Základní typy betonových konstrukcí pozemních staveb se vzorovými příklady

Základní typy betonových konstrukcí pozemních staveb se vzorovými příklady 2. PŘÍKLADOVÁ ČÁST Komentované příklady

projekt FRVŠ 294/2012/G1 řešitelský kolektiv : Ing. Ondřej Vrátný Ing. Martin Tipka doc. Ing. Jitka Vašková, CSc.

PŘÍKLAD Č. 1 : Navrhněte rozměry a vyztužení masivního ŽB sloupu zatíženého centrickou tlakovou silou NEd. tlaková síla : N Ed = 2250 kN beton : C 30/37 ocel : B 500 B

Návrh vychází z rovnosti (rovnováhy) mezi zatížením NEd a únosností NRd. N Ed ≤ N Rd Pro případ návrhu centricky tlačeného sloupu lze s výhodou použít vztah z evropské přednormy ČSN P ENV 1992-1-1 : N Rd = 0,8 ⋅ Ac ⋅ f cd + As ⋅ σ s

člen 0,8 vyjadřuje fakt, že dokonale centrický tlak je pouze teoretický pojem, reálně se vždy vyskytuje minimální (náhodná) imperfekce

Pokud předpokládáme spolupůsobení výztuže a betonu, je napětí v tlačené výztuži limitováno nejen mezí kluzu výztuže fyd, ale také mezním přetvořením betonu v tlaku εcu :

ε s = ε cu
napětí ve výztuži : σ s = min(E s ⋅ ε cu ; f yd )

např. pro ocel B 500 B : ε s = ε cu = 0,002

σ s = E s ⋅ ε s = 200 ⋅ 10 3 ⋅ 0,002 = 400 MPa ≤ f yd = 434,783 MPa V případě, že bychom použili ocelovou výztuž s nižší mezí kluzu (např. fyd = 380 MPa), nebude rozhodujícím faktorem mezní přetvoření betonu, ale právě mez kluzu výztuže :

σ s = min (E s ⋅ ε cu ; f yd ) = min (200 ⋅ 10 3 ⋅ 0,002; 380) = 380 MPa

Postup řešení : V prvotních fázích návrhu sloupu neznáme ani rozměry sloupu, ani množství výztuže. Pro potřeby návrhu je nutné jednu z neznámých odhadnout nebo vyjádřit.
Tuto eliminaci neznámé provádíme odhadem vyztužení, kdy se množství výztuže vyjadřuje pomocí stupně vyztužení ρ, který představuje poměr mezi plochou výztuže a betonu :

As
As = ρ ⋅ Ac N Rd = 0,8 ⋅ Ac ⋅ f cd + ρ ⋅ Ac ⋅ σ s Ac Stupeň vyztužení železobetonového prvku musí být větší než minimální hodnota ρmin, která zaručuje, že se nebude jednat o slabě vyztužený průřez, který se vyznačuje křehkým porušením a zároveň menší než maximální hodnota ρmax, která zaručuje možnost probetonování prvku.
min. stupeň vyztužení pro ŽB prvky je : ρ min = 0,0013
max. stupeň vyztužení pro ŽB prvky je : ρ max = 0,04 Pro účely návrhu volíme stupeň vyztužení ρ v rozmezí 0,015 ÷ 0,03 v závislosti na známém momentovém zatížení sloupu. Z podmínky rovnováhy mezi zatěžovací silou NEd a únosností NRd stanovíme průřezovou plochu sloupu Ac, resp. rozměry sloupu b × h N Ed Ac ≥ Ac , req =
b×h 0,8 ⋅ f cd + ρ ⋅ σ s

ρ=

- P2 -

Následně z téže rovnice navrhneme konkrétní výztuž (plochu i uspořádání), bez ohledu na výše volený stupeň vyztužení (ten by měl přesto zůstat v relaci). N − 0,8 ⋅ b ⋅ h ⋅ f cd As ≥ Ed
n × ∅ mm

σs

Po návrhu může následovat posouzení. Případné posouzení je nutné provádět dle ČSN EN 1992-1-1 v podobě řešení interakčního diagramu (nebo alespoň jeho části) se zohledněním náhodné výstřednosti.

Řešení příkladu :


materiálové charakteristiky : E cm = 32 GPa

beton : C 30/37

f cd =

f ck = 30 MPa

γc

=

30 = 20 MPa 1,5

E s = 200 GPa

ocel : B 500 B

f yk = 500 MPa


f ck

f yd =

f yk

γ M0

=

500 = 434,783 MPa 1,15

napětí ve výztuži :

ε s = ε cu = 0,002
napětí ve výztuži : σ s = min(E s ⋅ ε cu ; f yd )

σ s = min (E s ⋅ ε cu ; f yd ) = min (200 ⋅ 10 3 ⋅ 0,002; 434,783) = 400 MPa


volba stupně vyztužení : ρ = 0,025




návrh průřezu sloupu : N Ed ≤ N Rd = 0,8 ⋅ Ac ⋅ f cd + As ⋅ σ s

Ac ≥ Ac ,req = o

N Ed 2250 ⋅ 10 3 = = 86538 mm 2 0,8 ⋅ f cd + ρ ⋅ σ s 0,8 ⋅ 20 + 0,025 ⋅ 400

b=h=

při volbě čtvercového průřezu sloupu :


návrh rozměrů sloupu : 300 mm x 300 mm


Ac ,req = 86538 = 294,2 mm Ac = 90000 mm 2

návrh výztuže : N Ed ≤ N Rd = 0,8 ⋅ Ac ⋅ f cd + As ⋅ σ s As ≥ As ,req =

o

N Ed − 0,8 ⋅ b ⋅ h ⋅ f cd

σs

=

2250 ⋅ 10 3 − 0,8 ⋅ 300 ⋅ 300 ⋅ 20 = 2025 mm 2 400

při volbě profilu výztuže φ = 22 mm n≥

As ,req As1

=

2

:

22 2 As1 = π ⋅ = 381 mm 4

2025 = 5,3 mm 381


návrh výztuže : 6 ∅ 22 mm

As = 2281 mm 2

- P3 -

PŘÍKLAD Č. 2 : Určete max. možné silové zatížení masivního ŽB sloupu NEd,max, působící na excentricitě e, které je schopný daný sloup přenést. rozměry sloupu : b = 300 mm h = 350 mm tlačená výztuž : 8 ∅ 25 mm třmínková výztuž : φ sw = 10 mm návrhové krytí : c = 30 mm beton : C 25/30 ocel : B 500 B Excentrické silové zatížení je obdobou kombinace zatížení centrické síly a ohybového momentu. Jedinou odlišností je skutečnost, že ohybový moment vyvolaný excentrickou silou narůstá lineárně s velikostí této síly. V případě kombinace zatížení daného časově konstantním momentem MEd,0 a excentrickou silou NEd na rameni e lze křivku zatížení znázornit následovně : V libovolném bodě diagramu lze ohybové momenty sčítat : M Ed = M Ed , 0 + M Ed ,e MEd,0 je časově konstantní složka ohybového momentu MEd,e je složka ohybového momentu vyvolaná excentrickou silou

Vzhledem k charakteru daného zatížení (excentrická normálová síla) je v tomto případě nutné řešit část interakčního diagramu, konkrétně bod 0 (dostředný tlak) a bod 1 (neutrálná osa v těžišti výztuže As1).

Bod 0 představuje dokonalý dostředný tlak, kdy je napětí v celém betonovém průřezu rovno pevnosti betonu v tlaku fcd a napětí ve výztuži σs odpovídá jejímu přetvořením (limitující hodnotou je mezní přetvořením betonu v tlaku ε cu = 0,002 ).






napětí ve výztuži : σ s1 = σ s 2 = min (E s ⋅ ε s1 ; f yd ) = min (E s ⋅ ε s 2 ; f yd ) = min (E s ⋅ ε cu ; f yd ) normálová únosnost : N Rd,0 = Fc + Fs1 + Fs 2 = b ⋅ h ⋅ f cd + As1 ⋅ σ s1 + As 2 ⋅ σ s 2 momentová únosnost : M Rd,0 = ( As 2 ⋅ σ s 2 ⋅ z s 2 − As1 ⋅ σ s1 ⋅ z s1 ) = 0

Bod 1 představuje kombinaci normálové síly a ohybového momentu, při které neutrálná osa průřezu prochází těžištěm výztuže As1 (d = x). Tlačený okraj průřezu je na mezním přetvoření betonu v tlaku za ohybu ( ε cu = 0,0035 ), napětí v betonu se zavádí hodnotou pevnosti betonu v tlaku fcd, rovnoměrně rozdělenou na 80% tlačené oblasti. Síla v betonu Fc je dána součinem tohoto napětí a plochou, na

- P4 -

kterém působí ( 0,8 ⋅ x ⋅ b ). Síla v tlačené výztuži Fs2 je dána součinem její průřezové plochy As2 a napětím σs2 v ní vyvolaném . Napětí ve výztuži odpovídá jejímu přetvoření εs2 (většinou návrhová mez kluzu fyd, neboť přetvoření překračuje hodnotu přetvoření na mezi kluzu εyd ).




přetvoření betonu (krajní vlákna) : ε cu = 0,0035




přetvoření oceli : ε s1 = 0
σ s1 = 0

ε s2 =

ε cu x

⋅ ( x − d 2 )
σ s 2 = min (E s ⋅ ε s 2 ; f yd )




normálová únosnost : N Rd,1 = Fc + Fs 2 = 0,8 ⋅ x ⋅ b ⋅ f cd + As 2 ⋅ σ s 2




h  momentová únosnost : M Rd,1 = Fc ⋅ z c + Fs 2 ⋅ z s = 0 ,8 ⋅ x ⋅ b ⋅ f cd ⋅  − 0 ,4 ⋅ x  + As 2 ⋅ σ s 2 ⋅ z s 2 

Zároveň je nutné porovnat excentricitu zatížení s excentricitou náhodnou. Pokud by zadaná excentricita zatížení byla menší než excentricita náhodná, limitující hodnotou zatížení by byla únosnost v dostředném tlaku se zahrnutím náhodné excentricity (NRd,EN) - viz Obr. A. Sloup navržený na podmínku N Ed = N Rd , EN by v takovém případě vykazoval rezervu z hlediska ohybového namáhání. Pokud je excentricita zatížení větší než excentricita náhodná, je rozhodujícím parametrem pro určení NEd,max právě tato excentricita - viz Obr. B.

