Elektrotechnika 1 - počítačová cvičení

Elektrotechnika 1 (BEL1) - počítačová cvičení 2008

1

Elektrotechnika 1 - počítačová cvičení

Garant předmětu: doc. Ing. Jiří Sedláček, CSc. Autoři textu: doc. Ing. Jiří Sedláček, CSc. doc. Ing. Milan Murina, CSc. Ing. Miloslav Steinbauer, Ph.D.

Brno

5.8. 2008

Obsah 1 Základní zákony elektrických obvodů a jejich aplikace.....................................................3 2 Metoda zjednodušování obvodu.........................................................................................6 3 Metoda úměrných veličin .................................................................................................10 4 Přímá aplikace Kirchhoffových zákonů ...........................................................................12 5 Metoda smyčkových proudů (MSP).................................................................................13 6 Metoda uzlových napětí (MUN).......................................................................................18 7 Modifikovaná metoda uzlových napětí (MMUN)............................................................25 8 Metoda náhradního zdroje ................................................................................................27 9 Časově proměnné veličiny ...............................................................................................30 10 Nelineární obvody ............................................................................................................34 11 Magnetické obvody ..........................................................................................................43 Příloha – BH charakteristiky ....................................................................................................54

1 Základní zákony elektrických obvodů a jejich aplikace

3

1 Základní zákony elektrických obvodů a jejich aplikace OHMŮV ZÁKON U

U = R⋅I R

I

I. KIRCHHOFFŮV ZÁKON (PROUDOVÝ):

∑I

=0

k

k

Proudy tekoucí z uzlu bereme s kladným znaménkem, proudy tekoucí do uzlu se záporným znaménkem. I2

I1 − I 2 + I 3 = 0

I1 I3

II. KIRCHHOFFŮV ZÁKON (NAPĚŤOVÝ):

∑U

k

=0

k

Napětí (úbytky na rezistorech, napětí zdrojů), jejichž čítací šipka má směr, souhlasící se směrem oběhu kolem smyčky, bereme s kladným znaménkem, ostatní napětí se záporným znaménkem. Ui1 U

UR3

Ui2

UR2

U

R3

U i1 + U R3 − U i2 + U R2 + U R1 = 0

R2

R1

UR1

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 1.1 Napětí stejnosměrného zdroje naprázdno je 13 V. Při proudu 20 A je svorkové napětí 12 V. Vytvořte napěťový a proudový model tohoto reálného zdroje. Řešení a) napěťový model

b) proudový model

Gi =

U i = U 0 = 13 V Ri =

U 0 − U 13 − 12 = = 0, 05 Ω I 20

Ii =

1 = 20 S Ri

Ui = 260 A Ri

4

Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení

Příklad 1.2

Stejnosměrný zdroj při připojeném R1 = 68 Ω dodává proud I1 = 0,15 A a při R2 = 100 Ω pak I 2 = 0,106 A . Vytvořte napěťový a proudový model zdroje. Řešení

R1 I1 = U i − Ri I1 , Ri =

R2 I 2 = U i − Ri I 2 ,

R1 I1 − R2 I 2 = 9, 091 Ω I 2 − I1

R1 I1 − R2 I 2 = U i − Ri I1 − U i + Ri I 2

U i = Ri I1 + R1 I1 = 11,56 V

Ri = 9,091 Ω

Gi =

U i = 11,56 V

Ii =

1 1 = = 0,11S Ri 9, 091

U i 11,56 = = 1, 272 A Ri 9, 091

Příklad 1.3

Určete napětí U a proud IV dvou paralelně řazených elektrických zdrojů (např. nový a starší chemický článek).

U i1 = 1,6 V U i2 = 1,45 V Ri1 = 0,8 Ω Ri2 = 1,2 Ω

Řešení

Aplikací II. K.z. na vyznačenou smyčku dostaneme Ri1 I V + Ri2 I V + U i2 − U i1 = 0 . U − U i2 = 0,075 A . Vypočteme proud smyčky I V = i1 Ri1 + Ri2 Výsledné napětí U je součtem napětí v jedné větvi U = Ri2 I V + U i2 = 1,54 V .

Poznámka: Paralelně řazené články jsou naprázdno, přesto uvnitř baterie teče proud. Proto nelze spojovat nové a staré elektrické články paralelně.

NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 1.4

Určete napětí U: a) přepočtem napěťových zdrojů na proudové, b) aplikací základních zákonů elektrických obvodů.

1 Základní zákony elektrických obvodů a jejich aplikace

R1

1

R2

U

2

5

U1 = 70 V U 2 = 50 V R1 = 9 Ω R2 = 15 Ω

U

Výsledek: U = 25 V Příklad 1.5

Určete svorková napětí zdrojů U1 a U2 pro hodnotu zátěže a) Rz = 5 Ω a b) Rz = 3 Ω. U i1 = 1,6 V U i2 = 1,2 V Ri1 = 0,8 Ω Ri2 = 4 Ω a) Výsledky:

b) Výsledky:

I = 0, 2857 A U1 = 1,371 V, U 2 = 0, 05714 V

I = 0,359 A U1 = 1,313 V, U 2 = −0,2359 V

Poznámka: Při vzájemném porovnání výsledků je vidět, že pro menší z hodnot Rz se otočí polarita svorkového napětí U2. To může nastat v baterii z nestejných elektrických článků. Příklad 1.6

Určete hodnotu odporu R3 tak, aby U ab = 20 V .

U1 = 10 V, U 2 = 20 V, U 3 = 30 V R1 = 5 Ω, R2 = 10 Ω

Nápověda: Přepočtěte zdroje na proudové a k řešení použijte I. K.z. pro uzel Výsledek: R3 = 5 Ω

.

6


2 Metoda zjednodušování obvodu ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 2.1

Určete U4 metodou zjednodušování.

U = 10 V,

R1 = 20 Ω,

R2 = 100 Ω, R3 = R4 = 50 Ω

Řešení:

R34 = R3 + R4 = 50 + 50 = 100 Ω

Celkový odpor

R234 =

Proud ze zdroje

R = R1 + R234 = 20 + 50 = 70 Ω U I1 = = 0,1429 A R U 2 = U − R1 I1 = 7,143 V

Hledané napětí

U4 = U2

R2 ⋅ R34 100 ⋅100 = =50 Ω R2 + R34 100 + 100

R4 = 3,571 V R3 + R4

Příklad 2.2

Vypočtěte proudy I, I2, I3. R2

2

R1 R3 3

R4

U = 20 V R1 = R2 = R3 = R4 = 10 Ω

U

Řešení:

R23 =

R2 R3 10 ⋅10 = = 5Ω R2 + R3 10 + 10

R = R1 + R23 + R4 = 25Ω I=

U 20 = = 0,8A R 25

2 Metoda zjednodušování obvodu

7

U 2 = I ⋅ R23 = 0,8 ⋅ 5 = 4 V I2 =

U2 4 = = 0,4 A R2 10

I3 =

U2 4 = = 0,4 A R3 10

Příklad 2.3

Vypočtěte proudy I, I2, I3, I4, I5. U = 20 V R1 = R3 = R4 = 10 Ω R2 = 20 Ω R5 = 15 Ω

Řešení:

R34 =

R3 R4 =5Ω R3 + R4 R1

R345 = R34 + R5 = 20 Ω

R2345 R U

U

R2345

RR = 2 345 = 10 Ω R2 + R345

R = R1 + R2345 = 20 Ω U 20 = =1A R 20 U1 + U AB − U = 0 ⇒ U AB = U − U1 I=

U AB = U − I ⋅ R1 = 10 V I2 =

U AB 10 = = 0,5 A 20 R2

I 5 + I 2 − I = 0 ⇒ I 5 = I − I 2 = 0,5 A

8

U AB = U AC + U 5 ⇒ U AC = U AB − U 5 U AC = U AB − I 5 R5 = 2,5 V


I3 =

U AC 2,5 = = 0,25 A 10 R3

I4 =

U AC 2,5 = = 0,25 A 10 R4


Vypočtěte proudy I, I1, I2, I3, I4 U = 50 V R1 = 10 Ω R2 = R3 = 20 Ω R4 = 10 Ω Výsledky: I = 5,5 A, I1 = 3 A, I 2 = 2,5 A, I 3 = 1 A, I 4 = 2 A Příklad 2.5

Vypočtěte proudy I, I2, I3, I4, I5 U = 20 V R1 = 10 Ω R2 = R3 = 20 Ω R4 = 40 Ω R5 = R6 = 30 Ω

Výsledky: I = 0,3725 A, I 2 = 0,2549 A, I 3 = 0,0784 A, I 4 = 0,0392 A, I 5 = 0,1176 A Příklad 2.6

Vypočtěte proudy I, I1, I2, I3, I4, I5 U = 30 V R1 = R3 = R5 =20 Ω R2 = 10 Ω R4 = 40 Ω Výsledky: I = I 5 = 1,083A, I1 = 0,83 A, I 2 = 0,25 A, I 3 = 0,16 A, I 4 = 0,083 A

2 Metoda zjednodušování obvodu

9

Příklad 2.7

Vypočtěte proudy I, I2, I3, I4, I5, I6 U = 50 V R1 = 10 Ω, R2 = 20 Ω R3 = 30 Ω, R4 = 40 Ω R5 = 50 Ω, R6 = 60 Ω Výsledky: I = I 6 = 0,585 A, I 2 = 0,451 A, I 3 = 0,0767 A, I 4 = 0,0576 A, I 5 = 0,134 A Příklad 2.8

Určete všechny proudy v obvodu. R1

1

3

U R2

R3

4

R4

2

U = 10 V R1 = R3 = 3 kΩ R2 = 13 kΩ R4 = 2 kΩ

Výsledky: I1 = I 2 = 0,6723 mA, I 3 = 0,4213 mA, I 4 = 0,2528 mA Příklad 2.9

Určete všechny proudy obvodu. U = 48 V, R1 = 2 Ω R2 = 30 Ω, R3 = 40 Ω R4 = 10 Ω, R5 = 20 Ω Výsledky: I1 = 3,178 A, I 2 = 1,096 A, I 3 = 0,219 A, I 4 = 0,877 A, I 5 = 2,082 A Příklad 2.10

Vypočtěte proudy I1, I2, I3, I4. U = 50V, R1 = R4 =10 Ω R2 =60 Ω, R3 = 20 Ω R5 = 30 Ω Výsledky:

I1 = 2,143 A, I 2 = 0,8333 A, I 3 = 1,429 A, I 4 = 0,7143 A

10


3 Metoda úměrných veličin ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 3.1

Určete napětí U4 metodou úměrných veličin.

U = 10 V,

R1 = 20 Ω,

R2 = 100 Ω, R3 = R4 = 50 Ω

Řešení:

I 4′ =

U 4′ = 1 A, U′2 = ( R3 + R4 ) I 4′ = 100 V R4

I 2′ =

U 2′ = 1A, I1 = I 2′ + I 4′ = 2 A R2

Volíme U 4′ = 50 V a vypočteme

Koeficient úměrnosti Hledané napětí

U ′ = U 2′ + R1 I1′ = 140 V U k= = 0,07143 U′ U 4 = kU 4′ = 3,571 V

Příklad 3.2

Určete proudy obvodu: a) metodou zjednodušování, b) metodou úměrných veličin. U = 10 V R1 = R3 = 3 kΩ R2 = 13 kΩ R4 = 2 kΩ R5 = 4 kΩ

Řešení: a) metodou zjednodušování: R20 = R10 =

R4 R5 = 1,333 kΩ R4 + R5

R2 ( R3 + R20 ) = 3,25 kΩ R2 + R3 + R20

b) metodou úměrných veličin: Volíme I 5′ = 1 mA . ′ = R5 I 5′ = 4 V U 20 I 4′ =

′ U 20 = 2 mA R4

R = R1 + R10 = 6,25 kΩ

I 3′ = I 4′ + I 5′ = 3 mA

U I1 = = 1,6 mA R U10 = U − R1 I1 = 5,2 V

′ + R3 I 3′ = 13 V U10′ = U 20 I 2′ =

U10′ = 1 mA R2

3 Metoda úměrných veličin

I2 =

11

I1′ = I 2′ + I 3′ = 4 mA

U10 = 0,4 mA R2

U ′ = U10′ + R1 I1′ = 25 V

I 3 = I1 − I 2 = 1,2 mA U 20 = U10 − R3 I 3 = 1,6 V I4 =

U 20 = 0,8 mA R4

U = 0,4 U′ I1 = kI1′ = 1,6 mA, I 2 = kI 2′ = 0,4 mA

I5 =

U 20 = 0,4 mA R5

I 5 = kI 5′ = 0,4 mA

k=

I 3 = kI 3′ = 1,2 mA, I 4 = kI 4′ = 0,8 mA


Určete proudy obvodu: a) metodou zjednodušování, b) metodou úměrných veličin. 1

U

U = 10 V

4

R5 5

3

R2

R1 R3

R1 = R3 = 3 kΩ R4

2

R2 = 13 kΩ R4 = 2 kΩ

R5 = 10 kΩ Výsledky: I1 = 1,672 mA, I 2 = 0,672 mA, I 3 = 0,4202 mA, I 4 = 0,2510 mA, I 5 = 1,000 mA

