Egységrakomány képzés és bontás Az egységrakományok osztályozása
Célja: – áruk homogenizálása, – rakodási, szállítási műveletek számának csökkentése. – rakodási idők csökkentése – áru védelme Egységrakományképző eszközök: – rakodólap, – rekesz, – konténer.
Egységrakományok típusai:
Homogén
A=8a
Kevert (inhomogén)
K=xa+yb+zd
Egységrakomány képzés
Egységrakományok osztályozása: Funkció szerint: – RST egységrakomány a szállítás, tárolás és rakodás hatékonyságát növeli, a technológiai műveleteknél megbontásra és újraképzésre kerül. – Technológiai egységrakomány nem csak a szállítás, tárolás és rakodás hatékonyságát növeli, hanem a technológiai berendezésnél a beállítási időket is csökkenti, nem kerül a technológiai berendezéseknél sor az ER megbontására. Tartalom szerint: – Homogén: azonos árukból, munkadarabokból épül fel. – Inhomogén
(kevert):
több,
különfajta
áruból,
munkadarabból áll, kapcsolódik hozzá komissiózás. A komissióba azonos felhasználási helyre igényelt áruk kerülnek.
Egységrakomány áramlásának viszonylatai
Egységrakomány képzés Az RST folyamatok egységrakomány képzés.
tervezésének
egyik
legfontosabb
kérdése
az
Egységrakomány-képzésről akkor beszélünk, ha az általában kisebb méretű árukat nagyobb rakodási, mozgatási, tárolási egységekké fogjuk össze valamilyen segédeszköz – az egységrakomány-képző eszköz (ERKE) segítségével. Az egységrakomány-képzés célja egyszerűsítése, számuk csökkentése.
a
rakodási,
tárolási
műveletek
ERKE használatának előnyei: 1. Csökkenteni a rakodási időt, 2. Homogenizálja a a. rakodó, b. mozgatandó egységeket c. tároló berendezéseket, 3. Csökkenti a szükséges rakodó és szállító eszközök fajtaszámát, növeli a kihasználtságukat, 4. Könnyebbé teszi az RST folyamatok irányítását, 5. Egyszerűbbé teszi a rakományképzést, 6. Biztosítja az áru védelmét, 7. Élőmunkát takaríthat meg.
ERKE használatának hátrányai: 1. 2. 3. 4.
ERKE szükséges, Az ERKE-k beszerzése és karbantartása költségráfordítást igényel, Az ERKE-k csökkenthetik a szállítóeszközök kihasználását, Az üres ERKE-k szállítási láncát is meg kell szervezni.
Az anyagmozgatás bármely területén alkalmazható, a leggyakoribb területek: 1. Üzemrészen belüli anyagmozgatás, 2. Üzemrészek közötti anyagmozgatás, 3. Üzemi raktározás, 4. Külső szállítás, 5. Kereskedelmi raktározás, 6. Disztribúciós rendszerek.
Több kapcsolódó anyagmozgató rendszer esetén, ha a nyersanyag, a félkészilletve a késztermékek méret- és súlyviszonyai megengedik célszerű a szállítási láncban az azonos ERKE-k alkalmazása. Negatív példa : Papíripari Vállalat füzetgyártás 1975. Füzetek gyűjtőcsomagolása → egységrakomány-képzés → raktározó → egységrakomány-bontás → rakományképzés a teherautón → külső szállítás → egységrakomány-képzés → raktározás. ERKE alaptípusai: 1. Homogén 2. Modulrendszer (azonos fajta, változó méret) 3. Kevert (méret és fajta is változik)
A legfontosabb egységrakomány-képző eszközök Kialakítás szerint az ERKE lehet: 1. Alapeszközként a sík rakodólap tekinthető 2. 800×1200 mm-es méret szabványosított MSZ 9710-65. a. 800×1000 mm, b. 1000×1000 mm, c. 600×800 mm. 3. Oszlopos rakodólap, 4. Keretes rakodólap, 5. Oldalfalas rakodólap (fa, fém, drótháló), 6. Duplafedelű, 7. Görgős, 8. Légpárnás, 9. Eldobható, 10. Rakodó kosár, 11. Rakodó ládák, 12. Konténerek a. Kis szállítótartály (1-3 m3), b. Közepes szállítótartály (3-10 m3), c. Nagy szállítótartály (>10 m3) A felsorolt főbb típusok többféle kivitelű, gyártmányú ERKE-t foglalnak magukba. A felhasználható szabványos ERKE-ket a gyártó, ill. kereskedelmi vállalatok katalógusokba foglalják.
„ROLI” nevű kereskedelmi kiskonténerek
Euro-rakodólap 1:fedlap; 2:fedlap-összekötő; 3: láb; 4: lábösszekötő
Rendeltetése szerint az ERKE lehet: 1. Univerzális, 2. Különleges (hűtő, szigetelt, összecsukható, stb.) A jobb kitöltés biztosítására, az áruk rögzítésére és védelmére az ERKE-ket segédeszközökkel lehet ellátni, ilyenek lehetnek: • Közbenső rétegek o Merev o Rugalmas • Tüskék, • Prizmák, • zsugorfólia • Különleges elemek. • Rögzítő elemek. Az ERKE-re használt legjellemzőbb paraméterek: • • • • • • •
Belméretek, Külméretek, Önsúly, Teherbírás, Halmazolhatóság, Beszerzési költség, Üzemeltetési költség.
