Egy másik rugalmas megtámasztású tartóról Előző dolgozatunkban – melynek címe: Egy rugalmas megtámasztású tartóról – már hosszasan fejtegettük a rugalmas támasz deformációja és a támasz által kifejtett reakció felírásával kapcsolatos észrevételeinket. Most egy olyan feladat következik, az [ 1 ] munka alapján, ahol ezek a felvetések újra érdekessé válhatnak. A feladat Most tekintsük az 1. ábrát!
1. ábra – forrása: [ 1 ] Adott a kezdetben egyenes, L hosszúságú AB gerenda, amelyet a végein lineáris rugókkal támasztunk meg, a B végét pedig egy torziós rugóval is megfogjuk. A lineáris rugó állandói kA és kB , a torziós rugóé pedig kT. Utóbbi mértékegysége Nm / rad. A tartóra egy P teher működik, a bal oldali végétől a távolságra. Megha tározandó a gerenda A végének besüllyedése, ha elhanyagoljuk a gerenda önsúlyát. A megoldás Ehhez tekintsük a 2. ábrát is!
2. ábra – forrása: [ 1 ]
2
Itt a tartót már deformált állapotában látjuk. A rugalmas vonal felírásához szükség van a reakciók kifejezésére; ezek a rugók jellemző adatával az alábbi kapcsolatban vannak:
RA = − k A ⋅ y A , RB = − k B ⋅ yB , M B = kT θB .
(1)
Az előző dolgozatban mondottak szerint is itt magyarázatra van szükség, az ( 1 ) szerinti felírások indoklására. Először: az ilyen feladatokban gyakorta előjeles skalárokkal dolgozunk, kivéve az a, b, L és P adatokat, melyek itt nem - negatívak. Másodszor: ~ RA: az alkalmazott koordináta - rendszerben RA > 0, yA < 0, így kA > 0 miatt kell a negatív előjel; ~ RB: az alkalmazott koordináta - rendszerben RB > 0, yB < 0, így kB > 0 miatt kell a negatív előjel; ~ MB: a 2. ábrán külön is kiírták, hogy a gerenda rugalmas vonala B pontbeli érintő jének hajlása pozitív, hiszen az itteni érintő a + x tengellyel pozitív szöget zár be; továbbá az MB befogási nyomaték előjele / forgatási értelme az ábra szerinti, nagysá ga pedig pozitív szám, így MB > 0 , θB > 0 , kT > 0 miatt nem kell a negatív előjel. Harmadszor: mire ide eljutottunk, nagyjából tisztázódott, hogy a 2. ábra szerinti koordináta - rendszerben igazából csak a behajlások, valamint – a rögtön ezután felírandó – egyensúlyi egyenletekben szereplő, a pozitívnak felvett értelemmel ellen tétes értelmű bizonyos tagok lesznek negatívak. Az egyensúlyi egyenletek:
∑F = 0→ R + R − P = 0 , ∑ M = 0 → M + R ⋅ L − P ⋅b = 0 . y
A
B
B
B
A
(2) (3)
Most ( 2 ) - ből:
RB = P − RA ; majd ( 1 / 1 ), ( 1 / 2 ) és ( 4 ) – gyel:
−k B ⋅ yB = P − ( − k A ⋅ y A ) , −k B ⋅ yB = P + k A ⋅ y A ,
innen:
(4)
3
yB = −
P + k A ⋅ yA . kB
(5)
Ez nem egyezik [ 1 ] - beli megfelelőjével. Majd ( 3 ) - ból:
M B = P ⋅ b − RA ⋅ L ,
(6)
ezután pedig ( 1 / 2), ( 1 / 3 ) és ( 6 ) - tal:
M B = P ⋅ b − RA ⋅ L ,
kT θ B = P ⋅ b − ( −k A ⋅ y A ) ⋅ L , kT θ B = P ⋅ b + k A ⋅ y A ⋅ L , innen:
θB =
k A ⋅ yA ⋅ L + P ⋅ b . kT
(7)
A továbbiakban ki kell számítanunk az yA , yB , θB mennyiségeket a rugalmas szál egyenletéből. A rugalmas szál differenciálegyenlete, az alkalmazott koordináta rendszerben érvényes előjelszabállyal: EI ⋅ y ''( x) = M ( x) . (8) A hajlítónyomaték kifejezése, alkalmazva a szingularitás - függvényes felírást, ahogyan az [ 1 ] - ben megjelenik:
M ( x ) = RA ⋅ x − P ⋅ x − a ;
(9)
majd ( 8 ) és ( 9 ) - cel:
EI ⋅ y ''( x) = RA ⋅ x − P ⋅ x − a ;
( 10 )
egyszer integrálva x szerint:
EI ⋅ y '( x) =
RA P 2 2 ⋅ x − ⋅ x − a + C1 , 2 2
( 11 )
majd még egyszer integrálva:
EI ⋅ y ( x) =
RA P 3 3 ⋅ x − ⋅ x − a + C1 ⋅ x + C2 . 6 6
( 12 )
4
A feladat peremfeltételei az alábbiak:
x = 0 → y (0) = y A , x = L → y ( L) = yB , x = L → y '( L) = θ B .
( 13 )
Most ( 12 ) és ( 13 / 1 ) - gyel:
C2 = EI ⋅ y A .
