ELEMENTAIRE WISKUNDE (ingekorte versie van H1 en H2 + complete weergave H3 + voorbeeldtentamen)

ELEMENTAIRE WISKUNDE (ingekorte versie van H1 en H2 + complete weergave H3 + voorbeeldtentamen)

Hanzehogeschool Groningen Instituut voor Marketing Management

Voorwoord De auteur van deze syllabus is Frans Klamer (1950-2014). Frans Klamer heeft wiskunde gestudeerd aan de Rijksuniversiteit Groningen. Na zijn studie heeft hij achtereenvolgens wiskunde gedoceerd aan het Mathematisch Instituut van de Rijksuniversiteit Groningen (waar hij in 1979 is gepromoveerd), het Koninklijk Instituut voor de Marine en de Hanzehogeschool Groningen (vanaf 1981). Vanaf 2000 doceerde hij naast wiskunde (o.a. de zomercursus elementaire wiskunde) ook statistiek aan de Hanzehogeschool Groningen (bij het Instituut voor Marketing Management). De syllabus zoals die voor u ligt is in de zomer van 2015 ingekort in overleg met enkele collega’s van de vakgroep economie bij het Instituut voor IMM. Wij zijn Frans zeer erkentelijk voor de kunde, betrokkenheid en inzet.

Namens de collega’s rekenvaardigheden van het Instituut voor IMM, Dr. Anuschka S. Niemeijer

P.S. Wij wijzen studenten erop dat bij tentamens van de Hanzehogeschool Groningen maar 2 typen rekenmachines toegestaan zijn, namelijk de Texax Instuments-30 (TI-30) en alle varianten van de Casio fx-82 (bijv. Casio fx-82MS). Mocht een dergelijke machine nog aangeschaft moeten worden, neem dan niet een machine op zonnecellen aangezien in de verschillende tentamenlocaties niet altijd zonlicht ter beschikking staat.

2

1. Rekenvaardigheden Bij een economische opleiding krijgt men o.a. te maken met situaties waarin procentuele veranderingen en exponentiële groei een rol spelen. Als voorbeeld kunnen we denken aan het berekenen van het BTW-bedrag in de prijs van een artikel van 15 euro, als deze prijs inclusief 20% BTW is. Ook kunnen we kijken tot welk bedrag een storting van b.v. 350 euro op een spaarrekening (met een rente van 3% per jaar) na b.v. 5 jaar aangegroeid is. Om goed met deze onderwerpen te kunnen werken is het nodig om over een aantal rekenvaardigheden te beschikken. In dit hoofdstuk geven we een aantal rekenregels om getallen op te tellen, met elkaar te vermenigvuldigen en op elkaar te delen. Hoewel de rekenmachine in veel gevallen voor ons het rekenwerk uitvoert moeten we er goed op letten dat de bewerkingen in de juiste volgorde uitgevoerd worden. Ook is het goed als we vooraf bedenken dat een bepaalde uitkomst positief of negatief is. Rekenregels (In onderstaande rekenregels zijn a, b en c gegeven getallen. Het product van de getallen a en b schrijven we als ab. Het product van b.v. 2 en 3 schrijven we als 2⋅3 of als 2 ∗ 3 Verder geldt dat 1a = a) 1. a(b + c) = ab + ac Toelichting. We nemen een rechthoek waarvan de zijden lengten a en (b + c) hebben. De oppervlakte van deze rechthoek is gelijk aan a(b + c) We zien duidelijk dat de rechthoek bestaat uit twee delen; het ene deel met een oppervlakte van ab en het andere deel met een oppervlakte van ac. ⇒ a(b + c) = ab + ac a

Voorbeeld Voorbeeld Voorbeeld Voorbeeld

1. 2. 3. 4.

ab

ac

b

c

3⋅(4 + 5) = 3•4 + 3•5 (beide kanten zijn 27) 3⋅(x + 4) = 3x + 3⋅4 = 3x + 12 3⋅(106) = 3⋅(100 + 6) = 3•100 + 3•6 = 300 + 18 = 318 3⋅(1 euro en 6 cent) = 3⋅(1 euro) + 3⋅(6 cent) = 3 euro en 18 cent

3

Toepassing. Iemand stort 1000 euro op een spaarrekening (rente 3% per jaar). Na 1 jaar is deze storting aangegroeid tot 1030 euro. Omdat we ook gaan kijken (zie pagina 8) tot welk bedrag de storting van 1000 euro na b.v. 10 jaar aangegroeid is, gaan we deze 1030 op een andere manier schrijven. Er geldt dat de storting van 1000 euro na 1 jaar aangegroeid is tot: 3 3 3 1000 + •1000 = 1000•1 + 1000• = 1000•(1 + ) = 1000•(1,03) 100 100 100 We zien dat een groei met 3% overeenkomt met een vermenigvuldiging met (1,03). 3 3 (In het voorgaande hebben we gebruikt dat •1000 = 1000• ; zie regel 5). 100 100 We kunnen de “+” in rekenregel 1 vervangen door een “-“ en krijgen: 2. a(b - c) = ab - ac Voorbeeld 1. 5⋅(x - 6) = 5x - 5⋅6 = 5x - 30 Voorbeeld 2. 3⋅(96) = 3⋅(100 - 4) = 3•100 - 3•4 = 300 - 12 = 288 Voorbeeld 3. 3⋅(96 cent) = 3⋅(1 euro - 4 cent) = 3⋅(1 euro) -3⋅(4 cent) = 3 euro - 12 cent Toepassing. Een pc kostte een jaar geleden 1000 euro. De prijs ligt nu 5% lager. Dit betekent dat deze pc nu 950 euro kost. We kunnen ook schrijven dat deze pc nu kost: 1000 -

5 5 5 •1000 = 1000•1 - 1000• = 1000•(1 ) = 1000•(0,95) 100 100 100

Een afname met 5% komt dus overeen met een vermenigvuldiging met (0,95). 3. Negatieve getallen Een getal kan negatief zijn. Denk hierbij als voorbeeld aan de temperatuur die negatief kan zijn (-50 C), of aan het rood staan bij een bank (een schuld van 500 euro). Het tegengestelde van het getal a schrijven we als –a Zo is -3 het tegengestelde van 3 Er geldt dat -(-3) = 3, want -(-3) is het tegengestelde van -3, en dit is juist 3 Algemeen: -(-a) = a Verder geldt: a - b = a + (-b) en a - (-b) = a + b 4. -(a + b) = -a - b Voorbeeld. Iemand heeft 1500 euro op een bankrekening staan, en betaalt op een bepaald moment hiervan 450 euro aan huur en 150 euro aan gas + elektra. ⇒ In totaal vermindert zijn banksaldo nu met (450 + 150) euro. Dit komt neer op een vermindering met eerst 450 euro en vervolgens nog een vermindering met 150 euro. Zijn banksaldo wordt nu: 1500 - (450 + 150) = 900 euro Dit is ook gelijk aan (1500 - 450 – 150) euro 4

5. ab = ba Voorbeeld 1. 2⋅3 = 3⋅2 3 3 •1000 = 1000• Voorbeeld 2. 100 100 6. -(ab) = (-a)b = a(-b) Gevolg. Het product van een positief en een negatief getal is negatief. Voorbeeld 1. -(2⋅3) = (-2)⋅3 = 2⋅(-3) = -6 Voorbeeld 2. (-1)⋅a = -a (want (-1)⋅a = -(1a) = -a) Verder geldt dat (-a)(-b) = ab Gevolg. Het product van twee negatieve getallen is positief. Voorbeeld 3. (-2)⋅(-3) = 2⋅3 = 6 7. a(bc) = (ab)c Voorbeeld 1. 2⋅(3⋅4) = (2⋅3)⋅4 (beide termen zijn 24) Voorbeeld 2. 2⋅(3x) = (2⋅3)x = 6x 1 (hierin is b ≠ 0) b 1 1 Het omgekeerde van b heeft de eigenschap dat b ∗ = 1 b b 1 1 Zo is het omgekeerde van 3. Er geldt dat 3 ∗ = 1 3 3

8. Het omgekeerde van b schrijven we als

1 1  1 is het omgekeerde van -3 (want  −  ∗ (-3) = ∗ 3 = 1). 3 3  3 1 1 Hieruit volgt dat - = 3 -3

-

Breuken: we noemen Er geldt dat

a een breuk (met teller a en noemer b ≠ 0) b

a 1 = a∗ b b

(In woorden: delen door b is vermenigvuldigen met het omgekeerde

1 b

Voorbeeld. Als 100 euro over 5 personen wordt verdeeld ontvangt ieder 100 1 = 20 euro. Dit is juist deel van 100 euro) 5 5 2 1 Voorbeeld 1. = 2∗ 3 3 -1 1 1 Voorbeeld 2. = (-1) ∗ = 3 3 3

Voorbeeld 2 en de vierde regel van punt 8 geven: 5

1 -1 1 = = 3 3 -3

-a a a = = b b -b -a a = Verder geldt dat -b b 2 -2 Voorbeeld. = -3 3

Algemeen geldt: -

Opmerking. Het omgekeerde van

a b 1 is b, en het omgekeerde van is b b a

9. Vermenigvuldigen van breuken: Voorbeeld 1.

ac a c = ∗ bd b d

2∗4 2 4 8 = = (op de volgende pagina laten we meetkundig ∗ 3 5 3∗5 15

zien dat dit zo is) 4 ∗1 4 1 4 1 = ∗ = = 5 1 5 1∗5 5 a b a b a = (want = ∗ ∗ b d d b d 2 3 2 = ∗ 3 5 5 4 1 1 4 ∗ = 1 (want 4 ∗ = ∗ 1 4 4 1 4 =2 ∗4 = 2 2 2 -3 2 2 3 = - ∗  = ∗ 3 5 5 3 5

Voorbeeld 2. 4 ∗ Voorbeeld 3. Voorbeeld 4. Voorbeeld 5. Voorbeeld 6. Voorbeeld 7.

∗

b a a = ∗1 = ) b d d

1 1 = = 1) 1 4

-3 2 2 3 =  ∗  = 5 5 3 5

Voorbeeld. 8.

-2 3

Voorbeeld 9.

2    3  = 2 ∗ 5 = 2 ∗ 5 = 10 12 3 4 3∗4 4   5

∗

a ab ab = = bd db d

In voorbeeld 9 hebben we gebruikt dat delen door vermenigvuldigen met

4 overeenkomt met het 5

5 4 (= het omgekeerde van ). 4 5

6

We laten meetkundig zien dat geldt

2 4 8 = (vergelijk voorbeeld 1) ∗ 3 5 15

Dit doen we als volgt: 2 4 2 is de oppervlakte van een rechthoek waarvan de zijden lengten ∗ 3 5 3 4 respectievelijk hebben. 5

We nemen nu allereerst een vierkant waarvan de zijden lengte 1 hebben, zodat haar oppervlakte gelijk is aan 1. De linker zijde van het vierkant delen we op in 3 stukken, elk met een lengte van

1 . Door de bijbehorende deelpunten nemen we horizontale lijnen zoals 3

onderstaande figuur laat zien. De boven zijde van het vierkant delen we op in 5 stukken, elk met een lengte van

1 . Door de bijbehorende deelpunten nemen we 5

verticale lijnen. Door deze lijnen wordt het vierkant opgedeeld in 15 rechthoeken, die alle dezelfde oppervlakte hebben.

De grijs gekleurde figuur is een rechthoek waarvan de zijden lengten respectievelijk

2 3

4 hebben. Zij bestaat uit 8 van de in totaal 15 rechthoeken 5

waaruit het vierkant (met zijden van lengte 1) is opgebouwd. Haar oppervlakte is dus

8 van de oppervlakte van het vierkant. 15

Daar de oppervlakte van het vierkant 1 is, is de oppervlakte van de grijs 8 Daar de oppervlakte van de grijs gekleurde 15 8 2 4 2 4 rechthoek ook gelijk aan ∗ volgt dat ∗ = 3 5 3 5 15

gekleurde rechthoek gelijk aan

7

10. Vereenvoudigen van breuken:

ad a = bd b

Breuken kunnen vereenvoudigd worden door teller en noemer te delen door een gemeenschappelijke factor. (Vergelijk voorbeeld 3 bij punt 9). Voorbeeld 1. Voorbeeld 2.

20 4 ∗5 4 = = 25 5∗5 5 2 18 2∗9 = = 27 3∗ 9 3

a+b a b + = c c c a−b b a Aftrekken van breuken: = c c c

11. Optellen van breuken:

Bovenstaande formules gelden als de breuken dezelfde noemer hebben (we zeggen in dat geval dat de breuken gelijknamig zijn). Als de breuken niet gelijknamig zijn maken we ze eerst gelijknamig (zie het derde voorbeeld). Voorbeeld 1. Voorbeeld 2.

1+2 3 1 2 + = = 4 4 4 4 2 −1 1 2 1 = = 4 4 4 4

In het volgende voorbeeld laten we zien hoe we ongelijknamige breuken optellen door ze eerst gelijknamig te maken. 1 3 2 1 1∗3 1∗2 + = + = + 2 6 6 3 2∗3 3∗2 1 Opmerking. In bovenstaande zien we dat + 2 4 Opmerking. Een uitdrukking als 6 betekent 5

Voorbeeld 3.

3+2 5 = 6 6 1+1 1 ≠ 2+3 3 34 4 6+ (= ) 5 5

=

Voor bewerkingen met de rekenmachine werken we in dit voorbeeld met 6,8 (een decimale breuk). N.B. 6

24 4 4 moet dus niet verward worden met 6 ∗ (= ) 5 5 5

8

Het gebruik van de rekenmachine Als we getallen als 6

4 3 en 8 moeten optellen of vermenigvuldigen gebruiken we 5 4

de rekenmachine. In dit geval schrijven we de getallen eerst als decimale breuk. (Dit zijn breuken van de vorm

6 5 18 , , ,……. 10 100 1000

Men schrijft deze breuken als

0,6; 0,05; 0,018;……..) In de voorbeelden bij de voorgaande rekenregels hebben we de rekenmachine niet gebruikt. De gegeven berekeningen konden prima zonder de rekenmachine uitgevoerd worden. Hierdoor is duidelijk geworden wat een bewerking inhoudt en dat een antwoord soms voorzien is van een “- teken”. We gaan nu een paar bewerkingen uitvoeren met behulp van de rekenmachine. 4 3 = 6,8 ∗ 8,75 = 59,5 ∗8 5 4 4 3 6 + 8 = 6,8 + 8,75 = 15,55 5 4 4 3 6 - 8 = 6,8 - 8,75 = -1,95 5 4

Voorbeeld 1. 6 Voorbeeld 2. Voorbeeld 3.

