Egyszerű áramkörök árama, feszültsége, teljesítménye A szokásos előjelek Általában az ún. fogyasztói pozitív irányokat használják, ezek szerint: - a ϕ fázisszög az áram helyzete a feszültség szinusz hullám szöghelyzetéhez képest, - a fogyasztott P hatásos teljesítmény a pozitív és a termelt a negatív, - az induktív fogyasztó Q meddő teljesítménye pozitív, a kapacitívé negatív. 1. Ohmos ellenállás Váltakozó feszültségre kapcsolt ellenállás feszültségesése minden pillanatban egyensúlyt tart a hálózati (táp)feszültséggel. i(t)
u(t)
∼
R
Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt R ellenállás áramköri vázlata u(t)-i(t)R=0 ⇒ u(t)=i(t)R Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint változik, u(t)=Umsinωt, ϕu=0, akkor az előző egyenletből: u(t ) U m U i(t ) = = sin ω t = I m sin ω t , itt I m = m . R R R Ohmos ellenálláson az áram fázisban van a feszültséggel, ϕi=ϕu, így ϕ=0. U U Az áram és a feszültség effektív értéke közötti összefüggés: Ieff = eff , vagy I = . R R p(t) u(t) i(t) wt
Az ellenállás feszültségének, áramának és teljesítményének időfüggvénye A teljesítmény pillanatértéke: p(t ) = u(t ) ⋅ i(t ) = U m sin ω t ⋅ I m sin ω t = U m I m sin 2 ω t =
1
=
U m I m U m I m cos 2ω t U m I m − = (1 − cos 2ω t ) . 2 2 2
A teljesítmény egy középérték körül kétszeres frekvenciájú koszinusz függvény szerint leng. Előjele mindig pozitív, tehát az energiaáramlás iránya minden pillanatban azonos. U I U2 A teljesítmény középértéke: P = m m = U eff I eff = UI = = I2R . R 2 Az ellenállás teljesítménye hatásos teljesítmény, mértékegysége [P]=W watt. 2. Induktivitás Ideális (ellenállás mentes) induktivitásra (tekercsre) kapcsolt váltakozó feszültség hatására folyó áram váltakozó mágneses teret hoz létre. A váltakozó mágneses tér az induktivitáson önindukciós feszültséget indukál. Ez a feszültség minden pillanatban egyensúlyt tart a hálózati (táp)feszültséggel. i(t)
u(t)
∼
L
Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt L induktivitás áramköri vázlata di(t ) di(t ) = 0 ⇒ u(t ) = L . dt dt Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint változik, u(t)=Umsinωt, ϕu=0, akkor az előző egyenletből: U U π U i(t ) = m ∫ sin ω tdt = − m cos ω t = − I m cos ω t = I m sin ω t − , itt I m = m . L Lω 2 Lω π Az áram 90°-os fáziskéséssel követi a feszültséget ϕ i = ϕ = − . 2 U U Az áram és a feszültség effektív értéke közötti összefüggés: Ieff = eff , vagy I = . Lω Lω u(t ) − L
XL
f
Az induktív reaktancia frekvencia-függése
ωL=XL - az induktív ellenállás (induktív reaktancia), mértékegysége [XL]=Ω ohm. Az induktív reaktancia XL =ωL=2πfL arányos a frekvenciával és az induktivitással. A tekercsben indukálódó feszültséget az induktív ellenálláson eső feszültség helyettesíti. 2
u(t)
p(t)
i(t)
wt
Az induktivitás feszültségének, áramának és teljesítményének időfüggvénye A teljesítmény pillanatértéke:
