1
Funkce
1.1
Vlastnosti funkc´ı
Funkce f promˇenn´e x ∈ R je zobrazen´ı na mnoˇzinˇe re´aln´ ych ˇc´ısel (re´aln´emu ˇc´ıslu x je pˇriˇrazeno pr´avˇe jedno re´aln´e ˇc´ıslo) y. Z grafu pozn´ame, zda se jedn´a o funkci tak, ˇze nenajdeme ˇ z´ adnou svislou pˇr´ımku, kter´a by kˇrivku protla dvakr´at nebo v´ıckr´at. Tzn. mus´ı ji protnout jednou nebo v˚ ubec. Definiˇ cn´ı obor funkce f , znaˇc´ıme D(f ), je mnoˇzina vˇsech pˇr´ıpustn´ ych hodnot x. V grafu je to pohled ”zleva doprava”. Obor hodnot funkce f , znaˇc´ıme H(f ), je mnoˇzina vˇsech pˇr´ıpustn´ ych hodnot y. V grafu je to pohled ”zdola nahoru”. y = -(x+1)^2+2
y = –1/(x–3) - 1
y = e^x
2 –4
–3
x –2
8
2
–1
1
y
2
1 –1
1
2
x
3
4
6
5 y
–2
–1
4
y –4
–2
2
–3
–6
D(f ) = R H(f ) = (−∞; 2i
–4
–3
D(f ) = R\{3} H(f ) = R\{−1}
–2
–1
0
1
x
2
D(f ) = R H(f ) = R+
Parita funkce f . Sud´ a funkce: graf je soumˇern´ y podle osy y. Definice: 1. ∀x ∈ D(f ) ∃ − x ∈ D(f ) (soumˇernost def. oboru), 2. f (−x) = f (x) (stejn´e hodnoty). Lich´ a funkce: graf je soumˇern´ y podle poˇca ´tku souˇradn´eho syst´emu. Definice: 1. ∀x ∈ D(f ) ∃ − x ∈ D(f ) (soumˇernost def. oboru), 2. f (−x) = −f (x) (opaˇcn´e hodnoty). 1
3
Funkce, kter´ a nen´ı sud´ a ani lich´ a: pˇredchoz´ı podm´ınky nesplˇ nuje. y = x^2
y = x^3
y = e^x 8
6
4
y 4 6
3
2
y –3
2
–2
0
–1
1
–2
2
x
y
3
–4
1
4
2
–6
–3
–2
–1
0
1
x
2
–8
3
sud´ a
–3
lich´ a
–2
–1
0
1
2
x
3
nen´ı sud´ a ani lich´ a
Monotonie funkce f . Z grafu se pozn´ av´ a mnohem l´epe neˇz pomoc´ı definice (% roste, & kles´ a). Pokud hled´ ame monotonii funkce podle definic, je f (x2 ) − f (x1 ) jednoduˇsˇs´ı si je pˇrepsat pomoc´ı zlomku , kde x1 , x2 ∈ D(f ), x2 − x1 a porovn´ avat s nulou. Rostouc´ı funkce:
f (x2 ) − f (x1 ) > 0. x2 − x1
Klesaj´ıc´ı funkce:
f (x2 ) − f (x1 ) < 0. x2 − x 1
Nerostouc´ı funkce:
f (x2 ) − f (x1 ) ≤ 0. x2 − x1
Neklesaj´ıc´ı funkce:
f (x2 ) − f (x1 ) ≥ 0. x2 − x1
uˇzeme Funkce, kter´ a nen´ı rostouc´ı ani klesaj´ıc´ı: o znam´enku zlomku nem˚ jednoznaˇcnˇe rozhodnout (pro nˇekter´e hodnoty je kladn´ y, pro jin´e z´ aporn´ y).
y = ln(x+2)
y = -sqrt(x+2) + 3
y = x^2
3
2
4
y 1 y
–2
–1
0
1
x
2
2
3 y
3
2
1
–1
1
–2 –2
–1
0
1
–3
rostouc´ı
x
klesaj´ıc´ı 2
2
3 –3
–2
–1
0
1
x
2
3
nen´ı rostouc´ı ani klesaj´ıc´ı
y = 1/x 2
4
6
3
y 4
2
2
y 1 y
–3
–2
0
–1
1
2
x
3
–1 1 –2
–4
–2 –3
–2
–1
nen´ı rostouc´ı ani klesaj´ıc´ı
0
1
x
2
2
4
x
–2
3
nerostouc´ı
neklesaj´ıc´ı
Prostost funkce f . Definice: ∀x1 , x2 ∈ D(f ) : x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ) (pro dvˇe r˚ uzn´e hodnoty x, jsou i jejich funkˇcn´ı hodnoty r˚ uzn´e). Graficky se tato vlastnost zjiˇst’uje pomoc´ı horizont´ aln´ı pˇr´ımky tak, ˇze pokud najdeme nˇejakou vodorovnou pˇr´ımku, kter´ a by graf protla dvakr´ at nebo v´ıcekr´ at, tak tato funkce nen´ı prost´ a. Tzn. libovoln´ a vodorovn´ a pˇr´ımka m˚ uˇze protnout graf prost´e funkce jednou nebo ani jednou. 2.5
y = x^3
4
y 4
1.5 y
2 –3
–2
–1
0 –2
y = x^2
2
6
3
1 y
1
x
2
3
–4 –6
2
0.5 –1
0
1
x
–8
prost´ a
2
1
3
–0.5 –3
prost´ a
–2
–1
0
1
x
2
3
nen´ı prost´ a
Omezenost funkce f . Shora omezen´ a funkce: ∃h ∈ R ∀x ∈ D(f ) : f (x) ≤ h (vˇsechny funkˇ cn´ı hodnoty jsou menˇs´ı nebo rovny horn´ı hranici h). Zdola omezen´ a funkce: ∃d ∈ R ∀x ∈ D(f ) : f (x) ≥ h (vˇsechny funkˇ cn´ı hodnoty jsou vˇ etˇs´ı nebo rovny doln´ı hranici d). Omezen´ a funkce: funkce je z´ aroveˇ n omezen´ a shora i zdola. Neomezen´ a funkce: ostatn´ı pˇr´ıpady.
