EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE BÁTKAI ANDRÁS

Ennek a jegyzetnek az elsődleges célja, hogy a matematika tanárszakos analízis előadást kísérje és a vizsgára készülést segítse. A jegyzet gépelési hibákat tartalmazhat, kérem értelemmel kezelni és nekem jelezni. Az esetleges hibák nem mentenek fel senkit a vizsgán. A jegyzet folyamatosan bővül. 1. Folytonosság, határérték Legyen f : R → R, azaz legyen D(f ) ⊂ R és R(f ) ⊂ R. Függvények megadásához az értelmezési tartomány (D(f )) és a hozzárendelési szabály megadása szükséges. Megállapodunk abban, hogy ha egy függvénynél csak a hozzárendelési szabályt adjuk meg, akkor az értelmezési tartomány a valós számok azon legbővebb részhalmaza, melyre a hozzárendelési szabály értelmezhető. Tehát ha D(f ) = R

f (x) = x2 ,

D(g) = R+

g(x) = x2 ,

akkor két különböző függvényt adtunk meg. A fenti két függvény viszonya egymáshoz fontos speciális esete a következő szituációnak. 1.1. Definíció. Legyen adva f, g : R → R. Azt mondjuk, hogy g az f megszorítása, vagy f a g kiterjesztése, ha D(g) ⊂ D(f ) és f (x) = g(x) minden x ∈ D(g) esetén. A korábbi tanulmányaink során definiáltuk a következő függvényeket: • a hatványfüggvény D(f ) = R+ ,

f (x) = xα

(α ∈ R),

• az exponenciális függvény D(f ) = R,

f (x) = ax

(a ∈ R+ , a 6= 1),

• a logaritmusfüggvény D(f ) = R+ ,

f (x) = loga (x)

(a ∈ R+ , a 6= 1).

Szintén láttuk, hogy ezek a függvények rendelkeznek a következő igen fontos tulajdonsággal. xn ∈ D(f ), x0 ∈ D(f ), xn → x0 ,

⇒

α xα n → x0 ,

xn ∈ D(g), x0 ∈ D(g), xn → x0 ,

⇒

axn → ax0 ,

xn ∈ D(h), x0 ∈ D(h), xn → x0 ,

⇒

loga (xn ) → loga (x0 ).

Ez valahol azt fejezi ki, hogy ha az értelmezési tartomány elemei közel kerülnek x0 -hoz, akkor a függvényértékek is közel kerülnek f (x0 )-hoz. A következőkben ezt a tulajdonságot szeretnénk általánosabban vizsgálni. Ehhez először bizonyítunk egy átfogalmazást. 1.2. Tétel (Folytonosságra vonatkozó átviteli elv). Legyen f : R → R, x0 ∈ D(f ). Ekvivalensek a következők: (1) Bármely xn ∈ D(f ) sorozatra, melyre xn → x0 , teljesül, hogy f (xn ) → f (x0 ). (2) Minden ε > 0 számhoz található δ > 0, hogy bármely x ∈ D(f ), |x−x0 | < δ esetén |f (x)−f (x0 )| < ε. Date: September 8, 2005. e-mail: [email protected]. 1

2

BÁTKAI ANDRÁS

Bizonyítás. (ii) ⇒ (i): Legyen xn ∈ D(f ), xn → x0 . Azt kell belátnunk, hogy f (xn ) → f (x0 ), azaz ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N : ∀n ∈ N, n ≥ N |f (xn ) − f (x0 )| < ε. Tudjuk, hogy xn → x0 , azaz bármely δ > 0-hoz található N ∈ N, hogy minden n ≥ N természetes szám esetén |xn − x0 | < δ. Legyen ε > 0 tetszőleges. Ehhez (ii) feltétel szerint található δ > 0. Ehhez a δ-hoz az előzőek szerint található N ∈ N hogy minden n ≥ N természetes szám esetén |xn − x0 | < δ. Viszont ekkor |f (xn ) − f (x0 )| < ε a (ii) feltétel miatt. (i) ⇒ (ii): Indirekt bizonyítunk, azaz feltesszük, hogy nem teljesül a (ii) és belátjuk, hogy (i) sem teljesülhet. Azaz feltesszük, hogy ∃ ε > 0 ∀ δ > 0 ∃ x = x(δ) ∈ D(f ), |x − x0 | < δ, |f (x) − f (x0 )| ≥ ε. Mivel a fenti minden δ > 0 esetén teljesül, így δ = n1 -hez is található x = xn ∈ D(f ), hogy |xn −x0 | < n1 és |f (xn ) − f (x0 )| ≥ ε. Tehát ekkor xn → x, de f (xn ) 9 f (x0 ). Tehát találtunk egy (xn ) sorozatot, melyre (i) nem teljesül. ¤ 1.3. Definíció. Legyen f : R → R. Azt mondjuk, hogy f folytonos az x0 ∈ D(f ) pontban, ha teljesíti az előző 1.2 Tétel (i) vagy (ii) feltételét. Ha az f függvény az x0 ∈ D(f ) pontban nem folytonos, azt mondjuk, hogy az x0 pont az f függvény szakadási helye. Az f függvény folytonos, ha értelmezési tartománya minden pontjában folytonos. Tehát a hatvány-, az exponenciális-, és a logaritmusfüggvény folytonos függvények. 1.4. Példa. Legyen f az előjelfüggvény, azaz

   −1, f (x) := sgn(x) = 0,    1,

Ekkor f az x0 = 0 pontban nem folytonos, hiszen ha xn =

ha x < 0, ha x = 0, ha x > 0. 1 n

→ 0, akkor f (xn ) = 1 → 1 6= f (0) = 0.

1.5. Megjegyzés. Legyen x0 ∈ D(f ) olyan, hogy található δ > 0, melyre (x0 − δ, x0 + δ) ∩ D(f ) = {x0 }. Ezt úgy mondjuk, hogy x0 az értelmezési tartomány izolált pontja. Ha xn ∈ D(f ) olyan sorozat, melyre xn → x0 , akkor ez csak úgy lehetséges, hogy található M ∈ N, hogy ∀ n ≥ M esetén xn = x0 , azaz az (xn ) sorozat majdnem minden1 indexre konstans. Ha n ≥ M , akkor f (xn ) = f (x0 ) → f (x0 ), azaz f folytonos az x0 pontban. Összefoglalva, bebizonyítottuk a következőt. 1.6. Állítás. Legyen f : R → R, x0 ∈ D(f ) az értelmezési tartomány izolált pontja. Ekkor f folytonos x0 -ban. 1.7. Definíció. Legyenek f, g : R → R. definiálják.

Közöttük az alapműveleteket a következő összefüggések

D(f + g) = D(f ) ∩ D(g),

(f + g)(x) := f (x) + g(x)

∀ x ∈ D(f + g),

D(f − g) = D(f ) ∩ D(g),

(f − g)(x) := f (x) − g(x)

∀ x ∈ D(f − g),

D(f g) = D(f ) ∩ D(g), D(f /g) = {x ∈ D(f ) ∩ D(g) : g(x) 6= 0}, D(f ◦ g) = {x ∈ D(g) : g(x) ∈ D(f )},

(f g)(x) := f (x)g(x)

∀ x ∈ D(f g),

f (x) ∀ x ∈ D(f /g), g(x) (f ◦ g)(x) := f (g(x)) ∀ x ∈ D(f ◦ g). (f /g)(x) :=

1.8. Tétel (folytonosság és műveletek). Legyenek f, g : R → R, x0 ∈ D(f ) ∩ D(g). Ha f és g folytonos x0 -ban, akkor f + g, f − g, f g, |f | és, ha g(x0 ) 6= 0, akkor f /g folytonos függvény x0 -ban. 1Itt használjuk a „majdnem minden = véges sok kivétellel” konvenciót.

FOLYTONOSSÁG

3

Bizonyítás. Legyen xn ∈ D(f ) ∩ D(g), xn → x0 . Ekkor a folytonosság miatt f (xn ) → f (x0 ) és g(xn ) → g(x0 ). A sorozat-határérték és műveletek közötti, múlt félévben tanult összefüggések alapján (f + g)(xn ) = f (xn ) + g(xn ) → f (x0 ) + g(x0 ) = (f + g)(x0 ), (f − g)(xn ) = f (xn ) − g(xn ) → f (x0 ) − g(x0 ) = (f − g)(x0 ), (f g)(xn ) = f (xn )g(xn ) → f (x0 )g(x0 ) = (f g)(x0 ), (|f |)(xn ) = |f (xn )| → |f (x0 )| = |f |(x0 ), valamint, ha g(xn ) 6= 0, azaz xn ∈ D(f /g), akkor (f /g)(xn ) =

f (x0 ) f (xn ) → = (f /g)(x0 ). g(xn ) g(x0 ) ¤

1 x.