sin 2ω t 2 kétszeres frekvenciájú szinusz függvény szerint változik. A tekercsben negyed periódus alatt (pozitív szakasz) felhalmozódó energia a következő negyed periódus alatt (negatív szakasz) visszaáramlik a tápforrásba. A tekercsben energia nem használódik fel, munkát nem végez, ezért meddő teljesítménynek nevezik és a maximális (csúcs) értékével jellemzik. Az ún. fogyasztói pozitív irányok mellett az induktív meddő teljesítmény pozitív előjelű: U I U2 QL = m m = U eff I eff = UI = = I 2 X L , mértékegysége [Q]=VAr voltamper reaktív. 2 XL A meddő teljesítmény fenti értelmezése csak szinuszos táplálás esetén igaz. Nemszinuszos vagy többhullámú táplálásnál járulékos veszteségek jelennek meg, ezeket gyakran a meddővel összevonják, pl. impulzus-szerű táplálásnál. p(t ) = u(t ) ⋅ i(t ) = −U m sin ω t ⋅ I m cos ω t = −U m I m
3. Kapacitás Egy kondenzátorban tárolt töltés minden pillanatban arányos a fegyverzetei közötti feszültséggel: q(t)=Cu(t). Ha a feszültség változik, változik a tárolt töltés és a töltés változásának megfelelő áram folyik az elektródokhoz (vezetési áram), illetve a dielektrikumon át (eltolási áram) dq(t ) du(t ) i(t ) = =C . dt dt i(t)
u(t)
∼
C
Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt C kapacitás áramköri vázlata
3
Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint változik, u(t)=Umsinωt, ϕu=0, akkor az előző egyenletből: du(t ) d sin ω t π π i(t ) = C = CU m = Cω U m cos ω t = Cω U m sin ω t + = I m sin ω t + , dt dt 2 2 U U itt I m = Cω U m = m = m . 1 XC ωC π Az áram 90°-kal siet a feszültséghez képest ϕ i = ϕ = . 2 Az áram és a feszültség effektív értéke közötti összefüggés: Ieff=CωUeff=XCUeff, vagy I=XCU. XC
f
A kapacitív reaktancia frekvencia-függése 1 = X C a kapacitív ellenállás (kapacitív reaktancia), mértékegysége [XC]=Ω ohm. ωC 1 1 A kapacitív reaktancia X C = = fordítottan arányos a frekvenciával és a kapaciω C 2π f C tással. u(t)
p(t)
i(t)
wt
A kapacitás feszültségének, áramának és teljesítményének időfüggvénye A teljesítmény pillanatértéke: p(t ) = u(t ) ⋅ i(t ) = U m sin ω t ⋅ I m cos ω t = U m I m
sin 2ω t 2
4
kétszeres frekvenciájú szinusz függvény szerint változik. A kondenzátorban az áram által szállított töltések építik fel a villamos teret. A negyed periódus alatt (pozitív szakasz) felépülő villamos tér a következő negyed periódus alatt lebomlik (negatív szakasz). A kondenzátorban energia nem használódik fel, munkát nem végez, ezért meddő teljesítménynek nevezik és a maximális (csúcs) értékével jellemzik. Az ún. fogyasztói pozitív irányok mellett a kapacitív meddő teljesítmény negatív előjelű: U I U2 QC = − m m = −U eff I eff = −UI = = −I 2 XC . 2 XC 4. Soros R-L kör A sorosan kapcsolt ellenállás feszültségesése és az induktivitás önindukciós feszültsége minden pillanatban egyensúlyt tart a tápfeszültséggel: di(t ) di(t ) u(t ) − uR (t ) − ul (t ) = u(t ) − i(t )R − L = 0 ⇒ u(t ) = i(t )R + L . dt dt i(t)
R
u(t)
XL
∼
Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt soros R-L kör vázlata A soros áramkör elemein azonos az áram, ha szinusz függvény szerint változik, i(t)=Imsinωt, ϕi=0, akkor az előző egyenletből: u(t)= ImRsinωt+ImωLcosωt=Im(Rsinωt+ωLcosωt)=ImZsin(ωt+ϕu)=Umsin(ωt+ϕu) itt Um=ImZ és Rsinωt+ωLcosωt=Rsinωt+XLcosωt= Zsin(ωt+ϕu), ωt=0 esetén XL= Zsinϕu, ωt=π/2 esetén R= Zsin(π/2+ϕu)= Zcosϕu. X X Az utóbbi két egyenlet hányadosából: L = tgϕ u , ϕ u = arctg L (ϕu mindig pozitív), R R a két egyenlet négyzetének összegéből: R2+XL2= Z2. Z=
R 2 + X L2 az áramkör látszólagos ellenállása, impedanciája, [Z]=Ω ohm.
