Fyzikální praktikum IV. - Měření Youngova modulu pružnosti metodou dynamickou, určení logaritmického dekrementu útlumu materiálu - verze 02
Úloha č. 10 Měření Youngova modulu pružnosti metodou dynamickou, určení logaritmického dekrementu útlumu materiálu 1) Pomůcky: Tónový generátor, zesilovač, milivoltmetr, elektromagnetický budič, elektromagnetický snímač, stojan pro zavěšení vzorků, měřené vzorky. 2) Teorie: a) Měření je prováděno na tyčích obdélníkového průřezu. Vzorky jsou rozkmitávány ohybovými kmity. Pro netlumené ohybové kmity tyčí platí pohybová rovnice ∂4 y ∂2 y EJ 4 = − q 2 , ∂x ∂t (1) kde y je výchylka v místě x, q hmotnost délkové jednotky, t čas, J moment setrvačnosti průřezu a E modul pružnosti v tahu. Její řešení můžeme psát ve tvaru y ( x, t ) = y ( x )sin ωt . (2) Funkci y(x) můžeme vyjádřit ve tvaru y ( x ) = C1eαx + C2e −αx + C3 sin αx + C4 cos αx , (3) kde pro α platí:
α=
4
qω 2 EJ
(4) Dosazením okrajových podmínek pro x = 0 a x = l dostaneme konkrétní řešení výrazu (3) a (4). V případě volně zavěšené tyče je pro x = 0 a x = l y’’ = 0, y’’’ = 0 (křivost i změna křivosti jsou na okrajích nulové). Pro tyto okrajové podmínky vyjde známý vztah cosh (α.l).cosh (α.l) = 1. (5) Dosadíme-li α.l = m, (6) dostaneme řešením rovnice (5) tyto hodnoty: m1 = 4,73, m2 = 7,85, m3 = 11,00, m4 = 14,14, ...
mk ≅ (2k + 1)
π
(pro vyšší hodnoty k ). 2 Použitím těchto hodnot a vztahu (6) můžeme z výrazu (4) určit vlastní kmity volně zavěšené tyče. 1 Pro tyč obdélníkového průřezu je J = ab3 , kde a je šířka a b je tloušťka tyče a q = ρS = ρab. 12 Zavedením těchto výrazů do vztahu (4) obdržíme
fk =
mk2
b 2 4π 3 l
E
ρ (7)
-1-
Fyzikální praktikum IV. - Měření Youngova modulu pružnosti metodou dynamickou, určení logaritmického dekrementu útlumu materiálu - verze 02
Vzorek je nutno zavěsit v místě uzlu chvění tyče. Pro toto místo je y(x) = 0. Vypočítáme-li v (3) konstanty C1 - C4 a zavedeme sem hodnoty αk, příslušející vypočteným hodnotám mk, můžeme řešením vztahu (3) pro y(xk) = 0 vypočítat polohy uzlů xk, v nichž je výchylka nulová.
xk
Polohy uzlů jsou v místech x1 = 0,224 l x2 = 0,132 l, 0,5 l x3 = 0,094 l, 0,356 l
xk l
(8) Zavěsíme-li vzorek v místě uzlů a rozkmitáme ho, můžeme změřením rezonanční frekvence, která odpovídá vlastním kmitům vzorku, vypočítat podle (7) modul pružnosti měřeného vzorku. b) Každý reálný mechanický kmitající systém je doprovázen tlumením, způsobeným třením v materiálu a ve vzduchu. Tlumení vyjadřujeme pomocí ztrátového činitele η , nebo logaritmického dekrementu útlumu ϑ . Mezi nimi je jednoduchý vztah ϑ = πη (9) Řešení pohybové rovnice ohybových kmitů tyče za předpokladu tlumení a při vynuceném kmitání je značně obtížné. Dá se však experimentálně dokázat, že kvalitu materiálu s dostatečnou spolehlivostí reprezentuje kterýkoliv z kmitajících bodů