Příklad 3.4

Vypočtěte proudy I1, I2, I3, I4. U = 50 V, R1 = R4 =10 Ω R2 =60 Ω, R3 = 20 Ω R5 = 30 Ω Výsledky:

I1 = 2,143 A, I 2 = 0,83 A, I 3 = 1,429 A, I 4 = 0,7143 A

Příklad 3.5

Vypočtěte proudy I, I1, I2, I3, I4, I5. U = 30 V R1 = R4 = R5 = 20 Ω R2 =40 Ω, R3 = 10 Ω

Výsledky:

I = I 5 = 0,83 A, I1 = 0,5 A, I 2 = 0,3 A, I 3 = 0,3 A, I 4 = 0,16 A

12


4 Přímá aplikace Kirchhoffových zákonů ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 4.1

Obvod řešte aplikací Kirchhoffových zákonů. R1 = 10 Ω R2 = 20 Ω R3 = 15 Ω U1 = 6 V U 2 = 18 V Řešení: I. K.z.: pro uzel 1

− I1 − I 2 + I 3 = 0 R1 I1 + R3 I 3 − U1 = 0

II. K.z.:

⎡ -1 -1 ⎢R 0 ⎢ 1 ⎢⎣ 0 R2

R2 I 2 + R3 I 3 − U 2 = 0 ⎡ -1 -1 1 ⎤ ⎡ I1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢10 0 15⎥ ⋅ ⎢ I ⎥ = ⎢6 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 20 15⎥⎦ ⎢⎣ I 3 ⎥⎦ ⎢⎣18⎥⎦

1 ⎤ ⎡ I1 ⎤ ⎡0 ⎤ R3 ⎥⎥ ⋅ ⎢⎢ I 2 ⎥⎥ = ⎢⎢U1 ⎥⎥ R3 ⎥⎦ ⎣⎢ I 3 ⎦⎥ ⎢⎣U 2 ⎥⎦

I1 = −0,09231 A ⇒ I 2 = 0,5538 A I 3 = 0,4615 A

Příklad 4.2

Obvod popište pomocí K.z. 1

Řešení: 1

3

R3

R1

G

U

2

R4

4

RG

2

R2

Nezávislé uzly n = 3, I. K.z.: 1: − I + I1 + I 3 = 0 2: − I1 + I 2 + I G = 0 3: − I 2 − I 4 + I = 0

Nezávislé smyčky s = 3, II. K.z.: R1 I1 + RG I G − R3 I 3 = 0 R2 I 2 − R4 I 4 − RG I G = 0 R3 I 3 + R4 I 4 − U = 0

3

1 ⎡1 0 ⎢ −1 1 0 ⎢ ⎢ 0 −1 0 ⎢ ⎢ R1 0 − R3 ⎢ 0 R2 0 ⎢ R3 ⎣⎢ 0 0

0

0

0

1

−1 0

0 RG

− R4

− RG

R4

0

−1⎤ ⎡ I1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ 0 ⎥⎥ ⎢⎢ I 2 ⎥⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎥ ⎢ I3 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥⋅⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢ I4 ⎥ ⎢ 0 ⎥ 0 ⎥ ⎢ IG ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎦⎥ ⎣⎢ I ⎦⎥ ⎣U ⎦

Popis obvodu pomocí K.z. vede na velké množství rovnic, proto se častěji používá metoda smyčkových proudů nebo metoda uzlových napětí.

5 Metoda smyčkových proudů (MSP)

13

5 Metoda smyčkových proudů (MSP) ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 5.1

Metodou smyčkových proudů určete proudy v obvodu.

U1 = 6 V, U 2 = 18 V R1 = 10 Ω, R2 = 20 Ω R3 = 15 Ω Řešení:

Pro smyčky můžeme podle II. K.z napsat: S1: R1 I s1 + R3 ( I s1 − I s2 ) − U1 = 0 S2: R2 I s2 + R3 ( I s2 − I s1 ) + U 2 = 0

( R1 + R3 ) Is1 − R3 Is2 = U1 − R3 I s1 + ( R2 + R3 ) I s2 = −U 2

V maticovém zápisu: ⎡ R1 + R3 ⎢ −R 3 ⎣

− R3 ⎤ ⎡ I s1 ⎤ ⎡ U1 ⎤ ⋅ = R2 + R3 ⎥⎦ ⎢⎣ I s2 ⎥⎦ ⎢⎣ −U 2 ⎥⎦

Pomocí Cramerova pravidla 6 -18 ∆ I s1 = 1 = ∆

∆1 =

-15 = −60 35 −60 = −0,09231 A 650

I1 = I s1 = −0,09231 A

⎡ 25 -15⎤ ⎡ I s1 ⎤ ⎡ 6 ⎤ ⎢ -15 35 ⎥ ⋅ ⎢ I ⎥ = ⎢ -18⎥ ⎣ ⎦ ⎣ s2 ⎦ ⎣ ⎦

25 -15 = 650 -15 35 25 6 ∆2 = = −360 -15 -18 ∆ −360 I s2 = 2 = = −0,5538 A 650 ∆

∆=

I 2 = − I s2 = 0,5538 A

I 3 = I s1 − I s2 = −0,09231 + 0,5538 = 0,4615 A

Poznámka: Soustavu rovnic pro MSP lze zapsat přímo v maticovém tvaru: R·Is = U. Prvky hlavní diagonály odporové matice jsou dány součtem rezistorů příslušné smyčky. Při volbě smyček jako ok sítě a souhlasném smyslu smyčkových proudů jsou ostatní prvky matice R tvořeny záporně vzatou hodnotou rezistorů společných větví. Prvky vektoru zdrojů napětí U jsou dány součtem napětí zdrojů v příslušné smyčce s respektováním znaménka (+ pro nesouhlasnou orientaci napěťové šipky vzhledem ke smyčkovému proudu, - pro souhlasnou orientaci napětí a smyčkového proudu).

14


Příklad 5.2

Pomocí MSP určete proudy v obvodu.

U =2V R1 = R3 = 20 Ω R2 = 40 Ω, R4 = 10 Ω RG = 25 Ω Řešení: − RG ⎡ R1 + RG + R3 ⎢ − RG R2 + R4 + RG ⎢ ⎢⎣ − R3 − R4

I s1 = 0,04321 A,

− R3 ⎤ ⎡ I s1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ − R4 ⎥⎥ ⋅ ⎢⎢ I s2 ⎥⎥ = ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ R3 + R4 ⎥⎦ ⎢⎣ I s3 ⎥⎦ ⎢⎣U ⎥⎦

⎡ 65 −25 −20 ⎤ ⎡ I s1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢ −25 75 −10 ⎥ ⋅ ⎢ I ⎥ = ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ s2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ −20 −10 30 ⎥⎦ ⎢⎣ I s3 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦

I s2 = 0,0284 A, I s3 = 0,1049 A

I1 = I s1 = 0,04321 A,

I 2 = I s2 = 0,0284 A

I 3 = I s3 − I s1 = 0,06169 A , I 4 = I s3 − I s2 = 0,0765 A I = I s3 = 0,1049 A,

I G = I s1 − I s2 = 0,01481 A

Příklad 5.3

Určete proudy obvodu v pomocí MSP.

U1 = 5 V,

U2 = 7 V

R1 = 7,5 Ω, R2 = 2,5Ω R3 = 5 Ω,

R4 = 2 Ω

R5 = 25Ω Řešení: − R4 ⎡ R1 + R4 ⎢ −R R3 + R4 + R5 4 ⎢ ⎢⎣ 0 − R5

⎤ ⎡ I s1 ⎤ ⎡ U1 ⎤ − R5 ⎥⎥ ⋅ ⎢⎢ I s2 ⎥⎥ = ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ R2 + R5 ⎥⎦ ⎢⎣ I s3 ⎥⎦ ⎢⎣ −U 2 ⎥⎦ 0

I s1 = 0,4A, I s2 = −0,6A, I s3 = −0,8A I1 = I s1 = 0,4 A, I 2 = I s3 = 0,8 A, I 3 = − I s2 = 0,6 A I 4 = I s1 − I s2 = 1 A, I 5 = I s2 − I s3 = 0,2 A (Zkouška : I 2 = I 3 + I 5 = 0,8 A)

0 ⎤ ⎡ I s1 ⎤ ⎡ 5 ⎤ ⎡9,5 -2 ⎢ -2 32 -25 ⎥ ⋅ ⎢ I ⎥ = ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ s2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 -25 27,5⎥⎦ ⎢⎣ I s3 ⎥⎦ ⎢⎣-7 ⎥⎦


15


Metodou smyčkových proudů vypočtěte proudy I1, I2, I3.

U1 = 10 V, U 2 = 20 V, U 3 = 30 V R1 = R4 = 10 Ω R2 = R3 = 20 Ω

Výsledky: I1 = 0,16 A, I 2 = 1,16 A, I 3 = 1,3 A Příklad 5.5


U1 = 10 V U 2 = 30 V R1 = R2 = 10 Ω R3 =20 Ω

Výsledky: I1 = -0, 6 A, I 2 = -1, 4 A, I 3 = 0,8 A Příklad 5.6

Metodou smyčkových proudů vypočtěte proudy I1, I2, I3. R3

R1 1

U

2

U1 = 10 V, U 2 = 30 V

3

U

U 3 = 20 V

1 2

R4

R2

3

R5

U

R1 = R4 = R5 = 10 Ω R2 = 20 Ω, R3 = 30 Ω

Výsledky: I1 = -0, 7 A, I 2 = 1,3 A, I 3 = -0, 6 A

16


Příklad 5.7


U1 = 20 V, U 2 = 30 V R1 = R2 = R4 = 10 Ω R3 = 20 Ω

Výsledky: I1 = -1, 286 A, I 2 = -0, 714 A, I 3 = -0,571 A Příklad 5.8

Metodou smyčkových proudů vypočtěte proudy I1, I2, I3. R1

R4

1

U

U1 = 30 V U 2 = 20 V

3

R3

2 1

2

R2

U 3 = 40 V

U

R1 = R2 = 10 Ω

U

3

R3 = R4 = 20 Ω

Výsledky: I1 = 0, 6 A, I 2 = 1,83 A, I 3 = -1,16 A Příklad 5.9

Určete proudy v obvodu pomocí MSP.

1

U1 = 110 V, U 2 = 15 V, U 3 = 90 V

R4

R1 = 500 Ω, R2 = 300 Ω, R3 = 500 Ω 1

6

U

R1

U R6

3

R3

3

5

4

R5

2

2

R2

R4 = 1000 Ω, R5 = 200 Ω, R6 = 700 Ω

U

Výsledky: I1 = 0, 06 A, I 2 = 0, 05 A, I 3 = 0, 04 A, I 4 = 0, 01 A, I 5 = 0, 05 A, I 6 = 0,1 A


17

Příklad 5.10

Metodou smyčkových proudů určete jednotlivé proudy ve větvích obvodu.