3
y = -(x+1)^2+2
y = e^x
2 –4
x –2
–3
8
–1
1
2 6 y
–2
4
y 2
–4
–6
–3
omezen´ a shora hodnotou 2
–2
0
–1
1
2
x
3
omezen´ a zdola hodnotou 0
y = sin x
y = 1/x
1
2
y
y
0.5 –8 –6 –4 –2 0
1
2
4
x
6
–3
8
–2
–1
0
1
2
x
3
–1
–0.5
–2
–1
–3
omezen´ a hodnotami ±1
neomezen´ a
Extr´ emy funkce f . Maximum funkce f v bodu a – ∀x ∈ D(f ) : f (x) ≤ f (a) (vˇsechny funkˇcn´ı hodnoty jsou menˇs´ı nebo rovny nejvˇetˇs´ı funkˇcn´ı hodnotˇe f (a) v bodu a). Minimum funkce f v bodu b – ∀x ∈ D(f ) : f (b) ≤ f (x) (vˇsechny funkˇcn´ı hodnoty jsou vˇetˇs´ı nebo rovny nejmenˇs´ı funkˇcn´ı hodnotˇe f (b) v bodu b). y = -(x+1)^2+2
2.5
y =(x–1)^2–2
2 –4
–3
x –2
2
–1
1
2
4
1.5 y
y
1
2
–2
0.5
y –4
–6
maximum [−1; 2] minimum nem´ a
–2
–1
0
1
2 x
3
4
–1
0
1
x
2
3
–0.5
–2
maximum nem´ a minimum [1; −2]
4
maximum [0, 5; 1, 5] minimum [2; −0, 5]
y = ln x
3
y = sin x
y=1
1
2 y
2
y 0.5
1
1.5 y
0
2
4 x
6
–8 –6 –4 –2 0
8
–1
2
4
x
6
1
8
–0.5
–2
0.5
–1 –2
–3
maximum [ π2 + 2kπ; 1] minimum [− π2 + 2kπ; 1] k∈Z
maximum nem´ a minimum nem´ a
–1
1 x
2
maximum [x; 1] minimum [x; 1] x∈R
ˇ ık´ Periodicita funkce f . R´ ame, ˇze funkce f je periodick´ a s periodou p ∈ R , jestliˇze ∀k ∈ Z souˇcasnˇe plat´ı: +
1. ∀x ∈ D(f ) ⇒ (x + k · p) ∈ D(f ) (hodnoty x i hodnoty, k n´ıˇz pˇriˇcteme celoˇc´ıseln´e n´ asobky periody, jsou z definiˇcn´ıho oboru), 2. ∀x ∈ D(f ) ⇒ f (x + kp) = f (x) (stejn´e funkˇcn´ı hodnoty). p je podle definice sice jak´ akoli perioda (tzn. pro funkci y = sin x je napˇr. p = 8π) , ale v matematice t´ımto p´ısmenem oznaˇcujeme sp´ıˇse nejmenˇs´ı periodu (tzn. p = 2π). Periodick´e funkce jsou napˇr. vˇsechny goniometrick´e funkce nebo konstantn´ı funkce (ty nemaj´ı nejmenˇs´ı periodu). y = cos x 3
1 2
y 0.5
1
–8 –6 –4 –2 0
2
4
x
6
8 –5
–0.5
0
5
x
–1
–1 –2
periodick´ a p = 2π
periodick´ a p=4
5
10
y=1
y = 1*/x^2 8
2
6
1.5 y
–2
y
1
4
0.5
2
–1
2
1 x
–3
periodick´ a nejm. p neexistuje
–2
–1
0
1
x
2
3
nen´ı periodick´ a
Pˇ r´ıklady: Slovnˇe vypisovat vˇsechny vlastnosti funkc´ı nebudeme, pouˇzijeme proto n´ asleduj´ıc´ı zkratky: S – sud´ a funkce, L – lich´ a funkce R – rostouc´ı funkce, K – klesaj´ıc´ı funkce P – prost´ a funkce om – omezen´ a funkce max – maximum funkce, min – minimum funkce. Urˇcete o jak´ y typ funkce se jedn´ a, jej´ı pˇredpis a popiˇste vˇsechny vlastnosti n´ asleduj´ıc´ıch funkc´ı: (a) (b) (c) 2.5
3
8
2
2
6
1.5 y
1
–5
0 –1
5
x
1
4
0.5
2
10 –1
0
1
x
–0.5
–2
6
2
3
–1
0 –2
1
x
2
3
(d)
(e)
(f) 1.5
6
1
6
y
4 y
0.5
y4
2
–5
–4
–3
x
–2
–8 –6 –4 –2 0
–1
2
1
2
3
–2 –2
0
–1
(g)
1
2
x
3
2
2
1
x
6
8
(i) 4
4
2
y
0
x
–1.5
(h)
4
–1
4
–1
–3
–4
y
2
–0.5
3
5
4
2
0
–2
–4
–6
–2
–2
–4
–4
2
–4
x
–2
2
–2
4
x
–4 y –6 –8
(j)
(k)
(l)
y = 1*/x^2
3
6
8
4
y
y
2 1 0
2
6 y
1
2
3 x
5
4
–3
4
–2
0
–1
6
x
2
3
2 –4
–1 –3
–2
–2
0
–1
(m)
1
2
x
–6
3
(n)
(o) –3
–2
–1
y
–1
0 –2
x
2
3
8
6
–2
4 6
2 –2
1 0
8
–3
1
–2
–4
y
1
x
2
3
y
4
–6
–4 2
–6
–8
–8 –2
–1
1
x
2
–10
(a) sloˇ zeno z lin. fc´ ı, y = 0, 5x + 2k, k ∈ Z, D(f ) = R , H(f ) = h−1; 1), L, ani R ani K, nen´ ı P, om ˇ c. ±1, max [0, 5; 1, 5], min [2, −0, 5], nen´ ı period., 7
(b) sloˇzeno z lin. fc´ı, y = x + 1, y = −x + 1, 5, D(f ) = h−0, 5; 0, 5i ∪ h1, 2i, H(f ) = h−0, 5; 1, 5i, ani S ani L, ani R ani K, nen´ı P, om ˇc. −0, 5; 1, 5, max [0, 5; 1, 5], min [2; −0, 5],nen´ı period., (c) line´arn´ı fce y = −3x + 6, D(f ) = R , H(f ) = R, ani S ani L, K, P, neom , max nem´a, min nem´a, nen´ı period., (d) kvadratick´ a fce y = (x + 2)2 − 3, D(f ) = R, H(f ) = h−3; ∞), ani S ani L, ani R ani K, nen´ı P, om zdola ˇc. −3, max nem´a, min [−2; −3], nen´ı period., (e) exponenci´ aln´ı fce y = ex−1 + 2, D(f ) = R, H(f ) = (2; ∞), ani S ani L, R, P, om zdola ˇc. 2, max nem´a, min nem´a, nen´ı period., (f) goniometrick´a fce y = − sin x = sin(x + π), D(f ) = R, H(f ) = h−1; 1i, L, ani R ani K, P, om ˇc. ±1, max [− π2 + 2kπ], min [ π2 + 2kπ],k ∈ R, period. p = 2π, 1 (g) line´arnˇe lomen´a fce y = x−3 + 1, D(f ) = R \ {3}, H(f ) = R \ {1}, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, max nem´a, min nem´a, nen´ı period., 1 (h) line´arnˇe lomen´a fce y = − x+2 , D(f ) = R \ {−2}, H(f ) = R \ {0}, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, max nem´a, min nem´a, nen´ı period.,
(i) kvadratick´ a fce y = −(x + 3)2 + 4, D(f ) = R, H(f ) = (−∞; 4i, ani S ani L, ani R ani K, nen´ı P, om shora ˇc. 4, max [−3; 4], min nem´a, nen´ı period., (j) logaritmick´ a fce y = − ln x, D(f ) = R, H(f ) = R+ , ani S ani L, K, P, neom , max nem´a, min nem´a, nen´ı period., (k) mocninn´ a fce y = x12 , D(f ) = R \ {0}, H(f ) = R+ , S, ani R ani K, nen´ı P, om zdola ˇc. 0, max nem´a, min nem´a, nen´ı period., (l) mocninn´ a fce y = x13 , D(f ) = R \ {0}, H(f ) = R \ {0}, L, ani R ani K, P, neom, max nem´a, min nem´a, nen´ı period., a fce (kubick´a) y = x3 , D(f ) = R, H(f ) = R, L, R, P, neom, (m) mocninn´ max nem´a, min nem´a, nen´ı period., a fce y = x4 , D(f ) = R, H(f ) = h0; ∞), S, ani R ani K, nen´ı (n) mocninn´ P, om zdola ˇc. 0, max nem´a, min [0; 0], nen´ı period., (o) kvadratick´ a fce y = −x2 , D(f ) = R, H(f ) = (−∞; 0i, S, ani R ani K, nen´ı P, om zdola ˇc. 0, max [03; 0], min nem´a, nen´ı period., 8
1.2
Line´ arn´ı funkce
Pˇredpis: y = kx + q ; k, q ∈ R. Graf: pˇr´ımka. Speci´aln´ı pˇr´ıpad: k = 0, tzn. y = q – konstantn´ı funkce, jej´ıˇz graf je pˇr´ımka rovnobˇeˇzn´a s osou x, kter´a proch´az´ı hodnotou q na ose y.