9

12. Machtsverheffen We gaan uit van de storting van 1000 euro op een spaarrekening (rente 3% per jaar), en gaan kijken hoe deze storting in de loop van de tijd groeit. We hebben al gezien (pagina 2) dat deze storting na 1 jaar aangegroeid is tot K(1) = 1000•(1,03) [K(1) = kapitaal na 1 jaar] 2 jaar na storting is het bedrag van 1000 euro aangegroeid tot K(2) = 1000•(1,03)•(1,03) = 1000•(1,03)2 Om te kunnen zeggen tot welk bedrag de storting van 1000 euro na n jaar aangegroeid is moeten we iets weten van machtsverheffen (zie ook hoofdstuk 5). Machtsverheffen: als a een willekeurig getal is en n één van de getallen 1, 2, 3,…….. definiëren we an als: an = a••••••••a (het n-voudig product van a met zich zelf). (we spreken bij de uitdrukking an van a tot de macht n). Voorbeelden: 23 = 8 24 = 16 (-2)4 = 16 (-2)3 = -8 Afhankelijk van de rekenmachine vinden we machtsverheffen onder de knop xy of yx of ∧ Eigenschap. (a ∗ b)n = an ∗ bn Voorbeeld. (2 ∗ 3)2 = 22 ∗ 32 Opmerking. -24 betekent: -(24) = -16 3 ∗ 24 betekent: 3 ∗ (24) = 3 ∗ 16 = 48 Bedenk dat (3 ∗ 2)4 = 64 = 1296 Opmerking. a2 wordt het kwadraat van a genoemd. We spreken van het kwadrateren van a. Toepassing: Stort iemand 1000 euro op een spaarrekening (rente 3% per jaar) dan zal dit bedrag na n jaar aangegroeid zijn tot K(n) = 1000•(1,03)n Opgave 1. Bereken 2•32; -2•32; (2•3)2; (-2•3)2 en -(2•3)2 Opgave 2. Iemand stort 1000 euro op een spaarrekening (rente 3% per jaar). Tot welk bedrag is deze storting na 10 jaar aangegroeid? Opgave 3. Iemand stort 500 euro op een spaarrekening (rente 3,4% per jaar). Tot welk bedrag is deze storting na 8 jaar aangegroeid?

10

13. Worteltrekken We beginnen met de volgende opgave. Opgave. Iemand stort 500 euro op een spaarrekening met een rente van p% per jaar. Bepaal p als geldt dat deze storting na 2 jaar aangegroeid is tot 536,65 euro. Oplossing. Volgens het voorgaande geldt dat de storting van 500 euro na 2 jaar aangegroeid is tot 500•(1 + volgt dat 500•(1 +

p 2 ) Aangezien gegeven is dat dit gelijk is aan 536,65 100

p 2 ) = 536,65 100

Als we links en rechts delen door 500 krijgen we dat (1 +

p 2 536,65 ) = = 1,0733 100 500

Om p op te lossen uit deze vergelijking moeten we gebruik maken van worteltrekken (zie verder voorbeeld 2). Als a een niet negatief getal is verstaan we onder de wortel uit a (genoteerd met a ) het getal b ≥ 0 waarvoor geldt dat b2 = a (dus Voorbeelden. 1 = 1, want 12 = 1 4 = 2, want 22 = 4

( a )2 = a)

9 = 3, want 32 = 9 0 =0 100 = 10 1 1 = 4

2

− 1 bestaat niet, want als − 1 = b volgt dat b2 = -1, en dit kan niet (want b2 ≥ 0; zie ook punt 6) Algemeen: a bestaat alleen als a ≥ 0 Eigenschap. De oplossing van de vergelijking x2 = a is x = ± a als a ≥ 0 De vergelijking x2 = a heeft geen oplossing als a < o

Voorbeeld 1. De vergelijking x2 = 4 heeft tot oplossing x = 2 en x = -2, maar 4 is alleen het niet negatieve deel van deze oplossing: 4 = 2 Voorbeeld 2. De oplossing van de vergelijking (1 +

p 2 ) = 1,0733 is 100

p p ) = ± 1,0733 = ± 1,036. Omdat (1 + ) ≥ 0 is volgt dat 100 100 p ) = 1,036 Als we in deze vergelijking er links en rechts 1 aftrekken krijgen (1 + 100 p p we: (1 + ) - 1 = 1,036 - 1 ⇒ = 0,036 Als we in deze vergelijking links en 100 100

(1 +

rechts vermenigvuldigen met 100 krijgen we p = 100 ∗ 0,036 = 3,6 (= 3,6%) 11

14. Volgorde van bewerkingen Bij het uitvoeren van een berekening moeten eerst uitdrukkingen die tussen haakjes staan berekend worden. Vervolgens moeten machten en wortels berekend worden. Tenslotte moet de berekening uitgevoerd worden van links naar rechts waarbij vermenigvuldigen en delen gaan voor optellen en aftrekken. Voorbeeld 1. Voorbeeld 2. (eerst het getal Voorbeeld 3. Voorbeeld 4. Voorbeeld 5.

2 + 3 ∗ 4 = 2 + 12 = 14 (eerst vermenigvuldigen, dan optellen) (2 + 3) ∗ 4 = 5 ∗ 4 = 20 tussen haakjes uitrekenen, dan vermenigvuldigen) 2 + 3 ∗ (-4) = 2 - 3 ∗ 4 = 2 - 12 = -10 2 ∗ (3 + 5) - 4 ∗ (2 - 8) = 2 ∗ 8 - 4 ∗ (-6) = 16 + 4 ∗ 6 = 16 + 24 = 40

10 + 16 - 15 1 4 3 10 16 15 11 2 3 1 + 2∗ = + = + = = 2 5 4 2 5 4 20 20 20 20 20

(eerst het product uitrekenen, dan de termen optellen/aftrekken) Met de rekenmachine krijgen we:

Voorbeeld 6.

1 2 3 + 2∗ = 0,5 + 2 ∗ 0,4 - 0,75 = 0,5 + 0,8 - 0,75 = 0,55 2 5 4 10 + 5 15 3 1 1 +2= +2= +2=1 +2=3 10 2 2 2 20 - 10

(eerst de breuk uitrekenen, dan optellen) Voorbeeld 7.

3 1  +  5 5 20 ∗  - 1 = 20 ∗ 5 20 ∗ 4 5∗4 ∗4 = -1= 25 5∗5

4    5  - 1 = 20 ∗ 4 ∗ 1 - 1 = 20 ∗ 4 - 1 = 5 5 5 25 16 - 5 16 4 ∗4 5 11 -1= -1= - = = 5 5 5 5 5

Met de rekenmachine krijgen we: 3 1  +  5 5 (0,6 + 0,2 ) - 1 = 20 ∗ 0,8 - 1 = 3,2 – 1 = 2,2 20 ∗  - 1 = 20 ∗ 5 5 5

De volgende drie voorbeelden werken we uit met de rekenmachine. Voorbeeld 8. 6 ∗ (5,6 - 3,8)2 - 5 ∗ 3 + 2 = 6 ∗ (1,8)2 - 5 ∗ 3 + 2 = 6 ∗ 3,24 - 5 ∗ 3 + 2 = = 19,44 - 15 + 2 = 6,44 (eerst het getal tussen haakjes uitrekenen, dat kwadrateren, dan de producten nemen en tenslotte de termen optellen/aftrekken) Voorbeeld 9.

3∗

(0,4 − 0,3) + 2 = 3 ∗ (0,1) + 2 = 3 ∗ 0,5 + 2 = 2,12 + 2 = 4,12 (0,3 − 0,1) (0,2 )

(eerst het getal onder het wortelteken berekenen, vervolgens de wortel hieruit nemen, dan vermenigvuldigen en tenslotte optellen) Voorbeeld 10.

−5 5 + 5 ∗ 7 - 2 ∗ (3 - 1) = + 5 ∗ 7 - 2 ∗ 2 = -3,125 + 35 - 4 = 27,875 (3,8 − 2,2 ) 1,6 12

Opgaven 4. Werk de haakjes weg in de volgende uitdrukkingen, en vereenvoudig ze zoveel mogelijk. a. 3•(x + 4) = b. 4•(2x + 7) = c. -5•(x - 6) = d. p(q + 2) = e. 7•(x + 2y) – 2•(3x + y) = f. 4•(a - b) - (2a - 3b) = Los de volgende opgaven op zonder gebruik van de rekenmachine. 5. 2 ∗ (4 + 6) = 6.

2∗ 4 + 6 =

7.

2 + 4∗ 5 =

8.

(2 + 4) ∗ 5 =

9.

1 1 + = 2 7

10.

2 7 + = 3 4

11.

1 10 4 + ∗ = 2 3 7

12. (

1 10 4 + )∗ = 2 3 7

13.

12 12 = 10 5

14.

(

2 2 - 2) ∗ ( + 2) = 3 3

15.

9-2 1   7

16.

3-2 = 3+2

17.

1    3 = 1 1  +  3 2

=

13

Los de volgende opgaven op met gebruik van de rekenmachine. 4 1 = ∗3 2 7

18.

25 + 6

19.

6

20.

40 ∗ 8,3 = 5 + 8,3

21.

(4,81 + 7,92) + 9,5 ∗ (2,4 - 1,6) =

22.

(4,81 - 7,92) - 9,5 ∗ (-2,4 + 1,6) =

23.

2(40 - 8,3) = 5 + 8,3

24.

0,2 - 1,96 ∗

0,1 = 15

25.

0,2 + 1,96 ∗

0,2 ∗ 0,8 = 15

26.

500 + 1,96 ∗

63

27.

0,2 + 1,96 ∗

0,2 ∗ (1 - 0,2) = 225

28.

(1,96)2 4∗ (0,02)2

1 = 4

29.

4 ⋅ (1,96)2 ⋅ (0,75) ⋅ (0,25) = (0,02)2

30.

4 ⋅ (1,96)2 ⋅ 2 2 = (0,5)2

1 ∗ (3 + 4,9) = 2

∗

225

=

14

Schatten Voordat een bewerking met de rekenmachine wordt uitgevoerd is het vaak zinvol om na te gaan wat de uitkomst van de bewerking ongeveer zal zijn. Hierdoor valt te controleren of er geen fouten zijn gemaakt bij het intoetsen in de rekenmachine. Voorbeeld 1. 223 ∗ 595 ≈ 200 ∗ 600 = 120000 Exact: 223 ∗ 595 = 132685 Voorbeeld 2. 0,00123 ∗ 100230 ≈ 0,001 ∗ 100000 = 100 Exact: 0,00123 ∗ 100230 = 123,2829 Voorbeeld 3. Zonder gebruik van de rekenmachine kan een benadering gevonden 2 worden voor 5 , door te kijken naar 22 = 4 ; ( 5 ) = 5 en 32 = 9 Hieruit volgt dat 5 een getal is dat ligt tussen 2 en 3 Met de rekenmachine vinden we: 5 = 2,236068 Opgaven. Geef een schatting van de volgende bewerkingen, en geef vervolgens het goede antwoord. Doe dit zonder gebruik van de rekenmachine. 31. 3256 + 7924 = a. 11180 b. 1118,0 c. 111800 32. 88889,9 + 2222,1 = a.

9111,20

b.

91112

c.

911120,0

33. 194 ∗ 876 =

a.

169944

b.

16994

c.

1694

34. 19,89 ∗ 69,888 =

a. 139,007

b. 13900,723

c.

1390,0723

35. 0,134 ∗ 1951,9 =

a. 2615,546

b.

261,5546

c.

26155,46

36. 0,00012 ∗ 5123 =

a.

6,1476

b.

0,61476

c.

0,061476

37.

489,3 = 31,12

a.

15,723

b.

157,23

c.

1572,3

38.

4893 = 3112

a.

15,723

b.

1,5723

c.

157,23

39.

489,3 = 0,12

a.

40775

b.

407,75

c.

4077,5

40.

489,3 = 0,0012

a.

40775

b.

407750

c.

4077500

41.

0,4893 = 12

a. 0,040775

b.

0,40775

c.

0,0040775

42.

75 =

a.

8,66

b.

9,45

c.

7,15

43.

0,75 =

a.

1,15

b.

0,87

c.

0,61

15

2. Procentuele veranderingen Vrijwel dagelijks horen we uitspraken waarin procenten zijn verwerkt. • Dit artikel kost 15 euro inclusief 20% BTW. • Het afgelopen jaar zijn de kosten voor het levensonderhoud met 2% gestegen. • Een bank heeft de rente op één van haar spaarrekeningen met 0,3% verhoogd. De groei van een kapitaal op een spaarrekening In het vorige hoofdstuk hebben we al met een procentuele verandering kennisgemaakt: de groei van een kapitaal op een spaarrekening (pagina 2): Stort iemand 1000 euro op een spaarrekening (rente 3% per jaar), dan is deze storting na 1 jaar aangegroeid tot 1030 euro. We kunnen schrijven dat de storting van 1000 euro na 1 jaar aangegroeid is tot 3 3 3 •1000 = 1000•1 + 1000• = 1000•(1 + ) = 1000•(1,03) 1000 + 100 100 100 We zien dat een groei met 3% overeenkomt met het vermenigvuldigen van het stortingsbedrag met de factor (1,03). We noemen deze factor de groeifactor. Deze groeifactor volgt ook door het quotiënt te nemen van het bedrag dat de storting na 1 jaar heeft opgeleverd en het stortingsbedrag zelf:

1030 = 1,03 1000

Opgave 1. Iemand stort 450 euro op een spaarrekening (rente 3,2% per jaar). Tot welk bedrag is deze storting na 1 jaar aangegroeid? Opgave 2. Iemand stort 250 euro op een spaarrekening. Hoeveel procent rente geeft de bank per jaar, als deze storting na 1 jaar aangegroeid is tot 256,25 euro? Opmerking. Stel dat de bank de rente op één van haar spaarrekeningen verhoogt van 3% per jaar naar 3,3% per jaar. Dan is dit een verhoging met 10%. Men spreekt in dit geval echter van een verhoging met 0,3%. Correct zou het zijn als de bank zou zeggen dat de rente met 0,3 procentpunt verhoogd is.

