Simulaˇ cn´ı model a identifikace voice coil servopohonu Autor: Bc. Tom´ aˇ s Hladovec Vedouc´ı pr´ ace: Neˇ cas Martin, Ing. MSc., Ph.D Abstrakt: Tato pr´ace pojedn´av´a o vytvoˇren´ı simulaˇcn´ıho modelu voice coil servopohonu a n´ asledn´em nalezen´ı parametr˚ u simulaˇcn´ıho modelu tak, aby byl vytvoˇren model pro konkr´etn´ıho voice coil servopohon. Data pro nalezen´ı parametr˚ u byla z´ısk´ ana pomoc´ı experiment˚ u na dan´em zaˇr´ızen´ı. Identifikace m´a umoˇznit nalezen´ı ide´ aln´ıho nastaven´ı ˇr´ızen´ı dan´eho servopohonu pro danou tˇr´ıdu aplikac´ı napˇr. PTP (Point to Point) ˇr´ızen´ı.
Kl´ıˇ cov´ a slova: pohon, servopohon, voice coil servopohon, simulaˇcn´ı model
1
´ Uvod
Jedn´ım z nejrozˇs´ıˇrenˇejˇs´ıch typ˚ u pohon˚ u jsou dnes pohony elektromechanick´e. Jejich funkc´ı je ˇr´ızen´a pˇremˇena elektrick´e energie na energii mechanickou. M˚ uˇzeme se na nˇe tedy d´ıvat jako na zaˇr´ızen´ı, do kter´ ych kdyˇz pˇrivedeme elektrick´ y proud, tak n´am ho pˇrevedou na s´ılu (moment). Tento pohled m˚ uˇze b´ yt v jist´ ych pˇr´ıpadech dostaˇcuj´ıc´ı, mnohdy vˇsak k tomu abychom dos´ahli poˇzadovan´ ych v´ ysledk˚ u, mus´ıme pochopit, jak´e dˇeje vlastnˇe uvnitˇr pohonu prob´ıhaj´ı. Pˇr´ıpadnˇe n´am toto pochopen´ı m˚ uˇze umoˇznit dos´ahnout v´ yraznˇe lepˇs´ıch v´ ysledk˚ u pˇri uˇz´ıv´an´ı elektromechanick´ ych pohon˚ u. C´ılem t´eto pr´ace bylo vytvoˇren´ı co moˇzn´a nejpˇresnˇejˇs´ıho modelu elektromagnetick´eho pohonu, konkr´etnˇe pak voice coil servopohonu. Aby bylo moˇzn´e tento u ´kol splnit, bylo nejprve nutn´e se sezn´amit s problematikou elektromagnetick´ ych pohon˚ u respektive servopohon˚ u. N´aslednˇe bylo vyuˇzito moˇznosti prov´est mˇeˇren´ı na konkr´etn´ım voice coil servopohonu, kter´ y byl dod´an firmou InoMech. Data z´ıskan´a z experimentu na tomto zaˇr´ızen´ı byla pot´e pouˇzita k nalezen´ı parametr˚ u v simulaˇcn´ıch modelech tohoto voice coil servopohonu.
1.1 1.1.1
Z´ akladn´ı princip elektromagnetick´ ych pohon˚ u S´ıla p˚ usob´ıc´ı na vodiˇ c v magnetick´ em poli
Je-li vodiˇc v magnetick´em poli, p˚ usob´ı magnetick´e s´ıly na elektrony pohybuj´ıc´ı se uvnitˇr vodiˇce. Protoˇze elektrony nemohou vodiˇc opustit, pˇren´aˇsej´ı se tyto s´ıly na l´atku vodiˇce, takˇze na vodiˇc jako celek p˚ usob´ı s´ıla. Magnetick´a s´ıla p˚ usob´ıc´ı na elektrony se naz´ yv´a Lorentzova s´ıla a je kolm´a jak na proud, tak na magnetick´ y tok. Matematicky lze tuto s´ılu popsat n´asledovnˇe: ~ ~ ~ F = q E + ~v × B . (1) ~ - intenzita elektrick´eho pole,B ~ - magnetick´a Kde:F~ - s´ıla, q - elektrick´ y n´aboj, ~v - rychlost n´aboje, E indukce. Tento vzorec m˚ uˇzeme pˇrepsat do tvaru: ~ + q~v × B ~ = F~el + F~mg , F~ = q E
(2)
F~el je pˇr´ıspˇevek elektrick´eho pole, F~mg je pˇr´ıspˇevek magnetick´e s´ıly. Rychlost n´aboje m˚ uˇzeme ~ napsat ve tvaru ~v = dx/dt, kdyˇz tuto z´avislost dosad´ıme do rovnice (2) pˇrepsan´e do diferenci´aln´ıho tvaru a zanedb´ame F~el , kter´a je obvykle v´ yraznˇe menˇs´ı neˇz s´ıly magnetick´e, dostaneme: Z ~ dx dq ~ = dq ~ ×B ~ ×B ~ ×B ~ , ~ = dx ~ = idx ~ ⇒ F~ = i dx dF ×B dt dt ~ je diferenci´aln´ı prvek d´elky vodiˇce v magnetick´em poli. kde i je proud a dx 1
(3)
Za pˇredpokladu, ˇze proud ani magnetick´a indukce se na cel´e d´elce vodiˇce nemˇen´ı, vych´az´ı velikost s´ıly pro pˇr´ım´ y vodiˇc o d´elce l, kter´ y sv´ır´a se smˇerem indukce u ´hel α: F = iBl sin α.
(4)
Tento vzorec se naz´ yv´a Amp´er˚ uv silov´ y z´akon. Je-li proudovodiˇc kolm´ y k indukˇcn´ım ˇcar´am, pak je s´ıla F maxim´aln´ı a plat´ı pro ni: F = iBl.
(5)
1.1.2
S´ıla p˚ usob´ıc´ı na kruhovou smyˇ cku v radi´ aln´ım“ magnetick´ em poli ” Smyˇcka s polomˇer a v rovinˇe xz je um´ıstˇena v radi´aln´ım“ homogenn´ım magnetick´em poli o ” indukci B viz Obr. 1.
