UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ katedra fyziky
Základy fyziky I Sbírka příkladů pro posluchače prezenčního studia DFJP Univerzity Pardubice (studijní obory DMML, TŘD, MMLS, AID)
RNDr. Jan Zajíc, CSc., Mgr. Jana Kašparová, 2003
I. M e c h a n i k a h m o t n é h o b o d u a soustav hmotných bodů 1. Cyklista stoupá na horskou prémii rychlostí 20 km.h−1. V následujícím stejně dlouhém sjezdu má rychlost 80 km.h−1. Určete jeho průměrnou rychlost na celé dráze. (vp = 32 km.h−1) 2. První třetinu dráhy jede vlak rychlostí 40 km.h−1, druhou pak 60 km.h−1 a poslední 100 km.h−1. Jaká je průměrná rychlost vlaku za celou cestu? (vp = 58 km.h−1) 3. Těleso urazilo jistý úsek své dráhy rychlostí stálé velikosti v. Pak začalo brzdit a se stálým zpomalením urazilo následující úsek dvakrát delší než první za čas pětkrát delší, než jaký potřebovalo na překonání úseku prvního. Určete průměrnou rychlost tělesa (vyjádřete ji pomocí rychlosti v). (vp = 0,5 v) 4. Ze dvou míst vzdálených 48 km vyrazily současně proti sobě motocykl rychlostí 50 km.h-1 a auto rychlostí 70 km.h-1. Kdy a kde se potkají? (Potkají se za 24 minut 28 km od místa, z něhož vyjelo auto.) 5. Z místa A vyjede v 7 hodin rychlík rychlostí 80 km.h-1 do místa B vzdáleného 520 km. Z místa B pak v 9 hodin vyjede do místa A expres rychlostí 100 km.h-1. Kdy a kde se oba vlaky potkají? (Vlaky se potkají v 11 hodin, a to 320 km od místa A.)
6. Auto jedoucí rychlostí 90 km.h-1 předjíždí druhé auto, jehož rychlost je 79,2 km.h-1. Jak dlouho mu bude předjíždění trvat a jakou vzdálenost přitom ujede, když předjížděcí manévr začíná 15 m za a končí 15 m před předjížděným autem? (t = 10 s ; s = 250 m) 7. Při stejném pohonu se loďka pohybuje proti proudu řeky rychlostí 2,4 km.h-1, po proudu řeky pak rychlostí 6 km.h-1. Určete rychlost loďky vzhledem k vodě. (v = 4,2 km.h-1) 8. Plavec plave kolmo ke směru proudu řeky rychlostí 1,4 m.s-1, rychlost proudu jsou 3 m.s-1. O kolik metrů bude plavec unesen proudem, je-li řeka široká 350 m ? (d = 750 m) 9. Po řece pluje motorový člun rychlostí 36 km.h-1, rychlost proudu je 5 m.s-1. Pod jakým úhlem musí plout člun proti proudu, aby přistál přesně naproti místu, z něhož vyplul, a jak dlouho mu cesta potrvá, je-li řeka široká 2 km ? (ϕ = 30o - vzhledem k přímému směru ; t = 230 s) 10. Letadlo letí rychlostí 110 m.s-1. Jakým směrem musí mířit podélná osa letounu, má-li letět přesně na sever a fouká-li jihovýchodní vítr rychlostí 20 m.s-1 ? Jaká bude výsledná rychlost letounu? (ϕ = 7,4o na východ ; v = 123 m.s-1) 11. Podél železniční trati vede silnice. Chodce jdoucího rychlostí 7,5 km.h-1 minul rychlík, jenž jel proti němu, za 11 s. Cyklista jedoucí stejným směrem jako vlak rychlostí 45 km.h-1 byl předjet za 18 s. Určete rychlost a délku rychlíku. (v = 127 km.h-1 ; l = 412 m) 12. Sportovec překoná 18 km úsek za 1,5 hodiny. První část jde rychlostí 2 m.s-1, druhou pak běží (s1 = 5 040 m ; s2 = 12 960 m) rychlostí 4,5 m.s-1. Vypočítejte délku obou částí cesty. 13. Vlak se rozjíždí z klidu se stálým zrychlením 0,5 m.s-2. Za jakou dobu dosáhne rychlosti 90 km.h-1 a jakou dráhu přitom ujede? (t = 50 s ; s = 625 m) 14. Jak velké je zrychlení přímočarého pohybu tělesa, jež bylo původně v klidu, když právě v šesté sekundě od začátku pohybu urazilo dráhu 10 m ? (a = 1,82 m.s-2) 15. Těleso se pohybuje z klidu se stálým zrychlením 2 m.s-2. V určitém místě má rychlost 20 m.s-1. Jaké rychlosti dosáhne o 200 m dále? (v2 = 34,6 m.s-1) 16. Auto se rozjíždí se stálým zrychlením a projede dráhu mezi body A a B, jejichž vzdálenost je 30 m, za 2 s. V bodě B má rychlost 16 m.s-1. Určete zrychlení auta a jeho rychlost v bodě A. (a = 1 m.s-2 ; vA = 14 m.s-1) 17. Předpokládejme, že vlak při rozjezdu zvyšuje svoji rychlost rovnoměrně, přičemž urazí vzdálenost mezi desátým a dvacátým metrem své dráhy za 3,5 s. Jakou dráhu celkem od rozjezdu ujede a jak dlouho to potrvá, než získá rychlost 120 km.h-1 ? (s = 1 980 m ; t = 119 s) 18. Kolo jede rychlostí 6 m.s-1. Na začátku měřeného úseku začne cyklista zrychlovat tak, že urazí jeho délku 40 m za 5 s. Jaké bylo zrychlení pohybu? (a = 0,8 m.s-2) 19. Rychlík jedoucí rychlostí 140 km.h-1 zastavil na dráze 1 200 m. Určete zrychlení pohybu vlaku a čas potřebný k jeho zastavení. (a = 0,63 m.s-2 ; t = 62 s) 20. Rozjetý vlak začal brzdit a se stálým zrychlením velikosti 0,9 m.s-2 zastavil na dráze 600 m. Jaká byla původní rychlost vlaku před brzděním? (v = 118 km.h-1)
2
21. Auto má v určitém místě dráhy rychlost 60 km.h-1 a o 100 m dále už jen 40 km.h-1. Jaké je zrychlení auta, předpokládáme-li, že jeho pohyb je rovnoměrně zpomalený? (a = 0,77 m.s-2) 22. Střela pronikla do dřeva do hloubky 35 cm. Jakou měla rychlost, jestliže její pohyb ve dřevě trval 0,001 s ? Předpokládejte, že se jednalo o pohyb rovnoměrně zpomalený. (v = 700 m.s-1) 23. Auto se rozjíždí z klidu se stálým zrychlením a po projetí dráhy 50 m dosáhne rychlosti v = 12 m.s-1. Jak dlouho trvá, než na uvedené dráze 50 m urazí posledních 10 metrů ? (∆t = 0,88 s) 24. Cyklista, který jede rychlostí 5 m.s-1, ztrojnásobí tuto rychlost za 20 s. Jaké je jeho zrychlení a jakou dráhu přitom za tuto dobu ujede? (a = 0,5 m.s-2 ; s = 200 m) 25. Závislost dráhy přímočaře se pohybujícího tělesa na čase je popsána rovnicí s = 0,25.t 2 + 0,5.t - 10 ; [s] = m ; [t] = s . Vypočítejte průměrnou rychlost tělesa, jíž dosáhne v intervalu mezi koncem páté a začátkem jedenácté sekundy od okamžiku, kdy jsme zmáčkli stopky a začali sledovat jeho pohyb. (vp = 4,25 m.s-1) 26. Zastaví-li vlak jedoucí rychlostí 90 km.h-1 na dráze 400 m dlouhé, z jaké rychlosti jej lze potom zabrzdit (při stejných podmínkách rovnoměrného poklesu rychlosti) na dráze 60 m ? (v = 34,9 km.h-1) 27. Dvě tělesa vzdálená 100 m se pohybují proti sobě. První stálou rychlostí 3 m.s-1, druhé pak s počáteční rychlostí 7 m.s-1 a se zrychlením 4 m.s-2. Určete místo a čas, kdy a kde se potkají. (Potkají se za 5 s ve vzdálenosti 15 m od výchozího místa prvního tělesa.) 