Úloha č. 2
VÁŽENÍ NA ANALYTICKÝCH VAHÁCH A MĚŘENÍ HUSTOTY ÚKOL MĚŘENÍ: 1. Určete hustotu pevné látky ze změřeného objemu tělesa a jeho hmotnosti. Vypočtěte nejistotu hustoty. Při vážení použijte Gaussovy metody a lineární interpolace. 2. Určete hustotu pevné látky hydrostaticky. 3. Určete hustotu kapaliny pyknometrem. Važte na poloautomatických vahách. 4. Z výsledků měření podle bodu 1 vypočtěte korekční činitel vah pro vážení na levé i pravé straně vah.
1. TEORETICKÝ ÚVOD 1.1 Hustota Hustota ρ homogenní látky je definována jako podíl její hmotnosti m a jejího objemu V: m kg m −3 . ρ= (1) V Hustota všech látek závisí na teplotě a tlaku. U látek pevných a kapalných se uvažuje pouze vliv teploty, protože vliv tlaku je vzhledem k malé stlačitelnosti těchto látek zanedbatelný. K určení hustoty látky podle vztahu (1) je potřeba stanovit její hmotnost M a objem V. Hmotnost určujeme vždy vážením. Objem můžeme u pravidelných geometrických těles určit přímo výpočtem ze změřených rozměrů. U těles nepravidelných tvarů a u kapalin je přímé měření jejich objemů kalibrovanými nádobami málo přesné a tudíž se častěji užívá metody nepřímé, která spočívá v tom, že určujeme hmotnost stejného objemu kapaliny známé hustoty. Stejnost objemů se u pevných látek realizuje hydrostaticky z Archimédova zákona, u sypkých látek a kapalin pyknometrem. Pyknometr je skleněná nádobka upravená tak, že do ní můžeme uzavřít při konstantní teplotě vždy stejný objem kapaliny.
1.2 Vážení Pro měření hmotnosti využíváme tíhových vlastností hmotných těles. Podle Newtonova gravitačního zákona je síla, kterou Země přitahuje různá tělesa v témž místě svého povrchu, úměrná jejich hmotnostem m MZ = gm=G (2) F =κ r2 kde je MZ m r
κ g
-
hmotnost Země, hmotnost tělesa, vzdálenost od hmotného středu Země, univerzální gravitační konstanta, tíhové zrychlení.
54
Měřicí metody založené na tomto principu nazýváme vážení. Vážení je v podstatě srovnávací metoda a váhami srovnáváme účinek tíhy tělesa, jehož hmotnost chceme určit, se stejně velkým účinkem tíhy závaží, jejichž hmotnosti známe. Analytické váhy jsou přesné pákové váhy, jejichž fyzikální podstatou je dvojzvratná rovnoramenná páka, zvaná vahadlo. Vahadlo je otáčivé kolem osy, tvořené ostrým ocelovým břitem, spočívajícím na ocelovém nebo achátovém lůžku. Na obou ramenech vahadla jsou ve stejných vzdálenostech od středního břitu další dva ostré břity, na nichž spočívají lůžka nesoucí závěsy misek. Všechny tři břity jsou rovnoběžné a leží v téže rovině (obr. 1). Aby se šetřily břity, jsou váhy opatřeny aretací. Dále jsou váhy chráněny skleněnou skříňkou, stojící na stavěcích šroubech, kterými se nastavují pomocí zabudované libely do vodorovné polohy. Tlumené analytické váhy jsou opatřeny vzduchovým tlumením. Pod břitem každé misky jsou zavěšeny souosé válce, které při pohybu vahadla vlivem vnitřního tření vzduchu utlumí kmitavý pohyb vahadla během jednoho kyvu. Vedle dvoumiskových vah jsou v laboratoři také automatické váhy jednomiskové. U těchto vah je pravá