Z=
R 2 + X L2 XL=ωL
ϕ R Az R ellenállás, az XL impedancia és a Z reaktancia összefüggésének illusztrálása
5
Az ohmos-induktív áramkörben az u(t) feszültség ϕu szöggel siet az i(t) áramhoz képest. Mivel ϕi=0, az áram fázisszöge a feszültséghez képest ϕ=ϕi-ϕu=-ϕu, az áram késik a feszültX séghez képest, ϕ = −arctg L . R U U U Amennyiben u(t)=Umsinωt, ϕu=0, akkor i(t ) = m sin(ω t − ϕ ) , Z = m = . Im I Z u(t) uR(t)
uL(t)
i(t)
wt
Soros R-L kör áramának és feszültségeinek időfüggvénye A teljesítmény pillanatértéke: p(t ) = u(t ) ⋅ i(t ) = I m ( R sin ω t + X L cos ω t ) I m sin ω t = 1 − cos 2ω t sin 2ω t = I m2 R sin 2 ω t + I m2 X L cos ω t ⋅ sin ω t = I m2 R + I m2 X L . 2 2 p(t) pR(t)
wt pL(t)
i(t)
Soros R-L kör áramának és teljesítményeinek időfüggvénye A teljesítmény középértékének különböző alakjai: I m2 R R R P= = I eff2 R = I 2 R = UI = UI = UI cos ϕ , 2 2 Z R + X L2
6
a meddő teljesítmény: I2 X X Q = m L = I eff2 X L = I 2 X L = UI L = UI 2 Z
XL
= UI sin ϕ . R 2 + X L2 A munkát (pl. hőfejlesztést, mechanikai elmozdulást) végző hatásos teljesítmény kisebb, mint az egyenáramú körben számított UI szorzat. Ezt a szorzatot látszólagos teljesítménynek nevezik: S=UeffIeff=UI, [S]=VA voltamper. A hatásos, a meddő és a látszólagos teljesítmény közötti összefüggés az eddigiek alapján: P=Scosϕ, Q=Ssinϕ, illetve P2+Q2=S2.
S Q
ϕu P A P hatásos, a Q meddő és az S látszólagos teljesítmény összefüggésének illusztrálása A villamos elektromechanikai eszközök, berendezések (pl. villamos forgógépek) helyettesítő áramköreiben a hatásos teljesítményt (mechanikai teljesítmény, súrlódási veszteség, vasveszteség stb.) egyenértékű ohmos veszteségi teljesítménnyel képezik, megfelelő nagyságú ellenállás beiktatásával. A fogyasztott hatásos teljesítmény a hővé vagy más fajta energiává alakuló teljesítmény középértéke, ami a tápforrásba nem tér vissza. 5. Soros R-C kör A soros R-L körhöz hasonló képpen számítható. Az ellenállás feszültségesése és a kondenzátoron az áram (töltésváltozás) okozta feszültség minden pillanatban egyensúlyt tart a tápfeszültséggel: 1 1 u(t ) − uR (t ) − uc (t ) = u(t ) − i(t )R − ∫ idt = 0 ⇒ u(t ) = i(t )R + ∫ idt . C C i(t)
R
u(t)
XC
∼
Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt soros R-C kör vázlata Ha az áram szinusz függvény szerint változik, i(t)=Imsinωt, ϕi=0, akkor az előző egyenletből: I u(t ) = I m R sin ω t − m cos ω t = I m Z sin(ω t + ϕ u ) = U m sin(ω t + ϕ u ) . ωC itt Um=ImZ és
7
