Základní vlastnosti ploch

Základní vlastnosti ploch 

plocha 

zpravidla se definuje jako výsledek spojitého pohybu jisté tvořící křivky podél zadané trajektorie



lze obohatit o možnost spojitých změn tvaru tvořící křivky v průběhu pohybu podél trajektorie z t v4



v3

v5

v2 v1

v0

M (u, v)

k0  k

O

k1

zM

k2

xM

k3 k4

x

Počítačová geometrie

yM

k5

u0

vytváření plochy pomocí pohybu tvořící křivky přirozeně určuje parametrizaci pomocí dvou reálných parametrů 

y

u1 u2

u3

parametrizací rozumíme předpis, který hodnotám parametrů spojitě přiřazuje body plochy

u4 u5

Petra Surynková


plocha 



na plochu můžeme nahlížet jako na sjednocení jednoparametrických křivek v prostoru každému bodu plochy tedy můžeme přiřadit dvojici reálných parametrů 



nejprve zjistíme, která poloha vytvořující křivky prochází daným bodem, tím určíme hodnotu parametru x v parametrizaci trajektorie poté určíme hodnotu parametru v parametrizaci vytvořující křivky v právě zjištěné poloze, která odpovídá danému bodu, tím dostáváme hodnotu druhého parametru


z t

v4

v3

v5

v2 v1

v0

M (u, v)

k0  k

O

k1

zM

k2

xM

k3

u0

y

u1 u2

u3

k4

yM

k5

u4

u5

každým regulárním bodem plochy procházejí dvě parametrické křivky Petra Surynková


plocha 

lze popisovat různým způsobem – rozlišujeme hlavně neparametrický a parametrický způsob vyjádření plochy



požadavky   



důležitá nezávislost plochy na soustavě souřadnic důležité snadné vyjádření omezení plochy z těchto důvodů nejčastěji – parametrické vyjádření

modelování ploch  

použití v počítačové grafice a v souvisejících aplikacích různé aplikace – různé požadavky


Petra Surynková


dělení ploch podle typu rovnice 

 



explicitní implicitní parametrické

dělení ploch podle vlastností průchodu řídícími body 



interpolační aproximační


Petra Surynková






interpolační plocha – prochází danými body


Petra Surynková






aproximační plocha – neprochází danými body, řídící body určují tvar plochy


Petra Surynková


dělení ploch podle výtvarných zákonů 

matematické  



grafické (empirické) 



topografické plochy

dělení podle druhu tvořící křivky 





algebraické – rovnici plochy lze vyjádřit polynomem transcendentní – nelze popsat polynomem ale jinak

přímkové plochy cyklické plochy

dělení podle druhu pohybu   

rotační plochy šroubové plochy translační plochy


Petra Surynková


další rozdělení ploch 



...

dělení ploch v počítačové grafice 

plochy vzniklé    

 



rotací (Revolve) šroubovým pohybem (Screw) vytažením (Extrude) šablonováním křivky po trase (Sweep) potažením (Loft) šablonováním křivky po dvou trasách (Sweep 2 rails)

plochy volného tvaru (Freeform Surfaces)  

plochy zadané okrajovými křivkami plochy zadané sítí bodů


Petra Surynková


Explicitní rovnice z  f ( x, y ), kde [ x, y ]  

2

příklady

z  ax  by  c z  xy


rovina

hyperbolický paraboloid

Petra Surynková


Implicitní rovnice F ( x, y , z )  0 

příklady

x2  y 2  r 2

q

rotační válcová plocha

2 z x2  y 2  2 , a  0 a q


rotační kuželová plocha Petra Surynková


Implicitní rovnice 2 z x 2  y 2  2  a 2 ; a, c  0 c

jednodílný rotační hyperboloid q

x2  y 2  z 2  r 2 , r  0 kulová plocha


q

Petra Surynková


Implicitní rovnice x2 y 2 z 2  2  2  1; a, b  0 2 a a b 0ab

q

rotační elipsoid protáhlý

x2 y 2 z 2  2  2  1; a, b  0 2 a a b 0ba

q

rotační elipsoid zploštělý Počítačová geometrie

Petra Surynková


Implicitní rovnice x  y  az, a  0 2

2

q

rotační paraboloid

x2 y 2 z 2  2  2  1; a, b  0 2 b b a

q2

rotační hyperboloid dvoudílný q1


Petra Surynková


Implicitní rovnice x 2  ay, a  0 k

parabolická válcová plocha

2

x2 y 2  z   2  1   ; a, b  0, c  0 2 a b  c eliptická kuželová plocha Počítačová geometrie