část vahadla upravena tak, že tvoří závaží, které odpovídá tíze misky plus maximální zatížení. Závěs misky je opatřen jednoduše ovladatelným mechanickým zařízením, které umožňuje zavěšování nebo snímání různě velkých závaží upravených do prstencovité formy. Při vážení se předmět klade na misku vah a ze závěsu misky se mechanicky zdvihne (otáčením příslušných knoflíků) tolik závaží, až jsou váhy v rovnováze. Zdvižená závaží odpovídají tíze předmětu. Výhodou těchto vah je, že pracují při stále stejném zatížení. l1
l2
l1
a
G1
T
a
H
α
α l2
H
G2 Obr. 2 Síly působící na vahadlo
Obr. 1 Schéma vahadla analytických vah T - těžiště, H - tíha vahadla
Základem teorie vážení na analytických vahách je podmínka rovnováhy na páce a kompenzační nulová metoda. Aby bylo vahadlo v rovnováze, musí být součet momentů všech sil vzhledem k ose otáčení roven nule. Všechny síly působící na vahadlo můžeme zahrnout r r r do tří výslednic a to síly působící v břitech misek G1 , G2 a v těžišti vahadla H (obr. 2). Polor r r hové vektory působišť sil k bodu na ose otáčení jsou l1 , l2 a a . Vahadlo se účinkem momentů sil ustálí v rovnovážné poloze, která svírá s vodorovnou rovinou úhel α. Podmínku rovnováhy zapíšeme pro misky a vahadlo o hmotnostech m1, m2 a mH ve tvaru: G1l1 cosα + H a sin α = G2l 2 cosα
čili
m1 g l1 cos α + mH g a sin α = m2 g l 2 cos α .
55
(3) (3a)
Klidová (ustálená) poloha nezatížených vah se nazývá nulová poloha, ustálená poloha zatížených vah se nazývá rovnovážná poloha. Po zatížení vah předmětem hmotnosti m a vyvážením vah závažím Z tak, že splývají rovnovážná a nulová poloha, platí: (m + m1 ) g l1 cosα + mH g a sin α = ( Z + m2 ) g l 2 cosα . (4) Porovnáním vztahů (3a) a (4) dostaneme m l1 = Z l 2 .
(5)
Pro správné váhy požadujeme, aby za uvedených podmínek platilo m = Z, proto i délky ramen vahadla musí být přesně stejné: l1 = l 2.
(6)
U dobrých analytických vah požadujeme, aby byly správné, přesné a citlivé. Správné váhy jsou přesně rovnoramenné. Za přesné váhy považujeme takové, které se při stejném zatížení ustálí vždy ve stejné poloze. Na to má vliv především vzdálenost těžiště vahadla od osy otáčení (se zkracováním vzdálenosti a klesá stabilita rovnovážné polohy) a vnější podmínky v průběhu vážení (teplota, prašnost, vlhkost). Citlivé váhy jsou takové, u kterých malá změna zatížení vyvolá velkou změnu výchylky z rovnovážné polohy. Citlivost C je tedy číselně rovna počtu dílků, o který se posune rovnovážná poloha jednotkovým přívažkem: ∆n C= , (7) ∆Z kde je ∆n - změna rovnovážné polohy v dílkách stupnice jazýčků vah,
∆Z - přívažek v miligramech, který změnu způsobil. Citlivost je důležitým parametrem vah, protože určuje přesnost vážení. Citlivost vah závisí na rozměrech i hmotnosti vahadla a na zatížení (zatížením se ramena vahadla poněkud prohýbají). Každé vážení na analytických vahách je zatíženo soustavnými chybami způsobenými nesprávností vah a vztlakem vzduchu. Závaží jsou správná, pokud jsou nová. Používaná závaží budeme v této úloze považovat za správná.
2.
