Dynamic analyses in Mentat & MARC Tutorial with Background and Exercises
Eindhoven University of Technology Department of Mechanical Engineering Piet Schreurs
16th July 2007
Contents 1 Dynamische analyse 1.1 Achtergrond : Dynamische systeemvergelijkingen 1.2 Massa-veer-demper systeem . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Vrije ongedempte trilling . . . . . . . . . 1.2.2 Vrije gedempte trilling . . . . . . . . . . . 1.2.3 Willekeurige excitatie . . . . . . . . . . . 1.2.4 Harmonische excitatie . . . . . . . . . . . 1.3 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Massa-veer systeem . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Dynamisch gedrag van een balk . . . . . . 1.3.3 Balkconstructie . . . . . . . . . . . . . . .
2
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
3 3 4 4 4 6 6 8 8 8 9
1 1.1
Dynamische analyse Achtergrond : Dynamische systeemvergelijkingen
Bij de problemen, die in de voorafgaande hoofdstukken beschreven zijn, speelden traagheidseffecten geen rol. Het op te lossen stelsel vergelijkingen voor een lineair probleem was : f i = Ku = f e ˜ ˜ ˜ waarbij K de constructie stijfheidsmatrix is, u de kolom met knooppuntsverplaatsingen en f e de ˜ ˜ kolom met externe knooppuntskrachten. Wanneer traagheidseffecten wel een rol spelen, zijn niet alleen de knooppuntsverplaatsingen relevant maar ook de knooppuntsversnellingen u ¨ . De massa van het materiaal resulteert in een ˜ massamatrix M en het stelsel differentiaalvergelijkingen dat het constructiegedrag beschrijft is een veralgemenisering van de wet van Newton : fe − fi = Mu ¨ → Mu ¨ + Ku = f e ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ Wanneer demping – intern (wrijving) of extern – een rol speelt, wordt dit gemodelleerd met een dempingsterm, met daarin de dempingsmatrix B en de kolom met knooppuntssnelheden u˙ . Het ˜ algmene stelsel vergelijkingen voor een dynamisch probleem wordt daarmee : Mu ¨ + B u˙ + Ku = f e ˜ ˜ ˜ ˜ Het programma MARC biedt de mogelijkheid om voor een aantal verschillende belastinggevallen het bovenstaande stelsel differentiaalvergelijkingen op te lossen en daarmee het dynamisch gedrag van een constructie te analyseren. Elk van deze belastinggevallen wordt in Mentat met een bepaalde LOADCASE aangeduid.
3
1.2
Massa-veer-demper systeem
Ter illustratie van de diverse mogelijkheden beschouwen we een eenvoudig massa-veer-demper systeem met ´e´en graad van vrijheid. Het dynamisch gedrag wordt beschreven door ´e´en tweedeorde differentiaalvergelijking in de tijd. k m
F (t)
b
u
m¨ u + bu˙ + ku = F (t) Achtereenvolgens beschouwen we de vrije ongedempte trilling van het systeem, de vrije gedempte trilling, de willekeurige excitatie en de excitatie met een harmonische kracht. 1.2.1
Vrije ongedempte trilling
Het vrij ongedempt trillingsgedrag van het systeem (free vibration wordt gekarakteriseerd door eigenfrequentie en bijbehorende eigentrillingsvorm. k
m u
De
(LOADCASE)
voor dit geval heet
DYNAMIC MODAL
en de beschrijvende vergelijking is :
m¨ u + ku = 0 De eigenfrequentie ω0 (f0 ) en eigentrillingstijd T0 zijn ω0 =
p k/m
[rad/s]
→
f0 =
ω0 2π
[1/s]
→
T0 =
1 f0
[s]
Bij modellering met Mentat representeren we de veer met ´e´en staafelement zonder eigengewicht (MASS DENSITY = 0) met de volgende eigenschappen : A0 = 1 [m2 ]
,
l0 = 1 [m]
,
E = 16 [N/m2 ]
→
k=
EA0 = 16 [N/m] l0
Alle vrijheidsgraden behalve de x-verplaatsing van het rechter knooppunt worden onderdrukt in De puntmassa m = 1 [kg] wordt gemodelleerd onder (INITIAL CONDITIONS) als POINT MASS. Bij correcte modellering moeten de resultaten gelijk zijn aan de exacte oplossing. (BOUNDARY CONDITIONS).
