´ Attekint´ es Dynkin, Evgenyij Boriszovics ´ es Yushkevics, Alekszandr Adolfovics T´etelek ´es feladatok Markov folyamatokr´ ol c´ım˝ u k¨ onyv´er˝ ol Negyedik fejezet: Hat´ arfelt´etelek folytonos idej˝ u Markov folyamatokra, k¨ ul¨ on¨ os tekintettel a sz¨ ulet´esi ´es hal´ aloz´ asi folyamatokra. A k¨ onyv negyedik fejezete olyan folytonos idej˝ u Markov folyamatok min´el teljesebb le´ır´as´at pr´ ob´ alja megadni, amelyek v´eges id˝ o alatt el´erhetik a f´ azist´er egyik hat´arpontj´at. Folytonos idej˝ u Markov folyamatokat ´ altal´ aban a Markov folyamat infinitezim´ alis oper´ator´anak vagy annak egy ebben a k¨ onyvben karakterisztikus oper´ atornak nevezett v´ altozat´ anak a seg´ıts´eg´evel ´ırnak le. A Markov folyamatok n´eh´ any m´ely t´etele biztos´ıtja, hogy ha a Markov folyamat nem ker¨ ul v´eges id˝ o alatt az ´ allapott´er egy hat´arpontj´aba, akkor ez az oper´ ator, ‘amely infinitezim´ alisan megadja a Markov folyamat v´egtelen kis id˝ o alatt t¨ort´en˝ o v´ altoz´ as´at’, egy´ertelm˝ uen meghat´ arozza egy adott kezdeti a´llapotb´ol ind´ıtott Markov folyamat eloszl´ as´at. De probl´em´at okoz az, ha a Markov folyamat v´eges id˝ o alatt el´erheti az ´ allapott´er egy hat´arpontj´at, mert ekkor nem vil´agos, hogy mi t¨ort´enik ezut´ an. E fejezet f˝ o t´em´aja annak t´argyal´ asa, hogy hogyan lehet folytatni egy Markov folyamatot egy hat´arpont el´er´ese ut´ an u ´gy, hogy az tov´ abbra is Markov folyamat maradjon. E k´erd´es vizsg´alata komoly probl´em´at jelent a legegyszer˝ ubb esetekben is, amikor az infinitezim´ alis vagy karakterisztikus oper´ atort egyszer˝ uen defini´aljuk, ´es a Markov folyamatot k¨ onnyen meg tudjuk konstru´ alni az infinitezim´ alis vagy karakterisztikus oper´ ator seg´ıts´eg´evel addig a v´eletlen id˝ opontig, amikor a Markov folyamat el´eri az allapott´er egy hat´arpontj´at. A fejezet els˝ ´ o alfejezete ismerteti bizony´ıt´ as n´elk¨ ul azt, hogy hogyan tudjuk megadni az ¨ osszes olyan Markov folyamatot a (−∞, 0] f´elegyenesen, amely Wiener folyamatk´ent viselkedik a (−∞, 0) ny´ılt f´elegyenesen, ´es ha el´eri a 0 hat´arpontot, akkor u ´gy viselkedik, hogy tov´ abbra is Markov folyamat maradjon. A k¨ onyv r¨oviden megeml´ıti e probl´ema egy term´eszetes egyszer˝ u a´ltal´ anos´ıt´ as´at is, azt az esetet, amikor Wiener folyamat helyett u ´gynevezett diffuzi´ os folyamatot tekint¨ unk. Ezut´an r´at´er az ebben a fejezetben r´eszletesen t´argyalt u ´gynevezett sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´asi folyamatok vizsg´alat´ara. Ez az el˝ obb eml´ıtett Wiener illetve diffuzi´ os folyamat egy technikailag egyszer˝ ubben vizsg´alhat´ o ‘diszkr´et ´ allapott´errel rendelkez˝ o’ v´ altozata, amelyben az ´ allapott´er a nem negat´ıv sz´amok halmaza. Ez a modell hasonl´oan viselkedik a Wiener folyamatokhoz, ez´ert ennek t´argyal´ asa seg´ıt az el´erhet˝ o hat´arpontokkal rendelkez˝ o tartom´anyokon defini´alt Wiener folyamatok viselked´es´enek a jobb meg´ert´es´eben is. A fejezet vizsg´alat´anak fontos r´esze ennek a hasonl´o viselked´esnek a megmutat´ asa. Le´ırom r¨oviden, inform´ alis m´ odon azt, hogy hogyan lehet jellemezni azokat a Markov folyamatokat, amelyek Wiener folyamatk´ent viselkednek a (−∞, 0) f´elegyenesen, a 0 pont pedig hat´arpontjuk. Lehets´eges, hogy a Wiener folyamat 0 pontja elnyel˝ o fal, azaz ha a r´eszecske el´eri a 0 pontot, akkor ¨ or¨ okre ottmarad. Elk´epzelhet˝o, hogy a 0 pont elt¨ untet˝ o (extinction) fal, azaz a r´eszecske a 0 pontot el´er´ese ut´ an elt˝ unik. Ez azt jelenti, hogy a 0 pont el´er´ese ut´ an a Markov folyamat megsz˝ unik l´etezni. Lehet, hogy a 0 pont t¨ ukr¨ oz˝ o fal, azaz a Markov folyamat a 0 pont el´er´ese ut´ an u ´gy viselkedik, mint egy 1
−|W (t)| sztochasztikus folyamat, ahol W (t) egy Wiener folyamat a (−∞, ∞) egyenesen. Lehets´eges tov´ abb´a, hogy a Markov folyamat egy ideig v´ ar, ´es ez a v´eletlen v´ arakoz´ asi id˝ o exponenci´alis valamilyen a > 0 param´eterrel, (az exponenci´alis v´ arakoz´ asi id˝ o sz¨ uks´eges a Markov tulajdons´ag meg˝ orz´es´ehez), majd v´eletlenszer˝ uen a (−∞, 0) f´elegyenes valamely pontj´aba ugrik, ahonnan egy Wiener folyamatk´ent folytatja a p´ aly´ aj´at. Ebben az esetben egy technikai felt´etelt is tesz¨ unk az ugr´as nagys´ag´ ar´ ol, ami az´ert sz¨ uks´eges, hogy kiz´ arjuk a t´ uls´ agosan szab´alytalan Markov folyamatokat, amelyeknek a trajekt´ori´ ai cs´ uny´ an viselkednek. Azt k¨ ovetelj¨ uk meg, hogy a Markov folyamat trajekt´ori´ ai jobbr´ol folytonos (continue ` a droite) f¨ uggv´enyek legyenek. Ha a vizsg´alt Markov folyamat el´eri a 0 pontot, akkor v´ alaszthatjuk bizonyos val´ osz´ın˝ us´eggel ezen lehets´eges folytat´asok valamelyik´et, ´es kiss´e pontatlanul fogalmazva azt mondhatjuk, hogy ezzel le´ırtuk az ¨ osszes lehet˝ os´eget. Val´ oj´aban a helyzet kiss´e bonyolultabb, mert a v´eletlen v´ arakoz´ asi id˝ o ut´ an bek¨ovetkez˝ o v´eletlen ugr´as lehets´eges megval´ osul´asa ¨ osszetettebb jelens´eg. Ha a Markov folyamat egy t0 id˝ opontban megl´ atogatja a 0 pontot, akkor el˝ ofordulhat az is, hogy a 0 pont ezt k¨ ovet˝ o l´atogat´asi id˝ opontjai torl´odnak ehhez a t0 id˝ oponthoz, ´es e l´atogat´asok k¨ oz¨ ott a Markov folyamat kis ugr´asokat v´egez. Az ¨ osszes lehet˝ os´eget u ´gy tudjuk pontosan le´ırni, hogy megadjuk a Markov folyamat U karakterisztikus oper´ ator´anak a hat´as´at a (−(∞, 0] f´elegyenes minden pontj´aban, teh´at az x = 0 pontban is. Eml´ekeztetek a karakterisztikus oper´ ator definici´ oj´ara. Egy Markov folyamat ´ allapotter´en defini´alt f¨ uggv´enyek alkalmas oszt´aly´ an defini´alt U karakterisztikus oper´ ator a k¨ ovetkez˝ o: Ex f (x(τ )) − f (x) U ↓x Ex τ
Uf (x) = lim
(4.1)
ahol U ↓ x azt jelenti hogy ny´ılt halmazoknak az x pontra sz˝ uk¨ ul˝ o sorozat´at tekintj¨ uk, Ex az x pontb´ ol kiindul´o Markov folyamatra vett v´ arhat´ o ´ert´ek, ´es τ az els˝ o id˝ opont, amikor az x pontb´ ol kiindul´o x(t), t ≥ 0, Markov folyamat kil´ep az U halmazb´ol. A keresett Markov folyamat karakterisztikus oper´ ator´ara Uf (x) = 21 ∆f (x), ha x < 0. Defini´ alni kell m´eg a Uf (0) mennyis´eget. Erre a k¨ ovetkez˝ o formula ´erv´enyes. ′
βUf (0) + αf (0) + γf (0) +
Z
0
[f (0) − f (y)]π( dy) = 0,
(4.2)
−∞
ahol α, β ´es γ nem negat´ıv konstansok, π olyan m´ert´ek a (−∞, 0) f´elegyenesen, amelyre π((−∞, −1)) −
Z
0
yπ( dy) < ∞.