chvějící se tyče. Problém chvění tyče se tak zjednodušuje na kmitání jednoduchého harmonického oscilátoru, jehož teoretické sledování není tak náročné. Budou-li oba konce tyče opatřeny železnými plíšky (napínáčky), můžeme uvést vzorek do chvění pomocí elektromagnetického budiče, jehož obvodem bude procházet střídavý proud. Přitom je síla, působící na tyč úměrná velikosti procházejícího proudu budičem. Kmitání druhého konce je možno zjistit pomocí elektromagnetického snímače. Železný plíšek kmitajícího konce tyče způsobuje v okolí snímače proměnný magnetický tok Φ a v závitech snímače je indukováno napětí u, dané vztahem ∂Φ Φ u = −N = N 0 v, ∂t d (10) kde N je počet závitů, d vzdálenost plíšku od snímače, Φ0 magnetický tok při nepohyblivém konci tyče, v rychlost kmitání. Vidíme, že je napětí na snímači úměrné rychlosti kmitání konce vzorku. Vynucené kmity harmonického oscilátoru určuje pohybová rovnice. d2y dy m 2 +r + ky = F0 sin Ωt dt dt (11) kde m je hmotnost, k tuhost, r veličina vyjadřující tlumení, y okamžitá výchylka, F0 amplituda budící síly, Ω kruhová frekvence budící síly. Ustálené řešení má tvar y = A0 sin (Ωt + ϕ ) , tj. závisí na frekvenci budící síly. Velikost amplitudy A0 je dána vztahem F0 A0 = 2 m ω02 − Ω 2 + 4δ 2Ω 2 (12) kde r δ= , 2m
(
)
(13) -2-
Fyzikální praktikum IV. - Měření Youngova modulu pružnosti metodou dynamickou, určení logaritmického dekrementu útlumu materiálu - verze 02
se nazývá konstantou tlumení,
ω0 =
k , m
(14) je vlastní frekvence harmonického oscilátoru. Protože měříme elektromagnetickým snímačem ne výchylku y, nýbrž rychlost kmitání v (viz (10)) je výhodnější sledovat tuto veličinu, pro níž platí dy v= . dt Podle toho je v = ΩA0 cos(Ωt + ϕ ) a amplituda rychlosti ΩF0 V0 = ΩA0 = ≈ U0 , 2 m ω02 − Ω 2 + 4δ 2Ω 2 (15) kde U0 je napětí měřené na snímači (viz 10)). Závislost amplitudy rychlosti V0 (resp. napětí na snímači U0) na frekvenci se nazývá rezonanční křivka. Maximální hodnoty nabývá při rezonanci. Zjistíme ji z výrazu dV0 = 0. dΩ Tento výraz je splněn pro Ω = ω0 = Ω rez (16) a rezonance nastává při frekvenci budící síly rovné vlastní frekvenci netlumeného oscilátoru. Rezonanční amplituda rychlosti je pak F0 F = 0 Vrez = m.2.δ r (17) Protože je veličina δ či r v praxi těžko měřitelná, měříme raději veličinu ϑ nebo η. Můžeme je buď určit z dokmitávání vzorku po vypnutí budící síly, nebo z rezonanční křivky. V prvém případě je
(
)
ϑ = ln D = δT =
δ f
, (18)
kde
D=
A1 A2 A = = ... = n = eδT . A2 A3 An +1
Veličina D je útlum, T doba kmitu, f frekvence. Útlum je podíl dvou po sobě následujících amplitud (viz obr.). Vypočítat ϑ představuje změřit přesně velikosti následujících amplitud, což předpokládá velmi přesnou měřící aparaturu. Určení ϑ z rezonanční křivky není po experimentální stránce tak náročné, a proto použijeme této metody.