U1 = 100 V, U 2 = 30 V U 3 = 10 V, U 4 = 6 V R1 = R2 = 10 Ω, R3 = 15 Ω R4 = 6 Ω, R5 = 5 Ω

Výsledky: I1 = 5,05 A, I 2 = 0,95 A, I 3 = 3,117 A, I 4 = 2,166 A, I 5 = 4,1 A, I 6 = 1,933 A Příklad 5.11

Metodou smyčkových proudů určete proudy obvodu a také výkony dodávané zdroji a spotřebované rezistory. 1

2

U

U 1

R1

2

R6 6

R4

R5

4

R3

U1 = 8V, U 2 = 8V

R2

R1 = 22Ω, R2 = 5Ω, R3 = 16Ω

5

R4 = 15Ω, R5 = 9Ω, R6 = 14Ω

3

Výsledky: I1 = 0,3956 A, I 2 = 0,5726 A, I 3 = −0,2772 A, I 4 = 0,1184 A, I 5 = 0,2954 A, I 6 = 0,177 A

PR1 = R1 I12 = 3,443 W PR2 = R2 I 22 = 1,639 W PR3 = R3 I 32 = 1,229 W PR4 = R4 I 42 = 0,2103 W PR5 = R5 I 52 = 0,7854 W P1 = U1 I1 = 3,165 W, P2 = U 2 I 2 = 4,581 W,

PR6 = R6 I 62 = 0,4386 W

∑ P = 7,746 W

∑ P = 7,745 W ∑P = ∑P R

R

Příklad 5.12

Metodou smyčkových proudů určete proudy v obvodu. 6

R6

R3

R1

3

R5 1

U

R1 = 5 kΩ, R2 = 3 kΩ

U

5

2

2

R4

U1 = 11 V, U 2 = 35 V

1

4

R2

R3 = 2 kΩ, R4 = 5 kΩ R5 = 1 kΩ, R6 = 0,5 kΩ

Výsledky: I1 = −2,25 mA, I 2 = 6,54 mA, I 3 = −7,48 mA, I 4 = 1,31 mA, I 5 = −8,79 mA, I 6 = −5,23 mA

18


6 Metoda uzlových napětí (MUN) ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 6.1

Určete napětí U1 a U2 pomocí metody uzlových napětí.

U A = 20 V, U B = 15 V I = 1,5 A R1 = R2 = 20 Ω R3 = R4 = 40 Ω Řešení:

Nejprve je nutno přepočítat zdroje napětí na zdroje proudu a odpory na vodivosti: U U 1 1 I A = A = 1 A, I B = B = 0,375 A, G1 = G2 = = 0, 05 S, G3 = G4 = = 0, 025 S 20 40 R1 R4 Očíslujeme uzly, jeden (označený obvykle číslem 0) je referenční, ostatní nezávislé.

Pro uzly můžeme podle I. K. z. napsat: 1: ( G1 + G2 ) U10 + G3 (U10 − U 20 ) + I + I A = 0 2: G4U 20 − G3 (U10 − U 20 ) − I − I B = 0

( G1 + G2 + G3 )U10 − G3U 20 = − I − I A −G3U 20 + ( G3 + G4 ) U 20 = I + I B V maticovém zápisu: −G3 ⎤ ⎡U10 ⎤ ⎡ − I − I A ⎤ ⎡G1 + G2 + G3 = ⎢ −G3 G3 + G4 ⎥⎦ ⎢⎣U 20 ⎥⎦ ⎢⎣ I + I B ⎥⎦ ⎣ ⎡ 0,125 −0, 025⎤ ⎡U10 ⎤ ⎡ −2,5 ⎤ ⎢ −0, 025 0, 05 ⎥ ⎢U ⎥ = ⎢1,875⎥ ⎣ ⎦ ⎣ 20 ⎦ ⎣ ⎦ Pomocí Cramerova pravidla určíme uzlová napětí: 0,125 −0, 025 ∆= = 5, 625 ⋅10−3 −0, 025 0, 05 ∆ −2,5 −0, 025 U1 = U10 = 1 = -13,8 V ∆1 = = −0, 078125 ∆ 1,875 0, 05

∆ 0,125 −2,5 U 2 = U 20 = 2 = 30,5 V = 0,171875 ∆ −0, 025 1,875 Poznámka: Soustavu rovnic pro MUN lze zapsat přímo v maticovém tvaru: G·U = I. Prvky hlavní diagonály vodivostní matice jsou dány součtem vodivostí připojených do příslušného uzlu. Ostatní prvky matice G jsou tvořeny záporně vzatou hodnotou vodivostí spojujících mezi příslušnými uzly. ∆2 =

6 Metoda uzlových napětí (MUN)

19

Příklad 6.2

Metodou uzlových napětí vypočtěte proudy I1, I2, I3. IA = 1 A IB = 2 A R1 = R3 = 10 Ω

G2 =

R2 = 20 Ω

⋅ U

G

Řešení: ⎡G1 + G2 ⎢ ⎣ -G2

1 = 0,1 Ω R3

G1 = G3 =

1 = 0, 05 Ω R2 =

I

-G2 ⎤ ⎡U10 ⎤ ⎡ − I A ⎤ ⋅ = G2 + G3 ⎦⎥ ⎣⎢U 20 ⎦⎥ ⎢⎣ I B ⎥⎦

⎡ 0,15 −0, 05⎤ ⎡U10 ⎤ ⎡ −1⎤ ⎢ −0, 05 0,15 ⎥ ⋅ ⎢U ⎥ = ⎢ 2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ 20 ⎦ ⎣ ⎦ −G2 ⎤ 0,15 −0, 05 ⎡G + G2 ∆ = det ⎢ 1 = = 0, 05 ⎥ G2 + G3 ⎦ −0, 05 0,15 ⎣ −G2 −G2 ⎤ −1 −0, 05 ⎡− I ∆1 = det ⎢ A = −0, 05 ⎥= ⎣ I B G2 + G3 ⎦ 2 0,15

U10 =

∆1 −0, 05 = = −2,5 V ∆ 0, 02

0,15 −1 ⎡G + G2 − I A ⎤ ∆ 0, 25 U 20 = 2 = = 12,5 V ∆ 2 = det ⎢ 1 = = 0, 25 ⎥ I B ⎦ −0, 05 2 ∆ 0, 02 ⎣ −G2 U U − U 20 −15 U 2,5 12,5 I1 = 10 = − = −0,25 A , I 2 = 10 = 1,25 A . = = −0,75 A , I 3 = 20 = R1 10 R2 20 R3 10

Příklad 6.3

Pomocí metody uzlových napětí určete proudy I1, I2, I3 v obvodu.

U1 = 6 V, U 2 = 18 V R1 = 10 Ω, R2 = 20 Ω R3 = 15 Ω

Řešení:

G1 = 0,1S, G2 = 0,05 S, G3 = 0,06 S I z1 =

U1 U = 0,6 A, I z2 = 2 = 0,9 A R1 R2

20


Sestavíme rovnici pro uzel 1: − I z1 − I z2 + G1U10 + G2U10 + G3U10 = 0 U10 =

I z1 + I z2 = 6,923 V G1 + G2 + G3

Pozor – proudy I1, I2 je nutno určit z původního obvodu! I1 = I z1 − G1U10 = −0,0923A I 2 = I z2 − G2U10 = 0,5539 A I 3 = G3U10 = 0,4616 A

Příklad 6.4

Určete proudy větví obvodu pomocí MUN.

U1 = 5 V, U 2 = 10 V R1 = 2 kΩ, R2 = 2 kΩ, R3 = 5 kΩ R4 = 3 kΩ, R5 = 1 kΩ

Řešení:

Nejprve je nutno přepočítat zdroje napětí na zdroje proudu: U U I z1 = 1 = 2,5 mA, I z2 = 2 = 2 mA R1 R3

⎡G1 + G2 + G4 ⎢ −G2 ⎣

−G2

⎤ ⎡U10 ⎤ ⎡ I z1 ⎤ ⋅ = G2 + G3 + G5 ⎥⎦ ⎢⎣U 20 ⎥⎦ ⎢⎣ I z2 ⎥⎦

⎡1,3 ⋅10−3 −5 ⋅10−4 ⎤ ⎡U10 ⎤ ⎡ 2,5 ⋅10−3 ⎤ ⎢ ⎥⋅⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ −4 1, 7 ⋅10−3 ⎦ ⎣U 20 ⎦ ⎣ 2 ⋅10−3 ⎦ ⎣ −5 ⋅10 ∆=

1, 3 ⋅10−3

−5 ⋅10−4

−5 ⋅10−4

1, 7 ⋅10−3

∆1 = ∆2 =

= 2, 016 ⋅10−6

2,5 ⋅10−3 −5 ⋅10−4 = 5, 25 ⋅10−6 −3 −3 2 ⋅10 1, 7 ⋅10

U10 =

∆1 = 2,6033 V ∆

1, 3 ⋅10-3

2,5 ⋅10-3

-5 ⋅10-4

2 ⋅10-3

U 20 =

∆2 = 1,9421 V ∆

= 3,916 ⋅10-6

I1 =

U1 − U10 U − U10 U − U 20 = 1,198 mA, I 2 = 20 = 0,3306 mA, I 3 = 2 = 1,612 mA R1 R2 R3

I4 =

U10 U = 0,8678 mA, I 5 = 20 = 1,942 mA R4 R5


21

Příklad 6.5

Určete napětí U1 a U2 pomocí MUN. U A = 20 V, U B = 15 V I = 1,5 A R1 = R2 = 20 Ω R3 = R4 = 40 Ω Řešení: Přepočet na proudové zdroje a výpočet vodivostí:

I z1 =

UA = 1 A, R2

I z2 =

I

UB = 0,375 A, R4 2

G2 I

10

I

20

G3 G4

G1

1 = 0, 05 S, 20

⎡G1 + G2 ⎢ −G 2 ⎣

z1

1

G1 = G2 =

G3 = G4 =

1 = 0, 025 S 40

−G2 ⎤ ⎡U10 ⎤ ⎡ I z1 − I ⎤ = G2 + G3 + G4 ⎥⎦ ⎢⎣U 20 ⎥⎦ ⎢⎣ − I z1 − I z2 ⎥⎦

⎡ 0,1 −0, 05⎤ ⎡U10 ⎤ ⎡ −0,5 ⎤ ⋅ = ⎢ −0, 05 0,1 ⎥⎦ ⎢⎣U 20 ⎥⎦ ⎢⎣ −1,375⎥⎦ ⎣

Z2

0

0,1 −0, 05 = 0, 0075 −0, 05 0,1 −0,5 −0, 05 ∆1 = = −0,11875 −1,375 0,1 0,1 −0,5 ∆2 = = −0,1625 −0, 05 −1,375

∆=

U10 =

∆1 −0,11875 = = −15,83 V 0, 0075 ∆

U 20 =

∆ 2 −0,1625 = = −21,6 V 0, 0075 ∆

Příklad 6.6

Metodou uzlových napětí určete napěťový přenos KU a vstupní odpor Rvst lineárního dvojbranu obsahujícího zdroj proudu řízený napětím (ZPŘN). R1 = 5 kΩ, R2 = 50 kΩ, R3 = 1 kΩ,

R2 m· 2

1

I

1

R1

Rb = 5 kΩ, g m = 100 mS

I

1

2

Rb

R3

Matice MUN s doplněným razítkem ZPŘN: −Gb ⎡G1 + G2 + Gb ⎤ ⎡U10 ⎤ ⎡ I ⎤ ⎢ −G - g ⎥ ⎢U ⎥ = ⎢0 ⎥ G + G + g b b 3 m m ⎣ ⎦ ⎣ 20 ⎦ ⎣ ⎦

2

0

Řešení:

Razítko ZPŘN: 1 0 ⎡ gm 2 ⎢⎣ − g m

2 − gm ⎤ g m ⎥⎦

Pozor – pravou stranu rovnice tvoří pouze nezávislé zdroje.

22

⎡0, 42 ⋅10−3 ⎢ ⎣ −0,1002


−0, 2 ⋅10−3 ⎤ ⎡U10 ⎤ ⎡ I ⎤ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ 0,1012 ⎦ ⎣U 20 ⎦ ⎣0 ⎦

∆=

Napětový přenos a vstupní odpor: U ∆ / ∆ ∆ 2 0,1002 ⋅ I K U = 20 = 2 = = = 0,99 . U10 ∆1 / ∆ ∆1 0,1012 ⋅ I ∆1 U10 0,1012 ⋅ I Rvst = = ∆ = = 4505 Ω . I I 2, 2464 ⋅10−5 ⋅ I

0, 42 ⋅10−3

−0, 2 ⋅10−3

−0,1002

0,1012

∆1 =

I

−0, 2 ⋅10−3

0

0,1012

0, 42 ⋅10−3 ∆2 = −0,1002

= 2, 2464 ⋅10−5

= 0,1012 ⋅ I

I = 0,1002 ⋅ I 0


Metodou uzlových napětí vypočtěte uzlová napětí U10 a U20 a poté proudy I1, I2, I3, I4. U = 10 V, I = 2 A R1 = 20 Ω, R2 = 10 Ω R3 = 40 Ω, R4 = 50 Ω

Výsledky: U10 = 10 V, U 20 = 50 V, I1 = 0 A, I 2 = 1 A, I 3 = -1 A, I 4 = 1 A Příklad 6.8

Metodou uzlových napětí vypočtěte proudy I2 a I4. U = 20 V I A = 1 A, I B = 2 A R1 = R4 = 10 Ω R2 = 20 Ω R3 = 40 Ω

Výsledky: I 2 = -0, 4 A, I 4 = 0,9 A Příklad 6.9

Metodou uzlových napětí vypočtěte proudy I2, I3 a I4. U = 20 V I =2A R1 = R2 = R3 = R4 = 10 Ω

Výsledky: I 2 = -1, 2 A, I 3 = 0, 4 A, I 4 = 1, 6 A


23

Příklad 6.10

Pomocí MUN vypočtěte napětí U1 a U2 v obvodu na obrázku.