V

k

Petra Surynková


Parametrické rovnice x  x(u, v ) y  y (u, v )

kde

( u, v )  M 

2

z  z (u, v ) 

parametrické rovnice vyjadřují vznik plochy pomocí pohybující se křivky



bod plochy o souřadnicích [ x, y, z ] v trojrozměrném kartézském prostoru má souřadnice [u, v] v prostoru parametrickém


Petra Surynková


Parametrické rovnice 

funkcemi x(u, v ), y(u, v ), z(u, v ) (tzv. souřadnicové funkce) je určena bodová rovnice

Q(u, v )   x(u, v ), y(u, v ), z(u, v ) 

parametrický předpis představuje obecnější způsob zadání plochy, který zahrnuje předchozí způsoby a umožňuje popsat složitější tvary ploch



souřadnicové funkce jsou obvykle polynomiální, s ohledem na výhodné vlastnosti při modelování a navazování


Petra Surynková

Základní vlastnosti ploch 

tečný vektor

qu (u, v ) ve směru parametru u k ploše Q(u, v )



Q (u, v )  x(u, v ) y(u, v ) z(u, v )  qu (u, v )   , ,  u  u  u  u   tečný vektor qv (u, v ) ve směru parametru v k ploše Q(u, v ) Q (u, v )  x(u, v ) y(u, v ) z(u, v )  qv (u, v )   , ,  v  v  v  v  



rovnice tečné roviny – parametricky

T ( r, s )  Q(u, v )  rqu (u, v )  sqv (u, v ); r, s  Počítačová geometrie

Petra Surynková


při řešení úlohy navazování plátů mají význam zkruty (zkrutové vektory) – charakterizují vyklenutí plochy v místech napojení

 2Q ( u , v )   2 x ( u , v )  2 y ( u , v )  2 z ( u , v )  quv (u, v )   , ,  uv  u  v  u  v  u  v   

normála k ploše

Q ( u, v ) qu (u, v )  qv (u, v ) n qu (u, v )  qv (u, v )



u křivky

v křivky

Q(u, v0 ), v  konst.

Q(u0 , v ), u  konst.


Petra Surynková


podobně jako se křivky při navazování skládají ze segmentů, tak i plochy se skládají z částí, kterým říkáme pláty (patch)



složitější plochy získáváme navazováním plátů, případně dělením plochy na pláty - můžeme podrobněji tvarovat 





navazování ploch = plátování

analogické pojmy jako u křivek

u, v  0,1 

strana plochy – u křivka pro hodnotu v=0 nebo v=1 a v křivka pro hodnotu u=0 nebo u=1



všechny strany plochy dohromady tvoří okraj



rohy plochy


Q(0,0), Q(1,0), Q(0,1), Q(1,1) Petra Surynková


spojitost C 0 , mají-li společnou stranu, která je



dva pláty mají napojení 0 křivkou třídy alespoň C



dva pláty mají napojení C1 , mají-li společnou stranu a jsou-li shodné příčné parciální derivace ve všech bodech společné strany prvního a druhého plátu 

někdy je požadována

C1 spojitost pouze ve směru napojení spojení dvou plátů,šipky - příčné vektory ve směru napojení