−1
Az α, β, γ ´es δ = π(−∞, 0) sz´amok nem lehetnek egyszerre null´ ak. Mint a k¨ onyv egy heurisztikus indokl´ asban megindokolja, ha α = γ = δ = 0, ´es β 6= 0, akkor ez a formula azt jelenti, hogy a 0 pont elnyel˝ o fal, ha α 6= 0, β = γ = δ = 0, akkor a 0 pont t¨ ukr¨ oz˝ o fal, ha γ 6= 0, α = β = δ = 0, akkor a 0 pont elt¨ untet˝ o (extinction) fal, ha α = β = γ, ´es 0 < δ < ∞, akkor egy v´eletlen ugr´as t¨ort´enik π/δ 2
eloszl´ assal. Hasonl´ o, de bonyolultabb ugr´as t¨ort´enik, ha α = β = γ = 0, ´es δ = ∞. Az altal´ ´ anos esetben e hat´asok kever´eke t¨ort´enik. Ha Wiener folyamat helyett diffuzi´ os folyamatot tekint¨ unk a (−∞, 0) f´elegyenesen, 1 d2 ator helyett) aminek az infinitezim´ alis oper´ atora (a 2 dx2 oper´ d2 d L = a(x) 2 + b(x) , dx dx akkor hasonl´o, de ¨ osszetettebb jelens´eg l´ep fel. Speci´alisan, ebben az esetben meg kell hat´arozni azt is, hogy milyen a(x) ´es b(x) egy¨ utthat´ok eset´en ´eri el a diffuzi´ os folyamat v´eges id˝ o alatt a 0 pontot. A fejezet tov´ abbi r´esz´eben a szerz˝ok bevezetik a sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamatokat, amelyek a diffuzi´ os folyamatok diszkretiz´ alt v´ altozat´ anak tekinthet˝ ok. Ezek a folyamatok a diffuzi´ os folyamatokhoz hasonl´o viselked´est mutatnak, ez´ert seg´ıtenek meg´erteni azok viselked´es´et. M´asr´eszt a sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamatok t´argyal´ asa egyszer˝ ubb. Ismertetem a sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat definici´ oj´at. A sz¨ ulet´ esi ´ es hal´ aloz´ asi folyamat definici´ oja. Legyen adva egy p0 , p1 , . . . sz´ amsorozat, amelynek tagjaira p0 = 1, 0 < pn < 1 minden n = 1, 2, . . . sz´ amra, ´es legyen qn = 1 − pn minden n = 0, 1, 2, . . . sz´ amra. Legyen tov´ abb´ a adva egy a0 , a1 , . . . , an > 0, n = 0, 1, 2, . . . sz´ amsorozat. E sz´ amsorozatok seg´ıts´eg´evel a k¨ ovetkez˝ ok´eppen defini´ aljuk az a ´ltaluk meghat´ arozott sz¨ ulet´esi ´es hal´ aloz´ asi folyamatot. Az X(t) sz¨ ulet´esi ´es hal´ aloz´ asi folyamat olyan folytonos idej˝ u Markov folyamat valamely 0 ≤ t < T (ω) v´eletlen id˝ ointervallumban, 0 < T (ω) ≤ ∞, amely ´ert´ekeit a nem negat´ıv eg´esz sz´ amok halmaz´ an veszi fel, ´es a k˝ ovetkez˝ ok´epp viselkedik. A Markov folyamat valamely k0 , 0 ≤ k0 < ∞, a ´llapotb´ ol indul a t = 0 id˝ opontban, azut´ an a ´tugrik egy k1 , 0 ≤ k1 < ∞ a ´llapotba valamely v´eletlen id˝ o m´ ulva, ´es ´ıgy tov´ abb; ha eljutott valamely k a ´llapotba, akkor v´eletlen ideig ott marad, majd a ´tugrik egy u ´j a ´llapotba. Ezen v´eletlen ugr´ asok hely´et ´es id˝ opontj´ at a Markov folyamat an ´es pn param´eterei a k¨ ovetkez˝ ok´epp hat´ arozz´ ak meg. Ha a Markov folyamat valamely t id˝ opontban jutott a k a ´llapotba, ´es k ≥ 1, akkor az v´eletlen ak param´eter˝ u exponenci´ alis eloszl´ as´ u id˝ otartamig a k a ´llapotban marad, (ez a v´eletlen id˝ otartam f¨ uggetlen a Markov folyamat kor´ abbi viselked´es´et˝ ol), ´es ut´ ana pk val´ osz´ın˝ us´eggel a k + 1, qk = 1 − pk val´ osz´ın˝ us´eggel a k − 1 a ´llapotba l´ep. Ha a Markov folyamat valamely t id˝ opontban a 0 a ´llapotba jutott, akkor v´eletlen a0 param´eter˝ u exponenci´ alis eloszl´ as´ u id˝ otartamig a 0 a ´llapotban marad, (ez az id˝ otartam szint´en f¨ uggetlen a Markov folyamat kor´ abbi viselked´es´et˝ ol), ´es ut´ ana p0 = 1 val´ osz´ın˝ us´eggel az 1 a ´llapotba ker¨ ul. Jel¨ olje Tn = Tn (ω) az n-ik ugr´ as id˝ opontj´ at az X(t) folyamat ´ert´ek´eben, ´es legyen T = T (ω) = lim Tn (ω). n→∞
(4.3)
Az X(t) folyamatot a [0, T (ω)) intervallumban defini´ aljuk az el˝ obb defini´ alt T (ω) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ oval. 3
Szeml´eletesen az el˝ obb ismertetett Markov folyamat a k¨ ovetkez˝ ot jelenti. Van egy popul´ aci´o, amelyiknek l´etsz´ama id˝ onk´ent megv´ altozik, mert vagy meghal valaki vagy u ´j egyed sz¨ uletik. E popul´ aci´o l´etsz´am´anak id˝ obeli v´ altoz´ asa Markov folyamatot alkot, ´es ennek a Markov folyamatnak a viselked´es´et vizsg´aljuk. Ha a popul´ aci´o l´etsz´ama egy adott id˝ opontban n, akkor exponenci´alis ideig (an param´eterrel) kell v´ arni, m´ıg a poul´aci´o l´etsz´ama megv´ altozik. Ekkor pn val´ osz´ın˝ us´eggel u ´j egyed sz¨ uletik, ´es qn val´ osz´ın˝ us´eggel meghal valaki. Ha n = 0 akkor a helyzet kiss´e m´ odosul, mert ekkor csak u ´j egyed sz¨ ulethet. El˝ofordulhat, hogy a popul´ aci´o l´etsz´ama v´eges id˝ o alatt v´egtelenre n¨ovekszik. Az els˝ o k´erd´es az, hogy ez a Markov folyamat milyen pn ´es an , n = 0, 1, . . . , param´eterei eset´en k¨ ovetkezik be. Ha ez bek¨ovetkezik akkor az egyik lehet˝ os´eg az, hogy a Markov folyamatot ebben az id˝ opontban meg´ all´ıtjuk. Ez´ert volt term´eszetes a Markov folyamatot csak egy v´eletlen id˝ opontig tekinteni. A sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat definici´ oj´aban szerepl˝o T (ω) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o 1 val´ osz´ın˝ us´eggel ezzel a v´eletlen id˝ oponttal egyenl˝o. A m´ asodik vizsg´aland´o k´erd´es az, hogy ha a Markov folyamat v´eges id˝ o alatt v´egtelen nagys´ag´ ura n¨ovekszik (amit u ´gy is interpret´alhatunk, hogy a Markov folyamat v´eges id˝ o alatt el´eri az ´ allapott´er ∞ hat´arpontj´at), akkor hogyan folytathatjuk a Markov folyamatot (a ∞ ponttal kib˝ ov´ıtve az ´ allapotteret) u ´gy, hogy az ´ıgy kapott sztochasztikus folyamat tov´ abbra is Markov folyamat maradjon (ugyanazokkal az a´tmenetval´ osz´ın˝ us´egekkel, ha a kiindul´o pont a 0, 1, . . . pontok valamelyike. A k¨ onyv e fejezet´enek f˝ o t´em´aja ezen k´erd´esek megv´ alaszol´asa. Megjegyz´es: Annak ´erdek´eben, hogy val´ oban Markov folyamatot defini´aljunk sz¨ uks´eges volt feltenni, hogy a v´ arakoz´ asi id˝ ok egy sz¨ ulet´es vagy hal´aloz´ as bek¨ovetkezt´eig exponenci´alis eloszl´ as´ uak. Feltett¨ uk, hogy 0 < pn < 1 minden n ≥ 1 indexre szigor´ u egyenl˝otlens´eggel. Ennek a felt´etelez´esnek technikai okai voltak. El˝osz¨ or azzal a k´erd´essel foglalkozunk, hogy mikor ´eri el a Markov folyamat v´eges id˝ on bel¨ ul a ∞ hat´arpontot. E k´erd´es megv´ alaszol´asa ´erdek´eben els˝ o l´ep´esben azt vizsg´aljuk, hogy egy sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat mikor konverg´ al ∞-hez, ha a Markov folyamat l´ep´eseinek sz´ama tart a v´egtelenhez. E k´erd´es megv´ alaszol´as´ahoz ´erdemes tudni azt, hogy ha a Markov folyamatot elind´ıtjuk egy [a, b] intervallum belsej´eb˝ ol, akkor mi annak a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy a Markov folyamat kil´ep ebb˝ol az intervallumb´ol, ´es a b jobboldali v´egpont ir´any´ aban l´ep ki ezen intervallumb´ol el˝ osz¨ or. Ha Wiener folyamatot tekint¨ unk, akkor ismerj¨ uk az anal´ og k´erd´esre a v´ alaszt. Ha adva van egy [a, b] intervallum, ´es a Wiener folyamat egy x, a < x < b, pontb´ ol indul el, akkor annak val´ osz´ın˝ us´ege, hogy a Wiener folyamat az a ´es b pontok k¨ oz¨ ul el˝ osz¨ or b−x x−a osz´ın˝ us´ege, hogy az a pontot ´eri el el˝ osz¨ or b−a . a b pontot ´eri el b−a , ´es annak a val´ Bevezet¨ unk egy olyan u ´gynevezett kanonikus sk´ al´ at egy sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat allapotter´en, amelynek alkalmaz´asa eset´en ezen sz¨ ´ ulet´esi ´es hal´aloz´asi folyamat kil´ep´esi val´ osz´ın˝ us´egei egy adott intervallumb´ol hasonl´o k´epleteket teljes´ıtenek, mint a Wiener folyamat megfelel˝ o val´ osz´ın˝ us´egei. Pontosabban sz´olva a {0, 1, 2, . . . } nem negat´ıv eg´esz sz´amokb´ol ´ all´ o´ allapott´eren defini´alt sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat helyett egy alkalmas u0 , u1 , . . . , u0 < u1 < . . . , pontokb´ol ´ all´ o ´ allapotteren defini´alt szint´en sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamatnak nevezett Markov folyamatot tekint¨ unk, amelyben egy l´ep´esen 4
bel¨ ul az un ´ allapotb´ol vagy az un+1 vagy az un−1 ´ allapotba juthatunk. Ezen a´llapotv´ altoz´ as bek¨ovetkez´es´eig exponenci´alis eloszl´ asi v´ arakoz´ asi id˝ o telik el an param´eterrel, ´es pn val´ osz´ın˝ us´eggel jutunk az un pontb´ ol az un+1 pontba, ´es qn val´ osz´ın˝ us´eggel az un−1 pontba. E m´ odos´ıtott ´es eredeti sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat k¨oz¨ ott egyszer˝ u kapcsolat van, ´es az un pontok (a kanonikus sk´ ala) v´ alaszt´ asa eset´en a minket ´erdekl˝ o val´ osz´ın˝ us´egek hasonl´oan viselkednek, mint az anal´ og val´ osz´ın˝ us´egek a Wiener folyamat eset´eben. A tov´ abbiak ban a sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamatokat u ´gy fogjuk tekinteni, hogy azok ´ert´ekeiket a kanonikus sk´ al´ an veszi fel, azaz lehets´eges ´ert´ekeik az u0 , u1 , . . . sz´amok a 0, 1, 2, . . . sz´amok helyett. Defini´ aljuk az un sz´amokat a k¨ ovetkez˝ o m´ odon: Legyen u0 = 0, u1 = 1, ´es ezut´ an defini´aljuk rekurz´ıv m´ odon az un sz´amokat a qn =
un+1 − un , un+1 − un−1
pn =
un − un−1 , un+1 − un−1
n ≥ 1,
k´epletek seg´ıts´eg´evel. (Ez annak felel meg, hogy [a, b] = [un−1 , un+1 ], x = un eset´en a kil´ep´esi val´ osz´ın˝ us´egekre olyan k´epleteket kapjunk, mint a Wiener folyamatok eset´eben.) N´emi sz´amol´ as azt adja, hogy ilyen v´ alaszt´ assal q1 q1 · · · qn−1 u0 = 0, u1 = 1, un = δ0 + · · · δn−1 = 1 + + ··· + , n ≥ 1, (4.4) p1 p1 · · · pn−1 ahol δk =
q1 · · · qk , p1 · · · pk
k ≥ 1.
(4.5)
Legyen r = lim un = 1 + lim n→∞
n→∞
q1 q1 · · · qn−1 + ··· + p1 p1 · · · pn−1
,
(4.6)
´es nevezz¨ uk az E = {u0 , u1 , . . . } halmazt a Markov folyamat a´llapotter´enek, ´es az r pontot az ´ allapott´er hat´arpontj´anak. Tekints¨ unk egy [a, b] intervallumot, ´es egy a ≤ u ≤ b pontot, amelyekre a = uj , b = uk , u = us valamely uj , uk , us ∈ E pontokkal. A k¨ ovetkez˝ o t´etelben megadjuk annak val´ osz´ın˝ us´eg´et, hogy az u = us pontb´ ol kiindul´o sz¨ ulet´esi folyamat el˝ obb ´eri el a b pontot, mint az a pontot, illetve annak val´ osz´ın˝ us´eg´et, hogy az a = u0 = 0 esetben valamikor el´eri a b pontot. Ugyancsak megadjuk a megfelel˝ o val´ osz´ın˝ us´egeket akkor, ha b = r. 4.1. T´ etel. Legyen adva egy X(t) sz¨ ulet´esi ´es hal´ aloz´ asi folyamat, a kanonikus sk´ al´ az´ assal. Tekints¨ unk egy [a, b] intervallumot, ´es egy a ≤ u ≤ b pontot, amelyekre a = uj , b = uk , u = us valamely uj , uk , us ∈ E pontokkal. Jel¨ olje p(u; a, b) annak val´ osz´ın˝ us´eg´et, hogy az u = us pontb´ ol kiindul´ o sz¨ ulet´esi folyamat el˝ obb ´eri el a b pontot, mint az a pontot, ´es q(u; a, b) annak val´ osz´ın˝ us´eg´et, hogy el˝ obb ´erje el az a pontot, mint a b pontot. Legyen p(u; b) annak val´ osz´ın˝ us´ege, hogy az u pontb´ ol kiindul´ o sz¨ ulet´esi ´es hal´ aloz´ asi folyamat valamikor el´eri a b pontot, ahol u = us , b = uk , us , uk ∈ E, ´es u ≤ b. Ekkor a k¨ ovetkez˝ o azonoss´ agok ´erv´enyesek: p(u; a, b) =
u−a , b−a
q(u; a, b) = 5
b−u , b−a
p(u; b) = 1.
