EKONOMI PRODUKSI PERTANIAN: MAKSIMALISASI PADA HUBUNGAN INPUT-INPUT: Maksimalisasi dalam Kasus Dua Input

EKONOMI PRODUKSI PERTANIAN: MAKSIMALISASI PADA HUBUNGAN INPUT-INPUT: Maksimalisasi dalam Kasus Dua Input Tatiek Koerniawati Andajani, SP.MP. Laboratorium Ekonomi Pertanian, FP-Universitas Brawijaya Email : [email protected]

DESKRIPSI MODUL

TUJUAN PEMBELAJARAN Kompetensi dasar yang harus dikuasai mahasiswa setelah: 1. Membaca modul dan pustaka yang disarankan 2. Mengerjakan tugas terstruktur mandiri 3. Melaksanakan tutorial online adalah menjelaskan kembali kata kunci dan definisi memahami konsep-konsep sebagai berikut: 1. Maksimalisasi 2. Minimalisasi 3. Turunan pertama (first order conditions) 4. Turunan kedua (second order conditions) 5. Teorema Young 6. Syarat keharusan (necessary conditions) 7. Syarat kecukupan (sufficient conditions) 8. Matriks 9. Matriks dari turunan parsial 10.Prinsip minor 11.Maksimum lokal 12.Maksimum global 13.Saddle point 14.Determinan 15.Nilai kritis (critical value) 16.Maksimalisasi dan minimalisasi tak terkendala 17.Maksimalisasi dan minimalisasi terkendala

serta

5b SELF-PROPAGATING ENTREPRENEURIAL EDUCATION DEVELOPMENT (SPEED)

Modul ini menjelaskan konsep dasar maksimalisasi dan minimalisasi fungsi dengan dua atau lebih input untuk menghasilkan satu output secara matematis. Syarat keharusan (necessary condition) dan syarat kecukupan (sufficient condition) untuk maksimalisasi atau minimalisasi fungsi produksi diturunkan secara rinci. Selain itu juga akan dijelaskan mengapa pada kondisi tertentu fungsi produksi dapat dimaksimalkan atau sebaliknya, diminimalkan. Contoh fungsi dan penerapan aturan maksimalisasi dan minimalisasi juga dipelajari pada kegiatan belajar ini. Modul 5 dan 6 dirancang untuk menjadi materi pembelajaran selama 3 tatap muka yaitu TM 7 dan TM 9. Alternatif penjadwalan perkuliahan untuk bahan kajian pada modul 5 dan 6 dllanjutkan setelah ujian tengah semester, dengan penguatan penguasaan materi melalui tutorial online