Obr. A

Obr. B

V obou případech je možné získat řešení graficky vynesením známé výstřednosti e, resp. e0 (arctg e je směrnicí křivky zatěžování) a následným odečtením pořadnice průsečíku této přímky s interakčním diagramem nebo analyticky :

e ⋅ N Ed ,max =

M Rd ,1 N Rd ,1 − N Rd , 0

⋅ (N Ed , max − N Rd , 0 )

- P5 -

Řešení příkladu :
materiálové charakteristiky : E cm = 31 GPa

beton : C 25/30

f cd =

f ck = 25 MPa ocel : B 500 B

f ck

γc

=

25 = 16,667 MPa 1,5

E s = 200 GPa

f yk = 500 MPa

f yd =

f yk

γ M0

=

500 = 434,783 MPa 1,15

geometrické parametry :




d = h − c − φ sw − φ / 2 = 350 − 30 − 10 − 25 / 2 = 297,5 mm d 1 = d 2 = c + φ sw + φ / 2 = 30 + 10 + 25 / 2 = 52,5 mm z s1 = z s 2 = h / 2 − d1 = 350 / 2 − 52,5 = 122,5 mm

φ2

25 2 = 3927 mm 2 2 4 2 As1 = As 2 = 1963,5 mm

As = n ⋅ π ⋅

= 8 ⋅π ⋅

Interakční diagram :

Bod 0 - dostředný tlak : N Rd ,max

•

limitující hodnotou pro napětí v oceli je přetvoření betonu ε cu při f cd : ε s1 = ε s2 = ε cu = 0,002

•

napětí v oceli : σ s1 = σ s 2 = E s ⋅ ε s1 = E s ⋅ ε s 2 = 200 ⋅ 10 3 ⋅ 0,002 = 400 MPa síla a moment únosnosti : N Rd,0 = Fc + Fs1 + Fs 2 = b ⋅ h ⋅ f cd + As1 ⋅ σ s1 + As 2 ⋅ σ s 2 = 300 ⋅ 300 ⋅ 16,667 + 3927 ⋅ 400 = 3320,835 kN M Rd,0 = ( As 2 ⋅ σ s 2 ⋅ z s 2 − As1 ⋅ σ s1 ⋅ z s1 ) = (1963,5 ⋅ 400 ⋅ 122,5 − 1963,5 ⋅ 400 ⋅ 122,5) = 0

•

Bod 1 - excentrický tlak (neutrálná osa v těžišti výztuže As1) :

•

přetvoření betonu (krajní vlákna) : ε cu = 0,0035

- P6 -

Fs1 = 0 , x = d

•

o

napětí v tlačené oceli dáno přetvořením průřezu :

ε s2 = •

ε s1 = 0
σ s1 = 0

přetvoření oceli :

ε cu

ε cu x

=

ε s2 x − d2

f yd 434,783 0,0035 ⋅ (297,5 − 52,5) = 0,0029 > ε yd = = = 0,00217 297,5 E s 200 ⋅ 10 3 = f yd = 434,783 MPa

⋅ (x − d 2 ) =

x
σ s2

síla a moment únosnosti :

N Rd,1 = Fc + Fs 2 = 0 ,8 ⋅ x ⋅ b ⋅ f cd + As 2 ⋅ σ s 2 = 0 ,8 ⋅ 297,5 ⋅ 300 ⋅ 16,667 + 1963,5 ⋅ 434 ,783 = 2043,720 kN

h  M Rd,1 = Fc ⋅ z c + Fs 2 ⋅ z s = 0 ,8 ⋅ x ⋅ b ⋅ f cd ⋅  − 0 ,4 ⋅ x  + As 2 ⋅ σ s 2 ⋅ z s = 2   350   = 0 ,8 ⋅ 2297 ,5 ⋅ 300 ⋅ 16,667 ⋅  − 0 ,4 ⋅ 297,5  + 1963,5 ⋅ 434 ,783 ⋅ 122,5 = 171,219 kN ⋅ m 2  

Zavedení náhodné excentricity : • • •

náhodná excentricita : e0 = max (h / 30; 20 ) = max (350 / 30; 20 ) = 20 mm excentricita zatížení : e = 50 mm = 0,05 m
rozhodující analytický výpočet : M Rd ,1 e ⋅ N Ed ,max = ⋅ (N Ed , max − N Rd , 0 ) N Rd ,1 − N Rd , 0

171,219 ⋅ (N Ed ,max − 3320,835) 2043,720 − 3320,835 NEd,max = 2418,763 kN 0,05 ⋅ N Ed ,max =

- P7 -

PŘÍKLAD Č. 3 : Navrhněte vyztužení ŽB stěny zatížené dle obrázku. Zatížení je uvedeno již v návrhových hodnotách, hodnota spojitého zatížení f zahrnuje i vlastní tíhu stěny. délka stěny : l = 6,0 m výška stěny : h = 3,0 m tloušťka stěny : t = 0,2 m svislé zatížení : f = 2400 kN / m´ vodorovné zatížení : H = 2400 kN beton : C 25/30 ocel : B 500 B Nejprve je nutné vyčíslit normálové napětí v patní spáře σ. Toto napětí se skládá z příspěvku od svislého spojitého zatížení f, které vyvolá rovnoměrně rozložené napětí σN a příspěvku od vodorovné síly H, která při přepočtu na moment M vyvolá lineárně rozložené napětí σM. Celkové napětí σ získáme superpozicí těchto dvou stavů.

σN =

f ⋅l f ⋅l f = = A l ⋅t t

σM =

M W

M = H ⋅h W=

σ A = σ N −σ M

1 ⋅t ⋅l2 6

σ B = σ N +σM Následuje optimalizace napětí po délce stěny. Napětí je možné vyjádřit jako po částech konstantní a každou část poté řešit odděleně (rovnoměrně zatížený díl). N Ed ,i = σ i ⋅ bi ⋅ t a s ,i , req =




N Ed ,i − 0,8 ⋅ bi ⋅ t ⋅ f cd

σs

návrh konkrétní výztuže as,i pro každou část stěny, přičemž platí : a s ,i ≥ a s ,i ,req a s , min ≤ a s ,i ≤ a s ,max a s , min ≈ 0,0013 ⋅ b ⋅ t a s , max = 0,04 ⋅ b ⋅ t

- P8 -

Řešení příkladu :
materiálové charakteristiky : E cm = 31 GPa

beton : C 25/30

f cd =

f ck = 25 MPa ocel : B 500 B

γc

=

25 = 16,667 MPa 1,5

E s = 200 GPa

f yk = 500 MPa


f ck

f yd =

f yk

γ M0

=

500 = 434,783 MPa 1,15

napětí v základové spáře :

f ⋅ l f ⋅ l f 2400 ⋅ 10 −3 = = = = 12 MPa A l ⋅t t 0,2 M = H ⋅ h = 2400 ⋅ 3,0 = 7200 kN ⋅ m 1 1 W = ⋅ t ⋅ l 2 = ⋅ 0,2 ⋅ 6,0 2 = 1,2 m 3 6 6 M 7200 ⋅ 10 −3 σM = = = 6 MPa W 1,2

σN =

σ A = σ N − σ M = 12 − 6 = 6 MPa σ B = σ N + σ M = 12 + 6 = 18 MPa




minimální plocha výztuže : a s , min ≈ 0,0013 ⋅ b ⋅ t = 0,0013 ⋅ 1000 ⋅ 200 = 260 mm 2 / m´


konstrukční výztuž : 2 ∅ 12 mm po 300 mm

a s , konstr = 754 mm 2 / m´




maximální plocha výztuže : a s , max = 0,04 ⋅ b ⋅ t = 0,04 ⋅ 1000 ⋅ 200 = 8000 mm 2 / m´




optimalizace napětí :

N Ed ,i = σ i ⋅ bi ⋅ t a s ,i , req =




N Ed ,i − 0,8 ⋅ bi ⋅ t ⋅ f cd

σs

návrh konkrétní výztuže as,i pro každou část stěny, přičemž platí : a s ,i ≥ a s ,i ,req a s , min ≤ a s ,i ≤ a s ,max

- P9 -




řešení jednotlivých částí stěny : N Ed ,1 = σ 1 ⋅ b1 ⋅ t = 7000 ⋅ 1,0 ⋅ 0,2 = 1400 kN a s ,1,req =

N Ed ,1 − 0,8 ⋅ b1 ⋅ t ⋅ f cd

σs

1400 ⋅ 10 3 − 0,8 ⋅ 1000 ⋅ 200 ⋅ 16,667 = = −3167 mm 2 / m´ 400


konstrukční výztuž : 2 ∅ 12 mm po 300 mm a s , konstr = 754 mm 2 / m´ N Ed , 2 = σ 2 ⋅ b2 ⋅ t = 9000 ⋅ 1,0 ⋅ 0,2 = 1800 kN a s , 2,req =

N Ed , 2 − 0,8 ⋅ b2 ⋅ t ⋅ f cd

σs

=

1800 ⋅ 10 3 − 0,8 ⋅ 1000 ⋅ 200 ⋅ 16,667 = −2167 mm 2 / m´ 400


konstrukční výztuž : 2 ∅ 12 mm po 300 mm a s , konstr = 754 mm 2 / m´ N Ed ,3 = σ 3 ⋅ b3 ⋅ t = 11000 ⋅ 1,0 ⋅ 0,2 = 2200 kN a s ,3,req =

N Ed ,3 − 0,8 ⋅ b3 ⋅ t ⋅ f cd

σs

=

2200 ⋅ 10 3 − 0,8 ⋅ 1000 ⋅ 200 ⋅ 16,667 = −1167 mm 2 / m´ 400


konstrukční výztuž : 2 ∅ 12 mm po 300 mm a s , konstr = 754 mm 2 / m´ N Ed , 4 = σ 4 ⋅ b4 ⋅ t = 13000 ⋅ 1,0 ⋅ 0,2 = 2600 kN a s , 4,req =

N Ed , 4 − 0,8 ⋅ b4 ⋅ t ⋅ f cd

σs

=

2600 ⋅ 10 3 − 0,8 ⋅ 1000 ⋅ 200 ⋅ 16,667 = −167 mm 2 / m´ 400


konstrukční výztuž : 2 ∅ 12 mm po 300 mm a s , konstr = 754 mm 2 / m´ N Ed ,5 = σ 5 ⋅ b5 ⋅ t = 1500 ⋅ 1,0 ⋅ 0,2 = 3000 kN a s ,5,req =