Ha p(u; a, r) ´es q(u; a, r) jel¨ oli a p(u; a, b) ´es q(u; a, b) mennyis´egeket abban az esetben, ha a b = uk param´etert a b = r param´eterrel helyettes´ıtj¨ uk, akkor az al´ abbi azonoss´ agok ´erv´enyesek: u − a , ha r < ∞ p(u; a, r) = r − a 0, ha r = ∞, r − u , ha r < ∞ q(u; a, r) = r − a 1, ha r = ∞. R¨ oviden ismertetem 4.1. t´etel bizony´ıt´ as´anak a f˝ o gondolat´at. Ha a = um , ´es b = un , akkor minden u = ul , m < l < n, sz´amra fel´ırhatjuk a p(ul ) = ql p(ul−1 ) + pl p(ul+1 ) azonoss´agot a p(un ) = 1, p(um ) = 0 hat´arfelt´etelekkel, ahol p(u), u ∈ E, annak a val´ osz´ın˝ us´eg´et jel¨oli, hogy az u pontb´ ol kiindul´o sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat el˝ obb ´eri el a b, mint az a pontot. Ennek az egyenletrendszernek a seg´ıts´eg´evel be lehet bizony´ıtani a p(u; a, b) kifejez´esre kapott formul´ at. A q(u; a, b) kifejez´esre adott formula hasonl´oan bizony´ıthat´ o. A p(u; b) kifejez´esre hasonl´o rel´ aci´okat ´ırhatunk fel a = u0 = 0 v´ alaszt´ assal. Az egyetlen k¨ ul¨ onbs´eg az, hogy a p(a) = 0 hat´arfelt´etel elt˝ unik, helyette az p(u0 ) = p(u1 ) azonoss´ag jelenik meg. Innen kapjuk a kifejez´est a p(b; u) kifejez´esre. A t´etel t¨obbi ´ all´ıt´ as´at a t´etel m´ ar bebizony´ıtott r´esz´enek a seg´ıts´eg´evel kapjuk b ↑ r hat´ar´ atmenet seg´ıts´eg´evel. A 4.1. t´etel eredm´enye lehet˝ ov´e teszi annak megad´as´at, hogy mikor rekurz´ıv ´es mikor tranzit´ıv az az X0 , X1 , . . . Markov l´anc, amelyet u ´gy kapunk, hogy felt¨ untetj¨ uk egy sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat ´ allapot´ at az egym´ ast k¨ ovet˝o ugr´asok ut´ an, de nem jegyezz¨ uk meg, hogy ezek az ugr´asok mely id˝ oponoktban k¨ ovetkeztek be. A k¨ ovetkez˝ o eredm´enyt kapjuk. 4.2. T´ etel. Tekints¨ unk egy sz¨ ulet´esi ´es hal´ aloz´ asi folyamatot a kanonikus sk´ al´ az´ assal, ´es defini´ aljuk azt az X0 , X1 , . . . Markov l´ ancot, amelyet u ´gy kapunk, hogy felt¨ untetj¨ uk e sz¨ ulet´esi ´es hal´ aloz´ asi folyamat a ´llapot´ at az egym´ ast k¨ ovet˝ o ugr´ asok ut´ an. Ha a sz¨ ulet´esi ´es hal´ aloz´ asi folyamat E a ´llapotter´enek r hat´ arpontj´ ara r = ∞, akkor egy val´ osz´ın˝ us´eggel a Markov l´ anc a E a ´llapott´er minden pontj´ at v´egtelen sokszor l´ atogatja meg, ez´ert a Markov l´ anc nem konverg´ al az r ponthoz. Ilyenkor azt mondjuk, hogy az r hat´ arpont a sz¨ ulet´esi ´es hal´ aloz´ asi folyamat tasz´ıt´ o hat´ arpontja. Ha r < ∞, akkor egy val´ osz´ın˝ us´eggel a Markov l´ anc a E a ´llapott´er minden pontj´ at v´eges sokszor l´ atogatja meg, ez´ert a Markov l´ anc konverg´ al az r ponthoz. Ilyenkor azt mondjuk, hogy az r hat´ arpont a sz¨ ulet´esi ´es hal´ aloz´ asi folyamat vonz´ o hat´ arpontja. Meg k´ıv´anjuk hat´arozni, hogy a sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat mikor ´eri el a f´ azist´er r hat´arpontj´at v´eges id˝ o alatt. (Mint a k´es˝obbi eredm´enyekb˝ ol kider¨ ul, ennek 6
val´ osz´ın˝ us´ege mindig vagy nulla vagy egy.) Ha r = ∞, ´es ´ıgy az r pont a sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat tasz´ıt´ o hat´arpontja akkor ez nem t¨ort´enik meg. Ha r < ∞, azaz r a sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat vonz´o hat´arpontja akkor a k´erd´es megv´ alaszol´asa tov´ abbi vizsg´alatokat ig´enyel. Ebben az esetben a v´ alasz az egyes ugr´ asok k¨ oz¨ ott eltelt id˝ ot meghat´ aroz´o an param´eterekt˝ ol is f¨ ugg. Annak ´erdek´eben, hogy a k´erd´est megv´ alaszoljuk, ´erdemes meghat´ arozni annak az id˝ onek a v´ arhat´ o ´ert´ek´et, ami ahhoz sz¨ uks´eges, hogy egy valamilyen u ∈ [a, b] pontb´ ol indul´ o sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat kil´epjen az [a, b] intervallumb´ol. E v´ arhat´ o ´ert´ek kisz´ amol´ asa eset´eben is ´erdemes megvizsg´ alni a Wiener folyamatokra megfogalmazhat´ o anal´ og probl´em´at, ´es megkeresni a hasonl´os´agot a k´et feladat megold´ asa k¨ oz¨ ott. Legyen adva egy [a, b] intervallum, ind´ıtsunk el egy Wiener folyamatot az [a, b] intervallum valamely u, a ≤ u ≤ b pontj´ab´ ol, ´es sz´am´ıtsuk ki annak az id˝ onek a v´ arhat´ o ´ert´ek´et, ami ahhoz sz¨ uks´eges, hogy a Wiener folyamat el´erje az [a, b] intervallum valamelyik v´egpontj´at. Be lehet l´atni, hogy ez a v´ arhat´ o ´ert´ek −(u − a)(u − b)-vel egyenl˝o. Ennek az eredm´enynek lehet a k¨ ovetkez˝ o geometriai interpret´aci´ot adni: Tekints¨ uk a −x2 parabol´ at, ´es azt az egyenest, amelyik e parabola (a, −a2 ) ´es (b, −b2 ) pontjait k¨ oti ossze. Ekkor a minket ´erdekl˝ ¨ o val´ osz´ın˝ us´eg megegyezik az x = u egyenesnek e parabola ´es egyenes k¨ oz´e es˝o szakasz´ anak a hossz´aval. Az´ert ´erdemes ezt a geometriai k´epet megfogalmazni, mert a sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamatra megfogalmazott anal´og k´erd´esre hasonl´o, geometriailag megfogalmazhat´ o´ all´ıt´ as ´erv´enyes, csak ott a parabola szerep´et egy m´ asik, a k¨ onyvben az x(t) sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat karakterisztik´aj´anak nevezett S(u) f¨ uggv´eny veszi ´ at. Defini´ aljuk ezt a f¨ uggv´enyt. Az S(u) f¨ uggv´eny megtal´ al´ asa ´erdek´eben vezess¨ uk be az m(un ) = m(un ; a, b) f¨ uggv´enyt valamely a = uk ´es b = ul param´eterekre, amelyik egyenl˝o annak a τ (a, b) id˝ onek a v´ arhat´ o ´ert´ek´evel, ami ahhoz kell hogy az un pontb´ ol kiindul´o sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat el´erje vagy az a vagy a b pontot. A k¨ onyv bel´ atja, hogy m(un ) < ∞ minden uk ≤ un ≤ ul sz´amp´ arra. Nem neh´ez bel´ atni, hogy az m(un ) f¨ uggv´eny teljes´ıti az m(un ) =
1 + qn m(un−1 ) + pn m(un+1 ) an
(4.7)
egyenletet ´es az m(a) = m(b) = 0 hat´arfelt´eteleket. Ahhoz, hogy a (4.7) k´epletet fel´ırhassuk, ´es sz´amolni tudjunk vele meg kell mutatni, hogy m(a, b) = Eun τ (a, b) < ∞. Ennek ´erdek´eben a szerz˝ok bebizony´ıtj´ak a k¨ ovetkez˝ o, k´es˝obbi vizsg´alatokban is haszn´ alt eredm´enyt. 4.3. Lemma. Legyen adva egy Markov l´ anc valamely E a ´llapott´eren, ´es legyen I ⊂ E ezen a ´llapott´er egy (v´eges vagy v´egtelen) r´eszhalmaza. Jel¨ olje τ az I halmazb´ ol val´ o els˝ o kil´ep´es id˝ opontj´ at. Ha l´eteznek olyan t < ∞ ´es α > 0 sz´ amok, amelyekre Pu (τ < t) ≥ α
minden u ∈ I pontban,
akkor Pu (τ < ∞) = 1, 7
´es
Eu τ < ∞
minden u ∈ I pontban. Az Sn = S(un ), n = 0, 1, 2, . . . sorozatot a (4.4) formul´ ahoz hasonl´oan defini´aljuk azzal a k¨ ul¨ onbs´eggel, hogy minden un ∈ E pontban defini´aljuk, ´es az S0 = S(u0 ) = 0 hat´arfelt´etelt v´ alasztjuk, ´es bevezetj¨ uk az S−1 = 0 mennyis´eget is. Ekkor az (Sn+1 − Sn )pn = (Sn − Sn−1 )qn −
1 , an
n ≥ 1,
´es S1 = −
1 , a0
azonoss´agot ´ırhatjuk fel. Ezt az azonoss´agot ´erdemes ´ at´ırni a (4.5) formul´ aban defini´alt δk mennyis´egek seg´ıts´eg´evel. Ekkor azt kapjuk, hogy pn = ´es
δn−1 , δn−1 + δn
qn =
δn , δn−1 + δn
Sn − Sn−1 Sn − Sn−1 1 δn−1 + δn = − . δn δn−1 an δn−1 δn
Tekints¨ uk a vn = − Sn+1δn−Sn , n = 1, 2, . . . , ´es v0 = alapj´ an vn = vn−1 + 2µn n ≥ 1, ahol 2µn =
1 δn−1 + δn , an δn−1 δn
1 an
(4.8)
sorozatot. Ekkor a (4.8) formula
v0 = 2µ0 ,
n ≥ 1,
´es 2µ0 =
(4.9) 1 . an
(4.10)
Megjegyzem, hogy az Sn ´es vn sz´amokat ki lehet fejezni a sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat pn , qn = 1 − pn ´es an , n = 0, 1, 2, . . . param´eterei seg´ıts´eg´evel a k¨ ovetkez˝ o m´ odon: vn =
n X
k=0
Sn = −
n
X 1 p1 · · · pk−1 1 µk = + , a0 ak q1 · · · qk
n−1 X
m=0
n ≥ 0,
k=1
vm δm = −
X
0≤k≤m≤n−1
1 qk+1 · · · qm , ak pk · · · pm
n ≥ 1.