Mata Kuliah / MateriKuliah

Brawijaya University

2012

MATERI PEMBELAJARAN 5.6. Konsep Dasar Maksimalisasi Peta isokuan dapat diilustrasikan seperti kontur peta suatu bukit atau pegunungan. Tinggi pegunungan pada suatu titik dapat diukur dari jumlah output yang diproduksinya. Sebuah isokuan menghubungkan semua titik-titik yang memproduksi sejumlah input yang sama, atau dengan kata lain memiliki elevasi (ketinggian bukit) yang sama.Pada dasarnya, isokuan terdiri dari sejumlah cincin konsentrik (bayangkan cincin-cincin konsentrik tersebut sebagai peta kontur sebuah pegunungan yang menghubungkan titik-titik sudut elevasi atau ketinggian bukit yang sama). Beberapa isokuan infinit dapat digambarkan, di mana setiap isokuan menunjukkan level perbedaan output yang sedikit berbeda. Isokuan tidak berpotongan satu sama lain. Hal ini mengimplikasikan bahwa kombinasi dua input yang sama tidak dapat menghasilkan level output yang berbeda. Kuantitas output yang diproduksi dari setiap kombinasi dua input bersifat unik. Jika isokuan merupakan cincin-cincin konsentrik, maka setiap isokuan yang digambarkan di dalam isokuan lain menunjukkan level output yang sedikit lebih tinggi dibandingkan isokuan yang terletak di bagian luar cincin konsentrik tersebut (lihat gambar 5.1.). Jika isokuan tidak berbentuk cincin, maka level output tertinggi biasanya digambarkan oleh isokuan yang jaraknya terjauh dari titik pusat (origin). Setiap isokuan mewakili kuantitas output yang berbeda. Sedangkan bila peta isokuan digambarkan sebagai sekelompok cincin konsentrik, maka cincin-cincin ini akan menjadi semakin mengecil ke arah pusat diagram. Semakin tinggi level output yang dihasilkan, akan semakin kecil cincin isokuan. Hal ini menunjukkan bahwa pilihan kombinasi dua input untuk menghasilkan output tersebut semakin terbatas. Cincin-cincin konsentris tersebut pada akhirnya akan menjadi satu titik yang disebut titik global output maksimum dan merupakan posisi di mana petani hanya akan berproduksi bila input diperoleh secara gratis atau tidak terdapat kendala utilitasi input lainnya. Titik tunggal tersebut juga merupakan perpotongan antara dua ridge lines. MRS isokuan dari satu titik tunggal tidak didefinisikan, namun titik ini merepresentasikan jumlah output maksimum yang dapat diproduksi dengan mengombinasikan dua input x1 dan x2. Nilai maksimum dan minimum keduanya memiliki nilai nol. Dengan demikian adalah tidak mungkin membedakan nilai minimum dan maksimum hanya dari slopenya. Dalam hal ini aturan matematika memungkinkan dibedakannya nilai minimum dan maksimum melalui turunan kedua (second order conditions). 5.7. Fungsi Maksimum Bagaimana kombinasi input x1 dan x2 dari fungsi produksi dua input menghasilkan output maksimum merupakan persamaan matematika yang terdiri dari dua prosedur sebagai berikut: Untuk fungsi produksi y  f ( x1 , x2 )............(6.1.) turunan pertama atau syarat keharusan untuk maksimalisasi output adalah y x1  0 atau f1 =0 ….(6.2.) dan y x2  0 atau f2=0…..(6.3.). Persamaan (6.2.) dan (6.3.) memastikan bahwa tititik tersebut adalah tingkatan relatif aksis x1 dan x2. Page 2 of 12



2012

Turunan kedua maksimalisasi output mensyaratkan turunan parsial dari turunan pertama. Terdapat empat alternatif turunan kedua dari derivasi turunan pertama terhadap x1 dan x2 yaitu:

 y x1  x1   2 y x12  f11.....................(6.4.)

 y x1  x2   2 y x1x2  f12.................(6.5.)

 y x2  x1   2 y x2x1  f 21.................(6.6.)

 y x2  x2   2 y x22  f 22.....................(6.7.) Teorema Young menyatakan bahwa urutan dari diferensiasi parsial tidak berbeda sehingga f12=f21. Maksimalisasi turunan kedua mensyaratkan f11>0 ..............(6.8.) dan f11f22>f12f21....(6.9.). Karena f12f21 non negatif maka syarat f11f22 positif untuk persamaan (6.9) terpenuhi dan f11f22 bernilai positif hanya bila f22 negatif. Turunan pertama dan kedua ini merupakan syarat keharusan dan kecukupan untuk maksimalisasi fungsi produksi dua input. 5.8. Beberapa Contoh Ilustratif Misal y  10 x1  10 x2  x12  x22 ..........(6.10.) Turunan pertama atau syarat keharusan tercapainya maksimalisasi adalah:

f1  10  2 x1  0................(6.11.) x1  5.................................(6.12.) f 2  10  2 x2  0...............(6.13.) x2  5................................(6.14.) Nilai kritik dari fungsi adalah titik di mana slope fungsi sama dengan nol. Nilai kritik dari fungsi tersebut di atas tercapai pada saat x1=5 dan x2=5. Titik ini dapat merupakan posisi maksimum, minimum atau titik tengah (saddle point). Selanjutnya prinsip maksimalisasi mensyaratkan kondisi turunan kedua sebagai berikut:

f11  0 dan f11 f 22  f12 f 21................(6.15.) Untuk persamaan (6.10.) :

f11  2  0......................................(6.16.) f 22  2............................................(6.17.) f12  f 21  0.....................................(6.18.) Dengan demikian f11 f 22  f12 f 21  4  0...........(6.19.) Syarat keharusan dan kecukupan untuk memaksimalkan persamaan (6.10.) pada x1=5. x2=5, terpenuhi. Fungsi ini diilustrasikan pada diagram A gambar 6.1.

Page 3 of 12



2012

Gambar 6.1. A. Alternatif Second Order Condition (Debertin, 1986) Pada fungsi y  10 x1  10 x2  x12  x22 ................(6.20.) Turunan pertama adalah: f1  10  2 x1  0........................(6.21.) x1  5........(6.22.)

f 2  10  2 x2  0...................(6.23.) x2  5..................(6.24.) Syarat minimum turunan kedua adalah f11  0............................(6.25.) f11 f 22  f12 f 21...............................(6.26.) Untuk persamaan (6.20.) kondisi orde kedua (turunan kedua) adalah:

f11  2  0......................(6.27.) f 22  2............................(6.28.) Sehingga terbukti f11 f 22  f12 f 21  4  0.......................(6.29.) Syarat keharusan dan kecukupan untuk minimalisasi persamaan (6.20) terpenuhi pada x1=5, x2=5. Fungsi ini diilustrasikan pada diagram B gambar 6.1.

Page 4 of 12



2012

Gambar 6.1.B. Alternatif Second Order Condition (Debertin, 1986) Pada

fungsi

y  10 x1  10 x2  x12  x22 ................(6.30.)

turunan

pertama

adalah

f1  10  2 x1  0...............(6.31.) , x1  5............(6.32.) f 2  10  2 x2  0..........................(6.33.), x2  5...................(6.34.) Untuk persamaan (6.30.) turunan kedua adalah:

f11  2  0.................(6.35.); f 22  2....................(6.36.) f11 f 22  f12 f 21  4  0..........................................(6.37.) Syarat keharusan dan syarat kecukupan maksimalisasi dan minimalisasi untuk persamaan (6.30.) tidak terpenuhi pada x1=5;x2=5. Fungsi ini memiliki titik tengah (saddle point) yang unik sebagaimana diilustrasikan pada diagram C gambar 6.1. yang menunjukkan nilai maksimum dengan arah paralel terhadap aksis x1 namum bernilai minimum dengan arah paralel terhadap aksis x2.

Gambar 6.1.C Alternatif Second Order Condition (Debertin, 1986) Page 5 of 12

Mata Kuliah / MateriKuliah Fungsi


2012

y  10 x1  10 x2  x12  x22 ..........................(6.38.) juga memiliki titik tengah (saddle

point) serupa dengan aksis yang berkebalikan di mana nilai minimum paralae dengan aksis x1 sedangkan nilai maksimum paralel dengan aksis x2. Permukaan fungsi ini ditunjukkan pada diagram D gambar 6.1.