1
Obr. 1: Kruhov´a smyˇcka v radi´aln´ım“ magnetick´em poli ” Smyˇckou proch´az´ı proud i, kter´ y je v tomto uspoˇra´d´an´ı pro kaˇzd´e ϕ kolm´ y k indukci B. S´ıla dFlr p˚ usob´ıc´ı na element smyˇcky dl (= a dϕ) je kolm´a k rovinˇe xz a smˇeˇruje proti smˇeru osy y. Jej´ı velikost je podle vzorce (4), dFlr = iBadϕ. Celkovou s´ılu p˚ usob´ıc´ı na smyˇcku dostaneme integrac´ı ϕ od 0 do 2π Z 2π r dϕ = iBa2π = iBl, (6) Fl = iBa 0
kde l = 2πa je d´elka smyˇcky. 1.1.3
S´ıla p˚ usob´ıc´ı na solenoid v radi´ aln´ım“ magnetick´ em poli ” S´ıla na solenoidu o N z´avitech v homogenn´ıch radi´aln´ım“ magnetick´em poli o indukci B je ” pops´ana vzorcem: Fcr = N iBl sin α.
(7)
Ve vztahu je α u ´hel, kter´ y sv´ır´a osa solenoidu se smˇerem pole. S´ıla je maxim´aln´ı, kdyˇz indukce je rovnobˇeˇzn´a s rovinami z´avit˚ u (kolm´a k pod´eln´e ose solenoidu): Fcr = N iBl. 1
magnetick´ a indukce B je pro pˇrehlednost zobrazena jen v rovinˇe xz
2
(8)
1.1.4
Indukovan´ e napˇ et´ı ve vodiˇ ci
Pohybem vodiˇce (c´ıvky) v magnetick´em poli vznik´a indukovan´e elektrick´e pole. Pro zaˇca´tek budeme uvaˇzovat, ˇze magnetick´e pole je pˇr´ıˇcn´e (pˇr´ıˇcn´ ym magnetick´ ym polem oznaˇc´ıme homogenn´ı pole, jehoˇz indukˇcn´ı ˇca´ry jsou kolm´e k rychlosti pohybu vodiˇce v ), ˇcasovˇe nemˇenn´e o indukci ~ (= konst). Pˇr´ısluˇsn´e indukovan´e elektromotorick´e napˇet´ı lze popsat vzorcem: B ~ · ~l = − dΦ , UiB = ~v × B dt
(9)
~ = kde dΦ je element magnetick´eho indukˇcn´ıho toku. Pˇri zahrnut´ı poˇca´teˇcn´ıho pˇredpokladu (B ~ v ), bude indukovan´e elektrick´e napˇet´ı pod´el vodiˇce homogenn´ı a m˚ konst, B⊥~ uˇzeme vztah (9) pˇrepsat do tvaru: UiB = −vBl.
(10)
1.1.5
Indukovan´ e napˇ et´ı solenoidu v radi´ aln´ım“ magnetick´ em poli ” Pro kruhovou smyˇcku v radi´aln´ım“ magnetick´em poli viz Obr. 1, kterou by neprot´ekal proud i a ” pohybovala se rychlost´ı v kolmo k rovinˇe xz (smˇerem k n´am). Vyjdeme z rovnice (9) pˇrepsan´e do diferenci´aln´ıho tvaru: drdϕ BdS dΦ Br = −d = −Ba = −Bavdϕ. (11) dUil = −d dt dt dt Po integraci pˇres ϕ od 0 do 2π dostaneme celkov´e indukovan´e napˇet´ı ve smyˇcce: Z 2π Br dϕ = −Bav [ϕ]2π Uil = −Bav 0 = −Bav2π = −Bvl,
(12)
0
kde l je d´elka vodiˇce ve smyˇcce. Pro stejnˇe um´ıstˇen´ y solenoid plat´ı podobn´ y vztah: UisBr = −N Bvl,
(13)
kde N je poˇcet z´avit˚ u c´ıvky. 1.1.6
Indukovan´ e napˇ et´ı ve vodiˇ ci pro B 6= konst.
Dosud jsme uvaˇzovali, ˇze magnetick´a indukce je konstantn´ı. V pˇr´ıpadˇe, ˇze m´ame napˇr´ıklad c´ıvku um´ıstˇenou v magnetick´em poli, vytvoˇren´em permanentn´ımi magnety, je celkov´ y magnetick´ y tok souˇctem magnetick´eho toku od permanentn´ıho magnetu a magnetick´eho toku vytvoˇren´em proudem prot´ekaj´ıc´ım c´ıvkou Φ = Φp + Φc . Je-li proud v c´ıvce promˇenn´ y je i Φc nekonstantn´ı v ˇcase, ~ tentokr´at vˇsak ne zmˇenou plochy dS, ale zmˇenou magnetick´e indukce B. Tento magnetick´ y tok Φc lze popsat vztahem: Φc = Li,
(14)
kde L vlastn´ı indukˇcnost vodiˇce. Tento vztah se naz´ yv´a statick´ y definiˇcn´ı vztah pro indukˇcnost. Dosad´ıme-li tuto z´avislost do vztahu (9) dostaneme: Uis = −
dΦc d dΦ =− = − (Li) . dt dt dt
(15)
Rovnice v t´eto kapitole popisuj´ı fungov´an´ı elektromagnetick´ ych pohon˚ u. S´ıla F popsan´a rovnic´ı (1) je hnac´ı silou vˇsech elektromagnetick´ ych pohon˚ u. 3
1.2
Magnetick´ e pole a magnety ve VCM
Velmi podstatnou ˇca´st´ı VCM tvoˇr´ı permanentn´ı magnety. Dnes se pouˇz´ıvaj´ı t´emˇeˇr v´ yhradnˇe neodymov´e N d2 F e14 B magnety. Obr´azek 2 zobrazuje z´avislost hustoty magnetick´eho toku (B) na intenzitˇe demagnetizaˇcn´ıho pole (H) neboli ˇca´sti hysterezn´ıch kˇrivek nejbˇeˇznˇejˇs´ıch magnetick´ ych materi´al˚ u: AlN iCo, feritov´e magnety (BaF e2 O3), samarium-kobaltov´e magnety (SmCO5 nebo Sm2 CO1 7) a r˚ uzn´e typy neodymov´ ych magnet˚ u (M Q1, M Q2, M Q3). Z kˇrivek na obr´azku lze
Obr. 2: Demagnetizaˇcn´ı kˇrivky pro permanentn´ı magnety (pˇri pokojov´e teplotˇe) [10] vyˇc´ıst, ˇze hlavn´ı v´ yhodou neodymov´ ych magnet˚ u je jejich vysok´ y energetick´ y souˇcin (BH)max 2 a vysok´a vnitˇrn´ı koercitivita. Tyto vlastnosti umoˇzn ˇuj´ı vytvoˇren´ı velk´eho magnetick´eho toku i pˇres vˇetˇs´ı vzduchov´e mezery, kter´e vypl´ yvaj´ı z konstrukce CVM a z´aroveˇ n schopnost odol´avat demagnetizaˇcn´ım pol´ım vytvoˇren´ ych vinut´ım c´ıvek CVM. Nem´enˇe d˚ uleˇzitou skuteˇcnost´ı pro pouˇzit´ı neodymov´ ych magnet˚ u je i jejich niˇzˇs´ı v´ yrobn´ı cena, neˇz pro srovnateln´e samarium-kobaltov´e magnety. Jistou nev´ yhodou je jejich n´ızk´a odolnost proti korozi, kter´a vede k nutnosti povrchov´ ych u ´prav. Pˇri pouˇzit´ı neodymov´ ych magnet˚ u je tˇreba si d´avat pozor na jejich celkem n´ızkou tepelnou odolnost (kolem 150◦ C) a pˇr´ıpadnˇe i na demagnetizaci zp˚ usobenou mechanick´ ymi n´arazy.