U A = 5 V, U B = 10 V I = 2 mA R1 = R2 = 2,2 kΩ, R3 = 5,6 kΩ R4 = 3,3 kΩ, R5 = 1 kΩ

Výsledky: U1= 0,2947 V, U2 = -6,242 V Příklad 6.11

Pomocí MUN určete proudy v obvodu.

U1 = 12 V, U 2 = 16 V I z = 3 mA, R1 = 1 kΩ, R2 = 2 kΩ R3 = 1 kΩ, R4 = 5 kΩ R5 = 4 kΩ, R6 = 2 kΩ

Výsledky:

I1 = 1,409 mA, I 2 = 3,14 mA, I 3 = -2,29 mA I 4 = 2,118 mA, I 5 = 2,43 mA, I 6 = 0,7097 mA

Příklad 6.12

Pomocí MUN určete napětí U1 a U2 v obvodu na obrázku.

U A = 5 V, U B = 10 V I = 2 mA R1 = R2 = 2,2 kΩ R3 = 5,6 kΩ, R4 = 2,7kΩ R5 = 1 kΩ, R6 = 4,7 kΩ Výsledky: U1 = -2,519 V, U2 = -9,316 V

24


Příklad 6.13

Určete proudy větví obvodu na obrázku pomocí MUN.

U1 = 5 V, U 2 = 10 V R1 = 2 kΩ, R2 = 2 kΩ, R3 = 5 kΩ R4 = 3 kΩ, R5 = 1 kΩ, R6 = 4 kΩ R7 = 10 kΩ Výsledky: I1 = 0,7025 mA, I 2 = 0,101 mA, I 3 = 0,4 mA, I 4 = 2,525 mA,

I 5 = 2,424 mA, I 6 = 0,3433 mA, I 7 = 0,3595 mA Příklad 6.14

Metodou uzlových napětí určete napěťový přenos KU a vstupní odpor Rvst lineárního dvojbranu obsahujícího zdroj proudu řízený napětím. R1 = 5 kΩ, R2 = 50 kΩ, R3 = 1 kΩ, g m = 100 mS

Výsledky: K U = −98, 02 , Rvst = 458, 6 Ω

7 Modifikovaná metoda uzlových napětí (MMUN)

25

7 Modifikovaná metoda uzlových napětí (MMUN) ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 7.1

Určete proudy v obvodu pomocí MMUN. U1 = 5 V U 2 = 10 V R1 = R3 = 5Ω R2 = R4 = 10 Ω Řešení:

Zdroj U2 je ideální, nelze jej převést na zdroj proudový. Proto nejprve sestavíme matici MUN pro zbylý obvod a doplníme podle K. z. řádek a sloupec pro zdroj U2. Nejprve je nutno přepočítat zdroj napětí U1 na zdroj proudu a odpory na vodivosti: 1 1 U I z1 = 1 = 1 A, G1 = G3 = = 0, 2 S, G2 = G4 = = 0,1S 5 10 R1 Matice pro MUN: −G3 ⎤ ⎡U10 ⎤ ⎡ I z1 ⎤ ⎡G1 + G2 + G3 = ⎢ −G3 G3 + G4 ⎥⎦ ⎢⎣U 20 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎣ Do uzlu 2 vtéká proud I, dále doplníme rovnici pro smyčku dle II. K.z U2 = U20, takže dostaneme matici MMUN: −G3 0 ⎤ ⎡U10 ⎤ ⎡ I z1 ⎤ ⎡G1 + G2 + G3 ⎢ −G3 G3 + G4 −1⎥⎥ ⎢⎢U 20 ⎥⎥ = ⎢⎢ 0 ⎥⎥ ⎢ ⎢⎣ 0 1 0 ⎥⎦ ⎢⎣ I ⎥⎦ ⎢⎣U 2 ⎥⎦ Po dosazení hodnot: ⎡ 0,5 −0, 2 0 ⎤ ⎡U10 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎢ −0, 2 0,3 −1⎥ ⎢U ⎥ = ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 20 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 1 0 ⎥⎦ ⎢⎣ I ⎥⎦ ⎢⎣10 ⎥⎦ Řešením MMUN dostaneme: U10 = 6 V, U 20 = 10 V, I = 1,8 A Pozor – proud I1 je třeba určit z původního obvodu! I1 = − ( I z1 − G1U10 ) = 0,2 A, I 2 = U10G2 = 0,6 A I 3 = G3 (U 20 − U10 ) = 0,8 A, I 4 = G4U 20 = 1 A (Zkouška: − I + I 3 + I 4 = 0,

− U 2 + U 20 = 0 ⇒ U 2 = U 20 = 10 V )

Poznámka: MMUN je výhodné použít i pro reálné zdroje napětí, pokud se zajímáme o proud tekoucí zdrojem.

26


Příklad 7.2

Předešlý obvod řešte bez náhrady zdroje U1. Řešení:

Podle II. K.z. napíšeme 2 rovnice: U10 − U1 + R1 I a = 0 ⇒ U10 + R1 I a = U1 U 20 − U 2 = 0 ⇒ U 20 = U 2 Dále vezmeme v úvahu, že do uzlu 1 vtéjá proud Ia a do uzlu 2 vtéká proud Ib. −G3 −1 0 ⎤ ⎡U10 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡U10 ⎤ ⎡ 6 V ⎤ ⎡G2 + G3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢U ⎥ ⎢ 10 V ⎥ ⎢ −G ⎥ G3 + G4 0 −1⎥ ⎢U 20 ⎥ ⎢ 0 ⎥ 3 ⎢ ⎥ Výsledek: ⎢ 20 ⎥ = ⎢ ⋅ = ⎢ I a ⎥ ⎢ -0,2 A ⎥ ⎢ 1 R1 0 ⎥ ⎢ I a ⎥ ⎢U1 ⎥ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 1 0 0 ⎦ ⎣ I b ⎦ ⎣U 2 ⎦ ⎣ 0 ⎣ I b ⎦ ⎣ 1,8 A ⎦ Dále je možno určit i proudy obvodu, viz předešlý příklad.

Příklad 7.3

Vypočtěte uzlová napětí a proud I v uvedeném obvodu pomocí MMUN. U = 2 V, R1 = R3 = 20 Ω R2 = 40 Ω, R4 = 10 Ω, R5 = 25 Ω

Řešení:

Aplikací II. K.z.: U10 − U 30 − U = 0 ⇒ U10 − U 30 = U Proud I vtéká do uzlu 1 a vytéká z uzlu 3. 0 −G1 −1⎤ ⎡U10 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡G1 + G3 ⎢ −G G1 + G2 + G5 0 ⎥⎥ ⎢⎢U 20 ⎥⎥ ⎢⎢ 0 ⎥⎥ −G2 1 ⎢ ⋅ = ⎢ 0 G2 + G4 1 ⎥ ⎢U 30 ⎥ ⎢ 0 ⎥ −G2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 ⎦ ⎣ I ⎦ ⎣U ⎦ −1 ⎣ 1 Řešením této maticové rovnice dostaneme: U10 = 1,235 V, U 20 = 0,370 V, U 30 = −0,765 V, I = 0,1049 A Poznámka.: Je zřejmé, že MMUN vede na větší počet rovnic, což není při počítačovém zpracování na závadu.

8 Metoda náhradního zdroje

27

8 Metoda náhradního zdroje ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 8.1

V uvedeném obvodu vypočítejte napětí, proud a výkon rezistoru R2 pomocí: a) Théveninovy věty, b) Nortonovy věty. R3 R1

2

R2

U = 20 V R4

U

R1 = R3 = 10 Ω R2 = 20 Ω, R4 = 40 Ω

2

Řešení: a) Pomocí Théveninovy věty I2 =

Ui Ri + R2

U 2 = I 2 R2 P2 = U 2 I 2

Ui = U I2 =

R ( R + R4 ) 500 R3 + R4 50 = 20 = 16,6 V, Ri = 1 3 = = 8,3 Ω R1 + R3 + R4 R1 + R3 + R4 60 60

Ui 16,6 = = 0,5882 A, U 2 = I 2 R2 = 0,5882 ⋅ 20 = 11,77 V Ri + R2 8,3 + 20

P2 = U 2 I 2 = 11,77 ⋅ 0,5882 = 6,92 W b) Pomocí Nortonovy věty R3

R1 i

I 2 = Ii R4

U

Ii =

G2 Gi + G2

U 2 = I 2 R2 P2 = U 2 I 2

U 20 1 1 1 1 = = 2 A, Gi = + = + = 0,12 S R1 10 R1 R3 + R4 10 50

I 2 = Ii

G2 0, 05 =2 = 0,5882 A, U 2 = I 2 R2 = 11,77 V, Gi + G2 0,12 + 0, 05

P2 = U 2 I 2 = 6,92 W

Poznámka:Výpočet pomocí Nortonovy věty je pro tento případ jednodušší díky snadnějšímu určení Ii oproti napětí naprázdno Ui.

28


Příklad 8.2

V uvedeném obvodu vypočítejte napětí, proud a výkon rezistoru R4 pomocí: a) Théveninovy věty, b) Nortonovy věty. U = 10 V Iz = 2 A R1 = R3 = 10 Ω R2 = 20 Ω, R4 = 40 Ω Řešení: a) Pomocí Théveninovy věty I4 = R3 R1

U 4 = I 4 R4

Ri

R2

P4 = U 4 I 4

U

( G1 + G2 )U i = UG1 − I z I4 =

⇒ Ui =

Ui Ri + R4

UG1 − I z RR = −6,6 V, Ri = R3 + 1 2 = 16,6 Ω G1 + G2 R1 + R2

Ui −6, 6 = = −0,1177 A, U 4 = I 4 R4 = −0,1177 ⋅ 40 = −4,706 V Ri + R4 16,6 + 40

P4 = U 4 I 4 = ( −4,706 )( −0,1177 ) = 0,5536 W b) Pomocí Nortonovy věty

I 4 = Ii

R3 R1

R2

U 4 = I 4 R4

Gi

P4 = U 4 I 4

U

( G1 + G2 + G3 )U i = UG1 − I z Gi =

( G1 + G2 ) G3 = 0,06 S

⇒ I i = U iG3 =

G4 Gi + G4

(UG1 − I z ) G3 = (10 ⋅ 0,1 − 2 ) 0,1 = −0,4 A G1 + G2 + G3

0,1 + 0, 05 + 0,1

G1 + G2 + G3

I 4 = Ii

G4 0, 025 = −0, 4 = −0,1177 A, U 4 = I 4 R4 = −4,706 V 0, 06 + 0, 025 Gi + G4

P4 = U 4 I 4 = 0,5536 W

Poznámka:Výpočet pomocí Nortonovy věty je pro tento případ složitější, neboť určení proudu nakrátko Ii je komplikovanější ve srovnání s určením napětí naprázdno Ui.

8 Metoda náhradního zdroje

29


V uvedeném obvodu vypočítejte napětí, proud a výkon rezistoru R2 pomocí: a) Théveninovy věty, b) Nortonovy věty. U = 20 V R1 = 15 Ω R2 = 20 Ω R3 = R4 = 10 Ω Výsledky: U i = 10 V, Ri = 20 Ω, I 2 = 0,25 A, U 2 = 5,0 V, P2 = 1,25 W Příklad 8.4

V uvedeném obvodu vypočítejte napětí, proud a výkon rezistoru R3 pomocí: a) Théveninovy věty, b) Nortonovy věty.