Im cos ω t = R sin ω t − X C cos ω t = Z sin(ω t + ϕ u ) ωC ωt=0 esetén -XC= Zsinϕu, ωt=π/2 esetén R= Zsin(π/2+ϕu)= Zcosϕu. X Az utóbbi két egyenlet hányadosából: − C = tgϕ u , vagy másképpen: R X − XC ϕ u = arctg = − arctg C (ϕu mindig negatív), a két egyenlet négyzetének összegéből: R R 2 2 2 R +XC = Z . A fázisszög számításánál az XC kapacitív reaktancia előjele negatív. R sin ω t −
Z=
R 2 + X C2 az áramkör látszólagos ellenállása, impedanciája. R
ϕu -XC=ωL Z=
R 2 + X C2
Az R ellenállás, az XC impedancia és a Z reaktancia összefüggésének illusztrálása Az ohmos-kapacitív áramkörben az u(t) feszültség ϕu szöggel késik az i(t) áramhoz képest. Mivel ϕi=0, az áram fázisszöge a feszültséghez képest ϕ=ϕi-ϕu=-ϕu, az áram siet a feszültX séghez képest, ϕ = arctg C . R U U U Amennyiben u(t)=Umsinωt, ϕu=0, akkor i(t ) = m sin(ω t + ϕ ) , Z = m = . Z Im I u(t)
uC(t)
uR(t) i(t)
wt
Soros R-C kör áramának és feszültségeinek időfüggvénye
8
A teljesítmény pillanatértéke: p(t ) = u(t ) ⋅ i(t ) = I m ( R sin ω t − X C cos ω t )I m sin ω t = 1 − cos 2ω t sin 2ω t = I m2 R sin 2 ω t − I m2 X C cos ω t ⋅ sin ω t = I m2 R − I m2 X C . 2 2 Az ellenállás teljesítményének középértéke a soros R-L körhöz hasonló képpen: I2R R R P = m = I eff2 R = I 2 R = UI = UI = UI cos ϕ , Z 2 R 2 + X L2 a meddő teljesítmény különböző alakjai: I2 X X Q = − m C = − I eff2 X C = − I 2 X C = −UI C = −UI 2 Z
XC R 2 + X L2
= −UI sin ϕ .
p(t) pR(t)
wt i(t)
pC(t)
Soros R-C kör áramának és teljesítményeinek időfüggvénye 6. Soros R-L-C kör A soros R-L és R-C körhöz hasonló képpen számítható. Az ellenállás feszültségesése, az induktivitás önindukciós feszültsége és a kondenzátoron az áram (töltésváltozás) okozta feszültség minden pillanatban egyensúlyt tart a tápfeszültséggel: di(t ) 1 u( t ) − u R (t ) − uL (t ) − uC (t ) = u(t ) − i(t ) R − L − ∫ idt = 0 , ebből dt C di(t ) 1 u(t ) = i(t )R + L + ∫ idt . dt C R
u(t)
i(t)
XL
XC
∼
Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt soros R-L-C kör vázlata Ha az áram szinusz függvény szerint változik, i(t)=Imsinωt, ϕi=0, akkor az előző egyenletből: I I u(t ) = I m R sin ω t + I mω L cos ω t − m cos ω t = I m R sin ω t + ω L − m cos ω t ωC ω C
9
[
]
= I m R sin ω t + ( X L − X C ) cos ω t = I m ( R sin ω t − X cos ω t ) =
=ImZsin(ωt+ϕu)=Umsin(ωt+ϕu), itt ϕu - az eredő feszültség fázishelyzete a áramhoz képest, 1 X =ω L− = X L − X C - az eredő reaktancia. ωC
Z=
R2 + X 2 X=XL- XC
ϕu R Az R ellenállás, az X impedancia és a Z reaktancia összefüggésének illusztrálása Az előzőekhez hasonlóan az eredő impedancia: Z2=R2+X2, illetve Z =
R2 + X 2 , X − XC X X − XC X és a fázisszög tgϕ u = L = arctg . = , vagy ϕ u = arctg L R R R R uL(t) u(t)
