1
Varianta A
Pˇ r.1. Zlomek √ a) 2,
√√ 3
√ 2· 2 √ 3 2 2 √
b)
3
je roven ˇc´ıslu: √ 2, c) 6 2,
d) 1,
e) ˇz´adn´a z pˇredchoz´ıch odpovˇed´ı nen´ı spr´avn´a.
ˇ sen´ı: Odmocninu lze vˇzdy vyj´adˇrit jako mocninu se zlomkov´ Reˇ ym exponentem. A pro pr´aci s mocninami jiˇz m´ame jednoduch´ a pravidla. V´ ypoˇcet: p√ √ 1 1 1 1 1 3 1 2 1 2· 2 (2 3 ) 2 · 2 2 26 · 22 √ = = = 2 6 + 2 − 3 = 20 = 1 1 2 3 2 2 3 3 (2 ) 2 2 Pˇri v´ ypoˇctu jsme uˇzili n´asleduj´ıc´ıch pravidel (plat´ı samozˇrejmˇe obˇema smˇery, nejen zleva doprava!): √ n
1
x = xn
(xn )m = xn·m x−n =
1 xn
√ √ √ 4 4 Pˇ r.2. V´ yraz log2 2 − log2 23 + log2 25 je roven ˇc´ıslu: e) ˇz´adn´a z pˇredchoz´ıch odpovˇed´ı nen´ı spr´avn´a. a) 0, b) 1, c) −1, d) 12 , ˇ sen´ı: Odmocniny vyj´adˇr´ıme ve tvaru mocnin. Pak uˇzijeme vztahy pro logaritmus mocniny. V´ Reˇ ypoˇcet: log2
√
2 − log2
√ 4
23 + log2
√ 4
1
3
5
25 = log2 2 2 − log2 2 4 + log2 2 4 =
1 3 5 − + =1 2 4 4
Pˇri v´ ypoˇctu jsme uˇzili jen definice logaritmu: loga x = y ⇔ x = ay , ze kter´e plyne
loga ay = y.
Pˇ r.3. Vˇsechna re´aln´a ˇreˇsen´ı rovnice ( 12 )x−1 = 4 n´aleˇz´ı intervalu: a) (−4, −3), b) h−3, −1), c) h−1, 2), d) h2, 4), spr´avn´a.
e) ˇz´adn´a z pˇredchoz´ıch odpovˇed´ı nen´ı
ˇ sen´ı: Pˇrevedeme obˇe strany na spoleˇcn´ Reˇ y z´aklad: µ ¶x−1 µ ¶−2 1 1 2 =4=2 = 2 2 Jelikoˇz je exponenci´aln´ı funkce prost´a, mus´ı platit rovnost argument˚ u: x−1 = x =
5
−2 −1
ˇ ıslo log4 32 je rovno ˇc´ıslu: Pˇ r.4. C´ b) 52 , c) 25 , a) 32 ,
d) 23 ,
e) ˇz´adn´a z pˇredchoz´ıch odpovˇed´ı nen´ı spr´avn´a.
ˇ sen´ı: Z definice logaritmu v´ıme, ˇze log4 32 = x je ekvivalentn´ı s 4x = 32. Dost´av´ame tedy expoReˇ nenci´aln´ı rovnici, kterou vyˇreˇs´ıme pˇreveden´ım na spoleˇcn´ y z´aklad : 4x (22 )x 22x
= = =
25 25 25
2x =
5 5 2
x =
ˇ y ˇclen an = 6n+5 Pˇ r.5. V aritmetick´e posloupnosti je d´an n-t´ 7 . Clen an+1 je: 6n+8 6n+9 a) an+1 = 7 , b) an+1 = 7 , c) an+1 = 6n+10 , d) an+1 = 7 pˇredchoz´ıch odpovˇed´ı nen´ı spr´avn´a.
6n+11 , 7
e) ˇz´adn´a z
ˇ sen´ı: Zad´an´ım je urˇcen obecn´ Reˇ y pˇredpis (jak spoˇc´ıst libovoln´ y ˇclen). Staˇc´ı tedy dosadit n+1 za n do tohoto pˇredpisu: 6(n + 1) + 5 6n + 11 an+1 = = 7 7 ˇ ıslo [sin 25π − cos 13π ] se rovn´a ˇc´ıslu: Pˇ r.6. C´ 6 3 √ √ √ 3 a) 3−1 , b) , c) 12 , d) 3+1 2 2 2 ,
e) ˇz´adn´a z pˇredchoz´ıch odpovˇed´ı nen´ı spr´avn´a.