28. Těleso se pohybuje přímočaře s konstantním zrychlením tak, že dva na sebe navazující desetimetrové úseky urazí postupně za 2 s a 3 s. Určete zrychlení jeho pohybu. (a = 0,67 m.s-2) 29. Nerovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb hmotného bodu se koná z klidu se zrychlením, jehož velikost přímo úměrně roste tak, že po 90 s od začátku pohybu má hodnotu 0,5 m.s-2. Určete, jakou dráhu hmotný bod za těchto 90 s urazí. (s = 675 m) 30. Z jaké výšky padalo těleso volným pádem, jestliže dopadlo na zem rychlostí 90 km.h-1 ? (h = 31,25 m ...... počítáme-li zde i v dalších příkladech s hodnotou g =& 10 m.s-2) 31. Z jaké výšky padalo těleso volným pádem, jestliže za poslední 2 s před dopadem na zem urazilo dráhu právě 100 m ? (h = 180 m) 32. Těleso padá volným pádem z výšky 120 m. Ve vzdálenosti 30 m od místa jeho dopadu stojí pozorovatel. Jak daleko od pozorovatele bude těleso 4 s od začátku svého pohybu? (r = 50 m) 33. Těleso padající ve vzduchoprázdnu z neznámé výšky volným pádem urazilo v poslední sekundě před dopadem jednu pětinu svojí celkové dráhy. Určete, z jaké výšky těleso padalo. (h = 450 m) 34. Kámen hozený kolmo vzhůru má ve výšce 20 m rychlost 15 m.s-1. Za jak dlouho po odhodu vystoupal do této výšky? (Úloha má dvě řešení: t1 = 1 s a t2 = 4 s . Vysvětlete!) 35. Těleso hozené vodorovně z výšky 80 m dopadlo na zem ve vzdálenosti 100 m (měřeno od paty kolmice spuštěné z místa odhodu). Jakou rychlostí bylo vyhozeno a jakou dopadlo na zem? (vo = 25 m.s-1 ; vdop = 47,2 m.s-1) 3
36. Těleso bylo hozeno vodorovným směrem z výšky 120 m počáteční rychlostí 20 m.s-1. Jak daleko bude od místa odhodu za 3 s od začátku svého pohybu? Jakou bude mít v tom okamžiku rychlost? (r = 75 m ; v = 36 m.s-1) 37. Pod jakým úhlem musí být vrženo šikmo vzhůru těleso, aby maximální výška tohoto šikmého vrhu byla rovna délce doletu tělesa? (α = 76o ; druhé řešení α ′ = 0o nemá z hlediska zadání úlohy smysl) 38. Jaký úhel musí svírat hlaveň pušky s vodorovnou rovinou, aby z ní vystřelený projektil počáteční rychlostí 200 m.s-1 zasáhl cíl, jenž se nachází ve vodorovné vzdálenosti 1 km a ve výšce 125 m ? Odpor vzduchu působící proti pohybu střely pro zjednodušení výpočtu zanedbejte! (α1 = 14,5o ; α2 = 82,6o) 39. Počáteční rychlost střely je 200 m.s-1, předpokládejme, že se pohybuje ve vzduchoprázdnu. Rozhodněte, zda tato střela může zasáhnout cíl, jehož poloha je určena vodorovnou vzdáleností 3 600 m od místa výstřelu a výškou 400 m nad povrchem Země. (Střela cíl nezasáhne.) 40. Koule se roztáčí rovnoměrně zrychleně a za prvních 10 s vykoná právě 50 otáček. Určete úhlové zrychlení koule a její úhlovou rychlost na konci desáté sekundy. (α = 6,28 s-2 ; ω = 62,8 s-1) 41. Turbína rovnoměrně zvyšuje své otáčky tak, že 10 s od začátku pohybu dosáhne 120 ot./min. Určete úhlové zrychlení turbíny a celkový počet jejích otáček za těchto 10 s . (α = 1,26 s-2 ; N = 10 otáček) 42. Kolo vykonává 1 200 ot./min. Za jak dlouho se jeho frekvence zdvojnásobí, začne-li se pohybovat se stálým úhlovým zrychlením 2 s-2 a kolik otáček celkem za tuto dobu vykoná? (t = 62,8 s ; N = 1 885 otáček) 43. Počet otáček kola 3 000 ot./min. se brzděním trvajícím 20 s rovnoměrně sníží na polovinu. Určete úhlové zrychlení kola a počet jeho otočení během brzdění. (α = 7,85 s-2 ; N = 750 otáček) 44. Jak velké je úhlové zrychlení hmotného bodu pohybujícího se po kružnici, jestliže právě během páté π sekundy svého pohybu opsal průvodič tohoto bodu úhel ? (α = 0,35 s-2) 2
45. Závislost úhlové dráhy hmotného bodu při jeho pohybu po kružnici na čase, je popsána rovnicí
ϕ = - 0,25.t 2 + 5,3.t - 10 ; [ϕ] = rad ; [t] = s . Vypočítejte vektor celkového zrychlení a tohoto hmotného bodu v čase t = 9 s, je-li poloměr jeho kruhové trajektorie 25 cm. (a = 0,203 m.s-2 ; α = 52o vůči tečnému zrychlení) 46. Hmotný bod se začíná pohybovat po kružnici se stálým úhlovým zrychlením 0,03 s-2. Za jak dlouho od počátku pohybu bude vektor zrychlení a svírat se směrem vektoru rychlosti v úhel 60o ? (t = 7,60 s) 47. Vlak rovnoměrně snížil svoji rychlost z 90 km.h-1 na 30 km.h-1 na dráze 400 m dlouhé zakřivené do oblouku o poloměru 500 m. Vypočítejte hodnotu celkového zrychlení vlaku na počátku a na konci brzdného úseku. (apoč. = 1,43 m.s-2 ; akon. = 0,708 m.s-2) 48. Na jaké vodorovné dráze dosáhne při rozjezdu automobil hmotnosti 800 kg rychlosti 54 km.h-1, je-li tažná síla jeho motoru 2 000 N ? (s = 45 m) 49. Těleso uvádí do pohybu síla 0,2 N tak, že za první 4 s urazí dráhu 3,2 m. Určete hmotnost tělesa. (m = 0,5 kg) 4
50. Jaká síla kromě síly tíhové musí působit na svisle padající těleso hmotnosti 2 kg, aby se jeho rychlost rovnoměrně zvýšila z 2 m.s-1 na 20 m.s-1 za dobu 1,5 s ? (Fx = 4 N) 51. Tramvaj se pohybuje po vodorovné dráze rychlostí 54 km.h-1. Za jak dlouho a na jaké dráze zastaví, jestliže se brzdná síla rovná právě čtvrtině její tíhové síly? (t = 6 s ; s = 45 m) 52. Vlak o hmotnosti 500 t brzdil rovnoměrně zpomaleně, přičemž se během 25 s jeho rychlost snížila ze (F = 0,5 MN) 120 km.h-1 na 30 km.h-1. Určete velikost brzdící síly. 53. Hmotnost vlaku je 600 t, tažná síla lokomotivy 2.105 N, koeficient tření mezi koly a kolejnicí 0,02. Jakou bude mít vlak rychlost za 3 minuty po rozjezdu? (v = 86,4 km.h-1) 54. Těleso o hmotnosti 25 kg se pohybuje po vodorovné podložce působením síly F, jejíž velikost je 120 N a jejíž směr svírá s vodorovnou rovinou úhel 60o. Určete, s jakým zrychlením se bude těleso po podložce pohybovat, je-li koeficient smykového tření mezi tělesem a podložkou 0,35. (a = 0,355 m.s-2) 55. Na hmotný bod o hmotnosti 100 g , jenž je původně v klidu, působí síla stálého směru, přičemž její velikost přímo úměrně vzrůstá z nulové hodnoty na hodnotu 0,3 N během doby 10 s. Jaká bude rychlost hmotného bodu po uplynutí uvedených 10 s ? (v = 15 m.s-1) 56. Dvě závaží o