AZ EGYSÉGRAKOMÁNY-KÉPZÉS ALAPFELADATA Az egységrakomány-képzés során alapvetően két feladatot kell megoldani: • Az áruhoz ERKE-választás, • Az árunak az ERKE-be való berakási módjának meghatározása. Az ERKE megválasztásánál teljesülniük kell az alábbi feltételeknek: • • • •
Az áru az ERKE-n (ERKE-ben) elférjen, Az áru súlya ne lépje túl az ERKE teherbírását, Az áru helyzete az ERKE-n (ERKE-ben) stabilan rögzíthető legyen, Az ERKE az előforduló tárolóhelyeken, rakodó- és szállítóeszközökön elférjen.
A kiválasztott ERKE típus mellett a berakodási optimalizálandó célfüggvény is megfogalmazható: • • • •
módhoz
többféle
Az ERKE-ben minél több áru férjen el, Minimális legyen a berakodási idő, Maximális legyen az ERKE térkihasználása, Az előforduló tárolónak, ill. szállítóeszköznek maximális legyen a térkihasználása.
Az nyilvánvaló, hogy valamennyi célfüggvényt általában nem sikerül egyszerre kielégíteni, mert némelyeknél ellentétes hatások érvényesülnek, de lehetséges az optimálás során több célfüggvényt is együttesen kezelni. Ellentétes hatású például: a minimális berakodási idő és a maximális térkihasználás. Az egységrakomány –képzés lehet: • Homogén, ha az ERKE-be csak egyféle árut helyezünk el, • Inhomogén (kevert), ha egy ERKE többféle terméket is tartalmaz (pl. komissiózás)
Homogén egységrakomány-képzése Homogén egységrakomány-képzésről beszélünk, ha adott n féle áru, amelynek egységrakomány-képzését kell megoldani, úgy hogy áll m féle ERKE áll rendelkezésünkre és ezek közül kell a legmegfelelőbbeket kiválasztani. Az egységrakomány-képzés legegyszerűbb változata a homogén egységrakományok képzése egy optimalizálandó célfüggvény esetén. Célfüggvényként írjuk elő a térfogatkihasználás maximalizálását.
ϕ ⇒ max! Első lépésben meg kell vizsgálni termékenként minden számításba jövő eszköznél az összes lehetséges berakási módot. A berakási mód-változat értelmezésére az alábbi ábra mutat egy példát: hasáb alakú darabok sík rakodólapon egy sorban történő elhelyezése esetén.
800
1200 „A” változat zA = 6
„B” változat zA = 8
Berakási mátrix:
− j: ERKE fajta (1 ≤ j ≤ m) − i: termékféleség (1 ≤ i ≤ n) − µ: berakási mód (1 ≤ µ ≤ r) ahol z ijµ az i-edik termékből a j-edik ERKE-be a
µ -edik berakási móddal a
térfogatkorlát figyelembevételével elhelyezhető darabszám, r a berakási mód-változatok maximális száma
r = max{max{rij }} i
j
rij az i-edik terméknek a j-edik ERKE-be való berakási változatainak száma. Ellenőrizni kell, hogy az ERKE-ben a térfogatkorlát alapján elhelyezhető áru súlya ne lépje túl az ERKE teherbírását:
z ijµ ⋅ m 0i ⋅ g ≤ Q j ahol m0i: az i-edik áru egy darabjának tömege, Qj: a j-edik ERKE teherbírása. Ha valamely berakási módra meghatározott darabszáma nagyobb terhelést ad, csökkenteni kell a z ijµ értékét ha z ijµ ⋅ m 0 i ⋅ g ≤ Q j , akkor z ijµ = z ijµ Qj * z = entier ha z ijµ ⋅ m 0i ⋅ g > Q j , akkor ijµ m 0i ⋅ g *
[
Z * = z * ijµ
]
A térfogatkihasználási tényező:
ϕ ijµ =
z ij*µ ⋅ V0i Vej
Ahol: V0i: az i-edik áruféleség egy darabjának térfogata, Vej: az i-edik Térfogatkihasználási mátrix: Φ = [ϕ ijµ ] j: ERKE fajta (1 ≤ j ≤ m) i: termékféleség (1 ≤ i ≤ n) µ: berakási mód (1 ≤ µ ≤ r) Optimális berakási mód mátrix: A = [aij]
{ }
ϕ ijµ Ahol a ij = max µ
Az i-edik árú j-edik ERKE-re vonatkozó optimális berakási módja ott adódik, ahol a térfogat kihasználási tényező maximális. Maximális térfogatkihasználási tényezőt adó berakási mód mátrix: M = [mij]
ahol mij = µ 0 (i, j )
Az i-edik az optimális ERKE, amelyik a maximális térfogatkihasználást biztosítja. a i = max{a ij } j
ei = j 0 (i )
mi = mi , j0 (i ) = mi ,ei