U = 10 V, I = 0,5 A R1 = R3 = 10 Ω R2 = 20 Ω, R4 = 40 Ω

Výsledky: I 3 = 0,05882 A, U 3 = 0,5882 V, P3 = 0,0346 W Příklad 8.5

V můstkovém zapojení určete proud IG pomocí věty o náhradním napěťovém zdroji. R2

R1 RG

G

R3

U = 2 V, R1 = R3 = 20 Ω R4

U

R2 = 40 Ω, R4 = 10 Ω RG = 25 Ω

Výsledky: U i = 0,6667 V, Ri = 20 Ω, I G = 14,82 mA

30


9 Časově proměnné veličiny ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 9.1

Určete střední hodnotu (stejnosměrnou složku) I0, střední absolutní hodnotu Isa a efektivní hodnotu I pro periodický průběh proudu dle obrázku, je-li Im = 1 A. Dále určete činitel tvaru a činitel výkyvu tohoto průběhu. Řešení:

Střední hodnota (stejnosměrná složka):

T T T 4 ⎞ 1 1⎛2 −I I 0 = ∫ i ( t ) dt = ⎜ ∫ I m dt + ∫ m dt + ∫ I m dt ⎟ = ⎟ T 0 T ⎜0 2 3T T 2 4 ⎝ ⎠ 3T ⎞ 5I I m ⎛⎜ T / 2 ⎡ −t ⎤ 4 T = [t ] + ⎢ ⎥ T + [t ]34T ⎟⎟ = m = 0, 625 I m = 0, 625 A T ⎜ 0 8 ⎣2⎦ ⎝ ⎠ 2 3

T

T T T 4 ⎞ 1 1⎛2 I I sa = ∫ i ( t ) dt = ⎜ ∫ I m dt + ∫ m dt + ∫ I m dt ⎟ = ⎟ T 0 T ⎜0 2 3T T 2 4 ⎝ ⎠ 3T ⎞ 7I I m ⎛⎜ T / 2 ⎡ t ⎤ 4 T = [t ] + ⎢ ⎥ T + [t ]34T ⎟⎟ = m = 0,875 I m = 0,875 A T ⎜ 0 8 ⎣2⎦ ⎝ ⎠ 2 T

Střední absolutní hodnota:

3

3 T ⎛ T2 ⎞ T 4 ⎛ I m2 ⎞ 1 2 1⎜ 2 ⎟ 2 I= i ( t ) dt = I m dt + ∫ ⎜ ⎟ dt + ∫ I m dt ⎟ = ∫ ∫ ⎜ T 0 T ⎜0 3 T ⎝ 4 ⎠ ⎟ T 2 4 ⎝ ⎠ T

Efektivní hodnota:

=

3T ⎞ I m2 ⎛⎜ T / 2 ⎡ t ⎤ 4 T ⎟ = 13 I m = 0,9014 A t t + + [ ] [ ] 3 T ⎢⎣ 4 ⎥⎦ T 4 ⎟ 4 T ⎜ 0 2 ⎝ ⎠

Činitel tvaru je podíl efektivní a střední absolutní hodnoty: kt =

I 0,9014 = = 1, 0302 I sa 0,875

Činitel výkyvu je podíl maximální a efektivní hodnoty: kv =

Im 4 = = 1,1094 I 13

9 Časově proměnné veličiny

31

Příklad 9.2

Vypočítejte střední hodnotu I0, střední absolutní hodnotu Isa a efektivní hodnotu I periodického průběhu proudu na obrázku, je-li jeho maximální hodnota Im = 5 A. Určete činitel tvaru a činitel výkyvu. Řešení:

Rovnice popisující časový průběh proudu se určí pomocí směrnice: i ( t ) = T

Střední hodnota:

1 1 I 0 = ∫ i ( t ) dt = T 0 T

T 2

∫ 0

2Im 2I tdt = 2m T T

2I m t T

T 2

⎡t2 ⎤ Im ⎢ 2 ⎥ = 4 = 1, 25 A ⎣ ⎦0

Střední absolutní hodnota:

Protože průběh nabývá pouze kladných hodnot, platí I sa = I 0 = 1, 25 A

Efektivní hodnota:

1 2 1 I= i ( t ) dt = ∫ T0 T

T

Činitel tvaru: kt =

T 2

∫ 0

2

4 I m2 ⎛ 2I m ⎞ t ⎟ dt = ⎜ T3 ⎝ T ⎠

T 2

⎡ t3 ⎤ Im = 2, 041 A ⎢3⎥ = 6 ⎣ ⎦0

I 4 I = = 1, 633 , činitel výkyvu: kv = m = 6 = 2, 449 I sa I 6

Příklad 9.3

Vypočítejte střední hodnotu U0, střední absolutní hodnotu Usa a efektivní hodnotu U harmonického průběhu napětí na obrázku, je-li jeho maximální hodnota Um = 10 V. Dále určete činitel tvaru a činitel výkyvu tohoto průběhu. Řešení:

⎛ 2π ⎞ Rovnice popisující časový průběh napětí je: u ( t ) = U m sin ⎜ t ⎟ ⎝T ⎠ −U m 1 1 ⎛ 2π ⎞ Stejnosměrná složka: U 0 = ∫ u ( t ) dt = ∫ U m sin ⎜ t ⎟ dt = 2π T 0 T 0 ⎝T ⎠ T

T

T

⎡ ⎛ 2π ⎞ ⎤ ⎢cos ⎜ T t ⎟ ⎥ = 0 ⎠⎦ 0 ⎣ ⎝

(Stejnoměrná složka je nulová, což je patrné ze symetrie průběhu.) Střední absolutní hodnota:

T

U sa =

1 2 u ( t ) dt = ∫ T 0 T

−U m = π

T /2

∫U 0

T /2

⎡ ⎛ 2π ⎞ ⎤ ⎢ cos ⎜ T t ⎟ ⎥ ⎠⎦0 ⎣ ⎝

m

⎛ 2π ⎞ sin ⎜ t ⎟ dt = ⎝T ⎠

2 = U m = 6,366 V π

(Vzhledem k symetrii průběhu lze provést integraci pouze za polovinu periody, kdy je hodnota nezáporná).

32


Činitel tvaru: kt =

U m2 1 ⎛ 1 ⎛ 2π ⎞ ⎞ 2 2 ⎛ 2π ⎞ U t t sin d = m ⎜ ⎟ ⎜1 − cos ⎜ 2 t ⎟ ⎟ dt = ∫ ∫ T0 T 0 2⎝ ⎝T ⎠ ⎝ T ⎠⎠ T

T

U m2 = 2T

Um ⎡ T ⎛ 4π ⎞ ⎤ ⎢t − 4π sin ⎜ T t ⎟ ⎥ = 2 ⎝ ⎠⎦ 0 ⎣

U=

Efektivní hodnota:

T

7,071 V

U π U = = 1,1107 , činitel výkyvu: kv = m = 2 = 1,141 U sa 2 2 U

Příklad 9.4

Proud i(t) neharmonického průběhu má spektrum obsahující tyto harmonické složky: I0 = 2 A; I1 = 10 A; I3 = 1,5 A; I5 = 0,6 A. Určete činitel zkreslení v %. Řešení: Výpočet činitele zkreslení je možný podle dvou vztahů

k= k′ =

I 22 + I 32 + … = I1

I 32 + I 52 1,52 + 0, 62 = 10 I1

I 22 + I 32 + … I12 + I 22 + I 32 + …

I 32 + I 52

=

I12 + I 32 + I 52

=

0,1616=16,16 % 1,52 + 0, 62

0,1595 = 15,95 %

102 + 1,52 + 0, 62

Je vidět, že obě hodnoty jsou velmi blízké. Stejnosměrná složka I0 nemá na činitel zkreslení vliv. Časový průběh (pro porovnání s 1. harmonickou) a spektrum signálu jsou v grafech. i (A)

10

i (t) 5

I1

0

-5

-10 0

1

2

3

4

5

6

t (ms)

I (A)

12

I1 10 8 6 4

I0

I3

2 0

0

1

2

3

k (-)

I5 4

5

6

9 Časově proměnné veličiny

33


Vypočítejte střední hodnotu (stejnosměrnou složku) a efektivní hodnotu pro periodický průběh proudu dle obrázku, je-li Im = 1 A.

Výsledky: I 0 = 0, 25 A, I = 0,8660 A Příklad 9.6

Vypočítejte střední hodnotu (stejnosměrnou složku), střední absolutní hodnotu a efektivní hodnotu pro periodický průběh proudu dle obrázku, je-li Im = 0,5 A. Určete činitel tvaru a činitel výkyvu tohoto průběhu. Výsledky: I 0 = 0,125 A, I sa = 0,375 A, I = 0,3953 A, k t = 1, 054, kv = 1, 265 Příklad 9.7

Vypočítejte střední hodnotu (stejnosměrnou složku), střední absolutní hodnotu a efektivní hodnotu pro periodický průběh napětí dle obrázku, je-li Um = 10 V. Určete činitel tvaru a činitel výkyvu tohoto průběhu. Výsledky: U 0 = 0, U sa = 5 V, U = 5, 774 V, k t = 1,155, k v = 1, 732 Příklad 9.8

Vypočítejte střední hodnotu U0, střední absolutní hodnotu Usa a efektivní hodnotu U usměrněného harmonického průběhu napětí na obrázku, je-li jeho maximální hodnota Um = 10 V. Dále určete činitel tvaru a činitel výkyvu tohoto průběhu. Výsledky: U 0 = 6,366 V, U sa = 6,366 V, U = 7, 071 V, k t = 1,1107, k v = 1,141 Příklad 9.9

Napětí u(t) neharmonického průběhu má spektrum obsahující tyto harmonické složky: U0 = 1,5 V; U1 = 5,2 V; U2 = 0,35 V; U3 = 0,25 V a U5 = 0,12 V. Určete činitel zkreslení. Výsledky: k

8,59 % , k ′ 8,56 %

34


10 Nelineární obvody ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Spektrum neharmonických průběhů Příklad 10.1

Vypočítejte amplitudové spektrum proudu v obvodu z obrázku, působí-li na prvek napětí u(t) = 3+2sin(ωt). Ampérvoltová charakteristika nelineárního odporu je určena rovnicí i(t) = 0,1u2(t).

i(t) u~ U0

u ( t)

=

i = 0,1 ⋅ u 2

Řešení:

Napětí zdroje obsahuje stejnosměrnou složku (3 V) a harmonickou složku (2 V): u ( t ) = 3 + 2sin (ωt )

Proud nelineárním odporem je: i ( t ) = 0,1 ⋅ u 2 = 0,1( 3 + 2sin (ωt ) ) = 1,1 + 1, 2sin (ωt ) − 0, 2 cos ( 2ωt ) . 2

Poznámka: bylo použito vztahu sin 2 (α ) = 0,5 (1 − cos ( 2α ) ) . Proud obsahuje tedy stejnosměrnou složku (1,1 A), základní 1. harmonickou složku (1,2 A) a 2. harmonickou složku (0,2 A). Spektra napětí i proudu jsou ukázána v grafech.

Ik

Uk

I1=1,2 A

U0=3 V

I0=1,1 A

U1=2 V I2=0,2 A

0

1

0

k

1

k

2

Aproximace nelineárních charakteristik Příklad 10.2

Pomocí metody nejmenších čtverců aproximujte přímkou průběh funkce y = f(x) zadané tabulkou v m = 5 bodech.

6 5 4

y

3 2

xj

0

1

3

5

6

yj

5

3

3

2

1

1 0 0

1

2

3

x

4

5

6

7

10 Nelineární obvody

35

Řešení:

Hledáme minimum tzv. kriteriální funkce, která je tvořena součtem odchylek aproximační funkce od původní funkce v daných bodech. Rovnice hledané aproximační funkce (přímky) je ya = a 0 + a1 x , je třeba určit a0 a a1. m

(

Kriteriální funkce je σ ( a0 , a1 ) = ∑ y j − a1 x j − a0 j =1

)

2

a hledáme min {σ ( a 0 , a1 )} .