hmotnostech 100 g a 105 g jsou spojena vláknem přes pevnou kladku. S jakým zrychlením se dají do pohybu. Tření neuvažujeme, hmotnost vlákna zanedbáváme. (a = 0,244 m.s-2) 57. Přes pevnou kladku je vedené lanko, na jehož koncích visí dvě závaží různé hmotnosti m1 < m2 . Když je uvolníme, budou za 2 s od začátku pohybu od sebe vzdálena právě 48 cm. Určete hmotnost těžšího závaží, je-li hmotnost lehčího 1 kg. (m2 = 1,024 kg) 58. Jaká tažná síla je nutná, abychom vozidlu s hmotností 1 100 kg udělili na cestě se stoupáním 5 % zrychlení 1,5 m.s-2 ? Tření zanedbáváme. (F = 2 200 N) 59. Na nakloněné rovině s úhlem sklonu 40o leží těleso o hmotnosti 5 kg. S jakým zrychlením se bude těleso pohybovat po nakloněné rovině, a) zanedbáme-li tření, b) je-li součinitel smykového tření 0,3 ? (aa = 6,43 m.s-2 ; ab = 4,13 m.s-2) 60. Auto hmotnosti 5,8 t jede rychlostí 60 km.h-1 po vypuklém mostě o poloměru křivosti vozovky 40 m. Jak velkou silou působí auto na most v nejvyšším místě jeho oblouku? (F = 17,7 kN) 61. Vagón s hmotností 12 t narazí rychlostí 1,8 m.s-1 do stojícího vagónu o hmotnosti 8 t. Po nárazu se oba vagóny spojí. Jakou rychlostí se budou společně pohybovat? Jaká část pohybové energie se při nárazu vagónů "přemění" na jiné formy energie? (v = 1,08 m.s-1 ; ∆Ek = - 7 780 J, což představuje úbytek 40 % z původní hodnoty Eko) 62. Vozík s pískem o hmotnosti 10 kg se pohybuje rychlostí 1 m.s-1, proti němu letí koule hmotnosti 2 kg a má rychlost 7 m.s-1. Po nárazu koule v písku uvízne. Jaká bude potom rychlost vozíku? (v = 0,33 m.s-1 ..... vozík se bude pohybovat opačným směrem) 63. Míč hmotnosti 125 g narazí kolmo na stěnu rychlostí 20 m.s-1 a odrazí se od ní opačným směrem rychlostí 15 m.s-1. Určete velikost průměrné síly působící na míč, jestliže náraz trval 0,05 s. (Fp = 87,5 N) 5
64. Kulečníková koule A pohybující se rychlostí v1 = 0,36 m.s-1 se srazí s koulí B stejné hmotnosti, jež je v klidu. Po srážce se pohybuje koule A rychlostí u1 = 0,15 m.s-1 ve směru odchýleném od původního úhel α = 37o. Určete rychlost u2 koule B po srážce. (u2 = 0,257 m.s-1 ; β = 20o54′) 65. Dva hmotné body o stejné hmotnosti se pohybují stejně velkou rychlostí, přičemž směry vektorů rychlostí vůči sobě svírají tupý úhel 120o. Při dokonale nepružné srážce se spojí a vytvoří tak útvar jeden. Určete, jak velké procento pohybové energie se při této srážce "přemění" na jiné formy energií (teplo, deformační energie, atd.)? (∆Ek = 75% Eko) 66. Elektrická lokomotiva působí při rozjezdu na vlak tažnou silou 150 kN a po 2 minutách má souprava rychlost 108 km.h-1. Jak velkou práci lokomotiva vykoná a jaký je průměrný výkon jejích motorů? (W = 2,7.108 J ; Pp = 2 250 kW) 67. Letadlo hmotnosti 3 t vystoupá za 1 minutu po startu do výšky 1 km a dosáhne rychlosti 180 km.h-1. Určete průměrný výkon jeho motorů za tuto dobu. (Pp = 562 kW) 68. Určete práci, kterou musíme vykonat, abychom po vodorovné podložce přemístili těleso o hmotnosti 400 kg do vzdálenosti 15 m za 5 s pohybem rovnoměrně zrychleným, je-li součinitel smykového tření mezi tělesem a podlahou 0,15. (W = 16,2 kJ) 69. Jakou vzdálenost by teoreticky urazil rychlík brzděný pouze třením, má-li počáteční rychlost velikosti 120 km.h-1, je-li koeficient tření mezi koly a kolejnicí 0,005 ? (s = 11,1 km) 70. Jakou vzdálenost by teoreticky ujel rychlík do kopce se stoupáním 6 oo/o, má-li na počátku stoupání rychlost o velikosti 120 km.h-1, kdyby nepůsobila tažná síla lokomotivy a kdybychom zanedbali tření a odpor vzduchu? (s = 9 260 m) 71. Na dokonale hladkou nakloněnou rovinu délky s je položen kvádr v nejvyšším bodě. Po proběhnutí (h = 0,45 m) celé nakloněné roviny dosáhne rychlost 3 m.s-1. Určete výšku nakloněné roviny. 72. Na nakloněné rovině s úhlem sklonu 30o se ve výšce 6 m nad zemí nachází kvádr. Jestliže kvádr volně vypustíme, začne se pohybovat dolů a po proběhnutí nakloněné roviny získá rychlost 9,8 m.s-1. Jak velký je koeficient tření mezi kvádrem a podložkou nakloněné roviny? (f = 0,115) 73. Na nakloněné rovině s úhlem sklonu 30o je směrem vzhůru vrženo těleso počáteční rychlostí 10 m.s1 . Určete, jakou dráhu urazí až do úplného zastavení, je-li koeficient tření mezi tělesem a podložkou nakloněné roviny 0,25. (s = 6,98 m) 74. Do jaké maximální výšky vystoupá kámen vyhozený kolmo vzhůru rychlostí 18 m.s-1, zanedbáme-li pro jednoduchost odpor vzduchu? (hmax = 16,2 m) 75. Těleso o hmotnosti 200 g bylo vyhozeno svisle vzhůru. Ve výšce 12 m nad zemí mělo kinetickou energii 15 J. Jakou počáteční rychlostí bylo vyhozeno? (vo = 19,75 m.s-1) 76. Za jak dlouho zdvihne jeřáb rovnoměrným pohybem náklad hmotnosti 1,2 t do výšky 9 m, má-li jeho elektromotor příkon 9 kW a je-li účinnost celého zařízení 65 % ? (t = 18,5 s) 77. Výtah vytáhne náklad 800 kg do výšky 24 m za 11 s. Jak velký musí být příkon elektromotoru, je-li účinnost zařízení 90 % ? (P = 19,4 kW)
6
78. Střela letící rychlostí 750 m.s-1 pronikne po zásahu do dřeva do hloubky 70 cm. Co se stane, když bude tloušťka dřevěné překážky jen 48 cm, předpokládáme-li pro jednoduchost stále stejný odpor dřeva (t.j. stále stejnou velikost odporové síly ... Fodp = konst). (Střela proletí dřevěnou překážkou a její rychlost bude přibližně 420 m.s-1 .) 79. Rychlost střely je měřena balistickým kyvadlem hmotnosti 5 kg. Po zásahu střelou, jejíž hmotnost je 25 g, se těžiště kyvadla zvedne o 45 cm. Určete rychlost střely, jestliže v balistickém kyvadle po zásahu uvízne. (v = 603 m.s-1) 80. Jakou práci je třeba vykonat při vytahování rolety, je-li hmotnost látky 1,8 kg a délka rolety 2,4 m ? (W = 21,6 J) 81. Určete, jaká práce se vykoná při natažení pružiny o 20 cm z jejího původního tvaru, jestliže na to, abychom pružinu natáhli o 2 cm z původní polohy, je potřebná síla 400 N. Předpokládáme pružnou deformaci materiálu, tedy pro sílu potřebnou k natažení pružiny o jistou hodnotu x platí vztah F = k.x, kde konstanta k je tzv. tuhost pružiny.