N Ed ,5 − 0,8 ⋅ b5 ⋅ t ⋅ f cd

σs

3000 ⋅ 10 3 − 0,8 ⋅ 1000 ⋅ 200 ⋅ 16,667 = = 833 mm 2 / m´ 400


návrh výztuže : 2 ∅ 12 mm po 250 mm

a s ,5 = 905 mm 2 / m´

N Ed , 6 = σ 6 ⋅ b6 ⋅ t = 17000 ⋅ 1,0 ⋅ 0,2 = 3400 kN a s , 6,req =

N Ed , 6 − 0,8 ⋅ b6 ⋅ t ⋅ f cd

σs

=

3400 ⋅ 10 3 − 0,8 ⋅ 1000 ⋅ 200 ⋅ 16,667 = 1833 kNmm 2 / m´ 400


návrh výztuže : 2 ∅ 12 mm po 120 mm

- P10 -

a s ,5 = 1885 mm 2 / m´

PŘÍKLAD Č. 4 : Navrhněte vyztužení (hlavní tahovou výztuž) jednoramenného monolitického ŽB schodiště uvedeného na obrázku. Nakreslete skicu vyztužení. tloušťka desky : hd = 250 mm profil výztuže : φ = 12 mm krytí : c = 25 mm stálé zatížení : viz OBR. g k , I = g k , III = 6,5 kN / m 2

g k , II = 7,5 kN / m 2 užitné zatížení : q k = 3,0 kN / m 2 beton : C 25/30 ocel : B 500 B

Nejprve vypočteme návrhové hodnoty zatížení (stálého i proměnného) g d , I = 1,35 ⋅ g k , I g d , II = 1,35 ⋅ g k , II g d , III = 1,35 ⋅ g k , III

( g I + q )d = g d , I + q d (g II + q )d = g d , II + q d (g III + q )d = g d ,III + q d

q d = 1,5 ⋅ q k Následuje výpočet průběhů vnitřních sil, tj. ve výsledku návrhová hodnota ohybového momentu mEd. Pro prostý nosník zatížený spojitým rovnoměrným zatížením f platí : V( x ) =

M (x) =

f ⋅L − f ⋅x 2 f ⋅ L ⋅ x f ⋅ x2 − 2 2

V Ed =

f ⋅L 2

M Ed =

1 ⋅ f ⋅ L2 8

V tomto případě je spojité zatížení po částech konstantní, proto nejjednodušším způsobem, jak nalézt návrhový moment mEd, bude výpočet reakcí, z nich sestavení průběhu posouvající síly a následně ohybového momentu. Vzhledem k symetrii konstrukce víme, že největší hodnota ohybového momentu leží uprostřed rozpětí.

- P11 -

Ve chvíli, kdy známe návrhový účinek zatížení (v tomto případě návrhový ohybový moment mEd), můžeme přistoupit k návrhu výztuže konstrukce.






účinná výška průřezu : d = hd − c − φ / 2

 f ⋅b ⋅dx minimální plocha výztuže : a s , min = max 0,0013 ⋅ b ⋅ d x ; 0,26 ⋅ ctm  f yk  m Ed m Ed požadovaná plocha výztuže : a s , req = = z ⋅ f yd 0,9 ⋅ d ⋅ f yd

   


návrh výztuže při splnění podmínek : a s ≥ a s ,req a s ≥ a s , min Při návrhu rozmístění výztuže (v tomto případě skica výztuže) je nutné zohlednit nepřesnost zvoleného výpočetního modelu. Pro výpočet byl zvolen staticky určitý model prostého nosníku s jednou posuvnou podporou (Obr. A). Skutečná tuhost uložení schodiště (průvlaky) však volné posunutí ani natáčení konců neumožňuje. Alternativním výpočetním modelem je tak nosník s neposuvnými klouby na obou koncích nebo oboustranně vetknutý nosník (Obr. B). Při takovém modelu dochází v konstrukci ke vzniku normálových sil a odlišnému rozložení ohybových momentů.

Obr. A

Obr. B

Skutečnost leží někde mezi oběma případy. Z důvodu bezpečnosti je schodiště vyztuženo při obou površích.

- P12 -

Řešení příkladu :
materiálové charakteristiky : E cm = 31 GPa

beton : C 25/30

f cd =

f ck = 25 MPa ocel : B 500 B

γc

=

25 = 16,667 MPa 1,5

f ctm = 2,6 MPa

E s = 200 GPa

f yk = 500 MPa


f ck

f yd =

f yk

γ M0

=

500 = 434,783 MPa 1,15

výpočet zatížení : g d , I = 1,35 ⋅ g k , I = 1,35 ⋅ 6,5 = 8,775 kN / m 2

q d = 1,5 ⋅ q k = 1,5 ⋅ 3,0 = 4,5 kN / m 2

g d , II = 1,35 ⋅ g k , II == 1,35 ⋅ 7,5 = 10,125 kN / m 2 g d , III = 1,35 ⋅ g k , III = 1,35 ⋅ 6,5 = 8,775 kN / m 2

(g I + q )d = g d , I + q d = 8,775 + 4,5 = 13,275 kN / m 2 (g II + q )d = g d , II + q d = 10,125 + 4,5 = 14,625 kN / m 2 (g III + q )d = g d , III + q d = 8,775 + 4,5 = 13,275 kN / m 2









výpočet reakcí a vnitřních sil : o reakce : 2 2  3  A ⋅ 7 = 13,275 ⋅ 2 ⋅  + 3 + 2  + 14,625 ⋅ 3 ⋅  + 2  + 13,275 ⋅ 2 ⋅ 2 2  2  A = 48,488 kN = B o posouvající síla : f ⋅L V( x ) = − f ⋅x v Ed = A = 48,488 kN / m´ 2 o ohybový moment : f ⋅ L ⋅ x f ⋅ x2 M (x) = − 2 2 vzhledem k symetrii konstrukce je mEd uprostřed rozpětí : 3 3 3  2 3 m Ed = A ⋅  2 +  − ( g I + q )d ⋅ 2 ⋅  +  − ( g II + q )d ⋅ ⋅ = 2 2 4  2 2

3 3 3  2 3 = 48,488 ⋅  2 +  − 13,275 ⋅ 2 ⋅  +  − 14,625 ⋅ ⋅ = 86,880 kN ⋅ m / m 2 2 4  2 2 účinná výška průřezu : d = hd − c − 0,5 ⋅ φ = 250 − 25 − 0,5 ⋅ 12 = 219 mm  f ⋅ b ⋅ d  minimální plocha výztuže : a s , min = max 0,0013 ⋅ b ⋅ d ; 0,26 ⋅ ctm   f yk   2,6 ⋅ 1000 ⋅ 219   2 a s , min = max 0,0013 ⋅ 1000 ⋅ 219; 0,26 ⋅  = 296 mm / m´ 500   návrh výztuže : m Ed m Ed 86,880 ⋅ 10 6 a s , req = = = = 1014 mm 2 / m´ z ⋅ f yd 0,9 ⋅ d ⋅ f yd 0,9 ⋅ 219 ⋅ 434,783


návrh výztuže : ∅ 12 mm po 110 mm

- P13 -

a s = 1028 mm 2 / m´

Pro výpočet byl zvolen staticky určitý model prostého nosníku s jednou posuvnou podporou (Obr. A). Skutečná tuhost uložení schodiště (průvlaky) však volné posunutí ani natáčení konců neumožňuje. Alternativním výpočetním modelem je oboustranně vetknutý nosník (Obr. B).

Obr. A

Obr. B

Skutečnost leží někde mezi oběma případy. Z důvodu bezpečnosti je schodiště vyztuženo při obou površích.

- P14 -

PŘÍKLAD Č. 5 : Navrhněte vyztužení (hlavní tahovou výztuž) jednoramenného ŽB schodiště (ramene a podesty) uvedeného na obrázku. Podesty jsou monolitické, vetknuté do ŽB schodišťových stěn. Rameno je prefabrikované, osazené přes ozub na podesty. Nakreslete skicu vyztužení (řezy A, B, DETAIL). šířka podesty : BP = 2,0 m délka podesty : LP = 3,0 m tloušťka podesty : H P = 260 mm šířka ramene : BR = 2,8 m délka ramene : LR = 2,7 m tloušťka podesty : H R = 260 mm profil výztuže : φ = 10 mm krytí : c = 40 mm hmotnost ramene včetně povrchů : m R = 5000 kg ostatní stálé zatížení podesty : (g − g 0 )P ,k = 2,0 kN / m 2 užitné zatížení : q k = 3,0 kN / m 2 beton : C 25/30 ocel : B 500 B Návrh schodiště bude rozdělen na 3 oddělené části - návrh schodišťového ramene, návrh ozubu schodišťového ramene a návrh schodišťové podesty. Návrh schodišťového ramene : Schodišťové rameno představuje prefabrikovaný ŽB prvek, který je svými konci uloženo přes ozuby na schodišťovou podestu a základový práh. Jeho zatížení je dáno hmotností prefabrikátu a užitným zatížením. Vzhledem k faktu, že se jedná o prefabrikát, jsou při výpočtu všechny parametry (zatížení, vnitřní síly, množství výztuže) vztahovány na celou šířku prvku. m ⋅g (g + q )R ,d = g R ,d + q R ,d [kN / m] g R ,d = γ G ⋅ R [kN / m] LR q R ,d = γ Q ⋅ q k ⋅ B R [kN / m] Vzhledem ke způsobu uložení ramene je rozhodující vnitřní silou pro návrh hlavní výztuže prefabrikátu ohybový moment prostého nosníku. 1 M Ed = ⋅ ( g + q )R,d ⋅ L2R [kN ⋅ m] 8 Následuje klasický návrh jednostranné ohybové výztuže.






