UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ katedra fyziky
ZÁKLADY FYZIKY II Sbírka příkladů pro studijní obory DMML, TŘD, MMLS a AID prezenčního studia DFJP RNDr. Jan Z a j í c , CSc., 2006
I. G r a v i t a č n í p o l e →
gravitační konstanta κ = 6,67.10−11 kg−1.m3.s−2
1. Určete, jak velkou gravitační silou se navzájem přitahují Země a Slunce. Hmotnost Země je 5,976.1024 kg, hmotnost Slunce je 1,989.1030 kg, střední vzdálenost Země od Slunce (Fg = 3,542.1022 N) (tzv. astronomická jednotka – AU) je 149,6.106 km. 2. Oběžná doba Země okolo Slunce je 365,25 dní, střední vzdálenost Země od Slunce je 149,6 miliónů kilometrů. Určete a) velikost zrychlení, jež Slunce uděluje naší Zemi, b) hmotnost Slunce. (a = 5,930.10−3 m.s−2 ; MS = 1,990.1030 kg) 3. Vypočítejte velikost intenzity gravitačního pole Slunce ve vzdálenosti rovné poloměru trajektorie Země kolem Slunce a porovnejte jí s intenzitou gravitačního pole Země na jejím rovníku. Rovníkový poloměr Země je 6 378 km. (KS = 5,928.10−3 N.kg−1 ; KZ = 9,799 N.kg−1; KS = 6,05.10−4 KZ ; KZ = 1 653 KS ) 4. Těžiště dvou lodí, z nichž každá má hmotnost 150 000 tun, jsou od sebe vzdálena 40 m. Jak velkou gravitační silou se přitahují? Projeví se působení těchto sil? Odpovídá vypočítaná hodnota přesně skutečnosti? (Fg =& 940 N) 5. Vypočítejte velikost gravitační síly mezi protonem a elektronem v atomu vodíku, je-li poloměr kruhové trajektorie elektronu 5,29.10−11 m. Hmotnost protonu je 1,673.10−27 kg, hmotnost elektronu pak 9,11.10−31 kg. (Fg = 3,63.10−47 N)
6. Určete hmotnost planety Merkur, jestliže intenzita gravitačního pole na jeho povrchu je (M = 3,30.1023 kg) 3,70 N.kg−1 a rovníkový poloměr planety je 2 440 km. 7. Velikost intenzity gravitačního pole na povrchu Země je 9,799 N.kg−1. Určete její velikost ve vzdálenosti rovné čtyřnásobku poloměru Země od jejího povrchu. (KZh = 0,392 N.kg−1) 8. Určete, v jaké výšce nad povrchem Země je velikost intenzity jejího gravitačního pole rovna právě polovině hodnoty gravitační intenzity na zemském povrchu (RZ = 6 378 km) ? (h = 2 642 km) 9. Jak by se změnila intenzita gravitačního pole na povrchu Země, kdyby se její rozměry při nezměněné hmotnosti zmenšily na polovinu? (K = 4 KZ) 10. Hmotnost planety Jupitera je 1,899.1027 kg, její poloměr 71 400 km a doba rotace 9 h 50 min 30 s. Určete velikost gravitačního a tíhového zrychlení na rovníku této planety. Při výpočtu považujte planetu za homogenní kouli. (ag = 24,85 m.s−2 ; g = 22,60 m.s−2) 11. Měsíc obíhá kolem Země ve střední vzdálenosti přibližně 60 zemských poloměrů (r = 60 RZ). Hmotnost Země je 81−krát větší než hmotnost Měsíce. Na spojnici středů těchto dvou těles najděte místo, kde je intenzita gravitačního pole Země i Měsíce stejně velká. (1. ... x1 = 54 RZ od Země; obě intenzity mají opačný směr a výsledná intenzita je nulová; 2. ... x2 = 67,5 RZ od Země − tedy „za Měsícem“; obě intenzity zde mají stejný směr a výsledná intenzita obou polí je nenulová !!!) 12. Jakou práci musíme vykonat, abychom těleso o hmotnosti 50 kg vynesli z povrchu Země do výšky 10 000 km ? (W = 1,91.109 J) 13. Jak vysoko vystoupá těleso vystřelené z povrchu Země svisle vzhůru počáteční rychlostí o velikosti 5 km.s−1? (hmax = 1 595 km) 14. Vypočítejte velikost první a druhé kosmické rychlosti (MZ = 5,976.1024 kg, RZ = 6 378 km). (v1 = 7 905 m.s−1 ; v2 = 11 180 m.s−1) 15. Jak velkou rychlostí se pohybuje družice Země na kruhové trajektorii ve výšce 500 km nad zemským povrchem? (vk = 7,613 km.s−1) 16. Určete, jak velkou celkovou práci musíme vykonat, abychom tuto družici na její trajektorii vynesli, je-li její hmotnost 15 t ? (W = 5,028.1011 J) 17. Vypočítejte rychlost stacionární družice a její výšku nad povrchem Země. (vk = 3,072 km.s−1 ; h = 35 863 km = 5,62 RZ ) 18. Určete rychlost pohybu a dobu jednoho oběhu Země kolem Slunce na kruhové trajektorii o poloměru 149,6.106 km, je-li hmotnost Slunce MS = 1,989.1030 kg. (vk = 29,78 km.s−1 ; T = 365,3 dne) 19. Druhý Marsův měsíc Deimos obíhá kolem této planety prakticky po kruhové trajektorii, jejíž poloměr je 23 460 km. Doba oběhu Deimose je 1,263 dne. Určete hmotnost Marsu. (M = 6,418.1023 kg)
