E-LOGIC Nama : Eko Budi Pranyoto Nim : 10004148 Abstrak Logika merupakan hal sangat penting dalam matematika. Hampir semua bidang dalam matematika dimulai dari logika. Sebagian besar perkembangan matematika seperti teori himpunan, analisis real, teori bilangan, struktur aljabar, kalkulus dan lain-lain berasal dari logika inclusife, sedangkan dalam logika eksclusif belum ada yang meneliti secara jauh bagaimana efek dari logika eksklusif bila diterapkan dalam matematika. Logika ekslusif ini memiliki nilai kebenaran “salah” apabila ada dua pernyataan memiliki nilai kebenaran sama dan memiliki nilai kebenaran “benar” untuk yang lain. Hal yang paling pokok jika kita ingin mengubah cara pandang matematika menggunakan logika eksklusive maka kita harus mengetahui perubahan utama dalam teori himpunan terlebih dahulu Dimulai dari dasar tersebut dapat diperoleh sebagai contoh yakni bila diterapkan dalam operasi pada himpunan misalnya gabungan, irisan, pengurangan, penjumlahan dan operasi lain dalam himpunan. Penggunaan logika eksklusif ternyata memberikan dampak yang luar biasa terutama bila operasi tersebut berhubungan dengan disjungsi. Keyword : logika, ekslusif, e-logic
A. Latar Belakang Perkembangan
teknologi
semakin
pesat
menjadikan
ilmu-ilmu
diberbagai bidang ikut berkembang. Perkembangan ilmu teknologi tidak dapat dipungkiri ditunjang oleh ilmu-ilmu lain yang mendukung misalnya matematika , fisika, kimia, biologi dan lain-lain. Salah satu cabang ilmu matematika yang digunakan dalam perkembangan Ilmu Teknologi (IT) yakni logika matematika. Logika matematika adalah hal yang sangat penting dan fundamental baik dalam matematika itu sendiri ataupun dijadikan sebagai bahasa pemprograman dalam IT. Ada beberapa jenis logika matematika diantaranya yakni logika inclusife dan logika eksklusife. Matematika pada umumnya yang kita pelajari saat ini berpangkal pada logika inclusif. Logika inklusif ini sudah berkembang dan diterapkan dalam cabang matematika
1
misal di teori himpunan, analisis real, struktur aljabar, kalkulus dan lain-lain. Karena aliran logika inklusif sering digunakan sehingga aliran logika ekslusif menjadi asing dan jarang ditelinga kita. Pada aplikasinya penggunaan bahasa pemprograman logika eksklusif ini sudah dipakai namun masih sedikit,karena belum berkembang dalam dunia matematika. Berbagai buku matematika baik sumber dalam negeri atau pun luar negeri masih sangat minim untuk mencari tahu bagaimana perkembangan logika ekslusif ini. Bahkan dalam beberapa sumber menyebutkan hanya sepenggal pengertian logika ekslusif dan tak ada keterangan lain yang menjelaskanya. Hal ini menjadikan motivasi saya untuk meneliti bagaimana efek di matematika bila dikembangan dengan menggunakan logika ekslusif. Oleh sebab itu sebelum memasuki ranah berbagai cabang matematika yang bekerja menggunakan logika ekslusive, alangkah baiknya meneliti yang paling awal dan dasarnya terlebih dahulu yakni bagaimana efek yang terjadi dalam teori himpunan bila bekerja mengggunakan sudut pandang logika matematika aliran ekslusif. B. Rumusan Masalah 1. Apakah logika ekslusif itu? 2. Bagaimana efek dari logika eksklusif jika diterapkan dalam teori himpunan?