Petra Surynková


dva pláty mají napojení G1 , mají-li společnou stranu, která je alespoň G1 spojitou křivkou a jsou-li parciální derivace obou plátů podél této strany ve směru napojení lineárně závislé s koeficientem k>0, který se spojitě mění podél společné strany



plochy se zadávají řídícími body a bázovými funkcemi



většina ploch – aproximační



interpolace v dimenzích vyšších nežli dvě je překvapivě složitou úlohou – proto se k interpolaci řídících bodů obvykle užívá interpolace ploškami, nejčastěji trojúhelníky



stejně jako u křivek jsou bázové funkce nejčastěji polynomy (nejčastěji stupeň tři) 

snadno diferencovatelné a lze je rychle vyčíslit


Petra Surynková


reprezentace – př. bikubická plocha

Q (u, v )  UM B PM BTV T   u 3 u 2

 v3   2 T v  u 1 M B PM B v   1

P

- matice obsahující řídící body, případně další prvky určující geometrii plochy

MB

- bázová matice, obsahuje koeficienty polynomů bázových funkcí


Petra Surynková


Interpolace polynomiální plochou stupně m  n  je dáno  m  1   n  1 bodů P , i  0,1,..., m; j  0,1,..., n ij 

interpolační plocha je taková plocha, pro kterou

Q(u, v )  Pij , i, j  

interpolační plocha tedy prochází body, kterými je zadána možným řešením je interpolace polynomy, tj. m

n

Q (u, v )   bij ui v j i 0 j 0



maticově


Q(u, v )  UBV T

třikrát rovnic

 m  1   n  1

U   u m , u m1 ,..., u,1 V   v n , v n1 ,..., v,1

Petra Surynková


Rotační plochy 



křivka, která rotuje v rovině (x,z) – k (v )  osa rotace o=z

 x(v),0, z(v), v  I

Q(u, v )   x(v )cos u, x(v)sin u, z(v), u  0,2  , v  I zo x(v)sin u x(v)cos u

u

u

O x

x( v ) p(u, v )

p(u, v )

q(v )


y

O

q

y

x

Petra Surynková


Rotační plochy 



křivka, která rotuje v rovině (x,z) – osa rotace o=z

k (v )   x(v ), y(v ), z(v ), v  I

Q (u, v )   x(v )cos u  y(v )sin(u ), x(v )sin u  y( v )cos u, z( v )  u  0,2  , v  I 

maticově

Q(u, v)  k (v )  R(u)  cos u sin u 0  R(u )    sin u cos u 0     0  0 1   Počítačová geometrie

matice rotace

Petra Surynková


Rotační plochy p(u(,u v), v ) Q

anuloid

Q (u, v )   R  r cos v  cos u,  R  r cos v  sin u, r sin v  u  0,2  , v  0,2  , R  r  0 Počítačová geometrie

Petra Surynková


Šroubové plochy 



křivka, která se šroubuje v rovině (x,z) – osa šroubového pohybu o=z

k (v )   x(v ),0, z(v ), v  I

Q(u, v )   x(v )cos u, x(v )sin u, z(v)   v0u , u  , v  I 



  1 - pravotočivý a levotočivý šroubový pohyb křivka, která se šroubuje v rovině (x,z) –

k (v )   x(v ), y(v ), z(v ), v  I

Q (u, v )   x(v )cos u  y(v )sin(u ), x( v )sin u  y( v )cos u, z( v )   v0u  u  ,v  I Počítačová geometrie

Petra Surynková


Šroubové plochy 

maticově

Q(u, v )  k (v )  R(u)   0 0  v0u 

 cos u sin u 0  R(u )    sin u cos u 0     0  0 1  


matice rotace

Petra Surynková


Šroubové plochy o

přímý šroubový konoid

q

Q (u, v )  v cos u, v sin u, v0u  u  ,v  Počítačová geometrie

Petra Surynková


Přímkové plochy 

křivka, jejímž pohybem přímková plocha vzniká

k (v)  A  ve , v  

A je bod a

e je nenulový vektor

Q(u, v )  A(u)  ve (u), u  I , v  

přímkové plochy dále dělíme na rozvinutelné a zborcené 

lze odvodit podmínky z parametrického vyjádření


Petra Surynková


Přímkové plochy

hyperbolický paraboloid z



l

O

lk

y

a

qk

k1 x  l  l1

l1

l

k

Q (u, v )  u, av, cuv ; a, c  0 u  ,v 


Petra Surynková

Základní vlastnosti ploch

Recommend Documents