ˇ sen´ı: Funkce sinus i cosinus jsou periodick´e s periodou 2π, a tedy se jejich hodnota pˇri odeˇcten´ı Reˇ libovoln´eho n´asobku 2π v argumentu nezmˇen´ı: ¶ µ ¶ 25π 13π π π 1 1 − 4π − cos − 4π = sin − cos = − = 0 6 3 6 3 2 2 p Pˇ r.7. Maxim´aln´ım definiˇcn´ım oborem funkce f (x) = 1 − log4 x je mnoˇzina: a) h1, 4), b) h1, 4i, c) (0, 4i, d) (0, 4), e) ˇz´adn´a z pˇredchoz´ıch odpovˇed´ı nen´ı spr´avn´a. 25π 13π sin − cos = sin 6 3
µ
ˇ sen´ı: Pˇri urˇcov´an´ı definiˇcn´ıho oboru zamˇeˇr´ıme pozornost na ”kritick´e operace”. Ve funkˇcn´ım v´ Reˇ yrazu se objevuj´ı dvˇe: odmocˇ nov´an´ı (argument mus´ı b´ yt nez´aporn´ y, aby byla druh´a odmocnina definovan´a) a logaritmus (argument mus´ı b´ yt kladn´ y). Dost´av´ap me tedy pr´avˇe dvˇe podm´ınky, kter´e jsou nutn´e a postaˇcuj´ıc´ı pro to, aby byla hodnota funkce f (x) = 1 − log4 x definov´ana: • Kv˚ uli odmocninˇe: 1 − log4 x ≥ 0 , tedy x ≤ 4 • Kv˚ uli logaritmu: x > 0 Definiˇcn´ı obor je tedy pr˚ unikem mnoˇzin dan´ ych v´ yˇse uveden´ ymi podm´ınkami: D(f ) = (−∞, 4i ∩ (0, ∞) = (0, 4i Pˇ r.8. Vˇsechna re´aln´a ˇreˇsen´ı rovnice 2x+1 + 2x − 3 = 0 n´aleˇz´ı intervalu: a) h−4, −2), b) h−2, 0), c) h0, 2), d) h2, 4), e) ˇz´adn´a z pˇredchoz´ıch odpovˇed´ı nen´ı spr´avn´a. ˇ sen´ı: V rovnici se narozd´ıl od pˇr´ıkladu 3. vyskytuj´ı dva r˚ Reˇ uzn´e ˇcleny obsahuj´ıc´ı nezn´amou x. Tyto tedy zkus´ıme nejdˇr´ıve sjednotit, a pot´e jiˇz pˇrevedeme mocninn´e v´ yrazy na spoleˇcn´e z´aklady jako ve jmenovan´em pˇr´ıkladˇe: 2x+1 + 2x − 3 = 2 · 2x + 2x − 3 = 3 · 2x − 3 = 3 · (2x − 1) = 0, odtud 6
2x x
= 1 = 20 = 0
Pozn´amka: Pokud se nedaˇr´ı aplikovat uveden´ y postup, m˚ uˇze j´ıt o pˇr´ıklad analogick´ y typov´emu pˇr´ıkladu 13 ve variantˇe B, viz n´ıˇze. Pˇ r.9. Poˇcet vˇsech koˇren˚ u rovnice sin(x + π6 ) = π2 v intervalu (0, 2πi je roven ˇc´ıslu: a) 1, b) 2, c) 3, d) 4, e) ˇz´adn´a z pˇredchoz´ıch odpovˇed´ı nen´ı spr´avn´a. ˇ sen´ı: Tento pˇr´ıklad je n´astraha neboli chyt´ak. Obor hodnot funkce sinus je h−1, 1i. Proto nem˚ Reˇ uˇze . sinus ˇ z´ adn´ eho argumentu nab´ yt hodnoty π2 = 1, 67. Neexistuje tedy ˇz´adn´e x vyhovuj´ıc´ı dan´e rovnici. Pˇ r.10. Absolutn´ı hodnota (resp. velikost) komplexn´ıho ˇc´ısla z = (1 + 2i)(3 − 2i) je