účinná výška průřezu : d R = H R − c − φ / 2

 f ⋅B ⋅d minimální plocha výztuže : As ,min = max 0,0013 ⋅ B R ⋅ d R ; 0,26 ⋅ ctm R R  f yk  M Ed M Ed požadovaná plocha výztuže : As ,req = = z ⋅ f yd 0,9 ⋅ d R ⋅ f yd




návrh výztuže při splnění podmínek :

As ≥ As ,req As ≥ As ,min

- P15 -

   

Návrh ozubu schodišťového ramene : Ozub prefabrikátu představuje tzv. D-oblast (oblast diskontinuit), ve které nelze zcela jednoduše popsat napjatost. Pro podrobné řešení takových oblastí se obvykle používají modely příhradové analogie. Přesto lze množství hlavní výztuže (ohybové a tahové) vyčíslit pomocí jednoduchých vztahů.




b1 2 účinná výška průřezu ozubu : d1 = h1 − c − φ1 / 2 ( g + q )R ,d ⋅ LR reakce schodišťového ramene : R = 2 poloha reakce ramene : a1 =

Reakce ramene vyvolává ohyb ozubu.


ohybový moment ozubu : M Ed ,1 = R ⋅ (a1 + d1 )

Tento ohyb je nutné zachytit samostatnou ohybovou výztuží ozubu. Výztuž musí být dostatečně zakotvena v tlačené oblasti. M Ed ,1 M Ed ,1
plocha vodorovné ohybové výztuže : As ,vod ≥ As ,vod ,req = = z1 ⋅ f yd 0,9 ⋅ d 1 ⋅ f yd Kromě porušení ohybem může také dojít k odtržení celého ozubu od zbytku schodišťového ramene. Z toho důvodu je nutné v této oblasti umístit tahovou výztuž. Pro tu lze s výhodou využít hlavní ohybovou výztuž schodišťového ramene. R
plocha svislé tahové výztuže : As , sv ≥ As , sv ,req = f yd Problematickým místem z hlediska betonáže může být výstupek na spodní straně schodišťového ramene, přiléhající k podestě (nutnost značného vyvložkování bednění). V případě jeho zachování je nutné přistoupit k jeho řádnému vyztužení (VARIANTA A). Druhou možností je provést rameno bez tohoto výstupku (VARIANTA B). V takovém případě však nebude zachován rovinný podhled konstrukce (dodržení plynulého přechodu by vedlo k příliš tlusté desce ramene).

- P16 -

Návrh schodišťové podesty : Podesta přenáší vlastní tíhu g0, ostatní stálé zatížení podesty (g-g0), užitné zatížení q a přitížení od schodišťového ramene fR (Obr. 1). Zatížení od schodišťového ramene však nelze rozložit rovnoměrně na celou plochu podesty. Podestu rozdělíme na část A (širokou 0,5 m), která bude přenášet veškeré stálé a užitné zatížení podesty + přitížení od schodišťového ramene a zbývající část B, která bude přenášet pouze stálé a užitné zatížení podesty (Obr. 2).

Obr. 1

Obr. 2

Pro výpočet jednotlivých částí je nutné přepočítat zatížení na liniové hodnoty, vztažené na šířky daných částí.

(g + q )P,d

= g 0 ,P,d + ( g − g 0 )P,d + q P,d

[kN / m ]

( g − g 0 )P ,d = γ G q P ,d = γ Q ⋅ q P ,k f d , A = ( g + q )P,d ⋅ b A + f R, d = ( g + q )P,d ⋅ b A + f d , B = ( g + q )P,d ⋅ bB

[kN / m]

Rd LP

[kN / m ] [kN / m ] ⋅ (g − g ) [kN / m ]

g 0, P ,d = γ G ⋅ H P ⋅ γ BETON

2

2

2

0 P,k

2

[kN / m]

Podesta je monolitická, vetknutá do železobetonových stěn. Statické schéma obou částí je stejné oboustranně vetknutý nosník. 1 M Ed , podp = ⋅ f d ⋅ L2P 12 1 M Ed ,mezi = ⋅ f d ⋅ L2P 24 Následuje klasický návrh jednostranné ohybové výztuže.






účinná výška průřezu : d P = H P − c − 1,5 ⋅ φ

 f ⋅b ⋅ dP minimální plocha výztuže : As ,min = max 0,0013 ⋅ b ⋅ d P ; 0,26 ⋅ ctm  f yk  M Ed M Ed požadovaná plocha výztuže : As ,req = = z P ⋅ f yd 0,9 ⋅ d P ⋅ f yd




návrh výztuže při splnění podmínek :

As ≥ As ,req As ≥ As ,min

- P17 -

   

Řešení příkladu :
materiálové charakteristiky : E cm = 31 GPa

beton : C 25/30

f cd =

f ck = 25 MPa ocel : B 500 B

f ck

γc

=

25 = 16,667 MPa 1,5

f ctm = 2,6 MPa

E s = 200 GPa

f yk = 500 MPa

f yd =

f yk

γ M0

=

500 = 434,783 MPa 1,15

Návrh schodišťového ramene :


( g + q )R , d








q R ,d

= g R ,d + q R ,d = 25,0 + 12,6 = 37,6 kN / m

výpočet návrhového ohybového momentu : M Ed =




mR ⋅ g 5,0 ⋅ 10 = 1,35 ⋅ = 25,0 kN / m LR 2,7 = γ Q ⋅ q k ⋅ B R = 1,5 ⋅ 3,0 ⋅ 2,8 = 12,6 kN / m

výpočet zatížení : g R , d = γ G ⋅

1 1 ⋅ ( g + q )R,d ⋅ L2R = ⋅ 37,6 ⋅ 2,7 2 = 34,263 kN ⋅ m 8 8

účinná výška průřezu : d R = H R − c − 0,5 ⋅ φ = 260 − 40 − 0,5 ⋅ 10 = 215 mm

 f ⋅B ⋅d minimální plocha výztuže : As ,min = max 0,0013 ⋅ B R ⋅ d R ; 0,26 ⋅ ctm R R  f yk  2,6 ⋅ 2800 ⋅ 215   2 As ,min = max 0,0013 ⋅ 2800 ⋅ 215; 0,26 ⋅  = 814 mm 500   návrh výztuže : M Ed M Ed 34,263 ⋅ 10 6 As ,req = = = = 407 mm 2 z ⋅ f yd 0,9 ⋅ d ⋅ f yd 0,9 ⋅ 215 ⋅ 434,783


návrh výztuže : 11 ∅ 10 mm (~ ∅ 10 mm po 270 mm)

   

As = 864 mm 2

Návrh ozubu schodišťového ramene :







návrh rozměrů ozubu : b1 = 150 mm h1 = 165 mm předpokládaná ohybová výztuž ozubu : φ1 = 6 mm b 150 poloha reakce ramene : a1 = 1 = = 75 mm 2 2 účinná výška průřezu ozubu : d1 = h1 − c − φ1 / 2 = 165 − 40 − 6 / 2 = 122 mm

( g + q )R , d ⋅ L R

37,6 ⋅ 2,7 = 50,76 kN 2 2 = Rd ⋅ (a1 + d1 ) = 50,76 ⋅ (0,075 + 0,121) = 10,0 kN ⋅ m




reakce schodišťového ramene : Rd =




ohybový moment ozubu : M Ed ,1

- P18 -

=




návrh vodorovné ohybové výztuže : M Ed ,1 M Ed ,1 10,0 ⋅ 10 6 As ,vod ,req = = = = 210 mm 2 z1 ⋅ f yd 0,9 ⋅ d1 ⋅ f yd 0,9 ⋅ 122 ⋅ 434,783

 f ⋅ b ⋅ d  = As ,vod , min = max 0,0013 ⋅ b ⋅ d ; 0,26 ⋅ ctm   f yk   2,6 ⋅ 2800 ⋅ 122   2 = max 0,0013 ⋅ 2800 ⋅ 122; 0,26 ⋅  = 531 mm 500  


návrh výztuže : 19 ∅ 6 mm (~ ∅ 6 mm po 150 mm)


As ,vod = 537 mm 2

návrh svislé tahové výztuže : R 50,76 ⋅ 10 3 As , sv ,req = d = = 117 mm 2 f yd 434,783


návrh výztuže : 11 ∅ 10 mm (~ ∅ 10 mm po 270 mm)

As , sv = 864 mm 2

Návrh schodišťové podesty :


rozdělení podesty na 2 části :

b A = 0,5 m bB = 1,5 m




výpočet zatížení :

g 0, P ,d = γ G ⋅ H P ⋅ γ BETON = 1,35 ⋅ 0,26 ⋅ 25 = 8,775 kN / m 2

( g − g 0 )P , d = γ G ⋅ ( g − g 0 ) P , k

= 1,35 ⋅ 2,0 = 2,7 kN / m 2

q P ,d = γ Q ⋅ q P ,k = 1,5 ⋅ 3,0 = 4,5 kN / m 2

(g + q )P,d

= g 0 ,P,d + ( g − g 0 )P,d + q P,d = 8,775 + 2,7 + 4,5 = 15,975 kN / m 2

f d , A = ( g + q )P,d ⋅ b A + f R ,d = ( g + q )P,d ⋅ b A +

Rd 50,76 = 15,975 ⋅ 0,5 + = 24,908 kN / m LP 3,0

f d , B = ( g + q )P,d ⋅ bB = 15,975 ⋅ 1,5 = 23,963 kN / m


výpočet návrhového ohybového momentu :




1 1 ⋅ f d , A ⋅ L2P = ⋅ 24,908 ⋅ 3,0 2 = 18,681 kN ⋅ m 12 12 1 1 M Ed ,mezi , A = ⋅ f d , A ⋅ L2P = ⋅ 24,908 ⋅ 3,0 2 = 9,341 kN ⋅ m 24 24 1 1 M Ed , podp , B = ⋅ f d , B ⋅ L2P = ⋅ 23,963 ⋅ 3,0 2 = 17,972 kN ⋅ m 12 12 1 1 M Ed ,mezi , B = ⋅ f d , B ⋅ L2P = ⋅ 23,963 ⋅ 3,0 2 = 8,986 kN ⋅ m 24 24 účinná výška průřezu : d P = H P − c − 1,5 ⋅ φ = 260 − 40 − 1,5 ⋅ 10 = 205 mm M Ed , podp , A =

- P19 -







 f ⋅b ⋅ dP minimální plocha výztuže : As ,min = max 0,0013 ⋅ b ⋅ d P ; 0,26 ⋅ ctm  f yk  2,6 ⋅ 500 ⋅ 205   As ,min, A = max 0,0013 ⋅ 500 ⋅ 205; 0,26 ⋅  = 160 mm 2 434,783  

   

2,6 ⋅ 1500 ⋅ 205   As ,min, B = max 0,0013 ⋅ 1500 ⋅ 205; 0,26 ⋅  = 478 mm 2 434,783   M Ed M Ed požadovaná plocha výztuže : As ,req = = z P ⋅ f yd 0,9 ⋅ d P ⋅ f yd As ,req, podp , A =