− Az ai jelenti az i-edik termék optimális térfogatkihasználási tényezőjét az összes ERKE-re és minden berakási módra; − Az ei jelenti az i-edik termék optimális térfogatkihasználást biztosító ERKE-sorszámát; − Az mi jelenti az i-edik termék optimális térfogatkihasználást adó ERKEhez tartozó optimális berakási mód sorszáma. − 1⎡ ⎤ M ⎢⎢ ⎥⎥ a = i ⎢a i ⎥ ⎢ ⎥ M⎢ ⎥ n ⎢⎣ ⎥⎦
1⎡ ⎤ M ⎢⎢ ⎥⎥ e = i ⎢e i ⎥ ⎢ ⎥ M⎢ ⎥ n ⎢⎣ ⎥⎦
1⎡ ⎤ M ⎢⎢ ⎥⎥ m = i ⎢mi ⎥ ⎢ ⎥ M⎢ ⎥ n ⎢⎣ ⎥⎦
Más célfüggvény előírása esetén is hasonlóan kell eljárni. Több célfüggvény figyelembe vételének egyik módja, ha az egyes célfüggvények relatív értékeivel számolunk. Például a relatív térfogatkihasználási tényező: f ijλµ =
ϕ ijµ
max{ϕ ijµ } µ
Az egyes relatív-célfüggvény értékek súlyozott összege kerül az „egy célfüggvény” helyébe: l
f ijµ = ∑η λ ⋅ f ijλµ λ =1
ahol: − l: a célfüggvény komponensek száma − ηλ: a λ-adik célfüggvény súlyozási tényezője 0 ≤ ηλ ≤ 1. A számítás menete megegyezik az „egy célfüggvénynél” ismertetett eljárással. Más módszer is használható, például: a játékelmélet.
Többfokozatú egységrakomány-képzés modellje Az egységrakomány-képzés bonyolultabb feladatai közé tartozik, ha valamely terméket a hozzá kiválasztott ERKE-vel együtt egy nagyobb ERKE-be rakjuk. Az RST folyamataiban gyakran előfordul, hogy az árut először gyűjtőcsomagba helyezzük, a gyűjtőcsomagok rakodólapra, a rakodólapok pedig konténerbe kerülnek. A megoldás során, ha az áruhoz először az optimális gyűjtőcsomagot választanánk ki, majd ehhez keresnénk meg az optimális rakodólapot, aztán a rakodólaphoz az optimális konténert, nem járnánk el helyesen, mert nem biztos, hogy a célfüggvény ily módon számítható értéke is optimális lesz. A lokális optimumok együttese nem feltétlen ad abszolút optimumot.
1.
DEFINÍCIÓ:
Az egymásba helyezett ERKE-k paraméterei, mint feltételek, és az eredő célfüggvény-érték által adódó feladatot többfokozatú egységrakományképzésnek nevezzük.
2.
A CÉLFÜGGVÉNY KOMPONENSEI
Az ERKE-k optimális megválasztására egy célfüggvényt, a térfogat-kihasználás maximalizálását írjuk elő. Ehhez először meghatározzuk az egyes fokozatok közötti kapcsolatot. 2.1. A TÉRFOGATKIHASZNÁLÁSI FOKOZATOKRA VONATKOZÓAN:
TÉNYEZŐK
A
KÜLÖNBÖZŐ
2.1.1. A gyűjtőcsomagolás térfogatkihasználási tényezője
1
Ahol: −
1
ϕ ijµ =
z ij*µ ⋅ V0i Vbj
ϕ ijµ : az i-edik árunak a j-edik gyűjtőcsomagba a µ-edik berakási módon
való elhelyezése esetén számítható térfogatkihasználási tényezője, − z ij*µ : az i-edik árunak a j-edik gyűjtőcsomagba a µ-edik berakási móddal elhelyezhető darabszáma, − V0i : az i-edik áru egy darabjának térfogata, − Vbj : a j-edik gyűjtőcsomag hasznos térfogata.
2.1.2. Rakodólapra (kiskonténerre) vonatkoztatott térfogatkihasználási tényező
2
Ahol: −
2
ϕ jλδ =
z *jλδ ⋅ Vb0 j V rλ
ϕ jλδ : a j-edik gyűjtőcsomagnak a λ-adik rakodólapra (kiskonténerbe) a
δ-adik berakási módon való elhelyezése esetén számítható térfogatkihasználási tényezője, − z *jλδ : a j-edik gyűjtőcsomagnak a λ-adik rakodólapra (kiskonténerbe) a δ-adik berakási móddal elhelyezhető darabszáma, − Vb j : a j-edik gyűjtőcsomag térfogata, 0
− Vrλ : a λ-adik rakodólap (kiskonténer) hasznos térfogata. 2.1.3. Konténerre vonatkoztatott térfogatkihasználási tényező
3
Ahol: −
3
ϕ λγν =
* ⋅ Vr0 λ z λγν
Vkγ
ϕ λγν : a λ-adik rakodólapnak (kiskonténernek) a γ-adik konténerbe a ν-
edik berakási módon való elhelyezése esetén számítható térfogatkihasználási tényezője, * : a λ-adik rakodólapnak (kiskonténernek) a γ-adik konténerbe a ν− z λγν edik berakási móddal elhelyezhető darabszáma, − Vr ν : a λ-adik rakodólapnak (kiskonténernek) térfogata, 0
− Vkγ : a γ-adik konténer hasznos térfogata.