C. Kajian Teori Adalah tidak asing bila kita mendengar kata logika, namun apakah logika di matematika sama dengan logika dalam kehidupan sehari – hari? Dalam kajiannya kata logika diartikan sebagi menurut akal atau nalar. Akan tetapi logika sebagai istilah mengandung makna suatu metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran. Penalaran adalah suatu pentuk pemikiran. Oleh sebab itu muncul berbagi macam pemikiran pemikiran. Berawal dari munculnya baerbagai pemikiran maka terbentuklah
2
berbagai jenis aliran logika. Contoh tidak lain yang sering kita temui diantaranya logika simbolik, logika tradisional, logika induktif. Perkembangan matematika memang tidak lepas dari berbagai macam logika tetapi yang mendominasi di dalamnya adalah logika simbolik. Logika simbolik di sini lebih dikenal disebut logika proposisional. Logika proposisional adalah logika yang mengunakan pernyataan– pernyataan sehingga dapat ditarik suatu konklusi melalui silogisme hipotetik. Dalam sistemnya logika proposisional ini memiliki suatu perantara untuk menghubungkan proposisi satu dengan yang lain. Perantara ini memiliki nama, simbol, penggunaan yang berbeda.Adapun konjungsi (∧), disjungsi (∨), implikasi (→), dan biimplikasi (↔). Dalam sistemnya masing-masing memiliki nilai kebenaran yang berbeda pula yang disepakati dan digunakan. Pada umumnya sistem yang digunakan
menggunakan
logika
inklusif.
Sehingga
matematika
pun
menggunakan logika ini sebagai pangkal dan sudut pandang dalam perkembangan dirinya. Sebenarnya ada jenis lain logika dan serupa dengan logika inklusif yang bisa digunakan untuk mengembangkan matematika yakni logika ekslusif. Logika ini sangat asing dikarenakan para matematikawan sudah terpengaruh dan merasa nyaman dengan logika inklusif. Ini menyebabkan para matematikawan enggan untuk menggunakannya. Memang dilihat dari nilai kebenaran tidak jauh beda dengan nilai kebenaran yang ada dalam logika inklusif. Perbedaannya hanya terletak pada nilai kebenaran disjungsi. Dalam disjungsi eksklusif kita dapat melihat kejadian sehari-hari contoh misalnya dalam hari dan waktu yang sama diberi pilihan mau mengikuti studytour ke Hawai atau mengikuti ujian CPNS di Jakarta. Adalah pilihan yang sangat sulit tak mungkin bisa mengikuti keduanya dalam waktu yang sama. Ini adalah contoh real logika eksklusif berbeda dengan logika inklusif.Meskipun perbedaannya terlihat sangat sepele namun ini akan berdampak besar dalam cabang ilmu matematika lain. Misalnya dimulai dari teori himpunan , analisis real, struktur aljabar, kalkulus dan lain – lain. 3
Matematika merupakan foundation bagi berbagai ilmu. Matematika memfasilitasi ilmu lain untuk berkembang. Untuk memfasilitasin tersebut matematika perlu dikembangan dari berbagi sudut pandang agar dapat memenuhi kebutuhan ilmu lainya. Perkembangan teknologi saat ini juga merupakan berkat matematika salah satunya adalah
logika. Dalam ilmu
teknologi, logika sangat perperan penting baik secara langsung atau tidak langsung dalam pemrograman perangkat lunak. Untuk mengantisipasi hal tersebut maka perlu dikembangkanya trobosan baru mengenai logika eksklusif sebab pemrograman saat ini yang diaplikasikan menggunakan logika inklusif. Tidak menutup kemungkinan logika ekslusif akan digunakan jika matematika memfasilitasinya.
D. Pembahasan . a) Simbol dan Pengertian E-Logic (Logika Ekslusif) Dibawah ini beberapa simbol yang digunakan dalam logika ekslusif Tabel 1.1 Simbol
Baca
Contoh
¬
Negasi
∧∈
Konjungsi
∨∈
Disjungsi
→∈
Implikasi Eksklusif
↔∈
¬ Ekslusif
(dan dalam e-logic) Eksklusif
(atau dalam e-logic)
Negasi p / Ingkaran p
ݍ ∈∧
p dan q
ݍ ∈∨
p atau q
ݍ →
Jika p maka q
ݍ ↔
Biimplikasi Eksklusif
Cara membaca
p jika dan hanya jika q
Selain itu untuk menyatakan nilai kebenaran dalam tabel pernyataan benar = “B “dan untuk pernyataan salah = “S”.