M Ed , podp , A 0,9 ⋅ d P ⋅ f yd

=

18,681 ⋅ 10 6 = 233 mm 2 0,9 ⋅ 205 ⋅ 434,783


návrh výztuže : 3 ∅ 10 mm (~ ∅ 10 mm po 160 mm) As ,req, mezi, A =

M Ed ,mezi , A 0,9 ⋅ d P ⋅ f yd

=

9,341 ⋅ 10 6 = 117 mm 2 0,9 ⋅ 205 ⋅ 434,783


návrh výztuže : 3 ∅ 10 mm (~ ∅ 10 mm po 240 mm) As ,req, podp , B =

M Ed , podp , B 0,9 ⋅ d P ⋅ f yd

As ,req, mezi, B =

0,9 ⋅ d P ⋅ f yd

As ,mezi, A = 164 mm 2

17,972 ⋅ 10 6 = = 224 mm 2 0,9 ⋅ 205 ⋅ 434,783


návrh výztuže : 6 ∅ 10 mm (~ ∅ 10 mm po 240 mm) M Ed ,mezi , B

As , podp , A = 246 mm 2

As , podp , B = 491 mm 2

8,986 ⋅ 10 6 = = 112 mm 2 0,9 ⋅ 205 ⋅ 434,783


návrh výztuže : 6 ∅ 10 mm (~ ∅ 10 mm po 240 mm)

- P20 -

As ,mezi, B = 491 mm 2

PŘÍKLAD Č. 6 : Navrhněte vyztužení ŽB stropní desky uvedené na obrázku. Deska je po třech stranách vetknutá (monolitické spojení s dostatečně ohybově tuhou ŽB stěnou) a po jedné straně kloubově uložená (průvlak). Nakreslete schéma vyztužení. tloušťka desky : hd = 200 mm krytí ohybové výztuže : c = 20 mm zatížení desky : ( g + q )d = 14,0 kN / m 2 beton : C 25/30 ocel : B 500 B

Řešenou konstrukcí je po obvodě podepřená stropní deska. Zatížení desky bude roznášeno do dvou navzájem kolmých směrů, přičemž poměr jejich hodnot fx a fy vychází z rovnosti středového průhybu desky v obou směrech. Obecně mohou nastat 3 varianty uložení :

w=

1 f ⋅ L4 ⋅ 384 E c ⋅ I

w=

2 f ⋅ L4 ⋅ 384 E c ⋅ I

w=

V našem případě :

1 f x ⋅ L4x ⋅ 384 E c ⋅ I rovnost průhybů : wx = w y wx =




wy =

4 1 f x ⋅ L4x 2 f y ⋅ Ly ⋅ = ⋅
384 Ec ⋅ I 384 Ec ⋅ I

4 2 f y ⋅ Ly ⋅ 384 Ec ⋅ I

4

Ly fx = 2⋅ 4 fy Lx

f x + f y = ( g + q )d

- P21 -

5 f ⋅ L4 ⋅ 384 E c ⋅ I

Pro jednotlivé směry pak řešíme průběhy vnitřních sil a následně navrhujeme jednostrannou výztuž. Ohybové momenty i dimenze vyjadřujeme na 1 m šířky desky. 1 m Ed , A, podp = ⋅ f x ⋅ b ⋅ L2x 12 1 m Ed , A, mezi = ⋅ f x ⋅ b ⋅ L2x 24 1 m Ed , B , podp = ⋅ f y ⋅ b ⋅ L2y 8 9 m Ed , B , mezi = ⋅ f y ⋅ b ⋅ L2y ´ 128 Větší účinnou výšku průřezu volíme ve směru většího namáhání. d x = hd − c − 1,5 ⋅ φ d y = hd − c − 0,5 ⋅ φ





 f ⋅ b ⋅ d  minimální plocha výztuže : a s , min = max 0,0013 ⋅ b ⋅ d ; 0,26 ⋅ ctm   f yk   m Ed ,i m Ed ,i = požadovaná plocha výztuže : a s , req,i = z i ⋅ f yd 0,9 ⋅ d i ⋅ f yd


návrh výztuže při splnění podmínek : a s ≥ a s ,req a s ≥ a s , min

- P22 -

Řešení příkladu :
materiálové charakteristiky : E cm = 31 GPa

beton : C 25/30

f cd =

f ck = 25 MPa ocel : B 500 B

=

γc

25 = 16,667 MPa 1,5

f ctm = 2,6 MPa

E s = 200 GPa

f yk = 500 MPa


f ck

f yd =

f yk

γ M0

=

500 = 434,783 MPa 1,15

rozdělení zatížení do směrů :

4 2 f y ⋅ Ly wy = ⋅ 384 Ec ⋅ I

1 f x ⋅ L4x wx = ⋅ 384 E c ⋅ I 4

o

z rovnosti průhybů : wx = w y




Ly fx 6,0 4 81 = 2⋅ 4 = 2⋅ = 4 fy 128 Lx 8,0

f x + f y = ( g + q )d = 14,0 kN / m 2 f x = 5,426 kN / m 2

f y = 8,574 kN / m 2 řez A :









návrhové ohybové momenty : 1 1 m Ed , A, podp = ⋅ f x ⋅ b ⋅ L2x = ⋅ 5,426 ⋅ 1,0 ⋅ 8,0 2 = 28,939 kN ⋅ m / m´ 12 12 1 1 m Ed , A, mezi = ⋅ f x ⋅ b ⋅ L2x = ⋅ 5,426 ⋅ 1,0 ⋅ 8,0 2 = 14,469 kN ⋅ m / m´ 24 24 účinná výška průřezu : d x = hd − c − 1,5 ⋅ φ = 200 − 20 − 1,5 ⋅ 10 = 165 mm  f ⋅ b ⋅ d x  minimální plocha výztuže : as , min, A = max 0,0013 ⋅ b ⋅ d x ; 0,26 ⋅ ctm   f yk   2,6 ⋅ 1000 ⋅ 165   2 a s , min, A = max 0,0013 ⋅ 1000 ⋅ 165; 0,26 ⋅  = 223 mm / m´ 500   návrh výztuže : m Ed , A, podp m Ed , A, podp 28,939 ⋅ 10 6 a s , req, A, podp = = = = 448 mm 2 / m´ z x ⋅ f yd 0,9 ⋅ d x ⋅ f yd 0,9 ⋅ 165 ⋅ 434,783


návrh výztuže : ∅ 10 mm po 170 mm a s , req, A,mezi =

m Ed , A, mezi z x ⋅ f yd

=

m Ed , A, mezi 0,9 ⋅ d x ⋅ f yd

=

a s , A, podp = 462 mm 2 / m´

14,469 ⋅ 10 6 = 224 mm 2 / m´ 0,9 ⋅ 165 ⋅ 434,783


návrh výztuže : ∅ 10 mm po 300 mm

- P23 -

a s , A,mezi = 262 mm 2 / m´

řez B :
návrhové ohybové momenty : 1 1 m Ed , B , podp = ⋅ f y ⋅ b ⋅ L2y = ⋅ 8,574 ⋅ 1,0 ⋅ 6,0 2 = 38,583 kN ⋅ m / m´ 8 8 9 9 m Ed , B , mezi = ⋅ f y ⋅ b ⋅ L2y = ⋅ 8,574 ⋅ 1,0 ⋅ 6,0 2 = 21,703 kN ⋅ m / m´ 128 128
účinná výška průřezu d y = hd − c − 0,5 ⋅ φ = 200 − 20 − 0,5 ⋅ 10 = 175 mm





:

 f ctm ⋅ b ⋅ d y   minimální plocha výztuže : as , min, B = max 0,0013 ⋅ b ⋅ d y ; 0,26 ⋅   f yk   2,6 ⋅ 1000 ⋅ 175   2 a s , min, B = max 0,0013 ⋅ 1000 ⋅ 175; 0,26 ⋅  = 237 mm / m´ 500   návrh výztuže : m Ed , B , podp m Ed , A, podp 38,583 ⋅ 10 6 a s , req, B , podp = = = = 563 mm 2 / m´ z y ⋅ f yd 0,9 ⋅ d y ⋅ f yd 0,9 ⋅ 175 ⋅ 434,783


návrh výztuže : ∅ 10 mm po 130 mm a s , req, B ,mezi =

m Ed , B , mezi z y ⋅ f yd

=

m Ed , A,mezi 0,9 ⋅ d y ⋅ f yd

=

a s , B , podp = 604 mm 2 / m´

21,703 ⋅ 10 6 = 316 mm 2 / m´ 0,9 ⋅ 175 ⋅ 434,783


návrh výztuže : ∅ 10 mm po 240 mm

- P24 -

a s , B ,mezi = 327 mm 2 / m´

PŘÍKLAD Č. 7 : Navrhněte vyztužení ŽB stropní kazetové desky uvedené na obrázku. Deska je po svém obvodu kloubově uložena (průvlaky). Nakreslete schéma vyztužení. osová vzdálenost žeber : a = 700 mm tloušťka desky : h f = 80 mm šířka žebra : br = 100 mm výška žebra (včetně desky) : hr = 450 mm profil ohybové výztuže : φ = 12 mm krytí ohybové výztuže : c = 25 mm zatížení desky : ( g + q )d = 16,0 kN / m 2 beton : C 25/30 ocel : B 500 B

Řešenou konstrukcí je po obvodě podepřená kazetová stropní deska. Zatížení desky bude roznášeno do dvou navzájem kolmých směrů, přičemž poměr jejich hodnot fx a fy vychází z rovnosti středového průhybu desky v obou směrech. wx = w y 4 5 f x ⋅ L4x 5 f y ⋅ Ly ⋅ = ⋅ 384 Ec ⋅ I 384 Ec ⋅ I

Kazetová deska představuje soustavu pravidelně se opakujících segmentů. Tyto segmenty tvoří žebro a příslušná část přiléhající desky (deska o šířce poloviny osové vzdálenosti žeber na každé straně od osy žebra). Jestliže jeden takový segment z konstrukce vyjmeme, můžeme ho řešit jako liniově zatížený nosník průřezu T. Proto je nyní nutné přepočítat plošní zatížení desky na liniové zatížení jednoho žebra.