1.3
Typy voice coil motor˚ u v z´ avislosti na typu magnetu
Prvn´ı koncepce je zobrazena na Obr.3 a) kdy se c´ıvka nach´az´ı v radi´alnˇe orientovan´em magnetick´em poli vytvoˇren´em radi´alnˇe zmagnetizovan´ ym prstencem viz Obr.3 b). Ten je vloˇzen do vnitˇrn´ıho pr˚ umˇeru dut´eho ocelov´eho v´alce. Spolu s ocelov´ ym j´adrem a pouzdrem slouˇz´ı k uzavˇren´ı magnetick´eho obvodu. Je-li na c´ıvky pˇriveden proud, p˚ usob´ı na c´ıvku s´ıla popsan´a vzorcem (8). Pracovn´ı vzduchov´a mezera magnetick´eho obvodu je v axi´aln´ım smˇeru pomˇernˇe dlouh´a a zhruba odpov´ıd´a axi´aln´ı d´elce magnetu. Hodnota magnetick´e indukce ve vzduchov´e mezeˇre je pˇribliˇznˇe (0.4 − 0.6) hodnoty remanence 3 pouˇzit´eho magnetu. Obr´azek 4 a) zobrazuje druhou variantu uspoˇra´d´an´ı VCM. Tato konstrukce pouˇz´ıv´a axi´alnˇe magnetizovan´ y disk (nebo donut“), jak je zn´azornˇeno na Obr.4 b) a 4 c). Magnetick´e pole je ” 2
Koercitivita, tak´e zvan´a koercivn´ı s´ıla, je to schopnost permanentn´ıho magnetu odol´avat demagnetizaci extern´ım magnetick´ ym polem a tak´e sv´ ym vlastn´ım demagnetizaˇcn´ım polem. Pouˇz´ıv´a se pro n´ı oznaˇcen´ı (Hc ) [A/m]. 3 Magnetick´ a remanence (Br ) je zbytkov´ a magnetizace, kterou si podrˇz´ı feromagnetick´ y materi´al, kdyˇz na nˇej pˇrestane p˚ usobit vnˇejˇs´ı magnetick´e pole. Jednotkou remanenceje Tesla (T)
4
radi´alnˇe orientovan´y prstencov´y magnet
a)
b)
ocelo´e j´adro
ocelov´e j´adro
c´ıvka
Obr. 3: a) VCM s radi´aln´ım magnetem, b) radi´aln´ı orientovan´ y prstencov´ y magnet zde ohnuto radi´alnˇe ven skrz ocelov´ y p´olov´ y n´astavec a pracovn´ı vzduchovou mezeru, ve kter´e se nach´az´ı vinut´ı c´ıvky do ocelov´eho pouzdra, pˇres kter´ y se magnetick´ y obvod uzav´ır´a. I zde, je-li do c´ıvky puˇstˇen proud, p˚ usob´ı na c´ıvku s´ıla, popsan´a vzorcem (8). Pracovn´ı vzduchov´a mezera magnetick´eho obvodu je v axi´aln´ım smˇeru v´ yraznˇe kratˇs´ı neˇz v pˇredeˇsl´e koncepci. T´ım je i poˇcet z´avit˚ u c´ıvky, kter´e jsou v magnetick´em poli menˇs´ı a t´ım menˇs´ı je i s´ıla na c´ıvku. V´ yhodou t´eto koncepce je snadnˇejˇs´ı v´ yroba axi´aln´ıho magnetu pro vyˇsˇs´ı energie neˇz u magnetu radi´aln´ıho vyuˇzit´em v pˇredeˇsl´em designu a skuteˇcnost, ˇze magnetick´a indukˇcnost vzduchov´e mezery je v´ yraznˇe vˇetˇs´ı neˇz v pˇredeˇsl´e koncepci. Jej´ı hodnota odpov´ıd´a (0.6 − 0.9) n´asobku remanence (Br ). To umoˇzn ˇuje vˇetˇs´ı magnetick´e toky B, coˇz vede k vˇetˇs´ı s´ıle na c´ıvku. Jistou nev´ yhodou je horˇs´ı homogenita magnetick´eho pole. Existuj´ı i dalˇs´ı koncepce VCM, pomˇernˇe uˇz´ıvanou je napˇr´ıklad obd´eln´ıkov´a koncepce a dalˇs´ı kter´e jsou detailnˇeji pops´any v [10]. a)
b)
c´ıvka ocelov´y p´olov´y n´astavec
ocelov´e pouzdro
c) axi´alnˇe orientovan´y diskovˇy magnet
Obr. 4: a) VCM s axi´aln´ım magnetem; b) a c) axi´alnˇe orientovan´ y diskov´ y a donut“ magnet ”
1.4
C´ıvka ve VCM
D˚ uleˇzit´ ym prvkem v CVM je c´ıvka, konkr´etnˇe pak typ zvan´ y solenoid. Jak uˇz bylo zm´ınˇeno dˇr´ıve, m´ame-li c´ıvku v magnetick´em poli, p˚ usob´ı na ni s´ıla popsan´a vzorcem (8). V tomto vzorci vystupuje poˇcet z´avit˚ u c´ıvky N . T´ım se nemysl´ı celkov´ y poˇcet z´avit˚ u c´ıvky, ale poˇcet z´avit˚ u c´ıvky aktu´alnˇe v magnetick´em poli. Tato hodnota nemus´ı b´ yt konstantn´ı a pro krajn´ı polohy, kdy c´ıvka 5
vyj´ıˇzd´ı (vj´ıˇzd´ı) do magnetick´eho pole se m˚ uˇze mˇenit. Dalˇs´ı promˇenn´a ve vzorci je magnetick´a indukˇcnost B, vytvoˇren´a permanentn´ım magnetem. Jak lze vidˇet na Obr.2 tato indukˇcnost je z´avisl´a na velikosti demagnetizaˇcn´ıho pole H. Toto pole je vytv´aˇreno pr˚ uchodem proudu c´ıvkou. Vztah mezi magnetickou indukc´ı B a intenzitou magnetick´eho pole H je: ~ = B −M ~, H µ0
(16)
~ je magnetizace. Na Obr.5 je zobrazeno, jak vypad´a magnetick´e pole Bc hustˇe vinut´e c´ıvky kde M pˇri pr˚ utoku proudu i. Velikost magnetick´a indukˇcnost Bc uvnitˇr c´ıvky je d´ana vzorcem: ~ c = µ N i, B l
(17)