k<0 (y = 2x − 1)
k=0 obr.: y = 1
y = 2x–1
k>0 graf y = −3x + 2
y=1
3
y = –3x+2 3
2
y 2 1 –2
–1
y 2
x 1
1.5
2
1
y
0
1
–2
–1
–1 0.5
–2
D(f ) = R H(f ) = R nen´ı sud´ a ani lich´ a rostouc´ı prost´ a neomezen´ a extr´emy nem´ a nen´ı periodick´ a
1 x
2
–2
–3 –4
0 –1
–3
–2
–1
1 x
2
D(f ) = R H(f ) = q sud´ a nen´ı rostouc´ı ani klesaj´ıc´ı nen´ı prost´ a omezen´ a vˇsechny body: max i min periodick´ a
–4
D(f ) = R H(f ) = R nen´ı sud´ a ani lich´ a klesaj´ıc´ı prost´ a neomezen´ a extr´emy nem´ a nen´ı periodick´ a
Pˇ r´ıklady: 1. Nakreslete n´ asleduj´ıc´ı funkce a urˇcete jejich vlastnosti: (a) y = x, (b) y = −x, (c) y = 3x, (d) y = 12 x, (e) y = 2x − 1, (f) y = −x + 3, (g) y = −4x, 9
(h) y = 0, 3x − 1, (i) y = 5, (j) y = (k) y = (l) y =
x+1 , x+1 x2 −x−6 , x+2 x2 −1 . x−1
2. Urˇcete pˇredpis a vlastnosti n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı: (a) (b) 6 y
–3
–2
–2
2
x
4
0
4
4
2
y 3
1
x
2
–1
2
3
y
–2
1
–2
–3
–4
–2
–4
0
2
–1
–6
(d)
x
4 –4
(e)
2 –4
–4
5
0
–1
(c)
(f) 4
7
–2
2
x
6
4
0
y
2
5 –1
y 4
–2
x
1
2
3
0
3
y
–2
2
–4
1
–6
–2
–4
–4
0
2
x
4
3. Urˇ cete pˇredpis funkce, kter´ a je z´ aroveˇ n sud´ a i lich´ a. Nakreslete jej´ı graf. V´ ysledky: 1a)
1b)
y=x
y = -x
4
4
y
–2
y = 3x 6
y
2
–4
1c)
0
y
2
2
x
4
–4
–2
0
–2
–2
–4
–4
4 2
2
x
4
–4
–2
0 –2 –4
10
–6
2
x
4
1d)
1e)
y = 1/2 x
y = 2x - 1
4
4
y
y
2
2
0
–2
2
x
4
–4
2
0
–2
2
4
x
0
–2
–4
–2
–2
–2
–4
–4
–4
1g)
1h)
y = –4x
7 6
y
2 0
4
x
y=5
4
y
–2
2
1i)
y = 0,3x - 1
4
–4
y = -x + 3
4
y
–4
1f)
5
2
2
x
4
–4
0
–2
–2
–2
–4
–4
y 4
2
4
x
3 2 1 –2
–4
1j)
1k)
y = (x+1) / (x+1)
y = (x^2 - x - 6) / (x+2)
0
2
4
x
1l) y = (x^2 - 1) / (x - 1)
4
2
4
y
1.5 –4
y
y
2
–2
2
x
2
4
1 –2
0.5
–4
–2
0
2
x
4
–2
–4
–4
–2
2 –0.5
1.
x
–4
4 –6
(a) D(f ) = R, H(f ) = R, L, R, P, neom, max nem´ a, min nem´ a,nen´ı period., a, min nem´ a,nen´ı (b) D(f ) = R, H(f ) = R, L, K, P, neom, max nem´ period., (c) D(f ) = R, H(f ) = R, L, R, P, neom, max nem´ a, min nem´ a,nen´ı period., (d) D(f ) = R, H(f ) = R, L, R, P, neom, max nem´ a, min nem´ a,nen´ı period., (e) D(f ) = R, H(f ) = R, ani S ani L, R, P, neom, max nem´ a, min nem´ a,nen´ı period., (f) D(f ) = R, H(f ) = R, ani S ani L, K, P, neom, max nem´ a, min nem´ a,nen´ı period., 11
(g) D(f ) = R, H(f ) = R, L, K, P, neom, max nem´a, min nem´a,nen´ı period., (h) D(f ) = R, H(f ) = R, ani S ani L, R, P, neom, max nem´a, min nem´ a,nen´ı period., (i) D(f ) = R, H(f ) = {5}, S, ani R ani K, nen´ı P, om ˇc. 5, max [x, 5], min [x, 5], x ∈ R, period. bez nejm. periody, (j) D(f ) = R \ {−1}, H(f ) = {5}, ani S ani L, ani R ani K, nen´ı P, om ˇc. 1, max [x, 1], min [x, 1], x ∈ R \ {−1},nen´ı period., (k) D(f ) = R \ {−2}, H(f ) = R \ {−5}, ani S ani L, R, P, neom, max nem´a, min nem´a,nen´ı period., (l) D(f ) = R \ {1}, H(f ) = R \ {2}, ani S ani L, R, P, neom, max nem´ a, min nem´a,nen´ı period., 2. (a) y = 2x, D(f ) = R, H(f ) = R, L, R, P, neom, max nem´a, min nem´ a,nen´ı period., (b) y = − 12 x + 2, D(f ) = R, H(f ) = R, ani S ani L, K, P, neom, max nem´a, min nem´a,nen´ı period., (c) y = −3, D(f ) = R, H(f ) = {−3}, S, ani R ani K, nen´ı P, om ˇc. −3, max [x; −3], min [x; −3], x ∈ R, period. bez nejm. periody, (d) y = x − 3, D(f ) = R, H(f ) = R, ani S ani L, R, P, neom, max nem´ a, min nem´a,nen´ı period., (e) y = −x + 5, D(f ) = R, H(f ) = R, ani S ani L, K, P, neom, max nem´ a, min nem´a,nen´ı period., (f) y = 2x − 3, D(f ) = (−1; 3), H(f ) = (−5; 3), ani S ani L, R, P, om ˇc. −5, 3, max nem´a, min nem´a,nen´ı period.. 3. y = 0 . 1.5 y
1 0.5
–3
–2
–1 0 –0.5
1
x
2
3
–1 –1.5
12
1.3
Kvadratick´ e funkce
Pˇredpis: y = ax2 + bx + c ; a, b, c ∈ R, a 6= 0 – obecn´a rovnice. y = a(x − v1 )2 + v2 ; vrchol V [v1 ; v2 ] – vrcholov´a rovnice. Graf: parabola. h i b b2 Vrchol paraboly m˚ uˇzeme urˇcit ze vzorce V = − 2a ; − 4a + c . Vˇetˇsinou se ale urˇcuje metodou ”pˇreveden´ı na ˇctverec”. a<0
a>0
y = -(x+1)^2+2
y =(x–1)^2–2
2 –4
–3
x –2
–1
1
2
4 y 2
–2 y –4
–2
–1
0
1
2 x
3
4
–2
–6