4
Pengertian E-Logic E-logic berasal dari kata exsclusive or jika diartikan dalam bahasa Indonesia “atau” yang digunakan secara eksklusif . Dalam logika matematika “atau” sering disebut dengan disjungsi. Yang membedakan antara logika eksklusif dan logika inklusif terletak pada nilai kebenaran pada disjungsinya. Disjungsi dalam logika inklusif memiliki nilai kebenaran “benar” jika salah satu proposisi (pernyataan) bernilai benar atau keduanya benar serta bernilai “salah“untuk yang lain sedangkan dalam logika eksklusif memliki nilai kebenaran “salah” bila kedua proposisi memliki nilai sama dan bernilai “benar” untuk yang lain. Lihat tabel kebenaran pembanding berikut. Tabel 1.2 P
Q
ࡼ ∨ ࡽ(disjungsi inklusif)
ࡼ ∨∈ ࡽ(disjungsi ekslusif)
B
B
B
S
B
S
B
B
S
B
B
B
S
S
S
S
b) Definisi-definisi yang Digunakan Dalam E-logic Definisi 1.1 Misalkan p adalah proposisi.¬ p didefiniskan sebagai ingkaran p dengan nilai kebenaran jika p bernilai benar maka ingkaran p bernilai salah atau sebaliknya. Untuk lebih jelas lihat tabel kebenaran sebagai berikut : Tabel 1.3
B
¬p
S
B
p
S
Definisi 1.2 Misalkan p dan q adalah proposisi.
5
Konjungsi eksklusif dinotasikan
ݍ ∈∧ didefinisikan sebagai ݍ ∧
(konjungsi inklusif) sehingga antara ݍ ∈∧ dan ݍ ∧ memiliki nilai kebenran sama yakni memiliki nilai kebenaran benar jika keduanya benar dan bernilai salah untuk yanga lain. Tabel 1.4 P
Q
ࡼ ∧ ࡽ(disjungsi inklusif)
ࡼ ∧∈ ࡽ(disjungsi ekslusif)
B
B
B
B
B
S
S
S
S
B
S
S
S
S
S
S
Definisi 1.3 Misalkan p dan q adalah proposisi.Disjungsi eksklusif antara p dan q dinotasikan ݍ ∈∨ didefinisikan memiliki nilai kebenaran “benar” jika kedua proposisi memiliki nilai kebenaran berbeda serta memiliki nilai kebenaran yang salah untuk yang lain. Tabel 1.5 P
Q
ࡼ ∨∈ ࡽ(disjungsi inklusif)
B
B
S
B
S
B
S
B
B
S
S
S
Definisi 1.4 Misalkan p dan q adalah proposisi.Implikasi eksklusif antara p dan q dinotasikan p →∈ q didefinisikan ( ݍ → implikasi pada inklusif) memiliki nilai kebenaran “salah” jika proporsi p benar dan q salah serta memiliki nilai kebenaran yang “ benar” untuk yang lain.
6
Tabel 1.6 P
Q
ࡼ → ࡽ(implikasi
ࡼ →∈ ࡽ(implikasi
inklusif)
ekslusif)
B
B
B
B
B
S
S
S
S
B
S
S
S
S
S
S
Definisi 1.5 Misalkan p dan q adalah proposisi.Biimplikasi eksklusif ݍ ∈↔ didefinisikan memiliki nilai
antara p dan q dinotasikan
kebenaran “benar” jika kedua proposisi memiliki nilai kebenaran sama serta memiliki nilai kebenaran yang salah untuk yang lain. Tabel 1.7 P
Q
ࡼ ↔ ࡽ(biimplikasi inklusif)
ࡼ ↔∈ ࡽ(biimplikasi ekslusif)
B
B
B
B
B
S
S
S
S
B
S
S
S
S
S
S
Sama halnya pada logika inklusif dalam logika eksklusif juga terdapat konvers, invers dan kontraposisi. Adapun nilai kebenarannya sama pada logika inklusif. Tabel 1.8 implikasi
B
B
¬ S
¬ S
→∈
B
S
S
B
S
B
B
S
S
B
B
konvers
invers
kontraposisi
→∈ ¬ →∈ ¬ ¬ →∈ ¬ B
B
B
S
B
B
S
S
B
S
S
B
B
B
B
B
B
7
c) Ekuivalensi (≡), Taotologi ( T )dan Kontradiksi ( K ) Beberapa contoh ekuivalensi, tautologi, kontradiksi dalam logika inklusif sama dengan di logika eksklusif yang berbeda jika berhubungan dengan disjungsi ada yang memiliki sifat sama ada yang berbeda oleh sebab itu contoh berikut berupa disjungsi.