1.9. Megjegyzés. Legyen f (x) = Ekkor az előző tétel alapján f folytonos függvény, értelmezési tartományának minden pontjában folytonos. Fontos, hogy f folytonosságáról vagy szakadásáról az x0 = 0 pontban értelmetlen beszélni, mivel az nincs az értelmezési tartományban. 1.10. Tétel (kompozíció folytonossága). Legyenek f, g : R → R, x0 ∈ D(g), g(x0 ) ∈ D(f ), g folytonos x0 -ban és f folytonos g(x0 )-ban. Ekkor f ◦ g folytonos x0 -ban. Bizonyítás. Legyen xn ∈ D(g), g(xn ) ∈ D(f ), xn → x0 . Ekkor g folytonossága miatt g(xn ) → g(x0 ), és az f függvény g(x0 )-beli folytonossága miatt f (g(xn )) → f (g(x0 )). ¤ 2

−1 1.11. Példa. Legyen f (x) = xx−1 . Ekkor, megállapodásunk alapján, D(f ) = R \ {1}. Látjuk, hogy minden x ∈ D(f ) esetén f (x) = x + 1. Definiáljuk a g függvényt a következő módon. ( f (x), x 6= 1, g(x) := x + 1 = 2, x = 1.

Ekkor g kiterjesztése f -nek, és g folytonos az x0 = 1 helyen, ahol f nem volt értelmezve. Ez a tulajdonsága az f függvénynek az x0 = 1 hely közelében olyan alapvető, hogy külön foglalkozunk vele. 1.12. Tétel (határértékre vonatkozó átviteli elv). Legyen f : R → R, z0 ∈ R olyan, hogy található zn ∈ D(f ), zn 6= z0 , zn → z0 és legyen a ∈ R. Ekvivalensek a következőek: (i) A

( g(x) :=

f (x), a,

x 6= z0 , x = z0 .

függvény folytonos a z0 pontban. (ii) Bármely xn ∈ D(f ) sorozatra, melyre xn → z0 , xn 6= z0 , teljesül, hogy f (xn ) → a. (iii) Minden ε > 0 számhoz található δ > 0, hogy bármely x ∈ D(f ), |x − z0 | < δ, x 6= z0 esetén |f (x) − a| < ε. Bizonyítás. (i) ⇒ (ii): Ha g folytonos z0 -ban, akkor teljesül rá 1.2 Tétel (i) feltétele. Így bármely xn ∈ D(g) sorozatra, melyre xn → z0 , xn 6= z0 , teljesül, hogy xn ∈ D(f ), így g(xn ) = f (xn ) → g(z0 ) = a. (i) ⇒ (iii): Ha g folytonos z0 -ban, akkor teljesül rá 1.2 Tétel (ii) feltétele. Így minden ε > 0 számhoz található δ > 0, hogy bármely x ∈ D(g), |x − z0 | < δ, x 6= z0 esetén x ∈ D(f ), így |f (x) − a| = |g(x) − g(z0 )| < ε. (iii) ⇒ (ii): Legyen xn ∈ D(f ), xn 6= z0 , xn → z0 . Azt kell belátnunk, hogy f (xn ) → a, azaz ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N : ∀n ∈ N, n ≥ N |f (xn ) − a| < ε. Tudjuk, hogy xn → z0 , azaz bármely δ > 0-hoz található N ∈ N, hogy minden n ≥ N természetes szám esetén |xn − z0 | < δ. Legyen ε > 0 tetszőleges. Ehhez (iii) feltétel szerint található δ > 0. Ehhez a δ-hoz az előzőek szerint található N ∈ N hogy minden n ≥ N természetes szám esetén |xn −z0 | < δ. Viszont ekkor |f (xn )−a| < ε a (iii) feltétel miatt.

4

BÁTKAI ANDRÁS

(ii) ⇒ (i): Azt kell megmutatnunk, hogy az így definiált g függvény folytonos a z0 pontban, azaz bármely zn ∈ D(g), zn → z0 sorozatra g(zn ) → g(z0 ). Három esetet különböztethetünk meg. • Ha a (zn ) sorozat majdnem minden elemére zn = z0 , akkor adott ε > 0 számhoz triviálisan található N ∈ N, hogy minden n ≥ N természetes számra |g(zn ) − g(z0 )| = 0 < ε. • Ha a (zn ) sorozat majdnem minden elemére zn 6= z0 , akkor a (ii) feltételből adott ε > 0 számhoz található N ∈ N, hogy minden n ≥ N természetes számra zn 6= z0 és |g(zn )−g(z0 )| = |f (zn )−a| < ε. Itt használtuk a sorozat-határérték definícióját. • Ha a (zn ) sorozat elemei között végtelen sokszor szerepel z0 és végtelen sok különböző eleme van, akkor szét tudjuk bontani két részsorozatra, melyeket az (nk ) és az (mk ) indexsorozatok határoznak meg, hogy az egyik a konstans z0 , a másikban minden tag különbözik z0 -tól. Az előző két pont alapján g(zmk ) → g(z0 ) és g(znk ) → g(z0 ), így a múlt félévben bizonyítottak alapján g(zn ) → g(z0 ). ¤ 1.13. Megjegyzés. Az előző tétel bizonyítása során túlmunkát végeztünk, elég lett volna az (i) ⇒ (iii) ⇒ (ii) ⇒ (i) következtetéssort bizonyítani, abból már az (i) ⇒ (ii) stb. következtetések mind jönnek. 1.14. Definíció. Legyen f : R → R, z0 ∈ R olyan, hogy található zn ∈ D(f ), zn 6= z0 , zn → z0 és legyen a ∈ R. Azt mondjuk, hogy az f függvény határérték e a z0 pontban az a szám, jelben lim f (x) = lim f = a,

x→z0

z0

ha az előző 1.12 Tétel (i), (ii) vagy (iii) (ekvivalens) feltétele közül valamelyik teljesül. 1.15. Következmény. Legyen f : R → R, x0 ∈ D(f ) olyan pont, hogy az f függvény folytonos x0 -ban. Ekkor vagy x0 izolált pontja D(f )-nek, vagy limx→x0 f (x) = f (x0 ). A határérték definíciójában olyan z0 számot vettünk, mely „közel” van az értelmezési tartományhoz, tudunk hozzá konvergálni. Ennek a tulajdonságnak is érdemes nevet adni. 1.16. Definíció. Legyen H ⊂ R, x0 ∈ R. Azt mondjuk, hogy az x0 pont torlódási pontja a H halmaznak, ha található xn ∈ H, xn 6= x0 sorozat, hogy xn → x0 . A H halmaz torlódási pontjainak halmazát H 0 jelöli. 1.17. Példa. (a, b)0 = [a, b]

(a, b ∈ R, a < b),

0

Q = R. 1.18. Állítás. Egy H ⊂ R halmaz pontosan akkor zárt, ha tartalmazza valós (véges) torlódási pontjait, azaz H 0 \ {−∞, +∞} ⊂ H. Bizonyítás. (⇒): Tegyük fel, hogy a H halmaz zárt. Azt kell megmutatnunk, hogy tartalmazza az összes valós torlódási pontját. Ehhez megmutatjuk, hogy ha x0 ∈ / H akkor x0 nem torlódási pont. Emlékeztetünk arra, hogy H pontosan akkor zárt, ha a komplementere R \ H nyílt, azaz ha x0 ∈ R \ H = H c , akkor található ε > 0, hogy (x0 − ε, x0 + ε) ⊂ R \ H, hiszen x0 belső pontja R \ H halmaznak. Ekkor viszont nem található xn ∈ H sorozat (amire ekkor automatikusan teljesül, hogy xn 6= x0 ), hogy xn → x0 , hiszen akkor lenne olyan n ∈ N, hogy xn ∈ (x0 − ε, x0 + ε). Tehát beláttuk, hogy R \ H ⊂ R \ H 0, amiből elemi halmazelméleti azonosságok alapján következik, hogy (R ∩ H 0 ) ⊂ H. (⇐): Tegyük fel, hogy H 0 \ {−∞, +∞} ⊂ H. Azt kell belátnunk, hogy H ⊂ R zárt. Legyen x0 ∈ R \ H és indirekt tegyük fel, hogy x0 nem belső pontja az R\H halmaznak, azaz H nem zárt. Ez azt jelenti, hogy