(W = 400 J)
82. Vagón vážící 20 t rozjetý rychlostí o velikosti 1,6 m.s-1 se má zastavit nárazem na pevnou překážku. Jak velkou tuhost musí mít pružiny v jeho náraznících, stlačí-li se při srážce právě o 10 cm ? (k = 2,56.106 kg.s-2 (resp. N.m-1)) 83. Jak velké práce je třeba k odvlečení bedny o hmotnosti 50 kg do vzdálenosti 6 m po vodorovné podlaze, je-li bedna tažena za provaz svírající s vodorovným směrem úhel 30o a je-li koeficient tření mezi bednou a podlahou 0,3 ? (W = 767 J) 84. Kulička o hmotnosti 0,1 kg je přivázána na provázku délky 30 cm, jehož druhý konec držíme v ruce. Kuličku přinutíme k pohybu po kruhové trajektorii ve svislé rovině. Jakou silou je provázek napínán v okamžiku: a) kdy kulička prochází nejvyšším bodem trajektorie a má v tom okamžiku rychlost o velikosti 2,1 m.s-1, b) kdy kulička prochází nejnižším bodem kruhové trajektorie? (F1 = 0,47 N ; F2 = 6,47 N) 85. Na vrcholu dokonale hladké koule o poloměru 1,5 m se nachází v klidu malé tělísko. Jestliže jej z jeho rovnovážné polohy vychýlíme, začne se po povrchu koule pohybovat. Určete, ve kterém místě koule tělísko její povrch opustí. (Bude to 0,5 m měřeno ve svislém směru od vrcholu koule.) 86. Hmotný bod koná přímočarý pohyb na dráze celkové délky 660 m. Nejprve se pohybuje rovnoměrně rychlostí 6 m.s-1. Od jistého okamžiku na něj začne působit konstantní síla, jež mu udílí zrychlení 0,4 m.s-2. Určete, jakou vzdálenost urazil hmotný bod rovnoměrným pohybem a jakou pohybem rovnoměrně zrychleným, když na zdolání celé dráhy potřeboval 80 s. (s1 = 300 m ; s2 = 360 m)
II. M e c h a n i k a t u h é h o t ě l e s a 87. Na tyč, jejíž hmotnost je možno zanedbat, působí dvě rovnoběžné síly s velikostmi 30 N a 70 N ve vzdálenosti 60 cm od sebe. Určete velikost i působiště výslednice, jestliže jsou obě síly orientovány a) souhlasně, b) nesouhlasně. (Fa = 100 N; působiště má na spojnici působišť původních sil 18 cm od větší a 42 cm od menší síly; Fb = 40 N; působiště má na spojnici působišť původních sil 45 cm od větší a 105 cm od menší síly - leží tedy vně větší síly !!! ) 7
88. Na koncích tyče zanedbatelné hmotnosti působí svisle dolů dvě síly o velikostech 160 N a 80 N. Délka tyče je 120 cm. Ve kterém místě musíme tyč podepřít, aby byla v rovnováze? (Tyč je podepřená 80 cm od menší a 40 cm od větší síly.) 89. Tyč, jejíž hmotnost je 3 kg a délka 2 m je na koncích zatížena dvěma závažími o hmotnostech 5 kg a 8 kg. Najděte místo, kde musíme tyč podepřít, aby byla v rovnováze. (Tyč musíme podepřít přibližně 119 cm od konce, na němž je zavěšeno menší závaží.) 90. Na tyč (viz obr.) působí tři rovnoběžné síly o velikostech F1 = 20 N, F2 = 10 N a F3 = 40 N, přičemž vzájemné vzdálenosti jejich působišť jsou d1 = 20 cm a d2 = 60 cm. Najděte velikost výslednice a místo jejího působiště. (Fvýsl = 50 N ; působiště je ve vzdálenosti 60 cm vpravo od bodu A.)
F2
A F1
d1 B
C d2 F3
91. Dva lidé nesou břemeno o hmotnosti 90 kg zavěšené na tyči délky 1,5 m, jejíž hmotnost lze v daném případě zanedbat. Jak velkými silami tyč na oba jedince působí, je-li břemeno zavěšeno 60 cm od jednoho a 90 cm od druhého konce tyče? (F1 = 540 N ; F2 = 360 N - větší síla působí na toho, kdo je břemeni blíže, t.j. 60 cm) 92. Přes příkop je položená 6 m dlouhá deska s hmotností 40 kg. Vypočítejte, jaké síly působí na obou koncích desky (kde je podepřená), jestliže po ní jde člověk, jehož hmotnost je 60 kg a nachází se právě a) v polovině, b) ve třetině desky. (a) F1 = F2 = 500 N ; b) F1 = 400 N, F2 = 600 N, větší síla působí na konci, jemuž je jdoucí člověk blíže.) F4 93. Na čtvercovou desku (viz vedlejší obr.) působí čtyři stejně velké síly 10 N, všechny leží v rovině desky, ale mají různé směry. Vypočítejte a) velikost výslednice F1 a F2, b) velikost výslednice F2 a F3, c) velikost výslednice F2 a F4, d) velikost výslednice všech čtyř sil . (F12 = 14,1 N ; F23 = 20 N ; F24 = 0 N ; Fvýsl. = 14,1 N)
F1
F3
F2
94. Na tenkém drátě majícím zanedbatelnou hmotnost jsou navlečeny čtyři kuličky o hmotnostech postupně 100 g, 200 g, 300 g a 400 g . Vzájemné vzdálenosti mezi středy sousedních kuliček jsou vždy 50 cm. Určete polohu hmotného středu (těžiště) této soustavy. (Tento bod je ve středu kuličky o hmotnosti m3 .)
S
a
95. Určete polohu těžiště vedlejšího obrazce, jenž vznikne, když ze čtverce o straně a vystřihneme jeden rovnoramenný trojúhelník mající vrchol právě ve středu čtverce S. a od středu čtverce.) (Těžiště je na ose symetrie ve vzdálenosti 9 8
96. Najděte těžiště homogenního rotačního kužele o hmotnosti m, poloměru podstavy R a výšce v. 3 (Těžiště je na výšce kužele ve vzdálenosti v od jeho vrcholu.) 4 97. Určete polohu těžiště obrazce vzniklého ohnutím tenkého drátu do půlkruhu o poloměru R.
(Těžiště bude na ose souměrnosti ve vzdálenosti
2R π
od středu křivosti)
98. Čtvercová deska o straně 1 m je otáčivá kolem osy, jež je k ní kolmá a prochází středem desky (viz obr.). Na desku působí čtyři stejně velké síly 20 N ležící v rovině desky. a) Vypočtěte velikosti momentů jednotlivých sil vzhledem k F3 ose otáčení. b) Určete velikost výsledného momentu všech čtyř sil F2 působících na desku. (M1 = 10 N.m ; M2 = 0 N.m ; M3 = 14,1 N.m ; M4 = 10 N.m ; M výsl. = 5,9 N.m − deska se bude otáčet proti směru hodinových osa a ručiček)
F4 F1 99. Ve vrcholech obdélníkové desky (viz obr.) mající strany a = 50 cm, b = 30 cm působí dvě dvojice sil; ve vrcholech B a D síly F1 a − F1, každá o velikosti 40 N, ve vrcholech A a C pak síly F2 C − F2 D a − F2. Vypočítejte a) velikost momentu D1 první dvojice sil, b) velikosti sil F2 a − F2, při − F1 nichž se otáčivé účinky obou dvojic sil b navzájem ruší. (D1 = 20 N.m ; F2 = 66,7 N)
F1
F2
A
a
B
l
100. Na kraji stolu je položena dřevěná deska hmotnosti m = 0,5 kg a délky l. Jakou částí své délky může přečnívat přes okraj stolu, aniž by spadla, jestliže jí na konci, jenž je na stole, zatížíme závažím o hmotnosti m1 = 0,2 kg ?