uC(t) uR(t)
i(t)
wt
Soros R-L-C kör áramának és feszültségeinek időfüggvénye Mivel ϕi=0, az áram fázisszöge a feszültséghez képest ϕ=ϕi-ϕu=-ϕu: i(t)=Imsin(ωt-ϕ). 1 ϕ < 0, ha X > 0, azaz ω L > - az eredő áram késik a feszültséghez képest (R-L jellegű), ωC 1 ϕ = 0, ha X = 0, azaz ω L = - az eredő áram fázisban van a feszültséggel (R jellegű), ωC 1 ϕ > 0, ha X < 0, azaz ω L < - az eredő áram siet a feszültséghez képest (R-C jellegű), ωC
10
A teljesítmény pillanatértéke: p(t ) = u(t ) ⋅ i(t ) = I m R sin ω t + ( X L − X C ) cos ω t I m sin ω t =
[
]
1 − cos 2ω t sin 2ω t − I m2 X , részletezve: 2 2 1 − cos 2ω t az ellenállás teljesítménye: p R (t ) = I m2 R , 2 sin 2ω t az induktivitás teljesítménye: p L (t ) = I m2 X L , 2 sin 2ω t a kapacitás teljesítménye: pC (t ) = − I m2 X C . 2 A pR(t) hatásos teljesítmény minden pillanatban pozitív, középértéke P=I2R. pL(t) és pC(t) kétszeres frekvenciával leng, középértéke zérus, az eredőjük a kettő összege: sin 2ω t q(t ) = p L (t ) + pC (t ) = I m2 ( X L − X C ) . 2 = I m2 R sin 2 ω t + I m2 X cos ω t ⋅ sin ω t = I m2 R
p(t) pR(t)
wt pC(t)
pL(t) i(t)
Soros R-L-C kör áramának és teljesítményeinek időfüggvénye I m2 (X L − XC ) = I 2(XL − XC ) = I 2 X . 2 A meddő teljesítmény egyik része az induktivitás és a kapacitás között leng, a másik részét az áramkör a táphálózatból veszi fel és oda juttatja vissza. Induktivitás és kapacitás egyidejű jelenléte esetén az induktivitás mágneses energiája (vagy annak egy része) átalakul a kapacitás elektrosztatikus energiájává (vagy annak egy részévé). Amennyiben az induktivitás és kapacitás energiájának maximuma megegyezik, ha az induktivitásban ugyanakkora energia halmozódik fel, mint a kapacitásban, akkor ez a két áramköri elem ellátja egymást energiával és az R-L-C áramkör a táphálózatból nem vesz fel meddő teljesítményt és nem is ad oda le. Ez a rezonancia jelensége. A rezonanciára méretezett áramkört rezgőkörnek nevezik. Soros áramkörben soros rezonanciáról és soros rezgőkörről beszélünk. 1 Jelen áramkörben a rezonancia feltétele: X L = ω L = = XC . ωC Így az eredő impedancia: Z=R (mivel XL-XC=0), az áram és a feszültség fázisban van, a tápforrásból nincs meddő teljesítmény felvétel. Az induktivitás energiája teljes egészében átalakul kapacitív energiává és fordítva. Az induktivitáson és a kapacitáson eső feszültség minden Az eredő meddő teljesítmény: Q =
11
