ČVUT FAKULTA STROJNÍ Ústav mechaniky
DIPLOMOVÁ PRÁCE
Dynamický model prostorového lanového manipulátoru a jeho řízení Obor Inženýrská Mechanika a Mechatronika
Praha 2005
AHOSSY Cossi Alindé Hugues
obr.1 Průmyslový robot
Výhody-Nevýhody
Výhody • • •
Větší produktivita Větší flexibilita Větší kvalita
• •
Nevýhody Pracujou s poměrními nerozměrnými a netěžkými předměty Relativně malý pracovní prostor
Pokud jde o velké předměty-lanové zařízení-lana snesou velké namáhaní-relativně malo prostoru
Obr.2 Pohyblivý jeřáb stavby
Obr.3 Nepohyblivý jeřáb stavby
Výhody-Nevýhody
Výhody • •
Větší pracovní prostor Velké předměty
• •
Nevýhody Svislé lano-předmět zachicen v jednom podě Houpaní-nebezpečné pro okolí
•
Řešeni:Pomalý přesun jeřabové kočky….Zvyšuje se doba potřebná k přesouvání
Obr.4 Simulační model rovinního lanového manipulátoru čvut-fsi 2003
Výhody-Nevýhody
Výhody • • • • •
•
Větší pracovní prostor Velké předměty Dvě lana Předmět zachycen ve dvou bodech. Dá se naklonit lana vhodnou volbou poloh vozíků-Vyvodí se vodorovné složky sil v lanech působící proti houpaní v rovině manipulátoru Nevýhody Citlivý na sily působící kolmo k rovině manipulátoru-Houpaní
•
Nutno závest manipulátory s vice lany:prostorový lanový manipulátor
prostorový lanový manipulátor • • • • • •
• •
manipulace velmi těžkých hmot ve velkém pracovním prostoru využitím šikovnosti robotů. Řídit posuvy hmot i jejích otáčení kolem několika os. Vic než šest lan: Redundance. Nadbytečné pohony umožňují vyhovět dodatečným namáháním, pro realizace vedlejších úkolů jako jsou na příklad: setrvávat v určité poloze, zvýšit pohyblivost, vyhnout se blokovaní kloubů nebo vyhnout se překážkám. Neredundantní manipulátory: muže dojit ke kývání břemena i když navijáky a trolejová vedení jsou v klidu. V takovém případě, poloha platformy nebude určená jenom délkami lan, a polohami vozíků. Poloha platforma:ne jako koncovy efektor průmyslového robota na konci ramena…realizuje ukoly na základě signalů. Musíme tedy u neredundantních manipulátorů uvažovat dynamiku houpaní hmoty.
•
Doporučeno manipulátor se třemi lany
Z
X
x 1
O
y
3
2
2 b
φ
6 7 6
φ
b
y
3
5φ
7
y 4 4
1
5
Y
a
l7
a
l3 l5
z
y
A h h
C 8
O e’
B
x
Obr.5 Shéma studováného modelu prostorového lanového manipulátoru
Studovaný manipulátor (obr.5) se skládá celkem z 12 těles: tří prostorově umistěná lana l3, l5 a l7 ,platforma 8, počítačově řízené navijáky 3, 5 a 7, namontované na vozicích 2, 4 a 6. Vozíky se mohou posouvat po vedeních nosiče1 který má jednosměrní translační pohyb po vedení základního rámu.
Obr.5 Shéma studováného modelu prostorového lanového manipulátoru
DYNAMICKÝ MODEL PROSTOROVÉHO LANOVÉ MANIPULÁTORU Volba rozměrů manipulátoru Mechanický model manipulátoru • • •
Nosič má délku 2b, šířku 2a. Troleje jsou identické a jsou ze stejného materiálu o hustotě ρt. Navijáky jsou identické a jsou ze stejného materiálu o hustotě ρn, mají stejný moment setrvačnosti Inx ke své ose otáčení rovnoběžné s osou X a mají stejné vnitřní a vnější poloměry bubnu rn1 a rn2. Platforma (obr.5) má hustotu ρ8 a matici setrvačnosti I8.