Minimum se nalezne pomocí parciálních derivací kriteriální funkce, které se položí rovny nule. V maticovém zápise tak dostaneme: ⎡ m ⎢ ⎢⎣ ∑ x j

∑ x j ⎤⎥ ⎡a0 ⎤ ⎡ ∑ y j ⎤ ⋅⎢ ⎥ = ⎢ ⎥, ∑ x 2j ⎥⎦ ⎣ a1 ⎦ ⎣⎢∑ x j y j ⎦⎥

přitom členy rovnice nejlépe zjistíme pomocnou tabulkou. Po dosazení do maticové rovnice

j

xj

yj

x j2

xj·yj

1

0

5

0

0

2

1

3

1

3

⎡ 5 15 ⎤ ⎡ a0 ⎤ ⎡14 ⎤ ⎢15 71⎥ ⋅ ⎢ a ⎥ = ⎢ 28⎥ ⎣ ⎦ ⎣ 1⎦ ⎣ ⎦

3

3

3

9

9

je řešení

4

5

2

25

10

5

6

1

36

6

⎡ a0 ⎤ ⎡ 4, 415 ⎤ ⎢ a ⎥ = ⎢ −0,538⎥ . ⎦ ⎣ 1⎦ ⎣

Σ

15

14

71

28

Hledaná aproximační přímka je popsána rovnicí ya = 4, 415 − 0,538 ⋅ x a její průběh je uveden v grafu. Příklad 10.3

Pro křemíkovou diodu v propustném směru byla naměřena část ampérvoltové charakteristiky, viz tabulka a graf naměřených bodů. a) Proveďte interpolaci této charakteristiky kvadratickým polynomem pro pracovní bod 0,6 V ± 0,1 V. b) Pro pracovní bod 0,6 V ± 0,1 V určete statický a dynamický odpor diody. u (V)

0,20

0,40

0,50

0,55

0,60

0,625

0,65

0,675

0,70

i (A)

0

0

0,0005

0,004

0,02

0,20

0,45

0,60

1,0

Řešení:

Rovnice hledané aproximační funkce (polynomu 2. stupně) je ya = a 0 + a1 x + a2 x 2 , hledáme koeficienty a0, a1 a a2. Polynom bude procházet 3 body, podle zadání pro u = (0,50; 0,60; 0,70) V, v tabulce vyznačeno tučně. Rovnice polynomu musí vyhovovat těmto 3 určeným bodům:

36


a0 + a1u1 + a2u12 = i1

⎡1 u1 ⎢ a0 + a1u2 + a2u2 2 = i2 , v maticovém zápise ⎢1 u2 ⎢1 u3 a0 + a1u3 + a2u32 = i3 ⎣

u12 ⎤ ⎡ a0 ⎤ ⎡ i1 ⎤ ⎥ u22 ⎥ ⋅ ⎢⎢ a1 ⎥⎥ = ⎢⎢i2 ⎥⎥ . u32 ⎥⎦ ⎢⎣ a2 ⎥⎦ ⎢⎣ i3 ⎥⎦

Dosazením vybraných bodů z tabulky

⎡1 0,5 0,52 ⎤ ⎡ a0 ⎤ ⎡0,0005⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2⎥ ⎢ ⎢1 0,6 0,6 ⎥ ⋅ ⎢ a1 ⎥ = ⎢0,02 ⎥ dostaneme řešení ⎢1 0,7 0,7 2 ⎥ ⎢⎣ a2 ⎥⎦ ⎣⎢1,0 ⎦⎥ ⎣ ⎦

⎡ a0 ⎤ ⎡ 14,31 ⎤ ⎢ a ⎥ = ⎢ −52, 63⎥ . ⎢ 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ a2 ⎥⎦ ⎢⎣ 48, 03 ⎥⎦

(

)

Hledaná interpolační funkce je popsána rovnicí ia = 14,31 − 52, 63 ⋅ u + 48, 03 ⋅u 2 A a její průběh je uveden v grafu. Statický odpor pro up = 0,6 V je:

Rs ( 0, 6 ) =

Dynamický odpor lze určit z okolních bodů:

Rd ( 0, 6 ) =

up ip

=

∆up ∆ip

0, 6 = 30 Ω . 0, 02 =

0, 7 − 0,5 = 0, 2001 Ω , 1 − 0, 0005

−1

−1 ⎛ di ⎞ alternativně z interpolační funkce: Rd′ ( 0, 6 ) = Gd−1 = ⎜ a ⎟ = ( 96, 06u − 52, 63) = 0,1998 Ω ⎝ du ⎠

1

0.5

0.5

i (A)

i (A)

1

0

0

-0.5 0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

-0.5 0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

u (V)

u (V)

Interpolační funkce (polynom 2. stupně.

Naměřené body charakteristiky diody

Metody řešení nelineárních obvodů Příklad 10.4

Analytickým řešením určete proud I nelineárním obvodem. U = 10 V R =5Ω

U

U n = 3I 2 + 2 I Řešení:

R

Podle II. K.z.:

3I 2 + 2 I + RI − U = 0

U n + RI − U = 0

3I 2 + 7 I − 10 = 0

U

I Un


37

Řešení kvadratické rovnice je:

−7 ± 7 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ ( −10 )

⎧⎪ I1 = 1 A =⎨ 2⋅3 ⎪⎩ I 2 = −3,3 A V tomto případě má smysl pouze I = 1 A . I1,2 =

Příklad 10.5

Stabilizátor napětí je zatížen odporem R2. Určete napětí U2 na zátěži, má-li linearizovaný model stabilizační diody v závěrném směru parametry: Ud = 5,7 V, Rd = 2 Ω.

Rd D

U

d

U = 10 V, R1 = 100 Ω, R2 = 250 Ω Řešení: linearizovaný obvod řešíme např. pomocí MUN.

I=

U 10 = = 0,1 A R1 100

Id =

U d 5, 7 = = 2,85 A Rd 2

G1 = 100−1 = 0, 01S G2 = 250−1 = 0, 004 S

( G1 + G2 + Gd )U 2 = I + I d

Gd = 2−1 = 0,5 S

0,514 ⋅ U 2 = 2,95 , U 2 = 5,739 V Příklad 10.6

Stabilizátor napětí se Zenerovou diodou ZD 4V8 pracuje naprázdno (bez zátěže). Určete výstupní napětí při napájení ze zdroje U1 = 12 V. Dále určete, jak se změní U2 při zvýšení vstupního napětí U1 z 12 V na 15 V a stanovte činitel stabilizace obvodu. Vypočítejte ztrátový výkon diody a rezistoru. Charakteristiku diody v závěrném směru udává tabulka, pro výpočet použijte linearizovaný mo- U1 = 12 V del diody pro okolí Uz = 4,8 V. U1′ = 15 V u (V)

-4,00

-4,50

-4,65

-4,80

-5,00

i (A)

-0,003

-0,012

-0,035

-0,15

-0,50

Řešení: Linearizaci charakteristiky diody provedeme aproximací metodou nejmenších čtverců:

j

uj

ij

uj2

uj·ij

1

-4,65

-0,035

21,623

0,1628

2

-4,80

-0,15

23,04

0,72

3

-5,00

-0,50

25

2,5

Σ

-14,45

-0,685

69,663

3,3828

R = 33 Ω

⎡ m ⎢ ⎢⎣ ∑ u j

∑ u j ⎤⎥ ⋅ ⎡a0 ⎤ = ⎡ ∑ i j ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∑ u 2j ⎥⎦ ⎣ a1 ⎦ ⎢⎣∑ u j i j ⎥⎦

−14, 45⎤ ⎡ a0 ⎤ ⎡ −0, 685⎤ ⎡ 3 ⎢ −14, 45 69, 663 ⎥ ⋅ ⎢ a ⎥ = ⎢ 3,3828 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ 1⎦ ⎣ ⎦ ⎡ a0 ⎤ ⎡6, 232 ⎤ ⎢ a ⎥ = ⎢ 1,341 ⎥ ⎦ ⎣ 1⎦ ⎣

38


Linearizovaný model Zenerovy diody lze pro okolí bodu Uz = 4,8 V popsat rovnicí pro Nortonův náhradní zdroj: I z = Gd ⋅ U 2 + I d = (1,341⋅ U 2 + 6, 232 ) A .

Obvod s linearizovaným modelem pak řešíme např. pomocí MUN. U1 12 U ′ 15 = = 0,36 A, I1′ = 1 = = 0, 45 A R 33 R 33 I d = 6, 232 A I1 =

G=

1 = 0, 030 S, Gd = 1,341S 33

Stabilizované výstupní napětí pro U1 = 12 V: U 2 =

I1 + I d 6,596 = = 4,811 V . G + Gd 1,371

Stabilizované výstupní napětí pro U1’ = 15 V: U 2′ =

I1′ + I d 6, 687 = = 4,876 V . G + Gd 1,371

Výstupní napětí při změně U1 z 12 V na 15 V (∆U1 = 3 V) se změní pouze o ∆U2 = 4,8764,811 = 66 mV. ∆U1 15 − 12 U1 12 = = 18, 2 . Činitel stabilizace je: s = ∆U 2 4,876 − 4,811 4,811 U2 Proud diodou se určí z úbytku na R: I z = Ztrátový výkon

U1 − U 2 12 − 4,811 = = 218 mA . 33 R

na diodě:

PD = U 2 I z = 4,811 ⋅ 0, 218 = 1, 048 W

na rezistoru:

PR = RI z2 = 33 ⋅ 0, 2182 = 1,569 W .

Příklad 10.7

Stabilizátor napětí se Zenerovou diodou ZD 4V8 pracuje naprázdno (bez zátěže). Grafickou metodou určete pracovní bod diody (Uz, Iz) a její ztrátový výkon. Z grafu zjistěte změnu výstupního napětí při změně vstupního napětí o ±1 V. Charakteristiku diody v závěrném směru udává graf. U =6V R = 15 Ω Řešení:

Použijeme metodu zatěžovací přímky, kterou zakreslíme do grafu AV charakteristiky nelineárního prvku. Zatěžovací přímka představuje převrácenou AV charakteristiku náhradního


39

zdroje lineární části obvodu a je dána dvěma body – napětí naprázdno (dioda odpojena) a proud nakrátko (dioda nahrazena zkratem), její směrnice tak odpovídá vodivosti 1/R. U 6 = = 0, 4 A . Po zakreslení R 15 přímky do grafu dostaneme průsečík – pracovní bod (4,75 V, 85 mA).

Napětí naprázdno je U 0 = U = 6 V , proud nakrátko je I k =

Ztrátový výkon diody je PD = U z I z = 4, 75 ⋅ 0, 085 = 0, 404 W . Při změně U o ±1 V se posunou zatěžovací přímky na [U0;Ik] = [-5;-0,333] resp. [-7;-0,466]. Této změně odpovídá změna výstupního napětí Uz na 4,65 V resp. 4,8 V. -7

U z (V)

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0 0

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

ZD4V8

I z (A) -0.5

Příklad 10.8 R

Určete proud I nelineárním obvodem. Použijte Newtonovu iterační metodu. U = 10 V R = 10 Ω

U

I Un

U

U n = 20 I 2 Řešení:

Podle II. K.z.: U n + RI − U = 0 20 I 2 + 10 I − 10 = 0 Iterační funkce: f = 20 I 2 + 10 I − 10 Derivace: df f′= = 40 I + 10 dI

Newtonova iterace: i( k +1) = i( k ) + ε ( k ) , kde −20 I k2 − 10 I k + 10 f = je oprava pro k+1 krok. f′ 40 I k + 10 Jako počáteční odhad (nultou iteraci) volíme např. U/R = 1 A.

ε (k ) = −

k

0

1

2

3

4

I(k)

1

0,6

0,5059

0,5000

0,5000

ε(k)

-0,4

-0,0941

-0,0059

-2,3·10-5

-3,5·10-10

Pro dostatečnou přesnost stačí 3 iterační kroky. Proud obvodem je I = 0,5000 A.

40


Příklad 10.9

Určete napětí Ud na křemíkové diodě. Charakteristika diody je dána exponenciální rovnicí. Pro Si diodu předpokládáme hodnotu Ud v rozsahu 0,6 - 0,7 V. Použijte iterační metodu půlení intervalu, řešte s chybou pod 1 mV.

R U

I Ud

U

U = 5 V, R = 150 Ω I d = 2 ⋅10−12 e38U d Řešení:

Podle II. K.z.: U d + RI − U = 0 , U d + 3 ⋅10−10 e38U d − 5 = 0 . Iterační funkce je f (U d ) = U d + 3 ⋅10−10 e38U d − 5 , počáteční interval a = 0,6 V a b = 0,7 V. a+b . Při následující iteraci se upraví 2 interval podle toho, ve kterém leží hledaný kořen iterační rovnice. Iterace se ukončí, když b−a klesne pod zadanou hodnotu. chyba ε ( k ) = 2 Odhad hodnoty je dán průměrem (půlením) u ( k ) =

f(b)

ε

-2,00649 b 11,65276

102,6928

0,05

0,65

-2,00649 b 1,813925

11,65276

0,025

0,6125

0,625

-2,00649

-0,5387 b 1,813925

0,0125

0,6125

0,61875

0,625

-0,5387 b 0,499317

4

0,6125

0,615625

0,61875

-0,5387

5

0,615625

0,617188

0,61875

-0,05029 b 0,216406

0,499317

0,001562

6

0,615625

0,616406

0,617188

-0,05029

0,216406

0,000781

k

a

u(k)

b

0

0,6

0,65

0,7

1

0,6

0,625

2

0,6

3

f(a)

f(u(k))

1,813925

0,00625

-0,05029 b 0,499317

0,003125

0,081092

Napětí na diodě je Ud = (616,4±0,8) mV


Vypočítejte amplitudové spektrum proudu v obvodu z obrázku, působí-li na prvek napětí u(t) = 10sin(ωt). Ampérvoltová charakteristika nelineárního odporu je určena rovnicí i(t) = 0,3u2(t)+2u(t).

i(t) u z ( t)

Pomůcka: sin 2 (α ) = 0,5 (1 − cos ( 2α ) ) Výsledek: i ( t ) = 15 + 20sin (ωt ) − 15cos ( 2ωt ) .

