Dr. BALOGH ALBERT A folyamatképesség és a folyamatteljesítmény statisztikái (ISO 21747)
1
Folyamat szabályozott, ha csak véletlen okú változásokat ( hibákat) tartalmaz. Szabályozatlan, ha azonosítható okú (rendszeres) változásokat (hibákat) tartalmaz. Hagyományos felfogás: csak szabályozott folyamatokra számítható ki mind a folyamatképesség (rövid-távú szórás alapján), mind a folyamatteljesítmény (hosszútávú szórás alapján). Új felfogás a szabvány szerint: folyamatképesség csak szabályozott folyamatokra vonatkozik; folyamatteljesítmény szabályozatlan folyamatokra is vonatkozhat.
2
1.
1. Táblázat Időfüggő eloszlásmodellek jellemzői Időfüggő eloszlásmodellekc Jellemző
A1
A2
B
C1
C2
C3
C4
D
Helyparaméter (a)
c
c
c
r
r
s
sr
sr
Szórásparaméter (a)
c
c
sr
c
c
c
c
sr
Időpontbeli eloszlás (b)
nd
1m
nd
nd
nd
as
as
as
Eredő eloszlás (b)
nd
1m
1m
nd
1m
as
as
as
Ábraszám
1
2
3
5
6
7
8
4
3
A1,A2,C1,C3,C4 folyamatok stabilak
Helyparaméter/szórásparaméter: c= a paraméter állandó marad; r= a paraméter csak véletlenszerűen változik; s= a paraméter csak szisztematikusan változik; rs= a paraméter véletlenszerűen és szisztematikusan is változik. b Időpontbeli/eredő eloszlás nd = normális eloszlás; 1m= egy módusú eloszlás; as= bármilyen alakú eloszlás. c A modell megválasztása a folyamatelemzés eredménye alapján történik. a
4
Jel
Hely (μ ) Szórás (σ ) Időfüggő eloszlás
Eredő eloszlás
Állapot
A1
Állandó
Állandó
Normális
Normális
Stabil
A2
Állandó
Állandó
Nem Nem normális, normális, 1módusú 1módusú
Stabil
B
Állandó
Változó
Normális
Nem normális
Nem stabil
C1
Változó normál
Állandó
Normális
Normális
Stabil?
C2
Változó
Állandó
Normális
Nem normális
Nem stabil
C3
Trend
Állandó
Bármelyik Bármelyik Stabil?
C4
Változó
Állandó
Bármelyik Bármelyik Stabil?
D
Változó
Változó
Bármelyik Bármelyik Nem stabil
FOLYAMATTÍPUSOK
Stabil!
Kemény
5
A1 modell; középpont helye állandó; szóródás állandó; időfüggő és eredő eloszlás:normális;(hosszúság) folyamat statisztikailag szabályozott. 7
t1
6
t2 t3
5
t1
4
t4
t5
t2 t3 t4
eredő t1 t4 t5 eredő t2 t3 Adatsor1
eredő
t5
3 2 1 0 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3 6
A2 modell; középpont helye állandó; szóródás állandó; időfüggő és eredő eloszlás: nem-normális; egymódusú; (felületi érdesség) a folyamat statisztikailag szabályozott. 8
t1
7
t2
t3
eredő
t4
6
t1 t2 t3 t4 eredő Adatsor2
5 4 3 2 1 0 0
0,5
1
1,5
2
2,5
7
B modell; hely állandó; szóródás szisztematikusan és véletlenszerűen változik; időfüggő eloszlás:normális; eredő eloszlás nem normális, egymódusú.(Különböző orsók nem egyformán kopnak.) 7
t1
6
t2
t3
t4
eredő
5
t1 t2 t3 t4 eredő
4 3 2 1 0 0
0,5
1
1,5
2
2,5
8
C1 modell; hely normális eloszlásúan változik; szóródás állandó; időfüggő és eredő eloszlás: normális eloszlás (munkadarab befogók kopása ). Kemény:szabályozott folyamat 7 6
t1
t2 t3 t4 t5
eredő t1 t2 t3 t4 t5 eredő Adatsor1
5 4 3 2 1 0 -0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
9
C2 modell, hely véletlenül változik (nem-normális eloszlású, egymódusú); szóródás állandó; időfüggő eloszlás normális; eredő eloszlás nem normális, egymódusú. (Különböző központosítású szerszámbefogók kopása.) 12