16

Prijsveranderingen (We bespreken hier als voorbeeld alleen een prijsstijging.) Als de prijs van een bepaald product in een bepaalde periode is gestegen van p0 tot pn hebben we te maken met een absolute prijsstijging met pn - p0 We willen deze prijsstijging schrijven als een bepaald percentage van de prijs p0 Dit doen we als volgt: We zeggen dat de prijs p0 met 1% stijgt, als deze stijgt met p 1  1  ste deel van p0 Dit betekent dat de prijs p0 stijgt met 0 = •p0   100 100  100  a •p0 ⇒ Als de prijs p0 met a% stijgt, stijgt ze met 100 3 (Als de prijs p0 met bijvoorbeeld 3% stijgt, stijgt ze met •p0) 100

Als de prijs van een product is gestegen van p0 tot pn dan hebben we te maken met een absolute prijsstijging met pn - p0 Omdat een stijging van de prijs p0 met p0 , is een stijging van de prijs p0 met pn - p0 100 p − p0 p − p0 100 ∗ 100% % = (pn - p0) ∗ %= n gelijk aan een stijging met n p0 p0  p0     100  p − p0 In deze uitdrukking is n de relatieve prijsstijging van de prijs p0 p0

1% gelijk is aan een stijging met

Voorbeeld. Stel dat de prijs van een bepaald product in een bepaalde periode is gestegen van 200 eurocent tot 206 eurocent. Dan hebben we te maken met een absolute prijsstijging van 206 - 200 = 6 eurocent en een relatieve prijsstijging van Dit is een procentuele stijging van de prijs van 200 eurocent met

6 . 200

6 ∗ 100% = 3% 200

(de relatieve prijsstijging en de procentuele prijsstijging worden bepaald t.o.v. de prijs in de beginperiode.) Vaak neemt men ook de verhouding van de nieuwe prijs en de oude prijs; dit geeft in ons voorbeeld de factor

206 = 1,03 Als we de oude prijs van 200 eurocent 200

vermenigvuldigen met de factor 1,03 krijgen we de nieuwe prijs van 206 eurocent. Wordt deze factor 1,03 nog vermenigvuldigd met 100 dan spreken we van een prijsindexcijfer (zie ook pagina 20).

17

Opgave 3. Een product kostte op 1-1-2006 90 euro, en op 1-1-2007 93,60 euro. Met hoeveel procent is de prijs van dit product tussen 1-1-2006 en 1-1-2007 gestegen? Opgave 4. Een bedrijf geeft klanten die contant betalen een korting van 5%. Iemand koopt iets voor 468 euro bij dit bedrijf en betaalt contant. Hoeveel moet hij betalen? Opgave 5. Een mantel van 150 euro kost in de uitverkoop 120 euro. Met hoeveel procent is de prijs van deze mantel verlaagd? Opmerking. Als een artikel van 25 euro met korting 16,50 euro kost, bedraagt het kortingspercentage

25 - 16,50 ∗ 100% = 34% 25

Om het kortingspercentage te berekenen moeten we uitgaan van de prijs van 25 euro. Het is fout om te zeggen dat de korting ruim 50% is, door uit te gaan van de prijs van 16,50 euro. Opgave 6. Een product kost 375 euro zonder korting. Als iemand contant betaalt krijgt hij een bepaald percentage korting. Iemand koopt dit product en betaalt contant met 400 euro. Bepaal hoeveel procent korting hij krijgt als hij 58,75 euro terugkrijgt. Opgave 7. Iemand heeft op 1 januari een loonsverhoging van 6% gekregen. Hoeveel bedraagt zijn bruto uursalaris nu als dit vorig jaar 24 euro bedroeg? Opgave 8. Met hoeveel procent is de prijs van een artikel veranderd als dit eerst 50% in prijs werd verhoogd en vervolgens 50% in prijs werd verlaagd. Opgave 9. Een kledingzaak doet een partij jassen met 50% in de uitverkoop. Als ze na drie weken een aantal jassen nog niet verkocht heeft geeft ze op deze resterende jassen nog eens 50% korting op de prijs. Hoeveel procent van de oorspronkelijke prijs kosten deze jassen dan?

18

Inflatie In Nederland onderzoekt het Centraal Bureau voor de Statistiek regelmatig wat een “standaardgezin” per maand uitgeeft aan onder meer primaire levensbehoeften (zoals brood), diensten (zoals vervoer), duurzame gebruiksgoederen (zoals TV), en kleding. Dit worden de kosten voor het levensonderhoud genoemd. Als de kosten voor het levensonderhoud in een land in een bepaalde periode zijn gestegen, is de waarde van het geld gedaald. Deze daling wordt uitgedrukt met behulp van het begrip inflatie. Als deze maand in een land de kosten voor het levensonderhoud 4% hoger zijn dan 1 jaar geleden, zeggen we dat de inflatie in dit land deze maand 4% bedraagt. Voor de eenvoud veronderstellen we dan dat de prijzen in dit land deze maand gemiddeld 4% hoger zijn dan 1 jaar geleden. Met 100 euro konden we 1 jaar geleden in dit land een bepaald pakket aan goederen kopen (we rekenen alle prijzen om in euro’s). Voor ditzelfde pakket moeten we nu (= deze maand) 104 euro betalen. Dit betekent dat we nu met  100  de  deel van het bewuste pakket kunnen kopen. Er  104  100 1 = van de geldt daarom dat de waarde van het geld nu gelijk is aan 104 1,04

100 euro nog maar het 

waarde 1 jaar geleden. (We zeggen dat de waarde van het geld in het afgelopen jaar met de factor

1 is verminderd). 1,04

⇒ De waarde van 100 euro van 1 jaar geleden is nu

100 = 96,15 euro. 1,04

Dit betekent dat we nu 100 euro moeten betalen voor iets wat 1 jaar geleden 96,15 euro kostte. Opmerking. In het voorgaande hebben we gezien dat, als deze maand de inflatie in een land 4% bedraagt, de waarde van het geld in dat land in het afgelopen jaar met de factor

1 is verminderd. 1,04

Dit is wat anders dan een afname van de waarde van het geld met 4%. Kijk ook maar naar de volgende opgave, waar in een bepaald land de inflatie deze maand 100% bedraagt. De waarde van het geld is in dit land het afgelopen jaar echt niet met 100% afgenomen. Opgave 10. In een Zuid-Amerikaans land bedraagt de inflatie deze maand 100% (de prijzen zijn deze maand gemiddeld 100% hoger dan 1 jaar geleden). Met welke factor is de waarde van het geld in dit Zuid-Amerikaans land het afgelopen jaar verminderd? 19

Het rekenen met BTW Bij BTW hebben we ook met een procentuele verandering te maken. Een BTW van bijvoorbeeld 5% betekent dat de overheid 5% belasting heft, af te dragen door de producent. Deze berekent dit door in de prijs. Een product dat zonder BTW 1 euro kost, kost met 5% BTW 1,05 euro. In dit laatste bedrag zit dan 0,05 euro belasting. Algemeen. Is p0 de prijs van een product zonder BTW, en p de prijs van dit product met 5% BTW, dan is p = p0 +

5 5 5 •p0 = p0•1 + p0• = p0•(1 + ) = p0•(1,05) 100 100 100

Ofwel: p = p0•(1,05) Delen we in deze uitdrukking links en rechts door 1,05 dan krijgen we: p0 =

p 1,05

Het BTW-bedrag in de prijs p is gelijk aan

p 5 1 5 5 5 •p0 = • = • •p = •p 105 100 100 1,05 100 1,05

Opgave 11. Een apparaat kost exclusief BTW 500 euro. Bereken de prijs van dit apparaat als er 17,5% BTW wordt geheven. Opgave 12. Een artikel waar 20% BTW op zit kost 15 euro. Bereken het BTW bedrag in deze 15 euro. Opgave 13. Een nieuwbouwhuis kost (inclusief 20% BTW) 120000 euro. De overheid verlaagt de BTW naar 18,5%. a. Wat wordt de prijs van dit huis als de bouwer de BTW-verlaging volledig aan de klant doorberekent. b. Welk bedrag steekt de bouwer in eigen zak als hij de prijs houdt op 120000 euro? Opgave 14. Op boeken wordt in Nederland 6% BTW geheven. a. Wat is de prijs (exclusief BTW) van een boek als dit met BTW 48 euro kost. b. Een schrijver ontvangt 8% auteursrechten van de prijs van zijn boek (exclusief BTW). Hoeveel ontvangt de auteur van het onder a genoemde boek voor zijn boek?

20

Een deel van een groter geheel We nemen p objecten uit een groep van n objecten, en willen deze p objecten schrijven als een bepaald percentage van het geheel. Dit doen we als volgt: we 1 zeggen dat 1% van het geheel gelijk is aan het   ste deel van het geheel  100 

n ⇒ 1% van het geheel bestaat uit   objecten  100 

⇒ p objecten uit een groep van n objecten vormen

p p 100 % = p∗ % = ∗ 100% n n  n     100 

van het geheel. Hierin is

p de fractie van de p objecten in de groep van n (de p objecten vormen n

p het   de deel van het geheel). n

Opmerking. a% van het geheel bestaat uit

a •n objecten. 100

Voorbeeld. Van de 20000 studenten (op 1-1-2005) aan de Hanzehogeschool zijn 9000 vrouwen. Dit is

9000 ∗ 100% = 45% van de studenten aan de Hanzehogeschool. 20000

Opgave 15. Van de 20000 studenten (op 1-1-2005) aan de Hanzehogeschool studeren 5000 aan een economische opleiding. Hoeveel procent van de studenten is dit? Opgave 16. In een stad met 278500 inwoners is 9,2% van de inwoners allochtoon. Hoeveel mensen zijn dit? Opgave 17. In een bedrijf werken 592 vrouwen. Dit is 32% van het totale aantal werknemers. Hoeveel werknemers heeft dit bedrijf? Opgave 18. 35% van de studenten aan de Hanzehogeschool studeert aan een technische opleiding. Van de rest studeert 40% aan een economische opleiding. Hoeveel procent van de studenten aan de Hanzehogeschool studeert aan een economische opleiding? Opgave 19. Op 1-1-2000 was de bevolkingsdichtheid in Nederland gelijk aan 468 inwoners per km2. Op 1-1-2000 woonde in de provincie Zuid-Holland 21,40 % van de Nederlandse bevolking. De oppervlakte van de provincie Zuid-Holland is 8,46% van de oppervlakte van Nederland. Bereken de bevolkingsdichtheid in de provincie Zuid-Holland op 1-1-2000 (Bron: CBS). 21

Hoeveelheidveranderingen (We bespreken hier als voorbeeld alleen een bevolkingstoename.) Als het aantal inwoners van het land Statistica in een bepaalde periode is toegenomen van A0 tot An hebben we te maken met een absolute toename van het aantal inwoners met An - A0 We willen deze toename schrijven als een bepaald percentage van het aantal inwoners A0 Dit doen we als volgt: We zeggen dat het aantal inwoners A0 in een bepaalde 1 periode met 1% is toegenomen, als dit met   ste deel van A0 is toegenomen.  100 

A0 1 = •A0 100 100 a ⇒ Een toename van het aantal inwoners A0 met a% is een toename met •A0 100

Dit komt neer op een toename van het aantal inwoners A0 met

(Een toename van het aantal inwoners A0 met bijvoorbeeld 3% is een toename met

3 •A0) 100

Als het aantal inwoners in Statistica in een bepaalde periode is toegenomen van A0 tot An hebben we te maken met een absolute toename van het aantal inwoners met An - A0 Omdat een toename van het aantal inwoners A0 met 1% gelijk is aan A0 , is een toename van het aantal inwoners met An - A0 gelijk 100 A − A0 A − A0 100 ∗ 100% % = (An - A0) ∗ %= n aan een toename met n A0 A0  A0     100  A − A0 In deze uitdrukking is n de relatieve toename van het aantal inwoners A0 A0

een toename met

Opgave 20. Het aantal werklozen in Nederland is het afgelopen jaar afgenomen van 950000 tot 912000. Met hoeveel procent is het aantal werklozen in Nederland het afgelopen jaar afgenomen? Opgave 21. Op 1-1-1997 bedroegen de aantallen inwoners van drie steden opvolgend 60000, 180000 en 260000. Op 1-1-2007 was het aantal inwoners van de eerste stad met 18% toegenomen, die van de tweede stad met 10% en die van de derde stad met 12%. Met welk percentage was de totale bevolking van deze drie steden op 1-1-2007 toegenomen vergeleken met 1-1-1997?