Contoh 1.1: 1) Ekuivalen
¬(ܲ ∨∈ ܳ) ≡ ܲ ↔∈ ܳ untuk lebih jelas lihat bukti dalam tabel berikut
Tabel 1.9
B
¬(ࡼ ∨∈ ࡽ) S
ࡼ ↔∈ ࡽ
B
S
B
B
S
B
B
B
S
S
S
S
P
Q
B
S
2) tautologi gabungan proposisi yang selalu bernilai benar Tabel 2.0
B
S
(ࡼ ∨∈ ¬ࡼ)
S
B
B
¬ࡼ
P
B
3) kontradiksi gabungan proposisi yang selalu bernilai salah Tabel 2.1
B
(ࡼ ∨∈ ࡽ) B
ࡼ ↔∈ ࡽ S
(ࡼ ∨∈ ࡽ) ∧∈ ( ࡼ ↔∈ ࡽ)
B
S
S
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
S
S
P
Q
B
8
S
Latihan 1.1 Sebagai latihan berikanlah contoh lain dari tautologi, ekuivalensi dan kontradiksi dengan mengujinya menggunakan tabel kebenaran. Dari definisi - definisi diatas mengkibatkan theorema berikut. Theorema 1.1 Setiap pernyataan p berlaku : a. Bahwa nilai kebenaran ingkaran p ekuivalen dengan tautologi didisjungsikan eksklusif terhadap p. (¬ ≡ ࢀ ∨∈ )
b. Bahwa nilai kebenaran p didisjungsikan eksklusif terhadap p akan menghasilkan nilai kebenaran selalu kontradiksi. (ࡷ = ∨∈ )
Bukti untuk a
B
¬
S
B
(ܶ ∨∈ )
S
B
B
B
p
T
S
Bukti untuk b
B
S
() ∈∨
S
B
S
p
S
Tabel 2.2 d) Struktur disjungsi dan konjungsi eksklusif dilihat dari sudut pandang operasi biner pada ring (lapangan). Sebelum kita melangkah lebih jauh ke dalam ranah teori himpunan terlebih dahulu kita teliti struktur disjungsi dan konjungsi dilihat dari syarat lapanganya. Hal ini perlu kita teliti karena untuk mempermudah pengggunaaannya dalam teori himpunan. Misalkan P adalah himpunan semua pernyataan maka apakah ( P, ∨∈ , ∧∈ ) membentuk ring ? 9
Untuk mengetahui hal tersebut maka harus memenuhi aksioma syarat dari ring yaitu sebagai berikut. i.
Bersifat komutatif Ambil sembarang p,q ∈ P akan dibuktikan p ∨∈ q = q ∨∈ p , p ∧∈ q = q ∧∈ p
Bukti
B
B
p ∨∈ q S
q ∨∈ p S
p ∧∈ q B
q ∧∈ p
B
S
B
B
S
S
S
B
B
B
S
S
S
S
S
S
S
S
B
Tabel 2.3 Dari tabel menunjukkan memiliki sifat yang sama jadi terbukti. ii.
Bersifat asosiatif Ambil sembarang p,q dan r ∈ P akan dibuktikan p ∧∈ (……ݎ ∈∧ )ݍ ∈∧( = )ݎ ∈∧ݍ1 ……ݎ ∈∨ )ݍ ∈∨( = )ݎ ∈∨ݍ( ∈∨ 2
Untuk yang pertama …1 jelas sudah dibuktikan dalam logika inklusif. Namun yang perlu dibuktikan yakni yang kedua …2 Bukti Tabel 2.4
iii.