m1
(Deska může přes okraj stolu přečnívat 9 o své délky l.) 14
101. Kolem (o poloměru R = 50 cm) na hřídeli (jeho poloměr r = 10 cm) zdvíháme závaží silou 120 N tak, že provaz táhneme stálou rychlostí 0,8 m.s−1. Jaká je hmotnost stoupání břemene a za jakou dobu jej zdvihneme o 160 cm ? 9
m
101. Kolem (o poloměru R = 50 cm) na hřídeli (jeho poloměr r = 10 cm) zdvíháme závaží silou 120 N tak, že provaz táhneme stálou rychlostí 0,8 m.s−1. Jaká je hmotnost stoupání břemene a za jakou dobu jej zdvihneme o 160 cm ? (m = 60 kg ; t = 10 s)
F
102. Žebřík o hmotnosti 12 kg je opřen jedním koncem o podlahu a druhým o svislou stěnu, s níž svírá úhel právě 30o. Jakou nejmenší vodorovnou silou působící na horním konci žebříku jej odkloníme od stěny? Těžiště T je uprostřed žebříku. (F = 34,6 N)
T
103. Hmotnost předmětu určujeme pomocí nerovnoramenné dvojzvratné páky. Předmět zavěšený na delším rameni páky vyvážíme závažím o hmotnosti 4,5 kg. Když jej zavěsíme na kratší rameno páky, obnovíme rovnováhu závažím o hmotnosti 1,5 kg. Jaká je hmotnost váženého předmětu? (m = 2,6 kg)
FG osa
104. Dvě tělíska, jež lze považovat za hmotné body o hmotnostech 500 g a 300 g, jsou od sebe vzdálena 80 cm. Určete moment setrvačnosti této soustavy vzhledem k ose, jež prochází jejím hmotným středem (těžištěm) kolmo na spojnici obou hmotných bodů. (J = 0,12 kg.m2)
osa 105. Tři kovové kuličky, jejichž hmotnosti jsou postupně m1 = 200 g, m2 = 350 g a m3 = 600 g, leží v jedné přímce ve vzdálenostech tak, jak je uvedeno na vedlejším obrázku. Určete moment setrvačnosti této soustavy vzhledem k rotační ose o procházející jejím těžištěm kolmo na spojnici všech tří těles. (J = 0,038 kg.m2 )
m1
m2
T
m3 .
y = 30 cm x = 10 cm
106. Ve vrcholech čtverce o délce strany 2 m jsou umístěny čtyři koule postupně o hmotnostech m1 = 1 kg, m2 = 2 kg, m3 = 3 kg a m4 = 4 kg. Určete moment setrvačnosti soustavy vzhledem k ose procházející jejím hmotným středem (těžištěm) kolmo na rovinu čtverce. (J = 18,4 kg.m2 ) 107. Setrvačník se působením sil, jejichž moment vzhledem k ose otáčení má velikost 200 N.m, dává do otáčivého pohybu. Po uplynutí jedné minuty od počátku pohybu dosáhne počtu 120 ot./min. Jaký je moment setrvačnosti setrvačníku? (J = 955 kg.m2 ) 108. Setrvačníkové kolo má vzhledem k ose otáčení moment setrvačnosti 200 kg.m2. Otáčí se tak, že vykonává 180 ot./min. Stálým momentem síly dosáhneme toho, že kolo zastavíme za 2 min. Určete velikost tohoto brzdného momentu síly. (M = 31,4 N.m)
10
109. Hmotnost kruhové desky o průměru 40 cm je 50 kg, deska koná 1 500 ot./min. Při rovnoměrném brždění se zastaví za 20 s. Určete moment brzdící síly a celkový počet otáček desky během brzdění. (M = 7,85 N.m ; N = 250 otáček) 110. Kruhovou desku o hmotnosti 25 kg a průměru 60 cm je třeba z klidu za 1 s dvakrát otočit kolem její geometrické osy. Jaká stálá tečná síla musí působit na obvodu této desky? (F = 94,2 N) 111. Homogenní koule o průměru 0,4 m a hmotnosti 650 kg rotuje kolem své geometrické osy, přičemž její moment hybnosti má velikost 980 kg.m2.s-1. Jakou silou stálé velikosti musíme působit tečně na ”rovníku” této koule, abychom jí úplně zastavili za půl minuty? Kolik otáček celkem během této doby koule ještě vykoná? (F = 163 N ; N = 225 otáček) 112. Rotor elektromotoru má moment setrvačnosti 2 kg.m2 a vykonává 1 500 otáček za minutu. Jakou má kinetickou energii? (Ek = 24,7 kJ) 113. Jak velkou práci musíme vykonat, abychom válec, jehož moment setrvačnosti je 100 kg.m2 roztočili na 72 ot./min.? (W = 2 840J) 114. Určete moment setrvačnosti rotujícího setrvačníku, jestliže vykonáním práce 24 kJ poklesnou jeho otáčky z hodnoty 600 ot./min. právě na polovinu. (J = 16,2 kg.m2 ) 115. Jakou úhlovou rychlostí se otáčí homogenní koule o hmotnosti 50 kg a poloměru 10 cm okolo svého průměru, jestliže je její kinetická energie 20 J ? (ω = 14,1 s-1 ) 116. Po vodorovné rovině se valí tenkostěnná roura o poloměru 8 cm a hmotnosti 160 kg postupnou (Ek = 78,4 J) rychlostí o velikosti 0,7 m.s-1. Určete její kinetickou energii. 117. Moment setrvačnosti setrvačníku je 0,1 kg.m2. Za jak dlouho dosáhne 1 800 ot./min., je-li roztáčen motorem s výkonem 100 W ? (t = 17,8 s) 118. Tenkostěnný válec se otáčí kolem své geometrické osy s frekvencí 15 Hz. S jakou frekvencí by se musel otáčet plný homogenní válec téhož průměru i stejné hmotnosti, aby měl stejnou kinetickou energii jako válec tenkostěnný? (f = 21,2 Hz) 119. Plný válec se otáčí okolo své geometrické osy s frekvencí 45 Hz. S jakou frekvencí by se musel otáčet okolo osy tečně probíhající po povrchu jeho pláště, aby kinetická energie rotačního pohybu byla v obou případech stejná? (f = 26,0 Hz) 120. Na nakloněné rovině se ve výšce 1,5 m nacházejí dvě tělesa stejné hmotnosti - kvádr a válec, jež jsou v klidu. Jaká bude rychlost obou těles po proběhnutí celé nakloněné roviny, jestliže je uvolníme? Tření působící mezi oběma tělesy a podložkou nakloněné roviny, pro zjednodušení výpočtu tohoto příkladu zanedbejte. (vkvádru = 5,48 m.s-1 ; vválce = 4,47 m.s-1 ) 121. Určete zrychlení pohybu středu homogenní koule o hmotnosti m a poloměru R, jež se valí po nakloněné rovině s úhlem sklonu α. Vliv tření, jež v tomto případě nutně musí působit mezi koulí a podložkou nakloněné roviny, aby se koule dolů valila a ne klouzala, však při výpočtu neuvažujte!