22

Percentages van overeenkomstige groepen in verschillende delen van een populatie Het heeft geen zin om het gemiddelde te nemen van percentages van overeenkomstige groepen in verschillende delen van een populatie. Als eerste voorbeeld nemen we een kleine hogeschool waarbij bij iedere studierichting procentueel meer vrouwen dan mannen worden toegelaten, terwijl er toch over de hele hogeschool procentueel meer mannen dan vrouwen worden toegelaten. De boven genoemde hogeschool heeft 3 studierichtingen: techniek, onderwijs en verpleging. Voor ieder van deze 3 studierichtingen geldt een numerus fixus. Daar zich jaarlijks meer studenten voor deze studierichtingen aanmelden dan er plaats is, wordt steeds een groot aantal studenten uitgeloot. Toen in augustus bekend werd dat er van de 858 vrouwen die zich hadden aangemeld er 359 (= 42%) waren toegelaten, en dat er van de 1485 mannen die zich hadden aangemeld er 883 (= 59%) waren toegelaten, gingen de vrouwen protesteren. Zij voelden zich gediscrimineerd. Het CVB van deze hogeschool vond dat de vrouwen geen reden tot protesteren hadden omdat er per studierichting juist procentueel meer vrouwen waren toegelaten dan mannen. Zij publiceerde vervolgens onderstaand overzicht. Aantal aanmeldingen/toegelaten studenten bij de Hogeschool Studierichting Techniek Onderwijs Verpleging Totaal

Aantal aanmeldingen 825 560 100 1485

Mannen Aantal toegelaten 512 353 18 883

% 62 63 18 59

Aantal aanmeldingen 108 250 500 858

Vrouwen Aantal toegelaten 89 170 100 359

% 82 68 20 42

Het volgende voorbeeld laat zien dat het mogelijk is dat bij iedere studierichting van een hogeschool (deze hogeschool heeft vier studierichtingen) het percentage vrouwelijke studenten in een bepaald schooljaar (= jaar 2) groter is dan in het voorafgaande schooljaar (= jaar 1), terwijl op de hele hogeschool het percentage vrouwelijke studenten in jaar 2 kleiner is dan in jaar 1. Aantal studenten bij de Hogeschool in jaar 1 en jaar 2 Studierichting Techniek Onderwijs Verpleging Rechten Totaal

Aantal studenten in jaar 1 4000 1000 1000 1000 7000

Aantal vr. studenten in jaar 1 1600 600 700 100 3000

% vr. studenten in jaar 1 40 60 70 10 43

23

Aantal studenten in jaar 2 2000 1000 1000 3000 7000

Aantal vr. studenten in jaar 2 900 700 800 450 2850

% vr. studenten in jaar 2 45 70 80 15 41

3. Eerstegraads functies, eerstegraads vergelijkingen en eerstegraads ongelijkheden Eerstegraads vergelijkingen We beschouwen het volgende voorbeeld: De vastrecht kosten voor het gasverbruik bedragen 40 euro per jaar, terwijl de variabele kosten 0,25 euro per m3 bedragen. Heeft iemand het afgelopen jaar 2000 m3 gas verbruikt, dan zijn zijn kosten voor dit gasverbruik y = 40 + (0,25)•2000 = 540 euro. Weten we dat iemand 600 euro moest betalen voor zijn gasverbruik in het afgelopen jaar, dan kan zijn gasverbruik in het afgelopen jaar uitgerekend worden. Dit doen we als volgt: stel dat hij in het afgelopen jaar x m3 gas verbruikt heeft. Dan zijn zijn kosten voor dit gasverbruik 40 + 0,25•x (euro). Omdat we weten dat dit 600 euro is, volgt dat 40 + 0,25•x = 600 Dit is een voorbeeld van een vergelijking. Om een vergelijking op te lossen gebruiken we de volgende rekenregels: a. Als a = b is a + p = b + p Toepassing: x + 5 = 10 ⇒ (x + 5 – 5 = 10 – 5) ⇒ x = 10 – 5 = 5 We zien: “In een vergelijking mogen termen met tekenwisseling van de ene kant van het “= teken” naar de andere kant van het “= teken” gebracht worden” b. Als a = b is pa = pb 6 1 1 Toepassing: 3x = 6 ⇒ ( •3x = •6) ⇒ x = =2 3 3 3 We zien: “In een vergelijking mag links en rechts van het “= teken” gedeeld worden door de coëfficiënt van x” Om uiteindelijk een vergelijking op te lossen brengen we alle termen met x naar één kant van de vergelijking, en alle constante termen naar de andere kant. Tenslotte lossen we de vergelijking op m.b.v. rekenregel b. Als voorbeeld gaan we de vergelijking 40 + 0,25•x = 600 oplossen. 560 = 2240 Oplossing: 40 + 0,25•x = 600 ⇒ 0,25•x = 600 – 40 = 560 ⇒ x = 0 ,25 Moest iemand voor zijn gasverbruik in het afgelopen jaar 600 euro betalen, dan heeft hij het afgelopen jaar 2240 m3 gas verbruikt. Tenslotte lossen we nog de volgende vergelijking op: Oplossing. Als we links en rechts delen door

1 x=3 2

3 1 zien we dat x = 2 1   2

24

1 We kunnen in de gegeven vergelijking ( x = 3) ook links en rechts vermenig2 1 1 vuldigen met 2. We krijgen dan: 2⋅ x = 2⋅3 ⇒  2 ⋅  x = 2⋅3 = 3⋅2 ⇒ x = 3⋅2 2  2 1 Uit het voorgaande volgt dat delen door overeenkomt met vermenigvuldigen 2 met 2 (zie ook rekenregel 8 op pagina 3). Uiteindelijk vinden we dat x = 6

Opgave 1. Los de volgende vergelijkingen op: a. 3x + 6 = -x + 4 b. -2x = -6x - 7 c. 5 - 2x = -x d. -4•(3x + 2) = 2•(5x - 4) 1 1 e. 4 - y = 1 y + 3 2 4 1 1 1 1 f. p- = p+ 2 5 3 4 Ingeklede vergelijkingen Het inleidende voorbeeld in deze paragraaf is een voorbeeld van een ingeklede vergelijking. De volgende opgave is nog een voorbeeld van een ingeklede vergelijking. Opgave 2. Een winkelier geeft 15% korting op dat deel van de rekening dat de 10 euro overtreft. Iemand moet met deze korting 15,10 euro betalen voor een artikel. Hoeveel had hij moeten betalen als er geen korting gegeven was? Oplossing. We noemen het te betalen bedrag zonder korting x, en leiden vervolgens voorwaarden af waaraan x voldoet. Er geldt dat x = 10 + (x – 10) [hierin is (x – 10) dat deel van de rekening dat de 10 euro overtreft] ⇒ met 15% korting op dat deel van de rekening dat de 10 euro overtreft moet hij betalen: 85 15 10 +  1 −  ⋅(x – 10) = 10 +   ⋅(x – 10) = 10 + 0,85⋅(x – 10) 

100 

 100 

Gegeven is dat dit gelijk is aan 15,10 euro ⇒ 10 + 0,85⋅(x – 10) = 15,10 We hebben nu een vergelijking in x die we kunnen oplossen. 10 + 0,85⋅(x – 10) = 15,10 ⇒ 0,85⋅(x – 10) = 15,10 – 10 ⇒ 0,85⋅(x – 10) = 5,10 ⇒ (x – 10) =

5,10 ⇒ (x – 10) = 6 0,85

⇒ x = 10 + 6 = 16 (= 16 euro). 25

Opgave 3. De 32 jarige Peter is vader van de 2 jarige Jeroen. Over hoeveel jaar is Peter drie keer zo oud als zijn zoon? Opgave 4. Iemand heeft 8 jaar geleden A euro op een spaarrekening gestort (rente 3,5% per jaar). Op dit moment is deze storting aangegroeid tot 1500 euro. Bepaal A. Opgave 5. Iemand verkoopt 50 jassen met 30% winst. Hoeveel heeft hij voor deze jassen betaald als hij ze verkoopt voor 91 euro per jas. Opgave 6. Een importeur verkoopt aan een garagehouder een auto met 10% winst. De garagehouder verkoopt de auto aan een klant met 5% winst. De klant betaalt 6930 euro. a. Hoe groot is de winst van de garagehouder bij de verkoop van deze auto? b. Hoe groot is de winst van de importeur bij de verkoop van deze auto? Opgave 7. Iemand verkoopt zijn huis met 5% verlies voor 76000 euro. Hoeveel zou hij ontvangen hebben als hij 5% winst had gemaakt? Opgave 8. Karel heeft op 1 februari 1999 750 euro gestort op een spaarrekening (rente 4% per jaar). a. Tot welk bedrag was deze storting op 1 februari 2006 aangegroeid? b. Op 1 februari 2006 kon Karel van het onder a berekende bedrag een videorecorder kopen. Deze is tussen 1 februari 1999 en 1 februari 2006 jaarlijks met 3% in prijs gedaald. Bereken de prijs van deze videorecorder op 1 februari 1999. c. Wat zou de prijs van deze videorecorder op 1 februari 1999 geweest zijn als deze (tussen 1 februari 1999 en 1 februari 2006) jaarlijks 1% duurder was geworden? Opgave 9. De som van 5 opeenvolgende natuurlijke getallen (dit zijn de getallen 1, 2, 3 ,……) is 75. Welke getallen zijn dit? Opgave 10. Een rechthoekig stuk land heeft een oppervlakte van 120 m2 26

Bepaal de breedte als gegeven is dat de lengte 15 m is. Opgave 11. Een aquarium is 6 dm lang, 30 cm breed en 30 cm hoog, en staat vol met water. Hoe hoog staat het water als er 9 liter water uitgeschept wordt? Opgave 12. Een zwembassin met een lengte van 25 meter, een breedte van 10 meter en een diepte van 3 meter, wordt gevuld door twee kranen die ieder 1,25 liter water per seconde geven. Hoeveel cm staat het water onder de rand als de kranen na 75 uur worden dichtgedraaid? Opgave 13. Een pomp kan een bassin in 2 uur + 30 minuten leegpompen. Een andere pomp heeft 5 uur + 50 minuten nodig. Hoe lang duurt het om het bassin leeg te pompen als beide pompen in werking zijn? Opgave 14. Paul fietst van Groningen in zuidelijke richting met een constante snelheid van 15 km/uur. Frits vertrekt een half uur later uit Groningen, en fietst via dezelfde weg als Paul in zuidelijke richting met een constante snelheid van 20 km/uur. Hoelang heeft Frits gefietst als hij Paul inhaalt?

27

Functies Voorbeeld. We nemen dezelfde gegevens als in het op pagina 27 gegeven voorbeeld: de vastrecht kosten voor het gasverbruik bedragen 40 euro per jaar, terwijl de variabele kosten 0,25 euro per m3 bedragen. Als iemand het afgelopen jaar x m3 gas verbruikt heeft, zijn zijn kosten voor dit gasverbruik y = 40 + 0,25x (euro). In dit voorbeeld wordt aan ieder getal x ≥ 0 door middel van bovenstaande formule een getal y toegevoegd. Dit is een voorbeeld van een (eerstegraads) functie. De algemene definitie van functie luidt: Een functie voegt aan ieder getal x (meestal tussen zekere grenzen) een getal y toe. We noteren dit als: y = f(x) Voorbeeld: y = f(x) = 40 + 0,25x voor x ≥ 0 Grafieken Als we te maken hebben met een functie y = f(x) kunnen we ook grafisch het verband tussen y en x aangeven. Daartoe gaan we uit van twee lijnen (een horizontale en een verticale) die elkaar snijden in een punt dat we de oorsprong noemen. De horizontale lijn noemen we de x-as en de verticale de y-as. Op de x-as staan rechts van de oorsprong de positieve getallen, links de negatieve, en ligt o in de oorsprong. Op de y-as staan op het gedeelte dat boven de x-as ligt de positieve getallen, op het gedeelte dat beneden de x-as ligt de negatieve, en ligt 0 in de oorsprong. We spreken wel van het XY-vlak. Een punt P in het XY-vlak is te schrijven als P = (x,y). Hierin heet x de x-coördinaat van P en y de y-coördinaat. In onderstaand XY-vlak staan de punten (2,3) en (3,2) aangegeven. Merk op dat dit verschillende punten zijn. Het XY-vlak met de punten (2,3) en (3,2)

28

De grafiek van de functie y = f(x) bestaat uit alle punten (x,f(x)) in het XY-vlak. Als voorbeeld kijken we naar de grafiek van de functie y = f(x) = 40 + 0,25x voor x ≥ 0 Deze grafiek, die de kosten voor het gasverbruik van iemand in het afgelopen jaar als functie van het verbruik in het afgelopen jaar weergeeft, staat hieronder. We zien in deze grafiek ook dat bij een verbruik van x = 2000 m3 gas de kosten gelijk zijn aan y = 540 euro: als we vanuit het punt x = 2000 op de x-as verticaal omhoog gaan tot de grafiek, en daarna naar links naar de y-as, komen we terecht in het punt y = 540 op de y-as. De grafiek van de functie f(x) = 40 + 0,25x voor x ≥ 0 y-as

x-as

Eerstegraads functies Dit zijn functies van de vorm: f(x) = ax + b (met a en b gegeven getallen met a ≠ 0). (Dergelijke functies worden ook wel lineaire functies genoemd.) Voorbeelden: 1. f(x) = 2x + 1 2. f(x) = -x + 2 1 3. f(x) = x - 2 4. f(x) = 0,25x + 40 2 Eigenschap. De grafiek van een eerstegraads functie is een rechte lijn. Daar een rechte lijn bepaald is door twee punten krijgen we de grafiek van een eerstegraads functie door twee punten van deze grafiek te nemen, en vervolgens de rechte lijn hierdoor te trekken. Zo is de grafiek van de functie f(x) = 0,25x + 40 de rechte lijn door (0,40) en (2400,640) Opmerking. Om de grafiek van een eerstegraads functie te tekenen neemt men vaak de snijpunten van de grafiek met de assen, en trekt men vervolgens de lijn door deze punten. 29

Snijpunten van een grafiek met de assen Het snijpunt van de grafiek van de functie f(x) met de y-as is het punt y op de y-as met y = f(0). (Dit is dus het punt (0,f(0).) De snijpunten van de grafiek van de functie f(x) met de x-as zijn de punten x op de x-as waarvoor geldt dat f(x) = 0. Deze punten x worden wel de nulpunten van de functie f(x) genoemd. Als voorbeeld bepalen we van de functie f(x) = 2x + 1 de snijpunten met de assen en tekenen we vervolgens haar grafiek. ∗ Snijpunt x-as: f(x) = 0 ⇒ 2x + 1 = 0 ⇒ 2x = -1 ⇒ x = ∗ Snijpunt y-as: y = f(0) = 1

1 2

De grafiek van de functie f(x) = 2x + 1 is dus de lijn door het punt en het punt 1 op de y-as. Deze lijn bestaat uit alle punten (x,y) waarvoor geldt dat y = 2x + 1 We spreken daarom van de lijn met vergelijking y = 2x + 1

1 op de x-as 2

De lijn met vergelijking y = 2x + 1 y-as

4 3 2 1

-3

-2

0

-1 -1

1

2

3 x-as

-2 y = 2x + 1

-3 -4

Opgave 15. Geef van de volgende punten aan of ze tot de lijn met vergelijking y = 2x + 1 behoren: (1,3), (3,1), (2,3) Opgave 16. Bereken van de grafieken van de functies uit de voorbeelden 2 en 3 de snijpunten met de assen. Teken vervolgens de grafieken van deze functies. 30