FOLYTONOSSÁG

5

bármely ε > 0 számra (x0 −ε, x0 +ε)∩H 6= ∅. Így ε = n1 esetén is található xn ∈ (x0 −ε, x0 +ε)∩H. Erre az (xn ) sorozatra viszont xn ∈ H, xn 6= x0 (hiszen x0 ∈ / H) és xn → x0 , azaz definíció szerint x0 ∈ H 0 , ami ellentmondás. ¤ 1.19. Megjegyzés. Meggondolható, hogy +∞ ∈ H 0 pontosan akkor teljesül, ha H ⊂ R felülről nem korlátos. Hasonlóan, −∞ ∈ H 0 pontosan akkor teljesül, ha H ⊂ R alulról nem korlátos. 1.20. Tétel (Cauchy kritérium). Legyen f : R → R, x0 ∈ D(f )0 ∩ R. A következőek ekvivalensek. (a) Létezik limx→x0 f (x) ∈ R. (b) Bármely ε > 0 számhoz található δ > 0, hogy minden x, y ∈ B(x0 , δ) ∩ D(f ), x, y 6= x0 esetén |f (x) − f (y)| < ε. Bizonyítás. (⇒): Tegyük fel, hogy létezik limx→x0 f (x) = a ∈ R. Ez azt jelenti a határértéket definiáló 1.12 Tétel szerint, hogy bármely ε > 0 esetén található δ > 0, hogy minden z ∈ D(f ) \ {x0 }, |z − x0 | < δ számra |f (z) − a| < 2ε . Így ha x, y ∈ B(x0 , δ), x, y 6= x0 , akkor ε ε |f (x) − f (y)| ≤ |f (x) − a| + |a − f (y)| < + = ε. 2 2 (⇐): Legyen xn ∈ D(f ) \ {x0 }, xn → x0 . Ekkor (xn ) teljesíti a sorozatokra vonatkozó Cauchy kritériumot, azaz, összekombinálva (b) feltétellel, kapjuk, hogy ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∃ N ∈ N : ∀ n, m ≥ N |xn − xm | < δ ⇒ |f (xn ) − f (xm )| < ε. Tehát erre az (xn ) sorozatra (f (xn )) sorozat Cauchy sorozat, így létezik lim(f (xn )) = a véges határérték. Azt kell meggondolnunk, hogy különböző (xn ) sorozatokra nem kaphatunk különböző határértékeket. Legyen xn → x0 , xn 6= x0 , ehhez található a ∈ R, hogy f (xn ) → a. Hasonlóan, legyen zn → x0 , zn 6= z0 . Előzőek alapján ehhez is található b ∈ R, hogy f (zn ) → b. Ekkor összefésülve az (xn ) és a (zn ) sorozatot kapjuk, hogy x1 , z1 , x2 , z2 , . . . , xn , zn , . . . → x0 , amiből az előzőek alapján következik, hogy a f (x1 ), f (z1 ), f (x2 ), f (z2 ), . . . , f (xn ), f (zn ), . . . sorozat Cauchy, azaz konvergens. Viszont ennek a sorozatnak a is és b is torlódási pontja. Ez csak úgy lehetséges, ha a = b. ¤ 1.21. Megjegyzés. Augustin Cauchy [1789-1853] francia matematikus. Párizsban, Torinoban és Prágában dolgozott. A matematikai analízis alapfogalmainak megalapozásában úttörő munkát végzett, különös tekintettel a határérték fogalmának kialakítására. Nagy érdeme még a komplex változós függvények elméletének megalapozása. Fontosat alkotott a fizikában (fénytan) és az algebrában is, nevéhez fűződik a ,determináns’ szó. 0

1.22. Tétel (határérték és műveletek). Legyenek f, g : R → R, x0 ∈ (D(f ) ∩ D(g)) ∩ R. Ha létezik limx0 f = a ∈ R és limx0 g = b ∈ R, akkor létezik limx0 (f + g) = a + b, limx0 (f − g) = a − b, limx0 (f g) = ab, limx0 |f | = |a| és, ha b 6= 0, akkor limx0 (f /g) = ab . Bizonyítás. Legyen xn ∈ D(f ) ∩ D(g), xn → x0 , xn 6= x0 . Ekkor a feltételek miatt f (xn ) → a és g(xn ) → b. A sorozathatárérték és műveletek közötti, múlt félévben tanult összefüggések alapján (f + g)(xn ) = f (xn ) + g(xn ) → a + b, (f − g)(xn ) = f (xn ) − g(xn ) → a − b, (f g)(xn ) = f (xn )g(xn ) → ab, (|f |)(xn ) = |f (xn )| → |a|, valamint, ha g(xn ) 6= 0, azaz xn ∈ D(f /g), akkor (f /g)(xn ) =

f (xn ) a → . g(xn ) b

6

BÁTKAI ANDRÁS

Az utolsó állításhoz csak annyit kell még röviden meggondolni, hogy egyáltalán van ilyen xn sorozat, azaz x0 ∈ D(f /g)0 , de ez rögtön következik abból, hogy b = limx0 g 6= 0 (tehát vagy b < 0, vagy b > 0), mert a múlt félévben tanult, határérték és rendezés összefüggései alapján ilyenkor majdnem minden n ∈ N indexre g(xn ) 6= 0. ¤ 1.23. Definíció. Legyen f : R → R, x0 ∈ D(f )0 ∩ R. Azt mondjuk, hogy f határértéke az x0 ponban +∞ (−∞), jelben lim f (x) = lim f = +∞

x→x0

x0

(−∞),

ha bármely xn ∈ D(f ) \ {x0 } sorozatra, melyre xn → x0 , teljesül, hogy f (xn ) → +∞ (f (xn ) → −∞). 1.24. Állítás. Legyen f : R → R, x0 ∈ D(f )0 ∩ R. Ekvivalensek a következők. (i) Létezik limx0 f = +∞. (ii) Bármely ε > 0 számhoz található δ > 0, hogy ha x ∈ ((x0 − δ, x0 ) ∪ (x0 , x0 + δ))∩D(f ) = B(x0 , δ)∩ D(f ) \ {x0 }, akkor f (x) > 1ε . Bizonyítás. (⇐): Legyen xn ∈ D(f ) \ {x0 }, xn → x0 . Ekkor bármely ε > 0 számhoz található δ > 0 az (ii) feltétel szerint. Ehhez a δ-hoz található N ∈ N, hogy minden n ≥ N természetes számra |xn −x0 | < δ. A feltétel szerint viszont ekkor f (xn ) > 1ε , ami összefoglalva azt jelenti, hogy ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N : ∀ n ≥ N f (xn ) >

1 , ε

azaz f (xn ) → +∞. (⇒): Indirekt, tegyük fel, hogy (ii) nem teljesül, azaz található ε > 0, hogy bármely δ > 0 esetén van x = x(δ) ∈ (x0 − δ, x0 ) ∪ (x0 , x0 + δ), hogy f (x) ≤ 1ε . Ekkor δ = n1 -hez is található xn ∈ (x0 − n1 , x0 ) ∪ (x0 , x0 + n1 ), xn ∈ D(f ), hogy f (xn ) ≤ 1ε . Tehát találtunk egy (xn ) sorozatot, melyre xn ∈ D(f ) \ {x0 }, xn → x0 viszont f (xn ) 9 +∞. ¤ 1.25. Megjegyzés. Hasonló állítás mondható ki és bizonyítható limx0 f = −∞ esetben. 1.26. Példa. Legyen f (x) = x12 és x0 = 0. Ekkor létezik limx→0 x12 = +∞, hiszen ha 0 6= xn → 0, akkor x2n → 0, x2n > 0, így a múlt félévben tanultak alapján x12 → +∞. n

1.27. Definíció. Legyen f : R → R, +∞ ∈ D(f )0 (−∞ ∈ D(f )0 ), azaz D(f ) ne legyen korlátos felülről (alulról) és legyen a ∈ R. Azt mondjuk, hogy f határértéke a +∞-ben (−∞-ben) a, jelben µ ¶ lim f (x) = lim f = a lim f (x) = lim f = a , x→+∞

+∞

x→−∞

−∞

ha bármely xn ∈ D(f ), xn → +∞ (xn → −∞) sorozatra f (xn ) → a. 1.28. Példa. Legyen f (x) = x1 . Ekkor létezik limx→+∞

1 x

= 0, hiszen ha xn → +∞, akkor

1 xn

→ 0.