re´aln´e ˇc´ıslo, kter´e je prvkem intervalu: a) h0, 4), b) h4, 8), c) h8, 12), d) h12, 16), e) ˇz´adn´a z pˇredchoz´ıch odpovˇed´ı nen´ı spr´avn´a. √ ˇ sen´ı: Velikost komplexn´ıho ˇc´ısla je urˇcena jako | (a + bi) |= a2 + b2 . Uprav´ıme tedy zadan´ Reˇ y souˇcin do z´akladn´ıho tvaru a pak jen spoˇcteme odmocninu ze souˇctu ˇctverc˚ u. p √ √ . |(1 + 2i)(3 − 2i)| = |3 − 2i + 6i − 4i2 | = |7 − 4i| = 72 + 42 = 49 + 16 = 65 = 8.1 Nezapomeˇ nme, ˇze i2 = −1! Pˇ r.11. Poˇcet vˇsech re´aln´ ych ˇreˇsen´ı goniometrick´e rovnice 2 cos2 x = cos x v intervalu h0, 2πi je roven ˇc´ıslu: a) 1, b) 2, c) 3, d) 4, e) ˇz´adn´a z pˇredchoz´ıch odpovˇed´ı nen´ı spr´avn´a. ˇ sen´ı: Zavedeme-li substituci cos x = y, budeme nejprve ˇreˇsit kvadratickou rovnici pro nezn´amou y a Reˇ pot´e dopoˇc´ıt´ame odpov´ıdaj´ıc´ı x: 2y 2 2y 2 − y 2y(y − 1) ˇy bud nebo y
= y = 0 = 0, odtud = 1 a pak: cos x = 1 ⇒ x ∈ {0, 2π}, ½ ¾ π 3 = 0 a pak: cos x = 0 ⇒ x ∈ , π 2 2
Celkem jsme tedy nalezli ˇctyˇri ˇreˇsen´ı v intervalu h0, 2πi. Pozn´amka: Kdyby byl v zad´an´ı interval (0, 2π), byla by v tomto intervalu jen dvˇe ˇreˇsen´ı! Pozn´amka: princip substituce tu spoˇc´ıv´ a v tom, ˇze se nejprve dop´atr´ame, ˇcemu se mus´ı rovnat (cos x) jako celek, aby rovnice platila, pˇriˇcemˇz nehled´ıme na vnitˇrn´ı strukturu substituovan´eho v´ yrazu. Teprve ve druh´em kroku se zaj´ım´ ame o samotnou promˇennou x, v t´e chv´ıli jiˇz o nˇem ovˇsem m´ame k dispozici informace v jasnˇejˇs´ı formˇe, totiˇz zn´ame hodnotu v´ yrazu cos x. Z n´ı nen´ı tˇeˇzk´e hodnotu x zjistit. log 1 x
Pˇ r.12. Vˇsechna re´aln´a ˇreˇsen´ı rovnice 2 2 = a) (3, 5), b) (1, 3), c) (−1, 1), spr´avn´a.
1 4
n´aleˇz´ı intervalu: d) (−3, −1),
7
e) ˇz´adn´a z pˇredchoz´ıch odpovˇed´ı nen´ı
ˇ sen´ı: Zavedeme-li substituci log 1 x = y, budeme nejprve ˇreˇsit jednoduchou exponenci´aln´ı rovnici Reˇ 2 pro nezn´amou y a pot´e dopoˇc´ıt´ame odpov´ıdaj´ıc´ı x: 2y
=
y = log 21 x = x =
1 = 2−2 4 −2, dosad´ıme do substituce −2 µ ¶−2 1 =4 2
Pˇ r.13. Uvaˇzujme re´alnou funkci f jedn´e re´aln´e promˇenn´e definovanou pˇredpisem f (x) = x2 − 3x. Mnoˇzina vˇsech re´aln´ ych ˇc´ısel a, pro kter´a plat´ı f (a) − f (a − 2) < 10, je rovna mnoˇzinˇe: a) (−∞, 5), b) (5, ∞), nen´ı spr´avn´a.