Gambar 6.1.D Alternatif Second Order Condition (Debertin, 1986) Selanjutnya untuk fungsi y  2 x1  2 x2  x12  x22  10 x1 x2 ....................(6.39) Turunan pertama fungsi tersebut adalah:

f1  2  2 x1  10 x2  0.........................(6.40.) f 2  2  2 x2  10 x1  0.........................(6.41.) Dengan menyelesaikan persamaan untuk nilai x2 diperoleh:

 2 x2  2  10 x1.....................................(6.42.) x2  5x1  1............................................(6.43.) Persamaan (6.43.) dimasukkan ke persamaan (6.40.) untuk mencari f1 pada x1=0,25 (6.44.). Dan x2=5x1-5  x2=0,25 Sehingga turunan kedua fungsi adalah:

f11  2  0......................(6.45.) f 22  2  0......................(6.46.) f12  f 21  10....................(6.47.) Jadi f11 f 22  f12 f 21  4  100  96  0....................(6.48.) Walaupun syarat keharusan untuk maksimum pada x1=x2=0,25 terpenuhi, namun syarat kecukupan (turunan kedua) tidak terpenuhi. Pada perhitungan di atas, turunan parsial kedua f11 f12 kurang dari hasil turunan parsial silang yang kedua ( f12 f 21 ) sehingga f11 f12  f12 f 21  0 . Pada kasus ini, titik tengah (saddle point) berbentuk seperti burung yang sedang mengembangkan sayapnya (lihat diagram E gambar 6.1.) di mana nilai minimum berada di satu sisi dan nilai maksimum pada sisi lain (x1,x2 =0,25). Meski demikian Page 6 of 12



2012

saddle point tak lagi paralel terhadap aksis namum bergerak di antara kedua aksis. Hal ini merupakan dampak dari penurunan parsial silang kedua yang hasilnya lebih besar dari penurunan langsung yang kedua.

Gambar 6.1.E Alternatif Second Order Condition (Debertin, 1986) Pada contoh sebelumnya dijelaskan bahwa fungsi polinomial berpotensi memiliki nilai maksima dan minima pada level x1 dan x2 positif dan finit. Jika nilai maksimum tercapai, resultan peta isokuan akan terdiri dari sejumlah cincin konsentris yang berpusat pada titik maksimum di mana ridge lines berpotongan pada titik maksimum tersebut. Contoh:

y  10 x10,5 x20,5 ................(6.49.)

f1  5x10,5 x20,5 ................(6.50.) f 2  5x10,5 x20,5 ...............(6.51.) Turunan pertama dari persamaan (6.49.) sama dengan nol, bila masing-masing nilai x1 dan x2 diasumsikan sama dengan nol. Namun tidak terdapat kemungkinan nilai f1 dan

f 2 sama dengan nol pada kombinasi x1 dan x2 yang bernilai positif. Oleh karena itu fungsi tersebut tidak memiliki nilai maksimum. 5.9. Prinsip-Prinsip Aljabar Matriks Aljabar matriks adalah perangkat matematika yang sangat efektif untuk menetapkan apakan suatu fungsi memiliki nilai maksimum atau minimum. Sebuah matriks terdiri dari sejumlah angka yang disebut nilai atau elemen serta diatur dalam baris dan kolom sebagai berikut:

a11

a12

a21 a22 a31 a32

a13 a23 ....................(6.52.) a33 Page 7 of 12



2012

Matriks (6.52.) adalah matriks bujur sangkar 3X3, sebab memiliki tiga kolom dan tiga baris. Untuk setiap elemen, notasi subscript menunjukkan posisi elemen berdasarkan urutan baris dan kolom. Setiap matriks bujur sangkat memiliki determinan. Untuk matriks 1X1 misalnya, determinannya adlaah a11. Untuk matriks bujur sangkar 2X2, determinannya adalah a11a22-a12a21. Sedangkan determinan untuk matriks bujur sangkar 3X3 adalah a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13-a31a22a13-a11a32a23-a33a21a12. Determinan matriks yang lebih besar dari 3X3 sangat sulit dihitung secara manual dan umumnya untuk menghitung digunakan programasi komputer. Prinsip minor matriks dapat diperoleh dengan menghapus seluruh baris dan kolom pertama dari matriks selain elemen yang berlokasi di baris dan kolom pertama (a11) dan mencari resultan determinan. Dalam contoh berikut ini, baris dan kolom pertama dihapus dan determinan matriks 2X2 yang tersisa kemudian dihitung. Pada contoh di atas, prinsip minor yang kedua adalah a11a22  a12a21 . Prinsip minor yang ketiga dapat dihitung dengan menghapus seluruh baris dan kolom dengan baris atau kolom bernotasi lebih besar dari 3 sehingga resultan determinan diperoleh. Second order condition, atau turunan kedua dapat dengan lebih mudah dijelaskan melalui pendekatan aljabar matriks. Turunan langsung dan silang kedua dari dua input fungsi produksi adalah matriks bujursangkar 2X2:

f11 f 21

f12 ....................................(6.53) f 22

Persamaan minor dari persamaan (6.53) adalah:

H1  f11 H 2  f11 f 22  f12 f 23

..................................................(6.54)

Dengan mengasumsikan turunan orde pertama terpenuhi, maksimalisasi turunan orde kedua mensyaratkan prinsip minor H1 dan H2 bertanda negatif sehingga H1<01 dan H2>0. Sedangkan minimalisasi mensyaratkan prinsip minor positif, H1 dan H2 >0. Saddle point menghasilkan kondisi : H1  0; H 2  0 atau H1  0; H 2  0 5.10. Contoh Penerapan Prinsip Aljabar Matriks Ilustrasi kondisi orde kedua dapat dipelajari dari dua input polinomial sebagai berikut:

y  40 x1  12 x12  1,2 x12  0.03x14  40 x2  12 x22  1,2 x23  0,03x24 ..................(6.55) Fungsi ini memiliki sembilan nilai dengan turunan pertama sama dengan nol. Setiap nilai tersebut adalah nilai kritis (critical values) yang menunjukkan maksimum, minimum dan saddle point. Gambar 6.1 mengilustrasikan kondisi orde kedua: H1  f11, H 2  f11 f12  f12 f 21 . Fungsi ini berbeda dari fungsi sebelumnya di mana terdapat beberapa kombinasi x1 dan x2 yang menghasilkan nilai kritis dengan slope fungsi sama dengan nol. Ada satu titik maksimum global untuk fungsi tersebut meski terdapat beberapa local maxima. Kondisi maksimum global dapat dibayangkan sebagai puncak gunung tertinggi di mana local maximum sebagai puncak-puncak gunung di sekitamya. Terdapat sejumlah saddle point . Kondisi orde kedua dapat diverifikasi dengan mencermati gambar 6.2. Page 8 of 12



2012

Gambar 6.2. Polinomial Tiga Dimensi

y  40 x1  12 x12  1,2 x12  0.03x14  40 x2  12 x22  1,2 x23  0,03x24 Tabel 6.1. Nilai Kritis untuk Polinomial

y  40 x1  12 x12  1,2 x12  0.03x14  40 x2  12 x22  1,2 x23  0,03x24

x2

16,24

6,93

2,54

x1 2.54 Lokal Maksimum: y=232,3 H1<0 H2>0 Saddle Titik: y=61,9 H1<0 H2<0 Lokal Maksimum: y=84,8 H1<0 H2>0

6,93 Saddle Titik: y=209,5 H1>0 H2<0 Lokal Minimum: y=39,1 H1>0 H2>0 Saddle Titik: y=61,9 H1>0 H2<0

16,24 Global Maksimum: y=379,8 H1<0 H2>0 Saddle Titik: y=209,5 H1<0 H2<0 Lokal Maksimum: y=232,3 H1<0 H2>0