t1 t1
10
t2 t3 t2 t3
t4 t4
t5 t5
eredő eredő
t1 t2 t3 t4 t5 eredő
8 6 4 2 0 -0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3 10
C3 modell; hely funkció központú (trend, szerszámkopás); szóródás állandó; időfüggő és eredő eloszlás bármilyen alakú. 12
t1
t2
t3
t4
eredő
t5
10 t1 t2 t3 t4 t5 eredő
8 6 4 2 0 -0,5
0
0,5
1
Kemény: szabályozott folyamat
1,5
2
2,5
3
11
C4 modell; hely szisztematikusan és véletlenszerűen változik (például tételek változása); szóródás állandó; időfüggő és eredő eloszlás bármilyen alakú. 12 10
t2
t3
t1
t4
t5
eredő
t1 t2 t3 t4 t5 eredő
8 6 4 2 0 -0,5
0
0,5
1
Kemény: szabályozott folyamat
1,5
2
2,5 12
D modell; hely és szórás szisztematikusan és véletlenszerűen változik; időfüggő és eredő eloszlás bármilyen alakú. (Multi-stream processes) t1
12
t2
t3
t4
eredő
10 t1 t2 t3 t4 eredő
8 6 4 2 0 -0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3 13
Becslési módszer Számítási módszer Általános geometriai módszer
μ helyparaméter és a Δ szóródás paraméter becslései
A csoportok közötti további változás beszámítása Másik módszer a csoportok közötti további változás beszámítására Kiesési arányok alapján történő becslés
μ helyparaméter, Δ szóródás és μadd becslése μ helyparaméter, Δ szóródás és μadd becslése
A felső és alsó kiesési arány becslése alapján a teljesítmény és a képesség becslése
14
Általános számítási módszer L
U
ΔL
ΔU
μ
Δ = X U − X L= ΔL + ΔU XL
XU
15
Folyamatteljesítmény Jellemző kimenetelének statisztikai mérőszáma olyan folyamatból, amelyről lehet, hogy nem mutatták ki, hogy statisztikailag szabályozott állapotban van. Gondosan kell eljárni a mérőszám használata során, mivel ez tartalmazhat olyan változékonysági (ingadozási) komponenst, amely speciális (azonosítható) okoknak (3.1.1.4.) tulajdonítható, ennek értéke pedig előre nem jelezhető. Normális eloszlásra a folyamatteljesítmény a következő kifejezésből számítható ki: folyamatteljesítmény= X t ± ( z.St ) valamint „z” függ a megadott hibás alkatrészek arányának PPM-ben kifejezett teljesítmény- követelményétől. Ha a folyamatteljesítmény egybeesik az előírt követelményekkel, akkor z=3 értéke azt mutatja, hogy 2700 (1350) PPM alkatrész lesz várhatóan a tűrésen (3.1.1.) kívül. Hasonlóan z=4 azt mutatja, hogy 64(32) PPM alkatrész és z=5 pedig arra utal, hogy 0,6(0,3) PPM alkatrész lesz várhatóan a tűrésen kívül. Nem normális eloszlás esetében a folyamatteljesítmény becsülhető például egy megfelelő valószínűségi háló felhasználásával vagy az adatokra illesztett eloszlás paramétereiből. A folyamatteljesítmény kifejezése a következő alakú: +a folyamatteljesítmény = X −b 16
Szigmaszint és Z-szint Szigmaszint(k)megadja, hogy például az USL a tűrésmező középpontjától hány szigma távolságra van. kσ = USL − (USL + LSL ) / 2 = (USL − LSL ) / 2
Z-szint megadja, hogy például az USL az átlagtól hány szigma távolságra van. Zσ = USL − x
Szigmaszint=Z-szint+(az átlag és a tűrésmező középpontja közötti távolság) szigmában kifejezve.