ω0 = 4 [rad/s] 1.2.2
→
f0 = 0.64 [1/s]
→
T0 = 1.57 [s]
Vrije gedempte trilling
De vrije trilling kan ook gedempt zijn. Bij modellering met Mentat wordt weer gebruik gemaakt van een staafelement voor de veer. De demper wordt gemodelleerd met SPRINGS/DASHPOTS in het menu (LINK). Bij (INITIAL CONDITIONS) moet de puntmassa worden ingevoerd en ook de beginwaarden van verplaatsing (u0 ) en snelheid (u˙ 0 ).
4
k m u b De vergelijking kan worden herschreven met gebruikmaking van de eigentrillingsfrequentie ω 0 en de dempingsfactor ξ. m¨ u + bu˙ + ku = 0 → r ! b k √ u ¨+2 u˙ + m 2 km
r
k m
!2
u=0
u ¨ + 2ξω0 u˙ + ω02 u = 0 Drie mogelijke gevallen worden nu onderscheiden, afhankelijk van de mate van demping : ξ<1
onderkritisch gedempt
bovenkritisch gedempt
h n p o u = e−ξω0 t A1 cos ω0 1 − ξ 2 t + n p oi A2 sin ω0 1 − ξ 2 t ξ>1
u=e kritisch gedempt
−ξω0 t
A1 e
ω0
√
ξ 2 −1 t
ξ=1
+ A2 e
− ω0
√
ξ 2 −1 t
u = e−ξω0 t [A1 + A2 t]
De integratieconstanten A1 en A2 volgen uit de beginvoorwaarden : u0 = 0.1
[m]
;
u˙ 0 = 0
[m/s]
Met k = 16 [N/m] en m = 1 [kg] is u(t) berekend voor b ∈ {0, 1, 8, 32} [Ns/m] en in onderstaande figuur geplot. ksi = 0, 1/8, 1, 4
0.1
ampl [m]
0.05
0
−0.05
−0.1 0
1
2
time [s]
5
3
4
5
De (LOADCASE) voor dit beginwaardeprobleen (initial value problem) heet DYNAMIC TRANSIENT. MARC zal de beschrijvende differentiaalvergelijking numeriek gaan integreren en we kunnen in Mentat kiezen welke integratieprocedure er gebruikt moet worden. De default NEWMARK methode is in de meeste gevallen geschikt, maar er kan ook gekozen worden voor HOUBOLT (zie voor achtergronden [?]). Numerieke integratie is gebaseerd op tijdsdiscretisatie : de totale periode waarvoor we een oplossing u(t) willen bepalen wordt in stukken (tijdsintervallen of tijdsincrementen) opgedeeld. Alleen op de discrete momenten tussen de intervallen wordt een oplossing bepaald. Over het verloop van u(t) binnen een interval wordt een veronderstelling gedaan. In Mentat moeten bij (LOADCASE) DYNAMIC TRANSIENT de lengte van de totale periode opgeven en het aantal tijdsincrementen waarin de periode is verdeeld. We kiezen voor een periode van 5 [s] en een intervallengte ∆t = 0.05 [s] : TOTAL LOADCASE TIME