5.11. Maksimalisasi Fungsi Profit dengan Dua Input Kegunaan kriteria maksimalisasi fungsi produksi juga dapat dijelaskan melalui aplikasi fungsi profit usahatani jagung, sebagai berikut:

y  f ( x1 , x2 )......................(6.56) di mana: y

x1

: Panen jangung dalam bu/acre : Jumlah pupuk K Page 9 of 12

Mata Kuliah / MateriKuliah x2


2012

: Jumlah pupuk P

Semua input lain diasumsikan tidak berubah, atau sudah dimiliki oleh petani. Keputusan yang harus diambil petani adalah mengalokasikan dua jenis pupuk N dan P untuk memaksimalkan keuntungan usahatani. Jumlah penerimaan atau nilai produk total yang diperoleh dari penjualan jagung dari 1 acre lahan adalah: TVP=py.........................................................(6.57) Di mana: p : Harga jagung per bu y : Hasil panen jagung bu/acre Total biaya input adalah:

TFC  v1 x1  v2 x2 ..............................................(6.58) Fungsi keuntungan usahatani:

  TVP  TFC.................................................(6.59)   py v1x1  v2 x2 ...........................................(6.60)   pf ( x1 , x2 )  v1 x1  v2 x2 ...............................(6.61) Turunan pertama untuk kondisi maksimalisasi dapat disusun sebagai berikut:

 1  pf1  v1  0................................................(6.62)  2  pf 2  v2  0...............................................(6.63) Persamaan (6.62) dan (6.63) mensyaratkan slope fungsi TVP terhadap kedua input sama dengan slope fungsi TFC masing-masing input pupuk P dan K yang digunakan.

pf1  v1........................................................(6.64) pf 2  v2 .......................................................(6.65) Nilai produk marginal sama dengan biaya marginal masing-masing input. Bila petani dapat membeli pupuk K dan P pada harga pasar, biaya marginal akan sama dengan harga input yaitu v1 dan v2, sehingga:

pf1 / v1  pf 2 / v2  1................................(6.66) pf1 / pf 2  v1 / v2 .......................................(6.67) f1 / f 2  v1 / v2 ...........................................(6.68) Karena f1 adalah MPP x1 dan f2 adalah MPP x2 maka rasio produk marginal adalah MRTS x1 untuk x2 atau MRTSx1x2. Oleh sebab itu titik maksimalisasi keuntungan adalah:

MRSx1 x2  v1 / v2 ...............................(6.69) dx2 / dx1  v1 / v2 ................................(6.70) Kondisi turunan kedua juga memegang peranan penting, dengan mengasumsikan harga input adalah v1 dan v2 maka turunan kedua fungsi profit adalah:

 11  pf11................................(6.71)  22  pf 22 ...............................(6.72)  12   21  pf12  pf 21 (teorema Young) ......................(6.73) Atau dalam bentuk matriks: Page 10 of 12


pf11 pf 21


2012

pf12 ..................................(6.74) pf 22

Kondisi maksimalisasi:

pf11  0...............................(6.75) pf11 pf 22  pf12 pf 21  0....................(6.76) Prinsip minor harus dimulai dengan tanda minus. Persamaan (6.75) dan (6.76) mensyaratkan fungsi VMP untuk x1 dan x2 berslope negatif. Dengan harga input tetap, fungsi biaya input memiliki slope konstan sehingga MFC sama dengan nol. Pemenuhan atas kedua persyaratan ini menghasilkan satu titik maksimalisasi profit global. Dengan demikian pada titik maksimalisasi ini, bila petani akan menambah alokasi salah satu input, ia harus mengurangi alokasi input lainnya, kecuali kedua input tersebut gratis. 5.12. Perbandingan Kriteria Maksimalisasi Output Sebagai perbandingan kriteria maksimalisasi keuntungan dengan kriteria maksimalisasi output dapat diikuti langkah-langkah sebagai berikut:

y  f ( x1 , x2 ).................................(6.77) f1  MPPx 1  0.............................(6.78) f 2  MPPx 2  0.............................(6.79) f1  f 2  0.....................................(6.80) Turunan kedua pada kondisi maksimalisasi mensyaratkan f11<0 dan f11f22>f12f21. MPP untuk kedua input berslope negatif. Turunan pertama dan kedua merupakan syarat keharusan dan syarat kecukupan matematik yang menentukan pusat peta isokuan dari rangkaian cincin konsentris sebagaimana telah dijelaskan pada bagian sebelumnya.