plat´ı, ˇze l je d´elka c´ıvky a N je poˇcet z´avit˚ u na c´ıvce a µ = µr µ0 , kde µ0 = 4π10−7 H/m kde µr je relativn´ı permeabilita materi´alu. Zde vˇsak pro v´ ypoˇcet nast´av´a z´asadn´ı probl´em, jak je na zm´ınˇen´ ych obr´azc´ıch vidˇet, vytvoˇren´ y magnetick´ y tok neteˇce jen j´adrem c´ıvky, ale je uzav´ır´an i vnˇe c´ıvky. Proto je tˇeˇzk´e urˇcit velikost permeability, poˇc´ıtat jen s permeabilitou j´adra (jako napˇr´ıklad v [5]) je chybn´e. Jistou moˇznost´ı je vytvoˇrit MKP model napˇr´ıklad v programu Vizimag. Nakonec jsme se vˇsak rozhodli, ˇze vliv demagnetizaˇcn´ıho pole na permanentn´ı magnet zjist´ıme experiment´alnˇe viz kapitola 3.1. Obecnˇe vˇsak pˇredpokl´ad´ame, ˇze u naˇseho zaˇr´ızen´ı nebude m´ıt toto pole pˇr´ıliˇs velk´ y vliv, protoˇze Neodymov´ y magnety maj´ı velkou odolnost proti demagnetizaˇcn´ım pol´ım.
Obr. 5: Magnetick´e pole hustˇe vinut´e c´ıvky
1.5
Z´ akladn´ı vzorce popisuj´ıc´ı VCM
V t´eto chv´ıli bychom mˇeli m´ıt pops´any vˇsechny potˇrebn´e vztahy k tomu, abychom popsali fungov´an´ı VCM zobrazen´em na Obr. 7. S´ıla p˚ usob´ıc´ı na pohybuj´ıc´ı se ˇca´st voice coil motoru F (elektromagnetick´a s´ıla) je pops´ana vzorcem (8), ve kter´em vˇsak obecnˇe budeme uvaˇzovat, ˇze hustota magnetick´eho toku B m˚ uˇze b´ yt z´avisl´a na proudu i a poˇcet aktivn´ıch z´avit˚ u Na m˚ uˇze b´ yt obecnˇe z´avisl´ y na poloze (Na nemus´ı b´ yt ani cel´e ˇc´ıslo, m˚ uˇze zab´ırat jen ˇca´st z´avitu c´ıvky, to n´am umoˇzn ˇuje uvaˇzovat konstantn´ı l, kter´e reprezentuje d´elku jednoho z´avitu c´ıvky). F = Fcr = Na (x) B (i) il
(18)
ˇ Casto je tento vzorec pˇrepisov´an do tvaru: F = Ce (x, i) i,
(19)
N kdy pˇri jist´em zjednoduˇsen´ı se uvaˇzuje Ce za konstantu a naz´ yv´a se silov´a konstanta (rozmˇer ) A i my ji takto budeme naz´ yvat, i kdyˇz zat´ım ji za konstantu povaˇzovat nebudeme. 6
Proud v c´ıvce lze popsat spojen´ım rovnic (13), (15) a Ohmova z´akona, t´ım vznikne rovnice: Ri = U + UisBr + Uis Ri = U − N (x)B(i)vl −
d (Li) , dt
(20)
kde U je ˇr´ıd´ıc´ı napˇet´ı, R je odpor c´ıvky, L je indukˇcnost c´ıvky a v je relativn´ı rychlost mezi c´ıvkou a magnetick´ ym polem. Pro dalˇs´ı v´ ypoˇcty budeme uvaˇzovat, ˇze indukˇcnost c´ıvky je nez´avisl´a na ˇcase. Pak lze tuto rovnici pˇrepsat do obvyklejˇs´ıho tvaru: Ri + L
di = U − Ce (x, i) v, dt
(21)
zde se opˇet vyskytuje promˇenn´a Ce = N (x)B(i)vl, ale protoˇze u jin´ ych uspoˇra´d´an´ı m˚ uˇze b´ yt N Vs rozd´ıln´a, naz´ yv´a se zde napˇet’ov´a konstanta (rozmˇer = ). Abychom nenaz´ yvali stejnou A m promˇennou r˚ uznˇe, budeme pro Ce pouˇz´ıvat v´ yraz voice coil konstanta. Dalˇs´ı rovnice popisuj´ıc´ı toto uspoˇra´d´an´ı VCM je pohybov´a rovnice syst´emu ve smˇeru x: mp x¨ + Cp x˙ = F − Fz ,
(22)
kde Cp konstanta tlumen´ı,Fz je vnˇejˇs´ı z´atˇeˇzn´a s´ıla a x je poloha c´ıvky. Ve VCM vˇetˇsinou nen´ı pˇr´ıtomen tlumiˇc, ale Cp pˇredstavuje tˇren´ı mezi pohyblivou ˇca´st´ı a r´amem pˇr´ıpadnˇe tˇren´ı v line´arn´ım veden´ı.
1.6
Pohony a servopohony
D´ale v t´eto pr´aci budeme pod pojmem motor uvaˇzovat pˇr´ıstroj pˇremˇen ˇuj´ıc´ı elektrickou energii na energii mechanickou. Pˇrid´an´ım ovl´adac´ıho bloku k motoru, pˇr´ıpadnˇe pˇrid´an´ım transformaˇcn´ıho bloku (transformuje pohyb z motoru na ˇza´dan´ y v´ ystupn´ı pohyb) z´ısk´ame pohon. Za servopohon povaˇzujeme pohon, kter´ y obsahuje zpˇetnovazebn´ı ˇr´ızen´ı (polohy, rychlosti). K tomu se ˇcasto pouˇz´ıv´a jednosmyˇckov´a PID regulace polohy. V´ yhodou tohoto konceptu jsou n´ızk´e n´aklady na poˇr´ızen´ı. Mnohdy vˇsak pro n´aroˇcnˇejˇs´ı aplikace, kter´e poˇzaduj´ı kratˇs´ı doby ust´alen´ı pˇr´ıpadnˇe robusnˇejˇs´ı regulaci je tato metoda nedostaˇcuj´ıc´ı. V tˇechto pˇr´ıpadech pˇrich´azej´ı na ˇradu pokroˇcilejˇs´ı metody regulace jako napˇr´ıklad LQR, stavov´a zpˇetn´a vazba nebo kask´adn´ı regulace. V oblasti regulace servopohon˚ u se nejv´ıce rozvinula posledn´ı jmenovan´a, kter´a se jev´ı jako pˇrirozen´ y dalˇs´ı krok po jednosmyˇckov´e PID regulaci.
