VII III II VIII HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK

HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK A. Sistem Koordinat Tegak Lurus Suatu sistem koordinat tegak lurus disebut juga dengan sistem koordinat cartesian. Di dalam ruang, terdapat tiga buah garis lurus yang masing-masingnya saling tegak lurus dan berpotongan di satu titik (ketiga garis tersebut disebut dengan sumbu-sumbu), dan ditentukan oleh himpunan semua tripel-tripel terurut dari bilangan-bilangan nyata. Z P (x,y,z) Y

Bila titik P memiliki koordinat x,y,z, kita dapat menuliskannya dengan P (x,y,z) dimana x disebut absis, y disebut ordinat, dan z disebut Aplikat.

X Dengan diterapkannya suatu sistem koordinat tegak lurus, maka ruang akan terbagi menjadi delapan bagian. Masing-masing bagian disebut dengan oktan dan diberi nomor dengan aturan z+ sebagai berikut: Oktan I Oktan II Oktan III Oktan IV Oktan V Oktan VI Oktan VII Oktan VIII

: berisi titik-titik dengan x > 0, y > 0, z > 0 : berisi titik-titik dengan x < 0, y > 0, z > 0 : berisi titik-titik dengan x < 0, y < 0, z > 0 : berisi titik-titik dengan x > 0, y < 0, z > 0 : berisi titik-titik dengan x > 0, y > 0, z < 0 : berisi titik-titik dengan x < 0, y > 0, z < 0 : berisi titik-titik dengan x < 0, y < 0, z < 0 : berisi titik-titik dengan x > 0, y < 0, z < 0

Gambarlah koordinat titik-titik berikut: A (3,3,2) B (3,-4,2) C (3,-4,0) D (3,3,0) E (-1,-4,0) F (-1,3,0) B G (-1,3,2) H (-1,-4,2) C

III IV VII

x+

G

E

F

A D

II y+

V

VIII

H

I

VI

B. Jarak Dua Titik Amatilah gambar paralel epipedum berikut ini Z

Apakah RQ Apakah RQ

T S

bidang PQVW ? WQ?

U

R (𝑥2 𝑦2 𝑧2 ) Y W(𝑥1 𝑦1 𝑧1 ) V

P

Q

X

Berdasarkan Teorema Phytagoras 𝑊𝑅 2 𝑊𝑄 2 𝑅𝑄 2 𝑊𝑄 2 𝑊𝑃2 𝑃𝑄 2 sehingga 𝑊𝑅 2 𝑊𝑄 2 𝑅𝑄 2 𝑊𝑃2 𝑃𝑄 2 𝑅𝑄 2 𝑊𝑅 𝑾𝑹

𝑊𝑃2

𝑃𝑄 2

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

𝟐

𝑅𝑄 2 maka 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝟐

𝒛𝟐 − 𝒛𝟏

𝟐

C. Koordinat yang Membagi Ruas Garis dengan Perbandingan m:n Q(𝑥2 𝑦2 𝑧2 ) Terdapat R yang membagi garis PQ, dimana R (x,y,z) K dengan perbandingan m:n. Gambarlah PL,RN, dan QM H bidang XOY. Dari gambar tersebut diperoleh LNM adalah P (𝑥1 𝑦1 𝑧1 ) perpotongan bidang XOY dengan bidang PRQMNL. Tarik garis HRK sejajar LNM. Sehingga segitiga PRH sebangun Y dengan segitiga KRQ. M N L

Z

m

R

n

X ; ; ; ;

(karena tadi

bidang XOY, maka)

berdasarkan rumus membagi bidang, sehingga

:

:

:

:

:

:

Sehingga Koordinat titik R adalah Jika R adalah titik tengah ruas garis PQ maka R membagi PQ dengan perbandingan m : n = 1 : 1. Sehingga dengan mensubstitusikan nilai perbandingan maka didapatkan Secara umum, perbandingan m:n = k, dimana k positif atau negatif tergantung R terletak diantara PQ ataukah perpanjangannya. Jika k > 0 maka R terletak diantara PQ -1 < k < 0 maka R terletak di perpanjangan QP (pada pihak P) k = -1 maka menunjukkan suatu titik tak berhingga k < -1 maka R terletak diperpanjangan PQ (pada pihak Q) sehingga koordinat R menjadi :

dimana k

1

D. Vektor Notasi suatu vektor dapat dituliskan dengan dua huruf besar serta suatu strip atau tanda panah di atas huruf-huruf tersebut. Huruf pertama menyatakan titik awal dan huruf kedua menyatakan titik ujungnya. Sering pula suatu vektor diberi nama dengan sebuah huruf kecil (yang dicetak tebal), misalnya , atau ̅, atau ⃗ ataupun . Besar panjang vektor ditulis |PQ| atau | ̅ | Q ⃗ 𝒂

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Vektor 𝑷𝑸

⃗ 𝒂

P Suatu vektor dimana titik awal dan ujungnya berimpit disebut vektor nol. Vektor-vektor yang terletak pada garis lurus yang sama atau sejajar disebut segaris. “vektor-vektor disebut sama jika mereka segaris serta mempunyai panjang dan arah yang sama.” Sebuah vektor yang arahnya berlawanan dengan vektor a tetapi mempunyai panjang yang sama, dinya takan sebagai –a. ⃗ 𝒂

𝒂

⃗𝒃

−𝒂 ⃗ ⃗ 𝒂 𝒃 Jumlah dari vektor-vektor a dan b adalah sebuah vektor c = a + b, yang diperoleh dengan menempatkan titik awal vektor b berimpit dengan titik ujung vektor a lalu menghubungkan titik awal vektor a dengan titik ujung vektor b. metode ini disebut metode segitiga dari penjumlahan vektor. Metode lain adalah metode jajaran genjang, yaitu dengan menempatkan titik-titik awal vektor-vektor a dan b berimpit, lalu membentuk sebuah jajaran genjang dengan dua buah sisinya a serta b. a + b adalah diagonal jajaran gejang tersebut, yang bertitik awal a dan b tersebut.