(a=
5 7
g sin a )
122. Určete, za jakou dobu se odvalí plný válec z nakloněné roviny délky 10 m, jež má úhel sklonu 15o, jestliže byl na začátku v klidu. Vliv tření – podobně jako ve dvou předcházejících příkladech - pro jednoduchost výpočtu zanedbejte. (t = 3,40 s) 11
123. Svislý sloup výšky 5 m je naříznut těsně u základny a kácí se na zem kolem osy, jež prochází jeho dolním koncem. Jakou rychlostí dopadne horní konec sloupu na zem? (v = 12,3 m.s−1 ) 124. Dvě závaží o stejných hmotnostech m jsou upevněna na tenké tyči, jejíž hmotnost je v tomto problému zanedbatelná. Tyč je otáčivá kolem m m vodorovné osy, jež kolmo prochází jedním jejím osa koncem. Vzdálenosti těchto závaží od osy jsou . a a = 30 cm a b = 40 cm (viz obrázek). Tyč α vychýlíme z její rovnovážné polohy o pravý úhel (α = 90o). Jakou úhlovou rychlostí bude pak tyč b procházet svou rovnovážnou (t.j. nejnižší) polohou? (ω = 7,4 s−1 )
ω =? 125. Na kladce o poloměru R = 20 cm, jejíž moment setrvačnosti vzhledem k ose otáčení je 0,4 kg.m2, je zavěšené těleso hmotnosti 6 kg (viz vedlejší obrázek) . S jak velkým zrychlením se zavěšené těleso začne pohybovat, když jej uvolníme? Hmotnost závěsu je třeba pro jednoduchost výpočtu zanedbat. (a = 3,75 m.s−2 ) 126. Setrvačník o průměru 1 m má prakticky veškerou svou hmotnost 50 kg rozloženou po svém obvodu a je upevněn na hřídeli, jehož poloměr je 5 cm. Na hřídeli je navinut provaz a na jeho konci je zavěšeno závaží hmotnosti 25 kg, jež roztáčí celou soustavu. Určete frekvenci otáček kola na hřídeli právě v okamžiku, kdy závaží od začátku pohybu urazilo dráhu 1 m. (f = 1 Hz)
osa ×
R
m a
127. Vypočítejte práci potřebnou na převrhnutí kvádru ze železa hustoty 7 800 kg.m-3, je-li délka hrany jeho čtvercové podstavy 10 cm a výška kvádru 20 cm. (W = 1,84 J) 128. Na vodorovné podlaze leží deska tvaru rovnostranného trojúhelníka o délce strany 1,2 m, jejíž hmotnost je 25 kg. Jakou práci musíme vykonat, abychom desku postavili do svislé polohy na jednu její stranu? Tloušťku desky při výpočtu zanedbejte. (W = 86,6 J) 129. Krasobruslař se otáčí kolem svislé osy se stálou frekvencí 2 Hz, přičemž jeho moment setrvačnosti vzhledem k ose otáčení 2 kg.m2 . Jak se frekvence jeho otáček změní, když rozpažením zvětší svůj moment setrvačnosti na hodnotu 2,1 kg.m2 ? (Frekvence otáček poklesne o ∆f = − 0,095 Hz, t.j. asi o 4,8 %.) 130. Tyč na spodním obrázku má délku 40 cm a hmotnost 1 kg. Tyč se může otáčet kolem vodorovné osy kolmo procházející jejím středem. Konec tyče zasáhne střela hmotnosti 10 g letící rychlostí 200 m.s−1 ve směru kolmém na osu i tyč a uvízne v ní. Určete, jakou úhlovou rychlostí se po zásahu dá tyč do otáčivého pohybu, jestliže byla před zásahem v klidu. (ω = 29,1 s−1 ) 12
m
l
m1
•
osa ×
ω=? v
III . M e c h a n i k a t e k u t i n Pozn.: Pokud nebude v zadání následujících příkladů uvedeno jinak, volte hodnotu tíhového zrychlení g =& 10 m.s−2 a hustotu vody ρvody =& 1 000 kg.m−3. 131. Písty hydraulického lisu mají plochy 10 cm2 a 600 cm2. Na menší dáme závaží o hmotnosti 50 kg. Jaký tlak se tím v kapalině vyvolá? Jak velkou tlakovou silou působí kapalina na větší píst? (p = 500 kPa ; F2 = 30 kN) 132. Poloměr kruhové podstavy menšího pístu hydraulického lisu je 4 cm. Jaký poloměr musí mít kruhová podstava většího pístu, jestliže je třeba silou 80 N vyvolat tlakovou sílu 11 520 N ? (r2 = 48 cm) 133. Uvnitř zavařovací sklenice působí tlak vodní páry 2000 Pa, zvenku působí tlak vzduchu 96 kPa. Jaká tlaková síla uzavírá hrdlo sklenice, je-li jeho průměr 8 cm ? (F = 473 N) 134. Válcová nádoba plošného průřezu 40 cm2 a výšky 12 cm byla naplněná vodou, překrytá listem papíru, a pak obrácena do svislé polohy dnem vzhůru. Jakou silou je přitlačen papír k nádobě při atmosférickém tlaku 98 kPa ? (F = 387 N) 135. V jaké hloubce pod hladinou a) vody, b) rtuti je hydrostatický tlak dané kapaliny roven normálnímu atmosférickému tlaku vzduchu (pa = 1,013.105 Pa) ? Při výpočtu tohoto příkladu výjimečně dosaďte přesnější hodnotu tíhového zrychlení g = 9,81 m.s -2. Hustota rtuti ρHg = 13 570 kg.m -3. (hvody = 10,33 m ; hHg = 0,761 m) 136. Jaký je tlak v hloubce 2,5 m pod hladinou kapaliny s hustotou 1 300 kg.m -3, jestliže na hladinu navíc působí atmosférický tlak vzduchu 97,6 kPa ? (p = 130,1 kPa) 137. Válcová cisterna o délce 3 m a průměru 1,4 m je naplněná do poloviny svého objemu naftou, jejíž hustota je 816 kg.m-3. Cisterna se pohybuje přímočaře se stálým zrychlením 2 m.s-2 po vodorovné podložce. Vypočtete, jaké je maximální převýšení hladiny nafty ∆h při tomto pohybu, a dále největší hodnotu hydrostatického tlaku nafty v cisterně (pmax). (∆h = 0,3 m ; pmax = 8,16.103 N.m-2) 13
138. Do jaké výše hr vystoupí hladina kapaliny u stěny svisle rotující válcovité nádoby vnitřního poloměru 0,1 m, jež vykonává 300 otáček za minutu, je-li výška hladiny v klidu právě 1 m. (hr = 1,25 m) 139. V jednom rameni spojitých nádob je olej, ve druhém voda. Výška oleje nad společným rozhraním kapalin je 74 mm, výška vody pak 65 mm. Určete hustotu oleje. (ρ = 878 kg.m-3) 140. V trubici tvaru písmene U je rtuť hustoty 13 600 kg.m-3. Do jednoho z ramen přilijeme tolik vody, že hladina rtuti ve druhém rameni stoupne o 15 mm. Jaká je výška vodního sloupce? (h2 = 40,8 cm) 141. Ramena spojených nádob jsou naplněna dvěma nemísitelnými kapalinami o hustotách 900 kg.m-3 a 1 000 kg.m-3. Jaká je vzdálenost hladin obou kapalin od jejich společného rozhraní, je-li rozdíl výšek hladin v jednotlivých ramenech právě 10 cm. (h1 = 100 cm ; h2 = 90 cm) 142. Jak velkou silou je nadlehčováno těleso o objemu 1 l, jestliže je ponořeno a) do lihu s hustotou 790 kg.m-3, b) do vody s hustotou 1 000 kg.m-3, c) do rtuti s hustotou 13 570 kg.m-3 ? (Fa = 7,9 N ; Fb = 10 N ; Fc = 135,7 N) 143. V oleji hustoty 900 kg.m -3 je umístěno těleso tvaru krychle o délce hrany 15 cm (podstavy krychle jsou rovnoběžné s hladinou oleje). Jak velké síly působí na horní a dolní stěnu krychle, je-li horní podstava v hloubce 10 cm pod hladinou, na níž navíc působí atmosférický tlak vzduchu 100 kPa ? Jak velká je výsledná síla, jež působí v oleji na krychli? (Fhorní = 2 270 N ; Fdolní = 2 300 N ; Fvýsl. = 30 N) 144. Jak velkou silou zvedneme ve vodě kámen o objemu 8 dm3 a hmotnosti 22 kg ?