1.29. Megjegyzés. Ha a sorozatokra mint a természetes számok halmazán definiált függvényekre tekintünk, akkor láthatjuk, hogy a múlt félévben tanult sorozathatárérték fogalma speciális esete a függvény végtelenben vett határértékének. 1.30. Megjegyzés. Az eddigi három határérték-definíciót a következő módon foglalhatjuk egységes formába. Legyen f : R → R, x0 ∈ D(f )0 ⊂ R, a ∈ R. Az f függvény határértéke az x0 ∈ R ponban a ∈ R, ha minden xn ∈ D(f ) \ {x0 } sorozatra f (xn ) → a. Az eddigiekhez hasonlóan megmutatható, hogy ez ekvivalens a következő, ε − δ megfogalmazással. Bármely ε > 0 számhoz található δ > 0, hogy minden x ∈ B(x0 , δ)∩D(f )\{x0 } számra f (x) ∈ B(a, ε). 0

1.31. Tétel (határérték és műveletek). Legyenek f, g : R → R, x0 ∈ (D(f ) ∩ D(g)) . Ha létezik limx0 f = a ∈ R és limx0 g = b ∈ R, akkor, amennyiben a jobb oldal értelmes, létezik limx0 (f + g) = a + b, limx0 (f − g) = a − b, limx0 (f g) = ab, limx0 |f | = |a| és, limx0 (f /g) = ab .

FOLYTONOSSÁG

7

Bizonyítás. Legyen xn ∈ D(f ) ∩ D(g), xn → x0 , xn 6= x0 . Ekkor a feltételek miatt f (xn ) → a és g(xn ) → b. A sorozathatárérték és műveletek közötti, múlt félévben tanult összefüggések alapján (f + g)(xn ) = f (xn ) + g(xn ) → a + b, (f − g)(xn ) = f (xn ) − g(xn ) → a − b, (f g)(xn ) = f (xn )g(xn ) → ab, (|f |)(xn ) = |f (xn )| → |a|, valamint, ha g(xn ) 6= 0, azaz xn ∈ D(f /g), akkor (f /g)(xn ) =

a f (xn ) → . g(xn ) b

Az utolsó állításhoz csak annyit kell röviden meggondolni, hogy egyáltalán van ilyen xn sorozat, azaz x0 ∈ D(f /g)0 , de rögtön következik abból, hogy b = limx0 g 6= 0 (tehát vagy b < 0, vagy b > 0), mert a múlt félévben tanult, határérték és rendezés összefüggései alapján ilyenkor majdnem minden n ∈ N indexre g(xn ) 6= 0. ¤ 1.32. Példa. Egyszerű példa olyan függvényre, amelynek nem létezik határértéke egy pontban, az előjelfüggvény, azaz legyen    −1, ha x < 0, f (x) = sgn(x) = sgn(x) =

0,    1,

ha x = 0,

.

ha x > 0. 1 n

Ennek nincs határértéke az x0 = 0 pontban, hiszen ha xn = → 0, akkor f (xn ) = 1 → 1, viszont ha xn = − n1 → 0, akkor f (xn ) = −1 → −1. Viszont könnyen látható, hogy ez a függvény sem teljesen csúnya, mert rendelkezik a következő tulajdonsággal. Ha xn > 0, xn → 0, azaz az (xn ) sorozat jobbról tart az x0 ponthoz, akkor f (xn ) = 1 → 1. Hasonlóan, ha xn < 0, xn → 0, azaz az (xn ) sorozat balról tart az x0 ponthoz, akkor f (xn ) = −1 → −1. 0

1.33. Definíció. Legyen f : R → R, x0 ∈ {x ∈ D(f ) : x > x0 } és legyen a ∈ R. Azt mondjuk, hogy az f függvény jobboldali határértéke az x0 pontban a, jelben lim f (x) = lim f =

x→x0 +

x0 +

lim

x→x0 +0

f (x) = f (x0 +) = a,

ha bármely xn ∈ D(f ), xn > x0 , xn → x0 sorozatra f (xn ) → a. 1.34. Megjegyzés. Az előzőekhez hasonlóan bizonyítható, hogy x0 ∈ R helyen pontosan akkor létezik limx0 + f = a ∈ R, ha bármely ε > 0 számhoz található δ > 0 szám. hogy minden x ∈ (x0 , x0 + δ) ∩ D(f ) esetén f (x) ∈ B(a, ε). 0

1.35. Definíció. Legyen f : R → R, x0 ∈ {x ∈ D(f ) : x < x0 } és legyen a ∈ R. Azt mondjuk, hogy az f függvény baloldai határértéke az x0 pontban a, jelben lim f (x) = lim f =

x→x0 −

x0 −

lim

x→x0 −0

f (x) = f (x0 −) = a,

ha bármely xn ∈ D(f ), xn < x0 , xn → x0 sorozatra f (xn ) → a. 1.36. Megjegyzés. Az előzőekhez hasonlóan bizonyítható, hogy x0 ∈ R helyen pontosan akkor létezik limx0 − f = a ∈ R, ha bármely ε > 0 számhoz található δ > 0 szám. hogy minden x ∈ (x0 − δ, x0 ) ∩ D(f ) esetén f (x) ∈ B(a, ε). 1.37. Példa. Legyen f (x) = x1 . Ekkor létezik limx→0+ x1 = +∞, hiszen ha xn → 0, xn > 0, akkor 1 1 1 xn → +∞. Hasonlóan, létezik limx→0− x = −∞, hiszen ha xn → 0, xn < 0, akkor xn → −∞. 1.38. Megjegyzés. Meggondolhatók a következő egyszerű összefüggések. • Legyen x0 belső pontja az értelmezési tartománynak, jelben x0 ∈ int D(f ).2 Pontosan akkor létezik limx0 f , ha létezik a baloldali határérték limx0 − f és a jobboldali határérték limx0 + f valamint limx0 − f = limx0 + f . 2Egy H ⊂ R halmaz belső pontjainak halmazát int(H) jelöli.

8

BÁTKAI ANDRÁS

• Legyen D(f ) = (α, β), α, β ∈ R, α < β. Ekkor limβ f = limβ− f amennyiben valamelyik határérték létezik. Hasonlóan, limα f = limα+ f amennyiben valamelyik határérték létezik. • Az 1.31 Tétel állításai érteremszerűen megfogalmazhatók féloldalas határértékekre is, így továbbra is érvényesek a határérték és műveletek közötti összefüggések. A függvényműveletek közül egyedül a kompozíció határértékének létezését nem vizsgáltuk eddig. 1.39. Példa. Legyen

( g(x) =

0,

x ∈ R \ Q,

1 q,

x=

p q

∈ Q, (p; q) = 1, q > 0.

Ekkor létezik limx→0 g(x) = 0, hiszen ε > 0-hoz legyen N > 1ε , δ = • ha x ∈ R \ Q, akkor g(x)¯ =¯ 0 < ε, ¯ ¯ • ha x ∈ Q, x = pq , akkor ¯ pq ¯ < N1 , azaz q > N , így g(x) = Definiáljuk az f függvényt az

( f (t) =

0,

t 6= 0,

1,

t=0

összefüggéssel. Ekkor létezik limt→0 f (t) = 0. Viszont (f ◦ g)(x) = f (g(x)) =

(

1 q

1 N.

<

Ha x ∈ (−δ, 0) ∪ (0, δ), akkor

1 N

1,

x ∈ R \ Q,

0,

x ∈ Q,

< ε.

azaz nem létezik lim0 (f ◦ g). Tehát abból, hogy létezik limx0 f = w0 és hogy létezik limw0 g = a nem következik még, hogy létezne limx0 (f ◦ g). Szükség van plusz feltételekre. 1.40. Tétel (Kompozíció határértéke, 1. változat). Legyen f, g : R → R, x0 ∈ D(g)0 , és létezzen lim g(x) = w0 ∈ R.

x→x0

Tegyük fel továbbá, hogy g(D(g)) = R(g) ⊂ D(f ), w0 ∈ D(f ) és legyen f folytonos w0 -ban. Ekkor létezik lim (f ◦ g)(x) = f (w0 ).

x→x0

Bizonyítás. Legyen xn ∈ D(g) \ {x0 }, xn → x0 . Ekkor xn ∈ D(f ◦ g). A g függvényre vonatkozó feltétel szerint g(xn ) → w0 , g(xn ) ∈ D(f ). Ekkor viszont f folytonossága miatt f (g(xn )) → f (w0 ). ¤ 1.41. Tétel (Kompozíció határértéke, 2. változat). Legyen f, g : R → R, x0 ∈ D(f ◦ g)0 , és létezzen lim g(x) = w0 ∈ R.

x→x0

Tegyük fel továbbá, hogy w0 ∈ D(f )0 és létezzen lim f (x) = a ∈ R,

x→w0

valamint legyen ε > 0 olyan, hogy (1)

∀ x ∈ B(x0 , ε) ∩ D(f ◦ g), x 6= x0 : g(x) 6= w0 .