PRINCIP METODY
2.1 Stanovení hustoty pevné látky ze změřeného objemu tělesa U pravidelných geometrických těles (krychle, válec apod.) stanovíme jejich objem V dostatečně přesně měřením jejich rozměrů (s relativní chybou řádově 10-3). Hmotnost tělesa m musíme určit absolutně, např. Gaussovou metodou dvojího vážení a korekcí na vztlak vzduchu: m=
kde je
1 2
Z ρv , ρZ - závaží vyvažující těleso na levé, případně na pravé misce,
( Z1 + Z 2 ) + V −
Z1 , Z2
Z1 + Z 2 , 2 ρZ - hustota závaží, ρv - hustota vzduchu. Hustotu takových těles určíme ze vztahu (1).
Z
=
56
(8)
2.2 Další metody stanovení hustoty V obecném postupu stanovení hustoty měřené látky nepřímou metodou vyvážíme na vahách látku objemu V závažím Z a stejně velký objem V kapaliny o známé hustotě závažím z. Pro rovnováhu na pákových vahách s ohledem na vztlak vzduchu pro obě vážení platí: Z V ( ρ − ρ v ) l1 = ( ρZ − ρv ) l 2 ,
ρZ
V ( ρ k − ρ v ) l1 =
kde ρ
z
ρZ
( ρZ − ρv ) l 2 ,
(9)
- hledaná hustota,
ρκ - hustota srovnávací kapaliny známé hustoty při dané teplotě, ρZ - hustota závaží, ρv - hustota vzduchu. Pro neznámou hustotu ρ měřené látky získáme ze vztahu (9)
Z (10) ( ρk − ρv ) + ρ v . z Ze vztahu (10) vycházejí všechny nepřímé metody stanovení hustoty látek. Uvedený vztah (10) platí i při vážení na nerovnoramenných vahách, pokud se obě vážení provádí na stejné straně vah.
ρ=
2.2.1 Stanovení hustoty pevných látek hydrostaticky Metoda je používána pro tělesa nepravidelných tvarů a je založena na vážení tělesa na vzduchu a v kapalině známé hustoty. Předmět vyvážíme na vzduchu závažím Z1. Poté jej zavěsíme pod břit téže misky tak, aby byl volně pohyblivý a zcela ponořený v kapalině známé hustoty ρk , a vyvážíme jej závažím Z3. Měřenou hustotu vypočteme ze vztahu:
ρ=
Z1 Z1 − Z 3
( ρk − ρ v ) + ρ v .
(11)
2.2.2 Stanovení hustoty kapalin pyknometricky Vyvážíme prázdný pyknometr závažím Z4, pak jej naplníme kapalinou známé hustoty ρk a vyvážíme závažím Z5. Poté naplníme pyknometr měřenou kapalinou a vyvážíme závažím Z6. Hustotu měřené kapaliny získáme ze vztahu: Z − Z4 ρ= 6 (12) ( ρk − ρ v ) + ρ v . Z5 − Z 4 Teploty měřené a srovnávací kapaliny se nesmějí lišit více než o 2 °C.
2.3 Gaussova metoda vážení a korekční činitel vah Opravu na nerovnoramennost vah provádíme dvojím vážením, jež je principem: a) Gaussovy metody dvojího vážení (využívá se při vážení jediného tělesa), vztah (16),
57
b) metody korekčního činitele (využívá se při vážení většího počtu těles, neboť při znalosti korekčního činitele stačí ke správnému vážení vážit těleso pouze na jedné straně vah), vztahy (13) až (15). Pro nesprávné váhy platí z podmínky rovnováhy (5) vztah pro vážení předmětu na levé misce: l m = 2 Z1 = k21 Z1 . (13) l1 Vyvážíme-li poté stejný předmět tentokrát na pravé misce dostaneme:
m=
l1 Z 2 = k12 Z 2 , l2
(14)
kde je k21 (k12 ) - korekční činitel (udává poměr délek ramen) vah pro vážení předmětu na levé (pravé) straně vah. Ze vztahů (13) a (14) plyne: k 21 =
Z 2 1 Z1 + Z 2 =& . Z1 2 Z1
1 = k12
(15)
Ze vztahů (13) a (14) můžeme odvodit také hmotnost váženého tělesa z dvojího vážení na levé a na pravé straně vah:
m = Z1 Z 2 =&
Z1 + Z 2 =Z. 2
(16)
2.3.1 Korekce na vztlak vzduchu (redukce na vakuum) Vážení se provádí na vzduchu za atmosférického tlaku. Podle Archimedova zákona jsou tělesa i závaží nadlehčována silami rovnými tíze jimi vytlačeného vzduchu. Podmínka rovnováhy na správných vahách má tudíž tvar: m − V ρ v = Z − VZ ρ v , a po dosazení m−
m
ρ
Z
m
ρ
ρv = Z −
kde je V, (VZ) ρ, ( ρZ )
ρv
V=
, případně VZ = Z
ρZ
(17) Z
ρZ
,
ρv ,
(18)
- objem tělesa (závaží), - hustota tělesa (závaží), - hustota vzduchu, - aritmetický průměr Z1, Z2.