2.2. A TÖBBFOKOZATÚ CÉLFÜGGVÉNYE:
{
{
}
EGYSÉGRAKOMÁNY-KÉPZÉS
{
}
{
}}
ai = max max 1 ϕ ijµ ⊕ max 2 ϕ jλδ ⊕ max 1 ϕ λγν . jλγ µ δ ν
Ha figyelembe vesszük, hogy − 1 aij = max{1ϕ ijµ } µ
−
2
−
3
{ } = max{ ϕ }
a jλ = max 2 ϕ jλδ δ
a λγ
1
ν
λγν
akkor a célfüggvény az alábbiak szerint alakul: ai = max{1 aij ⊕ 2 a jλ ⊕1 aλγ } jλγ
Ahol ai maximális, adódik az i-edik termékhez optimális: − − − − − − 3.
Gyűjtőcsomag (j0), Termékberakási mód (µ0) Rakodólap (kiskonténer) (λ0), Gyűjtőcsomag-berakási mód (δ0) Konténer (γ0), Rakodólap (kiskonténer) berakási mód (ν0).
MEGOLDÁS DINAMIKUS PROGRAMOZÁSSAL
A feladat során célszerű minden esetben, a magasabb szintekhez tartozó optimumokhoz kiválasztani az alacsonyabb szinten lévő elemek közül a legmegfelelőbbet. Erre a legkézenfekvőbb megoldást a dinamikus programozás adja, és tényleges optimumot is biztosít. Az eljárás során az optimalizálás végezhető térfogatkihasználási tényezőre, de berakási darabszámra is. A módszer során csupán egy termékre adjuk meg az eljárást.
Az eljárás leírása: Szerkesszünk egy gráfot, amelyen jelöljük be az egyes döntési szinteket! gyűjtőcsomag 1
2
a11
a11
3 1
ai1
konténer 1
3
rakodólap 1
aλ1
3
am1
2
a1λ
0
2
aj1
1
i
aij
3
a 1γ
2
ajλ
j
2
0
2
ajm
1
ail
3
λ alλ
3
aλp
0
a λγ
3
γ
a mγ 0
2
a1m
2
a11
3
a1p
3
amp
2
alm m
p
l x0
x1
x3
x2
xn
x0 a termékek, x 1 , x 2 , K , x n − 1 az egyes döntési szinteken számításba vehető ERKE-k halmazát jelölik. Ha az egymást közvetlenül előző és követő szinteken a halmazok elemét szemléltető csúcsokat az összes lehetséges változatban összekötjük, és az éleket a célfüggvényben szereplő térfogatkihasználási tényezőknek feleltetjük meg, egy olyan gráfot kapunk, amelyben kijelölhető minden egyes út egy-egy megoldás-variációnak felel meg. Ezek közül az lesz az optimális, amelyiknél az érintett élek szorzata maximális lesz. A maximalizálást szekvenciálisan végezzük el. Minden csúcshoz hozzárendeljük az előző döntési szintről való elérési változatai közül a maximális értékűt. Az első szintnél a csúcspontok a befutó élek értékeit kapják. j = 1, 2, … , l 2 Fλ = max{1F j + 2a jλ } j = 1, 2, … , l , λ = 1, 2, … , m
o o
1
o
2
o
3
o
3
F j = 1 a ij
j
Fλ = max{1 a ij + 2 a jλ } j
{
Fγ = max 2 Fλ + 3 a λγ λ
{
}
Fγ = max max{1 a ij + 2 a jλ }+ 3 a λγ λ
j
o a i = max{3 Fγ } γ
{ {
}
γ = 1, 2, … , p
o a i = max max max{1 a ij + 2 a jλ }+ 3 a λγ γ
λ
j
}
4.