a

a a a+b

a

a+b

Metode segitiga E. Vektor dan Sistem Koordinat Suatu vektor disebut vektor satuan bila panjangnya satu. Maka bila a vektor dengan panjang |a| 0 maka a/|a| adalah vektor satuan yang searah dengan a. pandanglah sistem koordinat cartesian berikut:

z+

i yang titik awalnya titik (0,0,0) dan arahnya searah sumbu X positif; j yang titik awalnya titik (0,0,0) dan arahnya searah sumbu Y positif; k yang titik awalnya titik (0,0,0) dan arahnya searah sumbu Z positif. Kita tulis : I = 1i + 0j +0k i = [1,0,0] J = 0i +1j +0k j = [0,1,0] k = 01 + 0j +1k k = [0,0,1]

𝑘

y+

𝑗 𝑖 x+

1. Panjang Vektor Dengan Titik Awal 0 Pandanglah sembarang vektor a yang titik awalnya titik (0,0,0) dan titik ujungnya titik (a1, a2, a3). Jelas menurut metode segitiga bahwa 1 2 3 1 2 3 . Bilangan-bilangan 1 2 3 disebut dengan komponen-komponen dari vektor a dan vektor itu (yang titik awalnya adalah 0) disebut dengan vektor posisi (radius vektor) dari titik ( 1 2 3 ). z+ 𝑘

𝑎1 2

𝑎

𝑎1 𝑎2 𝑎3

𝑎2 2

𝑎3 2

𝑎 𝑎3 𝑘

𝑖

y+

𝑗

𝑎1 𝑖

𝑎2 𝑗

x+ 2. Panjang Vektor dengan Titik Awal Bukan Titik 0 z+ 𝑝

𝑃 𝑢

𝑄 𝑣 y+

0

Misalkan vektor p dengan titik awalnya adalah P (𝑝1 𝑝2 𝑝3 ), dan titik ujungnya adalah Q (𝑞1 𝑞2 𝑞3 ). Jika ditarik vektor-vektor u dan v, berturut-turut vektor posisi P dan Q maka: 𝑢 𝑝1 𝑖 𝑝2 𝑗 𝑝3 𝑘 𝑣 𝑞1 𝑖 𝑞2 𝑗 𝑞3 𝑘 Sedangkan 𝑝 𝑣−𝑢 𝑞1 − 𝑝1 𝑖 𝑞2 − 𝑝2 𝑗 𝑞3 − 𝑝3 𝑘 atau

𝒑

𝒒𝟏 − 𝒑𝟏

𝒒𝟐 − 𝒑𝟐

𝒒𝟑 − 𝒑𝟑

x+ Bila dan

1

2

3

1

2

1 3

2 1

3 2

dan k suatu skalar, maka 3 .

1

1

2

2

3

3

F. Dot Product Bila a dan b vektor-vektor, adalah sudut antara a dan b (0

, maka: Dot product:

Jika a dan b adalah vektor-vektor, dan m merupakan skalar maka berlaku: 1. a.b = b.a 2. a.(b+c) = ab +ac 3. m(a.b) = (ma).b = a.(mb) = (a.b)m 4. bila a = 1 2 3 , b = 1 2 3 maka a.b = 1 1 2 2 3 3 2 2 2 5. a.a = 1 2 2 3 6. a.b = 0 (a 0, b 0) maka a tegak lurus b (ortogonal) contoh: a = 3i +4j + 5k dan b = 2i+6j, tentukan cos ! jawab : a.b = 3.2 + 4.6 + 5.0 = 30 |a| = √ 0 √ 0 dan √ Maka cos

=

3

3

3

3

√5 √4

√2

√2

2√5

G. Cross Product Bila a dan b vektor-vektor,

{

√ 0

= sudut antara a dan b (0

, maka: Cross Product:

}

Arah dari a x b ditentukan berdasarkan aturan tangan kanan atau sekrup putar kanan.

axb b b a

a bxa

Jika a dan b adalah vektor-vektor, dan m merupakan skalar maka berlaku: 1. a x b = -b x a 2. a x (b +c) = (a x b) + (a x c) 3. m(axb) = ma x b = a x mb =(a x b)m 4. i x i = j x j = k x k = 0. i x j = k, j x k = i, k x i = j j x i = -k, k x j =-i, i x k = -j 5. bila a = 1 2 3 = 1 2 3 bila b = 1 2 3 = 1 2 3

= [|

maka a x b

=|

2

3

2

3

| |

3

1

3

1

1

2

3|

1

2

3

| |

1

2

1

2

|]

6. panjang dari a x b yaitu |a x b| = |a||b|sin menyatakan luas jajaran genjang yang dua buah sisinya a dan b. 7. jika a x b = 0 dan a 0, b 0 maka a sejajar dengan b. contoh: a = [2,1,1], b = [-3,6,7], maka a x b adalah… jawab: a x b = [|

| |

−

| | −

|] = [1, -17, 15]

H. Arti Suatu Persamaan Pada sistem koordinat cartesius XYZ suatu bidang dinyatakan sebagai sebuah persamaan yang terdiri dari 3 variabel x,y,z. Bidang nyata misalnya mempunyai mempunyai persamaan derajat pertama f(x,y,z) = Ax + By + Cz + D = 0. Suatu titik (x0,y0,z0,) terletak pada suatu bidang F(x,y,z) = 0 apabila terpenuhi F (x0,y0,z0) = 0 Persamaan yang bebas dari suatu peubah : - Persamaan f(x,y) = 0 menyatakan sebuah permukaan silinder dengan semua garis pelukisnya sejajar sumbu Z - Persamaan f(x,y) = 0 menyatakan sebuah permukaan silinder dengan garis pelukisnya sejajar sumbu Y - Persamaan f(x,y) = 0 menyatakan sebuah permukaan silinder dengan garis pelukisnya sejajar sumbu X Contoh : a. Persamaan 2x + 3y + 5z = 30 menyatakan permukaan, yang merupakan sebuah bidang rata b. Persamaan y2 + z2 = 9 menyatakan suatu permukaan, yang merupakan sebuah silinder sejajar sumbu X. Z