5 (FIXED)
# STEPS 100
Nadat MARC een oplossing heeft bepaald kunnen we de resultaten bekijken met Mentat. We maken daartoe een HISTOTY PLOT van de verplaatsing van het massapunt. 1.2.3
Willekeurige excitatie k m
b
F (t)
u
Bij willekeurige excitatie van het massa-veer-demper systeem, wordt onderstaande vergelijking opgelost : m¨ u + bu˙ + ku = F (t) De totale oplossing (steady state solution) bestaat uit de som van de homogene oplossing (F = 0 : inschakelverschijnsel) en de particuliere oplossing u(t) = uH (t) + uP (t) Bij modelleren moeten we weer gebruik maken van de (LOADCASE) DYNAMIC TRANSIENT. Nu moeten we echter in (BOUNDARY CONDITIONS) de kracht F (t) in een TIME-tabel voorschrijven. Bij (INITIAL CONDITIONS) hoeven we alleen de puntmassa te modelleren. 1.2.4
Harmonische excitatie
Wanneer de excitatie – hier de kracht op de puntmassa – een harmonische functie van de tijd is, kan MARC de respons van het systeem efficient bepalen in het frequentiedomein. De vergelijking is dan : m¨ u + bu˙ + ku = F¯ sin(ωt) → 1 u ¨ + 2ξω0 u˙ + ω02 u = F¯ sin(ωt) = q¯ sin(ωt) = q¯ Re eiωt m
Een oplossing wordt gevonden door substitutie van u = u ¯ eiωt : 6
u ¯=
ω02
−
ω2
1 q¯ = + 2iξω0 ω
1 1−
De transfer function en phase shift zijn
|H(ω)| = s
1−
ω ω0
1 2 2
ω ω0
2
+ 2iξ
+ 2ξ
ω ω0
ω ω0
1 1 q¯ = H(ω) 2 q¯ 2 ω0 ω0
ω 2ξ ω0 φ(ω) = arctan 2 ω 1 − ω0
; h
i2
en kunnen worden geplot : 6
3.5
5
3 2.5
4
2
H
phi
3
1.5
2
1
1 0 0
0.5
0.5
1 omega/omega0
1.5
0 0
2
0.5
1 omega/omega0
1.5
2
De verplaatsing als functie van de tjd is nu : u(t) = |H(ω)|
q¯ i(ωt−φ) e ω02
De veer wordt weer gemodelleerd met een staafelement en de demper met een DASHPOT met dempingsconstante b = 0.8 [Ns/m]. (Dit resulteert in ω0 = 4 [rad/s] en ξ = 0.1). Als LOADCASE wordt nu gekozen voor DYNAMIC HARMONIC. De belasting wordt gekarakteriseerd door een amplitude ( F¯ = 1 [N]), die we bij (BOUNDARY CONDITIONS) opgeven, en door een range van frequenties waarvoor we de respons willen bepalen. De frequentie-range moeten we opgeven bij DYNAMIC HARMONIC. Bij (JOBS) ANALYSIS OPTIONS moeten we COMPLEX DAMPING activeren. De resultaten van de analyse kunnen we in Mentat bekijken via een HISTORY PLOT.