PÉLDA
Legyen az i termékre vonatkozóan három gyűjtőcsomag, amit az x1 vektor és az 1 A mátrix ír le berakási darabszámmal. Továbbá legyen két rakodólap típus melybe optimális berakás mellett az ERKE-ből szükséges darabszámot az 2A mátrix mutat. Végül legyen három konténer az optimális kis konténer darabszámot az 3A mátrix ír le. x1 = {1,2,3} ;
x 2 = {1,2};
x 3 = {1,2,3}
1 2 3 ⎤ 1⎡ ⎥ ⎢ M⎢ 1 ⎥ A= ⎥ ⎢ 10 5 7 i ⎥ ⎢ M⎢ ⎥ ⎥⎦ ⎢ n⎣ 10
1 1 ⎡3 2 A=2 ⎢ ⎢9 3 ⎢10 ⎣
3
1 2 3 A = 1 ⎡6 5 2 ⎤ 2 ⎢⎣3 8 1⎥⎦ 420
3
1
2 6⎤ 3⎥⎥ 5⎥⎦
70
1
6 1 3
10 9 5
i
2
0
0
5
2
480 5
6
3
3
0
2 8 0
7
10 1
5 2
p
60
3
140
7 1
F1 = 1 a i1 = 10
1
F2 = 1 a i 2 = 5
1
F3 = 1 a i 3 = 7
⎧ 1 F1 ⋅ 2 a11 ⎫ ⎧10 ⋅ 3⎫ ⎪1 2 ⎪ ⎪ ⎪ 2 F1 = max ⎨ F2 ⋅ a 21 ⎬ = max ⎨ 5 ⋅ 9 ⎬ = 70 ⎪ 1 F ⋅2 a ⎪ ⎪7 ⋅ 10⎪ ⎩ ⎭ ⎩ 3 31 ⎭
⎧ 1F1⋅2 a11 ⎫ ⎧10 ⋅ 6⎫ ⎪1 2 ⎪ ⎪ ⎪ 2 F2 = max ⎨ F2 ⋅ a22 ⎬ = max ⎨ 5 ⋅ 3 ⎬ = 60 ⎪ 1F ⋅2 a ⎪ ⎪ 7⋅5 ⎪ ⎭ ⎩ ⎩ 3 32 ⎭ 3
3
3
⎧ 2 F1 ⋅3 a11 ⎫ ⎧70 ⋅ 6⎫ F1 = max ⎨ 2 3 ⎬ = max ⎨ ⎬ = 420 ⎩60 ⋅ 3⎭ ⎩ F2 ⋅ a 21 ⎭ ⎧ 2 F1 ⋅3 a12 ⎫ ⎧70 ⋅ 5⎫ F2 = max ⎨ 2 3 ⎬ = max ⎨ ⎬ = 480 ⎩60 ⋅ 8⎭ ⎩ F2 ⋅ a 22 ⎭ ⎧ 2 F1 ⋅3 a13 ⎫ ⎧70 ⋅ 2⎫ F3 = max ⎨ 2 3 ⎬ = max ⎨ ⎬ = 140 ⎩ 60 ⋅ 1 ⎭ ⎩ F2 ⋅ a 23 ⎭
⎧180 ⎫ ⎪ ⎪ ai = max 3 Fγ = max ⎨480⎬ = 480 γ ⎪ 60 ⎪ ⎩ ⎭
{ }
a i = 3 F2 = 3 a 22 + 2 a12 + 1a i1 ⇒ j 0 = 1
λ0 = 2 γ0 =2
Az optimális változókat a gráfelméletben ismert „kritikus út probléma” CPM megoldásával is megkereshető.
Megjegyzések az ER képzéshez, értékeléshez 1. Új ERKÉ-két kell vásárolni Tervezési változatok: – Térkihasználási tényező maximalizálása:
ϕ j = Max ! – Nem szükséges ismerni, hány darab ERKE szükséges. – Beszerzési költségek maximalizálása:
Q0 (ϑ ) = Min ! Kj = kj zj • K j a j-edik ERKE beszerzési költsége, • kj
a j-edik ERKE egy db költsége,
• zj
a j-edik ERKE-ben elhelyezhető darabszám,
• Q0 ϑ átfutási idő alatt ERKE berakandó áru darabszáma, • ϑ
átfutási idő, ami idő alatt az áru elfoglalja az
ERKE-t.
2. Meglévő ERKE készletből kell választani Feltételek:
nai ≤ zij ≤ n fi Q0i Nj ≤ ∑ i∈Θ j zij Célfüggvény:
ϕij = Max ! j = 1...m ahol
nai ; n fi
az i-edik termékből egy ERKE berakható
legkisebb, legnagyobb darabszám, amely felhasználás időtartalmából származtatható
Nj
a rendelkezésre álló ERKE db száma a j-edik
fajtából,
zij
az
i-edik
áruból
a
j-edik
fajta
ERKÉ-be
elhelyezhető db,
Q0i
i-edik
áruból
ERKÉ-be
elhelyezhető
árumennyiség,
Θj
a j-edik ERKE fajtába kerülő áruk halmaza.
3. ERKE-k homogenizálása Ha n féle áruhoz r féle ERKE adódik, de csak k
ϕ ij∗ = Max! legkisebb mértékben csökkenjen. n
∑α
vagyis:
i =1
ij
β ijϕ ij = Max!
ahol: α ij mennyiségi súlyozási tényező β ij az ERKE fajlagos költség súlyozási tényező ϕ ij az i-edik áruból a j-edik ERKE-nél lévő kihasználtsági tényező
4. Többfokozatú egységrakomány képzés 1
2
3
Áru → Gyűjtőcsomag →
ϕ*12
→
ϕ*23
4
Rakodólap → Konténer →
ϕ*34
Térkihasználás tényező maximalizálása amit minden viszonylatban kell vizsgálni
Egységrakományba berakott termék darabszám optimális értékének meghatározása munkahelyek kiszolgálásánál Az egységrakományok követési ideje:
τ = k ij
zij ,
qik
ahol: - zij az i-dik termékből a j-dik típusú egységrakományba betehető darabszám, -
qik az i-dik termékből a k-dik munkahelyre szállítandó összmennyiség.