2
Oˇ ziven´ı experiment´ aln´ıho voice coil servopohonu
Tato pr´ace se prim´arnˇe bude zab´ yvat voice coil servopohony (line´arn´ım, jednof´azov´e servopohony). Jejich kladem je schopnost vyvinout velk´e zrychlen´ı (aˇz 20 ms2 ) pˇri zachov´an´ı velk´e pˇresnosti polohov´an´ı (aˇz v ˇra´dech mikrometr˚ u) pˇri vhodn´em ˇr´ızen´ı. Dalˇs´ım plusem je fakt, ˇze pohyb v´ ystupn´ıho bodu motoru je bez nutnosti pˇrevodov´eho bloku rovnou line´arn´ı a ˇze pohon m´a nulovou mechanickou v˚ uli. Nev´ yhodou je pak omezen´ y zdvih motoru. [4] Firmou Inomech byl dod´an voice-coil servopohon viz Obr. 6. Sch´ema VCM od firmy Inomech je na Obr. 7. Tˇrec´ı s´ıla v line´arn´ım veden´ı lze popsat vzorcem Ft = Cp v. Zkouman´ y motor obsahuje dorazy (tlumiˇce) na okraj´ıch pracovn´ıho prostoru. Ty maj´ı za u ´kol zamezit poˇskozen´ı jak line´arn´ıho veden´ı, tak permanentn´ıho magnetu (kter´ y ˇspatnˇe sn´aˇs´ı r´azy, jak jiˇz bylo ˇreˇceno) pˇri ˇspatnˇe zvolen´ ych parametrech ˇr´ızen´ı, kdy doch´az´ı k vyjet´ı mimo pracovn´ı prostor. Vliv tˇechto doraz˚ u nebude pˇri popisu motoru br´an v u ´vahu, protoˇze bude uvaˇzov´an jen pohyb v pracovn´ım prostoru. Pohon se skl´ad´a z line´arn´ı veden´ı od firmy Schneeberger, c´ıvky s magnetick´ ym j´adrem od firmy Akribis Systems, konkr´etnˇe typ VCA AVM-40-20. 7
Obr. 6: INOMECH Voice coil servopohon
x0
x
U
c´ıvka reakˇcn´ı hmota F
N S mp
Fz permanentn´ı magnet line´arn´ı veden´ı
dorazy (tlumiˇce) Obr. 7: Upravn´e sch´ema voice-coil motoru Aby z motoru vznikl servopohon byl pˇrid´an ˇr´ıd´ıc´ı blok Digit´aln´ı servomˇeniˇc Cello 50/60 od firmy Elmo. V´ıce o tomto ˇr´ıd´ıc´ım bloku viz [2]. Podle tohoto manu´alu byla nav´az´ana se servomˇeniˇcem komunikace a nastaveny parametry tak, aby bylo moˇzno motor bezpeˇcnˇe vyuˇz´ıvat. Z dalˇs´ıch zdroj˚ u od v´ yrobce bylo vyˇcteno sch´ema kask´adn´ı regulace kterou servomˇeniˇce obsahuje viz Obr. 8. Informace o aktu´aln´ı poloze motoru z´ısk´av´a ovl´adac´ı blok z optick´eho odmˇeˇrov´an´ı od firmy Numerik Jena. Konkr´etnˇe s vyuˇzit´ım inkrement´aln´ıho enkod´eru LIK41-P32-WZ.
3
Statick´ e experimenty na experiment´ aln´ım VCP
Prvn´ım experimentem na voice-coil servopohonu bylo urˇcen´ı hmotnosti reakˇcn´ı hmoty (pohybuj´ıc´ı se ˇca´sti motoru). Byla zvolena nejjednoduˇsˇs´ı varianta, jak danou hmotnost zjistit a to danou ˇca´st odmontovat a zv´aˇzit. K tomu byla pouˇzita v´aha Skrebba skre-2000N, pˇresnost v´aˇzen´ı do 1 kg je 1 g. Pro hodnoty od 1 kg do 2 kg je pˇresnost v´aˇzen´ı 2 g. Z mˇeˇren´ı vyˇslo, ˇze hmotnost reakˇcn´ı 8
280 s 140s 70s rychlostn´ı regul´ator proudov´ y feedforward
polohov´ y regul´ator rychlostn´ı feedforward
du dt xp poˇzovanl´ a poloha
proudov´ y regul´ator
Kiw
Kvw
ex +
du dt
−
+ Kpp
+
vp
ev
1 s
+ Kvi
+
1 s
ip ++
ei −
Kvp
+ −
Kvi
Kvp
v´ ykonov´ y H-m˚ ustek +
DCL
+
i-aktu´aln´ı proud
du dt
v-aktu´ aln´ı rychlost x-aktu´ aln´ı poloha
H
motor U
M
REZ proudov´ y sn´ımaˇc enkod´er
> 2kHz
sn´ımaˇc polohy
> 350Hz > 80Hz
Obr. 8: Sch´ema kask´adn´ı regulace servomˇeniˇce Cello Elmo hmoty mp = 440 ± 1 g. Dalˇs´ım krokem bylo zjiˇstˇen´ı polohy doraz˚ u a t´ım ovˇeˇren´ı spr´avnosti nastaven´ı omezen´ı polohy v servomˇeniˇci. Dorazy se nach´azej´ı v poloh´ach xdor1 ∼ u = −170 000 bod˚ a xdor2 ∼ 180 000 bod˚ u . Tˇ r et´ ım krokem bylo zmˇ e ˇ r it promˇ e nn´ e charakterizuj´ ıc´ ı c´ ıvku. Odpor R a = indukˇcnost L. K tomu byl poˇzit pˇr´ıruˇcn´ı LCR metr od firmy Escort. Mˇeˇren´ı prob´ıhalo na frekvenci f = 1 kHz. Bylo zmˇeˇreno, ˇze L = 6.67 mH a R = 18Ω. V´ yrobce v katalogov´em listu k c´ıvce ud´av´a, ˇze Lvyrobce = 6.22 a Rvyrobce = 11 Ω. D´ale budou v pr´aci pouˇz´ıv´any zmˇeˇren´e hodnoty.