6 Y 10 2x + 3y + 5z = 30 15 X

Persamaan hanya mengandung satu peubah : - Persamaan f(x) = 0 menyatakan himpunan bidang rata, yang sejajar bidang YOZ - Persamaan f(y) = 0 menyatakan himpunan bidang rata, yang sejajar bidang XOZ - Persamaan f(z) = 0 menyatakan himpunan bidang rata, yang sejajar bidang XOY Contoh: a. Persamaan x = 2 menyatakan sebuah bidang rata, yang sejajar bidang YOZ dengan jarak 2 (ke arah sumbu positif). b. Persamaan z2 – 4 = 0 menyatakan dua buah bidang rata z = 2 dan z = -2, yang sejajar bidang XOY berjarak z c. Persamaan y3 – 2y2 – y = 0 menyatakan tiga buah bidang rata y = 0 , y = 4, y = -2 yang sejajar bidang XOZ Z

Z

2

Y

Y

X Z

X

-2

0

4 Y

X

I.

Proyeksi Garis Lengkung Pada Bidang Koordinat Pada garis lengkung c : f(x,y,z) = 0, g(x,y,z) = 0 jika salah satu peubah (misalnya z) dieleminasi, terdapat suatu persamaan baru F(x,y) = 0, merupakan silinder yang garis pelukisnya // sumbu Z serta melalui c, berarti merupakan silinder proyektor dari garis lengkung c di atas, ke bidang XOY. Jadi proyeksinya mempunyai F(x,y) = 0, z = 0 , untuk proyeksi ke bidang YOZ maupun XOZ Kita dapat melakukan hal yang sama pada proyeksi ke bidang XOY. Dimana : - Jika kita mengeliminasi x, maka kita akan mendapatkan proyeksi pada bidany YOZ. - Jika kita mengeliminasi y, maka kita akan mendapatkan proyeksi pada bidany XOZ.

f(x,y) = 0 z =0

Contoh: Tentukan proyeksi garis lengkung (lingkaran) perpotongan bola-bola x2 + y2 + z2 = 1 dan x2 + (y -1)2 + (z – 1)2 = 1 ke bidang XOY. Jawab :  Menentukan silinder proyektor dengan mengeliminasi z dari persamaan (1) dan (2). x2 + y2 + z2 = 1 ….. (1) x2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 1 ……(2) -

x2 + y2 + z2 = 1

-

x2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 1 x2 + (y2 – 2y + 1) + (z2 – 2z + 1) = 1 x2 + y2 – 2y + z2 – 2z = -1

-

x2 + y2 + z2

=1

x2 + y2 – 2y + z2 – 2z = -1 2y + 2z = 2 2z = 2 – 2y z = 1 – y …… (3)



Subtitusikan z ke dalam persamaan (1)



x2 + y2 + z2 = 1 x2 + y2 + (1 – y)2 = 1 x2 + y2 + (y2 – 2y + 1) = 1 x2 + y2 + y2 – 2y = 0 x2 + 2y2 – 2y = 0, merupakan persamaan silinder proyektor.



Jadi proyeksi : x2 + 2y2 – 2y = 0 z =0 yang dapat dijabarkan menjadi :



x2 + 2y2 – 2y = 0 x2 + 2(y2 – y) = 0 x2 + 2{(y – )2 - } = 0 x2 + 2{(y – )2 - } = 0 x2 + 2{(y – )2 = 2x2 + 4{(y – )2 = 1 −

1

Suatu elips dengan pusat (0, 2,0) Latihan Soal 1. Buktikan bahwa segi empat yang titik-titik sudutnya adalah tengah-tengah sisi-sisi suatu segi empat sebarang, merupakan suatu jajaran genjang! 2. Buktikan bahwa bila a = [a1,a2,a3], b = [b1,b2,b3], maka |

1

2

3|

1

2

3

3. Buktikan bahwa segitiga dengan satu sisinya garis tengah lingkaran dan titik yang ketiga sebarang pada busur lingkaran adalah segitiga siku-siku! 4. Gambarkan grafik dari 3x + 4y + 2z = 12 5. Gambarlah grafik persamaan linear 2x + 3y = 6 dalam ruang dimensi 3

6. Berikan analisis persamaan dan buatlah sketsa grafiknya 2 2 7. Tentukan proyeksi garis lengkung x + y = 3z dan 2x – y + z = 0 J. Persamaan Vektoris Bidang Rata Jika di dalam suatu bidang rata tertentu terdapat tiga buah titik (yang tidak segaris), misalkan diketahui tiga titik pada bidang rata V: Titik P (x1,y1,z1), Q(x2,y2,z2), R(x3,y3,z3) PQ = [x2-x1, y2-y1, z2-z1] PR = [x3-x1, y3-y1, z3-z1]

Z R P

Q

X

Y

O X

Untuk setiap titik sebarang X (x,y,z) pada bidang rata V berlaku: PX = PQ + PR (− −

). Terlihat jelas pada gambar di atas bahwa OX = OP + PX

Atau [x,y,z] = [x1,y1,z1]+ [x2-x1, y2-y1, z2-z1]+ [x3-x1, y3-y1, z3-z1] ……………………………………….(1) Persamaan tersebut merupakan persamaan vektoris bidang rata melalui tiga buah titik. Kedua vektor PQ dan PR disebut vektor-vektor arah bidang (setiap dua vektor, yang tidak segaris, pada bidang merupakan vektor-vektor arah bidang tersebut). Sehingga persamaan vektoris bidang rata diketahui melalui satu titik P (x1,y1,z1) dan diketahui kedua vektor arahnya a = [xa,ya,za] dan b = [xb,yb,zb] adalah: [x,y,z] =[x1,y1,z1] + [xa,ya,za]+ [xb,yb,zb] ……………………………………………………………………………(2) Dan persamaan (2) dapat ditulis menjado tiga persamaan: x = x1 + xa + xb

…………………………….. (3)

y = y1 + ya + yb

…………………………….. (4)

z = z 1 + za + zb

…………………………….. (5)