c) (−5, ∞),
d) (−∞, −5),
e) ˇz´adn´a z pˇredchoz´ıch odpovˇed´ı
ˇ sen´ı: Nenech´ame se zm´ast ˇsroubovanost´ı zad´an´ı a stateˇcnˇe dosad´ıme za x v jednom pˇr´ıpadˇe a a v Reˇ druh´em a − 2. Hrubou silou vypoˇc´ıt´ame: f (a) − f (a − 2) = [a2 − 3a] − [(a − 2)2 − 3(a − 2)] = a2 − 3a − [a2 − 4a + 4 − 3a + 6] = 4a − 10. D´ale zb´ yv´a jen doˇreˇsit snadnou nerovnici: 4a − 10 < 4a < a <
10 20 5
Pˇ r.14. Goniometrick´ y (resp. pol´arn´ı) tvar komplexn´ıho ˇc´ısla z = √ 2 π π 2 (cos 4 + i sin 4 ), √ 2 3π (cos 3π 4 + i sin 4 ), √2 2 5π 5π 2 (cos 4 + i sin 4 ), √ 2 7π 7π 2 (cos 4 + i sin 4 ),
4−3i 7+i
lze napsat takto:
a) z = b) z = c) z = d) z = e) ˇz´adn´a z pˇredchoz´ıch odpovˇed´ı nen´ı spr´avn´a. ˇ sen´ı: Naˇs´ım u Reˇ ´kolem je tedy upravit zadan´e ˇc´ıslo do tvaru z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ). Nejprve tedy spoˇcteme velikost z, tj. |z|, pak ji vytkneme z ˇc´ısla z a nakonec najdeme vhodn´ y ”argument komplexn´ıho ˇc´ısla”, tj. ϕ. Abychom ovˇsem mohli spoˇc´ıst velikost pˇredhozen´eho komplexn´ıho ˇc´ısla (je ve tvaru zlomku), mus´ıme uˇz´ıt fintu s rozˇs´ıˇren´ım zlomku v´ yrazem komplexnˇe sdruˇzen´ ym ke jmenovateli. Sledujte: ¯ ¯ ¯1 − i¯ 1 − i 4 − 3i 7 − i 28 − 4i − 21i + 3i2 25 − 25i 1−i 4 − 3i ¯ ¯ = = = = = vytkneme velikost = z= ¯ 2 ¯ 2 ¯¯ 1−i ¯¯ . 7+i 7+i 7−i 49 − i2 50 2 2 Spoˇcteme:
√ ¯ ¯ ¯ ¯ sµ ¶2 µ ¶2 ¯1 − i¯ ¯1 ¯ 1 1 1 2 ¯ ¯=¯ −i ¯= . + = ¯ 2 ¯ ¯2 2¯ 2 2 2 8
Dosad´ıme do minul´e rovnice: √ √ ¯ ¯ 4 − 3i ¯¯ 1 − i ¯¯ 1 − i 21−i 2 ¯ 1−i ¯ = √ z= =¯ = ³√ √ ´ ¯ ¯ ¯ 2 2 7+i 2 2 2 2 2 2 2 − i 22 2 Zb´ yv´a zjistit, pro jak´e ϕ je
√
2 cos ϕ = , 2 Je moˇzn´e postupovat napˇr´ıklad takto: m´a b´ yt
√ sin ϕ = −
2 . 2
√
− 2 sin ϕ tan ϕ = = √ 2 = −1, 2 cos ϕ 2
odtud
π ϕ=− . 4
Dost´av´ame tedy: √ µ ¶ √ µ ¶ 4 − 3i −π −π 7π 7π 2 2 z= = cos + i sin = cos + i sin . 7+i 2 4 4 2 4 4
x Pˇ r.15. Uvaˇzujme exponenci´aln´ı funkci f (x) = ( m−1 aln´a promˇenn´a a m je re´aln´ y parametr. m ) , kde x je re´ Mnoˇzina vˇsech hodnot parametru m, pro kter´e je uveden´a exponenci´aln´ı funkce rostouc´ı, je rovna mnoˇzinˇe: a) (−∞, 0), b) (0, ∞), c) (−∞, 0)∪(1, ∞), d) (−∞, 0)∪(0, ∞), e) ˇz´adn´a z pˇredchoz´ıch odpovˇed´ı nen´ı spr´avn´a.
ˇ sen´ı: Upamatujeme se, ˇze exponenci´aln´ı funkce je rostouc´ı pr´avˇe kdyˇz jej´ı z´aklad je vˇetˇs´ı neˇz jedna Reˇ (stejnˇe je tomu u funkce logaritmick´e). Staˇc´ı tedy vyˇreˇsit element´arn´ı nerovnici: m−1 > m 1 1− > m 1 − > m 1 < m m <
1 1 0 0 n´asobili jsme z´aporn´ ym ˇc´ıslem nerovnost - otoˇcilo se znam´enko 0
9