Ekkor létezik lim (f ◦ g)(x) = a.

x→x0

Bizonyítás. Legyen xn ∈ D(f ◦ g) \ {x0 }, xn → x0 . Definiálja a (tn ) sorozatot a tn = g(xn ) összefüggés, ekkor tn → w0 . Az (1) feltétel alapján majdnem minden n ∈ N indexre tn 6= w0 , így feltehető, hogy minden n ∈ N indexre tn 6= w0 . Erre a (tn ) sorozatra a választása alapján tn ∈ D(f ) is teljesül, így f (g(xn )) = f (tn ) → a. ¤ 1.42. Megjegyzés. Bizonyosak lehetünk benne, hogy g teljesíti a plusz (1) feltételt, ha • w0 = ±∞, vagy ha • g szigorúan monoton.

FOLYTONOSSÁG

9

A határértékekre vonatkozó tételeknek szép alkalmazásai a gyakorlaton vett nevezetes határértékek, ezek külön papíron kerültek kiadásra. Végül azt vizsgáljuk, egy zárt intervallumon értelmezett függvény hogyan lehet nem folytonos egy pontban. 1.43. Definíció. Legyen D(f ) = [a, b], a, b ∈ R, a < b, x0 ∈ [a, b], f nem folytonos x0 -ban. • Azt mondjuk, hogy f -nek elsőfajú szakadása van x0 -ban, ha az összes lehetséges egyoldali (bal, jobb) határérték létezik és véges. Az elsőfajú szakadás – megszüntethető, ha létezik limx0 f (6= f (x0 )), és – ugrás, ha limx0 + f 6= limx0 − f . • Azt mondjuk, hogy f -nek másodfajú szakadása van x0 -ban, ha az nem elsőfajú, azaz valamelyik egyoldali határértéke vagy nem létezik vagy létezik de nem véges. 1.44. Példa. Legyen

( f (x) :=

sin x1 ,

x > 0,

0,

x ≤ 0.

Ekkor f -nek másodfajú szakadása van 0-ban, mert bár létezik lim0− f = 0, a jobboldali határérték nem 1 létezik. Ez utóbbit úgy láthatjuk, hogy ha xn = nπ → 0, akkor f (xn ) = sin(nπ) = 0 → 0, viszont ha ¡ ¢ 1 π xn = π +2nπ → 0, akkor f (xn ) = sin 2 + 2nπ = 1 → 1 6= 0. 2

1.45. Tétel (monoton függvények lehetséges szakadásairól). Legyen D(f ) = [a, b], a < b és legyen f monoton növő (fogyó). Ekkor ∀ x0 ∈ (a, b] :

∃ lim f = sup {f (x) : x < x0 } x0 −

(inf) és ∀ x0 ∈ [a, b) :

∃ lim f = inf {f (x) : x > x0 } x0 +

(sup). Bizonyítás. A négy állítás közül itt a monoton növő függvény baloldali határértékére vonatkozót bizonyítjuk, a többi hasonlóan történhet. Legyen η = sup {f (x) : x < x0 }. Mivel η legkisebb felső korlát, így bármely ε > 0 esetén (η − ε) nem felső korlátja az {f (x) : x < x0 } halmaznak, azaz található z < x0 , hogy f (z) > η − ε. Viszont a monotonitás miatt minden x ∈ (z, x0 ) esetén η − ε < f (z) ≤ f (x) ≤ η. Tehát ha ε > 0-hoz δ := x0 − z > 0, akkor minden x ∈ (x0 − δ, x0 ) esetén f (x) ∈ B(η, ε).

¤

1.46. Következmény. Zárt intervallumon definiált monoton függvény az értelmezési tartományának belső pontjaiban vagy folytonos, vagy ha nem folytonos, akkor ugrása van. Az intervallum végpontjaiban pedig csak megszüntethető szakadása lehet. 1.47. Megjegyzés. Az 1.45 Tétel hasonlóan végiggondolható nyílt intervallumra, ahol az intervallum végpontjaiban már a végtelen is számításba jön, mint lehetséges határérték. 2. Folytonos függvények tulajdonságai Ebben a fejezetben folytonos függvények tulajdonságait vizsgáljuk, azaz feltesszük, hogy a szereplő függvények értelmezési tartományuk minden pontjában folytonosak. Először ugynevezett fixpontokat fogunk keresni. 2.1. Definíció. Legyen f : R → R, R(f ) ⊂ D(f ), azaz f képezze értelmezési tartományát önmagába. Ha x ∈ D(f ) olyan, hogy x = f (x), akkor azt mondjuk, hogy az x pont az f függvény fixpontja.

10

BÁTKAI ANDRÁS

Először egy olyan esetet vizsgálunk, mely sok múlt félévbeli példát magába foglal. 2.2. Állítás. Legyen f : R → R, f folytonos, R(f ) ⊂ D(f ) és D(f ) legyen korlátos és zárt, pl. D(f ) = [a, b]. Ha f monoton nő, akkor van fixpontja, melyet a xn+1 = f (xn ) rekurzióval megadott sorozat határértékeként kaphatunk meg. Bizonyítás. Az így definiált (xn ) sorozat nyilván korlátos. Teljes indukcióval megmutatható, hogy x2 ≥ x1

⇒

xn+1 ≥ xn ,

x2 ≤ x1

⇒

xn+1 ≤ xn ,

tehát az (xn ) sorozat monoton. Legyen a határértéke x ∈ D(f ), hiszen D(f ) zárt. Az f függvény folytonossága miatt f (xn ) → f (x), amiből következik az x = f (x) egyenlőség. ¤ 2.3. Megjegyzés. Az előző tétel létezésről beszél, egyértelműségről nem. Így elvileg akár sok fixpont is lehetséges. 2.4. Példa. Tekintsünk egy igen egyszerű alkalmazást. Legyen f (x) = sin x, D(f ) = [−1, 1]. Ekkor f monoton nő és R(f ) ⊂ D(f ) Tehát az x0 ∈ [−1, 1], xn+1 = sin(xn ) rekurzióval megadott sorozat az x = sin x egyenlet megoldásához konvergál. Továbbá, mivel | sin x| ≤ |x|, ezért ha x0 > 0, akkor x1 ≤ x0 és ha x0 < 0, akkor x1 ≥ x0 . 2.5. Példa. Legyen f (x) = x + sin x, D(f ) = [0, 2π]. Ekkor f monoton nő, hiszen ha y > x, akkor f (y) − f (x) = (y − x) + (sin y − sin x) ≥ (y − x) + (x − y) = 0, ahol használtuk azt a gyakorlatokról ismert összefüggést, hogy | sin y − sin x| ≤ y − x, azaz x − y ≤ sin y − sin x ≤ y − x. Másrészt R(f ) ⊂ D(f ), tehát az x0 ∈ [0, 2π], xn+1 = xn + sin(xn ) rekurzióval megadott sorozat az x = x + sin x egyenlet valamely megoldásához konvergál. Továbbá, mivel sin x ≥ 0, ha x ∈ (0, π] és sin x ≤ 0, ha x ∈ [π, 2π), ezért ha x0 ∈ [0, π], akkor x1 ≤ x0 és ha x0 ∈ [π, 2π], akkor x1 ≥ x0 . Láthatjuk tehát,hogy ha x0 ∈ (0, 2π), akkor a rekurzió az x = π fixponthoz konvergál, ha x0 = 0, akkor xn = 0 → 0 és ha x0 = 2π, akkor xn = 2π → 2π. A következő tételhez be kell vezetnünk folytonos függvényeknek egy fontos osztályát. 2.6. Definíció. Legyen f : R → R, D(f ) = H ⊂ R, R(f ) ⊂ H. Tegyük fel, hogy található olyan L > 0, hogy |f (x) − f (y)| ≤ L|x − y|

∀ x, y ∈ H.

