Kartográfia
Térképészet előadás
(GBN309E)
(GBN317E)
3. Vetülettan (3/3-5.)
Unger János
[email protected] www.sci.u-szeged.hu/eghajlattan SZTE Éghajlattani és Tájföldrajzi Tanszék
vetületeknél használt jelölések
x = első derékszögű koordináta a képfelületen y = második derékszögű koordináta a képfelületen u = (segéd)földrajzi (segéd)földrajzi szélesség pótszöge (pólustávolság (pólustávolság)) v = (segéd)földrajzi (segéd)földrajzi hosszúság szöge R = (Föld)gömb (Föld)gömb sugara m = méretarányszám n = sugárhajlás
bemutatás
poláris helyzetben
1
3/3. Valódi síkvetületek képfelület
sík
alapfelület
gömb
ált. jellemzők
- a vetületi kezdőponton (érintési pont) átmenő legnagyobb gömbi körök képei egymással azonos szöget bezáró sugársort alkotnak, szögtorzulást nincs azimutálisság - a vetületi kezdőponttól egyenlő távolságra lévő pontok képei is egyenlő távolságra fekszenek a vetületi kezdőponttól (poláris elhelyezésnél a paralelkörök képei koncentrikus körök) zenitálisság
koordinátakoordináta-rendszer a képfelületen koordináták: koordináták:
alapfelületen
A(φ A(φ, λ) λ)
képfelületen
A’(x A’(x, y)
- x tengely a kezdőmeridián képe - y tengely rá merőleges és tartalmazza az északi pólust (P) A(u u = 90°− A(u, v) 90°−φ, v = λ
x és y derékszögű koordináták kiszámítása az alapfelületi u és v koordinátákból: k az érintési pont (pólus = P) és az A' távolsága a képfelület síkjában fekvő PA'A" derékszögű háromszögben x értéke k·cosv ·cosv y értéke k·sinv ·sinv vetületi egyenletek általános alakja: alakja: x = k·cos k·cosvv y = k·sin k·sinvv Az alapfelü alapfelületi és képfelü pfelületi koordiná koordináták kapcsolata a való valódi síkvetü kvetületekné leteknél
2
1. Centrális síkvetület vetítési középpont
származtatás
(Föld)gömb középpontja
PA' = k POA' derékszögű háromszögben: k/(R /(R/m) = tgu tgu egyenletei
k = (R (R/m)·tgu )·tgu x = (R cosvv (R/m)·tgu· )·tgu·cos y = (R sinvv (R/m)·tgu· )·tgu·sin
torzulása
általános
fokhálózata
sajátossága
tört.
- ortodrómákat egyenesekre képezi le - sarkoktól az egyenlítő felé a hossztorzulás rohamosan nő
Thálész (i.e. 6. sz.) csillagtérképekhez alkalmazta
2. Ortografikus síkvetület származtatás
vetítési középpont
∞-ben
ANO derékszögű háromszögben: k/(R /(R/m) = sinu sinu
k = (R (R/m)·sinu )·sinu
egyenletei
x = (R (R/m)·sinu )·sinu·cosv ·cosv y = (R (R/m)·sinu )·sinu·sinv ·sinv
torzulása
általános
fokhálózata
sajátossága tört.
- a Föld perspektivikus (űrhajós) képét adja
- Apollóniusz (i.e. 3. sz.) az egyenlítői helyzetű vetületet csillagászati számítászámításoknál alkalmazta - földfelszín ábrázolása (16. sz.) (poláris, egyenlítői helyzet)
3
3. Sztereografikus síkvetület vetítési középpont
származtatás
vetítési kezdőpont átellenes pontja
DPA' derékszögű háromszögben: k/2(R /2(R/m) = tg(u tg(u/2)
k = 2(R 2(R/m)·tg(u )·tg(u/2)
egyenletei
x = 2(R 2(R/m)·tg(u )·tg(u/2)·cosv /2)·cosv y = 2(R 2(R/m)·tg(u )·tg(u/2)·sinv /2)·sinv
torzulása
szögtartó
fokhálózata
tört.