3.1
Urˇ cen´ı voice-coil (silov´ e) konstanty Ce
Dalˇs´ım u ´kolem bylo zjistit hodnotu voice-coil konstanty Ce . V´ yrobce ud´av´a, ˇze jej´ı hodnota ve stˇredu zdvihu c´ıvvky je Ce,vyrobce = 12.9 N/A (Vs/m). Vzhledem k tomu, ˇze nen´ı jistota nez´avislosti t´eto hodnoty na poloze a proudu, radˇeji byl proveden experiment k zjiˇstˇen´ı t´eto konstanty. Nejprve byl proveden experiment zaloˇzen´ y na z´avislosti (19) ve kter´em Ce pˇredstavuje silovou konstantu. Na servomˇeniˇci Cello byl vyuˇzit m´od ˇr´ızen´ı s´ıly (proudu). Tak bylo moˇzno ˇr´ıdit vstupn´ı veliˇcinu, velikost proudu v motoru. V´ ystupn´ı veliˇcinou byla s´ıla, kterou motor pˇri pr˚ uchodu proudu produkuje. Ta byla mˇeˇrena pomoc´ı v´ahy Xavax-Milla, kter´a umoˇzn ˇuje v´aˇzit do 5 kg s pˇresnost´ı 1 g. Uspoˇra´d´an´ı mˇeˇren´ı je na obr. 9. Pr˚ ubˇeh mˇeˇren´ı: motor byl um´ıstˇen vertik´alnˇe a pohybliv´a ˇca´st motoru byla um´ıstˇena do polohy x.Pod n´ı byla um´ıstˇena v´aha. Protoˇze se bˇehem mˇeˇren´ı uk´azalo, ˇze v´aha pohybliv´e ˇca´sti je pˇr´ıliˇs mal´a a pˇri vyˇsˇs´ıch z´aporn´ ych proudech se motor zaˇcne pohybovat a pˇrestane m´ıt kontakt s v´ahu, bylo k pohybliv´e ˇca´sti pˇripojeno z´avaˇz´ı. N´aslednˇe byla odeˇctena v´aha pohybliv´e ˇca´sti se z´avaˇz´ım vypnut´eho motoru. Pot´e byl motor zapnut a postupnˇe byly odeˇc´ıt´any hodnoty z v´ahy pro proudy od i = 1 A do i = −0.9 A. Z´aroveˇ n s proudem a hmotnost´ı“ byla zaznamen´av´ana aktu´aln´ı ” poloha motoru x, protoˇze se se m´ırnˇe mˇenila v z´avislosti na proudu. To bylo zp˚ usobeno konstrukc´ı v´ahy. Po odeˇcten´ı vˇsech hodnot pro r˚ uzn´e proudy, byla zmˇenˇena v´ ychoz´ı poloha x a cel´ y proces se opakoval.
9
Obr. 9: Aparatura pro mˇeˇren´ı Ce Data z v´ahy byla pouˇzita k v´ ypoˇctu sil, kter´e voice coil motor vyvinul, kdyˇz j´ım prot´ekal proud. Tyto s´ıly byly vypoˇc´ıt´any pomoc´ı vzorce: F = (mzap − mvyp ) · g, kde mzap je hmotnost“ ” pohybliv´e ˇca´sti kdyˇz motorem prot´ek´a proud, mvyp je hmotnost pohybliv´e ˇca´sti motoru a g je t´ıhov´e zrychlen´ı. Voice coil konstanta pak byla vypoˇc´ıt´ana pomoc´ı vztahu (19).
CCe e[N/A] [N/A]
Ce (i, x) Ce (i, x)
zar´ zky ky(tlumiˇ (tlumiˇ zar´ aaˇzˇ ce)ce) x [mm] x [mm]
Obr. 10: Z´avislost voice coil konstanty na poloze
10
Obr´azek 10 zobrazuje z´avislost voice coil konstanty na poloze a proudu. Hodnoty byly vypoˇc´ıt´any s pˇresnost´ı ±0.2 N/A. Nen´ı vˇsak patrn´e zda existuje spojitost mezi velikost´ı proudu a konstantou. Proto byla vybr´ana mˇeˇren´ı s mal´ ym rozptylem polohy. Konkr´etnˇe data s polohou od −0.8 mm do 0.8 mm. Data byla pouˇzita k z´ısk´an´ı pr˚ ubˇehu Ce (i) viz Obr.11. Z grafu by se mohlo zd´at, ˇze voice coil konstanta m´a tendenci s proudem r˚ ust, pˇr´ır˚ ustek je vˇsak velmi mal´ y (srovnateln´ y s pˇresnost´ı experimentu). Budeme proto br´at, ˇze konstanta je nez´avisl´a na proudu. Jak uˇz bylo dˇr´ıve odvozeno Ce = Na (x) B (i) l, pro konstantn´ım x, mus´ı promˇenn´e Na a l b´ yt tak´e konstantn´ı. Z toho plyne, ˇze pokud nen´ı Ce z´avisl´a na proudu, nem˚ uˇze b´ yt ani hustota magnetick´eho toku B z´avisl´a na proudu. Coˇz je d˚ ukaz, ˇze vliv demagnetizaˇcn´ıho pole c´ıvky, kter´ y se ˇreˇs´ı v kapitole 1.4 je v naˇsem pˇr´ıpadˇe zanedbateln´ y.
