feszültségek Felületi feszültségek (élerők): N x= ∫ σ x dz , N y= (t )
∫ σ dz,
(t )
y
N xy= N yx=
∫τ
(t )
xy
dz.
- Héj / lemez hajlítás Elmozdulásmező: w0 ( x, y ) , ϕ x ( x, y ) , ϕ x ( x, y ) . Alakváltozások, feszültségek: ε x , ε y , γ xy Lineáris eloszlásúak a vastagság mentén. σ x , σ y , τ xy
Tevékenység: Jegyezze meg a Kirchhoff - Love-féle és a Reissner-Mindlin-féle feszültségi jellemzőket! Kirchhoff - Love: γ xz = 0, γ yz = 0
⇒
τ xz = 0, τ yz = 0.
Egyensúlyi egyenletekből: τ xz , τ yz parabolikus (Ellentmondás!). = γ xz állandó, = γ yz állandó= , τ xz állandó,= τ yz állandó. Reissner - Mindlin: Egyensúlyi egyenletből
Reissner-Mindlin elméletből
z
z z
z z
τ zy
z P0
P0
τ zx
τ zy
τ zx
Tevékenység: Jegyezze meg a Kirchhoff - Love-féle és a Reissner-Mindlin-féle elméletek ellentmondásait, hiányosságait! A Kirchhoff - Love-féle héj/lemez elméletet szokás kiegészíteni az egyensúlyi egyenletekből származtatott nyírófeszültségekkel. Az így számított τ zx , τ zy nyírófeszültségek nincsenek összhangban a geometriai hipotézissel. A Reissner-Mindlin-féle héj/lemez elmélet szerint meghatározott τ zx , τ zy a z = ±
t helyen nem 2
elégíti ki a dinamikai peremfeltételeket. A két nyírási állapot energetikai egyenértékűségét a κ nyírási tényező bevezetésével lehet biztosítani. (Homogén, izotróp anyag esetén κ =5 / 6 .)
Felületi feszültségek/élerők (mindkét esetre): Qx= ∫ τ zx dz , Qy= ∫ τ zy dz. (t )
z
Qy
(t )
y
P0
A τ zx , τ zy általában kisebb, mint a többi feszültség koordináta.
Qx x
Tevékenység: Jegyezze meg a vékony héj és lemez feladatok domináns feszültségeit, a felületi feszültségpárokat! Rajzolja le a domináns feszültségeket bemutató ábrákat! Vékony héj és lemez feladatoknál általában a σ x , σ y , τ xy feszültségek a dominánsak. z
z z
z z P0
z
My
σy
τ yx
P0 Mx
τ xy x
σx
y
M xy
M yx
Felületi feszültségpárok/élnyomatékok: M x=
∫ σ zdz,
(t )
x
M y=
∫σ
(t )
y
zdz ,
M xy= M yx=
A maximális feszültségek lemezeknél/héjaknál általában a z = ± van hajlítás!).
∫τ
(t )
xy
zdz.
b felületeken lépnek fel (ha 2