Defini´ aljuk az el˝ obb bevezetett Sn ´es vn sorozat seg´ıts´eg´evel a k¨ ovetkez˝ o S(u) ´es v(u) f¨ uggv´enyeket. Az S(u) f¨ uggv´enyt a 0 ≤ t < r intervallumon defini´aljuk, ahol az u−un n+1 −u r sz´amot a (4.6) formul´ aban vezett¨ uk be, az S(u) = uun+1 −un Sn + un+1 −un Sn+1 , ha un ≤ u ≤ un+1 , n = 0, 1, . . . A k´eplet seg¨ıts´eg´evel. Azaz S(un ) = Sn , ´es az S(u) ∞ S (un , un+1 ) f¨ uggv´eny line´aris az [un , un+1 ] intervallumokban. A v(u) f¨ uggv´enyt a n=0
halmazon defini´aljuk a v(u) = vn k´eplet seg´ıts´eg´evel az un ≤ u < un+1 intervallumban. 8
Adva egy z(un ) sorozat, A ≤ n ≤ B + 1, valamely 0 ≤ A ≤ B ≤ ∞ sz´amokkal B S (un , un+1 ) az E halmaz egy r´eszhalmaz´ an, defini´aljuk annak Du z(u) deriv´altj´ at a n=A
halmazon a
Du z(u) =
z(un+1 ) − z(un ) , un+1 − un
ha un < u < un+1
(4.11)
k´eplet seg´ıts´eg´evel. Ekkor a vn sorozat definici´ oja miatt Du S(u) = −v(u),
(4.12)
ha u ∈ (un , un+1 ) minden (un , un+1 ) intervallumban. Nem neh´ez bel´ atni, hogy a v(u) f¨ uggv´eny szigor´ uan mononton n¨ovekv˝o, ´es az S(u) f¨ uggv´eny monoton cs¨okken˝ o, konk´ av f¨ uggv´eny a [0, r) intervallumban. Az S(u) f¨ uggv´enyt kiterjeszthetj¨ uk a z´art [0, r] intervallumra is az S(r) = lim S(u) k´eplet seg´ıts´eg´evel. Ezt az S(u) f¨ uggv´enyt nevezz¨ uk az u→r
x(t) sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat karakterisztik´aj´anak. Jel¨olje m(u; a, b) annak az id˝ onek a v´ arhat´ o ´ert´ek´et, ami ahhoz sz¨ uks´eges, hogy az u pontb´ ol kiindul´o sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat el´erje az a vagy b pont valamelyik´et m(u; b) annak az id˝ onek a v´ arhat´ o ´ert´ek´et, ami ahhoz sz¨ uks´eges, hogy az u pontb´ ol kiindul´o sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat el´erje a b pontot, ahol a = uk , b = ul , u = us , ´es a ≤ u ≤ b. Hasonl´ oan defini´aljuk az m(u; a, r), ´es m(u; r) mennyis´egeket, ha a b = ul sz´amot a b = r sz´ammal helyettes´ıtj¨ uk. Mind az Sn mind az m(un ; a, b) ´es m(un ; b) sorozatok teljes´ıtik a (4.7) formul´ at. K´et olyan sorozatnak az m(un )-nel jel¨olt k¨ ul¨ onbs´ege, amely teljes´ıti a (4.7) formul´ at teljes´ıti az m(un ) = qn m(un−1 ) + pn m(un+1 ) azonoss´agot. Az ilyen rel´ aci´ot teljes´ıt˝ o sorozatok egyszer˝ uen jellemezhet˝ oek. Ezt a t´enyt felhaszn´alva a k¨ onyv bebizony´ıtja, hogy az el˝ obb defini´alt mennyis´egek teljes´ıtik az al´ abbi azonoss´agot. 4.4. T´ etel. Egy sz¨ ulet´esi ´es hal´ aloz´ asi folyamatra az el˝ obb defini´ alt m(u; a, b), m(u, b), m(u; a, r) ´es m(u; r) v´ arhat´ o ´ert´ekek teljes´ıtik a k¨ ovetkez˝ o azonoss´ agokat. (b − u)S(a) + (u − a)S(b) , b−a m(u; b) = S(u) − S(b), (r − u)S(a) + (u − a)S(r) , m(u; a, r) = S(u) − r−a m(u; r) = S(u) − S(r), ha r < ∞. m(u; a, b) = S(u) −
ha r < ∞,
Megjegyz´es. Ki tudn´ ank sz´amolni az m(u; a, r) ´es m(u; r) mennyis´egeket az r = ∞ esetben is, de erre nincs sz¨ uks´eg¨ unk. 9
A 4.4. t´etel azt mondja ki, hogy egy sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat eset´en egy intervallum hat´ar´ anak el´er´es´ehez sz¨ uks´eges id˝ o v´ arhat´ o ´ert´ek´et egy hasonl´o geometriai k´eppel interpret´alhat´ o k´eplet fejezi ki, mint a Wiener folyamat eset´en, csak ebben az esetben a −x2 f¨ uggv´eny szerep´et az S(u) f¨ uggv´eny veszi ´ at, amelyet karakterisztik´anak nevez¨ unk. A k´et eset k¨ oz¨ otti hasonl´os´agot m´eg jobban ki tudjuk fejezni a k¨ ovetkez˝ o fogalmak bevezet´es´enek a seg´ıts´eg´evel. Vezess¨ uk be a µ m´ert´eket a sz´amegyenesen, amely az E = {u0 , u1 , . . . } halmazra van koncentr´ alva, ´es µ(un ) = µn , n = 0, 1, 2, . . . a (4.10) k´epletben defini´alt µn sz´amokkal. ∞ S (un , un+1 ) halmazon defini´alt z(u) f¨ uggv´eny deriv´altj´ at a µ Defini´ aljuk egy olyan a n=0
m´ert´ek szerint, amelyik minden (un , un+1 ) intervallumon konstans, a k¨ ovetkez˝ o m´ odon. A Dµ (z) deriv´alt egy olyan a E = {u0 , u1 , . . . } halmazon defini´alt f¨ uggv´eny, amelynek ´ert´ekeit a z(u′′ ) − z(u′ ) , µn z(u′′ ) Dµ z(u0 ) = , µ0
Dµ z(un ) =
u′ ∈ (un−1 , un ), u′′ ∈ (un , un+1 ), n ≥ 1, (4.13) ′′
u ∈ (u0 , u1 )
k´eplet adja meg. Ekkor a (4.9) formula fel´ırhat´ o Dµ v = 2 alakban, ´es a (4.12) formula szerint Dµ Du S(u) = −2. Tekints¨ uk a 4.4. T´etel megfogalmaz´asa el˝ ott bevezetett m(u; a, b), m(u; b), m(u; a, r) ´es m(u; r) mennyis´egeket, amelyeket bizonyos u = us , us ∈ E param´eterekre defini´altunk. R¨ ogz´ıtett a, b vagy r param´eterre jel¨olje m(un ) az ´ıgy defini´alt mennyis´egeket (azon un param´eterekre, amelyekre ezeknek ´ertelme van). Erre a sorozatra is teljes¨ ul a Dµ Du m(u) = −2 azonoss´ag. Ez az azonoss´ag ´erdekes hasonl´os´agot mutat a hat´ar el´er´es´ehez sz¨ uks´eges id˝ o v´ arhat´o ´ert´ek´evel a Wiener folyamat eset´en. Jel¨olje ebben az esetben is m(u) annak az id˝ onek a v´ arhat´ o ´ert´ek´et, ami ahhoz sz¨ uks´eges, hogy az u pontb´ ol kiindul´o Wiener folyamat el´erje az [a, b] intervallum valamely hat´ar´ert´ek´et. Ezt u ´gy is fel´ırhatjuk, mint d2 as´at. Ez hasonl´o a sz¨ ulet´esi ´es a du2 m(u) = −2, m(a) = 0, m(b) = 0 egyenlet megold´ d2 os Laplace) oper´ ator hal´aloz´ asi folyamat viselked´es´ehez, csak itt a du2 , (az egydimenzi´ j´ atszik olyan szerepet, mint a Dµ Du oper´ ator a sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamatok eset´eben. A Laplace oper´ ator 21 -del szorozva, azaz a ∆ oper´ a tor a karakterisztikus (vagy 2 infinitezim´ alis) oper´ ator a Wiener folyamatok eset´eben. Mint a k´es˝obbi vizsg´alatokb´ol 1 ator a karakterisztikus oper´ ator a sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyakider¨ ul a az 2 Dµ Du oper´ matok eset´eben. A k¨ onyv azt is megmutatja, hogy a diffuzi´ os folyamatok eset´eben is hasonl´o eredm´enyek igazak. 10
A Dµ Du oper´ atort fel tudtuk ´ırni az S(u) f¨ uggv´eny seg´ıts´eg´evel, amit a sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat karakterisztik´aj´anak nevez¨ unk. Az S(u) f¨ uggv´enyt meghat´ arozz´ ak a pn , an , n = 0, 1, 2, . . . param´eterek, de ez az ´ all´ıt´ as megford´ıthat´ o. Az S(u) f¨ uggv´eny meghat´ arozza ezeket a param´etereket. Ez´ert egy sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamatot meghat´ aroz annak S(u) karakterisztik´aja, ´es ez az ilyen folyamatok term´eszetes megad´ asi m´ odja. A m´ ar ismertetett eredm´enyek seg´ıtenek azon k´erd´es megv´ alaszol´as´aban, hogy mikor ´eri el egy fel´ uj´ıt´ asi folyamat v´eges id˝ on bel¨ ul az ´ allapott´er r hat´arpontj´at. A k¨ ovetkez˝ o t´etel jellemzi azt, hogy mikor teljes¨ ul 1 illetve 0 val´ osz´ın˝ us´eggel a T (ω) = ∞ esem´eny a (4.3) formul´ aban defini´alt T (ω) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ora. 4.5. T´ etel. Tekints¨ unk egy sz¨ ulet´esi ´es hal´ aloz´ asi folyamatot valamely S(u) karakterisztik´ aval. Az, hogy T (ω) < ∞ vagy T (ω) = ∞ att´ ol f¨ ugg, hogy S(r) < ∞ vagy S(r) = ∞. Pontosabban, Pu (T (ω) < ∞) ´es Eu T (ω) < ∞
minden u ∈ E pontra,
ha S(r) > −∞, ´es Pu (T (ω) = ∞)
minden u ∈ E pontra,
ha S(r) = −∞. Egy sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat r hat´arpontj´at el´erhet˝ onek mondjuk, ha ezt a folyamatot b´armely u ∈ E pontb´ ol ind´ıtva Pu (T (ω) < ∞) = 1, ´es nem el´erhet˝ onek, ha b´armely u ∈ E pontra Pu (T (ω) = ∞) = 1. A k¨ ovetkez˝ o t´etel tekinthet˝ o a 4.5. t´etel egy v´ altozat´ anak. 4.5′ . T´ etel. Tekints¨ unk egy x(t) sz¨ ulet´esi ´es hal´ aloz´ asi folyamatot valamely S(u) karakterisztik´ aval. A k¨ ovetkez˝ o lehet˝ osegek vannak. (i) r < ∞, ´es S(r) > −∞. Ekkor Pu (T (ω) < ∞) = 1, ´es lim x(t) = r egy val´ osz´ıt↑T
n˝ us´eggel minden u ∈ E pontra. (Sz¨ ulet´esi ´es hal´ aloz´ asi folyamat, el´erhet˝ o, vonz´ o r < ∞ hat´ arponttal.) (ii) r < ∞, ´es S(r) = −∞. Ekkor Pu (T (ω) = ∞) = 1, ´es lim x(t) = r egy val´ osz´ın˝ ut↑T
s´eggel minden u ∈ E pontra. (Sz¨ ulet´esi ´es hal´ aloz´ asi folyamat, nem el´erhet˝ o, vonz´ o r < ∞ hat´ arponttal.) (iii) r = ∞, ´es S(r) = ∞. Ekkor Pu (T (ω) = ∞) = 1, ´es T → ∞ eset´en a sz¨ ulet´esi ´es hal´ aloz´ asi folyamat minden a ´llapotot v´egtelen sokszor megl´ atogat egy val´ osz´ın˝ us´eggel minden u ∈ E pontra. (Sz¨ ulet´esi ´es hal´ aloz´ asi folyamat, nem el´erhet˝ o, tasz´ıt´ or=∞ hat´ arponttal.) A tov´ abbi vizsg´alatok f˝ o k´erd´ese az, hogy az (i) esetben, amikor r < ∞, ´es S(r) > −∞, hogyan tudjuk a sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamatot a T (ω) id˝ opont ut´ an u ´gy folytatni, hogy az tov´ abbra is Markov folyamat maradjon. El˝osz¨ or ezt a k´erd´est 11