C p = k / 3; C pk = Z / 3 17
Z-szint és k-szigmás folyamat
USL + LSL 2
USL − X = z.σ
USL − LSL = k .σ 2
Adatsor2 Adatsor2 Adatsor2 Adatsor2 Adatsor2
LSL
X
USL
18
Folyamatképesség Jellemző kimenetelének statisztikai becslése olyan folyamatból, amelyről kimutatták, hogy statisztikailag szabályozott állapotban van és amely leírja, hogy a folyamat képes megvalósítani olyan jellemzőt, amely teljesíteni fogja a jellemzőre vonatkozó követelményeket.
19
Folyamatteljesítmény indexek:
Pp =
U −L
PpkU = PpkL =
Δ
; folyamatteljesíményindex
U −μ
ΔU
; felső
μ−L ; alsó ΔL
Ppk = min .( PpkL , PpkU ), min imális Folyamatképesség indexek hasonlóak.
20
Pp =
U −L
PpkU = PpkL=
;
Δ U −μ
ΔU μ−L ; ΔL
;
folyamatteljesítmény index
felső index alsó index
Ppk = min .( PpkL, PpkU), minimális folyamatteljesítmény index Az indexek kiszámításához becsülni kell
μ , Δ − értékét
21
A
μ
paraméter becslései:
1 l = 1; μˆ = x = ∑ xi ; n ⎧ ;n = 2k +1, ⎪x l = 2; μˆ = ~ x = ⎨ 1( n +1) / 2 ⎪ [xn / 2 + x( n +1) / 2 ];n = 2k ⎩2
l = 3; μˆ = X 50% ; l = 4; μˆ = x =
1 m xi , ∑ m i =1
1 m~ ~ l = 5; μˆ = x = ∑ xi m i =1
mediánok átlaga
22
⎛n⎞ Γ⎜ ⎟ 2 ⎝2⎠ c4 = n −1 ⎛ n −1⎞ Γ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠
[
d 2 = n ∫−∞∞ xf ( x ) F n −1 ( x ) − {1 − F ( x )}
n −1
]
23
Δ
becslései
d = 1; Δˆ = 6σˆ1 , ΔL = ΔU = 3σˆ1; 2
∑ si σˆ1 = m
d = 2; Δˆ = 6σˆ2 , ΔL = ΔU = 3σˆ2;
σˆ2 =
∑ si m.c4
⎛n⎞ Γ⎜ ⎟ 2 ⎝2⎠ c4 = n −1 ⎛ n −1⎞ Γ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠
d = 3; Δˆ = 6σˆ 3 ; Δˆ L = Δˆ U = 3σˆ 3; ∑ Ri d 2 = n ∫−∞∞ xf ( x ) F n −1( x ) − {1 − F ( x )}n −1 dx ; σˆ 3 = m.d 2 d = 4; Δˆ = 6σˆ 4 ; Δˆ L = Δˆ U = 3σˆ 4 ;
[
∑ ( xi − x ) σˆ 4 = σ t = n −1
]
2 24
Δ
becslései
d = 5; Δˆ = xn − x1 = R, ΔˆU = max( xi ) − μˆ ; ΔˆL = μˆ − min( xi ); d = 6; Δˆ = x99,865% − x0,135% ; ΔˆU = x99,865% − μˆ ; ΔˆL = μˆ − x0,135% d=1,2,3 becslések nem veszik figyelembe a részcsoportok közötti szórást, csak A1 esetben alkalmazhatók. d=1,2,3,4 becslések feltételezik, hogy az adatok normális eloszlásúak. Más esetben az eredmény az eloszlás típusától függően torzított. d=5 esetben a becslés torzított, a torzítás az eloszlás típusától és a részcsoport nagyságától függ. d=6 becslés a legáltalánosabb, minden feltétel mellett használható.