(F = 140 N)
145. Jaká je hustota žulového kamene hmotnosti 12,6 kg, jestliže na jeho vytažení z vody je potřebná síla právě 81,2 N ? (ρt = 2 810 kg.m-3) 146. Ponoříme-li kouli o hmotnosti 6 kg do vody, bude napínat závěs, na němž visí, silou 54,7 N. Určete hustotu koule. (ρ = 11 320 kg.m-3) 147. Jakou silou musíme zatížit dřevěnou krychli s hranou 16 cm a hustotou 660 kg.m-3, aby se potopila, ale přitom se volně vznášela v kapalině s hustotou 780 kg.m-3 ? (F = 4,92 N ) 148. Jak velkou zátěž unese balón o průměru 16 m naplněný héliem (ρHe = 0,187 5 kg.m-3), je-li hustota okolního vzduchu 1,185 kg.m-3 ? Pro jednoduchost předpokládejte, že objem balónu V je prakticky dán jen objemem jeho plynné náplně. (mx = 2 139 kg) 149. Dřevěný kvádr plovoucí na vodě má ponořené tři pětiny svého objemu. Jaká je hustota dřeva? (ρ = 600 kg.m-3) 150. Na mořské hladině plave ledovec. Jaká část objemu ledovce vyčnívá nad hladinu, je-li hustota ledu (Z vody vyčnívá 10,2 % objemu ledovce.) 920 kg.m-3 a hustota mořské vody 1 025 kg.m-3 ? 151. Homogenní dřevěný kvádr výšky 20 cm plave na vodě. Jaká část z celkové výšky kvádru vyčnívá nad vodu, je-li hustota dřeva 630 kg.m-3 ? (h∗ = 7,4 cm) 152. Zkumavka stálého průměru naplněná broky se ve vodě ponoří do hloubky 18 cm, v kapalině neznámé hustoty pak do hloubky 16 cm. Určete hustotu této kapaliny. (ρk = 1 125 kg.m-3)
14
153. Jakou minimální hmotnost m2 musí mít korkový plovací pás, který má unést ve vodě osobu hmotnosti 73,5 kg, je-li průměrná hustota lidského těla 1,05.103 kg.m-3 a hustota korku 200 kg.m-3 ? (m2 = 0,875 kg) 154. Dutá mosazná koule hmotnosti 0,3 kg se ponoří do vody právě polovinou svého objemu. Jaký je její venkovní průměr d a síla stěny ∆d, jestliže hustota mosazi 8,4.103 kg.m-3 ? (d = 0,1 m ; ∆d = 1 mm) 155. Do nádoby, v níž je nalita rtuť a voda, hodíme ocelovou kouli. Jaká část objemu koule bude ve vodě, (45,1 %) jsou-li hustoty ocele 7 900 kg.m-3, vody 1 000 kg.m-3 a rtuti 13 570 kg.m-3 ? 156. Jaká musí být délka hrany duté krychle vyrobené ze zlatého plechu tloušťky 1 mm, aby se volně (a = 11,7 cm) vznášela ve vodě hustoty 1 000 kg.m-3 ? Hustota zlata je 19 500 kg.m-3. 157. Na předmět vyrobený z bronzu působí Země tíhovou silou 6 300 N. Jestliže jej celý ponoříme do vody, bude na něj působit výsledná síla o velikosti 5 540 N. Určete obsah mědi a cínu ve slitině, je-li (Ve slitině je 70% hmotnostních Cu a 30% Sn.) hustota mědi 8 800 kg.m-3 a cínu 7 300 kg.m-3. 158. Dřevěná kláda o délce 3,5 m a průměru 30 cm plave na hladině rybníka. Jakou největší hmotnost může mít člověk, který stojí na kládě a nemá přitom ještě chodidla ve vodě? Hustota vody je 1 000 (m = 74,2 kg) kg.m-3, hustota dřeva 700 kg.m-3. 159. Homogenní těleso má hmotnost 3,4 kg. Je-li ponořeno ve vodě, lze ho vyvážit závažím hmotnosti 2,5 kg. Jaký je jeho objem a jakou má hustotu? (V = 9.10-4 m3 = 0,9 l ; ρ = 3 778 kg.m-3) 160. Skleněné tělísko o hmotnosti 30 g po ponoření do vody vyvážíme na rovnoramenných vahách závažím 18 g a po ponoření do lihu závažím 20,5 g. Určete hustotu lihu. (ρl = 792 kg.m-3) 161. Na rovnoramenných vahách je na jedné straně zavěšené hliníkové těleso hmotnosti m1 = 182 g a na druhé ocelové těleso o hmotnosti m2 = 81 g. Rovnováhy dosáhneme, když obě tělesa ponoříme do kapaliny neznámé hustoty. Určete její hodnotu, jestliže je hustota hliníku ρ1 = 2 700 kg.m-3 a hustota ocele ρ2 = 7 800 kg.m-3. (ρkap = 1 771 kg.m-3)
d2 162. Odvoďte obecný vztah pro maximální výšku vody v nádobě (hmax), při které se ještě udrží v rovnováze válcovitý plovák přímo spojený prostřednictvím tyče s kuželovým uzávěrem, který zakrývá otvor průměru d ve dně nádoby. Tíhová síla plováku FG se spojovací tyčí a uzávěrem je známa.
hmax =
2 4 FG 1 2 2 (d 2 − d 1 ) h1 + π. ρ. g d −d
d1
h1 hmax
ρ
2 2
d
15
163. Horní zúžená část hustoměru se ponoří ve vodě hustoty ρ1 do hloubky h1 a v kapalině hustoty ρ2 do hloubky h2. Jak hluboko se ponoří v kapalině hustoty ρ3? ρ ( ρ − ρ1 ) h3 = h1 + (h3 − h1) 2 3 ρ 3 ( ρ 2 − ρ1 )
(
)
164. Potrubím proměnného průřezu protéká 15 l vody za sekundu. Jak velká je rychlost vody v průřezech (v1 = 30 m.s-1 ; v2 = 7,5 m.s-1 ; v3 = 1 m.s-1) s plochou obsahů 5 cm2, 20 cm2 a 150 cm2 ? 165. Trubicí o průměru 12 cm proudí voda rychlostí 300 mm.s-1. Jak velkou rychlostí v2 teče zúženým místem, kde je průměr jen 4 cm ? (v2 = 2,7 m.s-1) 166. Při ustáleném proudění kapaliny ve vodorovné trubici s proměnným průřezem má kapalina v průřezu o ploše 50 cm2 rychlost o velikosti 40 cm.s-1. Najděte rychlost kapaliny v2 v průřezu o ploše 12 cm2 a objem kapaliny, jenž proteče trubicí za 2 hodiny. (v2 = 1,67 m.s-1 ; V = 14,4 m3) 167. V které části trubice z předcházejícího příkladu je větší tlak a o kolik ? (Tlak je větší v širším místě ....... ∆p = p1 - p2 = 1 310 Pa) 168. Vodorovným potrubím protéká voda rychlostí 1 m.s-1. V zúženém místě s třikrát menší plochou průřezu je tlak vody 5 kPa. Vypočítejte tlak vody v širší části potrubí. (p1 = 9 kPa) 169. Jakou rychlostí stříká voda z nádoby malým otvorem, jenž se nachází v hloubce a) 30 cm, b) 1,2 m pod volnou hladinou? (v1 = 2,45 m.s-1 ; v2 = 4,90 m.s-1) 170. Jaký objem vody by vytekl v předcházejícím případě z nádoby za jednu minutu, kdyby plocha průřezu otvoru byla 0,6 cm 2 ? (V1 = 8,82 l ; V2 = 17,64 l ) 171. Z vodní nádrže vyteklo otvorem o průměru 3 cm za 0,5 min 60 l vody. Jak vysoko je volná hladina vody nad středem otvoru? (h = 40 cm) 172. Jaký objem vody vyteče za jednu minutu z nádoby otvorem o průměru 40 cm, jestliže se nachází 1,5 m pod hladinou, kterou udržujeme stále ve stejné výši. (V = 41,3 m3) 173. Válcovitá nádoba nahoře otevřená má výšku 20 cm. Uprostřed dna nádoby je otvor plošného průřezu 1 cm2. Do nádoby přitéká každou sekundu 0,16 litru vody. Do jaké výšky vystoupí po určité době voda v nádobě? (h = 12,8 cm) 174. Do nádoby přitéká každou sekundu 0,2 litru vody. Jaký musí mít průměr otvor ve dně nádoby, aby se hladina vody po určité době ustálila ve výšce 10 cm nad dnem? (d = 13,4 mm) 175. Ve stěně válcové nádoby je v hloubce h pod hladinou malý otvor plošného průřezu S2. Příčný průřez nádoby je S1. Najděte výraz pro výtokovou rychlost v2 kapaliny z otvoru a ukažte, že tento vztah přejde v případě, kdy plocha výtokového otvoru bude velmi malá ve srovnání s plochou průřezu nádoby (S2 << S1), v Torricelliho vzorec.