D(f ) = R D(f ) = R b2 b2 H(f ) = (−∞; − 4a + ci H(f ) = h− 4a + c; ∞) nen´ı sud´ a ani lich´ a nen´ı sud´ a ani lich´ a nen´ı rostouc´ı ani klesaj´ıc´ı nen´ı rostouc´ı ani klesaj´ıc´ı nen´ı prost´ a nen´ı prost´ a omezen´ a shora omezen´ a zdola b b maximum v − 2a minimum v − 2a nen´ı periodick´ a nen´ı periodick´ a
Pˇ r´ıklady: 1. Nakreslete n´ asleduj´ıc´ı funkce a urˇcete jejich vlastnosti: (a) y = x2 , (b) y = −x2 , (c) y = 2x2 , (d) y = 12 x2 , (e) y = x2 − 1, (f) y = −x2 + 2, (g) y = (x + 1)2 , 13
(h) y = (x − 3)2 , (i) y = −(x + 2)2 , (j) y = (x − 1)2 + 3, (k) y = (x + 3)2 − 2, (l) y = −(x + 2)2 − 1. 2. Urˇcete pˇredpis a vlastnosti n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı: (a) (b) 6
(c)
4 6
y
y 4
2 4y
2 –3
–2
2
–1
1
2
x
3 2
–2
6
4
x
–2
–2
–4 –6
(d)
–5
–4
–3 x
(e) –3
–2
–1
1
–2
–1
0
2
1
(f) x
2
3
4
5
4
0
6
2
–2
–4
y 4
–2
2
x
4
0
y –4
2
–2 y –4
–1
1
2
x
3
–6
5
4
–6
–2
V´ ysledky: 1a)
1b) –4
–3
–2
–1
1c) 1
x 2
3
4
0
6
6
–2
y 4
y 4
y –4
2
2
–6
–4
–3
–2
–1 0
1
2 x
3
4
–4
14
–3
–2
–1 0
1
2 x
3
4
1d)
1e)
1f) 2
6
6
–3
–4
–2
–1
1
x 2
3
4
0
y4
y 4
–2
2
y –4
2 –6
–4
–3
–4
–1 0
–2
2 x
1
3
–3
–2
–1
2 x
1
4
1g)
3
4
1h)
1i) –5
–4
–3
x
–2
–1
1
2
0
6
6
y 4
y 4
2
2
–2
–4 y
–6
–4
–3
–2
–1 0
1
2 x
3
4
0
–2
2
1j)
6
4
x
1k)
1l) –5
–4
–3
x
–2
–1
1
2
0
8
6
6
4
4
2
–2
y
y
2
–4
1.
–3
–2
–1
–6
1
2 x
3
–5
–4
–3 x
–2
–1
–4 y
1
2
–6
–2
4
(a) D(f ) = R, H(f ) = h0; ∞), S, ani R ani K, nen´ı P, om zdola ˇ c. 0, max nem´ a, min [0; 0], nen´ı period., (b) D(f ) = R, H(f ) = (−∞, 0i, S, ani R ani K, nen´ı P, om shora ˇ c. 0, max [0; 0], min nem´ a, nen´ı period., (c) D(f ) = R, H(f ) = h0; ∞), S, ani R ani K, nen´ı P, om zdola ˇ c. 0, max nem´ a, min [0; 0], nen´ı period., (d) D(f ) = R, H(f ) = h0; ∞), S, ani R ani K, nen´ı P, om zdola ˇ c. 0, max nem´ a, min [0; 0], nen´ı period., (e) D(f ) = R, H(f ) = h−1; ∞), S, ani R ani K, nen´ı P, om zdola ˇ c. −1, max nem´ a, min [0; −1], nen´ı period., (f) D(f ) = R, H(f ) = (−∞, 2i, S, ani R ani K, nen´ı P, om shora ˇ c. 2, max [0; 2], min nem´ a, nen´ı period., 15
(g) D(f ) = R, H(f ) = h0; ∞), ani S ani L, ani R ani K, nen´ı P, om zdola ˇc. 0, max nem´a, min [−1; 0], nen´ı period., (h) D(f ) = R, H(f ) = h0; ∞), ani S ani L, ani R ani K, nen´ı P, om zdola ˇc. 0, max nem´a, min [3; 0], nen´ı period., (i) D(f ) = R, H(f ) = (−∞, 0i, ani S ani L, ani R ani K, nen´ı P, om shora ˇc. 0, max [−2; 0], min nem´a, nen´ı period., (j) D(f ) = R, H(f ) = h3; ∞), ani S ani L, ani R ani K, nen´ı P, om zdola ˇc. 3, max nem´a, min [1; 3], nen´ı period., (k) D(f ) = R, H(f ) = h−2; ∞), ani S ani L, ani R ani K, nen´ı P, om zdola ˇc. −2, max nem´a, min [−3; −2], nen´ı period., (l) D(f ) = R, H(f ) = (−∞, −1i, ani S ani L, ani R ani K, nen´ı P, om shora ˇc. −1, max [−2; −1], min nem´a, nen´ı period.. 2. (a) y = (x − 2)2 − 3, D(f ) = R, H(f ) = h−3; ∞), ani S ani L, ani R ani K, nen´ı P, om zdola ˇc. −3, max nem´a, min [2; −3], nen´ı period., (b) y = −x2 + 5, D(f ) = R, H(f ) = (−∞, 5i, S, ani R ani K, nen´ı P, om shora ˇc. 5, max [0; 5], min nem´a, nen´ı period., (c) y = (x + 3)2 , D(f ) = R, H(f ) = h0; ∞), ani S ani L, ani R ani K, nen´ı P, om zdola ˇc. 0, max nem´a, min [−3; 0], nen´ı period., (d) y = (x − 1)2 − 2, D(f ) = (−1; ∞), H(f ) = h−2; ∞), ani S ani L, ani R ani K, nen´ı P, om zdola ˇc. −2, max nem´a, min [1; −2], nen´ı period., (e) y = −(x − 2)2 , D(f ) = R, H(f ) = (−∞, 0i, ani S ani L, ani R ani K, nen´ı P, om shora ˇc. 0, max [2; 0], min nem´a, nen´ı period., (f) y = −(x + 1)2 + 3, D(f ) = R, H(f ) = (−∞, 3i, ani S ani L, ani R ani K, nen´ı P, om shora ˇc. 3, max [−1; 3], min nem´a, nen´ı period..
16
1.4
Line´ arnˇ e lomen´ e funkce
ax + b ; a, b, c, d ∈ R, ad 6= bc (tzn. nezkr´at´ı se ani nebude cx + d nulov´ y jmenovatel). Graf: hyperbola. Pˇredpis: y =
y=
1 x
(z´ akladn´ı) y = 1/x 2 y 1
–3
–2
–1
0
1
x
2
3
–1 –2 –3
D(f ) = R\{0} H(f ) = R\{0} lich´a nen´ı rostouc´ı ani klesaj´ıc´ı prost´a neomezen´a extr´emy nem´a nen´ı periodick´a
Pˇ r´ıklady: 1. Nakreslete n´asleduj´ıc´ı funkce a urˇcete jejich vlastnosti: (a) y = x1 , (b) y = − x1 , (c) y = x5 , (d) y = (e) y = (f) y = (g) y = (h) y =
1 , 5x 1 , x+2 1 + 2, x 1 , − x−3 1 − 3, x+1
17
(i) y = 2 − x1 , 2 x−1 1 x+3 1 x−2
(j) y = (k) y = (l) y =
+ 3, − 2, − 1.