pillanatban megegyezik egymással és ellentétes előjelű, a kettő eredője zérus, így rövidzárként viselkedik. A pillanatértékekre: uL(t)=i(t)XL=-i(t)XC=uC(t) ezért uL(t)+uC(t)=0, illetve pL(t)=i(t)uL(t)=-i(t)uC(t)=-pC(t), pL(t)+pC(t)=0. A rezonancia jellemzője a rezonancia frekvencia, aminek jelölése fr, f0 vagy fs, vagy a rezonancia körfrekvencia ωr, ω0 vagy ωs. Számításuk a reaktanciák egyezése alapján: 1 1 1 1 , amiből ω 20 = vagy ω 0 = és f 0 = ω 0L = . LC ω 0C 2π LC LC Az összefüggésekből láthatóan akár az induktivitás, akár a kapacitás növelésével a rezonancia frekvencia csökken, fordított feladatnál pedig minél alacsonyabb a szükséges rezonancia frekvencia, annál nagyobb induktivitás és kapacitás értékeket kell választani. XL
XC
f f0
A rezonancia frekvencia értelmezése 7. Párhuzamos R-L kör A feszültség mindkét elemen azonos, di (t ) u(t ) = iR (t )R = L L , dt az áramok összeadódnak a csomóponti törvény szerint i(t)=iR(t)+iL(t), u(t ) 1 i(t ) = + ∫ u(t )dt . R L i(t)
u(t)
∼
iR(t)
iL(t) R
XL
Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt párhuzamos R-L kör vázlata Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint változik, u(t)=Umsinωt, ϕu=0, akkor az előző egyenletből: U U i(t ) = m sin ω t − m cos ω t = U m (G sin ω t − BL cos ω t ) = R ωL = U mY sin(ω t + ϕ ) = I m sin(ω t + ϕ ) .
Itt ϕ=ϕi - a fázisszög, az eredő áram fázishelyzete a feszültséghez képest,
12
BL =
1 - az induktív vezetés (induktív szuszceptancia), mértékegysége [BL]=S Siemens. ωL u(t) i(t) iR(t)
iL(t)
wt
Párhuzamos R-L kör feszültségének és áramainak időfüggvénye Gsinωt-BLcosωt=Ysin(ωt+ϕ), ωt=0 esetén -BL= Ysinϕ, ωt=π/2 esetén G= Ysin(π/2+ϕu)= Ycosϕ. − BL Az utóbbi két egyenlet hányadosából: = tgϕ , ebből G 1 − R −B ωL ϕ = arctg L = arctg = arctg − , 1 G ω L R a két egyenlet négyzetének összegéből: GL2+B2= Y2. Y = G 2 + BL2 az áramkör látszólagos vezetése, admittanciája, [Y]=S Siemens. A párhuzamos R-L kör fázisszöge negatív, az eredő áram ϕ szöggel késik a feszültséghez képest. G
ϕ - BL Y = G 2 + BL2
A G konduktivitás, a BL szuszceptancia és az Y admittancia összefüggésének illusztrálása
13
Az induktív szuszceptancia BL =
1 1 = fordítottan arányos a frekvenciával és az inω L 2π fL
duktivitással. BL
f
Az induktív szuszceptancia frekvencia-függése A teljesítmény pillanatértéke: p(t ) = u(t ) ⋅ i(t ) = U m (G sin ω t − BL cos ω t )U m sin ω t = 1 − cos 2ω t sin 2ω t = U m2 G sin 2 ω t − U m2 BL cos ω t ⋅ sin ω t = U m2 G − U m2 BL , részletezve: 2 2 1 − cos 2ω t az ellenállás teljesítménye: p R (t ) = U m2 G , 2 sin 2ω t az induktivitás teljesítménye: p L (t ) = −U m2 BL . 2 p(t)
u(t)
pR(t)
wt pL(t)