Disebut dengan persamaan parameter bidang rata

Contoh: Tentukan persamaan vektoris dan persamaan parameter bidang rata yang melalui titik (1,1,2), (2,3,5), dan (1,3,7)! Penyelesaian: Persamaan vektoris : [x,y,z] = [x1,y1,z1]+ [x2-x1, y2-y1, z2-z1]+ [x3-x1, y3-y1, z3-z1], sehingga [x,y,z] = [1,1,2]+ [2-1,3-1,5-2]+ [1-1,3-1,7-2] [x,y,z] = [1,1,2]+ [1,2,3]+ [0,2,5] Persamaan parameter : x=1+ y=1+2 +2 z=2+3 +5 K. Persamaan Linier Bidang Rata Jika dan

kita eliminasikan dari persamaan (3) dan (4) di atas, maka diperoleh: ;

;

;

;

;

;

−

Dimana C =

Kemudian, jika dan −

−

{

|

| dimana c

−

1

−

−

1

}−

−

−

−

−

−

−

−

−

0 ……………………………………………….………(6)

diatas kita substitusikan ke persamaan (5), maka akan diperoleh:

−

Dimana: Dan

1

dan

|

|

dan

{

−

1

−

−

−

}

0 atau

0 …………………………….(7.1) −

−

1

− |

0 ………..(7.2)

|

−

Sehingga persamaan (7) menjadi Ax +By +Cz + D = 0 ……………………………………………….....(8) Persamaan (8) tersebut merupakan persamaan linier (umum) dari suatu bidang rata.

L. Vektor Normal dari Bidang Rata V = Ax + By + Cz + D = 0 Terlihat bahwa vektor

|

|

|

|

|

|

|

|

Vektor di atas merupaka vektor yang tegak lurus pada bidang rata yang dibentuk oleh a dan b, dalam hal ini bidang rata V = Ax + By + Cz + D = 0. Dimana n = [A,B,C] disebut dengan vektor normal dari bidang rata V = 0 tersebut. Dimana vektor normal tersebut akan memegang peranan penting di dalam pembahasan suatu bidang rata. Dari persamaan (7) di atas, suatu bidang rata yang diketahui melalui satu titik (x1,y1,z1) denganvektor normalnya [A,B,C] berbentuk: A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0 ……………………………………………………….(9) Catatan 1: Hal-hal khusus dari bidang rata V = Ax + By + Cz + D = 0 adalah: 1. Bila D = 0 maka bidang rata akan melalui titik asal O (0,0,0) dan sebaliknya, setiap bidang rata yang melalui titik asal, persamaannya akan mempunyai harga D = 0. 2. Apabila D

0 persamaan Ax + By + Cz + D = 0 dapat ditulis menjadi −

dan sebut berturut-turut dengan

−

−

−

−

, maka didapatkan persamaan

−

yang mana memotong sumbu X di (p,0,0), sumbu Y di (0,q,0), dan sumbu z di (0,0,r). 3. Bila A = 0, bidang rata sejajar sumbu X Bila B = 0, bidang rata sejajar sumbu Y Bila C = 0, bidang rata sejajar sumbu Z 4. Bila A = B = 0, bidang rata sejajar bidang XOY Bila A = C = 0, bidang rata sejajar bidang XOZ Bila B = C = 0, bidang rata sejajar bidang YOZ Catatan 2: 1. Jika persamaan (7.2)

−

−

−

kita tulis dalam bentuk dot product, maka akan menjadi:

−

−

0

[

−

( −

)

−

][

−

)

−

−

0 …(10)

Atau (r – r1).n = 0, dimana r = vektor posisi sebarang titik pada bidang, r 1 vektor posisi suatu titik tertentu pada bidang, dan n = vektor normal bidang. 2. Tetapi n = a x b, dimana a dan b adalah vektor-vektor pada bidang, sehingga (10) dapat ditulis sebagai (r – r1).(a x b) = 0 atau: − − − | | 0 …………………..(11) Adalah persamaan bidang melalui titik P (x1,y1,z1) dengan vektor arah a = [xa,ya,za] dan b = [xb,yb,zb]. 3. Jika a bertitik awal di P (x1,y1,z1) dan titik ujungnya adalah Q (x2,y2,z2), serta b titik awalnya di P (x1,y1,z1) dan titik ujungnya R (x3,y3,z3), maka bentuk (11) menjadi: − − − − − − | 0 …………………..(12) | − − − Adalah persamaan bidang rata dengan diketahui tiga titik P (x1,y1,z1), Q (x2,y2,z2), dan R (x3,y3,z3) yang ditulis dalam bentuk determinan. 4. Sehingga, empat buah titik (x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3), dan (x4,y4,z4) akan sebidang jika dan hanya jika: − − − − | − −

− − −

|

0 …………………..(13)

Contoh 1: Tentukan persamaan linier bidang rata yang melalui titik (1,1,2), (2,3,5), dan (1,3,7)! Penyelesaian: Persamaan vektoris : [x,y,z] = [x1,y1,z1]+ [x2-x1, y2-y1, z2-z1]+ [x3-x1, y3-y1, z3-z1], sehingga [x,y,z] = [1,1,2]+ [2-1,3-1,5-2]+ [1-1,3-1,7-2] [x,y,z] = [1,1,2]+ [1,2,3]+ [0,2,5] Untuk mengubah persamaan vektoris ke persamaan linier dapat dilakukan dengan cara mencari vektor normal sebagai hasil cross product [1,2,3] x [0,2,5] = [4,-5,2]

Sehingga: A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0 ……. (9) 4(x – 1) + (-5)(y – 1) + 2(z – 2) = 0 4x – 5y + 2z - 3 = 0 Contoh 2: Tentukan titik potong sumbu-sumbu dari persamaan bidang 2x + 3y + 4z = -12 Penyelesaian : Berdasarkan catatan no. 2 didapatkan

−

−

−

dan

, sehingga:

, akan memotong sumbu-sumbu di (6,0,0), (0,4,0), dan (0,0,3) Z

3

4

Y

6

X

Contoh 3: Tentukan persamaan bidang rata melalui tiga titik (2,-1,1), (3,2,-1), dan (-1,3,2) Penyelesaian: − − − − −

|

|

−

− − − | − − − | 0

0 atau 0

Latihan: 1. Tentukan persamaan vektoris, persamaan parameter, dan persamaan linier bidang rata melalui tiga titik: a. (3,4,1), (-1,-2,5), (1,7,1) b. (3,1,4), (2,1,6), (3,2,4) c. (3,2,1), (1,3,2), (1,-2,3)

2. Apakah empat titik berikut sebidang? Jika sebidang, tentukan persamaan liniernya a. (2,1,3), (4,2,1), (-1,-2,4), (0,0,5) 0)

b. (4,2,1), (-1,-2,2), (0,4,-5), ( c. (3,1,2), (4,-2,-1),(1,2,4), (1,2,1)

3. Tentukan persamaan linier bidang rata yang melalui titik-titik P(1,3,-2), Q(3,1,1) dan R(1,2,3) 4. Tentukan titik potong sumbu-sumbu dari persamaan bidang y + z = 4 M. Persamaan Normal Bidang Rata Misalkan n = [A,B,C] adalah vektor normal bidang V = Ax + By + Cz + D = 0,

berturut-

turut adalah sudut antara n dengan sumbu-sumbu koordinat ( yang arahnya ditentukan oleh vektor i, j, dan k). Z n k ã

á

â

j

Y

𝑐𝑜𝑠á

𝑛𝑖 𝑛 𝑖

𝐴 𝑛

𝑐𝑜𝑠â

𝑛𝑗 𝑛 𝑗

𝐵 𝑛

𝑐𝑜𝑠ã

𝑛𝑘 𝑛 𝑘

𝐶 𝑛

… (14)

i X

Atau: [cos , cos , cos ] = [A, B, C]/|n| = n/|n| …….(15), yaitu vektor satuan yang searah dengan n, juga berarti bahwa cos2 + cos2 + cos2 = 1. ́ = [cos , cos , cos ] disebut vektor cosinus dari bidang V, atau boleh dikatakan juga vektor normal yang panjangnya satu. Misalkan p = jarak titik (0,0,0) ke bidang V = 0, dimana p

0 dan X(x,y,z) titik sebarang pada bidang, maka p adalah proyeksi

OX = [x,y,z] pada ́ yaitu: p = OX. ́ = [x,y,z]. [cos , cos , cos ] atau xcos + ycos

+ zcos

=p

…..(16)merupaka persamaan normal (HESSE) dari bidang V = 0. Untuk mengubah bentuk V = Ax + By + Cz + D = 0 ke bentuk normal maka (dari persamaan (14) diperoleh: |n|(xcos + ycos

+ zcos ) =

-D ……………..(17). Kita selalu menghendaki bahwa –D/|n|= p positif. Jadi, jika D negatif, maka

masing-masing ruas persamaan (17) kita bagi +|n| = +√

dan kalau D positif,

masing-masing ruas kita bagi -|n|. Contoh: Carilah bentuk normal dari 3x +6y – 2z +6 = 0 Jawab:

−

D = 6 adalah positif, sedangkan |n| = √ 3

6

2 7

normalnya adalah − 7 − 7

=

. Jadi persamaan

6 7

N. Sudut Antara Dua Bidang Rata Sudut antara vektor V1 = A1x + B1y + C1z + D1 = 0 dan V2 = A2x + B2y + C2z + D2 = 0 adalah sudut antara normal-normal n1 = [A1, B1, C1] dan n2 = [A2, B2, C2] yaitu: : √

:

:

: √

:

:

Contoh : Sudut antara x + y + z + 3 = 0 dan 2x + y + 2z – 11 = 0 adalah ….. Jawab:

Atau cos

=arccos

111 212

5

√1 :1 :1 √2 :1 :2

3 √3

5 3√3

Catatan: -

-

Kedudukan sejajar: bila V1 dan V2 sejajar, maka n1 dan n2 sama (atau berkelipatan), yang berarti bahwa: [A1, B1, C1] = [A2, B2, C2], adalah syarat bidang V1 dan V2 sejajar, ( sebarang 0). Kedudukan tegak lurus: bila V1 tegak lurus V2 maka vektor normalnya akan saling tegak lurus, n1 n2, atau n1.n2 = 0 A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0.

Contoh: 1. Tentukan persamaan bidang rata V2 yang melalui (0,2,1) dan sejajar bidang rata V1 = x + y +5z = 9 !

Jawab: V1 = x + y +5z = 9 memiliki normal [1,1,5], akan berbentuk x + y + z + D 2 = 0 V2 melalui (0,2,1) maka terpenuhi 0 + 1.2 + 5.1 + D2 = 0 7 + D2 = 0 D2 = -7 Sehingga persamaan bidang rata V2 adalah x + y + 5z -7 = 0 2. Tentukan persamaan bidang rata V2 yang tegak lurus bidang rata V1 = x + y + z = 1 serta melalui titik- titik (0,0,0) dan (1,1,0)! Jawab: Misalkan V2 = A2x + B2y + C2z + D = 0 V berarti: A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0 1.A2 + 1.B2 + 1.C2 = 0 A2 + B2 + C2 = 0 C2 = -A2 – B2 ……….(*) Karena V2 melewati (0,0,0), maka D = 0, dan melewati (1,1,0) berarti: A2 + B2 = 0 atau A2 = -B2 ………(**) Dari (*) dan (**) C2 = -A2 – B2 C2 = -(-B2) – B2 C2 = 0 Jadi persamaan V2: A2 + B2 + C2 + D = 0 V2 = -B2x + B2y + 0z + 0 = 0 atau –x +y = 0 O. Jarak Antara Sebuah Titik dan Sebuah Bidang Rata dan Jarak Antara Dua Bidang Sejajar Pandang bidang . Kita akan menentukan jarak antara titik R (x1,y1,z1) ke bidang V1. Selanjutnya kita buat V2 yang melalui R sejajar dengan V1. Jadi vektor normal V1 dan V2 sama. Sedangkan jarak dari titik asal 0 ke V2 adalah p d (tergantung letak V1 dan V2 terhadap titik 0). 𝑉 𝑥𝑐𝑜𝑠á 𝑦𝑐𝑜𝑠â 𝑧𝑐𝑜𝑠ã 𝑝 𝑑 dan karena R (x1,y1,z1) pada V2, sehingga: 𝑥 𝑐𝑜𝑠á 𝑦 𝑐𝑜𝑠â 𝑧 𝑐𝑜𝑠ã 𝑝 𝑑 atau 𝑑 𝑥1 𝑐𝑜𝑠á 𝑦1 𝑐𝑜𝑠â 𝑧1 𝑐𝑜𝑠ã − 𝑝 , adalah jarak titik R (x1,y1,z1) ke bidang 𝑉 𝑥𝑐𝑜𝑠á 𝑦𝑐𝑜𝑠â 𝑧𝑐𝑜𝑠ã 𝑝.