[ ] [kN / m ]⋅ a

f r , x [kN / m] = f x kN / m 2 ⋅ a f r , y [kN / m] = f y

2

Vzhledem k okrajovým podmínkám (uložení desky na okrajové průvlaky) lze náhradní nosníky řešit jako prostě uložené. Rozhodující vnitřní silou je ohybový moment uprostřed rozpětí. 1 M x = ⋅ f r , x ⋅ L2x 8 1 M y = ⋅ f r , y ⋅ L2y 8

- P25 -

Následuje výpočet účinných výšek průřezu. Jelikož jsou žebra v obou směrech stejně vysoká, bude v jejich křížení docházet též ke křížení výztuží. Z toho důvodu je nutné umístit výztuže různých směrů různě vysoko. Doporučuje se, aby výztuž ve více namáhaném směru byla umístěna blíže taženému okraji (větší účinná výška průřezu). d x = hr − c − 1,5 ⋅ φ d y = hr − c − 0,5 ⋅ φ Celý návrh je zakončen výpočtem minimální a požadované plochy výztuže, návrhem konkrétního počtu výztužných prutů (splňující podmínku spolehlivosti) a vytvořením výkresu, resp. skici vyztužení.  f ⋅ b ⋅ d  As ,min = max 0,0013 ⋅ b ⋅ d ; 0,26 ⋅ ctm   f yk   Mx Mx As ,req, x = =
návrh výztuže : As , x ≥ As ,req , x z x ⋅ f yd 0,9 ⋅ d x ⋅ f yd As , x ≥ As ,min As ,req, y =

My z y ⋅ f yd

=

My 0,9 ⋅ d y ⋅ f yd


návrh výztuže :

As , y ≥ As ,req , y As , y ≥ As ,min

- P26 -

Řešení příkladu :
materiálové charakteristiky : E cm = 31 GPa

beton : C 25/30

f cd =

f ck = 25 MPa

γc

=

25 = 16,667 MPa 1,5

f ctm = 2,6 MPa

E s = 200 GPa

ocel : B 500 B

f yk = 500 MPa


f ck

f yd =

f yk

γ M0

=

500 = 434,783 MPa 1,15

rozdělení zatížení do směrů : o

4 5 f y ⋅ Ly wy = ⋅ 384 Ec ⋅ I

5 f x ⋅ L4x průhyby : wx = ⋅ 384 E c ⋅ I 4

o

z rovnosti průhybů : wx = w y




f x L y 7,3 4 = = = 0,496 f y L4x 8,7 4

f x + f y = ( g + q )d = 16,0 kN / m 2 f x = 5,303 kN / m 2

f y = 10,697 kN / m 2


přepočet zatížení na 1 žebro :

f r , x = f x ⋅ a = 5,303 ⋅ 0,7 = 3,712 kN / m´ f r , y = f y ⋅ a = 10,697 ⋅ 0,7 = 7,488 kN / m´ 1 1 ⋅ f r , x ⋅ L2x = ⋅ 3,712 ⋅ 8,7 2 = 35,120 kN ⋅ m 8 8 1 1 M y = ⋅ f r , y ⋅ L2y = ⋅ 7,488 ⋅ 7,3 2 = 49,879 kN ⋅ m 8 8




výpočet návrhových ohybových momentů : M x =




účinná výška průřezu : d x = hr − c − 1,5 ⋅ φ = 450 − 25 − 1,5 ⋅ 12 = 407 mm d y = hr − c − 0,5 ⋅ φ = 450 − 25 − 0,5 ⋅ 12 = 419 mm







 f ⋅ b ⋅ d  minimální plocha výztuže : As ,min = max 0,0013 ⋅ b ⋅ d ; 0,26 ⋅ ctm   f yk   2,6 ⋅ 100 ⋅ 419   2 As ,min = max 0,0013 ⋅ 100 ⋅ 419; 0,26 ⋅  = 57 mm 500  

návrh výztuže : Mx Mx 35,120 ⋅ 10 6 As ,req, x = = = = 221 mm 2 z x ⋅ f yd 0,9 ⋅ d x ⋅ f yd 0,9 ⋅ 407 ⋅ 434,783

As , x = 226 mm 2


návrh výztuže : 2 ∅ 12 mm As ,req, y =

My z y ⋅ f yd

=

My 0,9 ⋅ d y ⋅ f yd

49,879 ⋅ 10 6 = = 304 mm 2 0,9 ⋅ 419 ⋅ 434,783

As , y = 339 mm 2


návrh výztuže : 3 ∅ 12 mm

- P27 -

Schéma vyztužení :

- P28 -

PŘÍKLAD Č. 8 : Navrhněte ohybovou výztuž stropní desky s dvěma otvory viz. zadání. Zadání

Obr. 1 Schéma řešené konstrukce

Obr. 2 Schéma zatížení

Pro zjednodušení výpočtu bude uvažováno, že střední část bude nesena celou šíří 2 m přilehlé jednosměrně pnuté desky. V reálné konstrukci by vznikl podél okraje této desky skrytý nosník, který by musel být více vyztužen a nesl by většinu zatížení. Zatížení: Pro zjednodušení tohoto ukázkového příkladu je stanoveno celkové návrhové zatížení včetně vlastní tíhy desky samotné na 15 kN/m2, což vyvolá moment uprostřed rozpětí na krajním pruhu desky šíře 2 m návrhový moment MEd = 172,5 kN.m Materiály: Beton: fcd = αcc . fck / γc , doporučená hodnota αcc = 1,0

Beton C 30/37 XC2 (CZ) – Cl 0,1 – Dmax 16 – S1

Ecm = 33 GPa, fck = 30 MPa, fcd = 20 MPa fctk = 2,0 MPa, fctd = 1,333 MPa, fctm = 2,9 MPa

Výztuž: fyd = fyk / γs

Výztuž B 500 B - ohyb. výztuž desky Ø = 12 mm Es = 200 GPa, fyk = 500 MPa, fyd = 434,783 MPa

Návrh a posouzení desky s otvory – obecné řešení • Mezní stav únosnosti Výpočet krytí výztuže c ≥ c nom = c min + ∆c dev

nominální hodnota krycí vrstvy : cmin = max(c min, b ; c min, dur + ∆c dur ,γ + ∆c dur,st + ∆c dur,add ; 10) cmin = max(φ ; cmin, dur ; 10)

- P29 -

∆cdev = 5-10mm ,

přídavek pro návrhovou odchylku - odstavec 4.4.1.3 v ČSN EN 1992-1-1

Návrh výztuže desky s použitím tabulek d = hd − c − φ / 2

µ=

M Ed b ⋅ d 2 ⋅η ⋅ f cd

Návrh výztuže: z tabulek ξ ; ζ , zkontrolujeme ξ ≤ ξbal, (nebo x = ξ . d ≤ xu ) As1,req =

M Ed ζ ⋅ d ⋅ f yd

navrhneme výztuž As1 ≥ As1,req. Kontrola vyztužení: As1 ≥ As,min a As1 ≤ As,max a konstrukčních zásad. Posouzení ohybové výztuže Stanovíme účinnou výšku d pokud se změnila a zkontrolujeme vyztužení (viz návrh) x=

A s1 ⋅ f yd b ⋅ λ ⋅ η ⋅ f cd

zkontrolujeme ξ = x / d ≤ ξbal,1 M Rd = As1 ⋅ f yd ( d − 0 ,5 ⋅ λ ⋅ x ) musí být splněna podmínka spolehlivosti, aby průřez vyhovoval: M Rd ≥ M Ed V rámci dalších posouzení by byl posouzen mezní stav použitelnosti.

Návrh a posouzení mezního stavu únosnosti desky s otvory Materiály: Beton: fcd = αcc . fck / γc , doporučená hodnota αcc = 1,0

Beton C 30/37 XC2 (CZ) – Cl 0,1 – Dmax 16 – S1

Ecm = 33 GPa, fck = 30 MPa, fcd = 20 MPa fctk = 2,0 MPa, fctd = 1,333 MPa, fctm = 2,9 MPa

Výztuž: fyd = fyk / γs

Mezní stav únosnosti Výpočet krytí výztuže c ≥ cnom = cmin + ∆cdev

Výztuž B 500 B - ohyb. výztuž desky Ø = 12 mm Es = 200 GPa, fyk = 500 MPa, fyd = 434,783 MPa

třída prostředí : XC2

- P30 -

nominální hodnota krycí vrstvy : cmin = max(cmin,b; cmin,dur + ∆cdur,γ + ∆cdur,st + ∆cdur,add; 10) cmin = max(Ø; cmin,dur; 10) přídavek pro návrhovou odchylku: Odstavec 4.4.1.3 v ČSN EN 1992-1-1

životnost : 80 let, beton : C 30/37, desková konstrukce konstrukční třída : S3 →cmin,dur = 20 mm cmin = max(12; 20; 10) ∆cdev = 5 – 10 mm pro desku volím ∆cdev = 10 mm krytí c volím 30 mm ≥ cnom = 20 + 10 = 30 mm

Návrh výztuže desky s použitím tabulek d = hd – c – Ø/2 d = 300 – 30 – 10/2 = 265 mm µ = MEd / ( b . d2 . η . fcd ) µ = 172,5 / ( 2,0 . 0,2652 . 1 . 20*103 ) = 0,0614

Návrh výztuže: z tabulek ξ ; ζ , zkontrolujeme ξ ≤ ξbal, (nebo x = ξ . d ≤ xu ) As1,req = MEd / ( ζ . d . fyd ) navrhneme výztuž As1 ≥ As1,req. Kontrola vyztužení: As1 ≥ As,min a As1 ≤ As,max a konstrukčních zásad.

ξ = 0,079 ≤ ξba,1= 0,617; ζ = 0,9683 As1,req = 172,5 / ( 0,9683 . 0,265 . 434,783*103 ) As1,req = 1546 mm2 21 x Ø 10 mm do 2 m → As1 = 1648,5 mm2≥ As1,req = 1546 mm2 As,min = 0,26. fctm .b.d / fyk ≥ 0,0013.b.d As,min = 796 mm2 ≥ 686,4 mm2≤ As1 As,max =0,04* Ac=0,04.2.0,3 = 24000 mm2 ≥ As1

Posouzení ohybové výztuže Stanovíme účinnou výšku d pokud se změnila a zkontrolujeme vyztužení (viz návrh) x = As1 . fyd / ( b . λ . η . fcd ) x = 0,0016485.434,783 / (2,0.1,0.1,0.20) x = 0,018 m zkontrolujeme ξ = x / d ≤ ξbal,1 ξ = 0,018 / 0,265 = 0,068 ≤ ξbal,1 = 0,617 MRd = As1 . fyd . ( d – 0,5 . λ . x )

MRd = 0,0016485.434783.(0,265–0,5.1.0,018) MRd = 183 kNm musí být splněna podmínka spolehlivosti, aby průřez vyhovoval: 183 kNm ≥ 172,5 kNm MRd ≥ MEd

Bylo navrženo a posouzeno vyztužení desky s dvěma otvory a deska vyhovuje v mezním stavu únosnosti.