A
A
e
e 3 6
e O‘
O‘
e 3 3
C e 2
e 2
B
obr.5 Platforma
B,C
h
h
Volba souřadnicového systému a popis manipulátoru Manipulátor má v systému (O,X,Y,Z) 13 souřadnic sj ,j=1,...,13 obsažené ve vektoru: s
x1
y2
y4
y6 3x 5x 7 x
x8
y8
z8 8x 8 y 8z
T
Matematický model manipulátoru Pohybové rovnice pohybu manipulátoru které představujou mechanicky model. Metoda: Lagrangeovy Rovnice Smíšeného Typu d T dt s j
r T f Q j k k s s j k 1 j
Kinetická energie T soustavy Koenigova věta. Ta říká: Kinetická energie tělesa je rovna energii čistého posuvného pohybu určeného pohybem těžiště tělesa a kinetické energie relativního rotačního (resp. sférického) pohybu kolem těžiště tělesa T
1 viT mi vi iT I i i 2
m 3m 3m x 2 m m y 2 m m y 2 m m y 2 t n 1 t n 2 t n 4 t n 6 1 I nx 3 x 2 I nx 5 x 2 I nx 7 x 2 m8 x8 2 m8 y 8 2 m8 z8 2 1 2 2 T I 8 x * 8 x * cos 2 8 y * cos 2 8 z 2 * 8 x * cos 8 y * cos 8 z * 8 y * sin 8 z 8 y * sin 2 8 z 2 2 2 2 2 2 I 8 y * 8 x * cos 8 y * sin 8 z 2 * 8 x * cos 8 y * sin 8 z * 8 y cos 8 z 8 y cos 8 z 2 2 2 I 8 z * 8 x * sin 8 y 2 * 8 x * sin 8 y * 8 z 8 z
Vázbové podminky N5 N3 x1 a X A 2 y2 YA 2 Z A 2 rn22 * 2 0 3x l3 l 2 2 2 5 2 2 x X y Y Z r * 0 1 B 4 B B n 2 z 5x y A 2 2 2 2 2 x a X y Y Z 1 C 6 C C rn 2 * 7 x 0
N7 l7
C h h
O’
8
e
B x Výpočet zobecněných sil QJ
Q j F1 F 2 F 4 F 6 M 3 M 5 M 7 0 0 m8 * g 0 0 0
T
Jakobiho matice df1 x1 df1 y 2 df1 y 4 df1 y6 df1 3 x df1 5 x df1 7 x df1 x8 df1 y8 df1 z8 df1 8 x df18 y df1 8 z T df 2 x1 df 2 y 2 df 2 y 4 df 2 y6 df 2 3 x df 2 5 x df 2 7 x df 2 x8 df 2 y8 df 2 z8 df 2 8 x df 28 y df 28 z df1 x3 df 3 y 2 df 3 y 4 df 3 y6 df 3 3 x df 3 5 x df 3 7 x df 3 x8 df 3 y8 df 3 z8 df 3 8 x df 38 y df 3 8 z
T
Obr.5 Simulační obrázek studováného modelu prostorového lanového manipulátoru v počáteční poloze: x0=[0; 2; (e*sqrt(3)/2)+2; 2; 0; e*sqrt(3)/6+2; -10; 0 ; 0 ; 0 ;0 ;0 ;0 ;0 ;0 ;0 ;0 ;0 ;0 ;0]
Obr.5 Simulační obrázek studováného modelu prostorového lanového manipulátoru tří sekundy po spustění simulace
NÁVRH ŘÍZENÍ PROSTOROVÉHO LANOVÉHO MANIPULÁTORU
Dynamické systémy, popisující soustavu mnoha těles je popsán soustavou rovnic : dx f x g x u dt y hx