2. Urˇcete pˇredpis a vlastnosti n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı: (a) (b) 4 y
4 y
2
0
–2
–4
2
x
4
0
–2
–4
–4
(e)
(f)
4 y
2
2
x
4
y
2
0
–2
–4
2
x
4
–4
–4
–4
4
–4
–2
2
1c)
4
x
0 –2
1b)
2
–2
–4
2
–2
y
4 y
2
0
2
x
4
–4
–2
2
0
–2
–2
–2
–4
–4
–4
18
4
x
4
–2
2
0
2
–4
4
–4
0
–2
–4
–2
V´ ysledky: 1a)
y
4
x
–2
0
–2
2
2
–2
4
–4
4 y
2
–2
–4
(d)
y
(c)
2
x
4
x
4
1d)
1e)
4 y
4 y
2
0
–2
–4
2
x
4
–4
0
–4
–4
–4
1h)
2
x
4
–4
1.
–2
2
2
4
x
0
–2
–4
2
–2
–2
–2
–4
–4
–4
1k)
4 2
0
2
x
4
–4
–2
2
4
x
1l)
4 y
4
x
4 y
0
–2
2
1i)
4 y
1j)
–4
0
–2
–4
–2
0
y
4
x
–2
2
–2
2
2
–2
4
–4
4 y
2
–2
1g)
y
1f)
4 y
2
0
2
x
4
–4
–2
2
0
–2
–2
–2
–4
–4
–4
2
x
4
(a) D(f ) = R \ {0}, H(f ) = R \ {0}, L, ani R ani K, P, neom, max nem´ a, min nem´ a, nen´ı period., (b) D(f ) = R \ {0}, H(f ) = R \ {0}, L, ani R ani K, P, neom, max nem´ a, min nem´ a, nen´ı period., (c) D(f ) = R \ {0}, H(f ) = R \ {0}, L, ani R ani K, P, neom, max nem´ a, min nem´ a, nen´ı period., (d) D(f ) = R \ {0}, H(f ) = R \ {0}, L, ani R ani K, P, neom, max nem´ a, min nem´ a, nen´ı period., (e) D(f ) = R \ {−2}, H(f ) = R \ {0}, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, max nem´ a, min nem´ a, nen´ı period., (f) D(f ) = R \ {0}, H(f ) = R \ {2}, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, max nem´ a, min nem´ a, nen´ı period., 19
(g) D(f ) = R \ {3}, H(f ) = R \ {0}, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, max nem´a, min nem´a, nen´ı period., (h) D(f ) = R \ {−1}, H(f ) = R \ {−3}, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, max nem´a, min nem´a, nen´ı period., (i) D(f ) = R \ {0}, H(f ) = R \ {2}, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, max nem´a, min nem´a, nen´ı period., (j) D(f ) = R \ {1}, H(f ) = R \ {3}, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, max nem´a, min nem´a, nen´ı period., (k) D(f ) = R \ {−3}, H(f ) = R \ {−2}, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, max nem´a, min nem´a, nen´ı period., (l) D(f ) = R \ {2}, H(f ) = R \ {−1}, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, max nem´a, min nem´a, nen´ı period.. 2. (a) y = x1 + 3, D(f ) = R \ {0}, H(f ) = R \ {3}, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, max nem´a, min nem´a, nen´ı period., 1 (b) y = x−1 , D(f ) = R \ {1}, H(f ) = R \ {0}, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, max nem´a, min nem´a, nen´ı period., 1 + 1, D(f ) = R \ {2}, H(f ) = R \ {1}, ani S ani L, ani R (c) y = x−2 ani K, P, neom, max nem´a, min nem´a, nen´ı period., 1 (d) y = x+3 + 1, D(f ) = R \ {−3}, H(f ) = R \ {1}, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, max nem´a, min nem´a, nen´ı period., 1 − 1, D(f ) = R \ {1}, H(f ) = R \ {−1}, ani S ani L, (e) y = − x−1 ani R ani K, P, neom, max nem´a, min nem´a, nen´ı period., x−1 (f) y = x(x−1) , D(f ) = R \ {0; 1}, H(f ) = R \ {0; 1}, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, max nem´a, min nem´a, nen´ı period..
1.5
Mocninn´ e funkce
Pˇredpis: y = xn ; n ∈ Z. Graf: parabola (n ∈ Z+ ), hyperbola(n ∈ Z− ). y y y y
Speci´aln´ı pˇr´ıpady: = 1 (= x0 ) – konstantn´ı funkce, = x (= x1 ) – line´arn´ı funkce, = x2 – kvadratick´a funkce, = x−1 = x1 – line´arnˇe lomen´a funkce.
20
–2
n ∈ Z+ , lich´e
n ∈ Z+ , sud´e
y = x^3, y = x^5, y = x^7 8 6 y 4 2
y = x^2, y = x^4, y = x^6 8
–1
0 –2 –4 –6 –8
1x
6 y4
2
2 –2
–1
0
1x
x^3 x^5 x^7
2
x^2 x^4 x^6
D(f ) = R H(f ) = R lich´ a rostouc´ı prost´ a neomezen´ a extr´emy nem´ a nen´ı periodick´ a − n ∈ Z , lich´e
D(f ) = R H(f ) = h0; ∞) sud´ a nen´ı rostouc´ı ani klesaj´ıc´ı nen´ı prost´ a omezen´ a zdola minimum v 0 nen´ı periodick´ a − n ∈ Z , sud´e
y = 1/x, y = 1/x^3, y = 1/x^5 8 6 y 4 2
y = 1/x^2, y = 1/x^4, y = 1/x^6 8
–2
–1
0 –2 –4 –6 –8
1x
6 y 4
2
2 –2
x^(–1) x^(–3) x^(–5)
–1
0
1x
2
x^(–2) x^(–4) x^(–6)
D(f ) = R\{0} D(f ) = R\{0} H(f ) = R\{0} H(f ) = (0; ∞) lich´ a sud´ a nen´ı rostouc´ı ani klesaj´ıc´ı nen´ı rostouc´ı ani klesaj´ıc´ı prost´ a nen´ı prost´ a neomezen´ a omezen´ a zdola extr´emy nem´ a extr´emy nem´ a nen´ı periodick´ a nen´ı periodick´ a
Pˇ r´ıklady: Nakreslete n´ asleduj´ıc´ı funkce a urˇcete jejich vlastnosti: 1. y = x3 , 21
2. y = −x3 , 3. y = x4 , 4. y = x5 , 5. y = x6 , 6. y = x−2 , 7. y = x−3 , 8. y = x−4 , 9. y = x−5 . V´ ysledky: 1a)
–3
–2
1b)
20
20
20
y 10
y 10
15
0
–1
1
x
2
3
–3
–2
–1
–2
0
–10
–10
–20
–20
1d)
–3
1c)
1
2
x
y 10
3
5
–3
–2
0
–1
1e)
1
20
20
y 10
15
15
y 10
y 10
5
5
0
1
x
2
3
–10
–20
–3
–2
–1
0
1
22
2
3
1f)
20
–1
x
x
2
3
–3
–2
–1
0
1
x
2
3
1g)
–3
–2
1h)
20
20
20
y 10
15
y 10
–1
0
1
x
2
y 10
3
5
–10
–20
–3
–3
–2
–1
–2
–1
0
1
x
2
3
–10
0
1
x
2
3
–20
1. D(f ) = R, H(f ) = R, L, R, P, neom, max nem´ a, min nem´ a, nen´ı period., 2. D(f ) = R, H(f ) = R, L, K, P, neom, max nem´ a, min nem´ a, nen´ı period., 3. D(f ) = R, H(f ) = h0; ∞), S, ani R ani K, nen´ı P, om zdola ˇc. 0, max nem´ a, min [0; 0], nen´ı period., 4. D(f ) = R, H(f ) = R, L, R, P, neom, max nem´ a, min nem´ a, nen´ı period., 5. D(f ) = R, H(f ) = h0; ∞), S, ani R ani K, nen´ı P, om zdola ˇc. 0, max nem´ a, min [0; 0], nen´ı period., 6. D(f ) = R \ {0}, H(f ) = R+ , S, ani R ani K, nen´ı P, om zdola ˇc. 0, max nem´ a, min nem´ a, nen´ı period., 7. D(f ) = R \ {0}, H(f ) = R \ {0}, L, ani R ani K, P, neom, max nem´ a, min nem´ a, nen´ı period., 8. D(f ) = R \ {0}, H(f ) = R+ , S, ani R ani K, nen´ı P, om zdola ˇc. 0, max nem´ a, min nem´ a, nen´ı period., 9. D(f ) = R \ {0}, H(f ) = R \ {0}, L, ani R ani K, P, neom, max nem´ a, min nem´ a, nen´ı period..