Richtingscoëfficiënt We nemen het eerder besproken voorbeeld van de kosten van iemand voor het gasverbruik in het afgelopen jaar als functie van dit verbruik: y = 40 + 0,25x Als zijn gasverbruik 1 (= 1 m3) groter geweest is zijn zijn kosten 0,25 (euro) groter. Algemeen. Als y = ax + b een eerstegraads functie is geeft een toename van x met 1 een verandering van y met a. De richtingscoëfficiënt van een lijn geeft een meetkundige betekenis aan deze coëfficiënt a. Om de richtingscoëfficiënt van de lijn l te definiëren nemen we twee willekeurige punten A en B op de lijn l en vormen we de driehoek ABC (in deze driehoek ligt het lijnstuk AC horizontaal en het lijnstuk BC verticaal). De richtingscoëfficiënt van de lijn l wordt nu gedefinieerd als de verhouding van de lengten van de rechthoekszijden BC en AC van deze driehoek ABC. Dus: de richtingscoëfficiënt van de lijn l is

lengte van BC lengte van AC

Deze verhouding is onafhankelijk van de keuze van A en B. Opmerking: als een lijn loopt van links boven naar rechts onder wordt een dergelijke verhouding van rechthoekszijden voorzien van een “– teken”. (Gevolg is dat een dergelijke lijn een negatieve richtingscoëfficiënt heeft). De richtingscoëfficiënt van een lijn

Eigenschap 1. Als de lijnen l en m evenwijdig lopen hebben ze dezelfde richtingscoëfficiënt. Eigenschap 2. Als de lijnen l en m dezelfde richtingscoëfficiënt hebben lopen ze evenwijdig. Eigenschap 3. De richtingscoëfficiënt van de lijn met vergelijking y = ax + b is a. 31

Gevolg. Als de lijnen l en m evenwijdig lopen hebben ze in hun vergelijking (y = ax + b) dezelfde coëfficiënt van x en omgekeerd. Voorbeeld 1. We laten eerst zien dat de richtingscoëfficiënt van de lijn met vergelijking y = ax gelijk is aan a. Als volgt: de lijn met vergelijking y = ax gaat door de oorsprong (want als x = 0 is y = o). Het punt op de lijn dat als x-coördinaat 1 heeft noemen we B. ⇒ De y-coördinaat van het punt B is a (want y = a⋅1 = a). C is het punt op de x-as met x = 1 ⇒ (lengte van BC) = a en (lengte van OC) = 1 ⇒ De richtingscoëfficiënt van de lijn met vergelijking y = ax lengte van BC a is = =a lengte van OC 1 De richtingscoëfficiënt van de lijn met vergelijking y = ax

We zien nu: als we vanuit de oorsprong O naar het punt B gaan, kunnen we eerst met 1 naar rechts gaan en dan met a omhoog. Eigenschap (stel dat a1 en a2 positief zijn). Als we de lijnen l (met vergelijking y = a1x) en m (met vergelijking y = a2x) door de oorsprong nemen zal de lijn m steiler lopen dan de lijn l als a2 > a1 is. In de figuur op de volgende pagina staan een aantal lijnen door de oorsprong getekend. 32

Een aantal lijnen door de oorsprong y = -x

y-as

y=x

y = 2x

2

y = 0,5x 1

-2

-1

0

1

2

x-as

-1

-2

Voorbeeld 2. We laten nu zien dat de richtingscoëfficiënt van de lijn met vergelijking y = ax + b gelijk is aan a. Als volgt: Als we de lijn met vergelijking y = ax met b omhoog schuiven krijgen we de lijn met vergelijking y = ax + b Deze lijn loopt evenwijdig aan de lijn met vergelijking y = ax Daar de richtingscoëfficiënt van de lijn met vergelijking y = ax gelijk is aan a is ook de richtingscoëfficiënt van de lijn met vergelijking y = ax + b gelijk aan a. (Omdat evenwijdige lijnen dezelfde richtingscoëfficiënt hebben). Opmerking. De lijn met vergelijking y = ax + b snijdt de y-as in b In de figuur op de volgende pagina staan een aantal lijnen met richtingscoëfficiënt 2 getekend (deze lijnen zijn dus onderling evenwijdig; de vergelijking van een dergelijke lijn is: y = 2x + b voor zeker getal b).

33

Een aantal lijnen met richtingscoëfficiënt 2 y-as

4 3 2 1

-3

-2

-1

0 -1

y = 2x + 2

-2

y = 2x + 1

-3

y = 2x

1

2

3 x-as

y = 2x - 1

Opgave 17. a. Bepaal de vergelijking van de lijn door het punt (0,1) met richtingscoëfficiënt 3. b. Bepaal de vergelijking van de lijn door het punt (4,5) die evenwijdig loopt aan de lijn met vergelijking y = 3x + 2 c. Teken de lijn door de punten (2,5) en (4,6). Lees uit de grafiek haar richtingscoëfficiënt af en bepaal tenslotte haar vergelijking. Opmerking. De richtingscoëfficiënt van een horizontale lijn is 0, en haar vergelijking y = b (als b het snijpunt van deze lijn met de y-as is). In het bijzonder: de vergelijking van de x-as is: y = 0 Bij een verticale lijn kunnen we geen richtingscoëfficiënt definiëren. Wel kunnen we een vergelijking van een dergelijke lijn opstellen: x = a, als de lijn de x-as snijdt in a. In het bijzonder: de vergelijking van de y-as is: x = 0

34

De lijnen met vergelijking x = -3 en y = 2

Het bepalen van de vergelijking van de lijn door twee punten In opgave 17c is met behulp van een grafische voorstelling de vergelijking van de lijn door twee punten bepaald. Het kan ook op een andere manier. Als voorbeeld gaan we de vergelijking van de lijn door de punten (6,2) en (4,4) bepalen. Als we de gevraagde vergelijking y = ax + b noemen voor zekere getallen a en b kunnen we het volgende zeggen: (6,2) ligt op de lijn ⇒ x = 6 en y = 2 voldoen aan de vgl. y = ax + b ⇒ 2 = 6a + b



(4,4) ligt op de lijn ⇒ x = 4 en y = 4 voldoen aan de vgl. y = ax + b ⇒ 4 = 4a + b -2 = 2a De te bepalen getallen a en b voldoen aan de eerste beide vergelijkingen. Ze voldoen dan ook aan de vergelijking die ontstaat als we beide vergelijkingen van elkaar aftrekken. Dit geeft de vergelijking -2 = 2a ⇒ a = -1 Vullen we dit in in één van de eerste twee vergelijkingen dan kunnen we b bepalen. Als illustratie vullen we a = -1 in in de eerste vergelijking. Dit geeft: 2 = 6⋅(-1) + b ⇒ 2 = -6 + b ⇒ b = 2 + 6 = 8 ⇒ De gevraagde vergelijking is y = -x + 8

35

Opgave 18. a. Bepaal de vergelijking van de lijn door de punten (100,200) en (-50,-25) b. Bepaal de vergelijking van de lijn door de punten (1,3) en (5,5) c. Onderzoek wijst uit dat in het land Statistica de vraag qv per week naar het product A als functie van de prijs p (in euro’s) wordt bepaald door een eerstegraads functie: qv = ap + b (voor zekere getallen a en b). Bepaal a en b als blijkt dat er een vraag is van 150 producten A per week bij een prijs van p = 5 euro per stuk, en dat er een vraag is van 200 producten A per week bij een prijs van p = 4 euro per stuk. Een stelsel eerstegraads vergelijkingen In het voorgaande hebben we gezien hoe a en b bepaald kunnen worden uit het 2 = 6a + b stelsel  4 = 4a + b We noemen dit een stelsel van twee vergelijkingen in twee onbekenden (hier a en b). 2x + 3y = 4 is een stelsel van twee vergelijkingen in twee Ook een stelsel als  3x + 4y = 5 onbekenden (hier x en y). We kunnen nu niet, zoals in het voorgaande, dit stelsel oplossen door de ene vergelijking af te trekken van de andere, want dan houden we een uitdrukking in x en y over. Om dit stelsel op te lossen gaan we als volgt te werk: Het paar (x,y) dat aan beide vergelijkingen voldoet, voldoet ook aan het stelsel dat ontstaat als we de eerste vergelijking vermenigvuldigen met 3 en de tweede vergelijking met 2 (in dat geval krijgen we twee vergelijkingen die beide de term 6x + 9y = 12 6x bevatten):  6x + 8y = 10 Trekken we nu de tweede vergelijking van de eerste af, dan krijgen we y = 2 Vullen we dit in in de eerste (gegeven) vergelijking, dan krijgen we: 2x + 3⋅2 = 4 ⇒ 2x + 6 = 4 ⇒ 2x = 4 - 6 = -2 ⇒ x = -1 Dus: x = -1 en y = 2 is de oplossing van de gegeven vergelijking. (Opmerking. Het was ook mogelijk geweest om de eerste vergelijking te vermenigvuldigen met 4 en de tweede vergelijking met 3 (in dat geval krijgen we 8x + 12y = 16 twee vergelijkingen die beide de term 12y bevatten):   9x + 12y = 15 Trekken we nu de tweede vergelijking van de eerste af, dan krijgen we -x = 1 ⇒ x = -1 Vullen we dit in in de eerste (gegeven) vergelijking, dan krijgen we: 2⋅(-1) + 3y = 4 ⇒ -2 + 3y = 4 ⇒ 3y = 4 + 2 = 6 ⇒ y = 2 Ook nu vinden we: x = -1 en y = 2 is de oplossing van de gegeven vergelijking.)

36

Opgave 19. Los de volgende stelsels op.  y = - 2x + 16

a. 

 y = 3x + 4

3a − 2b = 6 b.  4a + 3b = − 5

x = 2y - 5

c. 

y - x = 1

2 = 3x - y d.  5 = - x + 2y  y = - 2x + 1

e. 

4x - 3y = 5

10a − 12b = - 16 f.  - 5a + 7b = 11

Opgave 20. Een HBO-instelling telt op dit moment 1265 eerstejaars studenten. In vergelijking met het vorige studiejaar is het aantal eerstejaars met 15% gestegen. Het aantal mannelijke studenten is met 13% gestegen en het aantal vrouwelijke met 18%. Hoe groot waren de aantallen mannelijke en vrouwelijke studenten in het vorige studiejaar en hoe groot zijn deze aantallen nu? Opgave 21. De gemeente Groningen geeft een bouwonderneming de opdracht om op een braakliggend stuk land van 90000 m2 een aantal eengezinswoningen en een aantal bungalows te bouwen. De eengezinswoningen moeten gebouwd worden op een oppervlakte van 300 m2 en de bungalows op een oppervlakte van 600 m2. Bepaal hoeveel eengezinswoningen en hoeveel bungalows er gebouwd moeten worden als het stuk land geheel bebouwd moet worden met in totaal 250 woningen. Opgave 22. Men gaat koffie van 14 euro/kg mengen met koffie van 11 euro/kg. Hoeveel kg. moet men van beide soorten nemen als men in totaal 45 kg koffie wil hebben voor 12 euro/kg? 37

Het snijpunt van twee lijnen Als voorbeeld tekenen we de grafieken van de functies f(x) = x + 6 en g(x) = 2x + 3 in één figuur, en bepalen we vervolgens het snijpunt van beide grafieken. Oplossing. f(x) = x + 6 ∗ Snijpunt x-as: f(x) = 0 ⇒ x + 6 = 0 ⇒ x = -6 ∗ Snijpunt y-as: y = f(0) = 6 g(x) = 2x + 3 ∗ Snijpunt x-as: g(x) = 0 ⇒ 2x + 3 = 0 ⇒ 2x = -3 ⇒ x = ∗ Snijpunt y-as: y = g(0) = 3

3 2

Het snijpunt van twee lijnen y-as 12 S

9 6 3 -9

-6

f(x) = x + 6

0

-3 -3

3

6

9

x-as

-6 -9 -12 g(x) = 2x + 3

Voor het snijpunt S geldt: f(x) = g(x) ⇒ x + 6 = 2x + 3 ⇒ x - 2x = 3 - 6 ⇒ -x = -3 ⇒ x = 3 Daar f(3) = g(3) = 9 volgt dat S = (3,9) Opmerking. Het snijpunt S = (3,9) van de grafieken van f(x) = x + 6 en g(x) = 2x + 3 is oplossing y = x + 6 van het stelsel   y = 2x + 3 Omgekeerd: De oplossing van een stelsel eerstegraads vergelijkingen is het snijpunt van de bij deze vergelijkingen horende lijnen. 38

Opgave 23. Teken de grafieken van f(x) = x + 1 en g(x) = -2x + 5 in één figuur en bepaal het snijpunt van beide grafieken. Opgave 24. Teken de grafieken van f(x) = 2x + 5 en g(x) = -x + 8 in één figuur en bepaal het snijpunt van beide grafieken. Opgave 25. Teken de grafieken van f(x) =

1 1 xen g(x) = -2x in één figuur en 6 3

bepaal het snijpunt van beide grafieken. Eerstegraads ongelijkheden Iemand wil een nieuwe auto kopen. Hij heeft zijn oog laten vallen op een auto van merk A (vaste kosten 2800 euro per jaar en een benzineverbruik van 1 op 10) en een auto van merk B (vaste kosten 4000 euro per jaar en een benzineverbruik van 1 op 13). Hij vraagt zich af hoeveel km per jaar hij minstens moet rijden om met een auto van merk B voordeliger uit te zijn dan met een auto van merk A. Om antwoord te kunnen geven op deze vraag gaat hij er van uit dat hij x km per jaar rijdt. Verder is gegeven dat de benzineprijs 1,30 euro per liter is. In dat geval zijn zijn jaarlijkse kosten (in euro’s) voor het rijden met een auto van 1 x ∗ 1,30 terwijl deze voor het rijden met een 10 1 auto van het merk B gelijk zijn aan g(x) = 4000 + x ∗ 1,30 13

het merk A gelijk aan f(x) = 2800 +

Het rijden met een auto van het merk B is voordeliger dan het rijden met een auto van het merk A als g(x) < f(x), ofwel als 4000 +