Použitím Lagrangeovy rovnice smíšeného typu můžeme každou soustavu těles popsat diferencialními rovnicemi:
• • • •
Ms Q T
Studováný manipulátor je přikladem nelineárního systému. Nelineární systém je soustava jejíž popisujicí rovnice jsou nelineární. Řízení NQR (Nonlinear Quadratic Regulator). Tato metoda vyžaduje nekolik uprav: 1-Izolovat nezávislé souřadnice od závislých q-nezávislé s-závislé
q x1
y2
y4
y6
x8
y8
z8 8 x 8 y 8 z
T
s x1 y2 y4 y6 3x 5 x 7 x x8 y8 z8 8 x 8 y 8 z
x1 a X A 2 y2 YA 2 Z A 2 rn22 * 2 0 3x 2 2 2 2 2 x1 X B y4 YB Z B rn 2 * 5 x 0 2 2 2 2 2 x1 a X C y6 YC Z C rn 2 * 7 x 0
x1 y2 x1 y y 4 2 y6 y4 1 2 2 2 y x1 a X A y 2 YA Z A 6 3 x rn 2 1 2 2 2 x1 X B y 4 YB Z B 5 x r n2 r s 7 x 1 2 2 2 x a X y Y Z 1 C 6 C C x8 r y n2 x 8 8 z8 y8 z8 8 x 8x 8y 8 y 8 z 8z
x1 f3 x1 a X C y6 YC ZC y2 x1 2 2 2 f1 x1 a X A y2 YA Z A y4 y2 2 2 2 y y 6 4 f 2 x1 X B y4 YB Z B 1 f y6 1 r 3 x n2 1 f2 5 x rn 2 r s 7 x 1 f3 x8 rn 2 y x8 8 z8 y 8 z 8 8x 8 y 8x 8 y 8 z 8z 2
2
2
Pak vektor s bude nejaká funkce r jenom nezávislých souřadnic:s=r(q)
Derivováním sloupcové matice r(q) podle času dostaneme:
s r q q r q q q
Opět derivováním tohoto podle času dostaneme Nech´t Pak
R r q
Rq q R S
A dosazením do Po úpravě
a
s r ' q q
R r q q dq x q, dt
Stavový vektor bude
Ms Q T
R T MRq R T Q R T MR q
dostaneme M Rq R q Q T dq x q, dt
d T Z toho výrazu vyjádříme a dostaneme stavový popis ve tvaru dt q R MR d q q dt
R 1
T
Q R T MR q
Derivováním sloupcové matice r(q) podle souřadnic dostaneme matici R
.
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 dfi 3 xx1 dfi 3 xy 2 dfi 3 xy 4 dfi 3 xy 6 dfi 3 xx8 dfi 3 xy8 dfi 3 xz 8 dfi 3 xfi 8 x dfi 3 xfi 8 y dfi 3 xfi 8 z dfi 5 xx1 dfi 5 xy 2 dfi 5 xy 4 dfi 5 xy 6 dfi 5 xx8 dfi 5 xy8 dfi 5 xz 8 dfi 5 xfi 8 x dfi 5 xfi 8 y dfi 5 xfi 8 z R dfi 7 xx1 dfi 7 xy 2 dfi 7 xy 4 dfi 7 xy 6 dfi 7 xx8 dfi 7 xy 8 dfi 7 xz 8 dfi 7 xfi 8 x dfi 7 xfi 8 y dfi 7 xfi 8 z 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
Derivováním matice R podle souřadnic dostaneme matici R s tečkou
1 0 0 0 ddfi 3 xx1t ddfi 5 xx1t . R ddfi 7 xx1t 0 0 0 0 0 0
.