pontosabban meg kell fogalmaznunk. A pontosabb megfogalmaz´asban defini´aljuk a sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamatok A oszt´alyba tartoz´o folytat´asait, ´es c´elunk az lesz, hogy jellemezz¨ uk az ¨ osszes A oszt´alyba tartoz´o sztochasztikus folyamatot. Egy sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat A oszt´alyba tartoz´o folytat´asai olyan Markov folyamatok, amelyek ennek a sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamatnak folytat´ asai bizonyos t > T id˝ opontokra, ´es ´ allapotter¨ uk az E halmaz kib˝ ov´ıt´ese a sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat r hat´arpontj´aval. Teljes´ıtik nemcsak a Markov, hanem az er˝ os Markov tulajdons´agot is. A legl´enyegesebb u ´j felt´etel az, hogy egy A oszt´alyba tartoz´o sztochasztikus folyamat trajek´ori´ ai minden pontjukban jobbr´ol folytonos f¨ uggv´enyek. Ez azt jelenti, hogy az r hat´arpont el´er´ese ut´ an a trajekt´oria nem viselkedhet nagyon szab´alytalanul. Ez bizonyos, a t¨obbi felt´etelnek eleget tev˝ o Markov folyamatokat kiz´ ar az A oszt´alyba tartoz´o sztochasztikus folyamatok k¨ oz¨ ul. Megadjuk az A oszt´alyba tartoz´o sztochasztikus folyamatok pontos definici´ oj´at. Sz¨ ulet´ esi ´ es hal´ aloz´ asi folyamatok A oszt´ alyba tartoz´ o folytat´ asainak a definici´ oja. Legyen adva egy x ¯(t), 0 ≤ t < T , sz¨ ulet´esi ´es hal´ aloz´ asi folyamat el´erhet¨ o ´es vonz´ o hat´ arponttal, amely ´ert´ekeit a kanonikus sk´ al´ an veszi fel. Azt mondjuk, hogy egy x(t) sztochasztikus folyamat az x ¯(t) sz¨ ulet´esi ´es hal´ aloz´ asi folyamat A oszt´ alyba tartoz´ o folytat´ asa, ha teljes´ıti a k¨ ovetkez˝ o felt´eteleket. (1) Az x(t) sztochasztikus folyamat trajekt´ ori´ ai az x ¯(t) folyamat [0, T (ω)) intervallumban megadott trajekt´ ori´ ainak a folytat´ asai valamely [0, ζ(ω)) intervallumba, T (ω) ≤ ζ(ω) ≤ ∞. Az x(t) folyamat trajekt´ ori´ ainak adott id˝ opontbeli ´ert´ekei az un ∈ E sz´ amok valamelyike vagy az E halmaz a ´llapott´er r hat´ arpontja. (2) Az x(t) sztochasztikus folyamat trajekt´ ori´ ainak Pu , u ∈ E, eloszl´ asa, (ha az x(t) sz¨ ulet´esi ´es hal´ aloz´ asi folyamat az u pontb´ ol indul) egy b˝ ovebb halmazrendszeren defini´ alt val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ek, mint az u pontb´ ol kiindul´ o x ¯(t) folyamat eloszl´ asa. Azon esem´enyek val´ osz´ın˝ us´ege, amelyek a sztochasztikus folyamat T (ω) idej´eig bek¨ ovetkezett esem´enyeit˝ ol f¨ uggenek megegyezik a k´et esetben. Emellett el˝ o van ´ırva az x(t) sztochasztikus folyamat Pr eloszl´ asa abban az esetben is, ha az x(t) sztochasztikus folyamat az r pontb´ ol indul. (3) Az x(t) sztochasztikus folyamat teljes´ıti az er˝ os Markov tulajdons´ agot, azaz, tetsz˝ oleges τ (ω) τ (ω) < ζ(ω), meg´ all´ asi szab´ alyra, az y(t) = x(t + τ ) sztochasztikus folyamat felt´eteles eloszl´ asa felt´eve az x(t) sztochasztikus folyamat τ id˝ opontig t¨ ort´en˝ o viselked´ese a ´ltal gener´ alt σ-algebr´ at csak az x(τ (ω)) = u ∈ E ∪ {r} sz´ amt´ ol f¨ ugg, ´es megegyezik a Pu val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ekkel. (4) Az x(t) folyamat trajekt´ ori´ ai jobbr´ ol folytonosak, azaz x(t + h, ω) → x(t, ω) ha h ↓ 0 minden ω elemi esem´enyre ´es 0 ≤ t < ζ(ω) sz´ amra. (Ez azt jelenti, hogy ha x(t) = u ´es u 6= r, a kkor x(·) a t id˝ opont ut´ an egy r¨ ovid ideig az u pontban marad, ´es ha x(t) = r, akkor kis id˝ o alatt a trajekt´ oria csak kev´ess´e tud elt´ avolodni az r pontt´ ol.) (5) x(T (ω), ω) = r. (Ez a rel´ aci´ o akkor ´erv´enyes, ha ζ(ω) > T (ω), azaz x(T (ω)) defini´ alva van.) C´elunk egy x ¯(t) sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat ¨ osszes A tulajdons´ag´ u folytat´as´anak 12
megtal´ al´ asa. A Markov folyamatok ´ altal´ anos elm´elet´enek eredm´enyeib˝ol k¨ ovetkezik, hogy e folyamatok jellemz´es´ehez el´eg megadni azoknak a (4.1) formul´ aban defini´alt U karakterisztikus oper´ ator´at. A k¨ onyv ezt a karakterisztikus oper´ atort megadja explicit alakban. Tegy¨ unk el˝ osz¨ or n´eh´ any megjegyz´est a (4.1) k´eplet pontos ´ertelmez´es´er˝ ol. El˝ofordulhat, hogy az x(t) Markov folyamat soha nem l´ep ki az U tartom´anyb´ol. Ekkor definici´ o szerint τ (ω) = ζ(ω) a (4.1) k´eplet nevez˝ oj´eben szerepl˝o Ex τ definici´ oj´aban. A sz´aml´al´ oban szerepl˝o Ef (x(τ )) definici´ oj´aban viszont a τ = ζ esem´enyt nem vessz¨ uk figyelembe. He Ex (τ ) = ∞ az x pont minden U k¨ ornyezet´ere, akkor Uf (x) = 0. A Uf (u) mennyis´eget egyszer˝ u kisz´ amolni egy sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamatban, illetve annak A tulajdons´ag´ u kiterjeszt´es´eben minden u ∈ E pontban. Err˝ol sz´ol a k¨ ovetkez˝ o eredm´eny. 4.6. T´ etel. Tekints¨ uk egy sz¨ ulet´esi ´es hal´ aloz´ asi folyamatnak vagy annak A tulajdons´ ag´ u folytat´ as´ anak az U karakterisztikus oper´ ator´ at. Ez teljes´ıti a Uf (u) =
1 Dµ Du f (u) 2
minden u ∈ E pontban.
rel´ aci´ ot, ahol a Du ´es Dµ oper´ atorokat a (4.11) ´es (4.13) k´epletekben defin´ altuk. Bizony´ıt´ as. Sz´ amoljuk ki a U oper´ atort egy u ∈ E pontban. Nem neh´ez bel´ atni, hogy ha az un ∈ E pont U k¨ ornyezete el´eg kicsi, akkor az csak az un pontot tartalmazza. Ez´ert qn f (un−1 ) + pn f (un+1 ) − f (un ) . Uf (un ) = 1 an
M´asr´eszt qn =
δn δn−1 +δn
Uf (un ) = =
´es pn =
δn−1 δn−1 +δn ,
ez´ert
(un−1 ) f (un+1 )−f (un ) − f (un )−f δn δn−1 1 δn−1 +δn an δn−1 δn Du f (u′′ ) − Du f (u′ ) Du f (u′′ ) − Du f (u′ ) = 1 δn−1 +δn 2µn an δn−1 δn
=
1 Dµ Du f (un ), 2
ahol u′ ∈ (un−1 , un ), ´es u′′ ∈ (un , un+1 ). Az A tulajdons´ag´ u folytat´asok megtal´ al´ as´anak f˝ o neh´ezs´ege a hozz´ ajuk tartoz´o Uf (r) mennyis´eg meghat´ aroz´asa. E feladat megold´ as´anak ´erdek´eben tekints¨ uk a k¨ ovetkez˝ o probl´em´akat. Minden y = un ∈ E pontra defini´aljuk az r pont Uy k¨ ornyezet´et, mint az Uy = {un+1 , un+2 , . . . }∪{r} halmazt. Jel¨olje τy azt az els˝ o id˝ opontot, amikor egy az r pontb´ ol kiindul´o sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat A oszt´alyba tartoz´o folytat´asa az Uy halmazb´ol kil´ep, azaz az els˝ o olyan id˝ opontot, amikor ez a sztochasztikus folyamat vagy az u0 , u1 , . . . un ´ert´ekek valamelyik´et veszi fel, vagy elt˝ unik. Az els˝ o feladat az x(t) sztochasztikus folyamat eloszl´ as´anak megad´asa a t = τy id˝ opontban. Mint l´atni fogjuk ez az eloszl´ as 13
a sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat pn ´es an param´eterein k´ıv¨ ul e folyamat A oszt´alyba tartoz´o folytat´asainak tov´ abbi param´etereit˝ol is f¨ ugg. A k¨ ovetkez˝ o feladat az, hogy amennyiben ezeket (´es esetleg m´ as param´etereket is) r¨ogz´ıt¨ unk, akkor sz´amoljuk ki az Er τy v´ arhat´ o ´ert´eket is. Ha e feladatokat megoldottuk, akkor ki tudjuk sz´amolni az Uf (r) mennyis´eget, azaz a karakterisztikus oper´ ator hat´as´anak az ´ert´eket az r pontban is. A fenti probl´em´ak megold´ as´at ´erdemes a k¨ ovetkez˝ o megjegyz´essel kezdeni. Abban az esetben, ha x(t) egy sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat A oszt´alyba tartoz´o folytat´asa, ´es az r pont ennek elnyel˝ o pontja, azaz ha az x(t) folyamat az r pont megl´ atogat´asa ut´ an ¨ or¨ okk´e ott marad, akkor Pr (τy = ∞) = 1, ´es Er τy = ∞. Ellenkez˝ o esetben a k¨ ovetkez˝ o eredm´eny ´erv´enyes. 4.7. Lemma. Ha x(t) egy sz¨ ulet´esi ´es hal´ aloz´ asi folyamat olyan A oszt´ alyba tartoz´ o folytat´ asa, amelynek az r pont nem elnyel˝ o pontja, akkor Pr (τy < ∞) = 1,
´es
E r τy < ∞
minden y ∈ E pontra. Megjegyzem, hogy a 4.7. lemma igazol´as´aban fontos szerepet j´ atszik a 4.3. lemma alkalmaz´asa. Ezut´an a k¨ onyv tekinti egy sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat x(t) A oszt´alyba tartoz´o folytat´as´at, ´es azt vizsg´alja, hogy milyen lehet az x(τy ) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o Pr m´ert´ek szerinti eloszl´ asa, ahol τy az az els˝ o id˝ opont, amikor az r pontb´ ol ind´ıtott x(t) Markov folyamat el˝ osz¨ or kil´ep az Uy halmazb´ol. Itt y ∈ E tetsz˝olegesen v´ alasztott pont. A k¨ onyv el˝ osz¨ or megoldja ezt a feladatot egy term´eszetes speci´ alis esetben. Akkor, ha az x(t) Markov folyamat az r hat´arpontba ´erve u ´gy visekedik, hogy ot exponenci´ alis eloszl´ as´ u ideig v´ ar, majd π(uk ) val´ osz´ın˝ us´eggel az uk pontba ugrik, uk ∈ E, ´es ∞ P π(uk ) = 1. Itt a k¨ onyv a k¨ ovetkez˝ o, a jel¨ol´est kiss´e leegyszer˝ us´ıt˝ o konvenci´ ot vezeti k=−1
be. Azt az esem´enyt, hogy a r´eszecske elt˝ unik, u ´gy interpret´alja, hogy a r´eszecske az u−1 = −1 ´ allapotba ker¨ ul, ´es onnan m´ ar t¨obb´e nem l´ep ki. Ennek a val´ osz´ın˝ us´eg´et π(−1)-nel jel¨oli. A szerz˝ok megmutatj´ak, hogy ebben az esetben a πy (u) = Pr (x(τy ) = u) val´ osz´ın˝ us´egek, ahol u = uk , −1 ≤ k ≤ n, ha y = un , a k¨ ovetkez˝ ok´epp adhat´oak meg. π(u) πy (u) = P , ha u < y, (4.14) π(u) + α(y) u≤y
´es
π(y) + α(y) , πy (y) = P π(u) + α(y)
(4.15)
u≤y
ahol
α(y) =
X 1 (r − z)π(z). r − y y
(4.16)
A most eml´ıtett formula megadja a πy (u), u ≤ y, eloszl´ ast egy sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat A oszt´alyba tart´oz´ o b˝ov´ıt´eseinek egy nagy csal´adj´ ara, de nem ´ırja le az o¨sszes lehet˝ os´eget. A tekintett p´eld´aban ugyanis olyan modelleket tekintett¨ unk, amelyekben az r hat´arpont valamely t id˝ opontbeli el´er´ese ut´ an van egy k¨ ovetkez˝ o id˝ opont, amikor a folyamat az r pontb´ ol valamelyik un pontba ugrik. De nem minden modellben van ilyen tulajdons´ag´ u ‘k¨ovetkez˝ o id˝ opont’. El˝ofordulhat az is, hogy az r pontb´ ol t¨ort´en˝ o ugr´asok id˝ opontjai (jobbr´ ol) konverg´alnak a t id˝ oponthoz. A k¨ ovetkez˝ o t´etelben ismertetett eredm´enyben megadjuk az ¨ osszes lehets´eges πy (·) eloszl´ ast egy sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat valamely A oszt´alyba tartoz´o x(t) folytat´as´anak az eset´eben. Ezek az eloszl´ asok a sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat param´eterein k´ıv¨ ul f¨ uggnek m´eg egy π = (π(u−1 ), π(u0 ), π(u1 ), . . . ) nem negat´ıv sz´amokb´ol ´ all´ o sorozatt´ ol, amit az ugr´as m´ert´ek´enek ´es egy α ≥ 0 sz´amt´ol, amit t¨ ukr¨ oz´esi egy¨ utthat´onak neveznek. Ha a π vektort ´es α sz´amot megszorozzuk ugyanazzal a pozit´ıv sz´ammal akkor azok ugyanazt a πy eloszl´ ast fogj´ ak defini´alni, minden y ∈ E pontra, de ett˝ol a pozit´ıv egy¨ utthat´oval val´ o szorz´ast´ ol eltekintve k¨ ul¨ onb¨oz˝ o (π, α) p´arok k¨ ul¨ onb¨oz˝ o eloszl´ asokat defini´alnak. A P ´ π(un ) ¨ osszeg lehet divergens. Erdemes megjegyezni, hogy a 4.7. lemma szerint πy (·) n
egy val´ odi eloszl´ as a {u−1 , u0 , . . . , y} halmazon minden y ∈ E pontra, ha r az x(t) sztochasztikus folyamatnak nem elnyel˝ o fala, m´ıg az ellenkez˝ o esetben πy (u) = 0 minden u ∈ {u−1 , u0 , . . . , y} pontban. A pontos eredm´eny a k¨ ovetkez˝ ot a´ll´ıtja.