7
1.3 1.3.1
Oefeningen Massa-veer systeem
Modelleer een dempingsvrij massa-veer systeem zoals hieronder is getekend. k
m u
De veerstijfheid is k = 246.5 [N/m] en de massa is m = 25 [kg]. De initi¨ele verplaatsing van de massa is voorgeschreven : 0.08 [m]. Vervolgens wordt de massa op tijdstip t = 0 losgelaten. Bepaal u(t) voor 0 ≤ t ≤ 10T met (LOADCASE) DYNAMIC TRANSIENT. (T is de eigentrillingstijd). T } en ook twee verschillende integratiemethGebruik drie verschillende tijdstappen ∆t = {T, T3 , 10 oden : Newmark en Houbolt. Vergelijk de resultaten. 1.3.2
Dynamisch gedrag van een balk
In onderstaande figuur is een balk getekend, die uitsluitend in het xy-vlak kan deformeren en aan beide uiteinden in ingeklemd. y x
v(x) EI
l
De volgende parameterwaarden zijn gegeven : elasticiteitsmodulus dwarscontractieco¨effici¨ent dichtheid lengte hoogte dwarsdoorsnede-oppervlak
E ν ρ l H A
1011 0.3 7800 1 0.001 10−6
[Pa] [-] [kg/m3 ] [m] [m] [m2 ]
vrije trilling Verdeel de balk in 10 balkelementen (nr. 52) en bepaal de eerste 10 eigentrillingen (frequentie en vorm). Antwoord : eerste drie eigentrillingsfrequenties : ω1 ω2 ω3
= = =
23.1 63.8 125.0
→ → →
f1 f2 f3
8
= = =
3.68 10.15 19.89
→ → →
T1 T1 T1
= = =
0.272 0.098 0.050
beginwaardeprobleem We geven het middenpunt (x = 0) van de balk nu initieel een verplaatsing in y-richting en laten dit punt daarna (t > 0) los. Voor dit beginwaardeprobleem gelden dus de volgende beginvoorwaarden : v0 = 0.001
[m]
;
u0 = 0
Analyseer het probleem met (LOADCASE) tijdsintervallengte ∆t = 0.0025 [s].
[m]
;
DYNAMIC TRANSIENT
u˙ 0 = v˙ 0 = 0
[m/s]
gedurende 0.25 [s] en gebruik een
willekeurige excitatie De balk wordt vervolgens in het middenpunt belast met een voorgeschreven kracht in y-richting : Fy (x = 21 l, t ∈ [0.01
0.02]) = 0.01
[N]
De beginvoorwaarden zijn : u0 = v 0 = 0
[m]
Analyseer het probleem met (LOADCASE) tijdsintervallengte ∆t = 0.0025 [s].
;
u˙ 0 = v˙ 0 = 0
DYNAMIC TRANSIENT
[m/s]
gedurende 0.25 [s] en gebruik een
harmonische excitatie De balk wordt nu belast in het middenpunt met een in y-richting werkende kracht, die een amplitude heeft van 0.01 [N] en harmonisch varieert. De frequentie range f = 0 − 30 [Hz] wordt in 50 stappen doorlopen. Analyseer het probleem met (LOADCASE) DYNAMIC HARMONIC en maak een verplaatsing in y-richting als functie van de frequentie. 1.3.3
HISTORY PLOT
van de
Balkconstructie
Onderstaande vlakke balkconstructie bestaat uit aan elkaar gelaste balken met een vierkante dwarsdoorsnede. 1
0.8
0.6 F
De in de figuur aangegeven afmetingen zijn in [m]eter. Andere essenti¨ele gegevens zijn :
9
elasticiteitsmodulus dwarscontractieco¨effici¨ent dichtheid dwarsdoorsnede-oppervlak oppervlaktetraagheidsmoment
E ν ρ A I
200 0.3 7850 5 16
[GPa] [-] [kg/m3 ] [cm2 ] [cm4 ]
Verdeel de constructie in elementen met een lengte van 0.1 [m]. vrije trilling Bepaal de laagste 10 eigenfrequenties fi , i = 1, .., 10 en bijbehorende eigentrillingsvormen. harmonische excitatie De kracht F is harmonisch met een amplitude van 1000 [N]. De frequentie doorloopt de waarden 0,1,2,..,fmax met fmax = 1.2f4 . Bepaal de verplaatsingsrespons van het aangrijpingspunt van de kracht als functie van de frequentie in de vorm van een HISTORY PLOT. willekeurige excitatie De kracht F wordt als functie van de tijd t voorgeschreven en neemt van F (t = 0) = 0 lineair toe tot F (t = 0.01) = 1000 [N] om daarna constant te blijven. Bepaal de verplaatsing van het aangrijpingspunt van F (HISTORY PLOT) gedurende 0.15 [s].
10