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0 ddfi 3 xy 2t ddfi 5 xy 2t
1 0 ddfi 3 xy 4t ddfi 5 xy 4t
0 1 ddfi 3 xy 6t ddfi 5 xy 6t
0 0 ddfi 3 xx8t ddfi 5 xx8t
0 0 ddfi 3 xy 8t ddfi 5 xy 8t
0 0 ddfi 3 xz 8t ddfi 5 xz 8t
0 0 ddfi 3 xfi 8 xt ddfi 5 xfi 8 xt
0 0 ddfi 3 xfi 8 yt dfi 5 xfi 8 yt
ddfi 7 xy 2t 0 0 0
ddfi 7 xy 4t 0 0 0
ddfi 7 xy 6t 0 0 0
ddfi 7 xx8t 1 0 0
ddfi 7 xy 8t 0 1 0
ddfi 7 xz 8t 0 0 1
ddfi 7 xfi 8 xt 0 0 0
ddfi 7 xfi 8 yt 0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 ddfi 3 xfi 8 zt ddfi 5 xfi 8 zt ddfi 7 xfi 8 zt 0 0 0 0 0 1 0 0
• Vyloučení tíhy z g(x) • Rozklad f(x)=A(x)x • Zavedení substituce x=z+xz Pak jsem sestavil funkce f(x) a g(x)
g z R
R MR R
f z R T MR T
1
1
T
T
MR z x z R T MR
1
R T Q2 R T MR
1
RT u
Experimenty 7.6. Zvednutí z x0 o 7 metrů ve směru kladné osy z. Pro zvednutí platformy o 5 metru ve směru kladné osy y je nastavená počáteční poloha x0 a žádaná poloha xz na: x0=[-1;2;(e*sqrt(3)/2)+3;2; -1;2+e*sqrt(3)/6;-10;0;0;3*pi/4; 0;0;0;0;0;0;0;0;0;0] xz=[-1;2;(e*sqrt(3)/2)+3;2; -1;2+e*sqrt(3)/6; -3;0;0;3*pi/4; 0;0;0;0;0;0;0;0;0;0] Čas simulace byl nastaven tak aby manipulátor stihl dojet na žádanou polohu, matice kvadratického kritéria optimality byly zvolené o velikosti QNQR=104 a RNQR=1. Zjistí se, že po spuštění se manipulátor rozběhne, všechny souřadnice se mění a manipulátor se blíží asymptoticky po dobu tří sekund k žádané poloze (obr.24), tak, že platforma se posune o 7 metrů nahoru (obr.23). Přitom všechny ostatní souřadnice se vrátí na původní hodnoty.
Obr.5 Simulační obrázek studováného modelu prostorového lanového manipulátoru v žádáné poloze
3
-0.5
-1
-1.5
casovy prubeh posuvu y2 vozik 2 3.5
y2 [m]
x1 [m]
casovy prubeh posuvu x1 teleso 1 0
2.5 2
0
500
1000 1500 2000 t[2e-3 S] casovy prubeh posuvu y4 vozik 4 5.5
1.5
1000 1500 2000 t[2e-3 S] casovy prubeh posuvu y6 vozik 6 4
y6 [m]
y4 [m]
5 4.5 4 3.5
0
500
1000 1500 t[2e-3 S]
2000
0
500
0
500
3
2
1
1000 1500 t[2e-3 S]
2000
casovy prubeh posuvu x8 teziste platformy 8
casovy prubeh posuvu y8 teziste platformy 8
-0.5
3.5
y8 [m]
x8 [m]
3 -1
2.5 2
-1.5
0
1.5
500
1000 1500 2000 t[2e-3 S] casovy prubeh posuvu z8 teziste platformy 8
-2
0
500
1000 1500 2000 t[2e-3 S] casovy prubeh natoceni f8x platformy 8 kolem osy x
0.5
f8x [rad]
z8 [m]
-4 -6 -8 -10
0
500
1000 1500 t[2e-3 S]
2000
0
-0.5
0
500
1000 1500 t[2e-3 S]
2000
casovy prubeh natoceni f8y platformy 8 kolem osy y
casovy prubeh natoceni f8z platformy 8 kolem osy z
0.15
2.6 2.55
0.1
2.5 2.45
f8z [rad]
2.4
f8y [rad]
0.05
2.35 2.3
0
2.25 2.2
-0.05
2.15 -0.1
0
500
1000 1500 t[2e-3 S]
2000
2.1
0
500
1000 1500 t[2e-3 S]
2000
ZÁVĚR
• •
•
Po provedení simulace dynamického modelu, bylo zjišteno, že manipulátor má v počáteční poloze nulové rychlosti a zrychlení. A po provedení simulace řízení bylo zjištěno, že záznamy chování manipulátoru ukazujou, že se manipulátor pro určitou pocáteční polohu a určitou žádánou polohu, vždy blíží asymptoticky k žádáné poloze. Očekáváné výsledky práce byly tedy dosažené.
Děkuju za pozornost
AHOSSY Alinde