Jika V1 berbentuk Ax +By +Cz + D = 0, maka: 𝑑

𝐴𝑥1 𝐵𝑦1 𝐶𝑧1 𝐷 | | √𝐴2 𝐵 2 𝐶 2

Contoh: 1. Tentukan jarak titik (4,7,3) ke bidang 2x +6y -3z -13 = 0 Jawab: :

| |

√

: :

:

:

|

2 4:6 7: ;3 3;13 2 :6 : ;3

| =|

8:42;9;13 √4:36:9

|

|

28 √49

|

28

| | 7

2. Diketahui V1 = x + y + z -2 = 0 dan V2 = x + y + z – 5 = 0, jika R pada V2, hitunglah jarak tersebut ke V1! Jawab: Ambil sebarang titik R pada V2, x = 0, y = 0, z = 5, sehingga R (0,0,5), maka jarak R ke V1:

|

: √

: :

:

:

|

|

1 :1 :1 5;2 √1 :1 :1

|

3

| | √3

√

P. Berkas Bidang Rata Bidang-bidang V1 = A1x + B1y + C1z + D1 = 0 dan V2 = A2x + B2y + C2z + D2 = 0 berpotongan menurut sebuah garis lurus. Setiap titik pada garis potong tersebut akan memenuhi persamaan 1V1 + 2V2 = 0, (dimana 1 dan 2 parameter). Persamaan di atas merupakan himpunan bidang-bidang yang melalui garis potong V1 dan V2. Bila 1 0 kita dapat menulis menjadi V1 + ( 1/ 2)V2 = 0 atau V1 + V2 = 0 adalah persamaan berkas bidang melalui garis potong bidang-bidang V1 = 0 dan V2 = 0. Jika V1 dan V2 sejajar berkas bidang V1 + V2 = 0 merupakan himpunan bidang-bidang yang sejajar V1 = 0 dan V2 = 0, dapat kita tulis menjadi: A1x + B1y +C1z = k, dimana k = parameter. Contoh: Tentukan persamaan bidang rata V yang melalui titik (0,0,0) serta melalui garis potong bidang-bidang V1 = 2x +3y +24 = 0 dan V2 = x – y +2z =12

Jawab: V dapat dimisalkan berbentuk

: V 1 + V2 = 0 : 2x + 3y + 24 + (x – y + 2z – 12) = 0 …………………(*) Karena V1 melalui (0,0,0), maka terpenuhi: 2.0 + 3.0 + 24 + (0 – 0 + 2.0 – 12) = 0 24 - 12 = 0 = 2 , kemudian substitusikan = 2 ke (*), maka akan diperoleh: 2x + 3y + 24 + 2(x – y + 2z – 12) = 0 2x + 3y + 24 + 2x – 2y + 4z – 24 = 0 4x + y + 4z = 0, bidang yang diminta. Q. Jaringan Bidang Rata Pandang bidang-bidang rata V1 = 0, V2 = 0, dan V3 = 0 yang tidak terletak dalam sebuah berkas yang sama (tidak berpotongan pada satu garis ataupun sejajar satu sama lain). Persamaan V1 + λV2 + ìV3 = 0 merupakan

himpunan bidang-bidang yang melalui titik potong ketiga bidang disamping (pada gambar melalui titik T), dan himpunan bidang-bidang rata itu disebut jaringan bidang. Contoh: Tentukan persamaan bidang rata V yang sejajar bidang U = x + y + z = 1 serta melalui titik potong bidang-bidang V1 = x – 3 = 0, V2 = y – 4 = 0, V3 = z = 0 Jawab: Bidang rata V berbentuk V1 + V2 + V3 = 0 x – 3 + (y – 4) + (z) = 0 x–3+ y-4 + z=0 x + y + z – 3 - 4 = 0 ………(*) karena sejajar dengan U, maka [1,1,1] adalah normal dari V, atau [1, , ] kelipatan dari [1,1,1] sehingga = = 1 substitusikan = = 1 ke (*) sehingga menghasilkan V = x + y + z -7 = 0, yang diminta. Latihan Soal: 1. Tentukan persamaan linier bidang rata yang melalui (-1,2,4) dan sejajar bidang rata 2x 3y-5z +6 = 0

2. Tentukan persamaan linier bidang rata yang sejajar bidang rata 3x – 6y – 2z – 4 = 0 dan berjarak 3 dari titik asal (0,0,0). 3. Tentukan persamaan bidang rata melalui (3,-2,4) dan tegak lurus bidang-bidang rata 7x – 3y + z – 5 = 0 dan 4x – y – z + 9 = 0 4. Tentukan persamaan bidang rata melalui P(2,2,1) dan Q(9,3,6) serta tegak lurus bidang V = 2x + 6y +6z = 9 R. Persamaan Vektoris Garis Lurus P = (x1, y1, z1), Q = (x2, y2, z2), X = (x, y, z) OP = [x1 – 0, y1 – 0, z1 – 0] = [x1, y1, z1] OQ = [x2 – 0, y2 – 0, z2 – 0] = [x2, y2, z2] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [xq – xp, yq – yp, zq – zp]

= [x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1] titik sebarang X (x, y, z) pada g berlaku PX = PQ, (− ) OX = OP + PX = OP + PQ OX = [x1, y1, z1] + [x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1] Adalah persamaan vektoris garis lurus melalui dua titik P dan Q. PQ 0 yang terletak di g, disebut vektor arah garis lurus. Misalkan sebuah garis lurus melalui satu titik P = (x1, y1, z1), dan mempunyai vektor arah a = [a,b, c], maka persamaannya menjadi: [x, y, z] = [x1, y1, z1]+ [a,b,c] x = x1 + a y = y1 + b Persamaan Parameter Garis Lurus z = z1 + c a = x – x1 b = y – y1 c = z – z1 = ;

;

……(1) ;

= ;

;

……(2)

=

;

……(3)

dari pers. (1), (2), dan (3):

persamaan linear garis lurus melalui titik P dengan vektor arah a

;

;

;

;

;

;

Merupakan persamaan linear garis lurus melalui titik P dan Q

Contoh : Tentukan persamaan vektoris dan persamaan linier garis lurus melalui titik (1, 2, 1) dan (-2, 3, 2)!