࢘
B
B
B
∨∈ ( ∨∈ ࢘) ( ∨∈ ) ∨∈ ࢘
p
q
S
∨∈ q S
∨∈ r B
S
S
S
B
B
B
S
S
S
B
S
B
B
B
B
S
S
B
S
B
B
B
Bersifat distributif
10
Ambil sembarang p,q dan r ∈ P akan dibuktikan
p ∧∈ (……)ݎ ∈∧( ∈∨ )ݍ ∈∧( = )ݎ ∈∨ݍ1 ……)ݎ ∈∨( ∈∧ )ݍ ∈∨( = )ݎ ∈∧ݍ( ∈∨ 2 Bukti untuk….1 Tabel 2.5
FB
B
࢘
S
q ∨∈ r B
∧∈ ( ∨∈ ࢘)
B
S
B
B
B
S
B
S
B
S
S
S
B
B
S
B
Tabel 2.6 ( ∧∈ ) ∨∈ (
࢘
p ∧∈ q
p ∧∈ r
B
B
S
B
S
B
B
S
B
S
B
B
S
B
S
S
S
S
S
S
B
S
S
S
∧∈ )
Dari tabel 2.5 dan 2.6 bisa dbuktikan bahwa bersifat distributif untuk yang pertama kemudian kita buktikan yang kedua. Tabel 2.7
B
B
࢘
S
q ∧∈ r S
∨∈ ( ∧∈ ࢘)
B
S
B
S
B
S
B
S
S
S
S
S
B
S
S
11
B
Tabel 2.8
B
ݍ
B
ݎ
S
p ∨∈ q S
p ∨∈ r B
( ∨∈ ) ∧∈ ( ∨∈ )
B
S
B
B
S
S
S
B
S
B
S
S
S
S
B
S
S
S
S
Ternyata untuk yang kedua tidak terbukti distributif hal ini perlu digaris bawahi karena sangat penting. p ∧∈ (∨∈ ࢘) = (∧∈ ) ∨∈ (∧∈ ࢘)……1 terbukti
∨∈ (∧∈ ࢘) = (∨∈ ) ∧∈ (∨∈ ࢘)……2 tidak terbukti
Memiliki elemen identitas K untuk setiap p ∈ P , maka
iv.
(=)ܭ ∈∨, dan elemen identitas T untuk setiap p ∈ P, maka (=)ࢀ ∈∧,
Memiliki invers terdapat p untuk setiap p ∈ P yang memenuhi
v.
(ܭ=) ∈∨
Baik untuk sementara itu dulu kita akan lanjutkan ke ranah teori himpunan e) Efek dari logika Eksklusif dalam Teori Himpunan. 1) Irisan Definisi 1.6 ܵ = ܵ݁݉ ܽݑℎ݅݉ ݊ܽ݊ݑ,
ܣ, ܵ ∈ ܤ, ݉ ܽ݇ܽ⊘≠ } ∈ ࢞ ∈∧ ∈ ࢞|ࡿ ∈ ࢞{ = ܤ ∈∩ ܣ
Tidak berimbas karena masih menggunakan konjungsi 2) Gabungan Definisi 1.7 ܵ = ܽݑ ݉݁ݏℎ݅݉ ݊ܽ݊ݑ,
ܣ, ܵ ∈ ܤ, ݉ ܽ݇ܽ∪ ܣఢ } ∈ ࢞ ∈∨ ∈ ࢞|ࡿ ∈ ࢞{ = ܤ 12
⊘≠ ܤ ∈∩ ܣpada diagram venn terlihat sebagai berikut
Hal ini jelas berbeda dengan gabungan versi logika inklusif( ( ini merupakan produk baru dalam e- logic) .