2
20. Družice se pohybuje po kruhové trajektorii ve výšce 60 km na povrchem Měsíce. Jaká je její rychlost a jak jí musíme zvýšit, aby se mohla vrátit zpět k Zemi? Hmotnost Měsíce je 7,351.1022 kg, jeho rovníkový poloměr 1 738 km. (vk = 1,651 km.s−1 ; vp = 2,335 km.s−1 ; ∆v = 684 m.s−1) 21. Vypočítejte oběžnou dobu Jupitera kolem Slunce, má-li hlavní poloosa jeho eliptické trajektorie délku 5,202 8 AU ; hmotnost planety je 1,899.1027 kg. (T = 11,862 roku)
II. E l e k t r i c k é p o l e →
Veličiny potřebné pro výpočet následujících příkladů:
elementární náboj klidová hmotnost elektronu klidová hmotnost protonu permitivita vakua 1 ko = 4πε o gravitační konstanta
e = 1,602.10−19 C me = 9,11.10−31 kg mp = 1,67.10−27 kg εo = 8,854.10−12 F.m−1 ko = 9.109 F−1. m = 6,67.10−11 kg−1.m3.s−2
κ
22. Jakou silou na sebe působí dva bodové náboje Q1 = +24 µC a Q2 = −18 µC ve vzdálenosti 6 cm ve vakuu? Jak se tato síla změní, když náboje nejprve spojíme, a pak oddálíme na původní vzdálenost? (F1 = 1,08.103 N − přitažlivá ; F2 = 22,5 N − odpudivá) 23. Porovnejte velikost elektrické a gravitační síly, jimiž na sebe vzájemně působí v atomu vodíku proton a elektron, je-li podle Bohrova modelu tohoto atomu poloměr kruhové trajektorie elektronu 5,29.10−11 m. F (Fe = 8,24.10−8 N − přitažlivá ; Fg = 3,63.10−47 N − přitažlivá ; e = 2,27.1039 ) Fg 24. Určete rychlost a frekvenci elektronu na jeho kruhové trajektorii. (v = 2,19.106 m.s−1 ; f = 6,58.1015 Hz) 25. Dva stejné bodové náboje působí na sebe ve vakuu ve vzdálenosti 36 cm silou určité velikosti. Jak daleko je musíme od sebe umístit v oleji s relativní permitivitou 6, aby se tato síla nezměnila? (r2 = 14,7 cm) 3
26. Na dvou nitích zanedbatelné hmotnosti majících délku 10 cm a upevněných v jednom bodě jsou zavěšena dvě stejná tělíska o hmotnosti 1 g nabitá stejným nábojem. Určete jeho velikost, jestliže nitě svírají vlivem výsledného silového působení úhel právě 60o . (Q = 8,0.10−8 C ... dosadíme-li tíhové zrychlení g =& 10 m.s−2 ; přitom náboje musí mít stejná znaménka !!!) 27. Ve všech třech vrcholech rovnostranného trojúhelníka se nacházejí stejně velké souhlasné náboje 10−8 C. Jaký náboj musíme umístit do těžiště trojúhelníka, aby výsledná síla působící na náboje ve vrcholech byla nulová? (Q ∗ = 5,77 nC ... znaménko náboje v těžišti trojúhelníka je opačné vzhledem k nábojům ve vrcholech ∆!!!) 28. Dva kladné bodové náboje 2 µC a 8 µC se nacházejí ve vzdálenosti 21 cm. Ve kterém místě prostoru je intenzita jejich výsledného elektrického pole nulová? (Toto místo se nachází na spojnici obou nábojů; je vzdáleno 7 cm od menšího náboje a 14 cm od většího náboje.) 29. Jak velká síla působí na elektron vzdálený 20 cm od dlouhého přímého vodiče, jenž je nabit tak, že lineární délková hustota náboje je 10−3 C.m−1 ? (Fe = 1,44.10−11 N) 30. Na jaké dráze a za jaký čas získá elektron rychlost 5.106 m.s−1, je-li urychlován elektrickou silou v homogenním elektrickém poli intenzity 300 V.m−1? Předpokládáme, že elektron byl původně v klidu. (s = 0,24 m ; t = 95 ns) 31. Svazek elektronů vlétne doprostřed mezi desky rovinného kondenzátoru rychlostí 107 m.s−1 ve směru rovnoběžném s nimi. Jaké minimální napětí musíme vložit na desky kondenzátoru, aby z něj už elektrony nevyletěly, je-li délka kondenzátoru 5 cm a vzdálenost jeho desek 2 cm ? (U = 91,0 V) 32. Z mýdlové bubliny o průměru 8 cm nabité na potenciál 10 kV vznikne po prasknutí kapka, jejíž průměr je 1 mm. Určete potenciál na povrchu kapky. (ϕ kapky = 8.105 V) 33. Desky rovinného kondenzátoru bez dielektrika mají plochu 2 m2 a vzdálenost 5 mm. Kondenzátor nabijeme na napětí 10 kV. Vypočítejte a) kapacitu tohoto kondenzátoru, b) náboj na jeho