Ekkor azt mondjuk, hogy f Lipschitz-folytonos. Ha a konstans választható úgy, hogy L ∈ (0, 1), akkor azt mondjuk, hogy f kontrakció (összehúzó)3. Kontrakciók Lipschitz-konstansát gyakran q jelöli. 2.7. Megjegyzés. Rudolf Lipschitz [1832-1903] német matematikus, Bonnban működött. A később nagy hírű Felix Klein tanára volt. 2.8. Példa. Tekintsük a következő függvényeket. • D(f ) = [0, 1], f (x) = x2 Lipschitz-folytonos, |x2 − y 2 | = |x + y| · |x − y| ≤ 2|x − y| ∀ x, y ∈ [0, 1]. • D(f ) = R, f (x) = sin(x) Lipschitz-folytonos, hiszen gyakorlatokon szerepelt, hogy | sin(x) − sin(y)| ≤ |x − y| • D(f ) = R, f (x) = x2 nem Lipschitz-folytonos. 3lat. contractio = összehúzás, összevonás

∀ x, y ∈ R.

FOLYTONOSSÁG

11

2.9. Tétel (kontrakció-elv). Legyen H ⊂ R zárt (tehát nem kell, hogy korlátos legyen), f : R → R, D(f ) = H, R(f ) ⊂ H, és legyen f kontrakció, azaz tegyük fel, hogy található q ∈ (0, 1), hogy (2)

|f (x) − f (y)| ≤ q|x − y|

∀ x, y ∈ H.

Ekkor f -nek egyértelműen létezik z ∈ H fixpontja, azaz melyre z = f (z). A fixpontot a xn+1 = f (xn ) rekurzióval megadott sorozat határértékeként kapjuk meg. Továbbá, (3)

|z − xn | ≤

qn |x1 − x0 |. 1−q

Bizonyítás. Legyen x0 ∈ H tetszőleges és definiálja az (xn ) sorozatot az xn+1 = f (xn ) rekurzió. Ekkor |x2 − x1 | = |f (x1 ) − f (x0 )| ≤ q|x1 − x0 | |x3 − x2 | = |f (x2 ) − f (x1 )| ≤ q|x2 − x1 | ≤ q 2 |x1 − x0 | .. . |xn+1 − xn | = |f (xn ) − f (xn−1 )| ≤ q|xn − xn−1 | ≤ q n |x1 − x0 |. Legyen k ∈ N tetszőleges, ¯ ¯ ! Ã k k k ¯X ¯ X X ¯ ¯ |xn+k − xn | = ¯ (xn+i − xn+i−1 )¯ ≤ (4) |xn+i − xn+i−1 | ≤ q n+i−1 |x1 − x0 | ¯ ¯ i=1

i=1

i=1

qn 1 − qk |x1 − x0 | ≤ |x1 − x0 |. = qn 1−q 1−q Mivel 0 < q < 1, ezért bármely ε > 0 számhoz található N ∈ N, hogy minden n ≥ N természetes számra qn 1−q |x1 − x0 | < ε. Tehát (xn ) Cauchy sorozat, létezik lim(xn ) = z. Mivel H zárt, ezért z ∈ H. Mivel f folytonos, ezért z = f (z), azaz z fixpont. Megmutatjuk, hogy más fixpont nem lehetséges. Ha ugyanis y ∈ H fixpont, azaz y = f (y), és y 6= z, akkor |z − y| = |f (z) − f (y)| ≤ q|z − y| < |z − y|, ami nem lehetséges. Végül a (3) egyenlőtlenséget (4) becslésből kapjuk k → +∞ határátmenettel.

¤

2.10. Példa. Illusztráló példaként tekintsük a cos(x) = 2x egyenletet. Könnyen meggondolható, hogy ha £ ¤ £ 1¤ van z fixpont, akkor az csak a z ∈ 0, 21 lehet. Legyen f (x) = cos(x) 2 , D(f ) = 0, 2 . Ekkor R(f ) ⊂ D(f ), és | cos(x) − cos(y)| |x − y| |f (x) − f (y)| = ≤ , 2 2 £ ¤ így q = 12 , azaz f kontrakció. Tehát egyértelműen létezik z ∈ 0, 12 , melyre cos(z) = 2z. Ezen kívül a konvergencia sebességére ¡ 1 ¢n ¡ 1 ¢n 1 1 2 2 |z − xn | ≤ 1 |x1 − x0 | ≤ 1 · 2 = 2n . 1− 2 1− 2 2.11. Megjegyzés. A 2.4 Példa nem illik bele a kontrakció elv alkalmazhatósági körébe, mert a szinusz függvény bár Lipschitz-folytonos (L = 1), de nem kontrakció. 2.12. Megjegyzés. A kontrakció-elvben a q számra vonatkozó kicsiségi feltéte, amint az a bizonyításból is látható, igen fontos. Az f (x) = x+1 függvény Lipschitz-folytonos, Lipschitz-konstansa L = 1, értelmezési tartománya D(f ) = R zárt, viszont nincs fixpontja. 2.13. Segédtétel. Legyen f : R → R, x0 ∈ D(f ), f folytonos x0 -ban. Ha f (x0 ) > 0 (f (x0 ) < 0), akkor található δ > 0, hogy bármely x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ D(f ) esetén f (x) > 0 (f (x) < 0).

12

BÁTKAI ANDRÁS

Bizonyítás, első változat. Indirekt, tegyük fel, hogy minden δ > 0 számhoz található olyan x = x(δ) ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ D(f ), hogy f (x) ≤ 0. Így δ = n1 -hez is található xn a fenti tulajdonsággal. Erre a sorozatra xn → x0 , a folytonosság miatt f (xn ) → f (x0 ), a határérték és rendezés tételei miatt f (x0 ) ≤ 0 kellene, hogy legyen, ami ellentmondás. ¤ Bizonyítás, második változat. A folytonosság ε − δ megfogalmazását használjuk. Az ε = |f (x0 )|-hoz található olyan δ > 0, hogy minden x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ D(f ) számra f (x) ∈ B(f (x0 ), ε) = (0, 2f (x0 )), azaz f (x) > 0. ¤ A következőkben külön feltétel nélküli, általános folytonos függvényeket fixpontját keressük intervallumon. Ehhez egy alapvető tételre lesz szükségünk. 2.14. Tétel (Bolzano tétele). Legyen f : R → R, D(f ) = [a, b], a < b, f folytonos, valamint tegyük fel, hogy f (a) < 0,

f (b) > 0.

Ekkor található olyan z ∈ [a, b], hogy f (z) = 0. Bizonyítás, első változat. Legyen A := {x ∈ [a, b] : f (x) ≤ 0} 6= ∅ és legyen z := sup A ≤ b. Mivel z − n1 nem felső korlátja az A halmaznak, ezért található olyan xn ∈ A, z − n1 < xn ≤ z, azaz xn → z. Az f függvény folytonossága miatt f (xn ) → f (z), így f (z) ≤ 0, hiszen f (xn ) ≤ 0 volt. Indirekt, tegyük fel, hogy f (z) < 0. Az 2.13 Lemma alapján található δ > 0, hogy minden x ∈ (z − δ, z + δ) számra f (x) < 0. Tehát található x > z, hogy f (x) < 0, azaz x ∈ A. Ez ellentmondás avval, hogy z felső korlát. ¤ Bizonyítás, második változat. Legyen x0 = a, y0 = b. rekurzív módon definiálunk egy (xn ) és egy (yn ) sorozatot. x0 + y0 Legyen z1 := . Ha f (z1 ) > 0, akkor legyen x1 = x0 , y1 = z1 , 2 ha f (z1 ) ≤ 0, akkor legyen x1 = z1 , y1 = y0 . .. . Legyen zn :=

xn−1 + yn−1 . Ha f (zn ) > 0, akkor legyen xn = xn−1 , yn = zn , 2 ha f (zn ) ≤ 0, akkor legyen xn = zn , yn = yn−1 .

Ekkor xn < yn , (xn ) monoton nő, (yn ) monoton fogy, és mivel (yn − xn ) = b−a sn → 0, így teljesülnek a Cantor közösponttétel feltételei. Tehát található z = lim(xn ) = lim(yn ). Mivel f folytonos, f (xn ) → f (z) ⇒ f (z) ≤ 0, f (yn ) → f (z) ⇒ f (z) ≥ 0, ami csak úgy lehetséges, hogy f (z) = 0.

¤

2.15. Megjegyzés. Bernard Bolzano [1781-1848] csehországi német matematikus, filozófus és teológus. Az analízis alapfogalmainak megalapozásában alkotott jelentőset. Példát adott sehol sem differenciálható folytonos függvényre. Politikai beállítottsága miatt eredményeit nem publikálhatta, nagy részét csak halála után fedezték fel. Van olyan kézirata, amelyet csak 1920-ban találtak meg. 2.16. Következmény. Legyen f : R → R, D(f ) = [a, b], a < b, R(f ) ⊂ D(f ) és legyen f folytonos. Ekkor van (legalább) egy fixpontja.