1 1 x ∗ 1,30 < 2800 + x ∗ 1,30 10 13

Dit is een voorbeeld van een (eerstegraads) ongelijkheid. Nog een voorbeeld van een eerstegraads ongelijkheid: Voor welke waarden van x geldt dat x + 6 ≤ 2x + 3 We zien dat een ongelijkheid doet denken aan een vergelijking, waarbij het “= teken” vervangen is door een ongelijkheidsteken: ≤ of < of ≥ of > Een ongelijkheid kan zowel opgelost worden door gebruik te maken van een grafiek, als ook zonder gebruik te maken van een grafiek. Voordat we ongelijkheden leren oplossen geven we eerst een paar notaties. - Als het getal x hoogstens gelijk is aan het getal a schrijven we: x ≤ a - Als het getal x minstens gelijk is aan het getal a schrijven we: x ≥ a - Als het getal x kleiner is dan het getal a schrijven we: x < a - Als het getal x groter is dan het getal a schrijven we: x > a We laten nu eerst zien hoe een ongelijkheid opgelost kan worden door gebruik te maken van een grafiek. Daartoe nemen we het voorbeeld op pagina 41, waarbij we nu willen weten voor welke waarden van x geldt dat x + 6 ≤ 2x + 3 39

Oplossing. In termen van f(x) en g(x) luidt de vraag: voor welke waarden van x geldt dat f(x) ≤ g(x). Met andere woorden: voor welke waarden van x is f(x) kleiner of gelijk aan g(x). We weten reeds (zie pagina 41) dat f(x) = g(x) als x = 3 Uit de grafiek lezen we nu af dat f(x) ≤ g(x) als x ≥ 3 Om een ongelijkheid op te lossen zonder gebruik te maken van een grafiek gebruiken we de volgende rekenregels: a. Als a < b is a + p < b + p Deze rekenregel geldt ook als we in plaats van met < werken met ≤ of met > of met ≥ Toepassing: x + 5 < 10 ⇒ (x + 5 – 5 < 10 – 5) ⇒ x < 10 – 5 ⇒ x < 5 We zien dat geldt: “In een ongelijkheid mogen termen met tekenwisseling van de ene kant van de ongelijkheid naar de andere kant gebracht worden” b. Als a < b is: pa < pb als p > 0 (voorbeeld: 2 < 3 en 4•2 < 4•3) pa > pb als p < 0 (voorbeeld: 2 < 3 en -1•2 > -1•3; zie onderstaand plaatje (bedenk dat -1⋅2 = -2 en -1⋅3 = -3).) -3

-2

-1

0

1

2

3

Deze rekenregel geldt ook als we in plaats van met < werken met ≤ of met > of met ≥ In woorden: “Bij een ongelijkheid mogen beide zijden vermenigvuldigd worden met hetzelfde positieve getal of gedeeld worden door hetzelfde positieve getal. Worden bij een ongelijkheid beide zijden vermenigvuldigd met hetzelfde negatieve getal of gedeeld door hetzelfde negatieve getal dan moeten de tekens < en ≤ (respectievelijk > en ≥) in de ongelijkheid vervangen worden door > en ≥ (respectievelijk < en ≤)." 1 1 10 Toepassing: 2x < 10 ⇒ ( •2x < •10) ⇒ x < ⇒ x<5 2 2 2 We zien dat geldt: “In een ongelijkheid mogen beide zijden gedeeld worden door de coëfficiënt van x, mits deze positief is. Is de coëfficiënt van x negatief dan mogen ook beide zijden gedeeld worden door deze coëfficiënt, maar moeten de tekens < en ≤ (respectievelijk > en ≥) in de ongelijkheid vervangen worden door > en ≥ (respectievelijk < en ≤)." Om uiteindelijk een ongelijkheid op te lossen brengen we alle termen met x naar de linkerkant van de ongelijkheid en alle constante termen naar de rechterkant. M.b.v. rekenregel b lossen we vervolgens de ongelijkheid op. Als voorbeeld gaan we de ongelijkheid x + 6 ≤ 2x + 3 oplossen. Oplossing. x + 6 ≤ 2x + 3 ⇒ x - 2x ≤ 3 - 6 ⇒ -x ≤ -3 ⇒ x ≥ 3 Tenslotte vermelden we nog de volgende twee eigenschappen. 1. Uit 0 < a < b volgt dat a2 < b2 (voorbeeld: 2 < 3 en 22 < 32) 2. Uit 0 < a < b of a < b < 0 volgt dat

1 1 1 1 > (voorbeeld: 2 < 3 en > ) a 2 b 3

40

Opmerking. a. Als x ≥ a (respectievelijk x > a) geldt dat a ≤ x (respectievelijk a < x) (voorbeeld. 3 > 2 en 2 < 3) b. Als x ≤ a (respectievelijk x < a) geldt dat a ≥ x (respectievelijk a > x) Nog enkele notaties. Is x ≥ a en x ≤ b dan is a ≤ x en x ≤ b en schrijven we: a ≤ x ≤ b Is x ≥ a en x < b dan is a ≤ x en x < b en schrijven we: a ≤ x < b Is x > a en x ≤ b dan is a < x en x ≤ b en schrijven we: a < x ≤ b Is x > a en x < b dan is a < x en x < b en schrijven we: a < x < b Opgave 26. Los de volgende ongelijkheden op: a. 5x – 8 > 3x – 6 b. 2x ≥ 4 + 3•(x – 1) c.

500x ≥ x

d. –3x + 4 ≤ 4x + 5 e.

–2x + 8 < –x + 4

f.

0 < 2x + 3

g. 3x – 5 ≤ 2x h. 1 – y > 3y + 2 i.

x-2 ≤2 5

j.

1 ≤ 2x – 1 ≤ 3

k. 1 ≤

1 x+3≤4 2

l.

2x - 4 ≤3 5

1≤

m. 2 ≤

2-x ≤8 3

Opmerking. De oplossing van een ongelijkheid zoals deze in opgave 26j staat betekent dat we alle getallen x zoeken die zowel voldoen aan de ongelijkheid 1 ≤ 2x – 1 als aan de ongelijkheid 2x – 1 ≤ 3

41

Toepassing. We nemen de gegevens die in het begin van deze paragraaf staan (over de auto’s van het merk A en het merk B). We willen bepalen hoeveel km iemand per jaar moet rijden om met een auto van het merk B voordeliger uit te zijn dan met een auto van het merk A. Bij een afgelegde afstand van x km geldt dat de jaarlijkse kosten (in euro’s) voor het rijden met een auto van het merk A gelijk zijn aan f(x) = 2800 +

1 x ∗ 1,30 10

terwijl deze kosten voor het rijden met een auto van het merk B gelijk zijn aan g(x) = 4000 +

1 x ∗ 1,30 13

We kunnen schrijven dat f(x) = 2800 + 0,13x en dat g(x) = 4000 + 0,10x Het rijden met een auto van het merk B is voordeliger dan het rijden met een auto van het merk A als geldt dat g(x) < f(x) Voordat we deze ongelijkheid oplossen tekenen we allereerst de grafieken van de functies f(x) en g(x) in één figuur. De grafiek van f(x) is de lijn door de punten (o,2800) en (50000,9300) en de grafiek van g(x) is de lijn door de punten (0,4000) en (50000,9000).

Het verband tussen kosten en afgelegde afstand bij het rijden met een auto van merk A en merk B

10000 9000

S

Kosten per jaar (in euro's)

8000 7000

g(x) = 4000 + 0,10x

6000 5000

f(x) = 2800 + 0,13x

4000 3000 2000 1000 0 0

10000

20000

30000

40000

50000

Afgelegde afstand per jaar (in km)

Voor het snijpunt S van beide grafieken geldt dat f(x) = g(x) ⇒ 2800 + 0,13x = 4000 + 0,10x ⇒ 0,13x – 0,10x = 4000 – 2800 ⇒ 0,03x = 1200 ⇒ 42

x=

1200 = 40000 (= 40000 km). 0,03

Uit de figuur volgt dat g(x) < f(x) als x > 40000 (= 40000 km). Conclusie: Het rijden met een auto van het merk B is voordeliger dan het rijden met een auto van het merk A als iemand per jaar meer dan 40000 km aflegt. Opmerking. Als x < 40000 is f(x) < g(x) ⇒ Het rijden met een auto van het merk A is voordeliger dan het rijden met een auto van het merk B als iemand per jaar minder dan 40000 km aflegt. Tenslotte gaan we de oplossing van dit vraagstuk geven zonder gebruik te maken van de grafiek. Er geldt dat het rijden met een auto van het merk B is voordeliger dan het rijden met een auto van het merk A als g(x) < f(x), ofwel als 4000 +

1 1 x ∗ 1,30 < 2800 + x ∗ 1,30 ⇒ 4000 + 0,10⋅x < 2800 + 0,13⋅x ⇒ 10 13

o,10⋅x – 0,13⋅x < 2800 – 4000 ⇒ -0,03⋅x < -1200 ⇒ 0,03⋅x > 1200 ⇒ x >

1200 ⇒ 0,03

x > 40000 (= 40000 km).

Opgave 27. De CV-ketel van de heer Pieters is aan vervanging toe. Hij vraagt zich af of hij weer (net als nu) een conventionele CV-ketel zal nemen (kosten 2000 euro, inclusief installatie) of een hoogrendements ketel (kosten 3900 euro, inclusief installatie). Een conventionele CV-ketel heeft een rendement van 60% (60% van de hoeveelheid gas wordt effectief gebruikt), terwijl een hoogrendements ketel een rendement heeft van 90% (90% van de hoeveelheid gas wordt effectief gebruikt). De vastrecht kosten voor gas bedragen 40 euro per jaar en de variabele kosten 0,25 euro per verbruikte m3 gas. a. Als de heer Pieters met een conventionele CV-ketel 3000 m3 gas per jaar verbruikt, wat is dan zijn verbruik bij een hoogrendements ketel? (er van uitgaande dat hij het even warm wil hebben). b. Stel dat de heer Pieters nu een nieuwe CV-ketel neemt. Schrijf bij beide typen ketels de totale kosten voor zijn gasverbruik in de komende t jaar + zijn aanschafkosten van een CV-ketel, als functie van de tijd t. c. Teken de grafieken van de in b bepaalde functies in één figuur. Na hoeveel jaar is het gebruik van een hoogrendements ketel voor de heer Pieters voordeliger dan het gebruik van een conventionele CV-ketel? 43

Opgave 28. Leden van de Openbare Bibliotheek Groningen hebben de keuze uit een drietal abonnementsoorten. • Houders van een Budget-abonnement betalen 13,50 euro per jaar, en een leengeld van 0,50 per boek. • Met een Basis-abonnement betaalt iemand 25 euro per jaar en een leengeld van 0,15 euro per boek. • Een Groot-abonnement kost 36 euro per jaar, terwijl er geen leengeld per boek is verschuldigd. a. Stel dat iemand x boeken per jaar leent. Schrijf dan voor de verschillende abonnementsoorten zijn totale kosten per jaar als functie van x b. Teken de grafieken van de onder a bepaalde functies in één figuur. c. Bij welke x is het Basis-abonnement het voordeligst? Opgave 29. Een gloeilamp van 75 Watt geeft evenveel licht als een spaarlamp van 18 Watt. Een gloeilamp kost 1 euro en heeft een levensduur van 1000 uur. Een spaarlamp kost 15 euro en heeft een levensduur van 8000 uur. De kosten van elektriciteit bedragen 0,15 euro per kWh (dat wil zeggen: als iemand één uur lang 1000 Watt verbruikt kost dit 0,15 euro). a. Schrijf de totale kosten (= aanschafkosten + kosten elektriciteitsverbruik) voor x uur verlichting (met 0 ≤ x ≤ 1000) bij het gebruik van een gloeilamp als een functie van x. Doe hetzelfde bij het gebruik van een spaarlamp. b. Neem nu aan dat de gloeilamp na 1000 branduren vervangen wordt. (De spaarlamp hoeft nog niet vervangen te worden). Schrijf nu de totale kosten (= aanschafkosten + kosten elektriciteitsverbruik) voor x uur verlichting (met 1000 < x ≤ 2000) bij het gebruik van een gloeilamp als een functie van x. Doe hetzelfde bij het gebruik van een spaarlamp. c. Teken in één figuur de grafieken die de totale kosten als functie van het aantal uren verlichting x weergeven bij het gebruik van een gloeilamp respectievelijk een spaarlamp (doe dit als 0 ≤ x ≤ 2000). Voor welke waarde van x zijn de totale kosten bij het gebruik van een gloeilamp gelijk aan die bij het gebruik van een spaarlamp?

44

Antwoorden van de opgaven

Pagina 10 Opgave 1. 2•32 = 18; -2•32 = -18; (2•3)2 = 36; (-2•3)2 = 36; -(2•3)2 = -36 Opgave 2. 1000•(1,03)10 = 1343,92 (= 1343,92 euro) Opgave 3. 500•(1,034)8 = 653,33 (= 653,33 euro) Pagina 13 Opgaven 4 a. 3•(x + 4) = 3x + 12 b. 4•(2x + 7) = 8x + 28 c. -5•(x - 6) = -5x + 30 d. p(q + 2) = pq + 2p e. 7•(x + 2y) – 2•(3x + y) = 7x + 14y - 6x - 2y = x + 12y f. 4•(a - b) - (2a - 3b) = 4a - 4b - 2a + 3b = 2a - b 5.

2 ∗ (4 + 6) = 2 ∗ 10 = 20

6.

2 ∗ 4 + 6 = 8 + 6 = 14

7.

2 + 4 ∗ 5 = 2 + 20 = 22

8.

(2 + 4) ∗ 5 = 6 ∗ 5 = 30

9.

7 9 1 2 1 + = + = 2 7 14 14 14

10.

2 7 8 21 29 + = + = 12 12 12 3 4

11.

4 5 4 4 12 35 47 1 10 10 + ∗ = + = + = + = 7 3 7 7 2 3 6 21 21 21

12. ( 13.

3∗5 2 ∗5 7 8 10 4 15 10 5∗5 25 1 10 + )∗ = ( + )∗ = = = = ∗ ∗ 2 3 14 2∗7 7 14 3 14 3 3 7 7

6 − 12 12 6 −6 12 6 12 = = = =10 5 5 5 5 5 5 2-6 2+6 - 32 2 2 2 6 2 6 -4 8 - 2) ∗ ( + 2) = ( - ) ∗ ( + ) = = = =∗ ∗ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 9 32 9

14. (

15.

9-2 1   7

= (9 - 2) ∗ 7 = 7 ∗ 7 = 49

45

16.

1 3-2 = 3+2 5

17.