deskách, c) intenzitu elektrického pole mezi deskami. (C = 3,54 nF ; Q = 3,54.10−5 C ; E = 2.106 V.m−1) 34. Dva kondenzátory se stejnou kapacitou zapojíme jednak do série a jednak paralelně. Rozdíl ve výsledných kapacitách obou těchto kombinací jsou 3 µF. Určete kapacitu obou kondenzátorů. (C = 2 µF) 35. Tři kondenzátory mají kapacity 5 µF, 3 µF a 2 µF. Při jakém zapojení dávají a) maximální, b) minimální kapacitu? (Cmax = 10 µF při čistě paralelním zapojení a Cmin = 0,97 µF při čistě sériovém zapojení) 36. Určete hodnotu výsledné kapacity sestavy kondenzátorů zapojených podle schématu na následujícím obrázku, je-li dáno:
4
C1 C1 C2 C3 C4 C5
= = = = =
600 pF 1,2 nF 200 pF 300 pF 500 pF
, , , , .
.
C2
.
C3
.
.
(C = 650 pF)
C5 C4
37. Dva kondenzátory s kapacitami 6 µF a 4 µF nabijeme na napětí 50 V (první) a 150 V (druhý kondenzátor), a pak je souhlasnými póly spojíme paralelně. Jaké pak bude výsledné napětí na soustavě? (U = 90 V)
Q1
.
C2
38. Tři kondenzátory o kapacitách C1 = 9 µF, C2 = 3 µF a C3 = 4 µF jsou zapojeny podle schématu na obrázku vlevo. Určete, jaké je napětí na celé kombinaci, je-li na prvním kondenzátoru náboj Q1 = 1,8.10−4 C ? (U = 80 V)
C1
.
C3
39. Rovinný deskový kondenzátor s plochou desek 100 cm2, jež jsou od sebe vzdáleny 3 mm, je nabit nábojem 66 nC. Určete velikost rychlosti, kterou získá elektron při přechodu z jedné desky kondenzátoru na druhou. (v = 2,8.107 m.s−1)
U=?
40. Tři kondenzátory s kapacitami 2 µF, 3 µF a 6 µF jsou spojeny sériově a připojeny ke zdroji s napětím 240 V. Určete elektrickou energii každého z nich. (E1 = 14,4 mJ ; E2 = 9,6 mJ ; E3 = 4,8 mJ) 41. Kondenzátor o kapacitě 20 µF byl nabit na napětí 1 000 V, a pak byl k jeho svorkám paralelně připojen nenabitý kondenzátor s kapacitou 5 µF. Jak se po spojení změnila elektrická energie celé soustavy? (∆Eel = −2 J) 42. Vzduchový deskový kondenzátor má kapacitu 100 pF při vzdálenosti desek 1 cm. Jak změníme jeho kapacitu, když mezi desky rovnoběžně vložíme plech tloušťky 2 mm ? (Kapacita vzroste na 125 pF.) 43. Určete kapacitu deskového kondenzátoru o plošném obsahu desek 100 cm2 vzdálených 2 mm, jestliže mezi ně rovnoběžně zasuneme desku ebonitu (tj. dielektrika) tloušťky 1 mm s relativní permitivitou 3. (C = 66,4 pF)
5
44. Desky rovinného kondenzátoru s plošným obsahem 0,5 m2, jež jsou vzdáleny od sebe 2 mm, byly nabity na napětí 10 kV, a poté odpojeny od nabíjecího zdroje. Jakou práci musíme vykonat, jestliže desky chceme oddálit na 8 krát větší vzdálenost? (W = 0,775 J) 45. Mezera o šířce 1 mm mezi deskami kondenzátoru o ploše 0,2 m2 je vyplněna dielektrikem, jehož relativní permitivita je 5. Jak velkou práci musíme vynaložit na odstranění dielektrika z kondenzátoru, jestliže byl kondenzátor původně nabit na napětí 3 000 V ? (W = 0,159 J) 46. Vzduchový deskový kondenzátor s plošným obsahem desek 0,1 m2, jež jsou vzdáleny 1 mm, nabijeme na napětí 1 kV. Určete, jak velkou silou se přitahují desky tohoto kondenzátoru. (F = 0,443 N) 47. Prostor mezi deskami rovinného kondenzátoru je zcela vyplněn dielektrikem s relativní permitivitou 3. Intenzita elektrického pole v dielektriku je 1 kV.mm−1. Určete povrchovou hustotu volného náboje na vodivých kovových deskách kondenzátoru a povrchovou hustotu vázaného (indukovaného) náboje na povrchu dielektrika. (σ = 2,66.10−5 C.m−2 ; σváz. = 1,77. 10−5 C.m−2) 48. Vypočítejte kapacitu válcového kondenzátoru, jehož desky mají vnitřní poloměr 4 cm, vnější 5 cm a výšku 80 cm, je-li prostor mezi deskami zcela vyplněn dielektrikem s relativní permitivitou 3,4. (C = 678 pF) 49. Dva souosé válce mají výšku h a poloměry R1 a R2. Vnitřní je nabit záporným nábojem -Q, vnější stejně velkým kladným nábojem +Q. V prostoru mezi válci obíhá po kruhové trajektorii o poloměru r kladně nabitá částice Q∗, jejíž hmotnost je m. Určete její rychlost. v=
Q. Q • 2.π . ε o . m. h
⇒
rychlost v částice nezávisí na poloměru r její trajektorie !!!