FOLYTONOSSÁG

13

Bizonyítás. Ha a = f (a) vagy b = f (b), akkor készen vagyunk, találtunk fixpontot. Tegyük fel, hogy a 6= f (a) és b 6= f (b), azaz a < f (a) és f (b) < b. Legyen g(x) = x−f (x), D(g) = D(f ). Ekkor g folytonos, g(a) < 0, g(b) > 0. Tehát Bolzano 2.14 Tétele szerint található olyan z ∈ [a, b], hogy g(z) = 0, azaz z = f (z). ¤ 2.17. Következmény. Legyen f : R → R, D(f ) = [a, b], és legyen f folytonos. Ekkor az f függvény f (a) és f (b) között minden értéket felvesz. Bizonyítás. Legyen például f (a) < f (b) és legyen η ∈ (f (a), f (b)). Ha g(x) = f (x) − η, akkor g(a) < 0, g(b) > 0 és g folytonos, így teljesíti a 2.14 Bolzano Tétel feltételeit. Tehát található olyan z ∈ (a, b), melyre g(z) = 0, azaz f (z) = η. ¤ 2.18. Megjegyzés. Legyen D(f ) = R, f folytonos. Ekkor f zérushelyeinek halmaza mindig zárt, azaz {x ∈ R : f (x) = 0} zárt halmaz. Ez 2.13 Segédtétel következménye. 2.19. Megjegyzés. Legyen D(f ) = [a, b], a < b és legyen f folytonos. Megmutatjuk, hogy f értékkészlete rendelkezik egy fontos tulajdonsággal. Legyen yn ∈ R(f ) egy tetszőleges sorozat. Ekkor található olyan xn sorozat, hogy yn = f (xn ). Mivel xn ∈ D(f ) = [a, b], ezért (xn ) korlátos. Bolzano-Weierstraß tétele szerint található olyan (nk ) indexsorozat, hogy (xnk ) részsorozat konvergens. Legyen a határértéke x = lim(xnk ). Viszont f folytonossága miatt (ynk ) részsorozat is konvergens, ynk → y = f (x). Összefoglalva, R(f ) ⊂ R rendelkezik a következő, Bolzano-Weierstraß tulajdonsággal: bármely yn ∈ R(f ) sorozatból ki tudunk választani konvergens részsorozatot úgy, hogy a határérték még mindig az R(f ) halmaz eleme. 2.20. Definíció. Legyen H ⊂ R. Azt mondjuk, hogy H kompakt, ha bármely xn ∈ H sorozathoz található (nk ) indexsorozat és x ∈ H, hogy xnk → x. 2.21. Állítás. Legyen f : R → R, D(f ) kompakt és legyen f folytonos. Ekkor R(f ) értékkészlet szintén kompakt halmaz. Bizonyítás. Szóról szóra meg kell ismételnünk 2.19 Megjegyzés gondolatmenetét. Legyen yn ∈ R(f ) egy tetszőleges sorozat. Ekkor található olyan xn sorozat, hogy yn = f (xn ). Mivel xn ∈ D(f ), ami kompakt, ezért található olyan (nk ) indexsorozat, hogy (xnk ) részsorozat konvergens. Legyen a határértéke x = lim(xnk ). Viszont f folytonossága miatt (ynk ) részsorozat is konvergens, ynk → y = f (x). ¤ Az előző állítás érdekessé teheti azt a kérdést, hogyan lehet egy halmazról gyorsan eldönteni, kompakt-e. Szerencsére kiderül, hogy a kompakt halmazok jól ismert objektumok. 2.22. Állítás. Legyen H ⊂ R. A H halmaz pontosan akkor kompakt, ha korlátos és zárt. Bizonyítás. (⇐): Először megmutatjuk, hogy a korlátos és zárt halmazok kompaktak. A gondolatmenet bújtatva szerepelt már 2.19 Megjegyzésben. Legyen H ⊂ R korlátos és zárt és legyen xn ∈ H. A BolzanoWeierstraß Tétel szerint található olyan (nk ) indexsorozat, hogy (xnk ) konvergens, jelölje határértékét x := lim(xnk ) ∈ R. Mivel H zárt, 1.18 Állítás szerint tartalmazza torlódási pontjait, így x ∈ H. Tehát H kompakt. (⇒): Indirekt, tegyük fel, hogy H ⊂ R kompakt, viszont vagy nem korlátos, vagy nem zárt. Mindkét esetben következik, vagy 1.19 Megjegyzést vagy 1.18 Állítást használva, hogy található olyan xn ∈ H és x ∈ R, x ∈ / H, hogy xn → x. Viszont ekkor, mivel az (xn ) sorozatnak van határértéke, minden (xnk ) részsorozatára teljesül, hogy xnk → x ∈ / H. Tehát ebből az (xn ) sorozatból nem tudunk kiválasztani H-beli elemhez konvergáló részsorozatot, ami ellentmond annak, hogy H kompakt volt. ¤ 2.23. Példa. Mutatunk két tipikus példát kompakt halmazra. • Legyen H = [a, b] zárt intervallum, ekkor H kompakt. © ª • Legyen H = n1 : n ∈ N ∪ {0}. Ekkor H kompakt, hiszen korlátos és tartalmazza egyetlen torlódási pontját, a 0-t. 2.24. Állítás. Legyen H ⊂ R kompakt. Ekkor van maximuma és minimuma, azaz másképp fogalmazva, sup H ∈ H és inf H ∈ H.

14

BÁTKAI ANDRÁS

Bizonyítás. Mivel H korlátos, x := sup H ∈ R. Mivel x − n1 nem felső korlátja H-nak, így található xn ∈ H, hogy x − n1 < xn ≤ x, azaz található olyan xn ∈ H sorozat, hogy xn → x. Mivel H zárt, így x ∈ H. A minimumra hasonló meggondolás alkalmazható. ¤ 2.25. Definíció. Legyen f : R → R, x0 ∈ D(f ). Az x0 pont (globális) maximumhely, ha bármely x ∈ D(f ) esetén f (x) ≤ f (x0 ). Hasonlóan, az x0 pont (globális) minimumhely, ha bármely x ∈ D(f ) esetén f (x) ≥ f (x0 ). 2.26. Tétel (Weierstraß tétel). Legyen f : R → R folytonos és legyen D(f ) kompakt. Ekkor f felveszi maximumát és minimumát. Bizonyítás. A 2.21 Állítás szerint R(f ) kompakt, legyen y1 = max R(f ), y2 = min R(f ), melyek az előző állítás szerint léteznek. Ezekhez található x1 , x2 ∈ D(f ), hogy y1 = f (x1 ), y2 = f (x2 ). Mivel y1 maximum, így minden x ∈ D(f ) esetén f (x) ≤ f (x1 ), Hasonlóan, mivel y2 minimum, minden x ∈ D(f ) esetén f (x) ≥ f (x2 ). ¤ 2.27. Megjegyzés. Karl Weierstraß [1815-1897] német matematikus. Tizenöt évet középiskolában tanított, mielőtt a berlini egyetem tanára lett. Az analízis megalapozásában elért eredményeiért tartjuk ma is számon a nevét. 2.28. Állítás. Legyen f : R → R folytonos és D(f ) = [a, b] zárt intervallum. Ekkor R(f ) értékkészlet szintén zárt intervallum. Bizonyítás. Legyen x1 ∈ D(f ) az f függvény egy minimumhelye és x2 egy maximumhelye, melyek Weierstraß tétele szerint léteznek. Az egyszerűség kedvéért azt az esetet vizsgáljuk, mikor x1 < x2 . Legyen η ∈ (f (x1 ), f (x2 )), megmutatjuk, hogy található olyan z ∈ [a, b], hogy f (z) = η. Legyen g(x) = f (x) − η, D(g) = [x1 , x2 ]. Ekkor g(x1 ) < 0, g(x2 ) > 0 és g folytonos, így 2.14 Bolzano Tétel szerint található olyan z ∈ (x1 , x2 ), hogy g(z) = 0, azaz f (z) = η. ¤ 2.29. Definíció. Az f : R → R függvény egyenletesen folytonos, ha bármely ε > 0 számhoz található δ > 0 szám, hogy minden x, y ∈ D(f ) számra, melyekre |x − y| < δ, következik, hogy |f (x) − f (y)| < ε. Tehát egy folytonos függvény akkor egyenletesen folytonos, ha az ε-hoz keresett δ univerzális. 2.30. Megjegyzés. Ha f : R → R Lipschitz folytonos, akkor egyenletesen is, hiszen ha ε > 0-hoz δ = akkor ha |x − y| < δ, abból