(
S12 v 2 = 2. g. h. 2 S1 − S 22
, pro S2 << S1 dostáváme
)
v2 = 2 g h .
176. Nádrž je naplněna vodou a naftou hustoty 900 kg.m-3. Jakou rychlostí bude vytékat voda velmi malým otvorem ve dnu nádrže, je-li vrstva vody vysoká 1 m a vrstva nafty 4 m ? (v = 9,5 m.s-1) 16
177. Ve válcové nádobě sahá voda do výšky 100 cm. V jaké hloubce pod hladinou musíme udělat malý otvor, aby na vodorovnou podložku, na níž nádoba stojí, stříkala z tohoto otvoru voda do vzdálenosti právě 60 cm ? (Úloha má dvě řešení: x1 = 10 cm ; x2 = 90 cm. Vysvětlete!) 178. Na vodorovné desce stojí nádoba naplněná vodou do výše h. Ve stěně nádoby jsou nad sebou dva otvory, přičemž jeden z nich je právě o tolik nad dnem nádoby, o kolik je druhý pod hladinou. Na která místa na desce dopadají vodní paprsky vytékající z obou otvorů, udržujeme-li hladinu ve stálé výši h ? Kde by měl být otvor, aby voda dopadala na desku co nejdále ? (Oba vodní paprsky dopadají do stejného místa. Nejdále paprsek dopadne, je-li otvor právě v polovině výšky.)
x
v1 h x
d1
179. Vodorovnou trubicí s plochou průřezu 20 cm2 proudí voda rychlostí 8 m.s-1 a její tlak je 108 kPa. Jakou rychlost a tlak má voda v rozšířeném místě trubice, kde je plošný obsah průřezu 40 cm2 ? (v2 = 4 m.s-1 ; p2 = 132 kPa) 180. Rozdíl tlaků v hlavním potrubí a ve zúžené části Venturiho vodoměru je 105 N.m-2. Průřezy hlavního potrubí a zúžené části jsou 1 000 cm2 a 500 cm2. Kolik kubických metrů vody proteče vodoměrem za jednu sekundu? (Q = 0,82 m3s-1) 181. Voda proudí vodorovnou rourou různého průřezu. V širší části roury, jež má plošný obsah 0,5 m2, je rychlost proudící vody 9 m.s-1 při tlaku 0,2 MPa. V užší části roury je tlak pouze 0,15 MPa. Vypočítejte plošný obsah průřezu roury v jejím zúženém místě. (S2 = 0,335 m2) 182. Průtok vody potrubím je 0,002 m3.s-1. V místě A, kde je průměr potrubí 6 cm, je tlak v kapalině 0,14 Mpa. V místě B, jež leží o 10 metrů níže než místo A, je plocha průřezu potrubí 100 mm2. Určete tlak (p2 = 40,25 kPa) vody v místě B. 183. Potrubí o délce 6 m klesá pod úhlem 30 o a jeho příčný průměr se zužuje z 10 cm2 na 2 cm2. Tlak vody v širším místě je 150 kPa a její rychlost 2 m.s-1. Určete tlak vody v užším místě potrubí. (p2 = 132 kPa) 184. Ze stříkačky stříká proud vody, jehož průtok je 1 l.s-1. Jakou plochu má příčný průřez vodního proudu ve výši 2 metry nad ústím výtokového otvoru, má-li tento plochu průřezu 1,5 cm2? (S2 = 474 mm2) 185. Injekční stříkačka má velikost plochy pístu 1,2 cm2 a její výtokový otvor má pak plošný průřez 1 mm2. Jak dlouho bude vytékat voda ze stříkačky uložené ve vodorovné rovině, když bude na píst působit stálá síla 5 N a když se píst za tuto hledanou dobu posune celkem o délku 4 cm ? Vliv tření při výpočtu příkladu pro jednoduchost zanedbáváme. (t = 0,53 s) 186. Vodotrysk stříká do výšky 10 metrů, jeho výtoková trubice má plošný průřez 5 cm2. Určete výkon motoru, jenž pohání čerpadlo, je-li hladina spodní vody 5 metrů pod ústím výtokové trubice a má-li čerpadlo účinnost 75 %. (P = 1,41 kW)
17
187. Vodní turbínou proteklo za 3 hodiny 32,4.106 l vody. Do oběžného kola vtéká rychlostí 9 m.s-1 (P = 109,7 kW ; η = 90,3 %) a vytéká rychlostí 2,8 m.s-1. Určete výkon turbíny a její účinnost! 188. Za jaký čas vyteče právě polovina kapaliny z válcovité nádoby plošného průřezu S malým kruhovým otvorem v jejím dně s plochou průřezu S1, jestliže byla hladina kapaliny na začátku vypouštění ve výšce ho nad dnem nádoby? h0 S to = . 2 −1 S1 g
(
(
))
189. Na základě vzorce odvozeného v předcházejícím příkladě řešte konkrétní zadání: plošný průřez nádoby S = 0,1 m2, plocha výtokového otvoru S1 = 10 mm2, počáteční výška hladiny kapaliny nad (t = 586 s = 9 min 46 s) dnem nádoby ho = 20 cm. 190. Ocelová kulička o poloměru 2 mm a hustotě 7 700 kg.m-3 volně klesá v oleji s koeficientem viskozity 2,2 kg.m-1.s-1. Hustota oleje je 900 kg.m-3. Najděte hodnotu rychlosti rovnoměrného pohybu, kterou se kulička bude pohybovat v oleji po uplynutí určitého času. (v = 0,027 m.s-1) 191. Jak velkou odporovou silou je bržděna ve vodě koule o průměru 15 cm, jestliže se pohybuje rychlostí (F = 28,67 N) 2,6 m.s-1 ? Hodnota součinitele odporu prostředí C je pro kouli rovna 0,48. 192. Jak velkou rychlostí by se tatáž koule musela pohybovat ve vzduchu, jehož hustota je za daných podmínek 1,24 kg.m-3, aby síla představující odpor prostředí byla stejně velká, jako v předcházejícím případě? (v2 = 73,2 m.s-1) 193. Vypočítejte výkony tažných sil, jež musí kouli v obou předcházejících příkladech pohánět při překonávání odporu prostředí a výsledky porovnejte! (Pvoda = 74,5 W ; Pvzduch = 2,1 kW) 194. Automobil, jehož čelní průřez je 2,5 m2, překonává při rychlosti 90 km.h-1 odpor prostředí, který je charakterizován silou o velikosti 400 N. Určete součinitel odporu vzduchu, je-li jeho hustota (C = 0,406) 1,26 kg.m-3. 195. Určete výkon motoru auta potřebný pouze na překonání odporu vzduchu, jestliže se pohybuje stálou rychlostí 72 km.h-1, přičemž plošný obsah čelní části auta je 3,2 m2. Hustota vzduchu je v tomto (P = 7,54 kW) případě 1,28 kg.m-3 a součinitel odporu prostředí je 0,46. 196. Padák o hmotnosti 22 kg má po otevření průměr 11,5 m. Jakou ustálenou rychlostí se bude pohybovat parašutista hmotnosti 85 kg, je-li hustota vzduchu 1,24 kg.m-3 a součinitel odporu prostředí pro těleso tvaru otevřené polokoule 1,33 ? (v = 3,53 m.s-1) 197. Křídlo letadla má plochu 40 m2 a jeho horní strana je o 10 % delší, než strana spodní. Vypočítejte, jak velká vztlaková síla na toto křídlo působí, jestliže letadlo letí rychlostí 200 m.s-1, je-li hustota (F = 1,95.105 N) vzduchu 1,16 kg.m-3.
18