III. U s t á l e n ý e l e k t r i c k ý p r o u d 50. Vodičem o odporu 15 Ω prošel za 2 minuty náboj 30 C. Určete, jak velké bylo napětí na koncích vodiče. (U = 3,75 V) 51. Určete velikost elektrického náboje, jenž projde za 10 s vodičem, vzrůstá-li proud rovnoměrně od nuly do maximální hodnoty 3 A. (Q = 15 C) 52. Na anodě elektronky se „přeměnou“ kinetické energie dopadajících elektronů vyvine za 20 min teplo 16 J. Určete, jak velká je rychlost dopadajících elektronů, je-li hodnota anodového proudu procházejícího elektronkou 6 mA. (v = 8,85.105 m.s−1) 53. Dva rezistory jsou sériově připojeny ke zdroji napětí 120 V a prochází jimi proud 3 A. Jestliže je spojíme paralelně a připojíme k témuž zdroji, bude procházet obvodem od zdroje celkový proud 16 A. Jaké jsou odpory obou rezistorů? (Úloha má dvě „symetrická“ řešení: R1 = 30 Ω , R2 = 10 Ω a R1/ = 10 Ω , R2/ = 30 Ω ) 6
54. Tři rezistory o odporech 10 Ω , 15 Ω a 20 Ω jsou zapojeny paralelně. Jaký proud prochází rezistorem o odporu 15 Ω , když celkový proud v obvodu je 1,2 A ? (I2 = 0,37 A) 55. Tři rezistory o odporech 10 Ω , 15 Ω a 20 Ω jsou zapojeny sériově. Jaké musí být celkové napětí na kombinaci, jestliže na rezistoru o odporu 15 Ω je napětí 3 V ? (U = 9 V) 56. Na kolik stejných částí je třeba rozřezat drát délky l a průřezu S, jehož odpor je 192 Ω, abychom při následném paralelním zapojení všech těchto částí dostali výsledný odpor 3 Ω ? (n = 8 částí) 57. Jaké napětí je třeba vložit na konce cívky s 1 000 závity měděného drátu (rezistivita tohoto kovu ρ Cu = 1,555.10−8 Ω.m), je-li průměr každého závitu 6 cm a má-li cívkou protékat proud (U = 5,86 V) o hustotě J = 2 A.mm−2 ?
D•
•
C 58. Určete výsledný odpor zapojení mezi body A a B, je-li odpor všech osmi vodičů tvořících tuto čtvercovou síť stejný a rovný R.