Párhuzamos R-L kör feszültségének és teljesítményeinek időfüggvénye A teljesítmény középértékének különböző alakjai: U 2 G U eff U P= m = = = UI cos ϕ , 2 R R a meddő teljesítmény: U eff2 U2B U2 Q= m L = = = UI sin(−ϕ ) . XL XL 2 14
8. Párhuzamos R-C kör A feszültség mindkét elemen azonos, 1 u(t ) = iR (t )R = ∫ iC (t )dt , C az áramok összeadódnak a csomóponti törvény szerint i(t)=iR(t)+ iC(t) vagy u(t ) 1 du(t ) i(t ) = + ∫ u(t )dt + C . R L dt i(t)
u(t)
∼
iR(t)
iC(t) R
XC
Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt párhuzamos R-C kör vázlata Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint változik, u(t)=Umsinωt, ϕu=0, akkor az előző egyenletből: U i(t ) = m sin ω t + U m Cω cos ω t = U m (G sin ω t + BC cos ω t ) = R = U mY sin(ω t + ϕ ) = I m sin(ω t + ϕ ) . u(t)
i(t)
iR(t) iL(t) wt
Párhuzamos R-C kör feszültségének és áramainak időfüggvénye Itt ϕ=ϕi - a fázisszög, az eredő áram fázishelyzete a feszültséghez képest, BC=ωC - a kapacitív szuszceptancia. B ωC ϕ = arctg C = arctg = arctgRωC , a párhuzamos R-C kör fázisszöge pozitív, az eredő 1 G R áram ϕ szöggel siet a feszültséghez képest.
15
Y = G 2 + BC2
BC
ϕ G A G konduktivitás, a BC szuszceptancia és az Y admittancia összefüggésének illusztrálása A kapacitív szuszceptancia arányos a frekvenciával és a kapacitással. BC
f
A kapacitív szuszceptancia frekvencia-függése A teljesítmény pillanatértéke: p(t ) = u(t ) ⋅ i(t ) = U m (G sin ω t + BC cos ω t )U m sin ω t = 1 − cos 2ω t sin 2ω t = U m2 G sin 2 ω t + U m2 BC cos ω t ⋅ sin ω t = U m2 G + U m2 BC , részletezve: 2 2 u(t)
p(t)
pR(t)
pC(t) wt
Párhuzamos R-C kör feszültségének és teljesítményeinek időfüggvénye az ellenállás teljesítménye: p R (t ) = U m2 G
1 − cos 2ω t , 2 16
sin 2ω t . 2 A teljesítmény középértékének különböző alakjai: U m2 G U eff U P= = = = UI cos ϕ , R R 2 a meddő teljesítmény: U eff2 U m2 BC U2 Q=− =− =− = UI sin(−ϕ ) . 2 XL XL az induktivitás teljesítménye: pC (t ) = U m2 BC
9. Párhuzamos R-L-C kör A feszültség mindhárom elemen azonos di (t ) 1 u(t ) = iR (t )R = L L = ∫ iC (t )dt , dt C az áramok összeadódnak a csomóponti törvény szerint i(t)=iR(t)+iL(t)+iC(t) vagy u(t ) 1 du(t ) i(t ) = + ∫ u(t )dt + C . R L dt i(t)
u(t)
∼
iR(t)
iL(t) R
iC(t) XL
XC
Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt párhuzamos R-L-C kör vázlata Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint változik, u(t)=Umsinωt, ϕu=0, akkor az előző egyenletből: U U U 1 i(t ) = m sin ω t − m cos ω t + U m Cω cos ω t = m sin ω t + U m Cω − cos ω t = R ωL R ω L = U m (G sin ω t + B cos ω t ) = U mY sin(ω t + ϕ ) = I m sin(ω t + ϕ ) .