23
1.6
Exponenci´ aln´ı funkce
Pˇredpis: y = ax ; a ∈ R+ . Graf: exponenci´aln´ı kˇrivka. Speci´aln´ı pˇr´ıpad: a = 1: y = 1x = 1 – konstantn´ı funkce
a ∈ (0; 1)
a=1
y = (1/e)^x
a>1
y=1
y = e^x
8
8
2
6 y
–3
–2
–1
6
1.5 y
4
1
2
0.5
0
1
x
2
3
D(f ) = R H(f ) = R+ nen´ı sud´ a ani lich´ a klesaj´ıc´ı prost´ a omezen´ a zdola extr´emy nem´ a nen´ı periodick´ a
–2
–1
y
4
2
1 x
2
D(f ) = R H(f ) = {1} nen´ı sud´ a ani lich´ a nen´ı rostouc´ı ani klesaj´ıc´ı nen´ı prost´ a omezen´ a vˇsechny body: max i min periodick´ a
–3
–2
–1
0
1. Do jednoho obr´ azku nakreslete vˇsechny n´ asleduj´ıc´ı funkce: ¡ ¢ ¡ ¢x x (a) y = 2x , y = ex , y = 10x , y = 12 , y = 1e , (b) y = ex , y = e−x , y = −ex . 2. Nakreslete n´ asleduj´ıc´ı funkce a urˇcete jejich vlastnosti:
(b) y = ex − 2, (c) y = −ex − 2, (d) y = e−x − 2, 24
x
2
3
D(f ) = R H(f ) = R+ nen´ı sud´ a ani lich´ a rostouc´ı prost´ a omezen´ a zdola extr´emy nem´ a nen´ı periodick´ a
Pˇ r´ıklady:
(a) y = ex−2 ,
1
= ex+1 − 3, = ex−1 + 2, = 1 − ex , = 1 − ex+3 , = 2x−3 + 1, ¡ ¢x+1 − 3, (j) y = 1e (k) y = e−x+2 − 1, (l) y = ex+3 − 2.
(e) (f) (g) (h) (i)
y y y y y
3. Urˇcete pˇredpis a vlastnosti n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı: (a) (b)
(c)
5
6
5
4
4
4
3 y
y 3
2
2
2
1
–3
–2
0
–1
1
x
2
1
3 –3
–2
–1
(d)
1
x
2
3
–3
–2
–1
0
(e)
1
2 x
3
4
(f)
6
6
6
4
4
y
y
y 4
2
2 2
–1
–6
–5
–4
–3 x
–2
–1
0
1
1
2
2
3 x
4
–2
V´ ysledky: 1a) 10
y
4 2
y 6 4
–4
2 –4
–2
–2
0 –2
2 x
–4
0
2 x 2^x e^x 10^x
6
–4
1b)
8
5
4 -e^x e^x e^(-x)
25
4
–2
0
2
x
4
2a)
2b)
2c) –4
–2
2
x
4
0
3
3
–1
y 2 –2
y 2
1 –3
–2
–4
1
2
4
x
–4
–1 –5
0
–2
–4
2
–2
4
x
2d)
2e)
2f)
3
3
5
y 2
2
4
1
1
y 3
–4
–4
–2
2
–3
–1 0 –1
–2
4
x
–1
1
2 x
1
–3
2g)
–3
–1
–2
x
2
–6
3
–4 x –3
–5
1
2
x
3
2i) 5
1
1
0
–1
2h)
1 –2
2
–2
–2
–3
3
–2
–1
0
1
4
0 y 3
y
–1
–1
–2
–2
–3
–3
2 1 0
–2
2j)
2
2k)
3
x
6
4
2l)
6
6
4
4
2
2
2 1 –3
–2
–1
0 –1 –2
1
x
2
3
–3
–2
–1
0
–3 –2
2.
1
2 x
3
4
–6
–5
–4
–3 x
–2
–1
1 –2
(a) D(f ) = R, H(f ) = R+ , ani S ani L, R, P, om zdola ˇ c. 0, max nem´ a, min nem´ a, nen´ ı period., (b) D(f ) = R, H(f ) = (−2; ∞), ani S ani L, R, P, om zdola ˇ c. −2, max 26
nem´ a, min nem´a, nen´ı period., (c) D(f ) = R, H(f ) = (−∞; −2), ani S ani L, K, P, om shora ˇc. −2, max nem´a, min nem´a, nen´ı period., (d) D(f ) = R, H(f ) = (−2; ∞), ani S ani L, K, P, om zdola ˇc. −2, max nem´ a, min nem´a, nen´ı period., (e) D(f ) = R, H(f ) = (−3; ∞), ani S ani L, R, P, om zdola ˇc. −3, max nem´ a, min nem´a, nen´ı period., (f) D(f ) = R, H(f ) = (2; ∞), ani S ani L, R, P, om zdola ˇc. 2, max nem´ a, min nem´a, nen´ı period., (g) D(f ) = R, H(f ) = (−∞; 1), ani S ani L, K, P, om shora ˇc. 1, max nem´ a, min nem´a, nen´ı period., (h) D(f ) = R, H(f ) = (−∞; 1), ani S ani L, K, P, om shora ˇc. 1, max nem´ a, min nem´a, nen´ı period., (i) D(f ) = R, H(f ) = (1; ∞), ani S ani L, R, P, om zdola ˇc. 1, max nem´ a, min nem´a, nen´ı period., (j) D(f ) = R, H(f ) = (−3; ∞), ani S ani L, K, P, om zdola ˇc. −3, max nem´ a, min nem´a, nen´ı period., (k) D(f ) = R, H(f ) = (−1; ∞), ani S ani L, K, P, om zdola ˇc. −1, max nem´ a, min nem´a, nen´ı period., (l) D(f ) = R, H(f ) = (−2; ∞), ani S ani L, R, P, om zdola ˇc. −2, max nem´ a, min nem´a, nen´ı period.. 3. (a) y = ex − 1, D(f ) = R, H(f ) = (−1; ∞), ani S ani L, R, P, om zdola ˇc. −1, max nem´a, min nem´a, nen´ı period., (b) y = ex−1 , D(f ) = R, H(f ) = R+ , ani S ani L, R, P, om zdola ˇc. 0, max nem´a, min nem´a, nen´ı period., ¡ ¢x (c) y = e−x = 1e , D(f ) = R, H(f ) = R+ , ani S ani L, K, P, om zdola ˇc. 0, max nem´a, min nem´a, nen´ı period., (d) y = ex+2 − 1, D(f ) = R, H(f ) = (−1; ∞), ani S ani L, R, P, om zdola ˇc. −1, max nem´a, min nem´a, nen´ı period., (e) y = ex−3 − 2, D(f ) = R, H(f ) = (−2; ∞), ani S ani L, R, P, om zdola ˇc. −2, max nem´a, min nem´a, nen´ı period., (f) y = ex+1 + 2, D(f ) = R, H(f ) = (2; ∞), ani S ani L, R, P, om zdola ˇc. 2, max nem´a, min nem´a, nen´ı period..