-Hipparkhosz (i.e. 2. sz.) poláris formában az égbolt ábrázolására -Theon (4. sz.) ferdetengelyű változatban az égbolt ábrázolására - Gemma Frisius (1540 körül) földi vetületként használta - igen gyakori
4. PostelPostel-féle síkvetület meridiánok hossztartóak legyenek
származtatás
PA ívhossz = PA'
k = (R (R/m)·u )·u
egyenletei
x = (R (R/m)·u )·u·cosv ·cosv y = (R (R/m)·u )·u·sinv ·sinv
torzulása
általános
fokhálózata
sajátossága
- (segéd)meridiánok mentén hossztartó - ált. félgömb ábrázolására használják
tört.
- egyiptomiak (poláris változat, csillagtérkép) - Mercator Mercator (1569) földi ábrázolás - Postel (1581)
4
5. LambertLambert-féle síkvetület PA húr = PA' legyen
származtatás
DAP derékszögű háromszögben: k/2(R/m /2(R/m)) = sin(u sin(u/2)
k = 2(R/m )·sin(u u/2) 2(R/m)·sin(
egyenletei
x = 2(R/m )·sin(u u/2)·cosv 2(R/m)·sin( /2)·cosv y = 2(R/m )·sin(u u/2)·sinv 2(R/m)·sin( /2)·sinv
torzulása
területtartó
fokhálózata
sajátossága
tört.
a területtartó vetületek közül a szögszögtorz. szempontjából a legkedvezőbb
Lambert (1772) poláris és egyenlítői változat
3/4. Valódi hengervetületek képfelület
hengerpalást
alapfelület
gömb
ált. jellemzők
- (segéd)meridiánok képei egymással párhuzamos egyenesek - (segéd)paralelkörök képei egymással párhuzamos egyenesek - (segéd)meridiánok és a (segéd)paralelkörök (segéd)paralelkörök képei ┴ -en metszik egymást - érintő hengernél az érintési legnagyobb gömbi kör (pl. egyenlítő), metsző hengernél a két metsző kör (pl. paralelkör) mentén hossztartó a vetítés
koordinátakoordináta-rendszer a képfelületen - x tengely az egyenlítő (vagy egy tetszőleges paralelkör) képe - y tengely a kezdő (vagy más) meridián képe vetületi egyenletek ált. alakja x = (R (R/m)·v y = f2(u)
5
1. Négyzetes hengervetület henger− henger−gömb érintés
a leképezés az egyenlítő mentén hossztartó származtatás
meridiánok hossztartóak legyenek EA' = (R (R/m)·(π )·(π/2/2-u)
EA ívhossz = EA' egyenletei
x = (R (R/m)·v )·v y = (R (R/m)·(π )·(π/2/2-u)
torzulása
általános
fokhálózata
sajátossága - fokhálózata négyzetrács alakú - gyakran használt vetület tört.
Eratosztenész (i.e. 3. sz.)
2. LambertLambert-féle hengervetület henger− henger−gömb érintés
a leképezés az egyenlítő mentén hossztartó származtatás TA/( R/m) = cosu TA/(R cosu
EA' = TA
ATO háromszögben:
TA = (R (R/m)·cosu )·cosu
egyenletei
x = (R (R/m)·v )·v y = (R/m)·cosu
torzulása
területtartó
fokhálózata
sajátossága tört.