Jawab : [x,y,z] = [x1, y1, z1] + [x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1] [x,y,z] = [1, 2, 1] + [-2-1, 3-2, 2-1] = [1, 2, 1] + [-3, 1, 1] ;

;

; ;1 ;2;1 ;1 ;3

− −

;

; ;2

; ;1

3;2 ;2

2;1 ;1

1

1

−

−

S. Garis Lurus Sebagai Perpotongan Dua Bidang Rata − Persamaan { adalah persamaan – persamaan garis lurus yang merupakan − perpotongan bidang-bidang − dan − . Tentukan persamaan garis lurus dari perpotongan bidang-bidang tersebut! Jawab : − − a = n1 x n2 [a,b,c] = [A1,B1,C1] x [A2,B2,C2] − | | | − − − − 0 − Titik potong kedua bidang Misalnya XOY, maka z = 0 sehingga − x1 − − x2 − − − |

|

|

−

− | −

|

−

− − − −

Sehingga titik potongnya adalah (1,-3,0) Maka persamaan garis tersebut adalah : [x,y,z] = [1, -3,0] + [-9,-2, 5] T. Kedudukan Dua garis Lurus Jikag1 = [x,y,z] = [x1, y1, z1] + [a1, b1, c1] g2 = [x,y,z] = [x2, y2, z2] + [a2, b2, c2] kasus 1 : g1 //g2 (sejajar) maka [a1, b1, c1] = [a2, b2, c2]

−

− −

kasus 2

: g1 berimpit g2 maka [a1, b1, c1] = [a2, b2, c2] dan [x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1] = [a1, b1, c1] : g1 berpotongan dengan g2 − − | 0 | − − − | 0 Sedangkan bidang yang memuat g1 dan g2 | −

kasus 3

Contoh: −

Tunjukkan bahwa

−

−

berpotongan dengan 0

−

Tentukan titik potong serta bidang yang memuat g1 dan g2 Jawab : g1 = [x,y,z] = [x1, y1, z1] + [a1, b1, c1] = [x,y,z] = [4, -3, -1] + [1, -4, 7] g2 = [x,y,z] = [x2, y2, z2] + [a2, b2, c2] = [x,y,z] = [1, -1, -10] + [2, -3, 8] >> Akan dibuktikan apakah g1 berpotongan dengan g2 : (kasus 3) − − |− | 0 |− | 0 − − − − 0 − − − − − | | | |− | | 0 − − − − − − 0 − − − − 0 Maka terbukti bahwa g1 dan g2 berpotongan. >> Akan dicari bidang yang memuat g1 dan g2 − − − | 0 | |− − | 0 − − − − − | | | | − | | 0 − −

− −

− − −

−

− −

− 0

− − − 0− 0 − 0 …….(bidang yang memuat g1 dan g2) − >> untuk mencari titik potong lihat g1 dan g2 |− − |, maka: −

0

−

……………(1) − 1− 2 ……………(2) − ……………(3) Eliminasi (1) dan (2) − 1−

− 2

−

x4 −

1

−

2 2

−

Substitisikan − − Jadi,

+ − 0 −

ke persamaan (1)

− − − [x,y,z] = [4, -3, -1] + [1, -4, 7] = [4, -3, -1] + [1, -4, 7] = [5, -7, 6], titik potongnya adalah [5,-7,6]

U. Kedudukan Garis Lurus dan Bidang Rata g1 sejajar bidang V g1 tegak lurus bidang V g1 terletak pada bidang V

1. g1 sejajar dengan bidang V jika dan hanya jika vektor arah g1 tegak lurus dengan normal bidang, atau a.n = 0 [a,b,c][A,B,C] = 0 aA + bB + cC = 0 2. g1 tegak lurus bidang V jika dan hanya jika vektor arah g1 = vektor normal bidang rata (atau kelipatannya). a/A = b/B = c/C atau a. a >> [A,B,C] = [a,b,c] 3. g1 terletak seluruhnya pada bidang V jika terpenuhi a.n = 0 contoh : Buktikan bahwa g :

− −

sejajar bidang rata V = x + y + z + 7 = 0

Jawab : g // V jika dan hanya jika a.n = 0 [2,-3,1].[1,1,1] = [2 – 3 + 1] = 0, maka terbukti bahwa g sejajar V.

V. Jarak Antara Dua Garis Lurus g1 dan g2 Tentukan jarak garis lurus g1 :

;2 2

;2 3

1

dan g2 : 2

;4

;8

3

1

Jawab : g1 : [x,y,z] = [2,0,2] + [2,3,1] g2 : [x,y,z] = [0,4,8] + [2,3,1] g1//g2 karena [a1,b1,c1] = [a2,b2,c2] 1. Pilih titik yang ada di g1, titik P (2,0,2) 2. Buat bidang yang melalui (2,0,2) tegak lurus g2 a(x – x1) +b(y – y1) + c(z – z1) =0 2(x – 2) + 3(y – 0) + 1 (z – 2) = 0 2x – 4 + 3y – 0 + z – 2 = 0 2x + 3y + z – 6 = 0