27
1.7
Logaritmick´ e funkce
Pˇredpis: y = loga x ; a ∈ R+ , a 6= 1. Graf: logaritmick´a kˇrivka. a ∈ (0; 1)
a>1
y = log_(1/e) x
3
y = ln x
3
2
2
y
y
1 0
1
2
4 x
6
0
8
–1
–1
–2
–2
–3
–3
D(f ) = R+ H(f ) = R nen´ı sud´ a ani lich´ a klesaj´ıc´ı prost´ a neomezen´ a extr´emy nem´ a nen´ı periodick´ a
2
4 x
6
8
D(f ) = R+ H(f ) = R nen´ı sud´ a ani lich´ a rostouc´ı prost´ a neomezen´ a extr´emy nem´ a nen´ı periodick´ a
Pˇ r´ıklady: 1. Do jednoho obr´ azku nakreslete vˇsechny n´ asleduj´ıc´ı funkce: (a) y = log2 x, y = ln x, y = log x, y = log 1 x, y = log 1 x, 2
(b) y = ln x, y = ln(−x), y = − ln x. 2. Nakreslete n´ asleduj´ıc´ı funkce a urˇcete jejich vlastnosti: (a) y = ln (x − 2), (b) y = ln x − 2, (c) y = − ln x − 2, (d) y = ln (−x) − 2, (e) y = ln (x + 1) − 3, (f) y = ln (x − 1) + 2, 28
e
(g) y = 1 − ln x, (h) y = 1 − ln (x + 3), (i) y = log2 (x − 3) + 1, (j) y = ln (−x − 1) − 3, (k) y = log (−x + 2) − 1, (l) y = log (x + 3) − 2. 3. Urˇcete pˇredpis a vlastnosti n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı: (a) (b)
(c)
1 1
2
x
3
4
1
5
1
–1
2
x
1
3
–4
–3
x
–2
–1 –1 –2
–3
–3
–3
–4
–4
–4
–5
–5
–5
y
y
(d)
–2
(e) 0
1
–1
–1
1
x
2
(f)
x 4
2
2
6
y 2
–2 –3
1
y
–2
–4
–3
–5
y
0
–4
–6
–5
–7
V´ ysledky: 1a)
–1 –2
1b)
4
4 y
2
2
4
x
6
8
10
–4
–2
0
2 x
–2
–4
–4
–6 log[2](x) log(x) ln(x)
8 3
3
–1
2
–5
–1
y
0 –2
5
–2
–2
y
4
ln(-x) ln(x) -ln(x)
29
4
1
2
x
3
4
5
2a)
2b) 2
4
2c)
x
4
6
8
10 2 y
y
–1
2
1 1
x
2
3
4
5
–2
0
1
2
3 x
5
4
y
6
–1
–3
–2
–2
–4
–3
–4 –5
–4
2d) –10
–8
x
–6
2e)
–4
–2
2
0
0
–1
–1
–2
–2
y
4
2f) x
6
8
10 4 y 2
y
–3
2
1
3
x
–3
5
4
–2
–4
–4
–5
–5
–4
2g)
2h)
2i)
4
4
3
3
2
2
1
1
y
4 y 2
y
1
2
3
x
4
5
6
7
–2
0
1
2
x
3
5
4
–3
–2
–1
–1
0
1
x
2
3
–4
–1
2j)
2k) –3
2
–2
2l)
–1
1
x
2
1 –2
y
2
x
4
–1
–7
–6
–5
–4 x –3
–2
–1
–1
–2
0
y –3
–2
y –3
–4
–4
–5
–5
–4
2.
–2
(a) D(f ) = (2; ∞), H(f ) = R, ani S ani L, R, P, neom, max nem´ a, min nem´ a, nen´ ı period., a, min (b) D(f ) = R+ , H(f ) = R, ani S ani L, R, P, neom, max nem´ 30
nem´ a, nen´ı period., (c) D(f ) = R+ , H(f ) = R, ani S ani L, K, P, neom, max nem´a, min nem´ a, nen´ı period., (d) D(f ) = R− , H(f ) = R, ani S ani L, K, P, neom, max nem´a, min nem´ a, nen´ı period., (e) D(f ) = (−1; ∞), H(f ) = R, ani S ani L, R, P, neom, max nem´a, min nem´a, nen´ı period., (f) D(f ) = (1; ∞), H(f ) = R, ani S ani L, R, P, neom, max nem´a, min nem´ a, nen´ı period., (g) D(f ) = R+ , H(f ) = R, ani S ani L, K, P, neom, max nem´a, min nem´ a, nen´ı period., (h) D(f ) = (−3; ∞), H(f ) = R, ani S ani L, K, P, neom, max nem´a, min nem´a, nen´ı period., (i) D(f ) = (3; ∞), H(f ) = R, ani S ani L, R, P, neom, max nem´a, min nem´ a, nen´ı period., (j) D(f ) = (−∞; −1), H(f ) = R, ani S ani L, K, P, neom, max nem´a, min nem´a, nen´ı period., (k) D(f ) = (−∞; 2), H(f ) = R, ani S ani L, K, P, neom, max nem´a, min nem´a, nen´ı period., (l) D(f ) = (−3; ∞), H(f ) = R, ani S ani L, R, P, neom, max nem´a, min nem´a, nen´ı period.. 3. (a) y = ln x − 1, D(f ) = R+ , H(f ) = R, ani S ani L, R, P, neom, max nem´ a, min nem´a, nen´ı period., (b) y = ln (x − 1), D(f ) = (1; ∞), H(f ) = R, ani S ani L, R, P, neom, max nem´a, min nem´a, nen´ı period., (c) y = ln (−x), D(f ) = R− , H(f ) = R, ani S ani L, K, P, neom, max nem´ a, min nem´a, nen´ı period., (d) y = ln (x + 2) − 1, D(f ) = (−2; ∞), H(f ) = R, ani S ani L, R, P, neom, max nem´a, min nem´a, nen´ı period., (e) y = ln (x − 3) − 2, D(f ) = (3; ∞), H(f ) = R, ani S ani L, R, P, neom, max nem´a, min nem´a, nen´ı period., (f) y = − ln x = log 1 x, D(f ) = R+ , H(f ) = R, ani S ani L, K, P, e neom, max nem´a, min nem´a, nen´ı period..