4.8. T´ etel. Legyen adva egy sz¨ ulet´esi ´es hal´ aloz´ asi folyamat A oszt´ alyba tartoz´ o x(t) folytat´ asa. Akkor l´etezik egy olyan multiplikativ faktor erej´eig egy´ertelm˝ uen meghat´ arozott α ≥ 0 t¨ ukr¨ oz´esi egy¨ utthat´ onak nevezett konstans ´es π = (π(u−1 ), π(u0 ), π(u1 ), . . . ) nem negat´ıv sz´ amokb´ ol a ´ll´ oa X (r − u)π(u) < ∞ (4.17) u
felt´etelt teljes´ıt˝ o, az ugr´ as m´ert´ek´enek nevezett sorozat, amelyek rendelkeznek a k¨ ovetkez˝ o tulajdons´ agokkal. (1) Az x(t) folyamat a ´ltal meghat´ arozott α sz´ am ´es π vektor elemei akkor ´es csak akkor egyenl˝ oek mind null´ aval, ha r az x(t) sztochasztikus folyamat elnyel˝ o pontja. (2) Ha az α sz´ am ´es a π vektor elemei k¨ oz¨ ul legal´ abb egy nem egyenl˝ o null´ aval, akkor minden y ∈ E pontra az x(t) sztochasztikus folyamat a ´ltal meghat´ arozott πy eloszl´ ast a (4.14), (4.15) valamint az " # X 1 α+ (r − z)π(z) (4.18) α(y) = r−y y
tudjuk, hogy ha egy z, x < z < r, pontba ker¨ ul¨ unk, akkor milyen val´ osz´ın˝ us´eggel jutunk innen az x ´es r pontok k¨ oz¨ ul el˝ osz¨ or az x, illetve az r pontba. Azt kapjuk, hogy z−y πy (u), ha u < y, r − y y
πy (u) = π(u) +
X
π(z)
azaz πy (u) =
πy (y) =
1−
1−
1 r−y
π(u) P , (z − y)π(z)
ha u < y,
y
π(y) + α(y) P , (z − y)π(z)
1 r−y
y
Innen megkapjuk a (4.14) ´es (4.15) formul´ akat, ha felhaszn´aljuk az 1−
X X X 1 1 (z − y)π(z) = π(z) − (z − y)π(z) r − y y
z≤y
azonoss´agot. A 4.8. t´etel bizony´ıt´ asa nehezebb. E t´etel bizony´ıt´ as´aban a π ugr´as m´ert´ek sorozatot, illetve az α t¨ ukr¨ oz´esi egy¨ utthat´ot is meg kell tal´ alni. Ebben az esetben a bizony´ıt´ as kiindul´o l´ep´ese az, hogy az y ∈ E ponton k´ıv¨ ul r¨ogz´ıt¨ unk egy x ∈ E, x > y, pontot is, ´es az el˝ oz˝ o esethez hasonl´oan a πy (u), u < y, val´ osz´ın˝ us´egeket kisz´ amoljuk a πx (u), u < x, val´ osz´ın˝ us´egek seg´ıts´eg´evel. Ekkor a πy (u), u ≤ y, val´ osz´ın˝ us´egeket a k¨ ovetkez˝ o, a (4.14)—(4.16) formul´ akhoz nagyon hasonl´o k´epletek seg´ıts´eg´evel lehet kifejezni: πx (u) , πx (u) + αx (y)
πy (u) = P
ha u < y,
u≤y
πx (y) + αx (y) , πy (y) = P πx (u) + αx (y) u≤y
ahol αx (y) =
X 1 (r − z)πx (z). r−y y
Ezut´an az x → r hat´ar´ atmenet seg´ıts´eg´evel be lehet l´atni a k´ıv´ant formul´ at. 16
(4.19)
A r´eszletek kidolgoz´ asa sor´ an a bizony´ıt´ as egyik fontos l´ep´ese annak igazol´asa, hogy l´etezik egy olyan π = (π(u−1 ), π(u0 ), π(u1 ), . . . ) nem negat´ıv sz´amokb´ ol a´ll´ o sorozat, amelyre igaz, hogy tetsz˝oleges y ∈ E pontra a {πy (u): u < y, u ∈ E ∪ {u−1 }} vektor ennek a π vektor E ∪ {u−1 } halmazra val´ o megszor´ıt´ as´anak a konstansszorosa. Jel¨olje λ(x) azt a sz´amot, amellyel a πx (u), u < x, vektort beszorozva megkapjuk a π vektornak az u−1 , u0 , u1 , . . . un = x param´eterekhez tartoz´o koordin´ at´ ait. A πy (u), u < y, ´es π(u) πy (y)-ra kapott kifejez´esekbe behelyettes´ıtve a πx (u) = λ(x) azonoss´agokat azt kapjuk, hogy a (4.14) ´es (4.15) formul´ ak ´erv´enyesek az α(y) = αx (y)λ(x),
(x > y),
(4.20)
konstanssal. Az utols´ o formula azt is jelenti, hogy az ott fel´ırt azonoss´ag jobboldala nem f¨ ugg az x param´etert˝ ol. Tov´ abb´a a (4.14) formula seg´ıts´eg´evek kapjuk, hogy a λ(y) sz´amok, y ∈ E, teljes´ıtik a X λ(y) = π(y) + α(y) (4.21) u≤y
rel´ aci´ot. Ilyen m´ odon megtal´ altuk azt az α(y) sz´amot, amellyel ´erv´enyesek a (4.14) ´es (4.15) rel´ aci´ok, de m´eg meg kell mutatnunk, hogy ez az α(y) sz´am kifejezhet˝o a π vektor ´es az (eddig m´eg nem defini´alt) α t¨ uk¨oz´esi egy¨ utthat´o seg´ıts´eg´evel a (4.18) formul´ aban megadott m´ odon. Ennek ´erdek´eben el˝ osz¨ or megmutatjuk a (4.20), (4.19) ´es (4.14), (4.15), (4.21) azonoss´agok seg´ıts´eg´evel (az utols´ o h´arom azonoss´agot az x ´es nem az y param´eterre alkalmazva), hogy teljes¨ ul az X 1 α(x)(r − x) + π(z)(r − z) α(y) = r−y y
azonoss´ag is. Speci´ alisan ezen azonoss´ag jobboldala nem f¨ ugg az x param´etert˝ ol. Alkalmazva ebben a k´epletben az x → r hat´ar´ atmenetet megkapjuk el˝ osz¨ or a (4.17) egyenl˝otlens´eget, majd a (4.18) azonoss´agot α = lim α(x)(r − x) v´ alaszt´ assal. Spex→r
ci´ alisan ez a limesz l´etezik, ´es ez lehet˝ ov´e teszi (a π vektor ismeret´eben) az α t¨ ukr¨ oz´esi egy¨ utthat´o definici´ oj´at is. A 4. fejezet 4.8. t´etelt bizony´ıt´ o alfejezete tartalmaz n´eh´ any megjegyz´est a t´etelben P szerepl˝ o param´ e terek jelent´ e s´ e r˝ o l. Ha α = 0, ´ e s π(u) < ∞, akkor feltehetj¨ uk azt is, P hogy π(u) = 1. Ez megegyezik az els˝ ok´ent t´argyalt speci´alis esettel. Ha π(un ) = 0 minden un indexre, ´es α > 0, akkor πy (y) = 1, ´es πy (u) = 0 minden u < y a´llapotra. Ekkor v´egtelen sok ugr´as t¨ort´enik, miel˝ ott a r´eszecske el´eri az y pontot, de ezek az ugr´asok kicsik. A rendszer viselked´ese ekkor hasonl´ıt a Wiener folyamathoz, amely t¨ ukr¨ oz˝ odik a hat´arpontban, ez´ert az itt megjelen˝o viselked´est t¨ ukr¨ oz´esnek nevezz¨ uk. P Ha α = 0, ´es π(u) = ∞ akkor is v´egtelen sok ugr´as k¨ ovetkezik be, miel˝ ott a r´eszecske el´er egy y pontot. Ez r´eszben hasonl´ıt a t¨ ukr¨ oz´es eset´ehez, de ilyenkor viszonylag nagy ugr´asok is t¨ort´enhetnek. Viszont annak ´erdek´eben, hogy a A oszt´alyba 17
tartoz´o folyamatok (4) tulajdons´aga is teljes¨ ulj¨on az ugr´asok nagys´ag´ ara bizonyos korl´atot is fel kell tenni. Ilyen felt´etel a (4.17) rel´ aci´o. Az ´ altal´ anos eset, amikor α > 0 ´es π > 0 egyszerre lehets´eges akkor a folyamat egy t¨ ukr¨ oz´es ´es ugr´as kever´eke. Ezt a k´erd´est t´argyalja a fejezet ut´ an megadott Feladatok r´esz. A k¨ ovetkez˝ o vizsg´alt k´erd´es az, hogy egy sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´asi folyamat A oszt´alyba tartoz´o x(t) folytat´asa eset´en hogyan tudjuk kisz´ amolni az Er τy v´ arhat´ o ´ert´eket. Vegy¨ uk ´eszre, hogy ha az r pont az x(t) sztochasztikus folyamat elnyel˝ o pontja akkor Eτy = ∞ minden y ∈ E pontra. M´asr´eszt a 4.7. lemma alapj´ an Eτy < ∞ minden y ∈ E pontra, ha az r pont nem elnyel˝ o pontja az x(t) sztochasztikus folyamatnak. Az al´ abbiakban ismertetem azt az eredm´enyt, amely megadja az x(t) folyamat a´ltal meghat´ arozott τy val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o m(y) = Er τy v´ arhat´ o ´ert´ek´et minden y ∈ E pontban. Ez a v´ arhat´ o ´ert´ek f¨ ugg a kiindul´o x ¯(t) sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat pn ´es an param´etereit˝ol, az x(t) folyamatot jellemz˝o ´es a 4.8. t´etelben bevezetett α ≥ 0 t¨ ukr¨ oz´esi egy¨ utthat´ot´ ol, a π = (π(u−1 ), π(u0 ), π(u1 ), . . . ) nem negat´ıv sz´amokb´ol ´ all´ o ´es ugr´as m´ert´eknek nevezett sorozatt´ ol, valamint egy u ´j abszorpci´ os egy¨ utthat´onak nevezett β ≥ 0 konstanst´ ol. Ha az α, ´es β sz´amokat ´es a π vektort beszorozzuk ugyanazzal a pozit´ıv konstanssal, akkor azok ugyanazt az m(y) = Er τy v´ arhat´ o ´ert´eket hat´arozz´ ak meg. 4.9. T´ etel. Legyen adva egy x ¯(t) sz¨ ulet´esi ´es hal´ aloz´ asi folyamat A oszt´ alyba tartoz´ o x(t) folytat´ asa, ´es tekints¨ uk minden y ∈ E pontra a kor´ abban defini´ alt τy val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot ´es annak m(y) = Er (τy ) v´ arhat´ o ´ert´ek´et. L´etezik egy olyan β ≥ 0 konstans, amelyik nem egyenl˝ o null´ aval akkor, ha α = 0 ´es π = 0 a 4.8. t´etelben meghat´ arozott α sz´ ammal ´es π vektorral, ´es amelyikkel ´erv´enyes az β + αv(r) + m(y) = Er (τy ) =
P
π(z)[S(z) − S(r)] − α(y)[S(y) − S(r)]
y
λ(y)
,
(4.22)
azonos´ ag minden y ∈ E pontban, ahol a (4.22) formul´ aban szerepl˝ o kifejez´esek a k¨ ovetkez˝ ok´epp vannak defini´ alva. S(·) az x ¯(t) sz¨ ulet´esi ´es hal´ aloz´ asi folyamat karakterisztik´ aj´ anak nevezett f¨ uggv´eny, v(r) = lim v(u) a −S(t) f¨ uggv´eny (monoton n¨ ovekv˝ o, nem u→r
negat´ıv) a (4.11) ´es (4.12) formul´ akban defini´ alt deriv´ altj´ anak a limesze az r pontban, α a 4.8. t´etelben bevezetett t¨ ukr¨ oz´esi egy¨ utthat´ o, π(z) a 4.8. t´etelben bevezett π ugr´ as m´ert´eknek nevezett sorozat megfelel˝ o koordin´ at´ aja, az α(y) ´es λ(y) sz´ amok e mennyis´egek seg´ıts´eg´evel a (4.18) ´es (4.21) formul´ akban vannak kifejezve. E k´epletben az αv(r) kifejez´est az α = 0, v(r) = ∞ esetben az αv(r) = 0,