Az egységrakomány-képző eszköz fordulási száma:
nijk =
1
τ ijk
.
Az egységrakomány költsége:
K ij = cTij * A j + c sk * nijk , ahol: -
cTij
az egységrakomány egységnyi alapterületére jutó terhelési költség,
-
Aj
a j-dik egységrakomány alapterület igénye,
-
c sk
a k-adik munkahelyhez tartozó szállítási költség.
Az i-dik terméknél a k-dik helyen az optimális ERKE fajta:
Min{K ijk } = K ik 0 , j
illetve a k-adik munkahelyre kerülő összes terméket figyelembe véve az optimális ERKE fajta: n
Min ∑ K ijk = K k 0 , j
i =1
valamint a gyártósor egészére vonatkozó optimális ERKE fajta: r
n
Min ∑∑ K ijk = K 0 . j
k =1 i =1
Azt a j-dik ERKE-t választjuk, ahol minimum van.
Technológiai folyamaton belüli anyagáramlásnál az ERKE képzésnél munkahelyenként előírható feltételek: a.) Ellátási időkorlátok:
Tka < zij *τ ijk < Tk f , ahol: -
Tka
a belső szállítás ütemezéséből származó korlát,
-
Tk f
a tároló hely adottságát figyelembe vevő korlát.
Technológiai folyamaton belüli anyagáramlásnál fontos feltétel, hogy:
a.)
Tka < zij * t kλ < Tk f , ahol: -
Tka
a belső szállítás ütemezéséből származó korlát,
-
Tk f
a tároló hely adottságát figyelembe vevő korlát.
b.) Költségkorlát:
K MT (i, j ) + K ST (i, j ) → min . , ahol: -
K MT
-
K ST
a munkahelyi tárolási költség, a szállítási költség.
Alkalmazott egységrakományok homogenizálása Definíció: Megadott számú termék és maximalizált számú ERKE típus szám, mint alapadat mellett, optimális ERKE típusok számának megválasztási feladatát az egységrakományok homogenizálásának nevezzük. Az alapfeladat több típusra bontható, a típusok: 1. Nincs korlátozás az ERKE fajtákban: Abban az esetben, ha termék fajtaszáma nem nagyobb, mint az ERKE fajtaszám azaz l 0 ≥ r (ahol l 0 megengedett fajtaszám, r ERKE fajtaszám):
1 L ν L r 1 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ M ⎢ ⎥ Berakási mátrix: A = ⎥ i ⎢ a iν ⎢ ⎥ M ⎢ ⎥ ⎥⎦ m ⎢⎣
Ebben az esetben, a berakási mátrixban minden sor maximális elemét keressük, és a termékfajtához a maximális elemhez tartozó oszlopot reprezentáló ERKE-t választjuk. 2.
Korlátozás az ERKE fajtákban:
l0 < r 2.1 m ≤ l0: azaz a termékfajta szám kisebb, mint a választható ERKE-k száma, ebben az esetben szintén soronkénti maximális elem választással megadhatók az optimális ERKE típusok. 2.2 m > l0: ha a termékek száma nagyobb, mint a választható ERKE-k száma ekkor r
m
K = ∑∑ kiν aiν xiν = max! , ahol xiν = 1 , ha az i termékhez a ν ERKE-t választottuk, és ν =1 i =1
xiν = 0 különben. k iν : az i termék fajlagos ERKE-re vonatkozó súlytényezője. További feltétel kapcsolódik a
modellhez: minden
termékfajtához kell választani pontosan egy ERKE-t.
⎛ ⎞ xi = ∑ xiν = 1 ; legyen βν = sign⎜ ∑ xiν ⎟ azaz βν = 1 ha választottuk az adott ERKE-t, és ν =1 ⎝ i =1 ⎠ r
m
r
különben. Az ERKE-kra vonatkozó felsőkorlát feltétel:
β 0 = ∑ βν ≤ l0
Összefoglalva a modellt:
ν =1
xi ∈ {0,1} r
xi = ∑ xiν = 1 ν =1
⎛ m ⎞ sign ⎜ ∑ x iν ⎟ ≤ l 0 ∑ ν =1 ⎝ i =1 ⎠ r
r
m
K = ∑∑ kiν aiν xiν = max! ν =1 i =1
A feladathoz egészértékű LP megoldás adható (Hátizsák probléma). Továbbá megoldható Branch and Bound módszerrel, vagy dinamikus programozással. 3.