25
μadd
additív változás figyelembevétele
Pp =
1. módszer
U −L ; Δ + μadd
PpkL =
μ−L
; 1 ΔL + μadd 2 U −μ PpkU = ; 1 ΔU + μadd 2 Ppk = min( P pkL ;P pkU )
a = 1; μˆ add = max( xi ) − min( xi ), 2 sw a = 2, μˆ add = σˆ ( x ) − n 2
26
μadd
additív változás figyelembevételének 2. módszere
Pp =
U − L − μadd
PpkL =
Δ
;
1 2
μ − L − μadd Δ
;
1 U − μ − μadd 2 PpkU = ;
Δ
Ppk = min( PpkL ; PpkU )
μadd
becslései
a = 1; μˆ add = max( xi ) − min( xi ), 2 sw a = 2, μˆ add = σˆ ( x ) − n 2
27
Kiesési arány számítási módszere, ha az eloszlás ismert. U
L
PpkL = PpkU =
pL
z(1− pL ) 3 z(1− pU ) 3
ΔL
; Ppk = min( PpkL ; PpkU )
pU
ΔU
μ
Δ = X U − X L= ΔL + ΔU XL
XU
28
μ−L zL = − PpkL = 3σ 3 3 U − μ zU z(1− pU ) zU PpkU = = PpkU = = ; Ppk = min( PpkL ; PpkU ) 3σ 3 3 3 z(1− p L )
z =− L 3
PpkL =
zα a standardizált normális eloszlás α -kvantilise PpkU U − μ zU ⎛U − μ ⎞ = zU ⎟ = 1 − Φ ( zU ) = 1 − Φ ( = pU = 1 − Φ⎜ ); PpkU = ; 3 3 3 σ σ ⎝ ⎠ ⎛ PpkL ⎞ z ⎛L−μ ⎞ ⎛μ −L ⎞ ⎟⎟; PpkL = − L = z L ⎟ = 1 − Φ⎜ pL = Φ⎜ = − z L ⎟ = 1 − Φ⎜⎜ 3 ⎝ σ ⎠ ⎝ σ ⎠ ⎝ 3 ⎠
Folyamatképesség indexei hasonlóképpen fejezhetők ki.
A szabvány szerint a Pp folyamatteljesítmény ezzel a módszerrel nem számítható ki. MINITAB szerint igen! 29
MINITAB képletei:
μ−L z =− L 3σ 3 U − μ zU PpkU = = 3σ 3
PpkL =
Φ ( −1) ( pL ) PpkL = − ; pL = P( X ≤ L ); z L = Φ ( −1) ( pL ); N (0;1),100 p1% − os, kvantilise; 3 Φ ( −1) (1 − pU ) PpkU = ; pU = P ( X ≥ U ); zU = Φ ( −1) (1 − pU ) 3 Φ ( −1) (1 − pU ) − Φ ( −1) ( pL ) zU − z L 3PpkU + 3PpkL PpkU + PpkL Pp = = = = 6 6 6 2 z BENCH = Φ ( −1) (1 − pL − pU ); Φ ( z BENCH ) = 1 − pL − pU
30
PpkL = PpkU
z
1
3
1,33
4
1,66
5
2
6
Kiesési arány 2700 PPM (1350PPM) 64 (32) PPM 0,6 (0,3)PPM 0,2(0,1) PPM 31
Egyoldali felső tűréshatár számítási esete U
PpkU =
U −μ , Ppk = PpkU XU − μ
ΔU
μ
XU
32
Egyoldali alsó tűréshatár L
PpkL =
μ−L , Ppk = PpkL μ − XL
ΔL XL
μ
33
Folyamatképesség adatainak közlése
Folyamatképesség index Minimális folyamatképesség index
C p = 1,68
C pk = 1,44
Számítási módszer
M1,6
Számításhoz felhasznált értékek száma
2000
Választható: mintavétel gyakorisága; adatok gyűjtésének időpontja, időtartama; időfüggő eloszlásmodell igazolásának kiválasztása;mérőrendszer minőségképessége, mérés ismételhetősége, reprodukálhatósága,felbontóképessége; műszaki feltételek (tételek, műveletek, szerszámok)
A2 modell
M1,6 számítási módszer azt jelenti, hogy az M1 módszert használják és μˆ = μ1; Δˆ = Δ 6 . 34