1 1     3 2 1 6  3 =   = ∗ = 3 5 5 5 1 1    +  6  3 2

Pagina 14 4 1 = 25 + 23,21 = 48,21 ∗3 2 7

18.

25 + 6

19.

6

20.

332 40 ∗ 8,3 = = 24,96 5 + 8,3 13,3

21.

(4,81 + 7,92) + 9,5 ∗ (2,4 - 1,6) = 12,73 + 9,5 ∗ 0,8 = 12,73 + 7,6 = 20,33

22.

(4,81 - 7,92) - 9,5 ∗ (-2,4 + 1,6) = -3,11 - 9,5 ∗ (-0,8) = -3,11 + 7,6 = 4,49

23.

63,4 2(40 - 8,3) = = 4,77 5 + 8,3 13,3

24.

0,2 - 1,96 ∗

0,1 = 0,2 - 0,0131 = 0,1869 15

25.

0,2 + 1,96 ∗

0,2 ∗ 0,8 = 0,2 + 0,0209 = 0,2209 15

26.

500 + 1,96 ∗

27.

0,2 + 1,96 ∗

1 ∗ (3 + 4,9) = 6,5 ∗ 7,9 = 51,35 2

(1,96)2 28. 4 ∗ (0,02)2

∗

63 225

= 500 + 8,2 = 508,2

0,2 ∗ (1 - 0,2) = 0,2 + 0,0523 = 0,2523 225

1 = 9604 4

29.

4 ⋅ (1,96)2 ⋅ (0,75) ⋅ (0,25) = 7203 (0,02)2

30.

4 ⋅ (1,96)2 ⋅ 2 2 = 245,86 (0,5)2

46

Pagina 15 Opgaven 31. 3256 + 7924 =

a.

11180

32. 88889,9 + 2222,1 = b.

91112

33. 194 ∗ 876 =

a. 169944

34. 19,89 ∗ 69,888 =

c. 1390,0723

35. 0,134 ∗ 1951,9 =

b. 261,5546

36. 0,00012 ∗ 5123 =

b.

0,61476

37.

489,3 = 31,12

a.

15,723

38.

4893 = 3112

b.

1,5723

39.

489,3 = 0,12

c.

40.

489,3 = 0,0012

b. 407750

41.

0,4893 = 12

a. 0,040775

42.

75 =

a.

8,66

43.

0,75 =

b.

0,87

4077,5

Pagina 16 Opgave 1. 450•(1,032) = 464,40 (= 464,40 euro) Opgave 2. Storting van 250 euro is in 1 jaar gegroeid met de factor 256,25 = 1,025 ⇒ rente is 2,5% 250

Pagina 18 Opgave 3. De prijs is gestegen met 93,60 - 90 = 3,60 euro Dit is een stijging met Opgave 4. Korting is

3,60 •100% = 4% 90

5 •468 = 23,40 (= 23,40 euro) 100

47

⇒ Hij moet betalen 468 - 23,40 = 444,60 euro. Opgave 5. Prijsverlaging is 30 euro. Dit is een verlaging met

30 •100% = 20% 150

Opgave 6. Hij moet betalen 400 - 58,75 = 341,25 euro, zodat hij 375 - 341,25 = 33,75 euro korting krijgt. Dit is een korting van

33,75 •100% = 9% 375

Opgave 7. Zijn bruto uursalaris is nu 24•(1,06) = 25,44 (= 25,44 euro). Opgave 8. De prijs is uiteindelijk met 25% verlaagd. Opgave 9. De jassen kosten uiteindelijk 25% van de oorspronkelijke prijs. Pagina 19 Opgave 10. De waarde van het geld in dit Zuid Amerikaans land is het afgelopen jaar gehalveerd. Pagina 20 Opgave 11. De prijs van dit apparaat inclusief 17,5% BTW is 500•(1,175) = 587,50 (= 587,50 euro). Opgave 12. De prijs van het product zonder BTW is A euro. Met 20% BTW wordt dit A•(1,20) euro. Daar gegeven is dat dit gelijk is aan 15 euro volgt dat A•(1,20) = 15 ⇒ A =

15 = 12,50 (= 12,50 euro) ⇒ het BTW-bedrag is 2,50 euro. 1,20

Opgave 13. a. De prijs van het huis exclusief BTW is 100000 euro. Als de bouwer de BTWverlaging volledig aan de klant doorberekent, wordt de prijs van de bewuste woning 118500 euro. b. Als de prijs van het huis 120000 euro blijft, wordt er uitgegaan van een prijs exclusief BTW van A euro, met A•(1,185) = 120000 ⇒ A =

120000 = 101265,82 euro 1,185

⇒ De bouwer steekt nu 101265,82 - 100000 = 1265,82 euro in eigen zak. Opgave 14. a. Prijs van het boek exclusief BTW is

48 = 45,28 euro. 1,06

b. De schrijver ontvangt 8% van 45,28 euro. Dit is 3,62 euro.

48

Pagina 21 Opgave 15. 5000 studenten aan een economische opleiding vormen totaal van 20000 studenten aan de Hanzehogeschool.

5000 •100% = 25% van het 20000

Opgave 16. 9,2% van 278500 mensen zijn 0,092 ∗ 278500 = 25622 mensen. Opgave 17. 592 vrouwen vormen 32% van het totaal aantal werknemers (= A) ⇒ 0,32A = 592 ⇒ A =

592 = 1850 werknemers. 0,32

Opgave 18. 35% van de studenten aan de Hanzehogeschool studeert aan een technische opleiding. De overige studenten vormen 65% van het totaal. Van deze groep studeert 40% aan een economische opleiding Dit is 26% van het totale aantal studenten aan de Hanzehogeschool. Opgave 19. We moeten de volgende verhouding bepalen:

aantal inwoners van Zuid Holland oppervlakte van Zuid Holland

Dit doen we als volgt. Noem de oppervlakte van Nederland a (= a km2) ⇒ Aantal inwoners van Nederland is 468a. De oppervlakte van Zuid Holland is gelijk aan

8,46 ∗ a en het aantal inwoners van 100

21,40 ∗ 468a ⇒ 100  21,40   ∗ 468a  21,40 ∗ 468 aantal inwoners van Zuid Holland 100   = = = 1184 inwoners/km2 oppervlakte van Zuid Holland 8,46  8,46  ∗a   100 

Zuid Holland gelijk aan

Pagina 22 Opgave 20. Het aantal werklozen is afgenomen met 950000 - 912000 = 38000 Dit is een afname met

38000 •100% = 4% 950000

Opgave 21. Het aantal inwoners op 1-1-1997 van deze drie steden was 60000 + 180000 + 260000 = 500000 Op 1-1-2007 was het aantal inwoners van deze drie steden gegroeid tot 70800 + 198000 + 291200 = 560000 49

Dit is een toename met 60000 inwoners. Dit is een procentuele toename met 60000 •100% = 12% 500000

Pagina 25 Opgave 1. a.

x=-

1 2

d.

x=0

b.

x=-

7 4

e.

y=

4 7

c.

x=5

f.

p=

32 15

Pagina 26 Opgave 3. Over x jaar is Peter 3 keer zo oud als zijn zoon. Peter is dan (32 + x) jaar oud en zijn zoon (2 + x). Gegeven is dat (32 + x) = 3•(2 + x) ⇒ x = 13 jaar. Opgave 4. A•(1,035)8 = 1500 ⇒ A =

1500

(1,035 )8

= 1139,12 (= 1139,12 euro).

Opgave 5. Hij heeft de jassen voor x euro per jas ingekocht. ⇒ de verkoopprijs van een jas is dan (1,30)x = 91 ⇒ x = 70 (= 70 euro). ⇒ Voor de 50 jassen heeft hij 3500 euro betaald. Opgave 6. Inkoopprijs importeur is A euro. ⇒ Verkoopprijs aan garagehouder is B euro, met B = 1,10•A ⇒ Verkoopprijs aan klant is 1,05•B euro a. 1,05•B = 6930 ⇒ B = 6600 euro ⇒ de garagehouder heeft deze auto met 330 euro winst verkocht. b. 1,10•A = 6600 ⇒ A = 6000 euro ⇒ de winst van de importeur is 600 euro. Opgave 7. Prijs zonder verlies is A euro ⇒ met 5% verlies is de verkoopprijs 0,95•A = 76000 ⇒ A = 80000 euro ⇒ met 5% winst zou hij ontvangen hebben 1,05 ∗ 80000 = 84000 euro Opgave 8. a. 750•(1,04)7 = 986,95 (= 986,95 euro) b. prijs op 1-1-1999 is A euro ⇒ A•(0,97)7 = 986,95 ⇒ A = 1221,50 euro c. A•(1,01)7 = 986,95 ⇒ A = 920,55 euro

50

Pagina 26 Opgave 9. Noem de kleinste van deze getallen x ⇒ de getallen zijn x, (x + 1), (x + 2), (x + 3) en (x + 4) Gegeven is dat x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) = 75 ⇒ x = 13 ⇒ de getallen zijn 13, 14, 15, 16 en 17 Opgave 10. Breedte = 8 m Pagina 27 Opgave 11. Als er 9 liter water uitgeschept wordt staat het water h cm lager ⇒ (6 dm) ∗ (30 cm) ∗ (h cm) = 9 dm3 ⇒ (6 dm) ∗ (3 dm) ∗ (0,1h dm) = 9 dm3 ⇒ 1,8h dm3 = 9 dm3 ⇒ h = 5 (= 5 cm) ⇒ het water staat nu 25 cm hoog. Opgave 12. Per seconde komt er 2,5 liter water in ⇒ in 75 uur (= 75 ∗ 60 ∗ 60 sec) staat er 75 ∗ 60 ∗ 60 ∗ 2,5 = 675000 liter water in. Als het water h meter hoog staat geldt dat (25 m) ∗ (10 m) ∗ (h m) = 675000 dm3 ⇒ (250 dm) ∗ (100 dm) ∗ (10h dm) = 675000 dm3 ⇒ 250000h = 675000 ⇒ h = 2,7 (= 2,7 m) ⇒ het water staat 0,3 meter (= 30 cm) onder de rand. Opgave 13. Stel dat er a liter water in het bassin staat. De ene pomp pompt in 2

1 uur het 2

   a  bassin leeg ⇒ hij pompt in 1 uur   liter water weg. 21     2    a  De andere pomp pompt in 1 uur   liter water weg. 55     6

Als beide pompen samen t uur werken om het bassin leeg te pompen geldt dat   a a  + 21 5 5  6  2

     ∗t = a ⇒  1 + 1  21 5 5   6   2

   ∗ t = 1 ⇒ t = 1,75 uur.   

Opgave 14. Als Frits vertrekt heeft Paul al 7,5 km afgelegd. Na x uur haalt Frits Paul in ⇒ Afgelegde afstand Paul = afgelegde afstand Frits ⇒ 7,5 + 15x = 20x ⇒ x = 1,5 uur. 51

Pagina 30 Opgave 15. Het punt (1,3) ligt op de lijn met vergelijking y = 2x + 1 De beide andere punten niet. Opgave 16. f(x) = -x + 2 f(x) =

1 x-2 2

∗ Snijpunt x-as: f(x) = 0 ⇒ x = 2 ∗ Snijpunt y-as: y = f(0) = 2 ∗ Snijpunt x-as: f(x) = 0 ⇒ x = 4 ∗ Snijpunt y-as: y = f(0) = -2

Pagina 34 Opgave 17. a. y = 3x + 1 b. De gevraagde lijn loopt evenwijdig aan een lijn met richtingscoëfficiënt 3, en heeft daarom zelf een richtingscoëfficiënt van 3 ⇒ haar vergelijking is: y = 3x + b, voor zeker getal b. Daar het punt (4,5) op de lijn ligt volgt dat x = 4 en y = 5 aan de vergelijking y = 3x + b voldoen ⇒ 5 = 3•4 + b ⇒ b = -7 ⇒ de gevraagde vergelijking is: y = 3x - 7 c. Teken zelf de lijn door de punten (2,5) en (4,6) 1 Uit de figuur blijkt dat haar richtingscoëfficiënt gelijk is aan 2 1 ⇒ haar vergelijking is: y = x + b, voor zeker getal b. Daar het punt (2,5) op de 2 1 lijn ligt volgt dat x = 2 en y = 5 aan de vergelijking y = x + b voldoen 2 1 1 ⇒ 5 = •2 + b ⇒ b = 4 ⇒ de gevraagde vergelijking is: y = x + 4 2 2 Pagina 36 Opgave 18. y=

3

x + 50 2 1 1 b. y = x + 2 2 2 c. qv = -50p + 400 a.

Pagina 37 Opgave 19. a. x = 2,4 en y = 11,2 8 17

b.

a=

en b = -

c.

x = 3 en y = 4

39 17

d.

x = 1,8 en y = 3,4

e.

x = 0,8 en y = -0,6

f.

a = 2 en b = 3 52

Opgave 20. Vorig studiejaar telde de hogeschool x mannelijke studenten en y vrouwelijke. ⇒ in totaal telde de hogeschool toen (x + y) studenten. 1,15 ⋅ (x + y) = 1265 Er geldt:  1,13x + 1,18y = 1265 De oplossing van dit stelsel is x = 660 en y = 440 Op dit moment telt de hogeschool 746 mannelijke studenten en 519 vrouwelijke. Opgave 21. Als er x eengezinswoningen en y bungalows gebouwd worden geldt dat 300x + 600y = 90000  y = 250  x+ De oplossing van dit stelsel is x = 200 en y = 50 Opgave 22. Als we x kg koffie van 14 euro/kg mengen met y kg koffie van 11 euro/kg geldt y = 45  x+ dat:  14x + 11y = 12 ∗ 45 De oplossing van dit stelsel is x = 15 en y = 30 Pagina 39 Opgave 23. Voor het snijpunt S van de grafieken van f(x) = x + 1 en g(x) = -2x + 5 geldt: f(x) = g(x) ⇒ x + 1 = -2x + 5 ⇒ x =

4 4 7 en S = ( , ) 3 3 3

Opgave 24. Voor het snijpunt S van de grafieken van f(x) = 2x + 5 en g(x) = -x + 8 geldt: f(x) = g(x) ⇒ 2x + 5 = -x + 8 ⇒ x = 1 en S = (1,7) Opgave 25. 1 1 xen g(x) = -2x geldt: 6 3 1 1 1 1 1 f(x) = g(x) ⇒ x = -2x ⇒ x = en S = ( ,- ) 6 3 14 14 7

Voor het snijpunt S van de grafieken van f(x) =

Pagina 41 Opgave 26. a. x > 1

f.

x>-

b.

x ≤ -1

g.

x≤5

c.

x≥0

h.