•S
(Rcelk =
•
A
8 R) 15
•
B
59. Voltmetr o rozsahu do 10 V má odpor 600 Ω. Jaký musíme použít předřadný odpor, abychom mohli tímto přístrojem měřit napětí do 60 V ? (Rp = 3 kΩ ) 60. Ampérmetr o odporu 0,2 Ω měří proudy do 50 mA. Jak velký musí být odpor bočníku, aby se tímto přístrojem mohly měřit proudy do 1 A ? (Rb = 10,5 mΩ ) 61. Na žárovce s wolframovým vláknem je nápis 120 V, 60 W. Při pokojové teplotě 20 oC byl naměřen odpor žárovky 20 Ω. Jaká je teplota vlákna svítící žárovky, je-li teplotní součinitel odporu volframu 4,83.10−3 K−1 ? (t = 2 520 oC) 62. Určete svorkové napětí galvanického článku, je-li jeho elektromotorické napětí 1,5 V a vnitřní odpor 1,2 Ω, jestliže je při provozu zatížen vnějším odporem 3 Ω. (U = 1,07 V) 63. Při odběru proudu 3 A je svorkové napětí baterie 24 V, odebíráme-li však proud 4 A, klesne svorkové napětí na 20 V. Určete elektromotorické napětí baterie a její vnitřní odpor. (Ue = 36 V ; Ri = 4 Ω ) 64. Ke zdroji s elektromotorickým napětím 3,6 V připojíme rezistor o odporu 10 Ω a naměříme svorkové napětí 3,05 V. Jak se svorkové napětí změní, když k prvnímu rezistoru paralelně připojíme ještě jeden rezistor o stejném odporu (tedy opět 10 Ω )? (∆U = 0,404 V; a tedy U2 = 2,646 V)
7
65. Jak musíme spojit dva stejné články, každý s elektromotorickým napětím 1,5 V a vnitřním odporem 1,4 Ω, aby obvodem, jehož odpor je 0,2 Ω, protékal co největší proud? (Paralelně − proud bude mít hodnotu 1,666 A ; při sériovém zapojení článků to bude jen 1 A.) 66. K baterii se svorkovým napětím 12 V je připojeno 6 stejných spotřebičů ve dvou paralelních větvích, přičemž v jedné jsou dva a ve druhé čtyři spotřebiče. Jaký je odpor R každého z nich, (R = 3,6 Ω ) je-li celkový výkon dodávaný do všech šesti spotřebičů 30 W ? 67. Dvě žárovky s odpory 30 Ω a 20 Ω jsou připojeny ke zdroji napětí 24 V. Jaká elektrická energie se v každé žárovce spotřebuje za jednu hodinu, jestliže je zapojíme a) sériově, b) paralelně? (a) E1 = 24,9 kJ ; E2 = 16,6 kJ ; b) E1 = 69,1 kJ ; E2 = 103,7 kJ ) 68. Žárovka s údaji Už = 12 V, Pž = 60 W má být připojena ke zdroji, jehož svorkové napětí je 13 V a vnitřní odpor 1 Ω. Jaký musí být odpor přívodních vodičů, aby na žárovce bylo požadované napětí? Jaké je elektromotorické napětí zdroje a jeho výkon? (Rv = 0,2 Ω ; Ue = 18 V ; Pzdroje = 90 W ) 69. Sto žárovek (každá výkonu 1,2 W při napětí 12 V) zapojíme paralelně ke zdroji vnitřního odporu 0,2 Ω tak, aby na nich bylo požadované napětí 12 V. Odpor přívodních vodičů je 0,6 Ω. Určete elektromotorické a svorkové napětí zdroje a jeho výkon. (Ue = 20 V ; U = 18 V ; Pzd = 200 W ) 70. Zjistěte, zda lze zapojit dvě žárovky určené obě na napětí 120 V, jednu s výkonem 100 W, druhou o výkonu 25 W, sériově ke zdroji s napětím 220 V a zanedbatelným vnitřním odporem. (Toto zapojení provést nelze - na žárovce 100 W by bylo napětí jen 44 V, při němž by byl její výkon pouhých 13,4 W a žárovka by byla podžhavená – nesvítila by vůbec; na druhé žárovce 25 W by pak bylo napětí 176 V, její výkon by stoupl až na 53,8 W a došlo by tak k jejímu spálení, a tím i k přerušení celého obvodu.) 71. Zdroj s elektromotorickým napětím 4,5 V a vnitřním odporem 1,5 Ω je připojen ke dvěma paralelně zapojeným rezistorům s odpory 4 Ω a 12 Ω. Určete všechny proudy, jež protékají obvodem, a výkony spotřebované na všech odporech. (Icelk = 1 A ; I1 = 0,75 A ; I2 = 0,25 A ; Pi = 1,5 W ; P1 = 2,25 W ; P2 = 0,75 W ) 72. Baterie s elektromotorickým napětím 9 V a vnitřním odporem 1,5 Ω je připojena k neznámému rezistoru o odporu R. Určete, při jak velkém proudu bude výkon spotřebovaný na tomto rezistoru právě 7,5 W ? (Úloha má dvě řešení: 1) I1 = 5 A při odporu R1 = 0,3 Ω ; 2) I2 = 1 A při odporu R2 = 7,5 Ω ) 73. Elektrický vařič má dvě topné spirály. Zapneme-li jednu, uvede se určité množství vody do varu za 15 minut, zapneme-li jen druhou, pak se totéž množství vody bude vařit za 30 minut. Za jak dlouho by se dané množství vody přivedlo do varu, kdybychom obě topné spirály zapojili sériově? (τ = 45 minut) 74. Vodičem o odporu 5 Ω protéká elektrický proud, jehož velikost rovnoměrně vzrůstá z počáteční nulové hodnoty na konečnou hodnotu Imax po dobu 16 s. Za tuto dobu tak celkem proteče vodičem náboj 40 C. Určete energii tohoto elektrického proudu. (E = 667 J)