Amplitudy harmonických složek proudu jsou: I0 = 15 A, I1 = 20 A a I2 = 15 A.

u ( t)


41

Příklad 10.11

Určete kvadratický interpolační polynom ia = a0 + a1u + a2u 2 , který aproximuje charakteristiku nelineárního prvku v bodech uvedených v tabulce. Extrapolujte pomocí vypočtené aproximační funkce chybějící proud prvkem pro napětí 0,7 V. Pro tučně vyznačený pracovní bod určete statický a dynamický odpor nelineárního prvku. u (V)

0,1

0,2

0,45

i (mA)

0,1

0,35

0,85

Výsledky:

0,7

ia = ( −0,1786 + 2,929u − 1, 429u 2 ) mA , i ( u = 0, 7 V ) = 1,171 mA , Rs ( 0, 2 ) = 0,571 Ω , Rd ( 0, 2 ) = 0, 4242 Ω

Příklad 10.12

Pro křemíkovou diodu v propustném směru byla naměřena část ampérvoltové charakteristiky, viz tabulka. Metodou nejmenších čtverců proveďte aproximaci charakteristiky přímkou. u (V)

0,6

0,625

0,65

0,675

i (A)

0,02

0,15

0,4

0,8

Výsledek: ia = (10,36 ⋅ u − 6, 262 ) A . Příklad 10.13

Pro křemíkovou diodu v propustném směru byla naměřena část ampérvoltové charakteristiky, viz tabulka. Proveďte interpolaci této charakteristiky kvadratickým polynomem pro pracovní bod 0,65 V±0,05 V. u (V)

0,20

0,40

0,50

0,55

0,60

0,625

0,65

0,675

0,70

i (A)

0

0

0,0005

0,004

0,02

0,20

0,45

0,60

1,0

(

)

Výsledek: ia = 4, 22 − 21, 4 u + 24 u 2 A Příklad 10.14

Určete napětí Ud na křemíkové diodě. Charakteristika diody je dána exponenciální rovnicí. Pro Si diodu předpokládáme hodnotu Ud asi 0,7 V. Použijte Newtonovu iterační metodu, řešte s chybou pod 1 mV. U = 10 V, R = 50 Ω I d = 5 ⋅10−12 e38U d Výsledek: U d

0, 6407 V

R U

U

I Ud

42


Příklad 10.15

Předchozí zadání (Příklad 10.14) řešte pomocí metody půlení intervalu pro počáteční odhad 0,6 - 0,7 V. Výsledek: U d

0, 6407 V

Příklad 10.16

Napětí na výstupu nelineárního obvodu lze popsat rovnicí U 3 − 5 ⋅ U = 0 . Vypočtěte hodnotu napětí U s přesností lepší než 0,5 %. Použijte Newtonovu iterační metodu s počátečním odhadem U ( 0) = 3 V . 2, 2365 V .

Výsledek: U Příklad 10.17

Grafickou metodou určete pracovní bod (Uz, Iz) a ztrátový výkon diody v zatíženém stabilizátoru napětí. Charakteristiku použité diody v závěrném směru udává graf. U = 12 V, R1 = 33 Ω, R2 = 470 Ω Nápověda: Náhraďte lineární část obvodu dle Théveninovy věty. -12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

u (V)

0 0

i (A) -0.1 -0.2 -0.3 ZD9V2

-0.4 -0.5

Výsledky: Pracovní bod stabilizační diody je (9,15 V, 65 mA). Ztrátový výkon diody je PD = U 2 I z = 9,15 ⋅ 0, 065 = 0,595 W

11 Magnetické obvody

43

11 Magnetické obvody ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 11.1

Dlouhým přímým vodičem protéká proud I= 10 A. Určete velikost intenzity magnetického pole H ve vzdálenosti 1 m od vodiče.

Řešení:

Výchozí vztah (Ampérův zákon celkového proudu): Aplikace vztahu pro dané zadání: (vektor H je všude rovnoběžný s dl)

∫ H ⋅d

=I

H ⋅ 2πr = I

⇒ H=

I 10 = = 1,592 A/m 2πr 2π ⋅1

Příklad 11.2

Na prstenci z transformátorových plechů průřezu S = 600 mm2 je vinutí s N = 200 závity. Střední průměr prstence je Ds = 220 mm. Jak velký proud I musí vinutím procházet, aby vznikl magnetický tok Φ = 0,6 mWb?

Řešení:

Φ 0, 6 ⋅10−3 = =1T S 6 ⋅10−4

Magnetické pole v prstenci lze považovat přibližně za homogenní. Indukce v jádře je:

Bf =

Pro hodnotu Bf = 1 T zjistíme z magnetizační křivky transformátorových plechů (příloha na konci kapitoly) hodnotu intenzity:

Hf = 330 A/m

Z Ampérova zákona lze psát pro intenzitu pole ve feromagnetiku:

∫ H⋅d

Střední délka siločáry je: Hledaný proud je:

s

= ∑ I ⇒ Hf

s

= NI

= πDs = 0, 6912 m

I=

H f s 330 ⋅ 0, 6912 = = 1,14 A 200 N

44


Příklad 11.3

Cívka je navinuta na toroidním jádře, má N = 200 závitů a protéká jí proud I = 1 A. Určete magnetický tok jádrem Φ a indukčnost cívky L. Střední průměr toroidu Ds = 120 mm, průřez magnetického obvodu S = 4 cm2. Rozptylové toky zanedbejte. Magnetické vlastnosti materiálu toroidu Hf (A/m) 390 530 700 900 Bf (T) 0,6 0,7 0,8 0,9 Řešení:

Ekvivalentní obvod obsahuje zdroj magnetického napětí U mn = NI a magnetický odpor obvodu. Magnetický odpor je tvořen feromagnetikem a je proto nelineární. Úbytek magnetického napětí na odporu je U mf = H f s .

Φ Umf

Rmf

Umn

Platí obdoba II. K.z. – součet magnetických U mn = U mf ⇒ NI = H f napětí v obvodu je roven nule: Střední délka siločáry: Intenzita magnetického pole v jádře je

s

s

= πDs = 0,377 m

Hf =

Um

=

s

NI 200 = = 530 A/m πDs 0,377

( pro H f

= 530 A/m )

Tomu, odpovídá magnetická indukce v jádře (odečteno z tabulky):

Bf = 0, 7 T

Magnetický tok obvodem je:

Φ = Bf ⋅ S = 0, 7 ⋅ 4 ⋅10−4 = 280 µWb

Indukčnost cívky je podíl spřaženého magnetického toku Ψ = NΦ k proudu I:

L=

Ψ N ⋅ Φ 200 ⋅ 280 ⋅10−6 = = = 56 mH I I 1

Příklad 11.4

Prstenec z feromagnetického materiálu má průměr D = 90 mm, plocha průřezu jádra je S = 10×10 mm. Ve vzduchové mezeře lv = 1 mm požadujeme indukci Bv = 0,5 T. Vypočtěte potřebný počet závitů budicí cívky při proudu I = 5 A a indukčnost cívky L pro tento proud. Rozptylové toky zanedbejte. Magnetické vlastnosti materiálu prstence 0,3 0,5 0,7 0,9 Bf (T) Hf (A/m) 66 109 167 262

D

v


45

Řešení:

Ekvivalentní obvod obsahuje zdroj magnetického napětí U mn = NI , magnetický odpor feromagnetika a magnetický odpor vzduchové mezery.

Umf Umn

Φ Umv

Rmf

Průřez S a stejně tak i magnetický tok jsou konstantní po celé délce siločáry, Φ = Bf ⋅ S = Bv ⋅ S Z toho plyne, že indukce v jádře je shodná s indukcí v mezeře, Bf = Bv .

Rmv

Ds = D − 10 = 90 − 10 = 80 mm

Střední délka siločáry v magnetiku:

f

= πDs −

v

= 0, 2503 m

Platí II. K. z.:

U mn = U mf + U mv

Intenzita magnetického pole v jádře pro indukci 0,5 T se určí pomocí tabulky, H f ( Bf = 0,5 T ) = 109 A/m . Z předešlé rovnice do-

NI = H f

staneme:

5 ⋅ N = 109 ⋅ 0, 2503 +

a z toho potřebný počet závitů budicí cívky:

N = 85, 03 85

f

+ Hv

v

= Hf

f

+

Bv

µ0

v

0,5 1⋅10−3 −7 4π ⋅10

N ⋅ Φ N ⋅ Bv ⋅ S 85 ⋅ 0,5 ⋅ (10 ⋅10 = = Indukčnost této cívky pro I = 5 A je: L = I I 5

)

−3 2

= 850 µH

Příklad 11.5

Vypočtěte velikost magnetovacího proudu I potřebnou pro vytvoření magnetické indukce ve vzduchové mezeře Bv = 0,5 T. Jádro je složeno z dynamových plechů s činitelem plnění kp = 0,9 (činitel plnění jádra udává poměr průřezu samotného feromagnetika v jádře k celkovému průřezu jádra, tj. včetně izolace mezi plechy). Počet závitů cívky je N = 1000. Rozměry jádra: a = 300 mm b = 200 mm t = 20 mm h = 30 mm s

v v

= 5 mm

Náhradní obvod: Umf Umn

Φ

Rmf Rmv

Umv

46


Řešení:

Předpokládáme homogenní magnetické pole. Pro sériový magnetický obvod platí (se započtením činitele plnění jádra):

Φ = Φ f = Φ v = Bf ⋅ S ⋅ kp = Bv ⋅ S = konst.

Protože je průřez magnetického obvodu po celé délce siločáry konstantní, je i indukce konstantní:

Bf = Bv / kp = 0,5 / 0,9 = 0,556 T

Střední siločáru geometricky tvoří čtyři úsečky a čtyři čtvrtkružnice v rozích. Délka střední siločáry ve feromagnetiku je tedy: f

2π t / 2 = 2 ( a + b − 4t ) + π t − 4 = 2 ( 0,3 + 0, 2 − 4 ⋅ 0, 02 ) + 0, 02π − 0, 005 = 0,8978 m = 2 ( a − 2t ) + 2 ( b − 2t ) −

v

+ 4⋅

v

=

U mn = NI = U mf + U mv =

Pro magnetické napětí lze psát:

= Hf Magnetické napětí na vzduchové mezeře je:

U mv =

f

Bv

µ0

v

+ Hv =

v

= Hf

f

+

µ0

v

0,5 5 ⋅10−3 = 1989 A −7 4π ⋅10

Intenzita magnetického pole v jádře (odečtená z grafu magnetizační charakteristiky pro dynamové plechy v příloze na konci kapitoly) je:

H f ( Bf = 0,556 T ) 100 A/m

Magnetické napětí na feromagnetiku je:

U mf = H f

Potřebný magnetovací proud je:

I=

f

Bv

= 100 ⋅ 0,8978 = 89, 78 A

U mf + U mv 89, 78 + 1989 = N 1000

2, 08 A

Příklad 11.6

Cívka elektromagnetu s N = 100 závitů je protékána proudem I = 100 mA. Jádro i kotva mají stejný průřez S = 2,5 cm2. Střední délka magnetické siločáry v jádru je lj = 4 cm, v kotvě l Délka vzduchové mezery je k = 2 cm. lv = 0,05 mm. Relativní permeabilitu materiálu jádra µrj = 500 a relativní permeabilitu materiálu kotvy µrk = 300 pokládáme za konstantní (magnetický obvod je linearizován). Nakreslete náhradní schéma obvodu, vypočtěte magnetická napětí na jednotlivých částech magnetického obvodu a určete indukčnost cívky. Magnetický odpor jádra:

Rmj =

j

µ0 µrj S

j

k v

=

4 ⋅10−2 = 254648 H -1 −7 −4 4π ⋅10 ⋅ 500 ⋅ 2,5 ⋅10

v


47

Magnetický odpor kotvy:

Rmk =

k

µ0 µrk S

=

2 ⋅ 10−2 = 212207 H -1 −7 −4 4π ⋅ 10 ⋅ 300 ⋅ 2,5 ⋅ 10

2 ⋅ 0, 05 ⋅10−3 = 318310 H -1 −7 −4 4π ⋅10 ⋅ 2,5 ⋅10

Magnetický odpor vzduchové mezery:

Rmv =

Magnetické napětí zdroje:

U mn = N ⋅ I = 100 ⋅ 0,1 = 10 A

Magnetický indukční tok:

Φ=

Umj Umn

Umk

Rmk

Indukčnost cívky je:

µ0 S

=

U mn 10 = = 12, 736 µWb Rmj + Rmk + Rmv 785164

U mj = Φ ⋅ Rmj = 12, 736 ⋅10−6 ⋅ 254648 = 3, 243 A Umv

Rmv

v

Magnetická napětí na jednotlivých částech obvodu:

Φ

Rmj

2

U mk = Φ ⋅ Rmk = 12, 736 ⋅10−6 ⋅ 212207 = 2, 703 A U mv = Φ ⋅ Rmv = 12, 736 ⋅10−6 ⋅ 318310 = 4, 054 A Zkouška: U mn = U mj + U mk + U mv , 10 A = 10 A L=

N ⋅ Φ 100 ⋅12, 736 ⋅10−6 = = 12, 74 mH I 0,1

Příklad 11.7

Zkratový proud I1 = I2 = 40 kA (vzájemně opačného směru) protéká dvěma paralelně uloženými vodiči vzdálenými od sebe r = 5 cm. Jaká působí síla F na každý metr vodičů? Řešení:

Fyzikální podstata silových účinků proudů

Výpočet magnetické indukce způsobené jedním vodičem v místě druhého vodiče Výpočet síly, která působí na druhý vodič s proudem I2 v poli s indukcí B1 (vyvolané prvním vodičem) pro l = 1 m:

H1 =

I1 2πr

⇒ B1 = µ0 H1 =

F = B1 I 2 =

µ0 I1 2πr

I2 =

µ0 I 2 2π r

4π ⋅10−7 ( 40 ⋅103 ) ⋅1

µ0 I1 2πr

=

2

=

2π ⋅ 5 ⋅10 −2

= 6400 N

48


Příklad 11.8

Prstencové jádro cívky z elektrotechnické oceli E11 je složeno ze dvou přiléhajících částí. Průřez prstence je S = 4 cm2, jeho střední průměr je Ds = 0,2 m a cívkou, která má N = 100 závitů, protéká proud I = 5 A. Jak velkou silou jsou drženy obě části pohromadě?

Řešení:

Intenzita magnetického pole v jádře¨je U m = NI = H f z Ampérova zákona celkového proudu: Střední délka siločáry: Výpočet intenzity magnetického pole:

f

f

⇒ Hf =

NI f

= πDs = π ⋅ 0, 2 = 0, 6283 m

Hf =

NI

=

f

100 ⋅ 5 = 796 A/m 0, 6283

Z magnetizační křivky oceli E11 (příloha na konci kapitoly) odečteme odpovídající hodnotu magnetické indukce Bf ( H f = 769 A/m ) 1,38 T . Výpočet síly (plochu průřezu je třeba započíst dvakrát):

F =2

Bf2 S 1,382 ⋅ 4 ⋅10−4 = = 606 N 2 µ0 4π ⋅10−7

Příklad 11.9

Elektromagnet z elektrotechnické oceli E11 zadaných rozměrů (v mm) má přitáhnout kotvu ze vzdálenosti 1 cm silou F = 5600 N. Jak velký proud musí protékat cívkou, má–li cívka N = 500 závitů. Uvažujte rozšíření průřezu magnetického pole ve vzduchové mezeře o 10 %.

Řešení:

Průřez ve vzduchové mezeře je o 10 % větší: S v = 1,1 ⋅ Sf = 1,1 ⋅ 0, 08 ⋅ 0, 08 = 70, 4 ⋅10−4 m 2 Pro vytvoření zadané síly je potřeba magnetické indukce ve vzduchu: (Plochu mezery je třeba započítat dvakrát.)

F= Bv =

Bv2 2 S v 2 µ0

µ0 F Sv

=

4π ⋅10−7 ⋅ 5600 =1T 70, 4 ⋅10−4


49

Φ = Bf ⋅ Sf = Bv ⋅ S v = konst.

Z rovnosti magnetických toků ve feromagnetiku a ve vzduchové mezeře odvodíme magnetickou indukci v jádře:

Bf =

Bv ⋅ S v Bv ⋅1,1Sf = = 1,1Bv = 1,1 T Sf Sf

Z magnetizační křivky oceli E11 (příloha na konci kapitoly) odečteme odpovídající hodnotu intenzity magnetického pole H f ( Bf = 1 T ) 300 A/m . Střední délka siločáry ve vzduchu:

v

Střední délka siločáry ve feromagnetiku:

f

= 2 ⋅ 0, 01 = 0, 02 m = 2 ( 0,31 − 0, 08 + 0,35 − 0, 08 ) −

v

= 0,98 m

Potřebné magnetické napětí zdroje je Bv dáno součtem magnetických napětí na U mn = NI = U mf + U mv = H f f + µ v = 0 feromagnetiku a na vzduchové mezeře: 1 0, 02 = 16209 A = 300 ⋅ 0,98 + (všiměte si zanedbatelně malého Umf) 4π ⋅10−7 Pro vytvoření přítahu 5600 N je třeba proud

I=

U mn 16209 = N 500

32, 4 A

Příklad 11.10

Mezi pólovými nástavci je vzduchová mezera délky lv a s plochou Sv. Zdrojem pole je feritový permanentní magnet výšky lp a plochy Sp. Určete magnetickou indukci ve vzduchové mezeře při teplotě 20 ºC. Magnetizační křivka použitého anizotropního feritu viz graf, magnetický odpor pólových nástavců a rozptylové toky zanedbejte. S v = 3 cm 2 ,

v

= 0,5 cm

S p = 8 cm ,

p

= 3 cm

2

Anizotropní ferit

p

Bp ≅ 250 mT Hp ≅ 85 kA/m

v

50


Řešení:

Při zanedbání rozptylových toků platí:

Φ p = Φ v = Bp ⋅ Sp = Bv ⋅ S v = konst. Bv =

Při zanedbání odporu nástavců platí:

Bp ⋅ Sp Sv

U mn = H p Bv =

p

µ0 H p

=

8 ⋅10−2 Bp 3 ⋅10−2

= U mv = p

Bv

µ0

v

, z toho

= 7,5398 ⋅10-6 H p

v

Spojením obou rovnic pro Bv dostaneme rovnici zatěžovací přímky magnetického obvodu, kterou zakreslíme do grafu BH charakteristiky feritu. Určíme např. dva body: B = 0; H = 0 a B = 0,2827; H = 100 kA/m, viz graf. Z průsečíku zatěžovací přímky obvodu a charakteristiky zdroje magnetického napětí (feritu) zjistíme pracovní bod Bp ≅ 250 mT, H p ≅ 85 kA/m. Z toho pak indukce v mezeře:

8 Bp = 7,5398 ⋅10-6 H p 3 Bp = 2,8274 ⋅10-6 H p

8 Bv = Bp = 0, 67 T 3

Příklad 11.11

Mezi pólovými nástavci je vzduchová mezera délky lv a s plochou Sv. V mezeře je třeba vytvořit pole s indukcí Bv = 0,5 T. Zdrojem pole je permanentní magnet s optimálním pracovním bodem Bp ≅ 230 mT, Hp ≅ 90 kA/m. Určete potřebnou výšku lp a plochu Sp permanentního magnetu. Magnetický odpor pólových nástavců a rozptylové toky zanedbejte. S v = 5 cm 2 ,

v

p

v

= 0, 6 cm

Při zanedbání rozptylových toků platí:

Φ p = Φ v = Bp ⋅ Sp = Bv ⋅ S v = konst.

Z toho potřebná plocha PM:

Sp =

Při zanedbání odporu nástavců platí: Potřebná výška PM:

Bv ⋅ S v 0,5 ⋅ 5 ⋅10−4 = = 10,87 cm 2 Bp 0, 23

U mn = H p p

=

p

= U mv =

Bv

µ0

v

Bv v 0,5 ⋅ 0, 6 ⋅10−2 = = 2, 653 cm µ0 H p 4π ⋅10−7 ⋅ 90 ⋅103



Určete intenzitu a indukci magnetického pole, magnetický tok a indukčnost cívky navinuté na litinovém prstenci o kruhovém průřezu s průměrem d =4 cm. Střední průměr prstence je Ds = 15 cm. Vinutí má N = 220 závitů a budicí proud je I = 1 A.

Výsledky: H f = 467 A, Bf = 0,38 T, Φ = 478 µWb, L = 105 mH Příklad 11.13

Jak velký proud musí protékat budicí cívkou, která má N = 100 závitů, aby vznikl v magnetickém obvodu tok Φ = 1 mWb. Toroid vyrobený z dynamových plechů má průřez jádra S = 1·10-3 m2 a střední průměr Ds = 0,2 m.

Výsledek: I

1, 7 A

Příklad 11.14

Jádro z transformátorových plechů má rozměry dle obrázku. Jaký počet závitů N musí mít magnetovací vinutí, má-li jádrem procházet magnetický tok Φ = 2 mWb při budicím proudu I = 2,2 A? Dále určete magnetický odpor Rm obvodu a indukčnost budicího vinutí L.

Výsledky: N = 90, Rm = 99000 H -1 , L = 81,8 mH

51

52


Příklad 11.15

Feromagnetické jádro má tvar prstence (vlastnosti materiálu popisuje tabulka) o průměru D = 250 mm, průměr jádra je d = 50 mm. a) Vypočtěte potřebný počet závitů N1 tak, aby proudem I = 5A vznikla v jádru indukce B f = 0,7 T.

v

b) V jádru byla vytvořena vzduchová mezera lv = 1 mm. Vypočtěte potřebný počet závitů budicího vinutí N2 tak, aby indukce v jádru zůstala stejná. Rozptylové toky zanedbejte. Magnetické vlastnosti materiálu prstence 0,3 0,5 0,7 0,9 Bf (T) Hf (A/m) 66 109 167 262 Výsledky: N1 = 21, N1 = 132 Příklad 11.16

Na toroidním jádře z ocelolitiny je navinuta cívka N = 200 záv. Průměr toroidu je D = 120 mm, jeho průřez má průměr d = 20 mm. V obvodu je vzduchová mezera lv = 1,2 mm, ve které je indukce Bv = 0,8 T.

v

a) Vypočítejte magnetická napětí na feromagnetickém jádru Umf a na vzduchové mezeře Umv. b) Vypočtěte budicí proud I cívky. Rozptylové toky zanedbejte. Výsledky: U mf = 87,96 A, U mv = 763,9 A, I = 4, 26 A

Příklad 11.17

Určete magnetické napětí potřebné k vytvoření magnetického pole s indukcí Bv = 1 T ve vzduchové mezeře. Průřez ocelového jádra (ocel E11) je S = 16 cm2, délka vzduchové mezery lv = 0,5 mm, délka střední siločáry v jádře je l f = 1,1 m. v

Výsledek: U mf = N ⋅ I = 662 A

f


53

Příklad 11.18

Elektromagnet má jádro zadaných rozměrů (v mm) z materiálu s velkou permeabilitou. Cívka má 1200 závitů a je napájena proudem 4 A. Jak velká přítažná síla působí na kotvu? Magnetický odpor jádra je zanedbatelný. Rozšíření průřezu magnetického pole ve vzduchové mezeře i rozptylové toky neuvažujte.

Výsledek: F = 2011 N Příklad 11.19

Mezi pólovými nástavci permanentního magnetu je vzduchová mezera délky lv a s plochou Sv. Určete potřebnou plochu Sp permanentního magnetu, má-li být magnetická indukce ve vzduchové mezeře při teplotě 20 ºC Bv = 0,5 T. Magnetizační křivka použitého anizotropního feritu viz graf v příloze. Magnetický odpor pólových nástavců a rozptylové toky zanedbejte. S v = 3 cm 2 ,

p

= 20 mm,

v

p

p

= 4 mm

Výsledek: S p = 3,125 cm 2 , plocha každého ze dvou PM.

PM

v

v

PM

54


Příloha – BH charakteristiky Magnetizační charakteristika některých měkkých feromagnetických materiálů 1,5 dynamový plech

1,4 1,3 1,2

transformátorový plech (4% Si)

ocel E11

1,1 1

ocelolitina

0,9 0,8 B (T)

0,7

litina

0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

H (A/m)

Magnetizační charakteristika tvrdého anizotropního feritu (permanentní magnet)

Anizotropní ferit

1000

Elektrotechnika 1 - počítačová cvičení

Recommend Documents