E-tananyag Matematika – 9. évfolyam 2014.
Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést az A halmazon értelmezett függvénynek nevezzük. B
A 1 1
3
2 2
4
5
3 6
Az A halmaz a függvény értelmezési tartománya. A B halmaz a képhalmaz. A B halmaz azon elemei, amelyeket az A halmazhoz rendeltük alkotják a függvény értékkészletét. Az A halmazbeli elemeket ősöknek, a B halmazbeli elemeket képeknek is mondjuk. Azokat a hozzárendeléseket, amelyeknél minden A halmazbeli elemnek pontosan egy képe van, és minden értékkészletbeli elemnek pontosan egy őse van, kölcsönösen egyértelmű hozzárendelésnek (kölcsönösen egyértelmű függvénynek) nevezzük. Függvények megadása a) Hozzárendelési szabállyal b) Táblázattal
c) Grafikonnal
x f(x)
1 2
( )
pl. 2 4
3 6
4 8
y
x
1. oldal – Függvények | VISZKI
E-tananyag Matematika – 9. évfolyam 2014.
Lineáris függvény Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0 és m, b elsőfokú függvénynek nevezzük. Az f(x) = mx + b képletben - a „b” megmutatja, hogy a függvény hol metszi az y tengelyt - az „m” (meredekség) megmutatja, hogy az előbb kapott pontból egységnyit jobbra haladva hány egységet lépünk fölfelé (m > 0) vagy lefelé (m < 0)
Konstans függvény f(x) = b
Két függvény párhuzamos egymással, ha a meredekségük megegyezik.
Másodfokú függvény Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvényeket, amelyek hozzárendelési szabálya ( ) ( ) alakú, másodfokú függvénynek nevezzük. A másodfokú függvények grafikonja parabola. ( ) Más alakban felírva ( ) A normál parabola ( ) függvény jellemzése: ÉT.: ÉK.: ( ) Zérushely: x = 0 Szélsőérték: Minimum hely: x = 0 Minimum érték: f(0) = 0 Monotonitás: Szigorúan monoton csökken: Szigorúan monoton nő:
2. oldal – Függvények | VISZKI
E-tananyag Matematika – 9. évfolyam 2014.
Abszolútérték függvény Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvényeket, amelyek hozzárendelési szabálya f(x) = a|x + b| + c ( ) alakú, abszolútérték függvényeknek nevezzük. Az abszolútérték függvény grafikonja V alakú. Az f(x) = |x| függvény jellemzése ÉT.: ÉK.: ( ) Zérushely: x = 0 Szélsőérték: Minimum hely: x = 0 Minimum érték: f(0) = 0 Monotonitás: Szigorúan monoton csökken: Szigorúan monoton nő: [0; +
Lineáris törtfüggvény Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvényeket, amelyek hozzárendelési szabálya ( ) ( ) alakú lineáris törtfüggvényeknek nevezzük. A lineáris törtfüggvények grafikonja hiperbola. Az ( )
függvény jellemzése ÉT.: ÉK.: ( ) Zérushely: nincs Szélsőérték: nincs Szigorúan monoton csökken: A függvénynek x = 0-ban szakadása van.
3. oldal – Függvények | VISZKI
E-tananyag Matematika – 9. évfolyam 2014.
Négyzetgyökfüggvény Azt a függvényt, amely egy nemnegatív valós számhoz a négyzetgyökét rendeli, négyzetgyökfüggvénynek nevezzük. Az ( ) √ függvény jellemzése ÉT.: ÉK.: ( ) Zérushely: x = 0 Szélsőérték Minimum hely: x = 0 Minimum érték: f(0) = 0 Szigorúan monoton nő
4. oldal – Függvények | VISZKI
E-tananyag Matematika – 9. évfolyam 2014.
Egészrész függvény Az x szám egészrésze az a legnagyobb egész szám, amely nem nagyobb az x számnál. Jele: [x] pl. [1] = 1 [-1]= - 1 [1,2] = 1 [-0,9] = 0 [-1,1] = 1 f(x) = [x] ÉT.: ÉK.: ( )
Törtrész függvény Az x szám törtrészén az x – [x] számot értjük. Jele: {x}
pl. {0} = 0 {1} = 0
{ } {1,2} = 0,2 {-0,9} = - 0,9 – [-0,9] = -0,9 + 1 = 0,1 ÉT.: ÉK.: ( )
Előjel függvény Előjel függvény vagy szignumfüggvény (sgn) nevezzük az {
eljárással megadható függvényt.
ÉT.: ÉK.: {-1; 0; 1}
5. oldal – Függvények | VISZKI
E-tananyag Matematika – 9. évfolyam 2014.
A függvények jellemzésekor előforduló fogalmak Zérushely: Ahol a függvény metszi az x tengelyt. Valamely f függvény zérushelyeinek nevezzük az értelmezési tartományának mindezokat az x értékeit, amelyeknél f(x) = 0. Növekedés, csökkenés: Ha az f függvény értelmezési tartományában egy intervallum bármely értékeinél a függvényértékekre ( ) ( ) áll fenn, akkor azon az intervallumon a függvény szigorúan monoton növekvő. Ha az f függvény értelmezési tartományában egy intervallum bármely értékeinél a ( ) függvényértékekre ( ) áll fenn, akkor azon az intervallumon a függvény szigorúan monoton csökkenő. Szélsőérték: Egy függvénynek minimuma van a változó egy értékénél, ha az ott felvett függvényértéknél kisebb értéket sehol sem vesz fel a függvény.
( )
Egy függvénynek maximuma van a változó egy értékénél, ha az ott felvett függvényértéknél nagyobb értéket sehol sem vesz fel a függvény.
( )
6. oldal – Függvények | VISZKI