ha
α = 0 ´es v(r) = 0
k´eplettel defini´ aljuk. Az x(t) folyamat vizsg´ alat´ aban megjelent α, v(r) sz´ amok, S(t) karakterisztika ´es a π az ugr´ as m´ert´eknek nevezett sorozat teljes´ıtik az αv(r) < ∞ 18
(4.23)
´es X
π(u)[S(u) − S(r)] < ∞
(4.24)
u
egyenl˝ otlens´egeket. Ha α = 0 ´es π = 0, azaz, ha r elnyel˝ o pontja az x(t) sztochasztikus folyamatnak akkor a (4.22) k´epletben meghat´ arozott m(y) mennyis´egre m(y) = ∞. A t¨obbi esetben m(y) < ∞. Vegy¨ uk ´eszre, hogy, ha az α ´es β sz´amokat ´es v vektort megszorozzuk ugyanazzal a pozit´ıv sz´ammal, akkor a (4.22) formula jobboldal´ an szerepl˝o kifejez´es ´ert´eke nem v´ altozik. Ez azt jelenti, hogy az (α, β, π) vektor csak egy pozit´ıv konstans szorz´o erej´eig van meghat´ arozva. A 4.9. t´etel bizony´ıt´ as´anak nem t´argyalom minden r´eszlet´et, csak n´eh´ any megjegyz´est teszek a bizony´ıt´ assal kapcsolatban. A 4.9. t´etel bizony´ıt´ as´aban hasonl´oan a 4.8. t´etel bizony´ıt´ as´ahoz, vesz¨ unk k´et x, y ∈ E, y < x pontot, ´es el˝ osz¨ or az m(x) ´es m(y) v´ arhat´ o ´ert´eket hasonl´ıtjuk o¨ssze, ´es megvizsg´ aljuk mit kapunk az x → r hat´ar´ atmenet v´egrehajt´asa eset´en. Jelen esetben a k´ıv´ant formul´ ak bizony´ıt´ as´anak ´erdek´eben a 4.4. ´es 4.3. t´etelek eredm´enyeit ´erdemes alkalmazni. A 4.4. t´etel megadja azon id˝ o m(z; y, r) v´ arhat´ o ´ert´ek´et, ami ahhoz sz¨ uks´eges, hogy a z pontb´ ol kiindul´o sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat el´erje az y ´es r pont valamelyik´et, (y < z < r). R´eszletesebben kifejtve, a 4.4. t´etel 3. formul´ aja alapj´ an fel´ırhatjuk, hogy m(z; y, r) = S(z) −
r−z (r − z)S(y) + (z − y)S(r) = [S(z) − S(r)] − [S(y) − S(r)], r−y r−y
r−z val´ osz´ın˝ us´eggel ´es mivel egy z pontb´ ol kiindulva, y < z < r, az y ´es r pontok k¨ oz¨ ul r−y z−y el˝ osz¨ or az y pontot ´es r−y val´ osz´ın˝ us´eggel el˝ osz¨ or az r pontot ´erj¨ uk el, ez´ert
m(y) = m(x) +
X
y
z−y m(y) . πx (z) m(z; y, r) + r−y
Ezek a formul´ ak, tov´ abb´a a kor´ abban a px (z) val´ osz´ın˝ us´egekre kapott kifejez´esek lehet˝ov´e teszik, hogy egy alkalmas formul´ at ´ırjunk fel az m(x) ´es m(y) v´ arhat´ o ´ert´ekek kapcsolat´ ar´ ol. N´eh´ any kor´ antsem trivi´ alis ´ atalak´ıt´ ast v´egrehajtva azt kapjuk, hogy λ(y)m(y) + α(y)[S(y) − S(r)] = λ(x)m(x) + α(x)[S(x) − S(r)] +
X
π(z)[S(z) − S(r)].
y
Azt kell tanulm´anyozni, mit kapunk ezen azonoss´ag seg´ıts´eg´evel az x → r hat´ar´ atmenet v´egrehajt´asa eset´en. Mivel az azonoss´ag baloldala nem f¨ ugg az x sz´amt´ol, nem neh´ez bel´ atni ilyen m´ odon a (4.24) egyenl˝otlens´eget. M´asr´eszt vizsg´alnunk kell az α(x)[S(x) − 19
S(r)] kifejez´es limesz´et x → r hat´ar´ atmenet eset´en. N´emi nem trivi´ alis sz´amol´ as azt adja, felhaszn´alva az S(·) f¨ uggv´eny tulajdons´agait, hogy lim α(x)[S(x) − S(r)] = αv(r). x↑r
Ennek seg´ıts´eg´evel be lehet l´atni a (4.22) formul´ at a β = lim λ(x)m(x)
(4.25)
x↑r
v´ alaszt´ assal. Speci´ alisan az is k¨ ovetkezik ebb˝ol a gondolatmenetb˝ol, hogy a β sz´amot defini´al´ o limesz val´ oban l´etezik. V´eg¨ ul a (4.23) formula k¨ ovetkezik a (4.22) formul´ ab´ ol. A szerz˝ok ismertetnek egy olyan eredm´enyt is, amely egyben megmagyar´ azza, hogy a (4.22) formul´ aban szerepl˝o β sz´amot mi´ert h´ıvj´ ak abszorpci´ os egy¨ utthat´onak. Azt vizsg´alj´ak, hogy az x(t) sztochasztikus folyamat mennyi id˝ ot t¨olt az r hat´arpontban azel˝ott hogy az az r pontb´ ol el˝ osz¨ or kil´ep egy Uy halmazb´ol. Bebizony´ıtj´ak a k¨ ovetkez˝ o t´etelt. 4.10. T´ etel. A 4.9. t´etelben tekintett x(t) sztochasztikus folyamat az ott haszn´ alt jel¨ ol´esekkel teljes´ıti minden y ∈ E pontban az Er ξy =
β λ(y)
rel´ aci´ ot, ahol ξy jel¨ oli azt annak az id˝ onek a (Lebesgue) m´ert´ek´et, amelyet az r pontb´ ol kiindul´ o x(t) folyamat az r hat´ arpontban t¨ olt¨ ott, miel˝ ott kil´epett az Uy halmazb´ ol. Ez azt jelenti, hogy az az id˝ o, amit az r pontb´ ol kiindul´o x(t) folyamat az r pontban t¨olt, miel˝ ott el˝ osz¨ or kil´ep az r pont egy Uy k¨ ornyezet´eb˝ ol ar´ anyos a β sz´ammal. Nem neh´ez bel´ atni a (4.18) ´es (4.21) k´epletek seg´ıts´eg´evel, hogy X π(u) ha α = 0 lim λ(y) = u y↑r ∞ ha α > 0, P P ´es ez a limesz v´eges, ha α = 0 ´es π(u) < ∞, ´es v´egtelen, ha α > 0 vagy π(u) = ∞. u
u
Az els˝ o esetben van egy v´eges id˝ ointervallum, ameddig az r pontban tart´ozkod´o x(t) folyamat az r pontban marad, m´ıg a m´ asodik esetben azon id˝ opontok halmaza, amikor az x(t) folyamat az r pontban tart´ozkodik nem tartalmaz intervallumot. Viszont be lehet l´atni, hogy ebben az esetben azon t id˝ opontok halmaza, amelyet az r pontb´ ol kiindul´o x(t) folyamat az Uy b´ol val´ o kil´ep´es el˝ ott az r pontban t¨olt a Pr m´ert´ek szerint egy val´ osz´ın˝ us´eggel pozit´ıv m´ert´ek˝ u Cantor halmaz, ´es e halmaz m´ert´eke ar´ anyos a β param´eterrel. L´ attuk, hogy egy sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat A oszt´alyba tartoz´o folytat´as´anak teljes´ıtenie kell a (4.17) ´es (4.23) egyenl˝otlens´eget. Be lehet viszont l´atni, felhaszn´alva 20
az S(t) f¨ uggv´eny tulajdons´agait, hogy a (4.23) egyenl˝otlens´egb˝ol k¨ ovetkezik a (4.17) egyenl˝otlens´eg. Bizonyos esetekben ez a k´et egyenl˝otlens´eg ekvivalens. Az ilyen esetek megad´as´anak ´erdek´eben bevezetj¨ uk a k¨ ovetkez˝ o fogalmat. Egy sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat r hat´arpontj´at bel¨ ulr˝ ol el´erhet˝ onek nevezz¨ uk, ha v(r) < ∞. Ebben az esetben a (4.17) ´es (4.23) egyenl˝otlens´egek ekvivalensek. Ez az ´ all´ıt´ as viszont nem felt´etlen¨ ul igaz akkor, ha az r pont nem bel¨ ulr˝ ol el´erhet˝ o. Az eddig t´argyalt eredm´enyek lehet˝ ove teszik hogy kisz´ am´ıtsuk az Uf (r) menynyis´eget, azaz a karakterisztikus oper´ ator ´ert´ek´et az r pontban. Az a´ltal´ anos feladat az, hogy ´ırjuk le a sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamatok A oszt´alyba tartoz´o folytat´as´anak U karakterisztikus oper´ atorait. Azt m´ ar l´attuk, hogy egy ilyen sztochasztikus folyamatra 1 atorok pontos le´ır´as´at), Uf (y) = 2 Dµ Du f (y), ha y ∈ E, (megadtuk a Dµ ´es Du oper´ de hi´ anyzik m´eg a Uf (r)-nek a megad´asa. Ez a sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat S(u) karakterisztik´aj´an k´ıv¨ ul f¨ ugg egy α t¨ ukr¨ oz´esi, β abszorpci´ os egy¨ utthat´ot´ ol ´es ´es egy π = (π(u−1 ), π(u0 ), π(u1 ), . . . ) ugr´as m´ert´ek´enek nevezett sorozatt´ ol. A tov´ abbiakban bevezetj¨ uk a γ = π(u−1 ) = π(−1) jel¨ol´est, ´es a π vektor koordin´ at´ ai k¨ oz¨ ul elhagyjuk ezt az elemet. A γ ≥ 0 sz´amot elt˝ un´esi (extinction) egy¨ utthat´onak fogjuk h´ıvni. Megfogalmazom a U karakterisztikus oper´ atort le´ır´o t´etelt, azt´an teszek n´eh´ any megjegyz´est ezzel kapcsolatban, v´eg¨ ul elmagyar´ azom a t´etel bizony´ıt´ as´anak f˝ o l´ep´eseit. 4.11. T´ etel. Egy sz¨ ulet´esi ´es hal´ aloz´ asi folyamat A oszt´ alyba tartoz´ o x(t) folytat´ as´ at a k¨ ovetkez˝ ok´epp adhatjuk meg. Vesz¨ unk egy pn , n = 0, 1, . . . , p0 = 1, 0 < pn < 1, ha n ≥ 1, an , an > 0, n = 0, 1, 2, . . . , sorozatot, tekint¨ unk egy e param´eterek a ´ltal meghat´ arozott x ¯(t) sz¨ ulet´esi ´es hal´ aloz´ asi folyamatot, defini´ aljuk e folyamat S(u), 0 ≤ u ≤ r, karakterisztik´ aj´ at, annak v(u) deriv´ altj´ at ´es az a ´ltala meghat´ arozott Du ´es Dµ oper´ atorokat a m´ ar le´ırt m´ odon. E sz¨ ulet´esi ´es hal´ aloz´ asi folyamat egy x(t) A oszt´ alyba tartoz´ o folytat´ as´ at olyan α ≥ 0 t¨ ukr¨ oz´esi, β ≥ 0 abszorpci´ os, γ ≥ 0 t¨ ukr¨ oz´esi egy¨ utthat´ ok ´es π = (π(u0 ), π(u1 ), . . . ), π(un ) ≥ 0, n = 0, 1, . . . , ugr´ as m´ert´ek´enek nevezett sorozat P seg´ıts´eg´evel adjuk meg. Ezek a mennyis´egek teljes´ıtik a (4.23), (4.24) ´es α2 +β 2 +γ 2 + π(u)2 > 0 felt´eteleket. (A (4.23) felt´etel ´ertelmez´es´eben az αv(r) = 0, u