Ce [N/A]
Z´avislot Ce (i)
i [A]
Obr. 11: Z´avislost voice coil konstanty na proudu Na Obr. 12 je zobrazen pr˚ ubˇeh voice coil konstanty v z´avislosti na poloze. Namˇeˇren´ ymi daty byla v programu Matlab proloˇzena pomoc´ı funkc´ı polyfit a polyval kˇrivka ˇctvrt´eho ˇra´du. Rovnice kˇrivky je Ce,f = −0.00010x4 − 0.00004x3 − 0.02378x2 + 0.02791x + 15.60293. Stˇredn´ı hodnota chyby proloˇzen´ı je 1.13319 · 10−015 N/A a smˇerodatn´a odchylka je rovna 0.16112 N/A. Z´avislot Ce (x)
Ce [N/A]
Ce [N/A]
namˇeˇren´a data proloˇzen´a z´avislost Ce,f (x) zar´aˇzky (tlumiˇce)
x [mm]
Obr. 12: Z´avislost voice coil konstanty na poloze 11
3.2
Urˇ cen´ı voice coil (napˇ et’ov´ e) konstanty Ce
Pro kontrolu a zpˇresnˇen´ı pr˚ ubˇehu voice coil konstanty bylo provedeno jeˇstˇe jedeno mˇeˇren´ı. Mˇeˇrila se velikost indukovan´eho napˇet´ı v z´avislosti na rychlosti, to umoˇznilo vypoˇc´ıtat Ce z rovnic´ı Ui = Ce v. Postup experimentu byl n´asleduj´ıc´ı: nejprve bylo odpojeno nap´ajen´ı motoru ze servomˇeniˇce. Motor byl pˇripojen pˇres nap´ajec´ı kabely k mˇeˇr´ıc´ı platformˇe cDAQ od firmy National Instruments, konkr´etnˇe k modulu NI 9215, kter´ y umoˇzn ˇuje mˇeˇrit napˇet´ı. Enkod´er z˚ ustal pˇripojen´ y k servomˇeniˇci Cello, z nˇej byl vyveden kabel nesouc´ı informaci o pohybu motoru. Ten byl pˇripojen do modulu NI 4901. Sign´al z modul˚ u byl zaznamen´av´an pomoc´ı programu LabView 2013. N´aslednˇe bylo ruˇcnˇe pohybov´ano pohyblivou ˇca´st´ı motoru a sn´ım´ana poloha a indukovan´e napˇet´ı. Poloha byla zaznamen´ana jak v Labview tak v servomˇeniˇci Cello. V programu LabView bylo nutno mˇeˇrit jak napˇet´ı tak polohu z d˚ uvod˚ u synchronizace mˇeˇren´ı. Bohuˇzel v Labview bylo moˇzno zaznamen´avat jen relativn´ı pˇr´ır˚ ustek polohy a proto bylo nutno mˇeˇrit i v servomˇeniˇci. Pˇri vyhodnocov´an´ı dat byly hodnoty poloh zaznamenan´e pomoc´ı LabView posunuty podle hodnot z´ıskan´ ych ze servomˇeniˇce tak, aby odpov´ıdaly absolutn´ı poloze. N´aslednˇe byla data jeˇstˇe upravena v programu matlab Simulink. Konkr´etnˇe byl odfiltrov´an ˇsum z dat a z pr˚ ubˇehu polohy byla derivac´ı z´ısk´ana rychlost. Podle jiˇz zm´ınˇen´eho vzorce Ce = Ui /v byly vypoˇc´ıt´any hodnoty voic coil konstanty pro jednotliv´e rychlosti.
Ce [V· · ·/m]
Z´avislot Ce (v)
v [m/s]
Obr. 13: Z´avislost voice coil konstanty na rychlosti N´asledovalo zkoum´an´ı, zda Ce je z´avisl´a na rychlosti. Aby nebyly v´ ysledky zkresleny z´avislost´ı Ce na x byly ze vˇsech dat vybr´any hodnoty namˇeˇren´e na jedn´e“ poloze. Byly zvoleny polohy ” x = (−0.05, 0.05) mm. Vybran´e hodnoty byli vyneseny do grafu viz Obr. 13. Z grafu je patrno, ˇze Ce je nez´avisl´a na rychlosti. Jak je vidˇet na Obr. 14 jsou vyneseny hodnoty voice coil konstanty v z´avislosti na poloze. Jsou zde vyneseny hodnoty z´ıskan´e pomoc´ı mˇeˇren´ı s´ıly (voice coil silov´a konstanta), tak hodnoty z´ıskan´e pomoc´ı mˇeˇren´ı indukovan´eho napˇet´ı(voice coil napˇet’ov´a konstanta). Daty napˇet’ov´e konstanty opˇet proloˇzena kˇrivka ˇctvrt´eho ˇra´du. Rovnice kˇrivky je Ce,u = −0.00010x4 −0.00012x3 −0.02092x2 −0.03211x+15.84742. Stˇredn´ı hodnota chyby proloˇzen´ı je −0.00265 V·s/m a smˇerodatn´a odchylka je rovna 0.03788 V·s/m. Z grafu je patrno,ˇze kˇrivky maj´ı podobn´ y tvar. Jen hodnoty silov´e konstanty jsou pro vˇsechny polohy pˇribliˇznˇe o 0.3 N/A (V·s/m) menˇs´ı neˇz hodnoty napˇet’ov´e konstanty, pˇrestoˇze by se kˇrivky mˇeli pˇrekr´ yvat. Re´aln´emu pr˚ ubˇehu voice coil konstanty odpov´ıd´a pravdˇepodobnˇe kˇrivka napˇet’ov´e konstanty. K t´eto u ´vaze n´as vede skuteˇcnost, ˇze jej´ı pr˚ ubˇeh byl poˇc´ıt´an z mnohem vˇetˇs´ıho mnoˇzstv´ı dat, pˇri jejichˇz z´ısk´an´ı byla menˇs´ı ˇsance na systematick´e chyby. Odchylka Ce,f (x) od Ce,u (x) m˚ uˇze b´ yt zp˚ usobena nepˇresn´ ym mˇeˇren´ım proudu v servomˇeniˇci. Je nutno podotknout, ˇze odchylka je mal´a. Pod 2% pr˚ umˇern´e hodnoty Ce . 12
Z´avislot Ce (x)
Ce [V·s/m],[N/A],
voice coil (silov) konstanta proloˇzen´a z´avislost Ce,f voice coil (napˇetov´a ) konstanta proloˇzen´a z´avislost Ce,u zar´aˇzky (tlumiˇce)
x [mm]
Obr. 14: Z´avislost voice coil (silov´e, napˇet’ov´e) konstanty (silov´e, napˇet’ov´e) na poloze
4
Simulaˇ cn´ı model VCP
Zjiˇstˇen´e informace o voice coil pohonu umoˇznily vytvoˇrit jeho simulaˇcn´ı model. Mˇeˇren´ımi byly zjiˇstˇeny vˇsechny parametry, kter´e jsou do simulaˇcn´ıho modelu potˇreba aˇz na konstantu tlumen´ı Cp , popisuj´ıc´ı velikost tˇrec´ı s´ıly v line´arn´ım veden´ı. Obr´azek 15 zobrazuje vytvoˇren´ı simulaˇcn´ı model v programu Matlab simulink.