1 y<4

d.

x≥-

i.

x ≤ 12

e.

x>4

j.

1≤x≤2

1 7

3 2

53

k.

-4 ≤ x ≤ 2

l.

4,5 ≤ x ≤ 9,5

m.

-22 ≤ x ≤ -4

Pagina 43 Opgave 27. a. Hij verbruikt 3000 m3 gas per jaar ⇒ effectief verbruikt hij

60 •3000 m3 gas = 1800 m3 gas per jaar. 100

Met een hoogrendementsketel zal hij a m3 gas per jaar verbruiken, met 90 •a = 1800 ⇒ a = 2000 m3 100

b. Met een hoogrendementsketel heeft hij de komende t jaar aan kosten (aanschafkosten + kosten voor het gasverbruik): f(t) = 3900 + 2000 ∗ 0,25t + 40t = 3900 + 540t Met een conventionele CV-ketel heeft hij de komende t jaar aan kosten (aanschafkosten + kosten voor het gasverbruik): g(t) = 2000 + 3000 ∗ 0,25t + 40t = 2000 + 790t c. De grafiek van de functie f(t) = 3900 + 540t is de lijn door de punten (0,3900) en (5,6600) en de grafiek van de functie g(t) = 2000 + 790t is de lijn door de punten (0,2000) en (5,5950) Aanschafkosten CV-ketel + kosten voor gasverbruik in komende t jaar (bij conventionele CV-ketel en hoogrendementsketel) 10000 9000 S

Kosten (in euro's)

8000 7000 6000

f(t) = 3900 + 540t

5000 4000 g(t) = 2000 + 790t

3000 2000 1000 0

0

1

2

3

4 5 Tijd (in jaren)

6

7

8

9

Voor het snijpunt S van beide grafieken geldt dat f(t) = g(t) ⇒ t = 7,6 jaar. Na 7,6 jaar is het gebruik van een hoogrendementsketel voor de heer Pieters voordeliger dan het gebruik van een conventionele CV-ketel. 54

Pagina 44 Opgave 28. a. Als iemand x boeken per jaar leent zijn zijn kosten per jaar (in euro’s) ∗ met een Budget-abonnement: f(x) = 13,50 + 0,50x ∗ met een Basis-abonnement: g(x) = 25 + 0,15x ∗ met een Groot-abonnement: h(x) = 36 b. De grafiek van de functie f(x) = 13,50 + 0,50x is de lijn door de punten (0;13,50) en (30;28,50) (we noteren in deze opgave punten met (x;y).) De grafiek van de functie g(x) = 25 + 0,15x is de lijn door de punten (0;25) en (30;29,50) De grafiek van de functie h(x) = 36 is de lijn door de punten (0;36) en (30;36) Kosten per jaar voor het lenen van bibliotheek-boeken bij de verschillende abonnementsoorten

c. f(x) = g(x) ⇒ x = 32,9 g(x) = h(x) ⇒ x = 73,3 Uit de figuur blijkt dat het Basis-abonnement het voordeligst is (g(x) is het kleinste) als iemand x boeken per jaar leent met 33 ≤ x ≤ 73

55

Opgave 29. a. De totale kosten (= aanschafkosten + kosten electriciteitsverbruik) voor x uur verlichting (met 0 ≤ x ≤ 1000) zijn bij het gebruik van een gewone gloeilamp gelijk aan f(x) = 1 + 0,075 ∗ 0,15x De totale kosten (= aanschafkosten + kosten electriciteitsverbruik) voor x uur verlichting (met 0 ≤ x ≤ 1000) zijn bij het gebruik van een spaarlamp gelijk aan g(x) = 15 + 0,018 ∗ 0,15x b. De totale kosten (= aanschafkosten + kosten electriciteitsverbruik) voor x uur verlichting (met 1000 < x ≤ 2000) zijn bij het gebruik van een gewone gloeilamp gelijk aan f(x) = 2 + 0,075 ∗ 0,15x De totale kosten (= aanschafkosten + kosten electriciteitsverbruik) voor x uur verlichting (met 1000 < x ≤ 2000) zijn bij het gebruik van een spaarlamp gelijk aan g(x) = 15 + 0,018 ∗ 0,15x c. De grafiek van de functie f(x) bestaat, als voor x geldt dat 0 ≤ x ≤ 2000, uit twee lijnstukken: het ene lijnstuk dat ligt tussen de punten (0;1) en (1000;12,25), en het ander lijnstuk dat ligt tussen de punten (1000;13,25) en (2000;24,50) (we noteren in deze opgave punten met (x;y).) De grafiek van de functie g(x) is de lijn door de punten (0;15) en (1000;17,70) Totale kosten (= aanschafkosten + kosten electriciteitsverbruik) bij het gebruik van een gewone gloeilamp en een spaarlamp

Uit de figuur blijkt dat f(x) = g(x) als x voldoet aan 1000 < x ≤ 2000 ⇒ 2 + 0,075 ∗ 0,15x = 15 + 0,018 ∗ 0,15x ⇒ x = 1520 (= 1520 uur).

56

Tentamen: Rekenvaardigheden (voorbeeldtentamen)

Bij dit tentamen is alleen het gebruik van de CASIO fx-82 of de Texas Instruments TI 30 toegestaan

HG-SIMM Aantal pagina's: 2 Duur: 1,5 uur

Opmerking. Op dit tentamen zijn 100 punten te behalen. De punten staan bij de opgaven vermeld. Dit tentamen is een voorbeeld van het tentamen rekenvaardigheden bij IMM. Het type vragen dat gesteld wordt is veelal hetzelfde. Dus bij opgave 1 het wegwerken van haakjes, en bij de laatste opgave het uitwerken van een ingeklede vergelijking. Opmerking. Voorzie de opgaven (behalve opgave 2) van een uitwerking; een antwoord alleen is niet voldoende. Opgave 1 (3+4+3=10 punten) a. Werk de haakjes weg in de volgende uitdrukking: 3·(2x + 4) – 2·(1 - x) en schrijf haar in de vorm ax + b 1 2 b. Schrijf de volgende som als één breuk: + 5 3 5 22 ⋅ c. Vereenvoudig de volgende uitdrukking zover mogelijk: 5⋅7 2⋅7 Schrijf het resultaat als één breuk. Opgave 2 (5+5=10 punten) Bereken de volgende uitdrukkingen a. 0,2 + 1,96 ∗

b.

0,16 = 225

4 ⋅ (1,96)2 ⋅ (0,75) ⋅ (0,25) = (0,02)2

Opgave 3 (6+7=13 punten) Los de volgende vergelijking en ongelijkheid op: (Geef het antwoord van de vergelijking in 2 decimalen nauwkeurig) g.

1 1 1 1 p- = p+ 2 5 3 4

b. 2x ≥ 4 + 3•(x – 1)

57

HG-SIMM

Vak: RKV

Datum:

Blad: 2

Opgave 4 (7 punten) Los het volgende stelsel vergelijkingen op:  y = - 2x + 1  4x - 3y = 5 Opgave 5 (8 punten) Een artikel kost 15 euro, inclusief 20% BTW. Bereken het BTW bedrag in deze 15 euro. Opgave 6 (4+5+5=14 punten) Karel heeft op 1 februari 1999 750 euro gestort op een spaarrekening (rente 4% per jaar). d. Tot welk bedrag was deze storting op 1 februari 2006 aangegroeid? e. Op 1 februari 2006 kon Karel van het onder a berekende bedrag een videorecorder kopen. Deze is tussen 1 februari 1999 en 1 februari 2006 jaarlijks met 3% in prijs gedaald. Bereken de prijs van deze videorecorder op 1 februari 1999. f. Wat zou de prijs van deze videorecorder op 1 februari 1999 geweest zijn als deze (tussen 1 februari 1999 en 1 februari 2006) jaarlijks 1% duurder was geworden? Opgave 7 (8 punten) Het aantal werklozen in Nederland is het afgelopen jaar afgenomen van 950000 tot 912000. Met hoeveel procent is het aantal werklozen in Nederland het afgelopen jaar afgenomen? Opgave 8 (5 punten) Bepaal de vergelijking van de lijn door de punten (1,3) en (5,5) Opgave 9 (6+4+3=13 punten) a. Bepaal van de grafieken van de functies f(x) = x + 1 en g(x) = -2x + 5 de snijpunten met de assen. Teken vervolgens de grafieken van de functies f(x) en g(x) in één figuur. b. Bepaal het snijpunt van beide grafieken. c. Los op voor welke waarden van x geldt dat f(x) ≥ g(x). Opgave 10 (12 punten) Men gaat koffie van 14 euro/kg mengen met koffie van 11 euro/kg. Hoeveel kg. moet men van beide soorten nemen als men in totaal 45 kg koffie wil hebben voor 12 euro/kg?

58

Uitwerking tentamen Rekenvaardigheden (voorbeeldtentamen) Opgave 1 a. 3·(2x + 4) – 2·(1 - x) = 3·2x + 3·4 -2·1 + 2x = 6x + 12 - 2 + 2x = 8x + 10 (zie syllabus pagina 1-3) b.

1 2 6 5 11 + = + = (zie syllabus pagina 6) 5 15 15 15 3

c.

5 22 ⋅ 5⋅7 2⋅7

=

=

2 1 2 ⋅ = (zie syllabus pagina 6) 7 7 49

Opgave 2 (zie syllabus pagina 1-10) a. 0,2 + 1,96 ∗

b.

0,16 = 0,2 + 0,0523 = 0,2523 225

4 ⋅ (1,96)2 ⋅ (0,75) ⋅ (0,25) = 7203 (0,02)2

Opgave 3 (voor a: zie syllabus pagina 27-29; voor b: zie syllabus pagina 42-46) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 32 8 h. p- = p+ ⇒ p- p= + ⇒ p= ⇒ p= 5 4 4 15 15 2 2 3 5 3 4 b. 2x ≥ 4 + 3•(x – 1) ⇒ 2x ≥ 4 + 3x – 3 ⇒ 2x – 3x ≥ 4 – 3 ⇒ -x ≥ 1 ⇒ x ≤ -1 Opgave 4 (zie syllabus pagina 39-40) 4x + 2y = 2  y = - 2x + 1 2x + y = 1 ⇒  ⇒   4x - 3y = 5 4x - 3y = 5 4x - 3y = 5 Trekken we de tweede regel af van de tweede dan krijgen we: 5y= -3 ⇒ y = -0,6 Vullen we dit in in de vergelijking 4x – 3y = 5 dan vinden we 4x – 3·(-0,6) = 5 ⇒ 4x + 1,8 = 5 ⇒ 4x = 5 – 1,8 ⇒ 4x = 3,2 ⇒ x = 0,8 Opgave 5 (zie syllabus pagina 23) De prijs van het product zonder BTW is A euro. Met 20% BTW wordt dit A•(1,20) euro. Daar gegeven is dat dit gelijk is aan 15 euro volgt dat A•(1,20) = 15 ⇒ A =

15 = 12,50 (= 12,50 euro) ⇒ het BTW-bedrag is 2,50 euro. 1,20

Opagve 6 (zie syllabus pagina 8 en pagina 27-29) a. 750•(1,04)7 = 986,95 (= 986,95 euro) b. prijs op 1-1-1999 is A euro ⇒ A•(0,97)7 = 986,95 ⇒ A = 1221,50 euro c. A•(1,01)7 = 986,95 ⇒ A = 920,55 euro 59

Opgave 7 (zie syllabus pagina 17-25) Het aantal werklozen in Nederland is het afgelopen jaar afgenomen met 950000 – 912000 = 38000 Dit is een afname met

38000 ·100% = 4% 950000

Opgave 8 (zie syllabus pagina 34-38) De vergelijking van de lijn door de punten (1,3) en (5,5) is y = ax + b voor zekere getallen a en b Punt (1,3) ligt op de lijn ⇒ x = 1 en y = 3 voldoen aan lijnvgl. ⇒ 3 = a + b  Punt (5,5) ligt op de lijn ⇒ x = 5 en y = 5 voldoen aan lijnvgl. ⇒ 5 = 5a + b 1 Als we de tweede vergelijking aftrekken van de eerste krijgen we: -2 = -4a ⇒ a = 2 1 1 Vullen we dit in in de eerste vergelijking dan krijgen we: 3 = +b⇒b=2 2 2 1 1 ⇒y= x+2 2 2 Opgave 9 (zie syllabus pagina 31-33 en pagina 41-43) f(x) = x + 1 ∗ Snijpunt x-as: f(x) = 0 ⇒ x + 1 = 0 ⇒ x = -1 ∗ Snijpunt y-as: y = f(0) = 1 g(x) = -2x + 5 ∗ Snijpunt x-as: g(x) = 0 ⇒ -2x + 5 = 0 ⇒ -2x = -5 ⇒ x =

∗ Snijpunt y-as: y = g(0) = 5

60

5 2

b. Voor het snijpunt S geldt: f(x) = g(x) ⇒ x + 1 = -2x + 5 ⇒ x + 2x = 5 - 1 ⇒ 3x = 4 ⇒ x = c.

7 4 4 4 4 7 Daar f   = g   = volgt dat S =  ,  3 3 3 3 3 3

Uit de figuur lezen we af dat f(x) ≥ g(x) voor x ≥

4 3

Opgave 10 (zie syllabus pagina 39-40) Stel dat we x kg koffie van 14 euro/kg mengen met y kg koffie van 11 euro/kg. ⇒ in totaal hebben we dan (x + y) kg koffie. Als we in totaal 45 kg koffie willen hebben voor 12 euro/kg geldt dat:  x + y = 45  14x + 11y = 12 ∗ 45

14x + 14y = 14 ∗ 45 (alles is vermenigvuldigd met 14) ⇒  14x + 11y = 12 ∗ 45

Trekken we de tweede regel af van de eerste dan krijgen we: 3y = 2 ∗ 45 = 90 ⇒ y = 30 en x = 15 Dit betekent dat we 15 kg koffie van 14 euro/kg moeten mengen met 30 kg koffie van 11 euro/kg.

61