ha α = 0 ´es v(r) = ∞ konvenci´ ot alkalmazzuk.) Az x(t) sztochasztikus folyamatot annak U karakterisztikus oper´ ator´ anak a seg´ıts´eg´evel adjuk meg, amelyet a k¨ ovetkez˝ ok´epp defini´ alunk. 1 Uf (u) = Dµ Du f (u) ha u ∈ E, 2 ´es X βUf (r) + αf ′ (r) + γf (r) + π(u)[f (r) − f (u)] = 0 (4.26) u
egy olyan f (u), u ∈ E ∪ {r} sorozatra, amely tekinthet˝ o egy a [0, r] intervallumon defini´ alt, az r pontban differenci´ alhat´ o f¨ uggv´eny megszor´ıt´ as´ anak erre a halmazra. A (4.26) formula u ´gy ´ertelmezhet˝ o, hogy egy f (u), u ∈ E ∪ {r}, sorozatot azonos´ıtunk egy ilyen a [0, r] halmazon defini´ alt f (u) f¨ uggv´ennyel, ´es csak olyan sorozatokat tekint¨ unk, amelyekre ez az f (u) f¨ uggv´eny az r pontban differenci´ alhat´ o. Az x(t) folyamat jellemz´es´eben szerepl˝ o α, β ´es γ konstansok, illetve π vektor egy pozit´ıv konstanssal val´ o szorz´ as erej´eig egy´ertelm˝ uen meg vannak hat´ arozva. 21
A k¨ onyvben az van bebizony´ıtva, hogy egy sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat A oszt´alyba tartoz´o folytat´asa csak ilyen alak´ u lehet. Annak a k´erd´esnek a megv´ alaszol´asa, hogy egy ilyen karakterisztikus oper´ ator val´ oban defini´al-e egy k´ıv´ant tulajdons´ag´ u Markov folyamatot, m´ as e k¨ onyvben nem t´argyalt m´ odszerek kidolgoz´ as´at ig´enyli. Ez´ert a k¨ onyv bizony´ıt´ as n´elk¨ ul ismerteti a v´ alaszt erre a k´erd´esre. Viszont az utols´ o alfejezetben bebizony´ıtja, hogy az ´ıgy defini´alt U karakterisztikus oper´ ator egy´ertelm˝ uen meghat´ arozza a sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat x(t) A oszt´alyba tartoz´o folytat´as´anak ´ az eloszl´ as´at. Erdemes megjegyezni, hogy a (4.26) formula nagyon hasonl´ıt a [−∞, 0] f´elegyenesen defini´alt Wiener folyamat karakterisztikus oper´ ator´anak a 0 hat´arpontbeli ´ert´ek´et megad´o (4.2) k´eplethez. Az a´ltal´ anos, de a k¨ onyvben nem ismertetett elm´eletb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy a 4.9. t´etelben megadott U oper´ ator mindig defini´al egy Markov folyamatot. Ez egyben egy sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamatnak az A oszt´alyba tartoz´o folytat´asa, kiv´eve azt az esetet, ha X α = β = 0, ´es π(u) < ∞. u
Ekkor ugyanis az A oszt´alyba tartoz´o folytat´as definici´ oj´anak (4) ´es (5) pontban megfogalmazott, a sztochasztikus folyamat trajekt´ori´ ainak T id˝ opontbeli jobboldali folyto´ noss´ ag´ at el˝ o´ır´o felt´etele nem teljes¨ ul. Erdemes megjegyezni, hogy ez az eset hasonl´o a 4.8. t´etel t´argyal´ asa el˝ ott vizsg´alt speci´alis esethez. A l´enyeges k¨ ul¨ onbs´eg k¨ oz¨ ott¨ uk az, hogy ott az r hat´arpontb´ ol val´ o valamely u ∈ E pontba t¨ort´en˝ o ugr´as bek¨ovetkez´es´ehez exponenci´alis eloszl´ as´ u ideig v´ arni kell, m´ıg az itt eml´ıtett esetben a β = 0 felt´etel azt jelenti, hogy azonnal megt¨ ort´enik az ugr´as. A k´ıv´ant folytonoss´agi tulajdons´ag ez´ert nem teljes¨ ul az adott esetben. A 4.10. t´etel bizony´ıt´ as´ahoz el˝ osz¨ or fel kell ´ırni a karakterisztikus oper´ ator ´ert´ek´et az r pontban, azaz azt az Uf (r) kifejez´est, amit vizsg´alni akarunk. Ez a U oper´ ator definici´ oja, illetve (4.14), (4.15) ´es (4.21) formula alapj´ an ´ıgy ´ırhat´ o fel: P π(u)f (u) + α(y)f (y) − λ(y)f (r) Uf (r) = lim
0
λ(y)m(y)
y↑r
.
Illetve mivel λ(y) a (4.21) formula ´es a γ = π(u(−1) jel¨ol´es bevezet´ese miatt X X λ(y) = π(u) + α(y) = γ + π(u) + α(y) 0≤u≤y
−1≤u≤y
ezt a formul´ at ´ at´ırhatjuk, mint P π(u)[f (u) − f (r)] + α(y)[f (y) − f (r)] − γf (r) Uf (r) = lim
0
λ(y)m(y)
y↑r
.
A (4.27) kifejez´esben szerepl˝o t¨ort nevez˝ oj´ere a (4.25) rel´ aci´o szerint igaz a lim λ(y)m(y) = β y↑r
22
(4.27)
azonoss´ag. N´emi vizsg´alat azt mutatja, hogy amennyiben az f (u) f¨ uggv´eny deriv´alhat´ o az r pontban, akkor e t¨ort sz´aml´al´ oja konverg´al a X π(u)[f (u) − f (r)] + αf ′ (r) − γf (r) u
kifejez´eshez, ha y ↑ r. Ezen ´ all´ıt´ as igazol´as´ahoz azt kell megmutatni, hogy a X π(u)[f (u) − f (r)] 0
osszeg az adott esetben konverg´al a ¨
P
π(u)[f (u) − f (r)] v´egtelen o¨sszeghez, ha y ↑
u
r, ´es az ut´ obbi ¨ osszeg v´eges. Ez azonban k¨ onnyen igazolhat´o a (4.17) formula ´es az f (u) − f (r) ∼ f ′ (r)(u − r), ha u ↑ r rel´ aci´o seg´ıts´eg´evel. A fenti, a (4.27) formula sz´aml´al´ oj´ara ´es nevez˝ oj´ere kapott aszimptotikus rel´ aci´ok implik´ alj´ak a (4.26) formul´ at a β > 0 esetben. A β = 0 esetben ezt a hat´ar´ atmenetet nincs jogunk elv´egezni. De akkor mondhatjuk azt, hogy a Uf (r) formul´ at megad´o limesz csak akkor l´etezik, ha a sz´aml´al´ o tart a null´ ahoz u ↑ r eset´en, azaz, ha X π(u)[f (u) − f (r)] + αf ′ (r) − γf (r) = 0. u
Ez viszont megegyezik a (4.26) formul´ aval a β = 0 esetben. Ez azt jelenti, hogy az Uf (r) kifejez´es, (ha egy´ altal´ an l´etezik) teljes´ıti a (4.26) formul´ at. Itt meg kell jegyezni azt is, hogy abban az esetben, ha r elnyel˝ o ´ allapot, (ezt az esetet nem t´argyaltuk az el˝ oz˝ o vizsg´alatokban), akkor α = γ = π = U = 0, β > 0, teh´at a (4.26) formula ebben az esetben is ´erv´enyes. A fenti ´ervel´es azt bizony´ıtja, hogy a karakterisztikus oper´ ator csak olyan lehet, amelynek az ´ert´eke az r pontban teljes´ıti a (4.26) formul´ at. Az, hogy egy sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat A oszt´alyba tartoz´o folytat´asa val´ oban l´etezik ilyen karakterisztikus oper´ atorral (enyhe megszor´ıt´ asok eset´en), m´ as e k¨ onyvben nem t´argyalt vizsg´alatokb´ol k¨ ovetkezik. A k¨ onyv m´eg tartalmazza annak bizony´ıt´ as´at, hogy a karakterisztikus oper´ ator egy´ertelm˝ uen meghat´ arozza egy sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´ asi folyamat A oszt´alyba tartoz´o folytat´as´anak az eloszl´ as´at. R¨ oviden ismertetem, ezen ´ all´ıt´ as bizony´ıt´ as´anak legfontosabb gondolatait. Ezek a Markov folyamatok elm´elet´enek n´eh´ any fontos m´ odszer´enek az alkalmaz´as´an alapulnak. Azt kell bel´ atni, hogy a megadott Uf oper´ ator ´ert´ekei, ha az U oper´ atort az E ∪ {r} halmazon folytonos f¨ uggv´enyek ter´en alkalmazzuk meghat´ arozz´ ak a p(t, u, v) = Pu (x(t) = v) ´es P (ζ > t) val´ osz´ın˝ us´egeket. Ezt az ´ all´ıt´ ast az anal´ızis eredm´enyei alapj´ an vissza lehet vezetni annak bizony´ıt´ as´ara hogy a U oper´ ator hat´asa a folytonos f¨ uggv´enyek ter´ere egy´ertelm˝ uen meghat´ arozza az u ´gynevezett rezolvenst, azaz a Z ∞ Rλ f (u) = e−λt Eu f (x(t)) dt 0
23
f¨ uggv´enyt minden folytonos f f¨ uggv´enyre ´es λ > 0 sz´amra. Ez a k´eplet u ´gy ´ertend˝o, ´ enyes a hogy a t ≥ ζ eset´eben, vagyis akkor, ha x(t) nincs defini´alva, f (x(t)) = 0. Erv´ rezolvens k¨ ovetkez˝ o jellemz´ese is: Rλ =
Z
∞
e−λt Pt dt,
0
ahol Pt , t ≥ 0, a Markov folyamat kor´ abban is t´argyalt f´elcsoportja. A k¨ onyv bel´ atja, hogy amennyiben f folytonos f¨ uggv´eny akkor az F (u) = Fλ (u) = Rλ f (u) f¨ uggv´eny is folytonos minden λ > 0 sz´amra. Ezenk´ıv¨ ul igaz az al´ abbi (a rezolvensek elm´elet´eben nagyon ´ altal´ anos felt´etelek mellett ´erv´enyes) azonoss´ag. Rλ − Rµ = (µ − λ)Rµ Rλ
minden λ > 0, µ > 0 sz´amp´ arra.
Ezen ¨ osszef¨ ugg´esek seg´ıts´eg´evel a k¨ onyv bel´ atja a k¨ ovetkez˝ o lemm´at. 4.12. Lemma. Ha f folytonos f¨ uggv´eny az E ∪ {u} halmazon, akkor minden λ > 0 param´eterre az F (u) = Fλ (u) = Rλ f (u) f¨ uggv´eny olyan folytonos f¨ uggv´eny az E ∪ {u} halmazon, amely teljes´ıti a f = λF − UF (4.28) azonoss´ agot. Ezen eredm´eny alapj´ an a k´ıv´ant egy´ertelm˝ us´eg bizony´ıt´ as´ahoz el´eg megmutatni azt, hogy r¨ogz´ıtett folytonos F f¨ uggv´enyre a (4.28) egyenletet egyetlen (folytonos) f f¨ uggv´eny el´eg´ıti ki. Ezt a k¨ ovetkez˝ ok´epp l´athatjuk be. El´eg megmutatni, hogy a λF − UF ≡ 0 egyenletet egyed¨ ul az F ≡ 0 f¨ uggv´eny el´eg´ıti ki a folytonos f¨ uggv´enyek ter´eben. Ha ez nem teljes¨ ulne, akkor l´etezne olyan folytonos F megold´ asa ennek az egyenletnek, amely bizonyos pontokban szigor´ uan poz´ıtiv, s˝ot l´etezne olyan u pont, amelyre F (u) = max F (v) = M > 0, azaz az F f¨ uggv´eny maximuma felv´etetik. De az U oper´ ator 1 definici´ oja szerint UF (u) ≤ 0, ez´ert F (u) = λ UF (u) ≤ 0 ebben az u pontban. Viszont F (u) = M > 0 az u pontban, ´es ez ellentmond´as.
24