-3-
Fyzikální praktikum IV. - Měření Youngova modulu pružnosti metodou dynamickou, určení logaritmického dekrementu útlumu materiálu - verze 02
O rezonanční křivce víme, že je úzká a strmější u oscilátoru s menším tlumením a plochá a široká u velkého tlumení. Šířka rezonanční křivky nám tedy určuje tlumení oscilátoru. Logaritmický dekrement útlumu můžeme dobře určit ze šířky rezonanční křivky v poloviční 1 hodnotě rezonanční amplitudy, tj. pro V = Vrez 2 1 resp. U = U rez pro napětí na snímači. 2 Podle (15) a (17) je
(
ΩF0
m ω02 − Ω
)
2 2
+ 4δ 2Ω 2
=
1 F0 2 m.2.δ (19)
Po úpravě obdržíme
2 3δΩ = ω02 − Ω 2 = ω0 − Ω (ω0 + Ω )
Předpokládáme-li přibližně rezonanční křivku symetrickou a Ω a ω0 velmi blízké, můžeme psát ∆Ω ω0 − Ω = a ω 0 + Ω = 2Ω 2 tedy 2 3δΩ = ∆Ω.Ω a 2 3δ = ∆Ω 0,5 (20) Podle (18) je δ = f .ϑ . Dosadíme-li tento výraz do (20) obdržíme 1 ∆Ω 0,5 ϑ= 2 3 f a protože je ∆Ω = 2π∆f , vyjde π ∆f 0,5 ϑ= 3 f Stejným způsobem bychom odvodili výraz pro ϑ , kdybychom uvažovali šířku rezonanční 2 Vrez , tedy V = 0,707 Vrez ,což se v praxi též běžně užívá. V tomto případě křivky v místě V ′ = 2 vyjde ∆f ϑ = π 0,7 f ( 22) Vztahů (21) a (22) použijeme k určení ϑ .
-4-
Fyzikální praktikum IV. - Měření Youngova modulu pružnosti metodou dynamickou, určení logaritmického dekrementu útlumu materiálu - verze 02
3) Úkol: a) Určete modul pružnosti dřevěné, novodurové a ocelové tyče z rezonanční frekvence. Měření proveďte pro 1. a 2. rezonanční frekvenci (k = 1, 2). b) Určete logaritmický dekrement útlumu ϑ pro dřevěnou, ocelovou a novodurovou tyč ze šířky rezonanční křivky. Sestrojte rezonanční křivku dřevěné a 1 novodurové tyče. Logaritmický dekrement útlumu ϑ počítejte z Vrez , i z 0,707 Vrez. 2 podle vztahů (21) a (22). Amplitudu rychlosti reprezentuje hodnota napětí, měřeného na 1 snímači. U ocelové tyče zjistěte pouze šířku rezonanční křivky v Vrez a z ní 2 vypočítejte ϑ .
4) Postup: Aparaturu zapojíme podle schématu ZÁVĚSY
ČÍTAČ
BUDIČ TÓNOVÝ GENERÁTOR
MĚŘENÁ TYČ
ZESILOVAČ
SNÍMAČ MILIVOLTMETR
Nejprve změříme a zvážíme vzorky a vypočítáme jejich hustotu ρ. Dále vypočítáme podle (8) polohy uzlů, vzorek zavěsíme v uzlech a budič i snímač přiblížíme 1-2 mm od napínáčků, kterými jsou opatřeny oba konce vzorků. Potom postupně měníme frekvenci tónového generátoru a hledáme rezonanční frekvenci. Zesilovač nesmí být přemodulován, vstupní signál z tónového generátoru do zesilovače musí být velmi malý (rozsah - 20 dB, ručička přístroje asi v l/3 rozsahu stupnice měřidla). Modul pružnosti vypočítáme ze vztahu (7). Rezonanční křivku získáme jako závislost U = U ( f ) v okolí rezonanční frekvence. Rozměry vzorků změříme l0x, vypočítáme jejich chyby a z nich chybu veličiny E. Pro přesnost měření je nutno změnit hodnoty napětí alespoň pro 20 hodnot frekvence. Po proměření rezonanční křivky provedeme ještě kontrolu tak, že najdeme maximální hodnotu napětí a zjistíme obě frekvence, odpovídající poloviční, či 0,707 hodnotě tohoto maxima. Rozdíl obou frekvencí dá ∆f. Logaritmický dekrement útlumu vypočítáme podle (21) resp. (22). Poznámka: U ocelové tyče je rezonanční křivka tak strmá, že ji nelze změřit. Zjistíme proto pouze rezonanci a hodnoty frekvence v polovičním napětí. Frekvenci odečítáme na čítači s přesností na desetiny Hz, tj. s 10 sekundovým měřením.
Literatura: Čeněk Strouhal - Akustika Miroslav Brdička - Mechanika kontinua Antonín Špelda - Úvod do akustiky pro hudebníky Josef Marhaut - Teorie elektroakustických přístrojů -5-