Y = G 2 + BC2
B= BC- BL
ϕ G A G konduktivitás, a B szuszceptancia és az Y admittancia összefüggésének illusztrálása Itt ϕ - a fázisszög, az eredő áram fázishelyzete a feszültséghez képest,
17
1 = BC − BL - az eredő szuszceptancia. ωL Gsinωt+Bcosωt=Ysin(ωt+ϕ), ωt=0 esetén B= Ysinϕ, ωt=π/2 esetén G= Ysin(π/2+ϕu)= Ycosϕ. B = tgϕ , ebből Az utóbbi két egyenlet hányadosából: G 1 ω C− ωL B ω 2 LC − 1 ϕ = arctg = arctg = arctgR , 1 G ωL R a két egyenlet négyzetének összegéből: G2+B2= Y2. B=ω C−
Y = G 2 + B 2 az áramkör látszólagos vezetése, admittanciája, [Y]=S Siemens. u(t) iR(t)
iL(t)
i(t) wt
iC(t)
Párhuzamos R-L-C kör feszültségének és áramainak időfüggvénye Gsinωt+Bcosωt=Ysin(ωt+ϕ), ωt=0 esetén B= Ysinϕ, ωt=π/2 esetén G= Ysin(π/2+ϕu)= Ycosϕ. B Az utóbbi két egyenlet hányadosából: = tgϕ , ebből G 1 ω C− ωL B ω 2 LC − 1 ϕ = arctg = arctg = arctgR , 1 G ωL R a két egyenlet négyzetének összegéből: G2+B2= Y2. Y = G 2 + B 2 az áramkör látszólagos vezetése, admittanciája. Mivel ϕu=0, az áram fázisszöge a feszültséghez képest 1 ϕ > 0, ha B > 0, azaz ω C > - az eredő áram siet a feszültséghez képest (R-C jellegű), ωL
18
1 - az eredő áram fázisban van a feszültséggel (R jellegű), ωL 1 ϕ < 0, ha B < 0, azaz ω C < - az eredő áram késik a feszültséghez képest (R-L jellegű). ωL A teljesítmény pillanatértéke: p(t ) = u(t ) ⋅ i(t ) = U m (G sin ω t + B cos ω t )U m sin ω t = 1 − cos 2ω t sin 2ω t = U m2 G sin 2 ω t + U m2 B cos ω t ⋅ sin ω t = U m2 G + U m2 B , részletezve: 2 2 1 − cos 2ω t az ellenállás teljesítménye: p R (t ) = U m2 G , 2 sin 2ω t az induktivitás teljesítménye: p L (t ) = −U m2 BL , 2 sin 2ω t a kapacitás teljesítménye: pC (t ) = U m2 BC . 2 A pR(t) hatásos teljesítmény minden pillanatban pozitív, középértéke P=I2R. pL(t) és pC(t) kétszeres frekvenciával leng, középértéke zérus, az eredőjük a kettő összege: sin 2ω t q(t ) = p L (t ) + pC (t ) = U m2 ( BC − BL ) . 2
ϕ = 0, ha B = 0, azaz ω C =
u(t)
pL(t)
p(t) pR(t)
wt
pC(t)
Párhuzamos R-L-C kör feszültségének és teljesítményeinek időfüggvénye A teljesítmény középértékének különböző alakjai: U 2 G U eff U P= m = = = UI cos ϕ , 2 R R a meddő teljesítmény: U 2 ( B − BC ) Q= m L = UI sin(−ϕ ) . 2 Párhuzamos áramkörben párhuzamos rezonanciáról és párhuzamos rezgőkörről beszélünk. 1 Jelen áramkörben a rezonancia feltétele: BC = ω C = = BL , vagy XC=XL. ωL
19
Rezonancia esetén Y=G (mivel BC-BL=0), az áram és a feszültség fázisban van, a tápforrásból nincs meddő teljesítmény felvétel. Az induktivitás energiája teljes egészében átalakul kapacitív energiává és fordítva. Az induktivitáson és a kapacitáson folyó áram minden pillanatban megegyezik egymással és ellentétes előjelű, a kettő eredője zérus, így szakadásként viselkedik. A párhuzamos rezgőkör sajátfrekvenciája és sajátkörfrekvenciája ugyanúgy számítható, mint a soros körben.
20