egyenlítőtől távolodva erős torzulások, ritkán használják
Lambert (1772)
6
3. MercatorMercator-féle hengervetület henger− a leképezés az egyenlítő mentén hossztartó henger−gömb érintés EA‘ képlettel van megadva: származtatás EA' = (R (R/m)·lnctg(u )·lnctg(u/2) = (R (R/m)·2,3025·lgctg(u )·2,3025·lgctg(u/2) egyenletei
x = (R (R/m)·v )·v y = (R (R/m)·2,3025·lgctg(u )·2,3025·lgctg(u/2)
torzulása szögtartó fokhálózata sajátossága - loxodrómák egyenesekre képződnek le - navigációs célokra gyakorta használt - pólus képe a ∞-ben, ben, ezért poláris helyzetben csak a 00-60° szélességek között használható eredményesen - ferde tengelyű változatát gyakran alkalmazzák a geodéziában nagyméretarányú nagyméretarányú térképek vetületéül - Etzlaub 15111511-ben egy kis térképen használt hasonlót tört. - Mercator (1569) poláris helyzetben. Vetületét csak grafikusan adta meg, a matematikai részt Wright (1599) publikálta
3/5. Valódi kúpvetületek képfelület
kúppalást
alapfelület
gömb
ált. jellemzők
- (segéd)meridiánok képei egyenes vonalak, melyek egy pontban metszik egymást (ez nem mindig a pólus képe) - (segéd)meridiánok képei a vetületen mindig kisebb szöget zárnak be egymással, mint a valóságban eredeti (v (v) és a kapott szög (v' (v')) aránya sugárhajlás
n = v'/ v'/v (v'= n·v)
0
- (segéd)paralelkörök képei koncentrikus körívek - (segéd)meridiánok és a (segéd)paralelkörök (segéd)paralelkörök képei ┴ -ek egymásra - érintő kúpnál az érintési (segéd)paralelkör (segéd)paralelkör,, metsző kúpnál a két metszési (segéd)paralelkör (segéd)paralelkör mentén hossztartó a vetítés - pólus képe pont vagy körív póluspontos és pólusvonalas kúpvetület Póluspontos és pólusvonalas való valódi kúpvetü pvetület
7
koordinátakoordináta-rendszer a képfelületen
- x tengely a kezdőmeridián képe - y tengely rá merőleges és tartalmazza a kúp csúcsát (P (P)
x és y derékszögű koordináták kiszámítása az alapfelületi u és v koordinátákból: p a kúp P csúcspontja és az A' távolsága a képfelület síkjában fekvő PA'A" derékszögű háromszögben: háromszögben
x értéke p·cos(n ·cos(n·v) y értéke p·sin(n ·sin(n·v)
vetületi egyenletek általános alakja: x = p·cos(n ·cos(n·v) y = p·sin(n ·sin(n·v)
Az alapfelü alapfelületi és képfelü pfelületi koordiná koordináták kapcsolata a való valódi kúpvetü pvetületekné leteknél
1. Meridiánban hossztartó kúpvetület kúp− kúp−gömb érintés
a leképezés az érintő p.kör mentén hossztartó meridiánok hossztartóak legyenek
származtatás EA ívhossz = EA'
AE ívdarab hossza = (R (R/m)·(z )·(z-u)
OPE derékszögű háromszögben: PE/( R/m) = tgz PE/(R tgz
PE = (R (R/m)·tgz )·tgz
p = PA' = PEPE-A'E = (R (R/m)·tgz )·tgz-(R/m)·(z )·(z-u) = (R (R/m)·(tgz )·(tgz+u-z) egyenletei torzulása
x = (R (R/m)·(tgz )·(tgz+u-z)·cos(n )·cos(n·v) y = (R (R/m)·(tgz )·(tgz+u-z)·sin(n )·sin(n·v)
(n = cosz cosz)
általános
fokhálózata sajátossága
tört.
- pólus képe pólusvonal - meridiánjai és az érintő paralelkör mentén hossztartó - kis országok bemutatására alkalmazzák atlaszokban, ritkán Ptolemaiosz (~ 150)
8
csak GBN317E !!!!!
2. LambertLambert-féle területtartó kúpvetület kúp− kúp−gömb lebegés származtatás
A-hoz tartozó gömbsüveg felszíne (T (T1) = = A'A'-höz tartozó körcikk területével (T (T2)
ki kell számolni a p = PA' távolságot: T1 = 2π 2π·(R ·(R/m)2·(1·(1-cosu cosu) p=
T1 = T2
T2 = n·p2·π 0,5 2 (R/m)·(1)·(1-cosu cosu)0,5/n0,5
(cosu cosu = cos2(u/2)/2)-sin2(u/2)) p = 2(R 2(R/m)·sin(u )·sin(u/2)/n /2)/n0,5 egyenletei
x = 2(R )/n n0,5 2(R/m)·sin(u )·sin(u/2)·cos(nv /2)·cos(nv)/ y = 2(R )/n n0,5 2(R/m)·sin(u )·sin(u/2)·sin(nv /2)·sin(nv)/
torzulása
területtartó
n = cos2(z/2)
fokhálózata
sajátossága
tört.
a z pólustávolságú paralelkör mentén hossztartó
Lambert (1772)
9