( 14 )
Majd ( 12 ), ( 13 / 2 ) és ( 14 ) - gyel:
EI ⋅ yB =
RA 3 P 3 ⋅ L − ⋅ ( L − a ) + C1 ⋅ L + EI ⋅ y A , 6 6
innen átalakításokkal: y − y A RA 2 P 3 EI ⋅ B = ⋅L − ⋅ ( L − a ) + C1 , L 6 6⋅ L és L – a = b - vel is:
yB − y A RA ⋅ L2 P ⋅ b3 − + C1 = EI ⋅ . L 6 6⋅ L
( 15 )
Ezután ( 11 ) és ( 13 / 3 ) - mal:
EI ⋅ θ B =
RA 2 P 2 ⋅ L − ⋅ ( L − a ) + C1 , 2 2
( 16 )
majd ( 15 ) és ( 16 ) - tal:
RA 2 P 2 yB − y A RA ⋅ L2 P ⋅ b3 EI ⋅ θ B = ⋅ L − ⋅ b + EI ⋅ − + = 2 2 L 6 6⋅ L 2 RA ⋅ L yB − y A P 2 P ⋅ b 3 = + EI ⋅ − ⋅b + , 3 L 2 6⋅ L innen:
RA ⋅ L yB − y A P 2 P ⋅ b3 EI ⋅ θ B − − EI ⋅ = − ⋅b + . 3 L 2 6⋅ L 2
Most ( 17 ) harmadik tagjához, ( 5 ) - tel is:
( 17 )
5
P + kA ⋅ yA P k − yA = − − A ⋅ yA − yA = kB kB kB
yB − y A = − =−
k P − y A ⋅ 1 + A , kB kB
tehát:
yB − y A = −
k P − y A ⋅ 1 + A . kB kB
(18 )
Majd ( 1 / 1 ), ( 7 ), ( 17 ) és ( 18 ) - cal: 2 k A k A ⋅ y A ⋅ L + P ⋅ b −k A ⋅ y A ⋅ L EI P P 2 P ⋅ b3 EI ⋅ − − ⋅ − − y A ⋅ 1 + = − ⋅ b + ; kT L kB k L 3 2 6 ⋅ B 2 k ⋅L k ⋅L EI k P ⋅ b EI P P 2 P ⋅ b3 y A ⋅ EI ⋅ A + y A ⋅ A + y A ⋅ ⋅ 1 + A = − EI ⋅ − ⋅ − ⋅b + ; kT 3 L kB kT L kB 2 6⋅ L 2 kA ⋅ L kA ⋅ L EI y A ⋅ EI ⋅ + + kT 3 L
k A P ⋅ b EI P P 2 P ⋅ b3 ⋅ 1 + = − EI ⋅ − ⋅ − ⋅b + ; k k L k 2 6 ⋅ L B T B
amiből:
P ⋅ b EI P P 2 P ⋅ b3 − EI ⋅ − ⋅ − ⋅b + kT L kB 2 6⋅ L yA = , 2 kA ⋅ L kA ⋅ L EI k A EI ⋅ + + ⋅ 1 + kT 3 L kB vagy
EI P P ⋅ b P 2 P ⋅ b3 ⋅ + EI ⋅ + ⋅b − L kB kT 2 6⋅ L yA = − . 2 k ⋅L k ⋅L k EI + ⋅ 1 + A EI ⋅ A + A kT 3 L kB A ( 19 ) szerinti eredményünk nem egyezik az [ 1 ] - ben találhatóval.
( 19 )
6
Megjegyzések: M1. Ezt a feladatot azért „vettük át” [ 1 ] - ből, mert „mifelénk” viszonylag ritkán találunk rugókkal megtámasztott tartó - feladatokat, melyeken az ( 1 ) - hez hasonló összefüggéseket tanulmányozhatjuk. M2. Ha a támaszok rugalmasságát valamely csatlakozó szerkezet biztosítja, akkor el lehet képzelni, hogy a ( 19 ) képlet reális megfelelője milyen bonyolult – és mennyire könnyen eltéveszthető – lesz. M3. Egy pillanatra gondoljunk bele, hogy mire jutnánk, ha a rugók karakterisztikája nem lenne lineáris! M4. Mifelénk a szingularitás - függvények / egységfüggvények alkalmazása sem olyan nagyon elterjedt. Természetesen ugyanarra a végeredményre jutunk akkor is, ha a számítást a hagyományos módon, a tartót két részre bontva végezzük. M5. Az ( 5 ) képlet felírásában elkövetett hiba végigvonult [ 1 ] számításán, így a végeredménye emiatt is hibás lett; emellett még egyéb „sajtóhibák” is becsúsztak. Ez annál is cifrább dolog, mert ~ a megoldás során [ 1 ] - ben – a hosszadalmasságra hivatkozva – megspórolták a számítások részletes végig vitelét, ami talán előbb kihozott volna pár hibát; ~ könyvei előlapján a Schaum úgy reklámozza magát, hogy több mint 30 millió eladott példányról van szó. Persze, néha megesik az ilyesmi. Ez szomorú, de talán nem veszi el az Olvasó kedvét attól, hogy hasonlóan szép fela datok megoldására adja a fejét. Amilyeneket pl. [ 1 ] - ben is találhat.
Irodalom: [ 1 ] – William A. Nash: Theory and Problems of Statics and Mechanics of Materials Schaum’s Outlines Series, McGraw - Hill, New York, 1992. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2013. május 15.