ε L,

|f (x) − f (y)| ≤ L|x − y| < Lδ = ε következik. 2.31. Tétel (Heine tétel). Legyen f : R → R folytonos és D(f ) kompakt. Ekkor f egyenletesen folytonos. Bizonyítás. Indirekt, tegyük fel, hogy D(f ) kompakt, de f nem egyenletesen folytonos. Ez azt jelenti, hogy ∃ ε > 0 ∀ δ > 0 ∃x, y ∈ D(f ) |x − y| < δ de |f (x) − f (y)| ≥ ε. tehát δ = n1 -hez is található xn , yn ∈ D(f ), hogy |xn − yn | < n1 , de |f (xn ) − f (yn )| ≥ ε. Mivel D(f ) kompakt, így található olyan (nk ) indexsorozat és x ∈ D(f ), hogy xnk → y. Ekkor viszont ynk → x, hiszen |xn − yn | < n1 . Mivel f folytonos, ezért f (xnk ) → f (x) és f (ynk ) → x, azaz f (xnk ) − f (ynk ) → 0, ami ellentmondás avval, hogy |f (xn ) − f (yn )| ≥ ε. ¤ 2.32. Megjegyzés. Eduard Heine [1821-1881] német matematikus. 2.33. Tétel (inverzfüggvény folytonossága). Legyen f : R → R, D(f ) = I intervallum (véges vagy végtelen), f szigorúan monoton növő (de nem feltétlen folytonos). Ekkor f −1 szigorúan monoton nő és folytonos.

FOLYTONOSSÁG

15

Bizonyítás. Az f szigorú monoton növéséből azonnal következik, hogy f −1 is szigorúan monoton nő, hiszen pontosan akkor teljesül x1 < x2 , ha f (x1 ) < f (x2 ). Legyen η ∈ D(f −1 ) = R(f ), ebben a pontban vizsgáljuk f −1 folytonosságát. A szigorú monotonitás miatt egyértelműen létezik x ∈ D(f ) = I, hogy f (x) = η. Két esetet kell megvizsgálnuk a szerint, hogy x az I intervallum belsejében vagy szélén helyezkedik-e el. (a) Ha x az I intervallum belsejében van, azaz jelben x ∈ int I, akkor található r > 0, hogy [x−r, x+r] ⊂ I. Legyen r > ε > 0, azaz legyen (x−ε, x+ε) ⊂ I. A szigorú monotonitás miatt f (x−ε) < η < f (x+ε), így található olyan δ > 0, hogy f (x − ε) < η − δ < η < η + δ < f (x + ε). Ekkor lényegében készen vagyunk, hiszen tetszőleges r > ε > 0 számhoz találtunk δ > 0 számot, hogy bármely y ∈ B(η, δ) ∩ D(f −1 ) számra, másképp f (x − ε) < η − δ < y < η + δ < f (x + ε), f −1 szigorú monotonitása miatt teljesül, hogy x − ε < f −1 (y) < x + ε. Használva az x = f −1 (η) egyenlőséget kapjuk, hogy f −1 (y) ∈ B(f −1 (η, ²). (b) Ha x az I intervallum szélén helyezkedik el, mondjuk bal végpontja (a jobb végpont hasonlóan intézhető el), akkor az előzőekhez hasonlóan eljárva található r > 0, hogy [x, x + r] ⊂I. Legyen r > ε > 0, azaz legyen [x, x + ε] ⊂ I. A szigorú monotonitás miatt f −1 (x) = η < f (x + ε), így található olyan δ > 0, hogy η < η + δ < f (x + ε). Ekkor az előző esethez hasonlóan lényegében készen vagyunk, hiszen tetszőleges r > ε > 0 számhoz találtunk δ > 0 számot, hogy bármely y ∈ B(η, δ) ∩ D(f −1 ) számra f −1 (y) ∈ B(f −1 (η, ε). ¤ ¡ π π¢ 2.34. Példa. Legyen D(f ) = − 2 , 2 , f (x) = tg x. Az f függvény szigorúan monoton nő, így az előző tétel alapján létezik folytonos inverze. Ezt a függvényt hagyományos módon f −1 (y) = arctg y jelöli. Végül néhány példán keresztül vizsgáljuk meg azokat az alapvető fogalmakat, melyekre a gyakorlatokon kevesebb idő jutott. 2.35. Példa. (1) Legyen D(f ) = (0, 1), f (x) = x1 . Legyen ε > 0. Adott x0 ∈ (0, 1) pontnak keressük azt a lehető legnagyobb K(x0 ) ⊂ (0, 1) környezetét, melyre teljesül, hogy minden x ∈ K(x0 ) esetén ¯ ¯ ¯ ¯ ¯1 1 ¯¯ ¯¯ x − x0 ¯¯ ¯ |f (x) − f (x0 )| = ¯ − ¯ = ¯ < ε. x x0 xx0 ¯ x0 < ε teljesülése avval ekvivalens, hogy 1+x < x. 0ε x0 < ε teljesülése avval ekvivalens, hogy 1−x0 ε > x. ´ x0 x0 . Tehát látszik, hogy a K(x0 ) intervallum hossza a nulÖsszefoglalva, K(x0 ) = 1+x0 ε , 1−x 0ε lához tart, ha x0 a 0-hoz közelít, így adott ε > 0 számhoz nem találunk univerzális δ > 0 intervallumhosszot, hogy a folytonossági feltétel teljesüljön. Tehát f nem egyenletesen folytonos, az egyenletes folytonosság a 0 pont közelében romlik el. (2) Legyen D(f ) = (0, 1), f (x) = x2 . Az f függvény egyenletesen folytonos, hiszen Lipschitz folytonos is, ami a |f (x) − f (y)| = |x2 − y 2 | = (x + y)|x − y| ≤ 2|x − y|

• Ha x < x0 , akkor • Ha x > x0 , akkor

x0 −x xx0 x0 −x xx ³0

egyenlőtlenségből látható. (3) Legyen D(f ) = R, f (x) = x + sin x. Itt az értelmezési tartomány sem és a függvény sem korlátos, f mégis egyenletesen folytonos, sőt, Lipschitz folytons. Ez könnyen látható, hiszen |f (x) − f (y)| = |(x − y) + (sin x − sin y)| ≤ |x − y| + | sin x − sin y| ≤ 2|x − y|. √ (4) Legyen r > 0 és D(f ) = [r, +∞), f (x) = x. Ez a függvény is Lipschitz folytonos, tehát egyenletesen is folytonos, hiszen √ 1 1 √ |f (x) − f (y)| = | x − y| = √ √ |x − y| ≤ √ |x − y|. x+ y 2 r

16

BÁTKAI ANDRÁS 1 Ha az r ponthoz „nagyon” közelről valasztjuk x-et és y-t, könnyen látható, hogy L = 2r a lehető legjobb Lipschitz konstans. √ (5) Legyen D(f ) = [0, +∞), f (x) = x. Az előző példából r → 0 határátmenettel meggondolható, hogy f nem Lipschitz folytonos. Megmutatjuk, hogy egyenletesen folytonos. Mivel p √ √ | x − y| ≤ |x − y|,

adott ε > 0-hoz választva δ = ε2 , kapjuk, hogy ha |x − y| < δ, akkor |f (x) − f (y)| < ε.

Index H0,

4 Hc, 4 lim, 4

Weierstraß, Karl, 14

Bolzano, Bernard, 12 Cauchy kritérium, 5 Cauchy, Augustin, 5 fixpont, 9 folytonos egyenletes, 14 Lipschitz, 10 folytonosság, 2 függvény előjel, 2 exponenciális, 1 hatvány, 1 kiterjesztés, 1 megszorítás, 1 halmaz kompakt, 13 zárt, 4 határérték baloldali, 7 jobboldali, 7 véges pontban véges, 4 véges pontban végtelen, 6 végtelenben, 6 Heine, Eduard, 14 izolált pont, 2 kompakt, 13 kontrakció, 10 Lipschitz, Rudolf, 10 maximumhely globális, 14 minimumhely globális, 14 szakadás elsőfajú, 9 másodfajú, 9 torlódási pont, 4 Tétel átviteli elv folytonosságra, 1 átviteli elv határértékre, 3 Bolzano, 12 Cauchy kritérium, 5 folytonosság és műveletek, 2 határérték és műveletek, 5, 6 Heine, 14 inverz folytonossága, 14 kompozíció folytonossága, 3 kompozíció határértéke, 8 kontrakció elv, 11 monoton függvény határértéke, 9 Weierstraß, 14 17