Korlátozások az ERKE darabszámokban, ERKE fajtánként: 3.1 Amennyiben egy termékfajtához több fajta ERKE is használható: Jelentse M i az adott i termékből ERKE-kbe helyezendő mennyiséget! 1. feltétel: minden terméket el kell helyezni úgy, hogy homogén a rakományképzés és nem maradhat „üres” hely egy ERKE-n sem. r
aνxν ∑ ν =1
i
i
= Mi
2. feltétel az ERKE darabszám korlát: m
∑xν
≤ cν
i
i =1
3. feltétel a darabszámok egészértékűsége:
xiν =Integer! A célfüggvény: r
m
K = ∑∑ kiν aiν xiν = max! ν =1 i =1
A feladatban erős feltétel az első, ha nincs megoldás ezt a feltételt egy kevésbé szigorú feltétellel lehet helyettesíteni: r
aνxν ∑ ν i
=1
≥ Mi
i
3.2 Második esetben egy adott termékfajtához csak egyféle ERKE választható. Legyen a B mátrix az adott
⎛M
⎞
termék fajtánkénti átlagos mennyiséghez tartozó ERKE fajtaigény, azaz biν = Entier ⎜⎜ i + 0,5 ⎟⎟ ⎝ z iν ⎠ ahol z iν az ERKE-n elhelyezhető termék darabszám:
1 L ν L r 1 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ M ⎢ ⎥ B= ⎥ i ⎢ biν ⎢ ⎥ M ⎢ ⎥ ⎥⎦ m ⎢⎣
1.-2. feltétel: minden termékhez egy és csak egy ERKE választható: xiν = 1 , ha az i termékhez a ν ERKE-t választottuk, és xiν = 0 különben.
xi ∈ {0;1} r
xi = ∑ xiν = 1 ν =1
3. feltétel: ERKE fajta darabszám korlát: m
yν = ∑ xiν biν ≤ cν r
A célfüggvény:
i =1 m
K = ∑∑ k i biν xiν = max! ν =1 i =1
Ahol a súlytényező választható az átlagos mennyiségnek is: k i = M i . A kapott modell egy integer lineáris programozási feladat lesz. 4.
ERKE fajtánként vásárlási darabszám alsókorlát van: 1.-2. feltétel: minden termékhez egy és csak egy ERKE választható: xiν = 1 , ha az i termékhez a ν ERKE-t választottuk, és xiν = 0 különben.
xi ∈ {0;1} r
xi = ∑ xiν = 1 ν =1
3. feltétel: ERKE fajta darabszám korlát: m
yν = ∑ xiν biν ≥ dν i =1
r
m
K = ∑∑ kν biν xiν = min!
A célfüggvény:
ν =1 i =1
ahol kν : az ERKE költsége. A kapott modell egy integer lineáris programozási feladat lesz.
Oszlopsorrend vizsgálattal Legyen m > p. (Azaz az alkalmazható ERKE szám kisebb, mint a rendelkezésre állók száma.) Több célfüggvényt célszerű figyelembe venni. A célfüggvény-értékekből képezzük az A hatékonyság mátrixot:
{ }
1 L j L m 1 ⎡ ⎤ ⎥ ⎢ M ⎢ ⎥ A= ⎥ i ⎢ aij ⎥ ⎢ M ⎢ ⎥ ⎥⎦ n ⎢⎣
ahol aij = max f ijµ , darabszám az i-edik termék, j-edik ERKE és µ berakási mód mellett. A legkedvezőbb µ
ERKE megválasztást akkor érjük el, ha a hatékonysági mátrixból soronként megkeressük a maximális elemet: si = max aij . Ha minden áruhoz a leghatékonyabb eszközt választjuk, kapjuk a hatékonyság felső
{ }
j m
határértékét:
s0 = ∑ si . Optimális változatok könnyebb áttekintésére képezzük a „hatékonyság hiány” i =1
mátrixot:
bij = si − aij . a bij elemekből felépíthető B mátrix hatékonysági hiányt mutat:
1 L j L m 1 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ M ⎢ ⎥ B= ⎥ i ⎢ bij ⎢ ⎥ M ⎢ ⎥ ⎥⎦ n ⎢⎣ Redukáljuk a B mátrixot. Vesszük minden oszlop legkisebb eleme d j = min{bij } értéket. Ha a d j > 0 , akkor j
az oszlop elhagyható (mivel ezek az ERKE-k egyik termékre sem optimálisak), ha az értéke nulla akkor a j-edik oszlop marad (azaz legalább egy termékre optimális)
1 L j L k 1 ⎡ ⎤ ⎥ ⎢ M ⎢ ⎥;k ≤ m B′ = ⎥ ⎢ i bij ⎥ ⎢ M ⎢ ⎥ ⎥⎦ n ⎢⎣ ahol k a maradék oszlopok száma. Továbbá legyen p az alkalmazható ERKE maximális száma. Ha k ≤ p akkor a kapott ERKE szám megengedhető, az alkalmazott szám a k lesz. Ha n
k < p tovább kell csökkenteni az ERKE-k számát. Képezzük az eredeti B mátrix oszlopösszegeit:
c j = ∑ bij A i =1
kapott értékeket sorrendbe rendezzük és azt a p + δ oszlopot figyelembe véve, ahol δ -ra teljesül: c ′ − c p ′ < ε (ε megfelelően választott kis érték). c1′ ≤ c2 ′ ≤ L ≤ c p ′ ≤ c ′ ≤L≤ c ′ A fenti ( p +δ )
( p +1)
( p +δ )
sorrend alapján az A mátrix kiválasztott p + δ oszlopából képezzük a lehetséges p oszlop kombinációját (w). Legyen egy r-edik kombináció redukált A mátrixa:
1 ⎡ M ⎢⎢ A′(r ) = i ⎢ ⎢ M ⎢ n ⎢⎣
1 L
j L p
⎤ ⎥ ⎥ ;1 ≤ r ≤ w, r = 1,..., w ⎥ a ′(r )ij ⎥ ⎥ ⎥⎦ Képezzük az egyes sorok maximális értékét: si′( r ) = max{aij′ ( r )} Meghatározzuk az eredő hatékonyságát: j
n
s0′ (r ) = ∑ si′(r ) . Az összes lehetséges kombináció közül az a változat a legkedvezőbb, ahol a hatékonyság a i =1
legnagyobb: s0′′ = max{s0′ (1), s0′ (2 ),..., s0′ (r ),..., s0′ (w)} . A számítása igen hosszadalmas, ezért célszerű r
számítógéppel végeztetni az eljárást. 1. Példa: Válasszuk ki az 5 különféle áruhoz a rendelkezésre álló 5 különböző ERKE-ből a legmegfelelőbb 4 fajtáját! Megoldás: n = 5; m = 5; p = 4. A hatékonyság mátrix és sor maximumok:
5
7
3 4
9
2
8 6 6
A=
2 3 4 5 2 1 4⎤ 2 4 3 ⎥⎥ 5 5 7⎥ ⎥ 2 5⎥ 3 4 1 1 ⎥⎦ 9
1
1 ⎡5 ⎢4 ⎢ ⎢3 ⎢ ⎢2 ⎢⎣
9 9 8 6 7
⎡9 ⎤ ⎢9 ⎥ n ⎢ ⎥ az s vektor si = max{aij } sor maximuma: ⎢8 ⎥ és s0 = ∑ si = 9 + 9 + 8 + 6 + 7 = 39 . ⎢ ⎥ i =1 j ⎢6 ⎥ ⎢⎣7⎥⎦ Képezzük a hatékonysági hiány mátrixot: bij = si − aij 0
redukált B mátrix:
4 5 8 5⎤ 6 ⎥⎥ 3 1⎥ ⎥ 4 1⎥ 4 3 6 6⎥⎦ 0 0 3 0 3 0] . Tehát a 4. oszlop törölhető, mert pozitív. A 0 0 0
j
2 3 7 7 5 3 0
{ } azaz: [0
a d vektor elemei d j = min bij
0
1 2 B=3 4 5
1 ⎡4 ⎢5 ⎢ ⎢5 ⎢ ⎢4 ⎢⎣ 0 0 0
5
6 3 4 0
4
1 0 0 4
3
1 0 3 5
2
0 5 7 5
B′ =
5 7 0 4
1
1 2 3 4 5 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦
Mivel k = p megtaláltuk az optimális megoldást. Az egyes áruhoz választható ERKE:
Árufajta 1 2 3 4 5
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
ERKE 2 5 3 2−3 1
2. Példa: Oldjuk meg az előző példát p = 2 féle ERKE esetére!
5 8 7 0 4
1 2 3 4 5
⎤ ⎥ ⎥ c = [18, 14, 15, 27, 13] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦ c2 c3 c4
0 6 5 7 5
1 3 0 3 5
1 4 0 0 4
6 6 3 4 0
1 ⎡ 2 ⎢⎢ B= 3 ⎢ ⎢ 4 ⎢ 5 ⎢⎣
Rendezzük növekvő sorrendbe a vektor elemeit:
c1 c5 13 < 14 < 15 < 18 < 27
A p + δ értéket célszerű 3-ra felvinni, vagyis lehetséges az oszlop kombinációk az 5., 2., és 3. oszlopból:
2 5 3 5 2 3 2., 5. oszlop
3 5
2 3
3
⎡ 4⎤ 1 ⎡ ⎤ ⎢9 ⎥ ⎢4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ; s ′(1) = ⎢8 ⎥; A′(3) = 2 ⎢ ⎥ 3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 6 ⎢ ⎥ 4 ⎢ 5⎥ ⎢⎣4⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ 5 s 0′ (1) = 31
2 9 2 6 4 8 6 4
2., 3. oszlop
5
3., 5. oszlop
7
8 6 4
2 5 ⎡9 ⎤ 1 ⎡ 4⎤ ⎢9 ⎥ ⎢2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ; s ′(1) = ⎢7 ⎥; A′(2) = 2 ⎢5 ⎥ 3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 6 ⎢ ⎥ 4 ⎢ 5⎥ ⎢⎣3⎥⎦ ⎢⎣ 1⎥⎦ 5 s 0′ (1) = 34
9 9 7
6 3
1 2 A′(1) = 3 4 5
2 4 9
1.
⎡9 ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ 4⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ; s ′(3) = ⎢8⎥; ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢6 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣4⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ s 0′ (3) = 31
s0′′ = max{34,31,31} = 34 Ez alapján a 2. és 5. oszlopot választjuk mégpedig:
9 9 7
áru 2 1 ⎡ 2 ⎢⎢2 A′(1) = 3 ⎢5 ⎢ 4 ⎢ 5 ⎢⎣
6 3
5 4⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 5⎥ 1 ⎥⎦
ERKE ⇒ 2 ⇒
5
⇒
5
⇒
2
⇒
2