3) Selisih Definisi 1.7 ܵ = ܵ݁݉ ܽݑℎ݅݉ ݊ܽ݊ݑ,
ܣ, ܵ ∈ ܤ, ܣ− {= ܤx ߳S | x ߳A dan x ∉ B}
Himpunan selisih A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan elemen A tetapi bukan elemen dari B. 4) Komplemen dan selisih Definisi 1.8 ܵ = ܽݑ ݉݁ݏℎ݅݉ ݊ܽ݊ݑ, komplemen dari A disinotasikan dengan AC dan elemen – elemenya terdapat pada S tetapi bukan elemen di A. AC = {x ߳S | x ∉ A}
daerah yangdiarsir merupakan AC
Definisi 1.9 Selisih A dan B dinotasikan dengan A – B dan elemen –elemenya terdari dari elemen A tetapi bukan elemen B
13
A – B = {x ߳A ∧∈ x ∉ B}
5) Simetrik diferensi Biasanya sering di sebut beda setangkap, simetric diferensi dari A dan B disimbolkan A ∆∈ B Definisi 2.0
A ∆∈ B = {࢞|࢞ ∈ ܤ ∈∩ ܣ, ∪ ܣ ∉ ݔఢ }ܤdapat juga di maknai (AB) ∪ఢ( B-A)
Dalam logika eksklusif ini akan menjadi unik karena simetric diferensi sama dengan irisan/gabungan.
Contoh Soal Diketahui S = {, , , , }, A = {, , , } , B = {, } tentukan A ∪ࣕ
B!
Jawab :A ∪ࣕ B = {࢞ ∈ ࡿ|࢞ ∈ ∨∈ ࢞ ∈ } kita cek satu – persatu elemen dari S 1.{ ∈ ࡿ| ∈ ∨∈ ∈ } , nilai kebenarannya yakni benar atau salah = benar jadi 1 elemen dari A ∪ఢ B.
14
2. { ∈ ࡿ| ∈ ∨∈ ∈ } , nilai kebenarannya yakni benar atau benar = salah jadi 2 bukan elemen dari A ∪ఢ B.
3. { ∈ ࡿ| ∈ ∨∈ ∈ } , nilai kebenarannya yakni benar atau salah = benar jadi 3 elemen dari A ∪ఢ B.
4. { ∈ ࡿ| ∈ ∨∈ ∈ } , nilai kebenarannya yakni benar atau salah = benar jadi 4 elemen dari A ∪ఢ B.
5. { ∈ ࡿ| ∈ ∨∈ ∈ } , nilai kebenarannya yakni salah atau benar = salah jadi 5 elemen dari A ∪ఢ B. Jadi A ∪ఢ B ={, , , }
Jika A merupakan bagian dari S (Himpunan semua pernyataan) , buktikan bahwa A ∪ࣕ A= ∅? Jawab :
Menurut theorema 1.1b jelas
bahwa untuk setiap p pernyataan
akan menghasilkan kontradiksi sehingga tidak ada anggota dari A ∪ࣕ A maka A ∪ࣕ A= ∅ Latihan 1.2
1) Diberikan semesta pernyataan S = {1,2,3…..,10} ,
P = { Bilangan prima kurang dari 10} Q ={Bilangan ganjil kurang dari 10}. Tentukan : a) P ∪ࣕ Q b) S ∪ࣕ Q
c) Q ∪ࣕ Q
2) Buktikan bahwa : ). ⋃۳ = ⋃۳
15
E. PENUTUP Dari uraian di atas dapat saya simpulkan bahwa E - logic secara umum sering disebut logika eksklusif yang memiliki kebenaran berbeda dengan logika inklusif. Perbedaan nilai kebenaran ini akan berpengaruh dalam cara memandang matematika dari sudut pandang mana ia bekerja. Pengaruh logika eksklusif dalam teori himpunan meski dilihat sangat kecil namun efeknya akan besar, dalam hal ini peneliti tidak hanya berhenti di sini tapi masih berlanjut untuk bahasan selanjutnya sebab ada banyak fenomena dalam matematika yg pelu dikaji lebih jauh lagi. F. DAFTAR PUSTAKA
Antonie, Pierre. 2007. Abstrak Algebra. USA : Mathematic: Depertement University Of California At Berkeley. Johnstone P.T. 2002. Notes on Logic and_Set Theory. New York : Cambridge Univercity Press. Munir, Rinaldi. 2005. Matematika Diskrit . Bandung : Penerbit Informatika. Soekadijo, R . G. 2001. Logika Dasar (Tradisional, Simbolik, dan Induktif). Jakarta: Gramedia. Suppes Patrick. 2000. Axiomatix Set Theory . Canada : D Van Nostran Company.
16