pf1  v1  0............................(6.82) pf 2  v2  0.............................(6.83) pf1 / v1  pf 2 / v2  1...................(6.84) Kondisi orde kedua maksimalisasi profit mensyaratkan:

pf11  0............................(6.85) pf11 pf 22  pf12 pf 22  0.......................................(6.86) p 2 ( f11 f 22  f12 f 21 )  0...........................................(6.87) Karena p2 bernilai positif, syarat tanda turunan kedua baik untuk maksimalisasi profit dan output sama.

TUGAS DAN LATIHAN SOAL Kerjakan soal-soal berikut ini: 1. Apakah fungsi y  x1 x2 memiliki titik maksimum? Jelaskan! 2. Apakah fungsi y  x12  2x22 memiliki titik maksimum? Jelaskan! Page 11 of 12



2012

3. Apakah fungsi y  x1  0,1x12  0,05x13  x2  0,1x22  0,05x23 memiliki titik maksimum? Jika berapa level penggunaan input yang memaksimalkan nilai produk? 4. Misal harga output adalah Rp 3 dan masing harga input x1=Rp 5 dan harga input x2=Rp4. Mungkinkah produksi usahatani yang dilakukan petani memperoleh keuntungan? Jelaskan syarat keharusan dan syarat kecukupan yang harus dipenuhi!

REFERENSI Debertin, D.L., 1996, Agricultural Production Economics, Macmillan Publishing Company, New York Samuelson, P.A., 1970, A Foundation of Economics Analysis, Atheneum, New York

RANCANGAN TUGAS Tujuan Tugas : Menjelaskan kembali definisi dan memahami konsep teoritis bahan kajian pada modul. Uraian Tugas: 1. Obyek garapan: tugas dan latihan soal pada modul 6 2. Batasan tugas: a. Tugas yang diberikan pada modul 6 adalah tugas individual dikumpulkan dalam waktu satu minggu melalui e-learning b. Mahasiswa diperkenankan mendiskusikan jawaban tugas dengan anggota kelompok yang lain c. Mahasiswa diwajibkan menghimpun seluruh materi perkuliahan baik print out modul, hand out, catatan kuliah dan tugas-tugas yang diberikan selama satu semester d. Menghimpun dan mengelola informasi dalam urutan yang logik dan mengelola informasi agar dapat menjadi sumber pembelajaran yang baik adalah salah satu learning skill yang harus dimiliki oleh mahasiswa. Oleh karena itu seluruh materi belajar yang telah dihimpun akan dievaluasi oleh tim dosen sebagai indikator proses belajar Anda. 3. Metodologi dan acuan tugas: a. Tugas individu diketik dengan margin kiri dan kanan masing-masing 3 cm. Tuliskan nama, NIM pada halaman cover. Berikan nomor halaman pada lembar kerja Anda di sudut kanan bawah. Jangan lupa menuliskan keterangan tugas yang Anda kerjakan dan pengerjaan harus berurutan dari tugas nomor 1,2 dan seterusnya. b. Tugas individu dikumpulkan tiap minggu, pengaturan jadual pengumpulan tugas diumumkan secara online pada e-learning 4. Keluaran tugas: satu dokumen tugas individu yang diupload. Kriteria Penilaian: 1. Kejelasan dan kelengkapan penguasaan konsep-konsep utama modul 6. 2. Kemampuan mengomunikasikan gagasan kreatif dan partisipasi pada diskusi online

Page 12 of 12

EKONOMI PRODUKSI PERTANIAN: MAKSIMALISASI PADA HUBUNGAN INPUT-INPUT: Maksimalisasi dalam Kasus Dua Input

Recommend Documents