Můžeme-li objem tělesa určit a známe-li hustotu závaží, pak pro výpočet hmotnosti použijeme vztah Z m = Z + V − ρv = Z + ∆ m , ρ Z
(19)
kde ∆m značí korekci na vztlak vzduchu.
58
3. POSTUP MĚŘENÍ A VYHODNOCENÍ Před vážením se přesvědčíme, že váhy jsou ve vodorovné poloze. Aretaci uvolňujeme zvolna, aby se misky nerozkývaly. Váhy zatěžujeme zásadně zaaretované. Pokud nemáme těleso vyvážené tak, že jazýček vahadla ukazuje v rozsahu stupnice, neuvolňujeme aretaci úplně. Závažím manipulujeme pouze pinzetou a vkládáme je ihned na příslušné místo do sádky. K vyvažování miligramů používáme jezdce. Přívažek způsobený jezdcem je udán v miligramech číslem dílku pravítka vahadla, na kterém jezdec leží. Dílky stupnice jazýčku vahadla si označíme tak, aby byly všechny výchylky kladné. 3.1. Při stanovení hustoty pevné látky pokládáme její teplotu za shodnou s teplotou místnosti. Rozměry pevného tělesa změříme posuvným měřítkem a mikrometrem. Vážení provádíme na tlumených analytických vahách interpolační metodou. Prázdné váhy odaretujeme a vyčkáme ustálení jazýčku v rozsahu ± 2 dílků od středu stupnice. Do tabulky zapíšeme nulovou polohu a0. Předmět položíme na levou misku, vyvážíme jej závažím Z´ a zapíšeme rovnovážnou polohu a´. Poté přidáme jezdcem přívažek (nejlépe 2 - 5 mg) tak, aby jazýček vah přešel na opačnou stranu nulové polohy a0 oproti rovnovážné poloze a´, zapíšeme novou rovnovážnou polohu a˝ a hodnotu závaží Z˝. Stejným postupem zvážíme předmět na pravé misce. Všechny údaje získané vážením zpracujeme lineární interpolací (viz kap. III. článek 2a). Velikost závaží Z, které by přivedlo vahadlo do rovnovážné polohy shodné s nulovou polohou, určíme pomocí interpolačního vztahu a − a′ Z = Z ′ + (Z ′′ − Z ′) 0 . (20) a ′′ − a ′ Hmotnost tělesa m s korekcí na vztlak vzduchu vypočteme ze vztahu m=
1 2
( Z1 + Z 2 ) + V −
Z ρv . ρZ
(21)
Hustotu tělesa určíme ze vztahu (1). Hustota závaží ρZ = 8400 kg m-3, hustota vzduchu ρv = 1,2 kg m-3. 3.2. Předmět vyvážený v úloze 3.1 na vzduchu (Z1) zvážíme v kapalině známé hustoty tak, že jej zavěsíme pod břit téže misky, přes misku umístíme můstek s kádinkou naplněnou destilovanou vodou (ρk určíme pro změřenou teplotu vody z tabulek) tak, aby bylo těleso zcela ponořeno a nedotýkalo se stěn kádinky a vyvážíme je závažím Z3. Hustotu vypočteme ze vztahu (11). 