Ce
Ce
Obr. 15: Simulaˇcn´ı model voice coil servopohonu
5
Z´ avˇ er
Byly odvozeny z´akladn´ı vzorce pro popis chov´an´ı voice coil servopohonu. N´aslednˇe byl prozkoum´an dodan´ y servopohon a sezn´ameno se s ˇr´ıd´ıc´ım prvkem tohoto pohonu servomˇeniˇcem Cello Elmo. To umoˇznilo zprovoznˇen´ı zaˇr´ızen´ı a proveden´ı experiment˚ u na nˇem. Nejprve byla zjiˇstˇena hmotnost reakˇcn´ı hmoty motoru mp = 440 ± 1 g, indukˇcnost c´ıvky L = 6.67 mH a odpor c´ıvky R = 18 Ω. D´ale bylo zjiˇstˇeno, ˇze voice coil konstanta nen´ı konstantn´ı, ale z´avis´ı na poloze. Experimenty byla zjiˇstˇena z´avislost Ce,f = −0.00010x4 − 0.00004x3 − 0.02378x2 + 0.02791x + 15.60293. Znalost motoru umoˇznila vytvoˇrit simulaˇcn´ı model servopohonu. N´asledovat by mˇelo ovˇeˇren´ı spr´avnosti simulaˇcn´ıho modelu, kdy se zmˇeˇren´ım hodnoty (proudu, rychlosti, polohy) na re´aln´em zaˇr´ızen´ı a porovnaj´ı se s hodnotami generovan´ ymi simulaˇcn´ım modelem. N´aslednˇe bude zkoum´ano, zda nastaven´ı kask´adn´ı regulace (automaticky vygenerovan´e servomˇeniˇcem) je ide´aln´ı. K tomu bude pouˇzita metoda geometrick´eho m´ısta koˇren˚ u. 13
Seznam symbol˚ u: F~ -s´ıla q-elektrick´ y n´aboj ~ E-intenzita magnetick´eho pole ~ B-magnetick´ a indukce ~ Fel -s´ıla elektrick´eho pole F~mg -s´ıla magnetick´eho pole i-stejnosmˇern´ y proud v c´ıvce l-d´elka vodiˇce v mag. poli α-´ uhle mezi vodiˇcem a mag. indukc´ı a-polomˇer smyˇcky, c´ıvky Flr -s´ıla p˚ usob´ıc´ı na kruhovou smyˇcku v radi´aln´ım“ mag. poli ” Flc -s´ıla p˚ usob´ıc´ı na c´ıvku v radi´aln´ım“ mag. poli ” Φ-magnetick´ y indukˇcn´ı tok v-rychlost UiB -indukovan´e napˇet´ı ve vodiˇci pˇri B=konst. UilBr -indukovan´e napˇet´ı v c´ıvce v radi´aln´ım mag. poli pˇri B=konst. Uis -indukovan´e napˇet´ı zp˚ usoben´e zmˇenou proudu v c´ıvce N -poˇcet z´avit˚ u c´ıvky Na -poˇcet z´avit˚ u c´ıvky v magnetick´em poli Br -magnetick´a remanence Hc -koercitivita H-intenzitˇe magnetick´eho pole R-odpor c´ıvky L-indukˇcnost c´ıvky U -ˇr´ıd´ıc´ı napˇet´ı Ce -voice coil konstata Cp -konstanta tlumen´ı mp -hmotnost reakˇcn´ı hmoty motoru (pohybuj´ıc´ı se ˇca´st motoru) x-poloha raek. hmoty motoru Ft -ztr´atov´a (tˇrec´ı) s´ıla v lin. veden´ı
14
[N] [C] [V/m] [T] [N] [N] [A] [m] [rad] [m] [N] [N] [Wb] [m/s] [V] [V] [V] [-] [-] [T] [A/m] [A/m] [Ω] [H] [V] [N/A],[V·s/m] [N·s/m] [kg] [m] [N]
Reference [1] BOHUMIL VYB´IRAL. Elektromagnetick´a indukce: Elektrodynamika 3 [online]. [cit. 201310-05]. Dostupn´e z: http://fyzikalniolympiada.cz/texty/indukce.pdf [2] ELMO MOTION CONTROL. Cello Digital Servo Drive: Installation Guide. 2012-6, 83 s. 2012. Dostupn´e z: http://www.elmomc.com/support/manuals/MAN-CELIG.pdf [3] ELMO MOTION CONTROL. Elmo Composer: Software Manual. 2003-9, 83 s.2012. Dostupn´e z: http://www.elmomc.com/support/manuals/COM UG 0903.pdf [4] Gogue, George P. a Stupak, Joseph J. Jr. [online]. [cit. 2013-04-4]. Dostupn´e z : http://www.consult-g2.com\papers\paper8\paper.html [5] Hyperphysics - Georgia state university. Magnetic: Solenoid [online]. 2013 [cit.2013-10-31]. Dostupn´e z: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/magnetic/solenoid.html [6] Kmitaj´ıc´ı c´ıvky ˇrady AVM [online]. [cit. 2013-20-2]. Dostupn´e z: http:\\www.servodrive.com\pdf catalog\voice coil drives avm cs.pdf. [7] Lorentz. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2003-10-28 [cit. 2013-07-12]. Dostupn´e z: upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3b/Lorentzkraft-graphic.PNG [8] Mayer, Daniel a Bohuˇs Ulrych. Elektromagnetick´e aktu´atory. 1. vyd. Praha: BEN, 2008. 120 s. ISBN 978-80-7300-216-9. [9] Metody zlepˇsen´ı PI regulace. Automa [online]. 2001, roˇc. 2001, ˇc. 12 [cit. 2013-10-06]. Dostupn´e z: www.odbornecasopisy.cz/download/au120104.pdf? [10] MORCOS, Tony. The Straight Attraction part one. [online]. 2000-9, s. 5 [cit. 2013-10-30]. Dostupn´e z: www-cdr.stanford.edu/dynamic/linear engine/eng ref/electric motors/motion1.pdf [11] Preumont, Andr´e. Vibration control of active structures: an introduction. 2nd ed. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002. xvii, 364 s. ISBN 1-4020-0496-6. ´ [12] Rydlo, Pavel. Uvod do teorie servomechanism˚ u [online]. [cit. 2013-04-3]. Dostupn´e z: http:\\www.mti.tul.cz\files\svm\SVM servo 1.ppt [13] Sb´ırka ˇreˇsen´ ych u ´loh z fyziky: Magnetick´e pole solenoidu [online]. 2013-7-26 [cit. 2013-10-31]. Dostupn´e z: http://fyzikalniulohy.cz/uloha.php?uloha=451 [14] Vladim´ır ANDRL´IK. Pr˚ umyslov´e roboty a manipul´atory. Pˇredn´aˇska. Praha:CVUT, 2013
15