8
75. Akumulátor s elektromotorickým napětím 12 V a vnitřním odporem 0,25 Ω má být nabíjen ze zdroje, jehož nabíjecí napětí je 100 V. Jak velký odpor musíme zařadit sériově k akumulátoru, má-li být nabíjecí proud právě 4,8 A, jestliže je odpor přívodních vodičů v obvodu 3 Ω ? (Rp = 15,1 Ω )
IV. S t a c i o n á r n í m a g n e t i c k é p o l e →
Veličiny potřebné pro výpočet následujících příkladů:
permeabilita vakua elementární náboj klidová hmotnost elektronu klidová hmotnost protonu
µo = 4π . 10−7 V.s/A.m
e = 1,602.10−19 C me = 9,11.10−31 kg mp = 1,67.10−27 kg
76. Určete velikost indukce magnetického pole, jestliže se elektron, jenž do něho vletěl rychlostí 4.107 m.s−1 kolmo na indukční čáry, pohybuje po kruhové trajektorii s poloměrem 2,84 mm. (B = 80,1 mT) 77. Elektron vlétne do magnetického pole kolmo k indukčním čárám a vlivem silového působení tohoto pole začne konat kruhový pohyb s periodou 10 ns. Vypočítejte velikost magnetické indukce daného pole. (B = 3,57 mT) 78. Proton vletí do homogenního magnetického pole s indukcí 10 mT rychlostí 106 m.s−1, jež svírá se směrem vektoru indukce úhel 30°. Najděte poloměr a výšku jednoho závitu šroubovice, po níž se bude proton v magnetickém poli pohybovat. (R = 0,521 m ; h = 5,67 m) 79. Jednomocný iont hélia (Q = +1e) nejprve „urychlený v elektrickém poli napětím“ 180 V vletěl kolmo do magnetického pole o indukci 0,125 T a začal se pohybovat po kružnici o poloměru 3,1 cm. Určete rychlost a hmotnost iontu. (v = 9,29.104 m.s−1 ; m = 6,68.10−27 kg) 80. Jaký elektrický proud teče v přímém vodiči délky 60 cm, jenž svírá se směrem vektoru indukce homogenního magnetického pole o velikosti 0,8 T úhel 30°, jestliže je z tohoto pole vytlačován silou o velikosti120 mN ? (I = 0,5 A) 81. Svislým vodičem délky 15 m protéká proud 120 A. Vypočítejte, jak velkou silou na něj působí magnetické pole Země, jehož vodorovná složka indukce má velikost 2.10−5 T. (F = 36 mN) 82. V homogenním magnetickém poli je volně vložený přímý vodorovný vodič kolmo na indukční čáry. Délková měrná hmotnost vodiče je 0,3 kg.m−1 a protéká jím proud 2 A. Jaká musí být indukce magnetického pole B, aby vodič nepadal, ale volně se vznášel (g =& 10 m.s−2) ? (B = 1,5 T) 9
83. Dva dlouhé rovnoběžné vodiče jsou vzdáleny 1 m. Jedním teče proud 5 A, druhým souhlasně orientovaný proud 20 A. Určete množinu všech bodů, v nichž bude výsledné magnetické pole nulové. (Indukce magnetického pole bude nulová na přímce ležící rovnoběžně s vodiči v rovině obou vodičů ve vzdálenosti a1 = 20 cm od prvého (s proudem 5 A) a a2 = 80 cm od druhého (jímž teče proud 20 A).) 84. Řešte stejnou úlohu při stejném zadání, jen směr obou proudů bude opačný. (Indukce magnetického pole bude opět nulová na celé přímce ležící rovnoběžně s oběma vodiči v rovině určené dvojicí vodičů, ale tentokráte vně menšího proudu (5 A) ve vzdálenosti 33 cm od něj a 133 cm od většího (20 A).) 85. Vodorovným vodičem ve směru zemského magnetického poledníku (horizontální složka indukce magnetického pole Země má velikost 2.10−5 T) prochází proud 100 A. Určete o jaký úhel se odchýlí magnetka umístěná kolmo pod vodičem ve vzdálenosti 0,5 m. (ϕ = 63°20′)
I 86. Velmi dlouhým vodičem na obrázku prochází proud 20 A. Určete indukci magnetického pole v bodě A, je-li vzdálenost a právě 2 cm. (B = 0,1 mT)
A°
a
.