3.3. Zkontrolujeme rtuťovým teploměrem, zda teplota vzorku kapaliny a referenční kapaliny (destilovaná voda) se neliší. Pyknometr vymytý vodou a alkoholem vysušíme vývěvou a zvážíme na poloautomatických vahách - Z4 (viz tabulka). Pak jej naplníme destilovanou vodou asi do poloviny hrdla a uzavřeme provrtanou zátkou tak, že přebytečnou kapalinu nad kapilárou odsajeme filtračním papírem. Uvnitř pyknometru nesmí zůstat bublina. Zcela naplněný a osušený pyknometr zvážíme - Z5. Potřetí zvážíme pyknometr naplněný vzorkem - Z6. Hustotu vzorku kapaliny vypočteme ze vztahu (12). 3.4. K výpočtu korekčního činitele vah (vztah 15) využijeme výsledků vážení pevného tělesa v úloze 3.1.
59
Tabulka naměřených hodnot
nulová poloha a0 dílky
č. měření
1 2 3 4 5 6
rovnovážná poloha a i′ dílky
a i′′ dílky
Z i′ g
Z i′′ g
Zi g
uZi g
těleso na levé misce Z1 těleso na pravé misce Z2 těleso ve vodě vlevo Z3 prázdný pyknometr Z4 pyknometr s vodou Z5 pyknometr se vzorkem Z6
4. PŘESNOST VÝSLEDKŮ Přesnost měření hustoty závisí na přesnosti vážení a na přesnosti určení objemu. Protože objem lze stanovit s omezenou přesností, běžně o dva i více řádů menší než je přesnost vážení, je hustota jednou z fyzikálních veličin, kterou lze běžnými měřicími metodami stanovit jen s malou přesností. Při stanovení standardní nejistoty hustoty podle vztahu (1) dostaneme pro nejistotu: u ρ = ρ ur2, m + ur2,V ,
(22)
um u a ur , V = V . (23) m V Relativní standardní nejistotu objemu určíme pro daný váleček ze standardní nejistoty objemu zadané pro každý váleček v laboratoři. Stanovení hmotnosti se ve všech případech provádí pouze jedním měřením. Proto zde můžeme vypočítat pouze standardní nejistotu typu B. Pokládáme-li použitou sádku závaží za správnou, musíme ještě zohlednit standardní nejistotu danou čtením na stupnici jazýčku vah. Pokud je nejistota čtení ua = ± 0,05 dílků a přívažek Z i′′ − Z i′ = ∆ Z i nepřesáhne hodnotu 5 mg, pak lze odvodit, že pro Z1, Z2, Z3 je uZi = 0,003 g. S ohledem na vztah (8) je pak kde
ur , m =
1 uZ21 + uZ22 . (24) 2 Pro hydrostatické stanovení hustoty pevné látky vyjdeme ze vztahu (11) a pro absolutní standardní nejistotu hustoty za předpokladu, že tabelované hodnoty ρk a ρv jsou přesné, odvodíme vztah: um =
uρ =
uZi
( Z1 − Z3 )
2
Z12 + Z 32
( ρ k − ρv ) .
(25)
Nejistota stanovení hustoty vzorku kapaliny se odvodí ze vztahu (12): 60
uρ =
uZ j
( Z5 − Z 4 )
2
( Z6 − Z5 )
2
+ ( Z 4 − Z 6 ) + ( Z5 − Z 4 ) 2
2
( ρk − ρv ) ,
(26)
přičemž nejistota uZ j je pro změřené hodnoty Z4, Z5, Z6 dána citlivostí použitých analytických vah a činí 0,001 g.
61