- P31 -

PŘÍKLAD Č. 9 : Navrhněte základový pás z prostého betonu pod stěnou tloušťky 300 mm. Na pás v patě stěny působí centricky maximální normálová síla nEd = 480 kN/m. beton : C 25/30 návrhová únosnost zeminy : Rd = 350 kPa

V tomto jednoduchém případě základových konstrukcí se jedná o silně idealizovaný příklad, který pouze zřídka v praxi nastane. Jsme však schopni namáhání působící na základové konstrukce v určitých případech takto zjednodušit. Zjednodušení lze použít v případě, že excentricita zatížení je v poměru k rozměrům základu zanedbatelná. Excentricita se vypočte dle následujícího vztahu: e=

m m Ed ,0 + v Ed ⋅ h = , n n Ed + nG 0

v případě, že e ≈ 0 můžeme tuto excentricitu zanedbat a využít následující výpočet

Návrh centricky zatíženého základového pásu – obecné řešení :





šířka základového pásu: n + nG 0 , z tohoto vztahu navrhneme šířku pásu s přesností na 100 mm. b = Ed Rd výška základového pásu: m σ ct = < f ctd , základní statický požadavek určující výšku pásu z prostého betonu W a=

b − bs , 2

σ gd = hF ≥

vyložení pásu

N Ed n Ed = , napětí v základové spáře vyvolávající ohyb konzoly pásu Aef bef

σ gd a 3⋅ , návrh výšky pásu
zaokrouhleno na celé desetiny metru nahoru 0,85 f ctd

Posouzení centricky zatíženého základového pásu – obecné řešení :





skutečná vlastní tíha pásu : nG 0 = γ G ⋅ b ⋅ hF ⋅ 24 , uvažujeme tíhu prostého betonu 24 kN/m3 posouzení únosnosti základové spáry při zatížení dostředným tlakem : N n + nG 0 σ d = = Ed ≤ Rd , porovnání napětí v základové spáře s únosností zeminy A b

- P32 -




posouzení únosnosti pásu na ohyb – napětí betonu na spodním okraji pásu Posouzení vychází z předpokladu, že se základový pás v části přesazené oproti nosné konstrukci chová jako konzola. Zjišťujeme napětí na spodním okraji základového pásu a porovnáváme ho s pevností betonu v tahu za ohybu. Ohyb vzniká v důsledku napětí v podzákladí vyvolaného normálovou silou v patě stěny. o

2 m 1 / 2 ⋅ σ gd ⋅ l ⋅ a napětí v krajních vláknech : σ ct = < f ctd = W 1/ 6 ⋅ l ⋅ h 2

Řešení příkladu:
materiálové charakteristiky : beton : C 25/30

f ctd = φct ⋅

f ctk 0 ,05 = 1,8 MPa návrhová únosnost zeminy :


γm

= 0,8 ⋅

1,8 = 0,96 MPa 1,5

Rd = 350 kPa

návrh centricky zatíženého základového pásu : o

o

o

n Ed 480 = = 1,37 m
návrh : b = 1,5 m Rd 350 b − bs 1,5 − 0,3 vyložení pásu: a = = = 0,6 m 2 2 šířka základového pásu: b =

napětí v základové spáře vyvolávající ohyb konzoly základového pásu :

σ gd =

o




f ctk

N Ed n Ed 480 = = = 320 kPa , A b 1,5

výška základového pásu: hF ≥

σ gd a 0,6 0,320 3⋅ = 3⋅ = 0,71 m
návrh : h = 0,8 m 0,85 f ctd 0,85 0,96

posouzení centricky zatíženého základového pásu : o

skutečná vlastní tíha pásu : nG 0 = γ G ⋅ bef ⋅ hF ⋅ 24 = 1,35 ⋅ 1,5 ⋅ 0,8 ⋅ 24 = 38,88 kN / m´

o

posouzení základové spáry při zatížení dostředným tlakem : N n Ed + nG 0 480 + 38,88 = = = 345,92 kPa ≤ Rd = 350 kPa ..... vyhovuje A b 1,5 posouzení únosnosti pásu na ohyb : 2 m 1 / 2 ⋅ σ gd ⋅ l ⋅ a 1 / 2 ⋅ 0,320 ⋅ 1,0 ⋅ 0,6 2 = = 0,54 MPa < f ctd = 0,96 MPa σ ct = = W 1/ 6 ⋅ l ⋅ h 2 1 / 6 ⋅ 1,0 ⋅ 0,8 2 ..... vyhovuje

σd =

o

Byl navržen pas šířky 1,5 m a výšky 0,8 m. Takto navržený pás byl posouzen a vyhovuje všem výše zmíněným požadavkům.

- P33 -

PŘÍKLAD Č. 10: Navrhněte a posuďte základovou patku z prostého betonu namáhanou normálovou silou, ohybovým momentem a posouvající silou. beton : C 25/30 návrhová únosnost zeminy : Rd = 350 kPa N Ed = 2000 kN

zatížení :

M Ed = 50 kN ⋅ m VEd = 20 kN

Návrh centricky zatíženého základového patky – obecné řešení : N G 0 ≈ 0,1 ⋅ N Ed ,




odhad vlastní tíhy patky :




excentricita při odhadované výšce patky : e=

M M Ed , 0 + V Ed ⋅ h = , N N Ed + N G 0

pro posouzení excentricity a stanovení plochy patky

v případě, že e ≈ 0 můžeme tuto excentricitu zanedbat a využít výpočet pro dostředný tlak (e = 0)




požadovaná efektivní plocha : Aef , req =




půdorysné rozměry patky : Aef = (b − 2e) ⋅ l , o

N Ed + N G 0 Rd

pokud uvažujeme čtvercovou patku, jsou oba rozměry rovny b

pro čtvercovou patku platí bmin = e + e 2 + Aef ,req , z tohoto vztahu navrhneme rozměry patky s přesností na 100 mm.

V případě, že posuzujeme skupinu patek, je nutno ověřit jejich dostatečnou vzdálenost. Minimální světlá vzdálenost je rovna 2 × b. Pokud nelze navrhnout patky o rozměrech splňujících tuto podmínku, není reálné založit objekt na základových patkách a je nutné volit jiný způsob založení.


výška základové patky : M σ ct = < f ctd , základní statický požadavek určující výšku patky z prostého betonu W a=

b − bs , 2

σ gd = hF ≥

N Ed , Aef

vyložení patky napětí v základové spáře vyvolávající ohyb konzoly základové patky

σ gd a 3⋅ , návrh výšky patky
zaokrouhleno na celé desetiny metru nahoru 0,85 f ctd

- P34 -

Posouzení základové patky – obecné řešení :








skutečná vlastní tíha patky : N G 0 = γ G ⋅ Aef ⋅ hF ⋅ 24 ,

uvažujeme tíhu prostého betonu 24 kN/m3

posouzení únosnosti základové spáry : N + N G0 N σd = = Ed ≤ Rd , porovnání napětí v základové spáře s únosností zeminy Aef bef posouzení únosnosti patky na ohyb – napětí betonu na spodním okraji patky Posouzení vychází z předpokladu, že se patka v části přesazené oproti nosné konstrukci chová jako konzola. Zjišťujeme napětí na spodním okraji základového pásu a porovnáváme ho s pevností betonu v tahu za ohybu. Ohyb vzniká v důsledku napětí v podzákladí vyvolaného normálovou silou a ohybovým momentem v patě stěny. o

2 M 1 / 2 ⋅ σ gd ⋅ l ⋅ a napětí v krajních vláknech : σ ct = = < f ctd W 1/ 6 ⋅ l ⋅ h 2

Řešení příkladu:
materiálové charakteristiky : beton : C 25/30

f ctd = φct ⋅

f ctk 0 ,05 = 1,8 MPa návrhová únosnost zeminy :


f ctk

γm

= 0,8 ⋅

1,8 = 0,96 MPa 1,5

Rd = 350 kPa

návrh centricky zatížené základové patky : o

odhad vlastní tíhy patky : N G 0 ≈ 0,1 ⋅ N Ed = 0,1 ⋅ 2000 = 200 kN

o

excentricita při odhadované výšce patky : e =

o

požadovaná efektivní plocha : Aef,req =

o

půdorysné rozměry patky (návrh čtvercové patky) :

M M Ed , 0 + VEd ⋅ h 50 − 20 ⋅ 1 = = = 0,0136 m N N Ed + N G 0 2000 + 200

N Ed + N G 0 2000 + 200 = = 6 ,286 m 2 Rd 350

Aef = (b − 2e) ⋅ l = (b − 2e) ⋅ b bmin = e + e 2 + Aef , req = 0,0136 + 0,0136 2 + 6,286 = 2,52 m o o


návrh : b = 2,6 m

b − bs 2,6 − 0,3 = = 1,15 m 2 2 napětí v základové spáře vyvolávající ohyb konzoly základové patky: vyložení pásu : a =

Aef = (b − 2e) ⋅ l = (b − 2e) ⋅ b = (2,6 − 2 ⋅ 0,0136) ⋅ 2,6 = 6,689 m 2

σ gd =

o

N Ed 2000 = = 299 kPa Aef 6,689

výška patky : hF ≥

σ gd 1,15 a 0,299 3⋅ = 3⋅ = 1,31 m
návrh : h = 1,4 m 0,85 f ctd 0,85 0,96

- P35 -




posouzení základové patky : o

skutečná vlastní tíha patky : N G 0 = γ G ⋅ b 2 ⋅ hF ⋅ 24 = 1,35 ⋅ 2,6 2 ⋅ 1,4 ⋅ 24 = 306,634 kN

o

posouzení základové spáry :

o

N + N G 0 2000 + 306,634 N = Ed = = 344,84 kPa ≤ Rd = 350 kPa Aef Aef 6,689 ..... vyhovuje posouzení únosnosti patky na ohyb :

σd =

2 1 / 2 ⋅ 0,299 ⋅ 2,6 ⋅ 1,15 2 M 1 / 2 ⋅ σ gd ⋅ l ⋅ a = = = 0,605 MPa < f ctd = 0,96 MPa σ ct = W 1/ 6 ⋅ l ⋅ h2 1 / 6 ⋅ 2,6 ⋅ 1,4 2 ..... vyhovuje

Byla navržena patka z prostého betonu o rozměrech 2,6 x 2,6 m a výšky 1,4 m. Takto navržená patka byla posouzena a vyhovuje všem výše zmíněným požadavkům.