31
1.8
Goniometrick´ e funkce
Pˇredpis: y = sin x , y = cos x , y = tg x , y = cotg x . Graf: sinusoida, kosinusoida, tangentoida, kotangentoida. !!! V t´eto cel´e kapitole plat´ı k ∈ Z!!! y = sin x
y = cos x y = cos x
y = sin x
1
1
y
y
0.5
0.5 –8 –6 –4 –2 0
2
4
x
6
–8 –6 –4 –2 0
8
–0.5
–0.5
–1
–1
2
4
6
x
8
D(f ) = R D(f ) = R H(f ) = h−1; 1i H(f ) = h−1; 1i lich´a sud´a nen´ı rostouc´ı ani klesaj´ıc´ı nen´ı rostouc´ı ani klesaj´ıc´ı nen´ı prost´a nen´ı prost´a omezen´a omezen´a π max v 2 + 2kπ max v 2kπ min v − π2 + 2kπ min v π + 2kπ periodick´a: p = 2π periodick´a: p = 2π y = tg x y = cotg x y = tg x
y = cotg x
4
4
y
y
2
–6
–4
–2
0
2
2
x
4
6
–6
–4
–2
0
–2
–2
–4
–4
2
x
4
6
D(f ) = R\{ π2 + kπ} D(f ) = R\{kπ} H(f ) = R H(f ) = R lich´ a lich´ a nen´ı rostouc´ı ani klesaj´ıc´ı nen´ı rostouc´ı ani klesaj´ıc´ı nen´ı prost´ a nen´ı prost´ a neomezen´ a neomezen´ a extr´emy nem´ a extr´emy nem´ a periodick´ a: p = π periodick´ a: p = π 32
Pˇ r´ıklady: 1. Do jednoho obr´azku nakreslete vˇsechny n´asleduj´ıc´ı funkce: (a) y = sin x, y = sin 2x, (b) y = cos x, y = 2 cos x, (c) y = tg x, y = tg x2 , (d) y = sin x, y = sin(x + π2 ), (e) y = cos x, y = cos x + 2, (f) y = cotg x, y = − cotg x. 2. Nakreslete n´asleduj´ıc´ı funkce a urˇcete jejich vlastnosti: (a) y = sin(x − π4 ), (b) y = cos x − 1, (c) y = − sin x + 2, (d) y = cos(x + π3 ), (e) y = sin(−x), (f) y = cos(x − 34 π) − 1, (g) y = sin(2x − π3 ), (h) y = tg(x + π4 ), (i) y = | cotg x − 1|, (j) y = sin(x − 23 π) − 2, (k) y = 2 cos(x + 56 π), (l) y = 3 sin(x + π) − 1. 3. Urˇcete pˇredpis a vlastnosti n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı: (a) (b) 1.5 y
1.5
1
y
0.5 –6
–4
–2
0 –0.5
1 0.5
2
x
4
6
–6
–4
–2
0 –0.5
–1
–1
–1.5
–1.5
33
2
x
4
6
(c)
y
(d)
6
6
4
4
y
2 –6
0
–2
–4
2
2
–2
x
4
6
–6
–4
–4
–6
–6
–2
–6
–4
–2
4
6
1c) 6
2
y 4 2
1
0 –0.5 –1 –1.5
2
x4
6
–6
–4
0
–2
2
6
x4
–1
–6
–2
–4
0 –2
2
6
x4
–4
–2
–6
sin x sin 2x
y
x
1b)
1.5 1 0.5 –4
2
–2
V´ ysledky: 1a)
–6
0
–2
–4
cos x 2cos x
1d)
1e)
1.5 1 0.5
y
tg x/2 tg x
1f) 6
3
0 –0.5 –1 –1.5
2
x4
4
2
2
1
6 –6
–4
–6
–2
2
6
x4
–1
–2
–4
0 –2
2
6
x4
–4 –6
sin x+ pi/2 sin x
cos x + 2 cos x
2a)
cotg x -cotg x
2b)
2c)
1.5 y
1
1 –6
0.5 –6
–4
–2
0 –0.5
2
x
4
–4
3
–2
2
x
4
6
0
y 2
–1
1
6 y
–1
–2
–6
–1.5
34
–4
–2
0
2
x
4
6
2d)
2e)
1.5
1.5
1
y
–6
0.5
0
–2
–4
1
1
y
0.5 –6
2f)
2
x
–0.5
4
6
–6
–4
–2
x
2
4
6
0
0
–2
–4
2
x
–0.5
6
4
–1 y
–1
–1
–1.5
–1.5
2g)
2h)
1.5 1
y
–6
–4
y
4 2 0
2
x
4
6
–6
–4
–2
x
2
6
x4
–4
6
4
0 –2 –6
cotg x –1 |cotg x –1|
–6
2j)
2k)
2l) 4
1
2
2
x
4
y
6
y
1
0 –1
2
–2
–4
–4
–1.5
–2
–6
–2
–1
–4
6 y 4 2
0
–2
2i)
6
0.5
–0.5
–6
–2
–6
–4
–2
0
y –2
–1
–3
–2
2
x
4
6
–6
–4
–2
2
0
2
x
4
6
–2 –4
2.
(a) D(f ) = R, H(f ) = h−1; 1i, ani S ani L, ani R ani K, nen´ı P, om ˇ c. ±1, max [ 34 π + 2kπ; 1], min [− π4 + 2kπ; −1], period. p = 2π, c. −2; 0, (b) D(f ) = R, H(f ) = h−2; 0i, S, ani R ani K, nen´ı P, om ˇ max [2kπ; 0], min [π + 2kπ; −2], period. p = 2π, (c) D(f ) = R, H(f ) = h1; 3i, ani S ani L, ani R ani K, nen´ı P, om ˇ c. 1; 3, max [−π + 2kπ; 3], min [π + 2kπ; 1], period. p = 2π, (d) D(f ) = R, H(f ) = h−1; 1i, ani S ani L, ani R ani K, nen´ı P, om ˇ c. ±1, max [− π3 + 2kπ; 1], min [ 23 π + 2kπ; −1], period. p = 2π, (e) D(f ) = R, H(f ) = h−1; 1i, L, ani R ani K, nen´ı P, om ˇ c. ±1, max [−π + 2kπ; 1], min [π + 2kπ; −1], period. p = 2π, (f) D(f ) = R, H(f ) = h−2; 0i, ani S ani L, ani R ani K, nen´ı P, om ˇ c. −2; 0, max [ 34 π + 2kπ; 0], min [− π4 + 2kπ; −2], period. p = 2π, 35
(g) D(f ) = R, H(f ) = h−1; 1i, ani S ani L, ani R ani K, nen´ı P, 5 π om ˇc. ±1, max [ 12 π + kπ; 1], min [− 12 + kπ; −1], period. p = π, (h) D(f ) = (− 34 π + kπ; π4 + kπ), H(f ) = R, ani S ani L, ani R ani K, nen´ı P, neom, max nem´a, min nem´a, period. p = π, (i) D(f ) = (kπ; π + kπ), H(f ) = h0; ∞), ani S ani L, ani R ani K, nen´ı P, om zdola ˇc. 0, max nem´a, min [ π4 + kπ; 0], period. p = π, (j) D(f ) = R, H(f ) = h−3; −1i, ani S ani L, ani R ani K, nen´ı P, om ˇc. −3; −1, max [ 76 π +2kπ; −1], min [ π6 +2kπ; −3], period. p = 2π, (k) D(f ) = R, H(f ) = h−2; 2i, ani S ani L, ani R ani K, nen´ı P, om ˇc. ±2, max [− 56 π + 2kπ; 2], min [ π6 + 2kπ; −2], period. p = 2π, (l) D(f ) = R, H(f ) = h−4; 2i, ani S ani L, ani R ani K, nen´ı P, om ˇc. −4; 2, max [− π2 + 2kπ; 2], min [ π2 + 2kπ; −4], period. p = 2π. 3. (a) y = −sinx = sin(−x) nebo tak´e y = sin(x + π) = cos(x + π2 ), D(f ) = R, H(f ) = h−1; 1i, L, ani R ani K, nen´ı P, om ˇc. ±1, max [− π2 + 2kπ; 1], min [ π2 + 2kπ; −1], period. p = 2π, (b) y = − cos x, D(f ) = R, H(f ) = h−1; 1i, S, ani R ani K, nen´ı P, om ˇc. ±1, max [π + 2kπ; 1], min [2kπ; −1], period. p = 2π, (c) y = | tg x|, D(f ) = (− π2 + kπ; π2 + kπ), H(f ) = h0; ∞), S, ani R ani K, nen´ı P, om zdola ˇc. 0, max nem´a, min [kπ; 0], period. p = π, (d) y = cotg |x|, D(f ) = (kπ; π + kπ), H(f ) = R, S, ani R ani K, nen´ı P, neom, max nem´a, min nem´a, nen´ı period..
36