3. Mencari titik Q, yaitu titi tembus g2 pada W g2 dapat ditulis dalam persamaan parameter x=2 y = 4 +3 z=8+ substitusikan persamaan parameter tersebut ke persamaan 2x + 3y + z – 6 = 0, maka 2 (2 ) + 3(4+3 ) + (8+ ) – 6 = 0 4 + 12 + 9 + 8 + – 6 = 0 14 + 14 = 0 14 = -14 = -1 Substitusi kembali = -1 ke persamaan parameter x=2 maka x = 2(-1) = -2 y = 4 +3 maka y = 4 + 3(-1) = 1 z=8+ maka z = 8 -1 = 7 sehingga Q (-2,1,7) 4. Panjang PQ adalah jarak g1 ke g2 PQ = √

−

PQ = √ − −

− −0

− −

PQ =√ PQ = √ W. Perpotongan Tiga Bidang Rata

Pandang tiga bidang rata V1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 V2 : A2x + B2y + C2z + D2 = 0 V3 : A3x + B3y + C3z + D3 = 0 Ketentuan : |

|

|

|

0 ……………….(1)

|

|

0 …………………………………..(2)

Terdapat tiga kemungkinan kedudukan 1. Hanya mempunyai satu titik persekutuan (membentuk jaringan bidang), jika tidak memenuhi (1) dan (2). 2. Mempunyai satu garis lurus (membentuk berkas bidang), jika memenuhi (1) dan (2). 3. Membentik prisma sisi tiga, jika memenuhi (1) dan persamaan (2) tidak terpenuhi. Contoh : Tunjukkan bahwa bidang – bidang x + y + z + 3 = 0, 3x + y – 2z + 2 = 0, dan 2x + 4y + 7z -7 = 0 membentuk prisma sisi tiga! Jawab : Persamaan (1) |

|

|

−

|

− |

|

− |

|

0 |

|

0

− Persamaan (2) |

−

0

|

|

− − −

− − − 0 0 0 ……………………….(persamaan 1 terpenuhi)

|

0 | −

|

|

|

0

−

0

− 0 0 0 0 ……………………………………(persamaan 2 tidak terpenuhi) Maka ketiga persamaan bbidang tersebut membentuk prisma sisi tiga. Latihan: 1. Tentukan persamaan bidang rata V yang melalui titik (0,0,0) serta melalui garis potong bidang : V1 = 3x + 2y + 12 = 0 dan V2 = x + y - 3z = 10 2. Tentukan persamaan bidang rata V yang sejajar bidang U = x + y + z =1serta melalui titik potong bidang-bidang V1 = x + 3 = 0, V2 = y – 2 = 0, V3 = z = 0 3. Tunjukkan bahwa kedua garis lurus berikut berpotongan! Tentukan bidang yang memuat kedua garis berikut, serta titik potong kedua garis berikut! −

0

−

dan

−

−

4. Tunjukkan bahwa kedua garis ini sejajar, dan hitunglah jaraknya! −

−

dan

−

5. Tentukanpersamaan vektoris dan persamaan linear garis lurus melalui (1,-3,2) dan (4,1,0) X. Persamaan Bola 2 Persamaan umum bola : 2 Secara simbolis ditulis dengan S = 0 1

Pusat bola

: (− 2

Jari-jari bola

: √4

1

Catatan : Pada persamaan 1

terhadap 4

2

1 4

1

1 4

2 2

1 4

2

0

1

−2 2

2

−2 ) 1

2

4

2

−

2

2

−

antara lain yaitu:

1. Bila > 0 : bola disebut bola sejati 2. Bila = 0 : bola berjari-jari nol (titik) 3. Bila < 0 : bola merupakan bola khayal.

0 terdapat tiga kemungkinan

Contoh: 1. Tentukan jari-jari dan pusat bola dari 2. Tentukan jari-jari dan pusat bola dari Jawab: 1. A = 8, B = -10, C = -6, 1

1

1

−2

Pusat = (− 2 1

2. A = 2,

− 2 )= (− 2 1

2

Jari – jari = √4

1

2

4

1 4

B = 2, 1

1

−2

Pusat = (− 2 1

Jari – jari = √4

−

2

2

2

2

2

1

− 2 )= (− 2 2

4

1 4

2

−

− 0 − 0

0 0

D=1 1

1

− 2 − 0 − 2 − )) = (-4, 5, 3) 1

1

2

= √4

C = 4, 1

1

2

2

2

4

− 0

2

1 4

−

2

−

=√

=7

D = 20 1

1

−2

−2

1

1

2

=√4

)= (-1, -1, -2) 1

2

4

2

4

− 0 =√−

= khayal

Y. Bola dan Bidang Rata Bola S = 0 berjari-jari r, dengan pusat M. Bidang V = 0, dengan d = jarak pusat M ke bidang. 1. V memotong bola, jika d < r, perpotongannya sebuah lingkaran. 2. V menyinggung bola, jika d = r, perpotongannya sebuah titik (bidang menyinggung bola). Bidang singgung di N (x1, y1, z1) pada bola 2 2 S= 2 0 1

1

1

−2

Pusat M (− 2

−2 )

Titik singgung N (x1, y1, z1) Jika bola (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2, maka bidang singgungnya adalah (x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) + (z1 – c)(z – c) = r2 Jika bola x2 + y2 + z2 = r2, maka bidang singgungnya adalah x1x +y1y + z1z = r2 3. V tidak memotong bola, jika d > r Contoh: 2 2 Bagaimana kedudukan bola S = 2 − 0 dan bidang 0. Bila berpotongan, tentukan jari-jari lingkaran perpotongannya! Jawab: 1

1

1

−2

Pusat Bola : (− 2 1

Jari – jari bola : √4

2

1

− 2 )= (− 2 1

2

4

1 4

d = jarak M ke bidang V = 0 yaitu: d=|

1 ;1 : 2 ;2 : 2 ;2 √1 :2 :2

|

2

−

1

−2

1

2

−2 = √4

1

)) = (-1, -2, -2) 1 4

2

1 4

2

=√

=5

ternyata d < r, maka bidang memotong bola, dan perpotongannya sebuah lingkaran. S=0 M 3 N

NP = √

5 P

Garis g

V=0

−

(phytagoras)