- P36 -

PŘÍKLAD Č. 11: Navrhněte a posuďte ŽB základovou patku čtvercového půdorysu namáhanou normálovou silou, ohybovým momentem a posouvající silou. beton : C 25/30 ocel : B 500 B návrhová únosnost zeminy : Rd = 350 kPa zatížení :

N Ed = 2000 kN M Ed = 50 kN ⋅ m VEd = 20 kN

Návrh půdorysných rozměrů patky odpovídá návrhu v příkladu č. 10


výška základové patky : b − bs a= , vyložení patky 2 Navrhneme výšku patky pomocí roznášecího úhlu φ ≈ 45° . Jelikož nechceme v tomto případě posuzovat patku na protlačení, návrh musí splňovat požadavek φ ≥ 45° (nevznikne trhlina od hrany sloupu směrem k hraně patky). h ≈ tg 45° ⋅ a ,

návrh výšky ŽB patky
zaokrouhleno na celé desetiny metru nahoru

Posouzení základové patky – obecné řešení :











skutečná vlastní tíha patky : N G 0 = γ G ⋅ Aef ⋅ h F ⋅ 25 ,

uvažujeme tíhu železobetonu 25 kN/m3

posouzení únosnosti základové spáry : N + N G0 N σd = = Ed ≤ Rd , porovnání napětí v základové spáře s únosností zeminy Aef bef napětí v základové spáře vyvolávající ohyb konzoly základové patky: N σ gd = Ed Aef posouzení únosnosti patky na ohyb – napětí betonu na spodním okraji patky Posouzení vychází z předpokladu, že se patka v části přesazené oproti nosné konstrukci chová jako konzola. Zjišťujeme napětí na spodním okraji základového pásu a porovnáváme ho s pevností betonu v tahu za ohybu. Ohyb vzniká v důsledku napětí v podzákladí vyvolaného normálovou silou a ohybovým momentem v patě stěny. o

délka uvažované konzoly : l k = a + 0,15 ⋅ bs

Pro ohybové posouzení železobetonové patky potřebujeme navrhnout výztuž.

- P37 -




návrh výztuže základové patky :
krytí výztuže volíme z ohledem na zemní prostředí d = h − c −φ / 2, 1 m Ed = ⋅ σ gd ⋅ l k2 , 2 m Ed µ= , b ⋅ d 2 ⋅ f cd a s , req =

o

účinná výška průřezu návrhový moment poměrný ohybový moment, b uvažujeme 1 m z tabulek
ξ , ζ , ověříme ξ ≤ ξ bal

m Ed , ζ ⋅ d ⋅ f yd

potřebná plocha výztuže

minimální plocha výztuže – konstrukční zásady a s , min = 0,0013 ⋅ b ⋅ d f ctm ⋅ b ⋅ d f yk

a s , min = 0,26 ⋅

kc ⋅ k ⋅ f ct ,eff ⋅ Act

h , kde je Act ≅ b ⋅ , plocha taženého betonu před vznikem trhlin σs 2
navrhneme konkrétní vyztužení dle statických výpočtů a konstrukčních zásad as ,min =




posouzení únosnosti základové ŽB patky na ohyb : a ⋅f x = s yd , skutečná výška tlačené oblasti 0,8 ⋅ b ⋅ f cd x ξ = ≤ ξ bal , skutečná poměrná výška tlačené oblasti d z = d − 0,4 x , rameno vnitřních sil mRd = as ⋅ f yd ⋅ z ≥ mEd moment únosnosti a jeho porovnání s návrhovým momentem

Pro správný návrh vyztužení je též nutno navrhnout roznášecí výztuž pro přenos příčných tahů pod sloupem, vypočítat kotvení vodorovné výztuže a stykování výztuže svislé. Řešení příkladu:
materiálové charakteristiky: beton : C 25/30

f ck

=

f yk

=

25 = 16,667 MPa γ c 1,5 f 1,8 = φct ⋅ ctk = 0,8 ⋅ = 0,96 MPa γm 1,5

f ck = 25 MPa

f cd =

f ctk 0 ,05 = 1,8 MPa

f ctd

ocel : B 500 B f yd =

f yk = 500 MPa návrhová únosnost zeminy :

γ m0

500 = 434,783 MPa 1,15

Rd = 350 kPa

- P38 -




návrh centricky zatížené základové patky: o

odhad vlastní tíhy patky : N G 0 ≈ 0,1 ⋅ N Ed = 0,1 ⋅ 2000 = 200 kN

o

excentricita při odhadované výšce patky : e =

o

požadovaná efektivní plocha : Aef,req =

o

půdorysné rozměry patky (návrh čtvercové patky) :

M M Ed , 0 + VEd ⋅ h 50 − 20 ⋅ 1 = = = 0,0136 m N N Ed + N G 0 2000 + 200

N Ed + N G 0 2000 + 200 = = 6 ,286 m 2 Rd 350

Aef = (b − 2e) ⋅ l = (b − 2e) ⋅ b bmin = e + e 2 + Aef , req = 0,0136 + 0,0136 2 + 6,286 = 2,52 m o o





návrh : b = 2,6 m

b − bs 2,6 − 0,3 = = 1,15 m 2 2 výška patky : h ≈ tg 45° ⋅ a = tg 45° ⋅ 1,15 = 1,15 m
návrh : h = 1,2 m vyložení pásu : a =

posouzení ŽB základové patky : o

skutečná vlastní tíha patky : N G 0 = γ G ⋅ A ⋅ hF ⋅ 25 = 1,35 ⋅ 2,6 2 ⋅ 1,2 ⋅ 25 = 273,78 kN

o

posouzení základové spáry při zatížení dostředným tlakem :

σd = o

N + N G 0 2000 + 273,78 N = Ed = = 339,93 kPa ≤ Rd = 350 kPa ..... vyhovuje Aef Aef 6,689

napětí v základové spáře vyvolávající ohyb konzoly základové patky :

Aef = (b − 2e) ⋅ b = (2,6 − 2 ⋅ 0,0136) ⋅ 2,6 = 6,689 m 2

σ gd = o

N Ed 2000 = = 299 kPa Aef 6,689

délka uvažované konzoly : lk = a + 0,15 ⋅ bs = 1,15 + 0,15 ⋅ 0,3 = 1,195m

Pro ohybové posouzení železobetonové patky potřebujeme navrhnout výztuž.


návrh výztuže základové patky : o o o o

krytí ohybové výztuže zvoleno na základě zemního prostředí : c = 50 mm odhad profilu výztuže : Ø 16 mm účinná výška průřezu : d = h − c − φ / 2 = 1200 − 50 − 16 / 2 = 1142 mm 1 1 návrhový ohybový moment : m Ed = ⋅ σ gd ⋅ l k2 = ⋅ 299 ⋅ 1,195 2 = 213,49 kNm / m´ 2 2 mEd 213,49 ⋅ 103
poměrný ohyb. moment : µ = = = 0,0098 , b uvažujeme 1 m b ⋅ d 2 ⋅ f cd 1 ⋅ 1142 2 ⋅ 16,667
z tabulek : ξ = 0,013 ≤ ξ max = 0,45 ζ = 0,995

- P39 -

o

požadovaná plocha výztuže : a s , req =

m Ed 213,49 ⋅ 10 6 = = 432,13 mm 2 / m´ ζ ⋅ d ⋅ f yd 0,995 ⋅ 1142 ⋅ 434,783

Dle statických požadavků je požadované vyztužení nízké, návrh proto bude vycházet z minimální potřebné konstrukční výztuže. o

minimální plocha výztuže – konstrukční zásady : a s , min = 0,0013 ⋅ b ⋅ d = 0,0013 ⋅ 1000 ⋅ 1142 = 1485 mm 2 / m´ a s , min = 0,26

f ctm ⋅ b ⋅ d 2,6 ⋅ 1000 ⋅ 1142 = 0,26 = 1543,98 mm 2 / m´ f yk 500

1200 h = 1000 ⋅ = 600000 mm 2 2 2 k c ⋅ k ⋅ f ct ,eff ⋅ Act 0,4 ⋅ 1,0 ⋅ 2,6 ⋅ 600000 = = = 1560 mm 2 / m´ σs 400

Act ≅ b ⋅ a s , min


návrh : Ø 16 mm po 130 mm

a s = 1547 mm 2 / m´ ≥ a s ,req = 432,13 mm 2 / m´

≥ as ,min = 1543 mm 2 / m´


posouzení únosnosti základové patky na ohyb : o

o o o

a s ⋅ f yd

1547 ⋅ 434,783 = 50 mm 0,8 ⋅ b ⋅ f cd 0,8 ⋅ 1000 ⋅ 16,667 x 50 poměrná výška tlačené oblasti : ξ = = = 0,044 ≤ ξ max = 0,45 d 1142 rameno vnitřních sil : z = d − 0,4 x = 1142 − 0,4 ⋅ 50 = 1122 mm moment únosnosti : m Rd = a s ⋅ f yd ⋅ z = 1547 ⋅ 434,783 ⋅ 1122 = 754,67 kNm / m´ ≥ m Ed = 213,49 kNm / m´ výška tlačené oblasti : x =

=

..... vyhovuje Pro správný návrh vyztužení je též nutno navrhnout roznášecí výztuž pro přenos příčných tahů pod sloupem, vypočítat kotvení a stykování výztuže.

Byla navržena železobetonová patka o rozměrech 2,6 x 2,6 m a výšky 1,2 m a vyztužení Ø 16 mm po 130 mm. Takto navržená patka byla posouzena a vyhovuje všem výše zmíněným požadavkům.

Poděkování : Tato práce byla zpracována za finanční podpory projektu FRVŠ 294/2012/G1.

- P40 -