87. Určete velikost B indukce magnetického pole elektronu obíhajícího s frekvencí f po kružnici ve středu této kružnice. µ0 f e B = 2R
88. Vodiče ve tvaru kružnice a pravidelného šestiúhelníka mají stejnou délku a teče jimi i stejný proud. Porovnejte velikosti magnetických indukcí ve středu kružnice a šestiúhelníka. Bs 6 3 = 2 = 1,053 π Bk
89. Jakou silou se při zkratu přitahují dva rovnoběžné vodiče vzdálené 10 cm, protékají-li jimi proudy stejného směru 8 kA ? F −1 = 128 N.m l 90. Jaký proud musí téci cívkou bez jádra délky 20 cm s 1000 závity, aby v její dutině byla magnetická indukce o velikosti 15 mT ? (I = 2,39 A) 91. Kolik závitů má prstencová cívka středního poloměru 25 cm, jestliže proud 1,5 A v jejím vinutí vyvolá v dutině cívky magnetické pole intenzity o velikosti 600 A.m−1 ? (N = 628 závitů) 10
92. Ve dvou souosých cívkách stejné délky vinutých na sobě tečou proudy opačných směrů. Jedna má 300 závitů, jimiž teče proud 0,4 A, druhá má pak 160 závitů. Jaký proud musí jimi protékat, aby výsledné magnetické pole uvnitř obou cívek bylo nulové? (I2 = 750 mA) 93. Jednovrstevná cívka z měděného drátu (rezistivita mědi je 1,555.10−8 Ω.m) o průměru 2 mm má 100 závitů, jež jsou navinuty těsně vedle, přičemž průměr každého závitu jsou 2 cm. Určete, jak velké napětí musíme k cívce připojit, má-li mít intenzita magnetického pole uvnitř cívky velikost 104 A.m−1. (U = 0,62 V) 94. Jak velký proud musí protékat prstencovou cívkou bez jádra se 450 závity, jejichž průměr jsou 2 cm, je-li uvnitř cívky magnetický indukční tok 2.10−6 Wb ? Střední poloměr cívky je 5 cm. (I = 3,54 A) 95.. Železný prstenec středního obvodu 30 cm a plošného průřezu 1 cm2 je ovinut 300 závity, jimiž teče proud 32 mA, což v jádře vyvolá magnetický indukční tok 2.10−6 Wb. Určete velikosti vektorů indukce B a intenzity H magnetického pole v prstenci a relativní permeabilitu prstence. (B = 0,02 T ; H = 32 A.m-1 ; µr = 497) . 6 cm
96. V železném jádře na vedlejším obrázku naměříme velikost magnetické indukce 1,5 T, jestliže bude protékat cívkou, jež bude kolem jádra navinuta, proud 1,2 A. Určete relativní permeabilitu jádra. Cívka má mít celkem 500 závitů. (µr = 478)
1,5 cm
9 cm
11
V. E l e k t r o m a g n e t i c k á i n d u k c e 97. Jaký magnetický indukční tok prochází ve vzduchu plochou o obsahu 100 cm2 svírající se směrem vektoru intenzity o velikosti 2.104 A.m−1 úhel 30° ? (Φ = 1,26.10−4 Wb) 98. Jaká je velikost indukce B a intenzity H homogenního magnetického pole, jestliže kruhovým závitem o poloměru 5 cm prochází magnetický indukční tok 4 mWb ? Rovina závitu přitom svírá s indukčními čarami úhel 60°. (B = 0,588 T ; H = 4,68.105 A.m−1)
99. Určete magnetický indukční tok plochou čtverce na obrázku, protéká-li vodičem proud 100 A. Vzdálenost a je právě 1 m. Vodič považujte za nekonečně dlouhý. µ .I (Φ = o . a . ln 2 = 1,39.10−5 Wb)
I
Φ =?
2π
a
.
a
a
100. Určete magnetický indukční tok plochou pravoúhlého trojúhelníka na obrázku, protéká-li vodičem (opět uvažujte, že má nekonečně velkou délku) proud 80 A. Jednotlivé délky jsou: a = 40 cm, b = 70 cm, d = 10 cm. b+d µ .I. a −6 (Φ = o . b - d . ln = 4,50.10 Wb) 2π . b d
I
a
Φ =? .
.
d
b
101. Vlak se pohybuje rychlostí o velikosti 108 km.h−1 směrem na západ. Určete, jak velké napětí se indukuje v ocelové nápravě délky 180 cm, je-li velikost vertikální složky indukce magnetického pole Země 4,4.10−5 T. (Ui = 2,38 mV s polaritou + na „jižním“ a − na „severním“ konci nápravy.) 12
102. Jak velké napětí se bude indukovat v přímém vodiči délky 15 cm, jestliže vodič necháme rotovat v homogenním magnetickém poli o indukci 0,5 T tak, že rovina, v níž se vodič pohybuje, je kolmá na směr daného pole? Rotační osa přitom prochází koncem vodiče, frekvence otáček vodiče je 60 Hz. (Ui = 2,12 V) 103. Kovová tyč se pohybuje stálou rychlostí o velikosti 20 m.s−1 rovnoběžným směrem s velmi dlouhým vodičem, jímž protéká proud 100 A, přičemž vodič a tyč leží v jedné rovině. Jak velké napětí se indukuje v tyči, jsou-li vzdálenosti a = 5 cm, b = 150 cm ? (Ui = 1,36 mV; přitom konec A má vyšší potenciál − nabíjí se tedy kladně)
a
I
A v
b
B
104. Jaké napětí se indukuje v cívce se 75 závity, jestliže se magnetický indukční tok procházející cívkou změní za 3 s rovnoměrně o hodnotu 5.10-5 Wb ? (Ui = 1,25 mV) 105. Kruhový závit o poloměru 4 cm se otáčí kolem svého průměru a vykonává 1000 otáček za minutu v homogenním magnetickém poli o indukci 0,5 T, jejíž směr je kolmý na rotační osu. Jaké maximální napětí se indukuje v závitu? (Ui = 0,263 V) 106. Jaké napětí se indukuje v závitu z předcházejícího příkladu v okamžiku, kdy rovina závitu svírá se směrem indukce úhel 30° ? (Ui = 0,228 V) 107. Jaké maximální napětí se indukuje v jednom závitu o plošném obsahu 20 cm2, jestliže závit rotuje v homogenním magnetickém poli o indukci 50 mT s frekvencí 40 Hz ? Rotační osa je kolmá na směr vektoru indukce magnetického pole. (Um = 25,1 mV) 108. Plochá čtvercová cívka (strana čtverce má délku 12 cm) je tvořena celkem 10 závity. Při rotaci cívky v homogenním magnetickém poli s indukcí o velikosti 0,25 T je maximální hodnota indukovaného napětí 200 mV. Určete periodu rotace této cívky. Rotační osa je přitom kolmá na vektor indukce B a leží v rovině jednoho ze závitů. (T = 1,13 s) 109. Magnetické indukční čáry časově proměnného pole jsou kolmé k rovině rámové antény, jejíž plošný obsah je 0,5 m2. Velikost indukce B tohoto magnetického pole se přitom mění periodicky s časem s frekvencí 1 MHz podle vztahu B = Bm.sin ω.t a v důsledku toho se v anténě indukuje napětí s amplitudou 5 mV. Určete maximální hodnotu velikosti intenzity H daného magnetického pole. (Hm = 1,27.10−3 A.m−1) 110. Cívkou magnetu o indukčnosti 15 H prochází proud 5 A. Jak velké napětí se bude indukovat v obvodu v okamžiku jeho rozpojení, za předpokladu, že proud bude klesat rovnoměrně na nulovou hodnotu během doby 0,05 s ? (Ui = 1 500 V) 111. Cívkou bez jádra délky 50 cm o 1 000 závitech plošného průřezu 5 cm2 prochází proud 20 mA. Jaké napětí se indukuje v cívce, snížíme-li proud rovnoměrně na nulu během 5 s ? (Ui = 5,03 µV) 13
112. Cívka má celkem 3 000 závitů, délku 16 cm, plošný průřez 6 cm2 a prochází jí proud 0,5 A. Na cívce jsou uprostřed navinuty 2 závity téhož plošného průřezu, jako má cívka. Jaké napětí se bude indukovat v cívce a jaké ve dvou závitech, klesne-li proud procházející cívkou rovnoměrně na nulu za dobu 0,02 s ? (Uil = 1,06 V ; Ui2 = 0,707 mV) 113. Kolik závitů drátu se celkem musí navinout na papírový válec dlouhý 60 cm o průměru 5 cm, aby tak vznikla cívka s indukčností6 mH ? (N = 1 200 závitů) 114. Z drátu délky 250 m navineme na porcelánovém válci cívku, jejíž krajní závity jsou vzdáleny právě 20 cm. Jaká bude indukčnost této cívky? (L = 31,3 mH) 115. Těsně na sobě jsou navinuty dvě cívky stejné délky l i plošného průřezu S. Indukčnosti těchto cívek jsou 0,9 H a 0,4 H. Určete jejich vzájemnou indukčnost. (M = 0,6 H) 116. Dvě cívky s indukčnostmi 0,8 H a 1,8 H zapojíme do série a naměříme přitom výslednou hodnotu indukčnosti pro takové zapojení rovnou 2,8 H. Určete, jaká je vzájemná indukčnost těchto dvou cívek v tomto případě. (M = 0,1 H) 117. Určete energii magnetického pole cívky bez jádra s 10 000 závity o průměru 6 cm, má-li cívka délku 50 cm a protéká-li jí proud 200 mA. (Em = 14,2 mJ) 118. Elektromagnet s železným jádrem délky 20 cm a plošným průřezem 20 cm2 má 600 závitů, jimiž teče proud 5 A. Energie magnetického pole v jádře je přitom 60 J. Jaká je relativní permeabilita jádra? (µr = 1060) 119. Odvoďte jednotky těchto fyzikálních veličin: a) elektrický náboj, b) intenzita elektrického pole, c) permitivita prostředí, d) relativní permitivita, e) tok vektoru intenzity elektrického pole, f) potenciál elektrického pole, g) kapacita vodiče, h) proudová hustota, ch) konduktivita, i) elektrický odpor, j) indukce magnetického pole, k) intenzita magnetického pole, l) permeabilita prostředí, m) relativní permeabilita, n) magnetický indukční tok, o) indukčnost. [µ] = kg.m.s−2.A−2 [Q] = s.A [C] = kg−1.m−2. s4.A2 −3 −1 -2 [E] = kg.m.s .A [J] = m .A [µ r] = 1 [ε] = kg−1.m−3.s4.A2 [γ] = kg−1.m−3.s3.A2 [Φ ] = kg.m2.s−2.A−1 [ε r] = 1 [R] = kg.m2.s−3.A−2 [L] = kg.m2.s−2.A−2 3 −3 −1 −2 −1 [Φ e] = kg.m .s .A [B] = kg.s .A [ϕ] = kg.m2.s−3.A−1 [H] = m−1.A
14
